Просмотр кода страницы Антиподера

{{Обзорная статья|Подера}}
[[Файл:Parabola-antipodera.gif|200px|right|thumb|[[Парабола]] — антиподера [[Прямая|прямой]]]]

'''Антиподе́ра''' ({{lang-fr|antipodaire}}, от [[Древнегреческий язык|др.-греч.]] [[wikt:ru:άντί|άντί]]- — против и [[подера]]{{sfn|''Антиподера'', 1988}}{{sfn|''Подера и антиподера'', 1975}}; {{lang-en|antipedal}}{{sfn|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|loc=Contents, p. IX}}) кривой относительно точки —  кривая, для которой данная кривая есть подера относительно той же точки{{sfn|''Антиподера'', 1988}}{{sfn|''Подера и антиподера'', 1975}}{{sfn|''Коренцова М. М.'' Колин Маклорен. 1698—1746, 1998|loc=Органическое описание кривых, с. 131}}{{sfn|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|loc=Chapter XI. Pedals and other derived curves, p. 153}}.

Например, [[парабола]] есть антиподера прямой, если полюс антиподеры совпадает с фокусом параболы{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=с. 64}}{{sfn|''Коренцова М. М.'' Колин Маклорен. 1698—1746, 1998|loc=Органическое описание кривых, с. 131}}, как показано на рисунке справа.

Антиподера кривой есть [[Инверсия (геометрия)#Декартовы координаты|инверсия]] этой кривой с последующим [[Полярное преобразование кривой|полярным преобразование кривой]], полюсы которых совпадают с полюсом антиподеры. Также антиподера кривой есть инверсия подеры инверсии этой кривой, полюсы которых совпадают с полюсом антиподеры{{sfn|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|loc=Chapter XI. Pedals and other derived curves, p. 152, 153}}.

== Полное определение антиподеры ==
[[Файл:NegativePedal.gif|thumb|[[Окружность]] — антиподера [[Улитка Паскаля|улитки Паскаля]]]]

'''Антиподе́ра, или отрицательная подера, или первая отрицательная подера{{sfn|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|loc=2.4. Pedal curves, p. 46}}{{sfn|''Коренцова М. М.'' Колин Маклорен. 1698—1746, 1998|loc=Органическое описание кривых, с. 131}}''' ( {{lang-en|antipedal{{sfn|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|loc=Contents, p. IX}}{{sfn|''Ferréol Robert.'' Pedal of a Curve, 2017}}; negative pedal; first negative pedal}}), кривой относительно точки — кривая, подера которой относительно той же точки есть исходная кривая{{sfn|''Иванов А. Б.'' Подера, 1984}}{{sfn|''Подера и антиподера'', 1975}}{{sfn|''Коренцова М. М.'' Колин Маклорен. 1698—1746, 1998|loc=Органическое описание кривых, с. 131}}. Другими словами, антиподера — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через точки исходной кривой к прямым, соединяющим точки исходной кривой с фиксированной точкой, которая называется '''''полюсом{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=с. 64}}{{sfn|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|loc=2.4. Pedal curves, p. 2}}, или центром{{sfn|''Яглом И. М., Атанасян Л. С.'' Геометрические преобразования, 1963|loc=8.4. Подерное преобразование, с. 134}}, или точкой подеры{{sfn|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|loc=2.4. Pedal curves, p. 46}}{{sfn|''Weisstein Eric W.'' Negative Pedal Curve, 2024}}'''''.

Построение антиподеры исходя из уже построенной её подеры называется '''''построением с помощью подеры'''''{{sfn|''Гильберт Д., Кон-Фоссен С.'' Наглядная геометрия, 1981|loc=с. 33}}.

Например, всегда получится коническое сечение, если осуществить построение с помощью подеры из окружности или прямой{{sfn|''Гильберт Д., Кон-Фоссен С.'' Наглядная геометрия, 1981|loc=с. 33}}{{sfn|''Коренцова М. М.'' Колин Маклорен. 1698—1746, 1998|loc=Органическое описание кривых, с. 131}}.

