Просмотр кода страницы Биэллиптическая переходная орбита

'''Биэллиптическая переходная орбита''' — в [[Космонавтика|космонавтике]] и [[Аэрокосмическая техника|аэрокосмической технике]] орбита [[Орбитальный манёвр|манёвра]], при котором космический аппарат переходит с одной орбиты на другую. В некоторых случаях биэллиптический переход требует меньшей [[Характеристическая скорость орбитального манёвра|характеристической скорости дельта-v]], чем перелёт по [[Гомановская траектория|гомановскому эллипсу]].

Биэллиптическая орбита состоит из двух половин [[Эллиптическая орбита|эллиптических орбит]]. Сначала космическому аппарату, находящемуся на начальной орбите, придаётся определённая дельта-v для перехода на первую часть биэллиптической орбиты с апоцентром в некоторой точке на расстоянии <math>r_b</math> от центрального тела. В этой точке аппарату также придаётся некоторая дельта-v для перехода на второй участок биэллиптической орбиты с перицентром на расстоянии, равном радиусу итоговой желаемой орбиты. В точке перицентра в третий раз аппарату придаётся некоторая дельта-v, в результате аппарат переходит на требуемую орбиту<ref name="Curtis">{{книга |заглавие=Orbital Mechanics for Engineering Students |страницы=264 |издательство=[[Elsevier]] |год=2005 |isbn=0-7506-6169-0 |ссылка=https://books.google.com.mx/books?id=6aO9aGNBAgIC |язык=en |автор=Curtis, Howard}}</ref>.

Биэллиптические перелёты обычно требуют больше топлива и времени, чем гомановские, но некоторые биэллиптические траектории требуют меньшей суммарной дельта-v, чем гомановская траектория, в случае отношения больших полуосей конечной и начальной траектории, превышающего 11,94, в зависимости от большой полуоси промежуточной орбиты<ref name="Vallado">{{книга |заглавие=Fundamentals of Astrodynamics and Applications |страницы=318 |издательство=Springer |год=2001 |isbn=0-7923-6903-3 |ссылка=https://books.google.com/books?id=PJLlWzMBKjkC&printsec |язык=en |автор=Vallado, David Anthony}}</ref>.

Идея биэллиптической переходной орбиты была впервые представлена в статье [[Штернфельд, Ари Абрамович|Ари Штернфельда]] в 1934 году<ref name=sternfeld1934>{{Citation |last=Sternfeld |first=Ary {{sic|J.|expected=A.}} |title=Sur les trajectoires permettant d'approcher d'un corps attractif central à partir d'une orbite keplérienne donnée |language=French |trans-title=On the allowed trajectories for approaching a central attractive body from a given Keplerian orbit |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31506/f711.image.langEN |journal=Comptes rendus de l'Académie des sciences |location=Paris |volume=198 |number=1 |date=1934-02-12 |pages=711–713 |access-date=2020-07-07 |archive-date=2020-09-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200925173446/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31506/f711.image.langEN |url-status=live }} {{Cite web |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31506/f711.image.langEN |title=Источник |access-date=2020-07-07 |archive-date=2020-09-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200925173446/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31506/f711.image.langEN |url-status=unfit }}</ref>.

== Вычисления ==

=== Дельта-v ===
[[Файл:Bi-elliptic transfer.svg|thumb|250px|Биэллиптическая траектория перехода с низкой круговой орбиты (тёмно-синий цвет) на более высокую [[Круговая орбита|круговую орбиту]] (красный цвет)]]
Три значения изменения скорости можно получить непосредственно из интеграла энергий,
: <math>v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right),</math>
где
: <math>v</math> — скорость аппарата на орбите,
: <math>\mu = GM</math> — [[гравитационный параметр]] притягивающего тела,
: <math>r</math> — расстояние от притягивающего центра до тела на орбите,
: <math>a</math> — [[большая полуось]] орбиты тела.

В рассматриваемой задаче
: <math>r_1</math> — радиус начальной круговой орбиты,
: <math>r_2</math> — радиус конечной круговой орбиты,
: <math>r_b</math> — радиус общего апоцентра двух эллиптических участков переходной орбиты, свободный параметр манёвра,
: <math>a_1</math> и <math>a_2</math> равны большим полуосям эллиптических участков переходной орбиты, задаются равенствами
:: <math>a_1 = \frac{r_1 + r_b}{2},</math>
:: <math>a_2 = \frac{r_2 + r_b}{2}.</math>

При старте с начальной круговой орбиты радиуса <math>r_1</math> (тёмно-синяя окружность на рисунке), добавление скорости по направлению движения (вектор в положении 1 на рисунке) переводит космический аппарат на первый эллиптический участок орбиты перехода (бирюзовая линия). Величина необходимой дельта-v равна

: <math>\Delta v_1 = \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_1} - \frac{\mu}{a_1}} - \sqrt{\frac{\mu}{r_1}}.</math>

