Просмотр кода страницы Арифметические исследования (Гаусс)

{{Литературное произведение
 |Название          = Арифметические исследования
 |Название-оригинал  = Disquisitiones Arithmeticae
 |Изображение       = Disqvisitiones-800.jpg
 |Ширина            = 280px
 |Подпись изображения = Титульный лист первого издания
 |Автор             = [[Карл Фридрих Гаусс]]
 |Жанр =
 |Язык оригинала = латинский
 |Публикация  = 1801
 |Викитека            =  la:Disquisitiones arithmeticae
}}
'''«Арифметические исследования»''' ({{lang-lat|Disquisitiones Arithmeticae}}) — первый крупный труд 24-летнего немецкого математика [[Гаусс, Карл Фридрих|Карла Фридриха Гаусса]], опубликованный в [[Лейпциг]]е в сентябре [[1801 год в науке|1801 года]]. Эта монография (более 600 страниц) стала ключевым этапом в развитии [[Теория чисел|теории чисел]]; она содержала как обстоятельное изложение результатов предшественников ([[Ферма, Пьер|Ферма]], [[Эйлер, Леонард|Эйлер]], [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]], [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандр]] и другие), так и собственные глубокие результаты Гаусса. Среди последних особенную важность представляли{{sfn |Труды по теории чисел|1959|с=875—876}}:
# [[Квадратичный закон взаимности]], основа теории [[Квадратичный вычет|квадратичных вычетов]]. Гаусс впервые дал его доказательство.
# Теория композиции классов и родов [[Квадратичная форма|квадратичных форм]], ставшая важнейшим вкладом в создание теории [[Алгебраическое число|алгебраических чисел]].
# [[Круговой многочлен|Теория деления круга]]. Это не только пример приложения общих методов, но и, как далее выяснилось, прообраз на частном примере открытой в 1830-х годах общей [[теория Галуа|теории Галуа]].

Работы Гаусса по «высшей арифметике» (так он называл теорию чисел) предопределили развитие этого раздела математики более чем на столетие. [[Делоне, Борис Николаевич|Б. Н. Делоне]] расценивает данный труд как «''умственный подвиг''» молодого учёного, имеющий мало себе равных в мировой науке{{sfn |Труды по теории чисел|1959|с=878, 882}}.

== Состояние теории чисел в конце XVIII века ==
[[Математика в Древней Греции|Древнегреческие математики]] разработали несколько тем, относящихся к теории чисел. Они дошли до нас в VII—IX книгах «[[Начала (Евклид)|Начал]]» [[Евклид]]а (III век {{донэ}}) и включали важнейшие понятия [[Делимость|теории делимости]]: деление нацело, [[деление с остатком]], делитель, кратное, [[простое число]], [[алгоритм Евклида]] для нахождения [[Наибольший общий делитель|наибольшего общего делителя]] двух чисел.

Далее развитие теории чисел возобновилось только спустя два тысячелетия. Автором новых идей стал [[Пьер Ферма]] (XVII век). В числе прочих, он открыл неизвестное древним свойство делимости ([[малая теорема Ферма]]), имеющее фундаментальный характер. Исследования Ферма были продолжены и углублены [[Эйлер, Леонард|Эйлером]], который основал теорию квадратичных и других степенных вычетов, открыл «[[Дзета-функция Римана#Тождество Эйлера|тождество Эйлера]]». Несколько крупных открытий сделал [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]], а [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандр]] опубликовал монографию «''Опыт теории чисел''» (1798), первое в истории обстоятельное изложение данного раздела математики. К концу XVIII века был достигнут прогресс в изучении [[Непрерывная дробь|непрерывных дробей]], решении различных типов уравнений в целых числах ([[Валлис, Джон|Валлис]], Эйлер, Лагранж), было положено начало исследованию [[Функция распределения простых чисел|распределения простых чисел]] (Лежандр).

