Просмотр кода страницы Автоволны

'''Автоволны''' ({{lang-en|autowaves}}<ref group = "прим." name="P002"/>) — это самоподдерживающиеся [[Нелинейная волна|нелинейные волны]] в [[Активная среда|активных средах]] (то есть содержащих распределённые источники [[энергия|энергии]]). Термин в основном применяется к процессам, где волной переносится относительно малая энергия, которая необходима для синхронизации или переключения активной среды.

== Введение ==

=== Актуальность и значимость ===
{{цитата|Автоволны (АВ) являются распределёнными аналогами [[Автоколебания|автоколебаний]] в сосредоточенных системах. Их примерами являются волны горения, нервные импульсы, волны распределения туннельных переходов (в полупроводниках) и т.п. '''Автоволновые процессы''' (АВП) лежат в основе большинства процессов управления и передачи информации в биологических системах. (...) Интересной особенностью активных сред является то, что в них могут возникать '''автоволновые структуры''' (АВС) (...) Важность АВС определяется следующим: <br>1.&nbsp;АВ и АВС могут осуществляться в системах любой физической природы, [[динамика]] которых описывается [[Параболическое уравнение|уравнениями вида (1)]]. <br>2.&nbsp;Это новый тип [[Динамические системы|динамических процессов]], порождающих макроскопический линейный масштаб за счёт локальных взаимодействий, каждое из которых линейным масштабом не обладает. <br>3.&nbsp;АВС являются основой [[морфогенез]]а в биологических системах.  <br>4.&nbsp; Возникновение АВС — новый механизм [[Турбулентность|турбулентности]] в активных средах. |автор=<ref group="B:" name="b-Gorky-1981"/>}}

В 1980 г. советские учёные [[Иваницкий, Генрих Романович|Г.Р. Иваницкий]], чл.-кор. [[АН СССР]], директор; [[Кринский, Валентин Израилевич|В.И. Кринский]], зав. лабораторией; [[Заикин, Альберт Николаевич|А.Н. Заикин]], с. н. с. [[Институт биологической физики|ИБФАН]]; [[Жаботинский, Анатолий Маркович|А.М. Жаботинский]], зав. лабораторией НИИБИХС; [[Белоусов, Борис Павлович|Б.П. Белоусов]], химик-аналитик, стали лауреатами высшей государственной награды СССР — [[Лауреаты Ленинской премии|Ленинской премии]] «''за обнаружение нового класса автоволновых процессов и исследование их в нарушении устойчивости возбудимых распределённых систем''».

=== Краткие исторические сведения ===
Изучением [[Автоколебания|автоколебаний]] активно занимался академик [[Андронов, Александр Александрович (старший)|А. А. Андронов]], и сам термин «автоколебания» в русскоязычную терминологию введён А. А. Андроновым в 1928 году. Его последователи из [[ННГУ]] в дальнейшем внесли большой вклад<ref group = "прим." name="P003"/> в развитие автоволновой теории.

Простейшие автоволновые уравнения, описывающие процессы [[Горение|горения]], были изучены [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогоровым]]<ref group="A:" name="a-Kolmogorov-1937"/>, И. Е. Петровским, [[Пискунов, Николай Семёнович|Н. С. Пискуновым]] в 1937 г. а также [[Зельдович, Яков Борисович|Я. Б. Зельдовичем]] и [[Франк-Каменецкий, Давид Альбертович|Д. А. Франк-Каменецким]]<ref group="A:" name="a-Zeldovich-1938"/> в 1938 г.

Классическая аксиоматическая модель автоволн в миокарде была опубликована в 1946 году [[Винер, Норберт|Норбертом Винером]] и {{не переведено 4|Розенблют, Артур|Артуром Розенблютом|en|Rosenblueth}}.<ref group="A:" name="a-Wiener-1946ru"/>

В период 1970-1980 гг. основные усилия по изучению автоволн были сосредоточены в [[Институт биологической физики|ИБФАН]] [[Академия наук СССР|Академии наук СССР]], находящемся в подмосковном городе [[Пущино]]. Именно здесь под руководством [[Кринский, Валентин Израилевич|В. И. Кринского]] были воспитаны ныне известные во всём мире специалисты в области изучения автоволн: А. В. Панфилов, [[Ефимов, Игорь Рудольфович|И. Р. Ефимов]], Р. Р. Алиев, [[Агладзе, Константин Игоревич|К. И. Агладзе]], О. А. Морнев, М. А. Цыганов. Также в Пущино, в соседнем институте [[ИМПБ РАН]], в лаборатории [[Шноль, Эммануил Эльевич|Э. Э. Шноля]] приобрели опыт работы с автоволновой теорией В. В. Бикташев, Ю. Е. Елькин, А. В. Москаленко.

Вероятно, именно в Пущино и был предложен термин «автоволны» по аналогии с ранее уже прижившимся «автоколебания».

Практически сразу после [[Распад СССР|распада СССР]] многие из перечисленных пущинских ученых выехали работать в зарубежных институтах, где и сейчас продолжают свои исследования автоволн. В частности, [[Ефимов, Игорь Рудольфович|И. Р. Ефимову]] принадлежит разработка теории виртуального электрода<ref group="A:" name="a-Efimov-2004"/>, возникающего при [[Дефибрилляция|дефибрилляции]].

Известны также своими исследованиями автоволн российские ученые [[Заикин, Альберт Николаевич|А. Н. Заикин]] и [[Шноль, Эммануил Эльевич|Э. Э. Шноль]] (автоволны и [[бифуркационная память]] в системе свёртывания крови)<ref group="A:" name="a-Fazli-2002ufn_ru"/><ref group="A:" name="a-Fazli-2007ufn_ru"/>; [[Лоскутов, Александр Юрьевич|А. Ю. Лоскутов]] (общая автоволновая теория, а также динамический хаос в автоволнах)<ref group="B:" name="b-Loskutov-1990"/>; В. Г. Яхно (общая автоволновая теория, а также автоволны и процесс мышления)<ref group="A:" name="a-Yakhno-1979"/>; [[Агладзе, Константин Игоревич|К. И. Агладзе]] (автоволны в химических средах)<ref group="A:" name="a-Agladze-1982"/><ref group="A:" name="a-Agladze-1984"/>; В. В. Бикташев (общая автоволновая теория, а также разные виды дрейфа автоволновых ревербераторов)<ref group="A:" name="a-Biktashev-1994"/><ref group="A:" name="a-Biktashev-1995"/>; О. А. Морнев (общая автоволновая теория)<ref group="A:" name="a-Mornev-1997"/><ref group="A:" name="a-Mornev-2004"/>; М. А. Цыганов (роль автоволн в популяционной динамике)<ref group="A:" name="a-Tsyganov-1993"/>; Ю. Е. Елькин, А. В. Москаленко ([[бифуркационная память]] в модели миокарда)<ref group="A:" name="a-Elkin-2007ru"/><ref group="A:" name="a-Moskalenko-2009"/>.

Из иностранных исследователей огромная роль принадлежит [[Нобл, Денис|Денису Ноблу]] и сотрудникам его команды [[Оксфордский университет|Оксфордского университета]] в развитии и исследовании автоволновых моделей различных типов миокарда.