'''Антриподе́ры степене́й вы́ше пе́рвой''' определяются как антиподеры антиподер предыдущей степени с одним и тем же полюсом{{sfn|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|loc=2.4. Pedal curves, p. 46}}.

<gallery widths=200px heights=150px caption="Антиподеры секстики Кэли и подеры кубики Чирнгауза шести степеней">
Изображение:Cayley's sextic is pedal of cardioid.svg|[[Кардиоида]] — 1-я антиподера {{iw|Секстика Кэли|секстики Кэли|en|Cayley's sextic}} — 6-я подера [[Кубика Чирнгауза|кубики Чирнгауза]]
Изображение:Cardioid is pedal of circle.svg|[[Окружность]] — 2-я антиподера секстики Кэли, кардиоида — 5-я подера кубики Чирнгауза
Изображение:Circle is pedal of point.svg|[[Точка (геометрия)|Точка]] — 3-я антиподера секстики Кэли, окружность — 4-я подера кубики Чирнгауза
Изображение:Point is pedal of line.svg|Прямая  — 4-я антиподера секстики Кэли, точка — 3-я подера кубики Чирнгауза
Изображение:Line is pedal of parabola.svg|Парабола — 5-я антиподера секстики Кэли, прямая — 2-я подера кубики Чирнгауза
Изображение:Parabola is pedal of Tschirnhausen cubic.svg|Кубика Чирнгауза — 6-я антиподера секстики Кэли, парабола — 1-я подера кубики Чирнгауза
</gallery>
{{clear}}

== Определение антиподеры через инверсию ==
[[File:Circle transformation scheme. Pedal-inversion-pedal-inversion.png|300px|right]]

Имеет место [[Полярное преобразование кривой#Полярное преобразование кривой есть инверсия подеры|схема преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой]], показанная на рисунке справа, из которой вытекает следующее два утверждения{{sfn|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|loc=Chapter XI. Pedals and other derived curves, p. 152—153}}:
* антиподера кривой есть [[Инверсия (геометрия)#Декартовы координаты|инверсия]] с последующим [[Полярное преобразование кривой|полярным преобразованием кривой]], окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом подеры;
* антиподера кривой есть инверсия подеры инверсии кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом антиподеры.

== Уравнения антиподеры ==
=== Параметрические уравнения антиподеры ===
==== Параметрические уравнения антиподеры на вещественной плоскости ====
В общем случае, для [[Параметрическое представление|параметрически]] заданной кривой <math>\mathbf z(t) = (x(t),\;y(t))</math>, имеющей производную <math>\mathbf z'(t) = (x'(t),\;y'(t))</math>, антиподера
: <math>\operatorname{antipedal} [\mathbf z,\;\mathbf z_0](t) = \mathbf Z(t) = (X(t),\;Y(t))</math>
относительно точки <math>\mathbf z_0 = (x_0,\;y_0)</math> задаётся следующими уравнениями{{sfn|''Weisstein Eric W.'' Negative Pedal Curve, 2024}}:
: <math>X = \frac{((x - x_0)x - (y - y_0)^2)y' - (2x - x_0)(y - y_0)x'}{(x - x_0)y' - (y - y_0)x'} =</math>
:: <math>= 2x - x_0 - y'\frac{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}{(x - x_0)y' - (y - y_0)x'} =</math>
:: <math>= x - (y - y_0)\frac{(x - x_0)x' + (y - y_0)y'}{(x - x_0)y' - (y - y_0)x'},</math>
: <math>Y = \frac{-((y - y_0)y - (x - x_0)^2)x' + (2y - y_0)(x - x_0)y'}{(x - x_0)y' - (y - y_0)x'} =</math>
:: <math>= 2y - y_0 + x'\frac{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}{(x - x_0)y' - (y - y_0)x'} =</math>
:: <math>= y + (x - x_0)\frac{(x - x_0)x' + (y - y_0)y'}{(x - x_0)y' - (y - y_0)x'}.</math>

