Просмотр кода страницы Биекция

[[Файл:Bijection.svg|thumb|200px|Биективная функция.]]
'''Бие́кция''' — [[отображение]], которое является одновременно и [[Сюръекция|сюръективным]], и [[Инъекция (математика)|инъективным]]. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют также '''''взаимно однозначным отображением''''' (соответствием).

Биективное отображение, являющееся [[гомоморфизм]]ом, называют '''''[[Изоморфизм|изоморфным]] соответствием'''''.

Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются [[Мощность множества|равномощными]]. С точки зрения [[Универсальная алгебра|алгебры]] [[Мощность множества|равномощные]] множества неразличимы.

Взаимно однозначное отображение [[Конечное множество|конечного множества]] на себя называется [[Перестановка|перестановкой]] (или подстановкой) элементов этого множества.

Формально, [[Функция (математика)|функция]] <math>f\colon X\to Y</math> называется биекцией (и обозначается <math>f\colon X\leftrightarrow Y</math>), если она:
* переводит разные элементы [[множество|множества]] <math>X</math> в разные элементы множества <math>Y</math> ([[Инъекция (математика)|инъективность]]):
*: <math>\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\; x_1 \ne x_2\Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)</math>.
* любой элемент из <math>Y</math> имеет свой прообраз ([[Сюръекция|сюръективность]]):
*: <math>\forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y</math>.

Примеры:
* [[Тождественное отображение]] <math>\mathrm{id}\colon X\to X</math> на множестве <math>X</math> биективно.
* <math>f(x)=x,\;f(x)=x^3</math> — биективные функции из <math>\R</math> в себя; вообще, любой [[моном]] одной [[Переменная величина|переменной]] [[Чётные и нечётные числа|нечетной]] [[степень многочлена|степени]] является биекцией из <math>\R</math> в себя.
* <math>f(x)=e^x</math> — биективная функция из <math>\R</math> в <math>\R_+=(0,\;+\infty)</math>.
* <math>f(x)=\sin x</math> не является биективной функцией, если считать её определённой на всём <math>\R</math>.
* [[Монотонная функция|Строго монотонная]] и [[Непрерывное отображение|непрерывная]] функция <math>f(x)</math> является биекцией из [[Промежуток (математика)|отрезка]] <math>[a,b]</math> на отрезок <math>[f(a),f(b)]</math>.

[[Файл:Bijective_composition.svg|thumb|300px|Композиция [[Инъективность|инъекции]] и [[Сюръекция|сюръекции]], дающая биекцию.]]
Функция <math>f\colon X\to Y</math> является биективной тогда и только тогда, когда существует [[обратная функция]] <math>f^{-1}\colon Y\to X</math> такая, что:
: <math>\forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x</math> и <math>\forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y.</math>

Если функции <math>f</math> и <math>g</math> биективны, то и композиция функций <math>g\circ f</math> биективна, в этом случае <math>(g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}</math>, то есть, [[Композиция функций|композиция]] биекций является биекцией. Обратное в общем случае неверно: если <math>g\circ f</math> биективна, то можно лишь утверждать, что <math>f</math> инъективна, а <math>g</math> сюръективна.

== Литература ==
* {{книга |автор=[[Верещагин, Николай Константинович|Н. К. Верещагин]], [[Шень, Александр Ханиевич|А. Шень]]|заглавие=Лекции по математической логике и теории алгоритмов |часть=Часть 1. Начала теории множеств |издание=2-е изд., испр |место=М. |издательство=[[МЦНМО]] |год=2002 |страниц=128|ссылка часть=http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part1.pdf }}
* {{книга |автор=[[Ершов, Юрий Леонидович|Ершов Ю. Л.]], Палютин Е. А.|заглавие=Математическая логика: Учебное пособие |издание=3-е изд., стереотип.|место=СПб |издательство=Лань |год=2004 |страниц=336}}

{{Внешние ссылки}}
{{Теория множеств}}
{{rq|refless}}

[[Категория:Типы функций]]
[[Категория:Общие понятия о функциях]]