Просмотр кода страницы Алгебра над полем

{{о|[[векторное пространство|векторном пространстве]], снабжённом произведением|<!--
-->[[алгебраическая система|алгебраических системах]] с пустым множеством отношений|Алгебра (универсальная алгебра)|<!--
-->разделе математики|Алгебра}}
{{другие значения|2=Алгебра}}
'''Алгебра над полем''' — [[векторное пространство]], снабжённое [[билинейное отображение|билинейным]] произведением. Это значит, что алгебра над [[поле (алгебра)|полем]] является одновременно векторным пространством и [[кольцо (математика)|кольцом]], причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является [[алгебра над кольцом]], которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а [[модуль над кольцом|модулем]] над некоторым кольцом.

Алгебра называется ассоциативной, если операция умножения в ней [[Ассоциативность (математика)|ассоциативна]]; соответственно, алгебра с единицей — алгебра, в которой существует нейтральный относительно умножения элемент. В некоторых учебниках под словом «алгебра» подразумевается «ассоциативная алгебра», однако [[Неассоциативная алгебра|неассоциативные алгебры]] также представляют определённую важность.

== Определение ==
Пусть <math>A</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, снабжённое операцией <math>A\times A\to A</math>, называемой умножением. Тогда <math>A</math> является алгеброй над <math>K</math>, если для любых <math>x,y,z\in A, \; a,b\in K</math> выполняются следующие свойства:
* <math>(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z</math>
* <math>x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z</math>
* <math>(ax)\cdot (by)=(ab)(x\cdot y)</math>.

Эти три свойства можно выразить одним словом, сказав, что операция умножения является [[билинейное отображение|билинейной]]. В случае алгебр с единицей часто дают следующее эквивалентное определение:
: Алгебра с единицей над полем <math>K</math> — это кольцо с единицей <math>A</math>, снабжённое [[гомоморфизм колец|гомоморфизмом колец с единицей]] <math>f:K\to A</math>, таким, что <math>f(K)</math> принадлежит центру кольца <math>A</math> (то есть множеству элементов, коммутирующих по умножению со всеми остальными элементами). После этого можно считать, что <math>A</math> является векторным пространством над <math>K</math> со следующей операцией умножения на скаляр <math>\alpha\in K</math>: <math>\alpha x=f(\alpha)\cdot x</math>.

=== Связанные определения ===
Гомоморфизм <math>K</math>-алгебр — это <math>K</math>-линейное отображение, такое что <math>f(ab)=f(a)\cdot f(b)</math> для любых <math>a,b</math> из области определения.

''Подалгебра'' алгебры над полем <math>K</math> — это [[линейное подпространство]], такое что произведение любых двух элементов из этого подпространства снова ему принадлежит. Другими словами, подалгеброй <math>U</math> линейной алгебры <math>R</math> над полем <math>P</math> называется её подмножество если оно является подкольцом кольца <math>R</math> и подпространством линейного пространства <math>R</math><ref>''Скорняков Л. А.'' Элементы алгебры. — М., Наука, 1986. — с. 190</ref>. Элемент алгебры называется ''алгебраическим'', если он содержится в конечномерной подалгебре.
Алгебра называется ''алгебраической'', если все её элементы алгебраические.<ref>{{книга
 | автор           = Джекобсон Н.
 | заглавие      = [http://www.nehudlit.ru/books/detail5613.html Строение колец]
 | место          = М.
 | издательство  = ИЛ
 | год           = 1961
 | страниц    = 392
 | ref             = Строение колец
 }}</ref>

''Левый идеал'' <math>K</math>-алгебры — линейное подпространство, замкнутое относительно умножения слева на произвольный элемент кольца. Соответственно, правый идеал замкнут относительно правого умножения; двусторонний идеал — идеал, являющийся левым и правым. Единственное отличие этого определения от определения [[идеал (математика)|идеала кольца]] — это требование замкнутости относительно умножения на элементы поля, в случае алгебр с единицей это требование выполняется автоматически.

''Алгебра с делением'' — алгебра над полем, такая что для любых её элементов <math>a\neq 0</math> и <math>b</math> уравнения <math>ax=b</math> и <math>ya=b</math> разрешимы<ref>''Кузьмин Е. Н.'' [http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000104/index.shtml Алгебра с делением] {{Wayback|url=http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000104/index.shtml |date=20150714215406 }}</ref>. В частности, ассоциативная алгебра с делением, имеющая единицу, является [[тело (алгебра)|телом]].

''Центр алгебры'' <math>A</math> — множество элементов <math>a \in A</math>, таких что <math>x a = a x</math> для любого элемента <math>x \in A</math>.

== Примеры ==

=== Ассоциативные алгебры ===
* [[комплексное число|Комплексные числа]] естественным образом являются двумерной алгеброй над [[вещественное число|вещественными числами]].
* [[Кватернионы]] являются четырёхмерной алгеброй над вещественными числами.
* Предыдущие два примера являются [[поле (алгебра)|полем]] и [[тело (алгебра)|телом]] соответственно, и это не случайно: любая конечномерная алгебра над полем, не имеющая [[делитель нуля|делителей нуля]], является алгеброй с делением. Действительно, умножение на <math>x</math> слева является [[линейное преобразование|линейным преобразованием]] этой алгебры как векторного пространства, у этого преобразования нулевое [[ядро (алгебра)|ядро]] (так как <math>x</math> не является делителем нуля), следовательно, оно сюръективно; в частности, существует прообраз произвольного элемента <math>b</math>, то есть такой элемент <math>y</math>, что <math>xy</math> = <math>b</math>. Второе условие доказывается аналогично.
* Коммутативная (и бесконечномерная) алгебра [[многочлен]]ов <math>K[x]</math>.
* Алгебры [[функция (математика)|функций]], такие как <math>\R</math>-алгебра [[вещественное число|вещественнозначных]] [[непрерывная функция|непрерывных функций]], определённых на интервале (0, 1), или <math>\Complex</math>-алгебра [[голоморфная функция|голоморфных функций]], определённых на зафиксированном [[открытое множество|открытом]] подмножестве комплексной плоскости.
* Алгебры [[линейный оператор|линейных операторов]] на [[гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]].

=== Неассоциативные алгебры ===
* [[Алгебра Кэли|Алгебры Кэли]], или ''октавы''.
* Общие [[алгебра Ли|алгебры Ли]].
* [[Йорданова алгебра|Йордановы алгебры]].
* [[Альтернативная алгебра|Альтернативные алгебры]].

== Структурные коэффициенты ==
Умножение в алгебре над полем однозначно задаётся произведениями базисных векторов. Таким образом, для задания алгебры над полем <math>K</math> достаточно указать её размерность <math>n</math> и <math>n^3</math> ''структурных коэффициентов'' <math>c_{i,j,k}</math>, являющихся элементами поля. Эти коэффициенты определяются следующим образом:
: <math>\mathbf{e}_{i} \mathbf{e}_{j} = \sum_{k=1}^n c_{i,j,k} \mathbf{e}_{k}</math>

где <math>(e_1,e_2,\ldots e_n)</math> — некоторый базис <math>A</math>. Различные множества структурных коэффициентов могут соответствовать изоморфным алгебрам.

Если <math>K</math> — только [[коммутативное кольцо]], а не поле, это описание возможно, только когда алгебра <math>A</math> является [[свободный модуль|свободным модулем]].

== См. также ==
* [[Дифференциальная алгебра]]
* [[Тензорное произведение алгебр]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Книга:Общая алгебра|3}}

[[Категория:Алгебры над кольцами|*]]