Когда апоцентр первого эллиптического участка достигается на расстоянии <math>r_b</math>, аппарату второй раз придаётся дополнительная скорость по направлению движения (вектор в положении 2 на рисунке), в результате на новой эллиптической орбите (оранжевая кривая) перицентр находится в точке касания итоговой круговой орбиты. Величина требуемой для перехода на эту часть переходной орбиты равна
: <math>\Delta v_2 = \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_b} - \frac{\mu}{a_2}} - \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_b} - \frac{\mu}{a_1}}.</math>

Наконец, когда достагется финальная круговая орбита радиуса <math>r_2</math>, аппарату придаётся вектор скорости против движения по орбите (вектор в положении 3 на рисунке) для перехода на итоговую круговую орбиту (красная окружность). Финальная добавка скорости равна

: <math>\Delta v_3 = \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_2} - \frac{\mu}{a_2}} - \sqrt{\frac{\mu}{r_2}}.</math>

Если <math>r_b = r_2</math>, то манёвр преобразуется в гомановскую траекторию (в этом случае <math>\Delta v_3</math> равно нулю). Следовательно, биэллиптическая орбита представляет более общий тип траектории, чем гомановская.

[[Файл:Bi-parabolicTransfer.pdf|thumb|Бипараболическая орбита перехода с низкой круговой орбиты (синий цвет) на более высокую круговую орбиту (красный цвет)]]

Максимальная экономия в смысле добавочной скорости может быть вычислена в предположении <math>r_b = \infty</math>, тогда полное значение <math>\Delta v</math> принимает вид <math>\sqrt{\mu/r_1} \left(\sqrt 2 - 1\right) \left(1 + \sqrt{r_1/r_2}\right)</math>.

В таком случае переход называется бипараболическим, поскольку оба участка траектории являются не эллипсами, а параболами. Время перелёта также стремится к бесконечности.

=== Время перелёта ===
Как и в случае гомановского перелёта, обе части траектории, используемой в биэллиптическом перелёте, являются в точности половинами эллипсов. Это означает, что время, необходимое для преодоления каждой фазы перехода, является половиной орбитального периода для каждого эллипса.

Используем уравнение для [[Период обращения|орбитального периода]] и указанные выше обозначения:

: <math>T = 2 \pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}.</math>

Полное время перелёта <math>t</math> является суммой промежутков времени для каждой из половин эллипсов, следовательно

: <math>t_1 = \pi \sqrt{\frac{a_1^3}{\mu}}, \quad  \quad t_2 = \pi \sqrt{\frac{a_2^3}{\mu}}.</math>

Итоговый интервал времени:

: <math>t = t_1 + t_2.</math>

== Сравнение с гомановской траекторией ==

=== Дельта-v ===
[[Файл:Bielliptic transfers comparison.svg|thumb|upright=1.5|Дельта-v, необходимая для гомановской (чёрная кривая) и биэллиптической траекторий (цветные кривые) между двумя круговыми орбитами как функция отношения их радиусов.]]

Рисунок показывает полное значение <math>\Delta v</math>, требуемое для перехода с круговой орбиты радиуса <math>r_1</math> на другую круговую орбиту радиуса <math>r_2</math>. Величина <math>\Delta v</math> нормирована на орбитальную скорость начальной орбиты, <math>v_1</math> и представлена в виде функции отношения радиусов конечной и начальной орбиты <math>R \equiv r_2 / r_1</math>; таким образом, сопоставление величин является общим, не зависящим от <math>r_1</math> и <math>r_2</math> по отдельности, а только от их отношения<ref name="Vallado" />.

Чёрная кривая показывает значение <math>\Delta v</math> для гомановской траектории, цветные кривые соответствуют биэллиптическим траекториям с различными значениями параметра <math>\alpha \equiv r_b / r_1</math>, определённого как расстояние апоцентра <math>r_b</math> биэллиптической орбиты, делённое на радиус начальной орбиты, и указанного рядом с кривыми. На врезке крупным планом показана область, где кривые для биэллиптических траекторий пересекают кривую для гомановской орбиты первый раз.

Можно заметить, что гомановский перелёт является более эффективным при отношении радиусов <math>R</math> меньшем 11,94. С другой стороны, если радиус итоговой орбиты более чем в 15,58 раз превышает радиус начальной орбиты, то любой биэллиптический переход вне зависимости от апоцентрического расстояния (оно должно всё же превышать радиус итоговой орбиты) требует меньшую <math>\Delta v</math> чем гомановская траектория. В области от 11,94 до 15,58 эффективность той или иной орбиты зависит от апоцентрического расстояния <math>r_b</math>. Для заданного <math>R</math> в этом диапазоне существует значение <math>r_b</math>, выше которого предпочтительна биэллиптическая траектория и ниже которого предпочтительна гомановская траектория. В следующей таблице указаны значения <math>\alpha \equiv r_b / r_1</math> для некоторых случаев<ref>{{статья
|заглавие=A Survey of Impulsive Trajectories
|издание={{Нп3|AIAA Journal}}
|издательство={{Нп3|American Institute of Aeronautics and Astronautics}}
|том=7
|номер=5
|страницы=801—834
|doi=10.2514/3.5231
|язык=en
|автор=Gobetz, F. W.; Doll, J. R.
|месяц=5
|год=1969
|тип=journal
}}</ref>.