=== Основные определения ===
Одно из первых определений автоволн выглядело следующим образом: {{цитата|Под автоволнами принято сейчас понимать самоподдерживающийся волновой процесс в неравновесной среде, остающийся неизменным при достаточно малых изменениях как начальных, так и граничных условий. (...) Математическим аппаратом для описания автоволн чаще всего служат уравнения диффузионного типа с активной нелинейностью. |автор=<ref group="B:" name="b-Gorky-1981"/>}}

В отличие от линейных волн — звуковых, электромагнитных и других, свойственных консервативным системам и математически описываемых при помощи линейных [[Гиперболическое уравнение|гиперболических уравнений]] второго порядка ([[Волновое уравнение|волновыми уравнениями]]), — динамика ''автоволны'' в терминах дифференциальных уравнений может быть описана [[Параболическое уравнение|параболическими уравнениями]] второго порядка ''с нелинейным свободным членом специального вида''. Конкретный вид свободного члена <math>\vec{f}(\vec{u})</math> чрезвычайно играет важную роль, потому что: {{цитата|все волновые процессы порождаются динамикой нелинейной точечной системы <math>\dot{\vec{u}} = \vec{f}(\vec{u})</math>, которая является автоколебательной или потенциально автоколебательной. |автор=<ref group="B:" name="b-Gorky-1981"/>}}

Обычно <math>f</math> имеет <math>N</math>-образную зависимость от <math>u</math>. В этом смысле система уравнений, известная как модель Алиева-Панфилова<ref group="A:" name="a-Aliev-1996"/>, представляет собой весьма экзотический пример: <math>f(u)</math> имеет в ней весьма сложный вид двух пересекающихся парабол, к тому же ещё и пересекаемых двумя прямыми, что приводит к ещё более выраженным нелинейным свойствам этой модели.

''Автоволна'' является примером самоподдерживающегося волнового процесса в протяжённых нелинейных системах, содержащих распределенные источники энергии. Для простых автоволн период, [[длина волны]], скорость распространения, [[амплитуда]] и другие характеристики автоволны определяются исключительно локальными свойствами среды. Однако в 21-м веке исследователи стали обнаруживать всё большее число примеров автоволновых решений, когда этот «классический» принцип нарушается (см. также общие сведения в литературе, — например, в<ref group="B:" name="b-Krinsky-1984"/><ref group="B:" name="b-Yahno-1987"/><ref group="B:" name="b-SE_v01-1988"/><ref group="B:" name="b-Loskutov-1990"/><ref group="B:" name="b-Loskutov-1995"/><ref group="A:" name="a-Elkin-2006"/><ref group="A:" name="a-Elkin-2007ru"/><ref group="A:" name="a-Moskalenko-2009"/><ref group="A:" name="a-Fazli-2002ufn_ru"/><ref group="A:" name="a-Fazli-2007ufn_ru"/>).

=== Простейшие примеры ===
[[Файл:Travelling wave for Fisher equation.svg|thumb|right|Решение уравнения Фишера в виде фронта волны переключения (см. подробности в статье «[[Реакционно-диффузная модель|Системы реакционно-диффузионного типа]]»).]]
Простейшая повседневная модель автоволны — ряд костяшек домино, которые последовательно падают, если уронить крайнюю ([[принцип домино]]). Это пример ''волны переключения''.

В качестве ещё одного примера автоволны, представьте себе, что вы встали на поле и поджигаете траву. Пока температура ниже порогового значения, трава не загорается. При достижении ''порогового значения'' температуры (температуры воспламенения) трава начинается процесс [[горение|горения]], с выделением при этом [[теплота|теплоты]], достаточной для воспламенения соседних участков. В результате образуется фронт огня, который бежит по полю. При этом говорят, что возникла автоволна, — один из результатов самоорганизации в [[Неравновесная открытая система|термодинамически активных неравновесных системах]]. Через какое-то время на месте сгоревшей травы вырастает новая, и занятая травой территория снова приобретает способность воспламеняться.

Кроме движения фронта горения к автоволновым процессам относятся колебательные [[химические реакции]] в активных средах ([[Реакция Белоусова — Жаботинского|реакция Белоусова-Жаботинского]]), распространение импульса возбуждения по нервному волокну, волны химической сигнализации в колониях некоторых микроорганизмов, автоволны в [[сегнетоэлектрики|сегнетоэлектрических]] и [[полупроводники|полупроводниковых]] плёнках, популяционные автоволны, распространение [[эпидемия|эпидемий]] и [[ген]]ов и многие другие явления.

Нервный импульс, служащий типичным примером автоволны в активной среде с восстановлением, изучался Гельмгольцем ещё в 1850 г. Свойства нервного импульса, типичные для простейших автоволновых решений (универсальная форма и амплитуда, не зависящие от начальных условий, и аннигиляция при столкновениях), были установлены в 20-х и 30-х годах XX века.

[[Файл:Action potential.svg|thumb|300px|Схематическое изображение [[Электрофизиология|электрофизиологической]] записи [[Потенциал действия|потенциала действия]], демонстрирующая разные фазы волны возбуждения, проходящей через фиксированную точку [[Мембрана (биология)|клеточной мембраны]].]]
Рассмотрим двумерную активную среду, состоящую из элементов, каждый из которых может находиться в трёх различных состояниях: покое, возбуждении и рефрактерности. При отсутствии внешнего воздействия элемент находится в состоянии покоя. В результате воздействия, когда концентрация активатора достигнет порогового значения, элемент переходит в возбуждённое состояние, приобретая способность возбуждать соседние элементы. Через некоторое время после возбуждения элемент переключается в состояние рефрактерности, находясь в котором он не может быть возбужден. Затем элемент сам возвращается в исходное состояние покоя, снова приобретая способность переходить в возбуждённое состояние. Передний фронт автоволны (переход из покоя в состояние возбуждения) обычно очень мал: к примеру, для ткани сердца отношение длительности фронта ко всему импульсу примерно 1:330.
Волна возбуждения движется по возбудимой среде без затухания, сохраняя постоянной форму и амплитуду. При её прохождении энергетические потери (диссипация) полностью компенсируются за счёт подвода энергии от элементов среды.

Было продемонстрировано<ref group="A:" name="a-Krinsky-1966"/>, что фибрилляцию желудочком можно рассматривать как хаотическое поведение вихрей возбуждения миокарда.
{{цитата|Как мы теперь знаем, в основе фибрилляции лежит возникновение [[Автоволновой ревербератор|ревербераторов]] и их последующее размножение. Потребовалось около 10 лет, чтобы экспериментально подтвердить процесс размножения ревербераторов в миокарде. Это было сделано (с применением методики многоэлектродного картирования) в конце 1970-х годов в целом ряде лабораторий: М.Е. Джозефсоном с коллегами, М.Дж. Янсоном с коллегами, К. Харуми с коллеами и М.А. Алесси с коллегами. |автор=В.&nbsp;Кринский и др.<ref group="B:" name="b-Krinsky-1986ru"/>}}

Уникальные возможности для исследования автоволновых процессов в двух- и трёхмерных активных средах с самой различной кинетикой предоставляют методы математического моделирования с использованием компьютеров. Для компьютерного моделирования автоволн используют обобщённую модель Винера-Розенблюта, ''''а также большое число иных моделей'''', среди которых особое место занимают модели ФитцХью-Нагумо (простейшая модель активной среды и различные её варианты) и модель Ходжкина-Хаксли (нервного импульса). Также существует множество автоволновых моделей миокарда: модель Биллера-Рейтера, несколько моделей Нобла (разработанных [[Нобл, Денис|Денисом Ноблом]]), модель Алиева-Панфилова, модель Фентона-Кармы и др.
<!--

 текст ниже ещё толком не редактировался  2013/03/24 - [[User:Andy Quarry|Andy Quarry]]  -->

=== Основные свойства автоволн ===
Было также доказано<ref group="A:" name="a-Kokoz-1973"/>, что простейшие автоволновые режимы должны быть свойственны всем активным средам, поскольку систему [[дифференциальные уравнения|дифференциальных уравнений]] любой сложности, описывающую ту или иную активную среду, можно упростить до двух уравнений.

