Просмотр кода страницы Бесконечность

{{другие значения|Бесконечность (значения)}}
'''Бесконе́чность''' — категория человеческого мышления, используемая для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, для которых невозможно указание границ или количественной меры{{Sfn|НФЭ|2010}}. Используется в противоположность конечному, исчисляемому, имеющему предел. Систематически исследуется в [[Математика|математике]]{{Переход|#В математике}}, [[Логика|логике]]{{Переход|#В логике}} и [[Философия|философии]]{{Переход|#В философии}}, также изучаются вопросы о восприятии, статусе и природе бесконечности в [[Психология|психологии]], [[Теология|теологии]], [[Физика|физике]]{{Переход|#В физике}} соответственно. Бесконечность обозначается [[Символ бесконечности|символом]] <math>\infty</math>.

Исторически первые проблемы бесконечности — вопросы конечности пространства и времени, количества вещей в мире, более сложные проблемы — возможность бесконечного деления [[Континуум (теория множеств)|континуума]]{{Переход|#Континуум}}, возможность оперирования с бесконечными объектами (проблема ''актуальной бесконечности''{{Переход|#Потенциальная и актуальная бесконечность}}), природа и поведение бесконечно малых величин — инфинитезималей{{Переход|#Инфинитезималь}}, наличие различных типов бесконечности и соотношение между ними{{Sfn|НФЭ|2010}}. Наиболее глубокое исследование бесконечности предпринято в математической [[Теория множеств|теории множеств]]{{Переход|#Теория множеств}}, в которой построено несколько систем измерений различных видов бесконечных объектов, однако без дополнительных искусственных ограничений такие построения вызывают [[Парадоксы теории множеств|многочисленные парадоксы]]{{Переход|#Логицизм и парадоксы теории множеств}}, пути их преодоления, статус теоретико-множественных построений, их обобщений и альтернатив являются основным направлением исследований бесконечности у философов современности{{Переход|#Современная философия}}.

[[Файл:David Gerstein - Infinity Rally.jpg|мини|[[Герштейн, Давид|Давид Герштейн]]. Бесконечное ралли]]

== Основные понятия ==

=== Потенциальная и актуальная бесконечность ===<!-- используется для перенаправлений [[Актуальная бесконечность]], [[потенциальная бесконечность]]-->
Бесконечность может рассматриваться как неограниченность некоторого процесса, например, когда во [[Начала Евклида#Первая книга|втором постулате Евклида]] утверждается возможность продолжить бесконечно и непрерывно любую прямую, то имеется в виду, что процесс можно непрерывно продолжать, но существование такого самостоятельного объекта, как бесконечная прямая, из него не следует. Такого рода процессы и совокупности объектов, их описывающие, характеризуют как '''потенциальную бесконечность''' (в [[Схоластика|схоластике]] используется термин «''синкатегорематическая бесконечность''»), потенциально бесконечное не подразумевает целостных бесконечных предметов и явлений, в каждой фазе бесконечного процесса рассматриваются лишь конечные сущности, то есть является лишь частичным отрицанием конечного{{Sfn|НФЭ|2010}}.

Альтернативой является понятие '''актуальной бесконечности''' (в схоластике — «''категорематическая бесконечность''»), которая означает рассмотрение конечно неизмеримых объектов как данность, как реально существующих, но при этом как единых и целостных, с которыми возможно оперировать{{Sfn|НФЭ|2010}}. В таком ключе актуально бесконечное — как прямое и полное отрицание конечного — используют мистики для характеризации различных божественных категорий, математики современности оперируют с актуально бесконечными множествами{{Переход|#Теория множеств}} и актуально бесконечномерными пространствами{{Переход|#Бесконечномерные пространства}}. Представления о допустимости и содержании актуальной бесконечности в философии, теологии, логике, математике, естествознании существенно менялись на протяжении всего времени рассмотрения вопроса.

=== Качественная и количественная бесконечность ===
Качественная бесконечность — категория, определяющая всеобщий, неиссякаемый, универсальный характер связей объектов и явлений<ref name="БСЭ">{{БСЭ3 | автор= И. С. Алексеев| Бесконечность в философии|3}}</ref>, как качественно бесконечные рассматриваются в различные времена в различных философских школах такие категории, как [[Абсолют (философия)|Абсолют]], [[Космос (философия)|Космос]], [[Бог]], [[Плотин#Единое, Ум, Мировая душа|Ум]] и другие.

Количественная бесконечность характеризует процессы и объекты, измерение которых невозможно конечными величинами, с количественной бесконечностью оперируют математики, изучая, например, свойства бесконечных рядов, бесконечномерные пространства, множества из бесконечного количества элементов; в логике и философии исследуются возможности и ограничения такой работы с количественной бесконечностью.

=== Континуум ===
[[Континуум (философия)|Континуум]] ({{lang-la|continuum}}) — форма бесконечности, относящаяся к идее о непрерывности, целостности объектов в смысле возможности бесконечного их разделения на составные части и потенциальной бесконечности этого процесса. Континуальность противопоставляется [[Дискретность|дискретности]], прерывистости, наличию неделимых (атомарных) составляющих. Континуумом представляются отрезки числовой оси ([[Континуум (теория множеств)|континуум в теории множеств]]), определённый вид ограниченных и [[Сепарабельное пространство|отделимых]] пространств, в некотором смысле сходных с отрезками числовой оси ([[Континуум (топология)|континуум в топологии]]), на основе исследования свойств бесконечной делимости континуума в математике сформировано понятие [[Непрерывность (математика)|непрерывности]]. Вопросы об [[онтология|онтологической]] природе континуума, статусе континуума в [[естествознание|естествознании]] нашли отражение во многих трудах философов, начиная со времён [[Античность|античности]]<ref>{{книга |автор=Катасонов В. Н. |часть=Непрерывность и прерывистость |заглавие=Новая философская энциклопедия |ссылка часть=http://iph.ras.ru/elib/2059.html |издание=2-е изд., испр. и дополн. |место=М. |издательство=Мысль |год=2010 |том=2 |страницы= |страниц=2816 |тираж=5000 |isbn=978-5-244-01115-9 }}</ref>.

=== Инфинитезималь ===
{{Main|Бесконечно малое}}
Инфинитезимали — бесконечно малые величины, фигурирующие в потенциально бесконечных процессах, характеризующихся последовательным убыванием величин, в частности, при разделении континуума на составные части, в убывающих числовых последовательностях, иногда — в представлении об атомарной структуре мироздания или сознания. Математическое описание инфинитезималей, созданное [[Ньютон, Исаак|Ньютоном]] и [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбницем]] в исчислении бесконечно малых{{Переход|#Исчисление бесконечно малых}}, стало базисом [[Математический анализ|математического анализа]]{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|c=10—13}}.

== В математике ==

=== Теория чисел ===
Одним из основных источников ранних представлений о бесконечности были [[натуральные числа]] и потенциальная бесконечность [[Натуральный ряд|натурального ряда]]. Одним из первых нетривиальных результатов о бесконечности в теории чисел считается [[доказательство от противного]] бесконечности множества [[Простое число|простых чисел]] в «[[Начала Евклида|Началах]]» [[Евклид]]а<ref>Книга IX, утверждение 20</ref>: если предположить конечность множества простых чисел, то число, равное сумме {{num1|1|единицы}} и произведения всех чисел из этого множества, не делится ни на одно из них, но при этом или само является простым, или делится на некоторое простое число, не входящее в исходное множество; и то, и другое противоречит исходной посылке. Теоретико-числовое суждение о бесконечности представляет [[парадокс Галилея]]: каждому числу может быть сопоставлен его [[Квадрат (число)|квадрат]], то есть, квадратов не меньше, чем всех чисел, но при этом не из каждого числа можно извлечь корень, то есть, квадраты — только часть множества всех чисел{{Sfn|Бурбаки|1963|с=39}}.

В теории чисел не требуется применение какой-либо абстракции актуальной бесконечности, тем не менее, многие её задачи связаны с формулировкой условий бесконечности, например, по состоянию {{на|2019}} являются [[Открытые математические проблемы|открытыми проблемами]] вопросы о бесконечности множества простых чисел, по модулю которых заданное целое число является [[Первообразный корень (теория чисел)|первообразным корнем]] ([[гипотеза Артина]]), бесконечности множества [[Простые числа-близнецы|простых чисел-близнецов]], бесконечности для всякого чётного числа множества пар соседних простых чисел, разность между которыми равна ему ([[гипотеза Полиньяка]]), бесконечности множества [[Совершенное число|совершенных чисел]].