Гаусс начал работу над своей книгой ещё в 20-летнем возрасте (1797). Из-за неспешности работы местной типографии работа над книгой растянулась на 4 года; кроме того, по правилу, которому он был верен всю жизнь, Гаусс стремился публиковать только завершённые исследования, пригодные для непосредственного практического применения. В отличие от Лежандра, Гаусс предложил не просто перечень теорем, но систематическое изложение теории на основе единых идей и принципов. Все рассмотренные проблемы доведены до уровня [[алгоритм]]а, книга содержит множество численных примеров, таблиц и пояснений{{sfn |Труды по теории чисел|1959|с=878, 881—882}} {{sfn|Клейн Ф.|1937|с=54}}.

== Содержание книги ==
Книга состоит из посвящения и семи разделов, разделённых на параграфы, имеющие сквозную нумерацию. В посвящении Гаусс выражает благодарность своему покровителю [[Карл Вильгельм Фердинанд Брауншвейгский|Карлу Вильгельму Фердинанду]], герцогу  Брауншвейгскому (из русского перевода 1959 года посвящение изъято).

Первые три раздела по существу не содержат новых результатов, хотя в идейно-методическом плане также представляют немалую ценность.

; Раздел 1. О сравнимости чисел вообще,
Здесь Гаусс, обобщая исследования Эйлера, вводит ключевое понятие [[Сравнение по модулю|сравнения целых чисел по модулю]] и удобную символику этого отношения, сразу укоренившуюся в математике:
: <math>a \equiv b \pmod m </math>
Приводятся свойства отношения сравнения, как сближающие его с отношением равенства, так и специфичные для отношения сравнения. Далее вся теория чисел строится «на языке сравнений». В частности, впервые в истории строится [[факторкольцо]] классов вычетов{{sfn |Математика XIX века. Том I|1978|с=62, 82—83}}.

; Раздел 2. О сравнениях первой степени.
В начале раздела рассматриваются различные свойства [[Делимость|делимости]]. Среди них (в параграфе 16) впервые полностью формулируется и доказывается [[основная теорема арифметики]] — в отличие от предшественников, Гаусс ясно указывает, что [[разложение на простые множители]] '''единственно''': «''каждое составное число может быть разложено на простые сомножители только одним-единственным образом''».

Далее рассматривается решение сравнения первой степени:
: <math>ax + t \equiv 0 \pmod p </math>
и систем таких сравнений.

; Раздел 3. О степенных вычетах,
В этом разделе и в следующих автор переходит к сравнениям степени выше первой для простого модуля <math>p</math>. Исследуя вычеты, Гаусс доказывает существование [[Первообразный корень (теория чисел)|первообразных корней]] для простого модуля (у Эйлера строгое доказательство этого отсутствует). Доказывается  теорема Лагранжа: сравнение степени <math>n</math> по простому модулю имеет не более <math>n</math> не сравнимых между собой решений.

; Раздел 4. О сравнениях второй степени.
Здесь Гаусс доказывает знаменитый [[квадратичный закон взаимности]], который заслуженно назвал «золотой теоремой» ({{lang-lat|theorema aureum}}). Впервые его формулировку дал Эйлер в 1772 году (опубликовано в «''Opuscula Analytica''», 1783), Лежандр пришёл к этой теореме независимо (1788 год), однако доказать закон ни тот, ни другой не сумели. Гаусс искал пути к доказательству целый год. Закон взаимности позволяет, в частности, для заданного целого числа <math>a</math> найти модули, по которым <math>a</math> является вычетом (или, наоборот, невычетом).

; Раздел 5. О формах и неопределённых уравнениях второй степени.
Это самый обширный раздел книги. В начале раздела Гаусс даёт ещё одно доказательство квадратичного закона взаимности (позднее он предложил ещё шесть, а в 1832 году опубликовал (без доказательства) [[биквадратичный закон взаимности]] для вычетов 4-й степени). Далее подробно излагается теория [[Квадратичная форма|квадратичных форм]], решающая вопрос, какие значения могут принимать выражения вида <math>ax^2 + 2bxy + cy^2</math> с целочисленными коэффициентами{{sfn |Труды по теории чисел|1959|с=906}}.