== Основные известные автоволновые объекты ==
Прежде всего элементы активной среды могут находиться, по крайней мере, в трёх очень разных состояниях, а именно: ''[[Автоколебания|автоколебательный режим]]'', ''[[:en:Excitable medium|возбудимый режим]]'' и ''[[Триггер|режим триггера]]'' (или ''бистабильный режим'').<ref group="B:" name="b-Gorky-1981"/><ref group="A:" name="a-Elkin-2006"/>. Соответственно, существует три типа составленных из таких элементов однородных активных сред.

Бистабильный элемент обладает двумя устойчивыми стационарными состояниями, переходы между которыми происходят при внешнем воздействии, превышающем некоторый порог. В средах из таких элементов возникают ''волны переключения'' из одного состояния в другое. Например, классическим примером автоволны переключения, — пожалуй, самого простого автоволнового явления, — является падающее домино (пример уже приводимый выше). Другим простейшим примером бистабильной среды является горящая бумага: по ней в виде пламени распространяется волна переключения бумаги из нормального состояния в её золу.

Возбудимый элемент имеет только одно устойчивое стационарное состояние. Внешнее воздействие, превышающее пороговый уровень, способно вывести элемент из устойчивого состояния и заставить его совершить некоторую эволюцию, прежде чем он вновь вернется в это состояние. Во время переходов, активный элемент способен повлиять на связанные с ним элементы и в свою очередь вывести их из стационарного состояния. В результате, в такой среде распространяется волна возбуждения. Это наиболее распространённый вид автоволн в биологических средах, таких как нервная ткань, или сердечная мышца.


Автоколебательный элемент не имеет стационарных состояний и постоянно совершает устойчивые автоколебания определённой формы, амплитуды и частоты. Внешнее воздействие способно возмутить эти колебания. По прошествии некоторого времени релаксации, все их характеристики кроме фазы вернутся к своему устойчивому значению, но фаза может измениться. В итоге, в среде из таких элементов распространяются фазовые волны. Это, например, волны в электрогирлянде и некоторых химических средах. Примером автоколебательной среды является [[синусовый узел]] [[Сердце|сердца]], в котором спонтанно возникают импульсы возбуждения.

Из [[Фазовая плоскость|фазового портрета]] базовой системы уравнений, описывающей активную среду, хорошо видно (см. рис.), что существенное различие между этими тремя типами поведения среды вызвано количеством и положением особых точек. Форма же наблюдаемых в реальности автоволн может быть весьма схожей, и по форме импульса возбуждения определить тип элемента может быть затруднительно.

Естественно, возможно существование и комбинированных активных сред, которые составлены из разных типов элементов. Одним из примеров высокоорганизованной комбинированной активной среды как раз и является [[Сердце человека|сердце]].

Кроме того, то, какие автоволновые явления возможно наблюдать и исследовать, зависит в значительной степени от геометрических и топологических особенностей конкретной активной среды.

=== Пейсмекеры ===
Автоколебательный режим активной среды часто называют ещё ''пейсмекерным'', а сам участок активной среды именуют, соответственно, ''пейсмекером''.
{{начало цитаты}}
ПЕЙСМЕКЕР
({{Lang-en|pacemaker}}, [[буквально|букв.]] «задающий темп»), ритмоводитель, колебатель, специализир. клетки, способные генерировать и поддерживать колебания, к-рые передаются по проводящим путям и вовлекают др. клетки в биол. ритмы.
{{конец цитаты|источник=<small>{{книга |заглавие=Биологический энциклопедический словарь |ответственный=гл. ред. М.С.&nbsp;Гиляров; редкол.: А.А.&nbsp;Бабаев, Г.Г.&nbsp;Винберг, Г.А.&nbsp;Заварзин и др |издание={{s|2-е изд., исправл}} |место=М. |издательство=[[Советская Энциклопедия|Сов.&nbsp;Энциклопедия]] |год=1986}}</small>}}

Ещё в 1970-х годах были начаты исследования, нацеленные на управление отдельными группами нейронов, и в частности на изучение способов перевода отдельных нейронов в режим пейсмекеров. Тогда же уже были достигнуты определённые успехи в решении намеченной задачи.
{{начало цитаты}}
Исследования, проведённые школой Е.Н.&nbsp;Соколова, убедительно показывают, что запуск пейсмекерных потенциалов действия может осуществляться некоторым эндогенным механизмом, генерирующим подпороговый пейсмекерный потенциал и независимым от основного механизма генерации импульсов типа [[Модель Ходжкина — Хаксли|Ходжкина-Хаксли]]. В качестве первой модели такого механизма (до необходимых уточнений) можно взять модель Молчанова-Селькова, имеющую полный набор возможных периодов колебаний, зависящих от одного параметра <math>\beta</math>:<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>{\partial \xi \over \partial t} = \beta - \xi\eta^2</math>;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>{\partial \eta \over \partial t} =  \xi\eta^2 - \xi</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(6)<br>
Здесь <math>\beta</math> — поток «субстрата»,<br><math>\xi</math> — основная переменная биохимической реакции,<br><math>\eta</math> — «продукт».<br>
Независимость двух механизмов активности нейрона мы понимаем в том смысле, что переменные этих механизмов независимы и воздействуют на параметры другой системы. <br>
(...)<br>
Эндогенный механизм типа (6) может менять параметры основного механизма, запуская режим пейсмекерной активности (РПА), либо, что гораздо тоньше, может уменьшать величину порога. Это создаёт возможность резонансного РПА '''при подпороговых значениях запускающего механизма'''. В частности, основой такого резонанса может служить эффект уменьшения порога на выходе из гиперполяризации, если в этой фазе происходит повышение порогового пейсмекерного потенциала. Природа могла воспользоваться этой возможностью и эволюционно отобрать эндогенный механизм (6) '''с нужным периодом'''.{{конец цитаты|источник=<small>Э.А.Лямин, стр. 3-27<ref group="B:" name="b-Kriukov-1975"/></small>}}

Уже из этого короткого процитированного отрывка хорошо видно, что ещё в биофизических исследованиях 1970-х годов были выявлены принципы, которые могут быть положены в основу работы [[Психотронное оружие|психотронного оружия]].

=== Одномерные автоволны ===
К одномерным автоволнам относят случаи их распространение по кабелю и распространение в кольце, причём последний режим рассматривается как предельный случай вращающейся волны в двумерной активной среде, а первый — как распространение в кольце с нулевой кривизной (то есть с бесконечно большим радиусом).