Эти '''''основные уравнения'''''{{sfn|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|loc=Chapter XI. Pedals and other derived curves, p. 150}} можно принять за определение антиподеры{{sfn|''Alfred Gray.'' Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, 2006|loc=4.6 Pedal Curves, p. 113}}.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство{{sfn|''Weisstein Eric W.'' Negative Pedal Curve, 2024}}
| Содержание    =
[[Прямая#Уравнение прямой, проходящей через две точки на вещественной плоскости|Уравнение прямой]] <math>(X(t),\;Y(t))</math>, проходящей через две точки:
* полюс антиподеры <math>(x_0,\;y_0)</math>,
* текущую точку исходной кривой <math>(x,\;y)</math>,
есть
: <math>\frac{Y - y}{y_0 - y} = \frac{X - x}{x_0 - x},</math>
или
: <math>Y - y = \frac{y_0 - y}{x_0 - x}(X - x).</math>

Тогда уравнение перпендикулярной прямой, проходящей через текущую точку исходной кривой <math>(x,\;y)</math>
: <math>Y - y = -\frac{x_0 - x}{y_0 - y}(X - x).</math>

Антиподера исходной кривой — [[Огибающая#Определение|огибающая семейства кривых]]
: <math>U(X,\;Y,\;t) = Y - y + \frac{x_0 - x}{y_0 - y}(X - x) = 0</math>&nbsp;—
определяется системой уравнений
: <math>U(X,\;Y,\;t) = \frac{\partial U(X,\;Y,\;t)}{\partial t} = 0.</math>

Находим:
: <math>\frac{\partial U(X,\;Y,\;t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}(Y - y + \frac{x_0 - x}{y_0 - y}(X - x)) =</math>
:: <math>= -y' - X\frac{x'}{y_0 - y} + X\frac{(x_0 - x)y'}{(y_0 - y)^2} -</math>
:: <math>{}- \frac{(x_0 - x)x'}{y_0 - y} + \frac{xx'}{y_0 - y} - \frac{(x_0 - x)xy'}{(y_0 - y)^2} = 0,</math>
: <math>X((x_0 - x)y' - (y_0 - y)x') =</math>
:: <math>= (y_0 - y)(x_0 - x)x' - (y_0 - y)xx' +</math>
:: <math>{}+ (x_0 - x)xy' + (y_0 - y)^2y',</math>
: <math>X = \frac{((x - x_0)x - (y - y_0)^2)y' - (2x - x_0)(y - y_0)x'}{(x - x_0)y' - (y - y_0)x'}.</math>

: <math>Y = y - \frac{x_0 - x}{y_0 - y}(X - x) =</math>
:: <math>= y + \frac{x - x_0}{y - y_0}(y - y_0)\frac{(x - x_0)x' + (y - y_0)y'}{(x - x_0)y' - (y - y_0)x'} =</math>
:: <math>= y + (x - x_0)\frac{(x - x_0)x' + (y - y_0)y'}{(x - x_0)y' - (y - y_0)x'}.</math>
}}

В частном случае, относительно полюса <math>\mathbf z_0 = (0,\;0)</math> в начале координат, основные уравнения будут такими{{sfn|''Weisstein Eric W.'' Negative Pedal Curve, 2024}}:

: <math>X = \frac{(x^2 - y^2)y' - 2xyx'}{xy' - yx'} =</math>
:: <math>= 2x - y'\frac{x^2 + y^2}{xy' - yx'} =</math>
:: <math>= x - y\frac{xx' + yy'}{xy' - yx'},</math>
: <math>Y = \frac{-(y^2 - x^2)x' + 2xyy'}{xy' - yx'} =</math>
:: <math>= 2y + x'\frac{x^2 + y^2}{xy' - yx'} =</math>
:: <math>= y + x\frac{xx' + yy'}{xy' - yx'}.</math>