=== Бесконечные ряды ===
[[Файл:Archimedes Parabola.png|thumb|Парабола Архимеда]]
Первое свидетельство применения бесконечного [[Числовой ряд|ряда]] обнаруживается у [[Архимед]]а в «Квадратуре параболы», где для доказательства утверждения о соотношении 4:3 площадей сегмента, заключённого между [[Прямая|прямой]] и [[Парабола|параболой]], и [[треугольник]]а, имеющего с ним то же основание и равную высоту, он [[Сумма ряда|суммирует бесконечный ряд]]:
: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n} = 1 + \frac{1}{4^1} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \cdots = {4 \over 3} </math>,
и затем перепроверяет результат [[Доказательство от противного|методом от противного]]<ref name="Паплаускас-1">{{статья |автор=Паплаускас А. Б. |заглавие=Доньютоновский период развития бесконечных рядов. I |ссылка= |язык=ru |автор издания=Юшкевич А. П. (отв. редактор) |издание=[[Историко-математические исследования]] |тип= |место=М. |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |год=1973 |том=XVIII |страницы=104—131 |тираж=1900 }}</ref>.

В 1340-е годы [[Суайнсхед, Ричард|Суайнсхед]] впервые находит сумму бесконечного ряда, не являющегося простой убывающей [[Геометрическая прогрессия|геометрической прогрессией]]:

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \frac{4}{2^4} +\cdots = 2</math>.

Также в XIV веке с бесконечными рядами работает [[Орем, Николай|Орем]], используя ясные геометрические доказательства, он получает суммы достаточно нетривиальных числовых рядов, находит (без доказательства) формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии и [[Гармонический ряд#Доказательство Орема|доказывает]] расходимость [[Гармонический ряд|гармонического ряда]]<ref name="Паплаускас-1"/>.

В XVI веке, используя результаты Орема, {{нп5|Томаш, Алваруш|Томаш|de|Alvarus Thomaz}} находит суммы некоторых бесконечных прогрессий, образованных сложными законами<ref name="Паплаускас-1"/>. В Индии в XV веке были получены разложения [[Тригонометрические функции|тригонометрических функций]] в [[Ряд Тейлора|бесконечные степенные ряды]]<ref name="Паплаускас-1"/>, наиболее значительный вклад внёс [[Мадхава из Сангамаграмы]]<ref name="dani">{{статья| заглавие = Ancient Indian Mathematics – A Conspectus | автор = Dani S. G. |издание = Resonance |том = 17 | номер =3 |год =2012 |страницы=236—246}}</ref>.

[[Менголи, Пьетро|Менголи]] в трактате, опубликованном в [[1650 год в науке|1650 году]] устанавливает ряд важных свойств рядов, вводит понятие остатка ряда, тем самым неявно рассматривая ряды как целостные объекты, а также доказывает расходимость обобщённого гармонического ряда<ref name="Паплаускас-2">{{статья |автор=Паплаускас А. Б. |заглавие=Доньютоновский период развития бесконечных рядов. II. Пьетро Менголи |ссылка= |язык=ru |автор издания=Юшкевич А. П. (отв. редактор) |издание=Историко-математические исследования |тип= |место=М. |издательство=Наука |год=1974 |том=XIX |страницы=143—157 |тираж=1900 }}</ref>. [[Меркатор, Николас|Меркатор]] в [[1668 год в науке|1668 году]] открывает разложение [[логарифм]]ической функции в [[степенной ряд]]<ref name="Паплаускас-3">{{статья |автор=Паплаускас А. Б. |заглавие=Доньютоновский период развития бесконечных рядов. III |ссылка= |язык=ru |автор издания=Юшкевич А. П. (отв. редактор) |издание=Историко-математические исследования |тип= |место=М. |издательство=Наука |год=1975 |том=XX |страницы=257—281 |тираж=2100 }}</ref>, а в [[1667 год в науке|1667 году]] [[Грегори, Джеймс|Грегори]] — разложения [[Тригонометрические функции|тригонометрических функций]], и, наконец, [[Тейлор, Брук|Тейлор]], обобщая результаты Меркатора, Грегори, а также [[Ньютон, Исаак|Ньютона]], в [[1715 год в науке|1715 году]] показывает возможность разложить в бесконечный ряд любую [[Аналитическая функция|аналитическую функцию]] в заданной точке, тем самым установив возможность представления значений обширного класса функций бесконечными суммами.

=== Исчисление бесконечно малых ===
Хотя [[метод исчерпывания]], известный со времён античности, и [[метод неделимых]], сформулированный [[Кавальери, Бонавентура|Кавальери]] в 1635 году, в той или иной мере используют сведение к бесконечно малым величинам, первые попытки алгебраизации операций с бесконечно малыми были сделаны [[Валлис, Джон|Валлисом]], [[Барроу, Исаак|Барроу]] и [[Грегори, Джеймс|Грегори]] в середине XVII века, в явном виде [[математическая абстракция]] инфинитезималей была создана в 1680-е годы практически одновременно Ньютоном в его «методе флюксий» (бесконечно малых [[Приращение функции|приращений]]) и Лейбницем (определившим [[Дифференциал (математика)|дифференциал]]){{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|c=10—13}}.

Строгие определения бесконечно малых с использованием понятий [[Предел (математика)|предела]], [[Абсолютная сходимость|сходимости]] и [[непрерывность (математика)|непрерывности]] даны в XIX веке [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] и [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрассом]], наиболее традиционной в этих определениях стала так называемая {{нп5|(ε, δ)|<math>(\varepsilon, \delta)</math>-формулировка|en|(ε, δ)-definition of limit}} (например, <math>\alpha</math> считается пределом по Коши функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math> найдётся <math>\delta > 0 </math>, что при любых <math>x</math>, удовлетворяющих условию <math>0 < \left| x - x_0 \right| < \delta</math>, выполнено <math>\left| f \left( x \right) - \alpha \right| < \varepsilon</math>). В более поздних определениях бесконечно малых используется техника [[Окрестность|окрестностей]] — открытых подмножеств <math>\mathbb R</math> ([[Гейне, Эдуард|Гейне]]), которые естественным образом обобщены в [[Общая топология|общей топологии]] (абстрагирующей понятие [[Открытое множество|открытого множества]]).

В [[Нестандартный анализ|нестандартном анализе]] [[Робинсон, Абрахам|Робинсона]] (1960-е годы) бесконечно малые вводятся как вид обобщённых чисел, не превосходящих <math>1/n</math> для любого <math>n \in \mathbb N</math>, класс всех таких чисел актуализируется «монадой нуля» <math>\mu (0)</math>{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|c=26}}.

=== Математический анализ ===
В [[математический анализ|математическом анализе]], созданном на фундаменте исчисления бесконечно малых{{Переход|#Исчисление бесконечно малых}}, вводится явно и абстракция [[Бесконечно малая и бесконечно большая|бесконечно больших величин]]: ко множеству [[Вещественное число|действительных чисел]] добавляются символы [[бесконечно удалённая точка (числовая прямая)|бесконечно удалённых точек]] <math>+\infty</math> и <math>-\infty</math> (строится [[расширенная числовая прямая]] <math>\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\} </math>), применяющиеся для определения граничных значений и сходимости. С символами возможно оперировать (здесь <math>\alpha</math> — действительное число):
: <math>\pm \infty + \alpha = \pm \infty</math>,
: <math> (+\infty) + (+\infty) = +\infty</math>,
: <math> (-\infty) + (-\infty) = -\infty</math>,
: <math>\pm \infty \cdot 1 = \pm \infty</math>,
: <math>\pm \infty \cdot -1 = \mp \infty</math>,
: <math>\pm \infty \cdot +\infty = \pm \infty</math>,
: <math>\pm \infty \cdot \alpha = \operatorname{sgn}\alpha \cdot \pm{\infty} \, (\alpha \ne 0)</math>,
: <math>\pm \infty \big / \alpha = \operatorname{sgn}\alpha \cdot \pm \infty \, (\alpha \ne 0)</math>,
: <math>\alpha\big / \pm \infty = 0 \, (\alpha \ne \pm \infty)</math>,
: <math>\left ( \left \vert \frac{\alpha }{0} \right \vert = +\infty \right ) \, (\alpha \ne 0 )</math>
: <math>\left ( \left \vert \frac{\pm \infty}{0} \right \vert = +\infty \right ) </math>