=== Двумерные автоволны ===
{{дополнить раздел|дата=2014-03-26}}


Известен целый ряд источников автоволн в двумерной активной среде. Так для реентри<ref group = "прим." name="P001"/>, известного ещё с 19-го века механизма [[Аритмия|аритмий сердца]], теперь различают как минимум четыре типа источников: ''бег по кольцу'', ''спиральная волна'', ''ревербератор'' (''двумерный автоволновой вихрь'') и ''фибрилляция'' как хаотическое поведение множества ревербераторов. В литературе называют два типа источников ''концентрических автоволн'' в 2D активных средах: ''пейсмейкеры'' и ''ведущие центры''. Ведущие центры и ревербераторы интересны тем, что они не привязаны к структуре среды и могут возникать и исчезать в разных её местах. Также источниками автоволн могут быть зоны повышенного автоматизма: 1) ''вызванная автоматия'', а также 2) ''триггерная автоматия по механизму ранней постдеполяризации'' и 3) ''триггерная автоматия по механизму поздней постдеполяризации''.<ref group="B:" name="b-Ardashev-2009p06"/>

Ещё о 2D<ref group="A:" name="a-Winfree-1991"/><ref group="A:" name="a-Biktashev-1995"/>

См. подробнее [[Вращающаяся автоволна|вращающиеся автоволны]]: [[Спиральная автоволна]] и [[Автоволновой ревербератор]].

=== Трёхмерные автоволны ===

Ещё более сложные типы ре-ентри возникают в трехмерном пространстве. Прямым обобщением спиральной волны на трехмерное пространство является ''простой свиток'', у которого вращение происходит вокруг некоторой прямой линии, называемой ''нитью''<ref group="A:" name="a-Biktashev-1994"/>.

Кроме того, нить свитка может быть произвольно искривлена или даже замкнута (в последнем случае свиток превращается в ''автоволновой тор'').

Вдоль нити может меняться фаза вращения свитка, и в этом случае свиток называют ''скрученным свитком''. Некоторые авторы (например, Елькин<ref group="A:" name="a-Elkin-2006"/> со ссылкой на классические работы Артура Винфри<ref group="A:" name="a-Winfree-1983a"/><ref group="A:" name="a-Winfree-1983b"/><ref group="A:" name="a-Winfree-1983c"/><ref group="A:" name="a-Winfree-1984a"/>) указывают, что, несмотря на значительно большее разнообразие трехмерных автоволновых режимов в сравнении с двумерным случаем, «''существуют определенные топологические ограничения, значительно сокращающие разнообразие трехмерных автоволновых структур, — например, не может существовать одиночный скрученный кольцевой свиток''»; в этом случае, по утверждению Баркли и соавт.<ref group="A:" name="a-Barkley-2001"/>, с точки зрения топологии должна быть ещё одна нить, проходящая через центр такого скрученного тора (англ.: twisted scroll ring).

Отметим ещё раз, что описанные здесь автоволновые явления являются не только математическими феноменами, но наблюдались в многочисленных натурных экспериментах с активными средами различной природы, в том числе в реакционно-диффузионных химических системах, в сердечной ткани<ref group="A:" name="a-Keener-1988"/><ref group="A:" name="a-Biktashev-1994"/>.

== Примеры автоволновых процессов в природе ==

=== Автоволновой режим кипения ===
{{пустой раздел|дата=2014-03-26}}

=== Автоволны в химических растворах ===
{{дополнить раздел|дата=2014-03-26}}


Примером химической реакции, в которой при некоторых условиях могут возникать автоволны, является реакция [[Реакция Белоусова — Жаботинского|Белоусова—Жаботинского]]<ref group="A:" name="a-Zaikin-1970"/><ref group="A:" name="a-Zhabotinsky-1973"/><ref group="B:" name="b-Zhabotinsky-1974"/><ref group="B:" name="b-Burger-1988"/><ref group="B:" name="b-Vanag-2008"/>.

Волны в химических системах можно классифицировать по их принадлежности к группам триггерных или фазовых волн.

Термин «триггерные волны» подразумевает, что они являются волнами переключения между двумя состояниями системы, причем конечное состояние системы после прохождения волны может совпадать с её исходным состоянием (двойное переключение). Триггерные волны могут возникать как в колебательной среде, так и в среде с устойчивым стационарным состоянием, но при условии её возбудимости.

Фазовые волны по определению связаны с перемещениями в пространстве фазы колебаний, происходящих в каждой точке пространства, а значит могут существовать только в колебательной системе. Фазовые волны могут быть как высоко-, так и низкоамплитудными и иметь практически любую скорость. В случае волновых пакетов (или пакетных волн), являющихся специфическим случаем фазовых волн, амплитуда колебаний мала и эти волны имеют синусоидальный вид, а их скорость определяется групповой и фазовой скоростями.

Для классификации волн можно также обратиться к их различиям в геометрических формах и выделить плоские, концентрические и спиральные волны. Как триггерные, так и фазовые волны могут быть спиральными и в виде окружностей с четко выраженным центром («пейсмекеры» или «мишени»). Если учесть направление движения волн (к центру или от центра), то спиральные и концентрические волны могут быть как «нормальными», движущимися от центра, так и «антиспиралями» и «антипейсмекерами», то есть волнами движущимися к центру. Известны только фазовые волны, которые могут двигаться к центру возмущения (в этом случае фундаментальный принцип причинности не нарушается). Пакетные волны после многочисленных отражений от стенок могут преобразовываться в стоячие волны, аналогичные, например, механическим стоячим волнам при колебаниях струн и акустическим (или электромагнитным) стоячим волнам<ref group="A:" name="a-Vanag-2004"/>.

=== Автоволны локализации деформации ===
{{пустой раздел|дата=2021-12-20}}

=== Автоволновые модели биологических тканей ===

==== Автоволновые модели сетчатки глаза ====
{{пустой раздел|дата=2014-03-26}}

==== Автоволновые модели нервного волокна ====
Основная статья находится на странице «[[Модель Ходжкина — Хаксли]]»

==== Автоволновые модели миокарда ====
{{дополнить раздел|дата=2014-03-26}}
Классическая модель Винера-Розенблюта<ref group="A:" name="a-Wiener-1946ru"/>. Разработана, соответственно, [[Винер, Норберт|Норбертом Винером]] и {{не переведено 4|Розенблют, Артур|Артуром Розенблютом|en|Rosenblueth}}.

Другие примеры: модель ФитцХью-Нагумо, модель Билера-Рейтера и несколько других<ref group="A:" name="a-Winfree-1991"/><ref group="A:" name="a-Efimov-1995"/>.

==== Автоволны в системе свёртывания крови ====
{{дополнить раздел|дата=2014-03-26}}
См. список Литературы<ref group="A:" name="a-Fazli-2002ufn_ru"/><ref group="A:" name="a-Fazli-2007ufn_ru"/>.