== Примеры антиподеры ==
*[[Парабола]] — антиподера [[прямая|прямой]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{h|''Антиподера'', 1988|3=
''Антиподера'' // ''[[Математический энциклопедический словарь]]'' / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]; Ред. Кол.: [[Адян, Сергей Иванович|С. И. Адян]], [[Бахвалов, Николай Сергеевич|Н. С. Бахвалов]], В. И. Битюцков, [[Ершов, Андрей Петрович|А. П. Ершов]], [[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Л. Д. Кудрявцев]], [[Онищик, Аркадий Львович|А. Л. Онищик]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]]. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1988. 847 с., ил. С. 75.
}}
* {{h|''Гильберт Д., Кон-Фоссен С.'' Наглядная геометрия, 1981|3=
''[[Гильберт, Давид|Гильберт Д.]], [[Кон-Фоссен, Стефан Эммануилович|Кон-Фоссен С.]]'' Наглядная геометрия: Пер. с нем. С. А. Каменецкого. 3-е изд. М.: Наука, 1981. 144 с., ил.
}}
* {{h|''Иванов А. Б.'' Подера, 1984|3=
''Иванов А. Б.'' Подера // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 370.
}}
* {{h|''Коренцова М. М.'' Колин Маклорен. 1698—1746, 1998|3=
''Коренцова М. М.'' Колин Маклорен. 1698—1746. М.: Наука, 1998. 144 с., ил. (Научно-биографическая литература.) ISBN 5-02-003691-9.
}}
* {{h|''Подера и антиподера'', 1975|3=
''Подера и антиподера'' // ''[[Большая советская энциклопедия]].'' (В 30 томах) Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]. Изд. 3-е. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1975. Т. 20. Плата — проб. 1975. 608 с. с илл., 17 л. илл., 4 л. карт. С. 109.
}}
* {{h|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|3=
''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
}}
* {{h|''Яглом И. М., Атанасян Л. С.'' Геометрические преобразования, 1963|3=
''[[Яглом, Исаак Моисеевич|Яглом И. М.]], [[Атанасян, Левон Сергеевич|Атанасян Л. С.]]'' Геометрические преобразования // ''Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия'' / Гл. ред. [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров]], [[Маркушевич, Алексей Иванович|А. И. Маркушевич]], [[Хинчин, Александр Яковлевич|А. Я. Хинчин]]. Ред. книги 4: [[Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянский]], И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 49—158.
}}
* {{h|''Alfred Gray.'' Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, 2006|3=
''[[Грэй, Альфред (математик)|Alfred Gray]].'' [[Грэй, Альфред (математик)#Публикации|Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica]]. Third Edition by Elsa Abbena and Simon Salamon. Studies in Advanced Mathematics: Chapman and Hall/CRC, 2006. 982 p.
}}
* {{h|''Ferréol Robert.'' Pedal of a Curve, 2017|3=
[https://mathcurve.com/courbes2d.gb/podaire/podaire.shtml ''Ferréol Robert.'' Pedal of a Curve] // [https://mathcurve.com/ ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES] {{Wayback|url=https://mathcurve.com/courbes2d.gb/podaire/podaire.shtml |date=20230410}}
}}
* {{h|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|3=
''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
}}
* {{h|''Weisstein Eric W.'' Negative Pedal Curve, 2024|3=
[https://mathworld.wolfram.com/about/author.html ''Weisstein Eric W.''] [https://mathworld.wolfram.com/NegativePedalCurve.html Negative Pedal Curve] // [https://mathworld.wolfram.com/  Wolfram MathWorld] {{Wayback|url=https://mathworld.wolfram.com/NegativePedalCurve.html |date=20221130}}
}}
* {{h|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|3=
''{{iw|Цвиккер, Корнелис|Zwikker C.|en|Cornelis Zwikker}}'' {{iw|Цвиккер, корнелис|The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications|en|Cornelis Zwikker#Books}}The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 0486610780. ISBN 9780486610788.
}}

{{Дифференциальные преобразования кривых}}
{{Кривые}}

[[Категория:Кривые]]