однако с некоторыми ограничениями: при возникновении неопределённых ситуаций

: <math>\left (\pm \infty-\pm \infty \right ), \ \left (\frac{\infty}{\infty} \right ), \ \left (\frac{0}{0} \right ), \ \left (~0^0 \right ), \ \left (1^\infty \right ), \ \left (\infty^0 \right ), \ (0\cdot\infty) </math>

применяются правила [[Раскрытие неопределённостей|раскрытия неопределённостей]] (например, [[правило Лопиталя]]) по принципу выяснения содержания предельного выражения, приведшего к появлению бесконечности, то есть, в этом смысле в анализе символы <math>\pm \infty</math> используются как обобщённое сокращение для записи предельных выражений, но не как полноценный объект (в некоторых дидактических материалах используется одна бесконечно удалённая точка <math>\pm \infty</math>, не связанная соотношением порядка с действительными числами<ref>{{книга |автор=Кудрявцев Л. Д. |заглавие=Краткий курс математического анализа |издание=3-е изд. перераб. |место=М. |издательство=Физматлит |год=2005 |том=1 |страницы=19 |страниц=400 |isbn=5-9221-0184-6 |ref=Кудрявцев }}</ref>).

В [[Нестандартный анализ|нестандартном анализе]] Робинсона бесконечно большие и бесконечно малые величины актуализируются с привлечением [[Теория моделей|теоретико-модельных]] средств, причём выразительные средства и методы доказательств благодаря этому в нестандартном анализе во многих случаях выигрывают перед классическими, и получен ряд новых результатов, которые могли бы быть получены и в классическом анализе, но не были обнаружены из-за недостатка наглядности<ref>{{Из|МЭ|статья=Нестандартный анализ|автор=[[Драгалин, Альберт Григорьевич|Драгалин А. Г.]]}} <cite>С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа</cite></ref>.

=== Проективная геометрия ===
[[Файл:Real projective line.svg|thumb|Действительная [[проективная прямая]] с обозначенной точкой <math>\infty</math>]]
Важным в актуализации представлений о бесконечности в математике стало создание [[Понселе, Жан-Виктор|Понселе]] в [[1822 год в науке|1822 году]] [[Проективная геометрия|проективной геометрии]], одной из ключевых идей которой является сворачивание при проектировании бесконечно удалённого в «идеальные точки» и «идеальные прямые». Так, чтобы превратить бесконечную плоскость в евклидовом пространстве <math>\R^2</math> в проективную плоскость <math>\R P^2</math> необходимо для каждого класса параллельных прямых добавить [[идеальная точка|идеальную точку]], и все эти идеальные точки (и только они) сворачиваются в {{нп5|идеальная прямая|идеальную прямую|en|line at infinity}}. [[Действительное число|Действительная]] [[проективная прямая]] в этих построениях — расширение числовой прямой идеальной точкой (<math>\R P^1 = \R \cup \{ \infty \}</math>).

Так же, как и в анализе{{Переход|#Математический анализ}}, с полученной бесконечностью в проективной геометрии можно оперировать (в проективной геометрии, в отличие от анализа, бесконечность не имеет знака, <math>\alpha \in \R</math>):
: <math>\infty \pm \alpha = \infty</math>,
: <math>\infty \cdot \alpha = \infty, \, \alpha \ne 0</math>,
: <math>\infty \cdot \infty  = \infty </math>,
: <math>\alpha \big / \infty = 0</math>,
: <math>\infty \big / \alpha = \infty</math>,
: <math>\alpha \big / 0 = \infty, \, \alpha \ne 0</math>,

но при этом выражения <math>\infty + \infty, \, \infty - \infty, \, \infty \cdot 0, \, \infty / \infty, \, 0 / 0</math> не определены.

[[Файл:Riemann sphere.png|thumb|[[Сфера Римана]] и [[комплексная плоскость]]]]
Создавая геометрическую интерпретацию [[Комплексное число|комплексных чисел]], [[Риман, Георг Фридрих Бернхард|Риман]] в [[1851 год в науке|1851 году]] воспользовался средствами проективной геометрии, и для [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]] <math>\Complex</math> построил проективное пространство <math>\Complex P^1</math> — комплексное обобщение числовой проективной прямой, известное как [[сфера Римана]]: полюсы сферы — точки <math>0</math> и <math>\infty</math>, а [[стереографическая проекция]] (с выколотой точкой <math>\infty</math>) переводит её в [[Комплексная плоскость|комплексную плоскость]]. В отличие от вещественного анализа, где используется бесконечность со знаком, в [[Комплексный анализ|комплексном анализе]] используется именно проективная форма бесконечности (<math>\Complex \cup \{\infty\}</math>).

=== Теория множеств ===
Основной вклад в представление о бесконечности в математике внесён [[Теория множеств|теорией множеств]]: идея актуальной бесконечности и разных сортов бесконечности занимают существенную часть этой теории.

Для измерения разных видов бесконечности в теории множеств вводится понятие [[Мощность множества|мощности]] (кардинального числа), совпадающее с количеством элементов для конечных множеств, а для бесконечных множеств задействующее принцип [[биекция|биекции]]: если между множествами возможно установить взаимно-однозначное соответствие, то они равномощны. Так, оказывается, что множество натуральных чисел <math>\N</math> равномощно множествам целых чисел (<math>\Z</math>), чётных натуральных чисел, всех рациональных чисел (<math>\Q</math>), а отрезок числовой прямой (<math>\mathbb I = [0,1]</math>, континуум{{Переход|#Континуум}}) оказывается в биективном соответствии со всей числовой прямой (<math>\R</math>), а также с <math>n</math>-мерным [[Евклидово пространство|евклидовым пространством]] (<math>\R^n</math>). Мощность множества натуральных чисел и равномощных ему ([[Счётное множество|счётных множеств]]){{Переход|#Обозначения}} обозначается <math>\aleph_0</math>, а мощность континуума — <math>\mathfrak c</math>. Далее, установлено, что между множеством всех подмножеств натуральных чисел (<math>2^\N</math>) и континуумом есть взаимно-однозначное соответствие, таким образом, <math>\mathfrak c = 2^{\aleph_0}</math>, и что счётное множество — наименьшее по мощности из всех бесконечных множеств. Согласно [[Континуум-гипотеза|континуум-гипотезе]], между <math>\aleph_0</math> и <math>\mathfrak c</math> нет промежуточных мощностей (<math>\mathfrak c = \aleph_1</math>), притом, как показал [[Коэн, Пол Джозеф|Коэн]] в [[1962 год в науке|1962 году]], ни она, ни её отрицание недоказуемы в основных [[Аксиоматика теории множеств|аксиоматиках теории множеств]]. [[Обобщённая континуум-гипотеза]] предполагает, что все кардинальные числа подчиняются соотношению <math>2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}</math>, иными словами, все возможные бесконечные кардинальные числа в точности представляют мощности последовательного взятия [[булеан]]а от множества натуральных чисел: <math>\#\N, \# \mathcal P (\N), \# \mathcal P (\mathcal P (\N)), \dots</math><ref>Иногда для бесконечных кардинальных чисел, представляющих мощность последовательного взятия булеанов от счётного множества используют [[Бет-число|бет-нотацию]] (от второй буквы еврейского алфавита — [[бет (буква еврейского алфавита)|бет]]), в этих обозначениях обобщённая континуум-гипотеза формулируется как <math>\aleph_\alpha = \beth_\alpha</math></ref>.