=== Популяционные автоволны ===
{{дополнить раздел|дата=2014-03-26}}

{{цитата|Коллективные амёбы [[Dictyostelium discoideum]] при наличие достаточного питания живут в виде [[одноклеточный организм|одноклеточных организмов]]. Однако при голодании они сползаются и образуют [[многоклеточный организм]], который впоследствии даёт [[споры]], способные пережить неблагоприятные условия. Установлено, что движение амёб управляется распределением по среде некоторого вещества — ''морфогена'' цАМФ. Клетки амёб синтезируют и накапливают в себе молекулы цАМФ и способны «высвободить» его запас в окружающую среду, если концентрация цАМФ в ней повысилась. Освободившееся количество цАМФ распространяется за счёт диффузии по среде и заставляет следующие клетки амёб «сработать», выбросив свою порцию морфогена. В результате по среде распространяется автоволна — повышенная концентрация цАМФ. После прохождения волны «разрядившиеся» клетки начинают вновь накапливать за счёт синтеза определённую порцию цАМФ и по прошествии некоторого времени способны «срабатывать» вновь. Таким образом, популяция ''коллективных амёб'' служит типичным примером активной среды. |автор=В.Е.&nbsp;Кринский, А.ВС.&nbsp;Михайлов, 1984<ref group="B:" name="b-Krinsky-1984"/>}}

== См. также ==
{{Div col}}
* [[Дифференциальное уравнение в частных производных]]
* [[Автоколебание]]
* [[Активная среда]]
* [[Самоорганизация]]
* [[Волна]]
* [[Нелинейная волна]]
* [[Стоячая волна]]
* [[Резонанс]]
* [[Фазовая скорость]]
{{Div col end}}

== Примечания ==
{{примечания
| group = "прим."
| refs  = 
<ref name="P001">Слово заимствованное; англоязычное написание: re-entry. В русскоязычной литературе широко встречаются несколько вариантов его передачи кириллицей: реентри, риентри, ри-энтри.</ref>
<ref name="P002">Термин «автоволны» введён  в 1970-х годах{{уточнить}} советской школой физиков и биофизиков, занимающихся изучением нелинейных волновых процессов, и с тех пор широко используется в русскоязычной научной литературе. В иностранной научной литературе соответствующее заимствование  из русского языка (''autowaves'') встречается редко. Например, см.:
* {{статья
 |автор         = {{nobr|[[Жаботинский, Анатолий Маркович|Zhabotinsky A. M.]]}}, {{nobr|A. N. Zaikin}}
|заглавие      = Autowave processes in a distributed chemical system
|ссылка        = http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022519373901641
|язык          = en
|издание       ={{Нп3|Journal of Theoretical Biology}}
|тип           = журнал
|год           = 1973
|том           = 40
|номер         = 1
|страницы      = 45—56
|issn          = 0022-5193
|doi           = 10.1016/0022-5193(73)90164-1
|издательство= [[Elsevier]]
}}
* {{статья
 |автор         = {{nobr|Georgii B Manelis}} {{nobr|et al}}
 |заглавие      = Autowave processes in the filtration combustion in counterflow systems 
 |ссылка        = http://iopscience.iop.org/0036-021X/81/9/R04
 |язык          = en
 |издание       = Russian Chemical Reviews 
 |тип           = журнал
 |год           = 2012 
 |том           = 81 
 |номер         = 9
 |страницы      = 855—
 |issn          = 1468-4837
 |doi = 10.1070/RC2012v081n09ABEH004279
}}
Дан он и в словарях; например, {{книга|заглавие=Универсальный англо-русский словарь|часть=autowave|год=2011|автор=Академик.ру|язык=ru}}.
</ref>
<ref name="P003">Например, Почётный гражданин Нижнего Новгорода и Заслуженный деятель науки и техники РСФСР [[Грехова, Мария Тихоновна|М.Т.Грехова]] была ответственный редактором сборника «Автоволновые процессы в системах с диффузией» 1981 г. — см. список литературы</ref>

<!-- ref name="P00?"> </ref -->
}}

== Литература ==
* Книги
{{примечания
| group="B:"
| refs  = 
<ref name="b-Gorky-1981">{{книга
 |автор       = 
 |заглавие    = Автоволновые процессы в системах с диффузией
 |ссылка      = 
 |ответственный = Под ред. {{nobr|[[Грехова, Мария Тихоновна|М. Т. Грехова]]}} (отв. редактор), и др.
 |место       = Горький
 |издательство  = Институт прикладной физики АН СССР
 |год         = 1981
 |страниц     = 287
 |isbn        = 
 |тираж       = 1000
}}</ref>
<ref name="b-Ardashev-2009p06">{{книга
 |автор         = {{nobr|Елькин Ю.Е.}}, {{nobr|Москаленко А.В.}}
 |часть         = Базовые механизмы аритмий сердца
 |ссылка часть  = http://books.a-v-m.ru/lRu/y2009a/index.htm
 |заглавие      = Клиническая аритмология
 |ссылка        = http://ardashev-arrhythmia.ru/publications/books/klinicheskaya-aritmologiya/
 |ответственный = Под ред. проф. [http://ardashev-arrhythmia.ru А. В. Ардашева]
 |место         = М.
 |издательство  = МЕДПРАКТИКА-М
 |год           = 2009
 |страниц       = 1220
 |isbn          = 978-5-98803-198-7
 |archivedate   = 2013-10-29
 |archiveurl    = https://web.archive.org/web/20131029212446/http://ardashev-arrhythmia.ru/publications/books/klinicheskaya-aritmologiya/
}}</ref>
<ref name="b-Zhabotinsky-1974">{{книга
 |автор         = {{nobr|[[Жаботинский, Анатолий Маркович|Жаботинский А. М.]]}}
 |заглавие      = Концентрационные автоколебания
 |ссылка        = 
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 1974
 |страниц       = ???
}}</ref>
<ref name="b-Burger-1988">{{книга
 |автор         = 
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Колебания и бегущие волны в химических системах
 |оригинал      = Oscillations and traveling waves in chemical systems
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = Ред. Р.Филд и М. Бургер
 |издание       = 
 |место         = М.
 |издательство  = Мир
 |год           = 1988 
 |том           = 
 |страницы      = 
 |страниц       = 
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
<!-- Ed. by R.J.Field and M.Burger. 1985 by John Wiley and Sons, Inc. (Engl) -->
}}</ref>
<ref name="b-Yahno-1987">{{книга
 |автор         = {{nobr|Васильев В. А.}}, {{nobr|Романовский Ю. М.}}, {{nobr|Яхно В. Г.}}  
 |заглавие      = Автоволновые процессы
 |ссылка        = 
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 1987
 |страниц       = 240 
}}</ref>
<ref name="b-Krinsky-1984">{{книга
 |автор         = {{nobr|[[Кринский, Валентин Израилевич|Кринский В. И.]]}}, {{nobr|[[Михайлов, Александр Сергеевич (математик)|Михайлов А. С.]]}}
 |заглавие      = Автоволны
 |место         = М.
 |издательство  = Знание
 |год           = 1984
 |страниц       = 64
 |isbn          = 
}}</ref>
<ref name="b-Krinsky-1986ru">{{книга
 |автор         = {{nobr|Кринский В. И.}}, {{nobr|Медвинский А. Б.}}, {{nobr|Панфилов А. В.}}
 |заглавие      = Эволюция автоволновых вихрей (волны в сердце)
 |ссылка        = 
 |ответственный = гл. отраслевой ред. Л.А.Ерлыкин
 |язык          = ru
 |место         = Москва
 |издательство  = Знание
 |год           = 1986
 |серия = Математика/Кибернетика
}}</ref>
<ref name="b-Loskutov-1990">{{книга
 |автор         = {{nobr|[[Лоскутов, Александр Юрьевич|Лоскутов А. Ю.]]}}, {{nobr|[[Михайлов, Александр Сергеевич (математик)|Михайлов А. С.]]}}  
 |заглавие      = Введение в синергетику: Учеб. руководство
 |ссылка        = 
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 1990
 |страниц       = 272 
}}</ref>
<ref name="b-Loskutov-1995">{{книга
|заглавие=Foundation of Synergetics II. Complex Patterns
|место=Berlin
|издательство=Springer
|год=1995
|страницы=210
|язык=en
|автор=Loskutov, A.; Mikhailov, A.S.
}}</ref>
<ref name="b-Kriukov-1975">{{книга
 |автор         =  
 |заглавие      = Моделирование возбудимых структур
 |ссылка        = 
 |ответственный = Отв. ред. {{nobr|В.И. Крюков}}
 |место         = Пущино
 |издательство  = ОНТИ НЦБИ АН СССР
 |год           = 1975
 |страниц       = 243
 |language  = ru
 |тираж       = 500
}}</ref>
<ref name="b-SE_v01-1988">{{книга
 |автор         =  
 |заглавие      = Физическая энциклопедия
 |ссылка        = 
 |ответственный = Под ред. {{nobr|А. М. Прохорова}}
 |место         = М.
 |издательство  = Советская энциклопедия
 |год           = 1988
 |том           = 1
 |страниц       = 704
}}</ref>
<ref name="b-Vanag-2008">{{книга
 |автор = {{nobr|Ванаг В. К.}}
 |заглавие      = Диссипативные структуры в реакционно-диффузионных системах. Эксперимент и теория
 |ссылка        = 
 |ответственный = 
 |место         = М. — Ижевск
 |издательство  = [http://shop.rcd.ru/ RCD]
 |год           = 2008
 |том           = 
 |страниц       = 300
 |isbn          = 978-5-93972-658-0
}}</ref>
<-- ref name="b-a-2009">a-2009…</ref -->
}}