{| class="wikitable"
|+ Минимум <math>\alpha \equiv r_b/r_1</math> таков, что для биэллиптической траектории необходимо меньшее <math>\Delta v</math><ref>{{книга
|заглавие=Methods of Astrodynamics
|место=New York
|издательство=[[John Wiley & Sons]]
|год=1968
|isbn=978-0-471-24528-5
|автор=Escobal, Pedro R.
}}</ref>.
! Отношение радиусов орбит, <math>r_2/r_1</math>
! Минимум <math>\alpha \equiv r_b/r_1</math>
! Комментарий
|-
| 0 — 11,94 || - || Гомановский перелёт лучше
|-
| 11,94 || <math>\infty</math> || Бипараболическая траектория
|-
| 12 || 815,81 ||
|-
| 13 || 48,90 ||
|-
| 14 || 26.10 ||
|-
| 15 || 18,19 ||
|-
| 15,58 || 15,58 ||
|-
| более 15,58 || более <math>r_2/r_1</math> || Любая биэллиптическая траектория лучше
|-
|}

=== Время перелёта ===
Длительное время перелёта по биэллиптической орбите

: <math> t=\pi\sqrt{\frac{a_1^3}{\mu}}+\pi\sqrt{\frac{a_2^3}{\mu}}</math>

является существенным недостатком такого орбитального манёвра. В случае бипараболической траектории время перелёта становится бесконечным.

Гомановский перелёт обычно требует меньше времени, поскольку движение происходит только по половине эллипса переходной орбиты:

: <math> t=\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}.</math>

== Пример ==
Для перехода с низкой круговой орбиты радиуса ''r''<sub>0</sub> = 6700 км вокруг Земли на новую круговую орбиту радиуса ''r''<sub>1</sub> = 93 800 км при использовании гомановской траектории потребуется Δ''v'', равное 2825,02 + 1308,70 = 4133;72 м/с. Поскольку ''r''<sub>1</sub> = 14''r''<sub>0</sub> > 11,94''r''<sub>0</sub>, то биэллиптическая траектория позволит затратить меньшую Δ''v''. Если космическому аппарату сначала придать дополнительную скорость 3061,04 м/с, переведя таким образом на эллиптическую орбиту с апогеем при ''r''<sub>2</sub> = 40''r''<sub>0</sub> = 268 000 км, а затем в апогее придать ещё 608,825 м/с для достижения новой орбиты с перигеем на расстоянии ''r''<sub>1</sub> = 93 800 км, и в конце манёвра в перицентре второго участка переходной орбиты уменьшить скорость на 447,662 м/с, переведя аппарат на итоговую орбиту, то полное значение Δ''v'' будет равно 4117,53 м/с, что на 16,19 м/с (0,4 %) меньше, чем при гомановской траектории.

Уменьшение значения Δ''v'' можно усилить при увеличении промежуточного апогея, увеличив при этом время перелёта. Например, при апогее 75,8''r''<sub>0</sub> = 507 688 км (в 1,3 раза превышает среднее расстояние от Земли до Луны) уменьшение Δ''v'' относительно гомановской траектории составит 1 %, но перелёт займёт 17 суток. В случае крайне большого расстояния в апоцентре, 1757''r''<sub>0</sub> = 11 770 000 км (в 30 раз превышает среднее расстояние от Земли до Луны) экономия составит 2 % по сравнению с гомановской орбитой, но перелёт займёт 4,5 года (без учёта гравитационных возмущений от других тел Солнечной системы). Для сравнения, перелёт по гомановской траектории займёт 15 часов 34 минуты.

{| class='wikitable'
|+ Δ''v'' для различных вариантов перелёта
! Тип !! Траектория<br> Гомана ||colspan=4| Биэллиптическая траектория
|-
! Апогей, км
|  93 800 || 268 000 || 507 688 || 11 770 000 || ∞ <!-- The infinite limit -->
|-
! Добавка скорости 1 (м/с)
| {{blue|2825,02}} || {{blue|3061,04}} || {{blue|3123,62}} || {{blue|3191,79}} || {{blue|3194,89}}
|-
! Добавка скорости 2 (м/с)
| {{blue|1308,70}} || {{blue|608,825}} || {{blue|351,836}} || {{blue|16,9336}} || 0
|-
! Добавка скорости 3 (м/с)
| 0 || {{red|−447,662}} || {{red|−616,926}} || {{red|−842,322}} || {{red|−853,870}}
|-
! Суммарное значение (м/с)
| 4133,72 || 4117,53 || 4092,38 || 4051,04 || 4048,76
|-
! Отношение
| 100 % || 99,6 % || 99,0 % || 98,0 % || 97,94 %
|}
* {{blue|Δ''v'' направлено в сторону движения}}
* {{red|(отрицательное значение) Δ''v'' направлено против движения}}

На биэллиптической орбите большая часть Δ''v'' передаётся в первый момент, что вносит большой вклад в орбитальную энергию тела.

== Примечания ==
{{примечания}}

{{ВС}}
{{Орбиты}}

[[Категория:Орбиты]]
[[Категория:Небесная механика]]