[[Файл:Omega-exp-omega-labeled.svg|thumb|Представление порядковых чисел до <math>\omega^\omega</math>: каждый виток спирали — степень <math>\omega</math>]]
Другой вид бесконечностей, введённый теорией множеств — [[Порядковое число|порядковые числа]] (ординалы), наряду со связанным с ними принципом [[Трансфинитная индукция|трансфинитной индукции]] они вызвали наибольшие дискуссии в среде математиков, логиков и философов. Если кардинальные числа характеризуют класс эквивалентности относительно взаимно-однозначного соответствия, то порядковое число возникает как характеристика класса эквивалентности над [[Вполне упорядоченное множество|вполне упорядоченными множествами]], относительно биективных соответствий, сохраняющих отношение полного порядка. Для конечных множеств ординал и кардинал совпадают, но для бесконечных множеств это не всегда так, все множества одного порядкового числа равномощны, но обратное, в общем случае, неверно. Конструируются ординалы таким образом, чтобы последовательно продолжить натуральный ряд за пределы бесконечности<ref>Такую схему определения предложил [[Фон Нейман, Джон|фон Нейман]] в 1920-е годы, Кантор изначально использовал другой способ</ref>:
: <math> 0 = \varnothing</math>,
: <math> 1 = \varnothing \cup \{0\} = \{\varnothing \}</math>,
: …
: <math> n+1 = n \cup \{n\}</math>,
после чего, рассмотрев множество всех конечных порядковых чисел как <math>\omega</math>, вводится [[арифметика порядковых чисел]] на базе операций сложения упорядоченных множеств (введением порядка над раздельным объединением последовательно по элементам первого слагаемого множества, потом второго) и произведения (над декартовым произведением вполне упорядоченных множеств с использованием [[Лексикографический порядок|лексикографического порядка]]), и продолжается процесс:
: <math> \omega + 1 = \omega \cup \{ \omega \}</math>,
: <math> \omega + 2 = (\omega + 1) \cup \{ \omega + 1 \}</math>,
: …
: <math> \omega \cdot 2 = \omega + \omega</math>,
: <math>\omega \cdot 2 + 1</math>,
: …

Далее строится <math>\omega ^2 = \omega \cdot \omega</math>, далее — <math>\omega ^3, \dots, \omega ^\omega, \dots, \omega^{\omega^\omega}, \cdots, </math>, далее — [[Числа эпсилон (математика)|<math>\varepsilon_0</math>-числа]]:

: <math>\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}} = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \dots \}</math>.
Доказано, что множество всех счётных ординалов (всех <math>\omega</math> и <math>\varepsilon</math>) обладает мощностью <math>\aleph_1</math> — следующей за мощностью счётного множества <math>\aleph_0</math>, далее строятся ординалы высших порядков. [[Трансфинитная индукция]] — обобщение принципа [[Математическая индукция|математической индукции]], позволяющий доказывать утверждения относительно любого вполне упорядоченного множества с использованием идеи порядковых чисел. [[Парадокс Бурали-Форти]] показывает, что множество всех порядковых чисел противоречиво, но во многих аксиоматизациях теории множеств построение такого множества запрещено.

=== Бесконечномерные пространства ===
{{В планах|дата=2016-12-31}}

=== Фрактальная геометрия ===
{{main|Фрактал}}
[[Файл:Mandelbrot sequence new.gif|thumb|Одно из представлений [[Множество Мандельброта|множества Мандельброта]] — фрактала с бесконечным самоподобием.]]
{{Пустой раздел|дата=2016-12-31}}

== В программировании ==
[[Машинная бесконечность]] — конструкция для представления бесконечных числовых значений в [[Язык программирования|языках]] и системах программирования и операций с ними. Стандартная [[Число с плавающей запятой|арифметика с плавающей запятой]] ([[IEEE 754-2008]]) содержит особые значения для +∞ и −∞ : порядок состоит из одних единиц (11…11), мантисса из одних нулей (00…00). Положительная бесконечность больше любого конечного числа, отрицательная — меньше любого. Операции с бесконечностью определяются особо: (+∞) + x = +∞, +∞ + (+∞) = +∞, +∞ − ∞ = [[NaN]], [[логарифм|log]] (+∞) = +∞, [[синус|sin]] (+∞) = [[NaN]] и так далее.

Ряд языков программирования позволяет работать с потенциально бесконечными [[структура данных|структурами данных]]; например, в языке [[Haskell]] можно объявить бесконечный [[Список (информатика)|список]] и манипулировать им:
<source lang = "haskell>
nat      = [0..]         -- список всех натуральных чисел
even     = map (*2) nat  -- список всех чётных натуральных чисел
fstevens = take 10 even  -- первые десять чётных чисел
</source>
, при этом в [[Среда выполнения|среде выполнения]] будут вычисляться только те элементы бесконечной структуры, для которых запрошен непосредственный вывод (с использованием стратегии [[Ленивые вычисления|ленивых вычислений]] и применением [[рекурсия|рекурсии]]).

Особым проявлением бесконечности в программировании в смысле потенциальной вечности процесса выполнения является [[бесконечный цикл]]: техника их применения используется как сознательно (для возможности прерывания программы только внешним воздействием), так и возникает как ошибка (отсутствие или невыполнимость условия выхода из цикла: «программа зациклилась»).

== В логике ==

=== Апории Зенона ===
[[Апории Зенона]] — серия [[Апория|апорий]], относимых к [[Зенон Элейский|Зенону Элейскому]] (вторая половина V века до н. э.) и дошедших в основном в изложении [[Аристотель|Аристотеля]], будучи одними из первых примеров логических сложностей в оперировании с бесконечными объектами (хотя, прежде всего, с проблемами [[Дискретность|дискретного]] и [[Непрерывность (математика)|непрерывного]]). Сформулированы апории таким образом, что многие из них являются предметом дискуссий и интерпретаций в течение всего времени существования логики, включая современность<ref name="yanovska">{{Статья |автор=[[Яновская, Софья Александровна|Яновская С. А.]] |ссылка= |заглавие=Преодолены ли в современной науке трудности, известные под названием «апории Зенона»? |издание=Проблемы логики |ответственный=Таванец П. В. |место=М. |год=1963 |страницы=116—136 }}</ref> и считаются первой постановкой проблемы использования бесконечности в научном контексте<ref name="gaidenko">{{книга |автор=Гайденко П. П. |заглавие=Эволюция понятия науки (становление и развитие первых научных программ). Элейская школа и первая постановка проблемы бесконечности |ссылка=http://philosophy.ru/library/gaid/3.html |место=М. |издательство=Наука |год=1980 |archivedate=2011-10-25 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20111025173612/http://philosophy.ru/library/gaid/3.html }}</ref>. В апории «[[Ахиллес и черепаха]]» демонстрируется трудность суммирования убывающих бесконечно малых величин, притом эта антиномия не так проста, как иногда интерпретируется: как отмечают [[Гильберт, Давид|Гильберт]] и [[Бернайс, Пауль|Бернайс]] в «Основаниях математики», для разрешения парадокса необходимо актуализировать бесконечную последовательность событий таким образом, чтобы принять её всё-таки завершаемой<ref>{{книга |автор=[[Гильберт, Давид|Гильберт Д.]], [[Бернайс, Пауль|Бернайс П.]] |заглавие= Основания математики | том= 1. Логические исчисления и формализация арифметики |место= М. |издательство= Наука |год=1979 |страницы=40 |страниц=558}}</ref>. «[[Дихотомия (апория)|Дихотомия]]», хотя может быть разрешена представлением о пределе сходящейся последовательности <math>1/2 + 1/4 + 1/8 + \dots</math>, но для неё [[Вейль, Герман|Вейль]] предлагает современную интерпретацию: если вычислительная машина сконструирована таким образом, чтобы выполнять первую операцию за 0,5 мин, вторую — за 0,25 мин, третью — за 0,125 мин и так далее, то за минуту она могла бы пересчитать весь натуральный ряд{{Sfn|Даан-Дальмедико, Пейффер|1986|с=236—238}}.

=== Парадоксы теории множеств ===
{{Main|Парадоксы теории множеств}}
{{Пустой раздел|дата=2016-12-31}}

== В философии ==

=== Древнеиндийская философия ===
В «[[Иша-упанишада|Иша-упанишаде]]», относимой к IV—III веках до нашей эры обнаруживается представление о том, что добавление или удаление части из бесконечного объекта оставляет его бесконечным<ref>{{Lang-sa|पूर्णमदः पूर्णमिदं पूर्णात् पूर्णमुदच्यते पूर्णस्य पूर्णमादाय पूर्णमेवावशिष्यते}} — «Полное То, полное это. От полного полное берётся. Полным полное прибывает, полное лишь остаётся», перевод Сыркина</ref>. В [[Джайнизм|джайнистском]] трактате {{не переведено 2|Сурья-праджнапти-сутра||en|Sūryaprajñapti}}, относимом к [[400-е годы до н. э.|400-м годам до н. э.]], все величины разделены на три категории и три подкатегории — перечислимые (малые, средние и большие), неперечислимые («почти неперечислимые», «истинно неперечислимые» и «неперечислимо неперечислимые») и бесконечные («почти бесконечные», «истинно бесконечные» и «бесконечно бесконечные»)<ref>{{книга |автор=Joseph, G. G. |заглавие=The Crest of the Peacock. Non-European Roots of Mathematics |ссылка=https://archive.org/details/crestpeacocknone00jose |викитека= |издание=3rd |место=[[Принстон (Нью-Джерси)|Princeton]] |издательство=[[Princeton University Press]] |год=2011 |pages=[https://archive.org/details/crestpeacocknone00jose/page/349 349]—355 |allpages=562 |isbn=978-0-691-13526-7 |тираж= }}</ref>, это разделение было по-видимому первой попыткой не просто различить виды бесконечного, но и измерить соотношение между ними, а идея выделять подкатегории бесконечных величин и упорядочивать их близка к концепции [[Трансфинитное число|трансфинитных чисел]] Кантора.