* Статьи
{{примечания
| group="A:"
| refs  = 
<ref name="a-Agladze-1982">{{статья
 |автор         = {{nobr|Agladze K. I.}}, {{nobr|Krinsky V. I.}}
 |заглавие      = Multi-armed Vortices in an Active Chemical Medium
 |ссылка        = 
 |язык          = en
 |издание       = Nature
 |тип           = журнал
 |год           = 1982
 |том           = 296
 |номер         = 
 |страницы      = 424—426
 |doi           = 
 |issn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Agladze-1984">{{статья
 |автор         = {{nobr|Agladze K. I.}}, {{nobr|Krinsky V. I.}}, {{nobr|Pertsov A. M.}}
 |заглавие      = Chaos in the Non- Stirred Belousov-Zhabotinskii Reaction is Induced by Interaction of Waves and Stationary Dissipative Structures
 |ссылка        = 
 |язык          = en
 |издание       = Nature
 |тип           = журнал
 |год           = 1984
 |том           = 308
 |номер         = 
 |страницы      = 834—835
 |doi           = 
 |issn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Aliev-1996">{{статья
 |автор         = {{nobr|Aliev R.}}, {{nobr|Panfilov A.}} 
 |заглавие      = A simple two-variable model of cardiac excitation
 |ссылка        = 
 |язык          = 
 |издание       = Chaos, Solutions & Fractals
 |тип           = журнал
 |год           = 1996
 |том           = 7
 |номер         = 3
 |страницы      = 293—301
 |doi           = 
 |issn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Fazli-2002ufn_ru">{{статья
 |автор        = {{nobr|Атауллаханов Ф. И.}}, {{nobr|Зарницына В. И.}}, {{nobr|Кондратович А. Ю.}}, {{nobr|Лобанова Е. С.}}, {{nobr|Сарбаш В. И.}}
 |заглавие     = Особый класс автоволн — автоволны с остановкой — определяет пространственную динамику свертывания крови
 |ссылка       = http://ufn.ru/ru/articles/2002/6/c/
 |язык         = ru
 |издание      = [[Успехи физических наук]]
 |тип          = журнал
 |год          = 2002
 |том          = 172
 |номер        = 6
 |страницы     = 27—690
 |doi          = 10.3367/UFNr.0172.200206c.0671
 |issn         = 0042-1294
 |издательство = [[Физический институт имени П. Н. Лебедева РАН|Российская академия наук]]
 |archivedate  = 2013-09-14
 |archiveurl   = https://web.archive.org/web/20130914032048/http://ufn.ru/ru/articles/2002/6/c/
}}</ref>
<ref name="a-Fazli-2007ufn_ru">{{статья
 |автор        = {{nobr|Атауллаханов Ф. И.}}, {{nobr|Лобанова Е. С.}}, {{nobr|Морозова О. Л.}}, {{nobr|[[Шноль, Эммануил Эльевич|Шноль Э. Э.]]}}, {{nobr|Ермакова Е. А.}}, {{nobr|Бутылин А. А.}}, {{nobr|Заикин А. Н.}},
 |заглавие     = Сложные режимы распространения возбуждения и самоорганизации в модели свертывания крови
 |ссылка       = http://ufn.ru/ru/articles/2007/1/d/
 |язык         = ru
 |издание      = [[Успехи физических наук]]
 |тип          = журнал
 |год          = 2007
 |том          = 177
 |номер        = 1
 |страницы     = 87—104
 |doi          = 10.3367/UFNr.0177.200701d.0087
 |issn         = 0042-1294
 |издательство = [[Физический институт имени П. Н. Лебедева РАН|Российская академия наук]]
 |archivedate  = 2016-06-11
 |archiveurl   = https://web.archive.org/web/20160611125658/http://ufn.ru/ru/articles/2007/1/d/
}}</ref>
<ref name="a-Biktashev-1994">{{статья
 |автор         = {{nobr|Biktashev V. N.}}, {{nobr|Holden A. V.}}, {{nobr|Zhang H.}}, 
 |заглавие      = Tension of organizing filaments of scroll waves
 |ссылка        = 
 |язык          = 
 |издание       = Phyl. Trans. Roy. Soc. London, ser A
 |тип           = журнал
 |год           = 1994
 |том           = 347
 |номер         = 
 |страницы      = 611—630
 |doi           = 
 |issn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Biktashev-1995">{{статья
 |автор         = {{nobr|Biktashev V. N.}}, {{nobr|Holden A. V.}}
 |заглавие      = Resonant drift of autowave vorteces in two dimensions and the effect of boundaries and inhomogeneities
 |ссылка        = 
 |язык          = 
 |издание       = Chaos Solitons & Fractals
 |тип           = журнал
 |год           = 1995
 |том           = 
 |номер         = 
 |страницы      = 575—622
 |doi           = 
 |issn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Wiener-1946ru">{{книга
 |автор         = {{nobr|[[Винер, Норберт|Винер Н.]]}}, {{nobr|[[Розенблют, Артур|Розенблют А.]]}}
 |часть         = Математическая формулировка проблемы проведения импульсов в сети связанных возбуждённых элементов, в частности в сердечной мышце
 |ссылка часть  = http://grachev62.narod.ru/wiener/cardiac_muscle.html
 |заглавие      = Кибернетический сборник. Вып. 3
 |место         = М.
 |издательство  = Иностранная литература
 |год           = 1961
 |страницы      = 7—56
 |страниц       = 
 |isbn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Efimov-1995">{{статья
 |автор         = {{nobr|Efimov I. R.}}, {{nobr|Krinsky V. I.}}, {{nobr|Jalife J.}}
 |заглавие      = Dynamics of rotating vortices in the Beeler-Reuter model of cardiac tissue
 |ссылка        = Chaos, Solitons & Fractals
 |язык          = 
 |издание       = 
 |тип           = журнал
 |год           = 1995
 |том           = 5
 |номер         = 3/4
 |страницы      = 513—526
 |doi           = 
 |issn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Efimov-2004">{{статья
<!--  -->
 |автор         = {{nobr|Sambelashvili A. T.}}, {{nobr|Nikolski V. P.}}, {{nobr|Efimov I. R.}}
 |заглавие      = Virtual electrode theory explains pacing threshold increase caused by cardiac tissue damage
 |ссылка        = http://ajpheart.physiology.org/content/286/6/H2183.full
 |язык          = en
 |издание       = Am J Physiol Heart Circ Physiol
 |тип           = журнал
 |год           = 2004
 |том           = 286 
 |номер         = 6
 |страницы      = H2183—H2194
 |doi           = 10.1152/ajpheart.00637.2003
 |issn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Elkin-2006">{{статья
 |автор         = {{nobr|Елькин Ю. Е.}} 
 |заглавие      = Автоволновые процессы 