Раздел состоит из 4 частей:
# Классификация, теория представления целых чисел бинарными квадратичными формами вида <math>ax^2 + 2bxy + cy^2</math>, решение в целых числах общего неопределённого уравнения второй степени с двумя неизвестными. Эти результаты уже были получены ранее, в основном Лагранжем.
# Теория композиции классов бинарных квадратичных форм и теорию их родов.
# Теория тернарных квадратичных форм, положившая начало арифметической теории квадратичных форм от многих переменных.
# Практические приложения теории форм: доказательство теоремы о родах, теория разложения чисел в сумму трёх квадратов или трёх [[Треугольное число|треугольных чисел]], решение неопределённого уравнения <math>ax^2 + by^2 + cz^2 = 0</math>, решение общего неопределённого уравнения второй степени с двумя неизвестными в рациональных числах и соображения о среднем числе классов в роде.

Значительная часть раздела носит общеалгебраический характер, и впоследствии этот материал был перенесен в общую [[Теория групп|теорию групп]] и колец.

; Раздел 6. Различные применения предыдущих исследований.
Гаусс решает несколько практически важных задач.
* Рассмотрим дробь <math>\frac mn,</math> где знаменатель <math>n</math> можно представить как произведение [[Взаимно простые числа|взаимно простых]] чисел: <math>n=abc\dots</math> Тогда дробь допускает разложение:
: <math>\frac mn = \frac ua + \frac vb + \frac wc + \dots</math>
* Теория представления [[Обыкновенная дробь|обыкновенных дробей]] периодическими [[Десятичная дробь|десятичными дробями]] — досконально исследуются зависимость длины периода от знаменателя дроби, закон образования цифр периода, связь с первообразными корнями.
* Метод решения сравнения <math>x^2 \equiv a \pmod m</math>, не требующий использования таблиц [[Индекс числа по модулю|индексов]].
* Метод решения уравнения <math>mx^2 + ny^2 = a</math> в целых числах.
* Два метода проверки, является ли заданное целое число простым.

; Раздел 7. Об уравнениях, от которых зависит деление круга.
Деление круга на <math>n</math> равных частей или, что эквивалентно, построение правильного вписанного в круг <math>n</math>-угольника, алгебраически может быть описано как решение [[Уравнение деления круга|уравнения деления круга]] <math>x^n-1=0</math> на [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]]. Корни этого уравнения называются «[[корни из единицы]]». Если, в соответствии с античными принципами, ограничиться только величинами, которые можно [[Построение с помощью циркуля и линейки|построить с помощью циркуля и линейки]], то встаёт вопрос: для каких значений <math>n</math> такое построение возможно, и как его практически осуществить{{sfn |Б. Н. Делоне|1959|с=957—966|name=DEL957}}.

Гаусс впервые решил эту древнюю проблему исчерпывающим образом. Древние греки умели делить круг на <math>n</math> частей для следующих значений <math>n:</math>
: <math>2^k;\quad 3\cdot 2^k;\quad 5\cdot 2^k;\quad 15\cdot 2^k</math>
Гаусс сформулировал критерий, который позже получил название «[[теорема Гаусса — Ванцеля]]»: построение возможно тогда и только тогда, когда <math>n</math> может быть представлено в виде<ref name=DEL957/>:
: <math>n = p_1p_2\dots p_t\cdot 2^k,</math>
где <math>p_1, p_2 \dots p_t</math> — различные простые числа вида <math>2^m + 1.</math> 