=== Древнегреческая философия ===
У [[Древнегреческая философия|древнегреческих философов]] бесконечное обычно фигурирует как нечто неоформленное, несовершенное, близкое к [[хаос]]у или даже с ним отождествляемое{{Sfn|НФЭ|2010|loc=Античная мысль в основном рассматривает бесконечное как неоформленное, как не ставшее и, следовательно, несовершенное <…> Бытие в античной мысли связано с категорией меры и предела. Бесконечное выступает как беспредельное, безграничное, почти не существующее – μὴὄν и потому есть нечто близкое к хаосу, а иногда и отождествляется с ним}}, так, в [[Пифагореизм#Философия пифагорейцев|пифагорейском списке противоположностей]] бесконечность отнесена к стороне зла. Среди древнегреческих философов, позитивно использующих категорию бесконечного выделяются [[Анаксимандр]], вводящий [[Космология|космологическое]] начало как бесконечное вместилище — [[апейрон]] ({{lang-grc|ἄπειρον}}), и [[Атомизм|атомисты]] ([[Демокрит]], [[Левкипп]]), согласно которым существует бесконечное число миров, образованных из бесконечного числа атомов, содержащихся в бесконечном пустом пространстве{{Sfn|НФЭ|2010|loc=...в античной философии были мыслители, которые более позитивно используют категорию бесконечного. Прежде всего к ним относится Анаксимандр, у которого главным началом космологии служит апейрон<…> кроме того, здесь нужно назвать атомистов Левкиппа и Демокрита, у которых бесконечное пустое пространство содержит бесконечное количество атомов, образующих бесконечное количество миров}}. При этом атомистская концепция оппонировала континуалистскому подходу, в котором пространство и время считались бесконечно делимыми, тогда как у атомистов постулировались первичные неделимые элементы, а [[апории Зенона]]{{Переход|#В логике}} были призваны показать логическую несостоятельность обоих подходов{{sfn|Даан-Дальмедико, Пейффер|1986|с=236}}.

Но господствующим мнением в древнегреческой философии было отрицание актуальной бесконечности, наиболее характерное отражение этих воззрений представлено у [[Аристотель|Аристотеля]] в «[[Физика (Аристотель)|Физике]]», где он отказывает в бесконечности космосу, бесконечности последовательности причин, говоря о возможности бесконечного прироста натурального ряда и бесконечности деления отрезка на малые составляющие только как о потенциальной бесконечности{{Переход|#Актуальная и потенциальная бесконечность}}. Аристотелю же принадлежит классификация бесконечности на ''экстенсивную'' — возникающую при неограниченном добавлении предметов в совокупность, и ''интенсивную'' — появляющуюся при неограниченном углублении в строение объекта{{Sfn|Виленкин|1983|с=14—15}}<!--Кроме того, у Аристотеля явно выделены пять источников бесконечного: время, разделение отрезка, неиссякаемость творящей природы, само понятие границы, толкающее за её пределы, мышление, которое неостановимо{{проверить}}. -->
На позициях отрицания актуальной бесконечности и оперирования только с потенциальной бесконечностью стоят и античные геометры, в частности, у [[Евклид]]а в «[[Начала Евклида|Началах]]» второй постулат утверждает возможность произвольно долго продолжать прямую, но сами прямые и плоскости рассматриваются как конечные, хоть и почти неограниченно «большие»{{Sfn|НФЭ|2010}}.

В работах [[Неоплатонизм|неоплатоников]], прежде всего, у [[Плотин]]а, в связи с проникновением представлений восточной мистики и во многом под влиянием работ [[Филон Александрийский|Филона Александрийского]], давшего эллинистическую интерпретацию [[Бог в христианстве|христианского Бога]], формируется представление об актуальной бесконечности [[Плотин#Единое, Ум, Мировая душа|Ума]] как бесконечно могущественного и единого, и потенциальной бесконечности безграничной материи{{Sfn|НФЭ|2010|loc=Ум Плотин уже называет бесконечным в следующих смыслах: в смысле его бесконечного могущества, его единства и его самодостаточности. Все сущее оказывается тем самым между двумя бесконечностями: актуальной бесконечностью Ума и потенциальной бесконечностью мэональной материи, лишённой границ и формы и получающей свои определения только через «отражения» совершенств высшего бытия}}.

=== Европейская средневековая философия ===
В раннехристианской и раннесредневековой философии ([[Ориген]], [[Аврелий Августин|Августин]], [[Альберт Великий]], [[Фома Аквинский]]) унаследовано от Аристотеля отрицание актуальной бесконечности в мире, при признании в том или ином виде за [[Бог в христианстве|христианским Богом]] актуально бесконечного{{Sfn|НФЭ|2010}}.

В трудах [[Схоластика|схоластов]] XIII—XIV веков ([[Уильям из Шервуда|Уильяма из Шервуда]], [[Хейтсбери, Уильям|Хейтсбери]], [[Григорий из Римини|Григория из Римини]]) явно обозначается различие между понятиями потенциальной и актуальной бесконечности (в ранних сочинениях потенциальную и актуальную бесконечность называют ''синкатегорематической'' и ''категорематической'' бесконечностями соответственно), но сохраняется отношение к актуально бесконечному как божественному{{Sfn|НФЭ|2010}}, либо постулируется полное отрицание актуальной бесконечности ({{lang-la|infinitum actu non datur}}). Однако уже [[Оккам, Уильям|Оккам]] обращает внимание на возможность признания существования [[Континуум (философия)|континуума]] и его частей как актуально существующих при сохранении за ними свойств бесконечного — возможности бесконечного деления на составляющие части<ref>{{lang-la|Sed omne continuum est actualiter existens. Igitur quaelibet pars sua est vere existens in rerum natura. Sed partes continui sunt infinitae quia non tot quin plures, igitur partes infinitae sunt actualiter existentes — «Но всякий континуум актуально существует. Следовательно, и его части существуют в природе. Но части континуума бесконечны, потому что нельзя сказать сколь их много, и, стало быть, бесконечные части актуально существуют»}}</ref>, а [[Суайнсхед, Ричард|Суайнсхед]] в подтверждение своим рассуждениям о бесконечной делимости континуума математически доказывает утверждение о сумме бесконечного числового ряда{{Переход|#Бесконечные ряды}}<ref>{{книга|автор=Боголюбов А. Н.|заглавие=Математики. Механики. Биографический справочник|место=Киев|издательство=Наукова думка|год=1983|страниц=639|страница=457|ref=Боголюбов}}</ref>. [[Орем, Николай|Орем]], развивая построения Суайнсхеда, выстраивает систему геометрических доказательств сходимости бесконечных рядов, строит пример плоской фигуры, бесконечной по протяжённости, но с конечной площадью<ref name="Паплаускас-1"/>.

В XV веке [[Николай Кузанский]] создаёт учение об «абсолютном максимуме», который он считает бесконечной мерой всех конечных вещей, тем самым давая представление, совершенно не совпадающее с античным: всё конечное рассматривается как ограничение актуально существующей божественной бесконечности ({{lang-la|possest}}), в противоположность господствовавшему представлению о существовании конечных вещей и потенциальности бесконечного{{Sfn|НФЭ|2010|loc=… для Кузанца, наоборот, любая конечная вещь выступает как потенциальное ограничение актуально бесконечной божественной возможности — бытия (possest)}}.