 |ссылка        = http://mi.mathnet.ru/rus/mbb/v1/i1/p27
 |язык          = 
 |издание       = Математическая биология и биоинформатика
 |тип           = журнал
 |год           = 2006
 |том           = 1
 |номер         = 1
 |страницы      = 27—40
 |doi           = 
 |issn          = 1994-6538
}}</ref>
<ref name="a-Elkin-2007ru">{{статья
 |автор         = {{nobr|Елькин Ю. Е.}}, {{nobr|Москаленко А. В.}}, {{nobr|Стармер Ч. Ф.}}
 |заглавие      = Спонтанная остановка дрейфа спиральной волны в однородной возбудимой среде 
 |ссылка        = http://mi.mathnet.ru/rus/mbb/v2/i1/p73
 |язык          = 
 |издание       = Математическая биология и биоинформатика
 |тип           = журнал
 |год           = 2007
 |том           = 2
 |номер         = 1
 |страницы      = 73—81
 |doi           = 
 |issn          = 1994-6538
}}</ref>
<ref name="a-Kokoz-1973">{{статья
 |автор         = {{nobr|[[Кринский, Валентин Израилевич|Кринский В. И.]]}}, {{nobr|Кокоз Ю. М.}}
 |заглавие      = Анализ уравнений возбудимых мембран III. Мембрана волокна Пуркинье. Сведение уравнения Нобла к системе второго порядка. Анализ аномалии нуль-изоклин 
 |ссылка        = 
 |язык          = 
 |издание       = Биофизика
 |тип           = журнал
 |год           = 1973
 |том           = 18
 |номер         = 6
 |страницы      = 1067—1073
 |doi           = 
 |issn          = 0006-3029
}}</ref>
<ref name="a-Keener-1988">{{статья
 |автор         = {{nobr|Keener J. P.}} 
 |заглавие      = The dynamics of 3-dimensional scroll waves in excitable media
 |ссылка        = 
 |язык          = 
 |издание       = Physica D
 |тип           = журнал
 |год           = 1988
 |том           = 31
 |номер         = 2
 |страницы      = 269—276
 |doi           = 
 |issn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Kolmogorov-1937">{{статья
<!-- A. Kolmogorov et al., Moscow Univ. Bull. Math. A 1 (1937): 1 -->
 |автор         = {{nobr|Kolmogorov A.}} {{nobr|et al.}}
 |заглавие      = 
 |ссылка        = 
 |язык          = 
 |издание       = Moscow Univ. Bull. Math. A
 |тип           = журнал
 |год           = 1937
 |том           = 1
 |номер         = 
 |страницы      = 1—
 |doi           = 
 |issn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Krinsky-1966">{{статья
 |автор         = {{nobr|Кринский В. И.}}
 |заглавие      = Распространение возбуждения в неоднородной среде (режимы, аналогичные фибрилляции сердца)
 |ссылка        = 
 |язык          = ru
 |издание       = Биофизика
 |тип           = журнал
 |год           = 1966
 |том           = 11
 |номер         = 4
 |страницы      = 676—?
}}</ref>
<ref name="a-Moskalenko-2009">{{статья
 |автор         = {{nobr|Moskalenko A. V.}}, {{nobr|Elkin Yu. E.}}
 |заглавие      = The lacet: a new type of the spiral wave behavior
 |ссылка        = 
 |язык          = en
 |издание       = Chaos, Solitons and Fractals
 |тип           = журнал
 |год           = 2009
 |том           = 40
 |номер         = 1
 |страницы      = 426—431
 |doi           = 10.1016/j.chaos.2007.07.081
 |issn          = 0960-0779
}}</ref>
<ref name="a-Mornev-1997">{{статья
<!-- Online ISSN 1090-6487 -->
 |автор         = {{nobr|Aslanidi O. V.}}, {{nobr|Mornev O. A.}}
 |заглавие      = Can colliding nerve pulses be reflected?
 |ссылка        = 
 |язык          = 
 |издание       = Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters
 |тип           = журнал
 |год           = 1997
 |том           = 65
 |номер         = 7
 |страницы      = 579—585
 |publisher = Nauka/Interperiodica
 |doi           = 10.1134/1.567398
 |issn          = 0021-3640
}}</ref>
<ref name="a-Mornev-2004">{{статья
<!-- Online ISSN    1090-6487  --> <!-- Translated from Pis’ma v Zhurnal Eksperimental’noi Teoreticheskoi Fiziki, Vol. 80, No. 12, 2004, pp. 850–854. Original Russian Text Copyright © 2004 by Mornev.  -->
 |автор         = {{nobr|Mornev O. A.}} 
 |заглавие      = Refraction of autowaves: Tangent rule
 |ссылка        = 
 |язык          = en
 |издание       = Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters
 |тип           = журнал
 |год           = 2004
 |том           = 80
 |номер         = 12
 |страницы      = 721—724
 |publisher = Nauka/Interperiodica
 |doi           = 10.1134/1.1868793
 |issn          = 0021-3640
}}</ref>
<ref name="a-Tsyganov-1993">{{статья
 |автор         = {{nobr|Agladze K.}}, {{nobr|Budrene L.}}, {{nobr|Ivanitsky G.}}, {{nobr|Krinsky V.}}, {{nobr|Shakhbazyan V.}}, {{nobr|Tsyganov M.}}
 |заглавие      = Wave mechanisms of pattern formation in microbial population
 |ссылка        = 
 |язык          = en
 |издание       = Proc. R. Soc. Lond. B
 |тип           = журнал
 |год           = 1993
 |том           = 253
 |номер         = 
 |страницы      = 131—135
 |doi           = 
 |issn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Winfree-1983a">{{статья
 |автор         = {{nobr|Winfree A.}} 
 |заглавие      = Singular filaments organize chemical waves in three
dimensions: I. Geometrically simple waves
 |ссылка        = 
 |язык          = 
 |издание       = Physica D
 |тип           = журнал
 |год           = 
 |том           = 8
 |номер         = 
 |страницы      = 35—49
 |doi           = 
 |issn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Winfree-1983b">{{статья
 |автор         = {{nobr|Winfree A.}}
 |заглавие      =  Singular filaments organize chemical waves in three
dimensions: II. Twisted waves
 |ссылка        = 
 |язык          = 
 |издание       = Physica D
 |тип           = журнал
 |год           = 
 |том           = 9
 |номер         = 
 |страницы      = 65—80
 |doi           = 
 |issn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Winfree-1983c">{{статья
 |автор         = {{nobr|Winfree A.}} 
 |заглавие      = Singular filaments organize chemical waves in three
dimensions: III. Knotted waves
 |ссылка        = 
 |язык          = 
 |издание       = Physica D