Корни уравнения деления круга всегда могут быть выражены «в радикалах», но, вообще говоря, это выражение содержит радикалы степени выше второй, а применение циркуля и линейки позволяет извлекать только квадратные корни. Поэтому критерий Гаусса отбирает те и только те значения <math>n,</math> для которых степени радикалов не выше второй. В частности, Гаусс показал, как построить правильный 17-угольник, выведя формулу:

:<math>\cos \frac{360^\circ}{17} = \frac{1}{16} \left( -1 + \sqrt{17} + \sqrt{ 2 \left(17- \sqrt{17} \right)}
+ 2 \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{2 \left(17- \sqrt{17} \right)} - 2 \sqrt{2 \left(17+ \sqrt{17} \right)} } \right)</math>

Поскольку эта формула содержит только квадратные корни, все входящие в неё величины можно построить циркулем и линейкой. Гаусс гордился этим открытием и завещал выгравировать правильный 17-угольник, вписанный в круг, на своем надгробном памятнике<ref>Обелиск на могиле Гаусса не содержит этой фигуры, однако она усматривается в форме постамента, на котором стоит памятник, см. сайт [https://travel.rambler.ru/guide/68505-Mogila-Gaussa/ «Могила Гаусса»].</ref>. Он уверенно заявил, что все попытки построить циркулем и линейкой правильный семиугольник, 11-угольник и т. п. будут безуспешны.

В «Арифметических исследованиях» содержится только доказательство достаточности критерия Гаусса, а доказательство необходимости, по словам автора, опущено, так как «''границы настоящего сочинения не позволяют привести здесь это доказательство''». Однако ни в трудах, ни в архиве учёного опущенное доказательство не найдено; его впервые опубликовал французский математик [[Пьер Лоран Ванцель]] в 1836 году<ref name=DEL957/> {{sfn |Математика XIX века. Том I|1978|с=40}}.

== Историческое влияние ==
[[Файл:Carl Friedrich Gauß, Pastellgemälde von Johann Christian August Schwartz, 1803, ohne Rahmen.jpg|мини|слева|Гаусс в 1803 году]]
Создателями теории чисел историки заслуженно называют Ферма и Эйлера, но создателем '''современной''' теории чисел следует назвать Гаусса, идеи которого задали направление дальнейшего прогресса теории{{sfn|Клейн Ф.|1937|с=55}}. Одним из главных достижений «Арифметических исследований» стало постепенное осознание математическим сообществом того факта, что многие проблемы теории чисел (и, как вскоре выяснилось, не только этой теории) связаны с необычными алгебраическими структурами, свойства которых предстояло изучить. Неявно в книге Гаусса уже использовались структуры [[Группа (математика)|групп]], [[Кольцо (математика)|колец]] и [[Поле (алгебра)|полей]], в том числе конечных, и решение изложенных в книге проблем часто заключалось в учёте их свойств и особенностей. Уже в данной книге Гаусс опирается на нестандартную (модулярную) арифметику; в более поздних работах он использует непривычную арифметику целых комплексных ([[гауссовы числа|гауссовых]]) чисел. По мере накопления материала необходимость в общей теории новых структур становилась всё более ясной.

Стиль «Арифметических исследований» подвергся критике за (местами) излишнюю краткость; тем не менее монография заслужила восторженную оценку [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжа]], в его письме к Гауссу (1804 год) говорится: «''Ваши «Исследования» сразу же возвысили Вас до уровня первых математиков, и я считаю, что последняя часть содержит самое красивое аналитическое открытие среди сделанных на протяжении длительного времени''<ref>{{книга |автор=[[Белл, Эрик Темпл|Белл Э. Т.]] |заглавие=Творцы математики |место=М. |издательство=Просвещение |год=1979 |страниц=256 |ссылка=http://www.ega-math.narod.ru/Bell/p14.htm |archivedate=2017-06-23 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170623230236/http://www.ega-math.narod.ru/Bell/p14.htm }}</ref>.
 