=== Философия Нового времени ===
Представления Николая Кузанского развиты у [[Спиноза, Бенедикт|Спинозы]], согласно которому вещи получают своё бытие внутри бесконечной божественной субстанции посредством самоопределения через отрицание{{Sfn|НФЭ|2010|loc=… Аналогично и в рамках пантеизма Спинозы оказывается, что omnis determinatio est negatio (каждое определение есть отрицание): не через предел, не через ограничение бесформенной материи получают вещи своё бытие, а именно от подлежащей бесконечной божественной субстанции, внутри которой самоопределение выступает как частичная негация}}. От этих представлений идёт и признание в XVI—XVII веках идеи о бесконечности [[Вселенная|Вселенной]], которые утвердились благодаря [[Гелиоцентрическая система мира|гелиоцентрической системе]] [[Коперник, Николай|Коперника]], просветительской работе [[Бруно, Джордано|Бруно]], исследованиям [[Кеплер, Иоганн|Кеплера]] и [[Галилея]]{{Sfn|Даан-Дальмедико, Пейффер|1986|с=43—44}}{{Sfn|НФЭ|2010}}. Кеплер и Галилей начинают использовать методы бесконечного в математической практике, так, Кеплер, опираясь на идеи Николая Кузанского, аппроксимирует окружность правильным многоугольником со стремящимся к бесконечности числом сторон{{Sfn|Даан-Дальмедико, Пейффер|1986|c=43—45}}, а Галилей, обращая внимание на соответствии между числами и их [[Квадрат (число)|квадратами]], отмечает невозможность применения тезиса «целое больше части» к бесконечным объектам{{Sfn|Бурбаки|1963|с=39}}.

Значительная роль в представлении о природе непрерывного и сущности континуума привнесена учеником Галилея [[Кавальери, Бонавентура|Кавальери]], который в трактате «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» ([[1635 год в науке|1635]]) рассматривал [[Плоская фигура|плоские фигуры]] как бесконечные множества заполняющих их отрезков, а [[Тело (геометрия)|объёмные тела]] — как состоящие из бесконечного числа параллельных плоских фигур, используя такие метафоры: линия состоит из точек также, как и ожерелье из жемчужин, плоская фигура из линий, также как и ткань из нитей, тело из плоскостей — как книга из страниц; с использованием этого «[[Метод неделимых|метода неделимых]]» Кавальери получил значительные математические результаты{{Sfn|Даан-Дальмедико, Пейффер|1986|c=249}}.

[[Декарт, Рене|Декарт]] невозможность познания Бога из бытия сотворённого им мира аргументирует несоизмеримостью конечного и актуально бесконечного, непостижимость которого, по его представлению, заключена уже в самом формальном определении бесконечности<ref>{{статья|автор=[[Гарнцев, Михаил Анатольевич|Гарнцев М. А.]]|заглавие=Проблема абсолютной свободы у Декарта|ссылка=http://anthropology.rinet.ru/old/8/GARNZEV1.htm|язык=|издание=[[Логос (журнал)|Логос]]|год=1996|том=|номер=8|страницы=|doi=|issn=|deadlink=да|archiveurl=https://web.archive.org/web/20151124083410/http://anthropology.rinet.ru/old/8/GARNZEV1.htm|archivedate=2015-11-24}}</ref>. Соответственно, подлинно бесконечным Декарт признаёт лишь всемогущего Бога, а такие проявления бесконечности, как «бесконечность человеческой воли», считает проявлениями божественного образа в существе человека{{Sfn|НФЭ|2010}}.

Наиболее последовательным сторонником существования актуальной бесконечности был [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбниц]], в «[[Монадология|Монадологии]]» он последовательно проводит идею бесконечности [[Монада|монад]] в универсуме, в каждой его части, выраженной в форме материи, обуславливая устойчивость этих частей законом предопределённой гармонии и особыми принципами подчинения монад, при этом рассматривая и монады, в свою очередь, как бесконечный в пространстве и времени универсум{{Sfn|НФЭ|2010}}. Эти представления Лейбница нашли отражение в его фундаментальных трудах по исчислению бесконечно малых, представляя инфинитезимали как монады{{Переход|#Исчисление бесконечно малых}}. Созданное Ньютоном и Лейбницем [[дифференциальное исчисление]], явно актуализировавшее инфинитезимали, вызвало широкую и длительную дискуссию среди философов XVII—XVIII веков, наиболее последовательным противником методов, использующих бесконечно малые величины, был [[Беркли, Джордж|Беркли]], эти дискуссии получили отражение в культуре в фабулах «[[Путешествия Гулливера|Путешествий Гулливера]]» [[Свифт, Джонатан|Свифта]] и «[[Микромегас]]а» [[Вольтер]]а{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|c=13—14}}.

[[Кант, Иммануил|Кант]] в «[[Критика чистого разума|Критике чистого разума]]» отказывает в возможности рассмотрения как бесконечных чисел, так и бесконечных величин; на основе анализа [[Антиномия|антиномий]] чистого разума Кант характеризует мир ни как конечный, ни как бесконечный, а как «неопределённый»{{Sfn|НФЭ|2010}}.

[[Гегель, Георг Вильгельм Фридрих|Гегель]] развивает идею теснейшей связи, почти тождества, бесконечного и абсолютного<ref>''«Бесконечное в его простом понятии можно, прежде всего, рассматривать как новую дефиницию абсолютного…»'' ''[[Гегель, Георг Вильгельм Фридрих|Гегель Г. В. Ф.]]''Наука логики. // Соч., т. V. — М.: Госиздат, 1927. — С. 136.</ref>, особо рассматривает «дурную бесконечность» как отрицание конечного и как [[Диалектика|диалектическое]] преодоление антагонизма вводит «истинную бесконечность»; истинно бесконечен по Гегелю только [[Абсолютный дух]]{{Sfn|НФЭ|2010}}. В философии [[Диалектический материализм|диалектического материализма]] подчёркивается представление о бесконечном, как о диалектическом процессе<ref>''«Говоря о бесконечно большом и бесконечно малом, математика вводит такое качественное различие, которое имеет даже характер непреодолимой качественной противоположности…»'' ''[[Маркс, Карл|Маркс К.]], [[Энгельс, Фридрих|Энгельс Ф.]]'' [[Диалектика природы]] // Соч., т. 20. — М.: Политиздат, 1956. — С. 574.</ref><ref>''«Бесконечность есть противоречие, и она полна противоречий… Именно потому, что бесконечность есть противоречие, она представляет собой бесконечный, без конца развертывающийся во времени и пространстве процесс. Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности.»'' ''[[Маркс, Карл|Маркс К.]], [[Энгельс, Фридрих|Энгельс Ф.]]'' [[Анти-Дюринг]] // Соч., т. 20. — М.: Политиздат, 1956. — С. 51.</ref>, само понятие бесконечного в ней имеет различные смыслы: простейшая, практическая бесконечность; бесконечность, как абсолютность, всеобщность, завершённость; бесконечность интеллектуального мира; реальная бесконечность. Бесконечность пространства и времени Энгельс рассматривает как пример «дурной бесконечности».

Наиболее значительным трудом XIX века о бесконечности, в большей степени философским{{Sfn|Бурбаки|1963|с=39—40}}, чем математическим стала монография [[Больцано, Бернард|Больцано]] {{нп5|Парадоксы бесконечного|«Парадоксы бесконечного»|en|The Paradoxes of the Infinite}} (опубликована в [[1851 год в науке|1851 году]], уже после смерти автора){{Sfn|НФЭ|2010}}, в ней систематически изучаются бесконечные множества чисел, приводятся логические и математические доводы в пользу рассмотрения актуальной бесконечности и предлагается инструментарий для исследования родов бесконечности с использованием понятия [[Взаимно-однозначное отображение|взаимно-однозначного соответствия]]{{Sfn|Бурбаки|1963|с=39—40}}.