 |тип           = журнал
 |год           = 
 |том           = 9
 |номер         = 
 |страницы      = 333—345
 |doi           = 
 |issn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Winfree-1984a">{{статья
 |автор         = {{nobr|Winfree A.}} 
 |заглавие      = Singular filaments organize chemical waves in three
dimensions: IV. Wave taxonomy
 |ссылка        = 
 |язык          = 
 |издание       = Physica D
 |тип           = журнал
 |год           = 
 |том           = 13
 |номер         = 
 |страницы      = 221—233
 |doi           = 
 |issn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Barkley-2001">{{статья
 |автор       = {{nobr|Mantel R.-M.}}, {{nobr|Barkley D.}}
 |заглавие    = Parametric forcing of scroll-wave patterns in three-dimensional excitable media
 |ссылка      = http://homepages.warwick.ac.uk/~masax/Research/Papers/physd01.pdf
 |язык        = 
 |издание     = Physica D
 |тип         = журнал
 |год         = 2001
 |том         = 149
 |номер       = 
 |страницы    = 107—122
 |doi         = 
 |issn        = 
 |archivedate = 2013-12-25
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20131225204639/http://homepages.warwick.ac.uk/~masax/Research/Papers/physd01.pdf
}}</ref>
<ref name="a-Winfree-1991">{{статья
 |автор         = {{nobr|Winfree A.}} 
 |заглавие      = Varieties of spiral wave behavior: An experimentalist's approach to the theory of excitable media
 |ссылка        = 
 |язык          = 
 |издание       = Chaos 
 |тип           = журнал
 |год           = 1991
 |том           = 1
 |номер         = 3
 |страницы      = 303—334
 |doi           = 
 |issn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Zaikin-1970">{{статья
 |автор         = {{nobr|Zaikin A. N.}}, {{nobr|[[Жаботинский, Анатолий Маркович|Zhabotinsky A. M.]]}}
|заглавие      = Concentration wave propagation in two-dimensional liquid-phase self-oscillating system
|ссылка        =
|язык          =en
|издание       = Nature
|тип           = журнал
|год           = 1970
|том           = 225
|номер         =
|страницы      = 535—537
|doi           =
|issn          =
}}</ref>
<ref name="a-Zeldovich-1938">{{статья
<!-- Y. B. Zeldovich and D. A. Frank-Kamenetsky, Acta Physicochim. 9 (1938): 341 -->
 |автор         = {{nobr|Zeldovich Y. B.}}, {{nobr|Frank-Kamenetsky D. A.}}
 |заглавие      = 
 |ссылка        = 
 |язык          = 
 |издание       = Acta Physicochim.
 |тип           = журнал
 |год           = 1938
 |том           = 9
 |номер         = 
 |страницы      = 341—
 |doi           = 
 |issn          = 
}}</ref>
<ref name="a-Zhabotinsky-1973">{{статья
 |автор         = {{nobr|[[Жаботинский, Анатолий Маркович|Zhabotinsky A. M.]]}}, {{nobr|A. N. Zaikin}}
|заглавие      = Autowave processes in a distributed chemical system
|ссылка        = http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022519373901641
|язык          = en
|издание       ={{Нп3|Journal of Theoretical Biology}}
|тип           = журнал
|год           = 1973
|том           = 40
|номер         = 1
|страницы      = 45—56
|issn          = 0022-5193
|doi           = 10.1016/0022-5193(73)90164-1
|издательство= [[Elsevier]]
}}</ref>
<ref name="a-Yakhno-1979">{{статья
<!-- Васильев В А, Романовский Ю М, Яхно В Г "Автоволновые процессы в распределенных кинетических системах" УФН 128 625–666 (1979) -->
 |автор         = {{nobr|Васильев В А}}, {{nobr|Романовский Ю М}}, {{nobr|Яхно В Г}}
|заглавие      = Автоволновые процессы в распределенных кинетических системах
|ссылка        = http://ufn.ru/ru/articles/1979/8/c/
|язык          =ru
|издание       =[[Успехи физических наук]]
|тип           = журнал
|год           = 1979
|том           = 128
|номер         =
|страницы      = 625—666
|doi        = 10.3367/UFNr.0128.197908c.0625
|issn       =
|издательство= [[Физический институт имени П. Н. Лебедева РАН|Российская академия наук]]
}}</ref>
<ref name="a-Vanag-2004">{{статья
 |автор        = {{nobr|Ванаг В. К.}}
 |заглавие     = Волны и динамические структуры в реакционно-диффузионных системах. Реакция Белоусова-Жаботинского в обращённой микроэмульсии
 |издание      = [[Успехи физических наук]]
 |ссылка       = http://ufn.ru/ru/articles/2004/9/d/
 |язык         = ru
 |тип          = журнал
 |год          = 2004
 |том          = 174
 |номер        = 9
 |страницы     = 992—1010
 |doi          = 10.3367/UFNr.0174.200409d.0991
 |issn         = 
 |издательство = [[Физический институт имени П. Н. Лебедева РАН|Российская академия наук]]
 |archivedate  = 2016-09-20
 |archiveurl   = https://web.archive.org/web/20160920171014/http://ufn.ru/ru/articles/2004/9/d/
}}</ref>
<-- ref name="a-a-2009">a-2009…</ref -->
}}
(Неразобранное)
* {{книга
 |автор         = {{nobr|Заславский Г. М.}}, {{nobr|Сагдеев Р. З.}}  
 |заглавие      = Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса
 |ссылка        = 
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 1988
 |страниц       = 368 
}}

* {{статья|автор={{nobr|Осипов В. В.}}|заглавие=Простейшие автоволны|ссылка=http://journal.issep.rssi.ru/articles/pdf/9907_115.pdf|язык=|издание=Соровский образовательный журнал|тип=журнал|год=????|том=?|номер=?|страницы=??—??|doi=|issn=|deadlink=да|archiveurl=https://web.archive.org/web/20060116145226/http://journal.issep.rssi.ru/articles/pdf/9907_115.pdf|archivedate=2006-01-16}}
* {{книга
 |автор         = {{nobr|Шелепин Л. А.}}  
 |заглавие      = Вдали от равновесия
 |ссылка        = 
 |место         = М.
 |издательство  = Знание
 |год           = 1987
 |страниц       = 64
}}

== Ссылки ==
* [http://www.ibiblio.org/e-notes/html5/heart.html несколько простых классических моделей автоволн] (JS + WebGL) Евгения Демидова, которые можно запустить прямо в веб-браузере.

{{Внешние ссылки}}
{{rq|style}}

[[Категория:Волновые явления]]
[[Категория:Автоколебания]]
[[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных]]