Далее исследования Гаусса были развиты в первую очередь самим Гауссом, который опубликовал ещё несколько работ по теории чисел, из них особый резонанс вызвали:
:* 1811: «Суммирование некоторых рядов особого вида».
:* 1828—1832: «Теория биквадратичных вычетов». В ней впервые появились гауссовы числа.
Пионерские работы Гаусса были продолжены [[Абель, Нильс Хенрик|Нильсом Абелем]], который доказал невозможность решения в радикалах общего уравнения пятой степени. В теории [[Алгебраическое число|алгебраических чисел]] работы Гаусса продолжили [[Якоби, Карл Густав Якоб|Якоби]], [[Эйзенштейн, Фердинанд|Эйзенштейн]] и [[Эрмит, Шарль|Эрмит]]. Якоби нашёл закон взаимности для кубических вычетов (1839) и исследовал кватернарные формы. [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] изучил общее неопределённое тернарное кубическое уравнение (1816). У [[Дирихле, Петер Густав Лежён|Дирихле]], преемника Гаусса на геттингенской кафедре, «Арифметические исследования» были настольной книгой, с которой он почти не расставался, и во многих своих работах он развивал идеи Гаусса. Крупным вкладом [[Куммер, Эрнст Эдуард|Куммера]] стала разработка [[Идеал (алгебра)|теории идеалов]], решившей многие алгебраические проблемы{{sfn |Вилейтнер Г.|1960|с=375—376}}. 

Решающим шагом в создании новой алгебры стали работы [[Галуа, Эварист|Эвариста Галуа]] и [[Кэли, Артур|Артура Кэли]], с которых начинается формирование современной [[Общая алгебра|общей алгебры]].{{-}}

== Публикации ==

=== Текст в сети ===
* [[s:la:Disquisitiones arithmeticae|Текст в Викитеке]].
* [http://edoc.hu-berlin.de/ebind/hdok2/h284_gauss_1801/pdf/h284_gauss_1801.pdf В PDF-формате].

=== Русский перевод ===
* {{книга |автор=Карл Фридрих Гаусс. |заглавие=Труды по теории чисел |ref=Труды по теории чисел
  |ответственный=Общая редакция академика [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградова]], комментарии члена-корр. АН СССР [[Делоне, Борис Николаевич|Б. Н. Делоне]]
  |место=М. |издательство=Изд-во АН СССР |год=1959 |страниц=297 |серия=Классики науки }}

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Вилейтнер Г. |заглавие=История математики от Декарта до середины XIX столетия
  |издательство=ГИФМЛ |место=М. |год=1960 |страниц=468 |ref=Вилейтнер Г.}}
* {{книга |автор=[[Делоне, Борис Николаевич|Делоне Б. Н.]] |часть=Работы Гаусса по теории чисел
  |заглавие=''Карл Фридрих Гаусс''. Труды по теории чисел |серия=Классики науки |ref=Б. Н. Делоне
  |место=М. |издательство=Изд-во АН СССР |год=1959 |страниц=297 |страницы=879—976 }}
* {{книга |автор=[[Клейн, Феликс|Клейн Ф.]] |заглавие=Лекции о развитии математики в XIX столетии
  |ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/razvitie.djvu |ref=Клейн Ф.
  |том=I |издательство=ГОНТИ |место=М.-Л. |год=1937 |страниц=432 }}
* {{книга |автор=Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). |ref=Математика XIX века. Том I
  |заглавие=Математика XIX века. Том I: Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей
  |место=М. |издательство=Наука |страницы= |год=1978 }}
* ''Лисана, Антонио Руфиан''. Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел. Серия: Наука. Величайшие теории. Выпуск № 8. М.:  DeAgostini, 2015. ISSN 2409-0069. 168 с. 

{{Внешние ссылки}}
[[Категория:Книги 1801 года]]
[[Категория:Математическая литература]]
[[Категория:Карл Фридрих Гаусс]]
[[Категория:История математики]]
[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Геометрические построения]]