На идейной основе работы Больцано и создана в конце XIX века в трудах [[Кантор, Георг|Кантора]] со значительным участием [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинда]] теория множеств{{Переход|#Теория множеств}} (сам термин «множество» — {{lang-de|menge}}, в качестве обозначения актуально бесконечного объекта впервые использован у Больцано), именно в теории множеств впервые мотивированно рассмотрено соотношение разных видов бесконечного, в частности, средствами понятия о [[Мощность множества|мощности]] установлено соотношение между количеством элементов натурального ряда (счётного множества, <math>\aleph_0</math> в обозначениях Кантора) и количеством точек континуума (<math>\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}</math>), сформулирован принцип [[Трансфинитная индукция|трансфинитной индукции]]. Кантор при этом пытался дать и философское обоснование своих построений, вводя в дополнение к трансфинитным числам, постижимым сознанием ещё и непостижимое «бесконечное в Боге»{{Sfn|НФЭ|2010|loc=Создатель теории множеств Кантор пытался дать и богословское применение своим конструкциям с актуальной бесконечностью (Кантор вообще считал теорию множеств относящейся столько же к метафизике, сколько и к математике). Он различал три типа бесконечного: бесконечное в Боге («в уме Бога») – Абсолютное, в тварном мире – Трансфинитное, в уме человека – трансфинитные числа (ординалы)}}. Особую роль в осознании бесконечного в рамках работ по созданию теории множеств сыграло определение бесконечного множества в книге Дедекинда «Что такое числа и для чего они служат?»<ref>{{книга |автор=Dedekind, R. |заглавие=Was sind und was sollen die Zahlen? |оригинал= |ссылка=http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?pn=1&url=%2Fmpiwg%2Fonline%2Fpermanent%2Feinstein_exhibition%2Fsources%2F8GPV80UY%2Fpageimg&viewMode=images&tocMode=thumbs&tocPN=1&searchPN=1&mode=imagepath&characterNormalization=reg&queryPageSize=10 |викитека= |место=Braunschweig |издательство=Drud und Berlag von Friedrich Bieweg |год=1893 |страниц=60 |archivedate=2013-05-13 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130513162427/http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?pn=1&url=%2Fmpiwg%2Fonline%2Fpermanent%2Feinstein_exhibition%2Fsources%2F8GPV80UY%2Fpageimg&viewMode=images&tocMode=thumbs&tocPN=1&searchPN=1&mode=imagepath&characterNormalization=reg&queryPageSize=10 }}</ref> как взаимно-однозначное с частью себя, тогда как все предыдущие определения бесконечного носили негативный характер<ref name="set"/>. К концу XIX века (прежде всего, благодаря организованной серии докладов на [[Международный конгресс математиков#Первый конгресс|Первом международном конгрессе математиков]] в 1897 году) теория множеств получила широкое признание и практическое применение в среде математиков, но в среде теологов и философов относительно идей об актуальной бесконечности и количественных различиях её видов развернулась серьёзная дискуссия<ref name="set">{{книга|автор= [[Медведев, Фёдор Андреевич|Ф. А. Медведев]] |заглавие= Развитие теории множеств в XIX веке |ссылка= |викитека= |издание= |место= М. |издательство= Наука |год= 1965 |страницы= 133—137, 144—157 |страниц=232 |тираж=2500 |ref=Медведев}}</ref>.

=== Современная философия ===
В философии XX века основное содержание исследований вопросов, связанных с бесконечностью, тесно стыкуется с [[Метаматематика|основаниями математики]], и прежде всего, проблемами теории множеств{{Sfn|НФЭ|2010|loc=В 20 в. философские дискуссии вокруг проблем бесконечности соотносятся с теорией множеств и проблемой оснований математики}}.

[[Рассел, Бертран|Рассел]], в системе которую он построил совместно с [[Уайтхед, Альфред Норт|Уайтхедом]] в [[Principia Mathematica]] в преодоление парадоксов теории множеств{{Переход|#Парадоксы теории множеств}}, постулировал существование бесконечности посредством введения [[Аксиома бесконечности|аксиомы бесконечности]], притом в ней не допускается в возможности выведения бесконечности из других [[Априори|априорных]] понятий, не считается выводимым понятие бесконечности сугубо аналитически из принципа недопущения противоречий. Также Рассел не считал возможным изыскать [[Апостериори|апостериорное]] обоснование бесконечности, основываясь на здравом смысле и опыте, особо отмечая, что нет никаких оснований веры в бесконечность пространства, бесконечность времени или бесконечную делимость предметов. Таким образом, бесконечность по Расселу — [[Императив (философия)|гипотетический императив]], которым в разных системах можно пользоваться или нет, но который невозможно обосновать или опровергнуть<ref>{{статья |автор=Суровцев В. А. |заглавие=Б. Рассел о бесконечности |ссылка=http://sun.tsu.ru/mminfo/000063105/phil/12/image/12-135.pdf |язык= |издание=Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология |тип= |год=2010 |том=12 |номер=4 |страницы=135—145 |doi= |issn= |archivedate=2015-12-03 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20151203135859/http://sun.tsu.ru/mminfo/000063105/phil/12/image/12-135.pdf }}</ref>.

Реализуя программу по преодолению парадоксов теории множеств, [[Гильберт, Давид|Гильберт]] и [[Бернайс, Пауль|Бернайс]] сформировали принципы, идентифицируемые как «гильбертов финитизм», согласно которым утверждения о свойствах, сформулированных для всех элементов бесконечной совокупности возможны только при условии их воспроизводимости для каждого конкретного элемента, при этом, не ограничивая возможные абстракции бесконечного, в том числе, и [[Трансфинитная индукция|трансфинитную индукцию]]. [[Витгенштейн, Людвиг|Витгенштейн]], наиболее радикально развивший концепцию [[финитизм]]а в [[Аналитическая философия|аналитической философии]], считал возможным рассматривать бесконечное только как запись [[Рекурсия|рекурсивного]] процесса и принципиально отвергал возможность рассмотрения разных классов бесконечности<ref>{{cite web |url=http://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-mathematics/ |title=Wittgenstein’s Philosophy of Mathematics |author=Rodych, V. |date=2011-09-21 |work=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=[[Stanford University Press]] |accessdate=2013-05-25 |lang=en |quote= |archiveurl=https://www.webcitation.org/6GsWihJPH?url=http://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-mathematics/ |archivedate=2013-05-25 }}</ref>.
<!-- Карнап, {{Не переведено 2|Беккер, Оскар|Беккер|de|Oskar Becker (Philosoph)|Oskar Becker}}, {{Не переведено 2|Брюнсвик, Леон|Брюнсвик|fr|Léon Brunschvicg}}; ультрафинитизм-->

В школах, исходящих из [[Неокантианство|неокантианства]] и [[Феноменология|феноменологии]] также исследовались вопросы бесконечного, так, [[Кассирер, Эрнст|Кассирер]] в [[Дебаты Кассирера и Хайдеггера|дискуссии]] с [[Хайдеггер, Мартин|Хайдеггером]] («Давосская дискуссия», 1929) вводит ''имманентную бесконечность'', возникающую как объективизация сферы переживаний<ref>{{статья |автор=Вейнмейстер А. В. |заглавие=Давосская дискуссия между Кассирером и Хайдеггером |ссылка=http://vestnik.osu.ru/2007_2/8.pdf |язык= |издание=Вестник Оренбургского государственного университета |тип= |год=2007 |том= |номер=2 |страницы= |doi= |issn= |quote=Посредством символических форм, Кассирер обосновывает возможность перехода конечности в бесконечность. «Функция форм состоит в том, что человек преобразует свое наличное бытие Dasein в форму, что он всю сферу переживаний преобразует в объективный образ, в котором он объективирует себя таким образом, что при этом он хотя радикально и не освобождается от конечности в смысле исходной точки (ибо она все ещё сопряжена с его собственной конечностью), но, вырастая из этой конечности, выводит конечность в нечто новое. И это есть имманентная бесконечность» |archivedate=2015-06-06 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150606193311/http://vestnik.osu.ru/2007_2/8.pdf }}</ref>, в 1950-е — 1960-е годы программные работы, посвящённые бесконечному, написаны [[Койре, Александр|Койре]] и [[Левинас, Эммануэль|Левинасом]]<ref name="yam">{{статья |автор=Ямпольская А. В. |заглавие=Идея бесконечного у Левинаса и Койре |ссылка=http://vphil.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=64&Itemid=52#_edn9 |язык=ru |издание=[[Вопросы философии]] |тип= |год=2009 |том= |номер=№ 8 |страницы=125—134 |doi= |issn= |archivedate=2013-10-10 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20131010095300/http://vphil.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=64&Itemid=52#_edn9 }}</ref>.

=== Индукция ===
[[Индуктивное умозаключение|Индукция]] — [[Классическая логика|классический логический]] метод, позволяющий перейти от частных утверждений ко всеобщим, в том числе, относительно бесконечного множества объектов. Индукция относительно натурального ряда без какой-либо формализации отмечается ещё у [[Прокл Диадох|Прокла]] и [[Евклид]]а, тогда как осознание её как [[Математическая индукция|метода математической индукции]] относят к [[Паскаль, Блез|Паскалю]] и [[Герсонид]]у<ref name="rabinovich">{{статья|автор= Nachum L. Rabinovih |заглавие=Rabbi Levi ben Gershom and the origins of mathematical induction |ссылка= |автор  издания= |издание=Archive for History of Exact Sciences |тип= |место= |издательство= |год=1970 |выпуск=6 |том= |номер= |страницы=237—248 |isbn=}}</ref>. В современных обозначениях математическая индукция заключается в силлогизме:
: <math>P(1), \forall n\in \N (P(n) \rightarrow P(n+1)) \vdash \forall n \in \N (P(n))</math>,
то есть, выводе свойства <math>P</math> для всего множества натуральных чисел из факта его выполнения для единицы и выводимости для каждого последующего числа на основании выполнения свойства для предыдущего.

Метод математической индукции считается надёжным, но распространить его можно только на счётные вполне упорядоченные множества. Попыткой распространить индукцию на произвольные вполне упорядоченные множества было создание метода [[Трансфинитная индукция|трансфинитной индукции]] Кантором в рамках теории множеств{{Переход|#Теория множеств}}, использующего идею трансфинитных (порядковых) чисел.

В [[Интуиционизм|интуиционистской логике]] для применения индуктивного рассуждения на несчётные совокупности (описываемые в интуиционизме как [[Поток (интуиционизм)|потоки]]) применяется {{нп5|бар-индукция||en|Bar induction}}<ref>{{Из|МЭ|статья=Бар-индукция|автор=Драгалин А. Г.}}</ref>.

== Символы ==
[[Файл:Erlangen Neustädter Friedhof 018.JPG|мини|[[Уроборос]] на могиле как символ вечности, возможный прототип символа бесконечности «∞»]]
[[Файл:Lemniscate Building 2.gif|мини|[[Лемниската Бернулли]] — алгебраическая кривая, похожая на символ бесконечности, впервые описана в 1694 году, спустя почти полвека после появления символа «∞» у Валлиса]]
[[Символ бесконечности]] <math>\infty</math> впервые появился в опубликованном в 1655 году трактате английского математика [[Валлис, Джон|Джона Валлиса]] «О конических сечениях» ({{lang-la|De sectionibus conicis}}, страница 5)<ref>[https://books.google.com/books?id=03M_AAAAcAAJ&pg=PP5 De sectionibus conicis] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=03M_AAAAcAAJ&pg=PP5 |date=20140102045634 }}''</ref><ref>{{citation |title=The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703) |edition=2 |first1=Joseph Frederick |last1=Scott |publisher=AMS Bookstore |year=1981 |isbn=0-828-40314-7 |page=24 |url=https://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C |access-date=2017-10-02 |archive-date=2014-09-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140925210751/https://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C |url-status=dead }}, [https://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C&pg=PA24 Chapter 1, page 24] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C&pg=PA24 |date=20161118121007 }}</ref><ref>{{citation |title=COLOG-88: International Conference on Computer Logic Tallinn, USSR, December 12–16, 1988: proceedings |first1=Per |last1=Martin-Löf |first2=G. E. |last2=Mints |publisher=Springer |year=1990 |isbn=3-540-52335-9 |page=147 |url=https://books.google.com/books?id=nfnGohZvXDQC |access-date=2017-10-02 |archive-date=2014-10-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141001182319/https://books.google.com/books?id=nfnGohZvXDQC |url-status=dead }}, [https://books.google.com/books?id=nfnGohZvXDQC&pg=PA147 page 147] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=nfnGohZvXDQC&pg=PA147 |date=20141002130117 }}</ref>. Предполагается, что символ имеет более древнее происхождение, и связан с [[уроборос]]ом — змеёй, кусающей свой хвост<ref>Robertson, Robin; Combs, Allan. The Uroboros // Indra’s Net: Alchemy and Chaos Theory as Models for Transformation. — Quest Books, 2009. — ISBN 978-0-8356-0862-6</ref>; подобные символы были найдены среди тибетских наскальных гравюр. В [[Юникод]]е бесконечность обозначена символом ∞ (U+221E).

Символы бесконечности, используемые для [[Кардинальное число|кардинальных чисел]] — <math>\aleph_0, \aleph_1, \dots</math> — основаны на первой букве еврейского алфавита [[Алеф (буква еврейского алфавита)|алеф]] с нижним индексом. См. [[Иерархия алефов]]. Систему алефов ввёл [[Кантор, Георг|Кантор]] в [[1893 год]]у, считая, что все греческие и латинские символы уже заняты, а еврейский алеф ещё и является символом числа 1; при этом еврейский алфавит был доступен в наборах во многих типографиях Германии того времени<ref>{{cite web |url=http://ega-math.narod.ru/Singh/Cantor.htm |title=Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств |author=Даубен Дж. |date=1983-07-01 |work=[[Scientific American]], издание на русском языке, № 8 (август), с. 76–86 |publisher= |accessdate=2013-05-05 |lang=ru |archiveurl=https://www.webcitation.org/6GVyKDC5A?url=http://ega-math.narod.ru/Singh/Cantor.htm |archivedate=2013-05-10 }}</ref>. В Юникоде алеф выведен символом א (U+05D0).

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{Викисловарь|бесконечность}}
* {{книга |автор=[[Николя Бурбаки|Н. Бурбаки]] |часть=Основания математики. Логика. Теория множеств |ссылка часть= |заглавие=Очерки по истории математики |оригинал= |ссылка= |викитека= |ответственный=[[Башмакова, Изабелла Григорьевна|И. Г. Башмакова]] (перевод с французского) |издание= |место=М |издательство=Издательство иностранной литературы |год=1963 |страницы=37—53 |страниц=292 |серия=Элементы математики |тираж= |ref=Бурбаки }}
* {{книга |автор=[[Виленкин, Наум Яковлевич|Виленкин Н. Я.]] |заглавие=В поисках бесконечности |ссылка= |место=М. |издательство=Наука |год=1983 |ref=Виленкин }}
* {{книга |автор=Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. |заглавие=Инфинитезимальный анализ: избранные темы |ссылка= |викитека= |ответственный= |издание= |место=М. |издательство=Наука |год=2011 |страниц=398 |серия= |isbn=978-5-02-036137-9 |тираж= |ref=Гордон, Кусраев, Кутателадзе }}
* {{книга |автор=Грасиан, Энрике. |заглавие=Открытие без границ. Бесконечность в математике |место=М. |издательство=Де Агостини |год=2014 |страниц=144 |isbn=978-5-9774-0713-7 |серия=Мир математики: в 45 томах, том 18 |ref=Энрике Грасиан }}
* {{книга |автор=Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. |заглавие=Пути и лабиринты. Очерки по истории математики |оригинал=Routes et dédales |ссылка= |викитека= |ответственный=Перевод с французского А. А. Брядинской под редакцией И. Г. Башмаковой |место=М. |издательство=Мир |год=1986 |страницы=394—402 |страниц=432 |серия=Современная математика. Популярная серия |тираж=50000 |ref=Даан-Дальмедико, Пейффер }}
* {{БРЭ|статья=Бесконечность|автор=[[Катасонов, Владимир Николаевич|Катасонов В. Н.]]|том=3|страницы=413—415|ref=Катасонов|ссылка=https://old.bigenc.ru/philosophy/text/1861915|архив=https://web.archive.org/web/20221019015028/https://bigenc.ru/philosophy/text/1861915|архив дата=2022-10-19}}
* {{Источник/НФЭ|Бесконечное|[[Катасонов, Владимир Николаевич|Катасонов В. Н.]]|url=https://iphlib.ru/greenstone3/library/collection/newphilenc/document/HASH0140b4612aa2c2c3b235a140}}
* {{книга |автор=[[Клайн, Морис|Клайн М.]] |заглавие=Математика. Утрата определённости |издательство=[[Мир (издательство)|Мир]] |место=М. |год=1984 |страниц=446 | ref = Клайн}}

{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Философские термины]]
[[Категория:Философия математики]]
[[Категория:Бесконечность| ]]
[[Категория:Математические объекты]]