Просмотр кода страницы Бордизм

[[Файл:Pants.png|thumb|right|«Пара штанов» — бордизм между окружностью и парой окружностей]]
'''Бордизм''', также '''бордантность''' — термин [[топология|топологии]], употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных
словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм раньше{{нет АИ|30|09|2013}} говорили о '''кобордизмах''', старая терминология тоже сохранилась.

== Неориентированные бордизмы ==
'''''Неориентированные бордизмы''''' — простейший вариант бордизмов. Два гладких [[Замкнутое многообразие|замкнутых]] <math>n</math>-мерных [[многообразие|многообразия]] <math>M</math> и <math>M'</math> бордантны (ограничивают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное <math>(n+1)</math>-мерное многообразие <math>W</math> (называемое '''''плёнка'''''), край которого состоит из двух многообразий <math>M</math> и <math>M'</math>, (или точнее многообразий <math>M_0</math> и <math>M_1</math> диффеоморфных, соответственно, <math>M</math> и <math>M'</math> посредством некоторых [[диффеоморфизм]]ов
<math>g_0\colon M\to M_0</math> и <math>g_1\colon M'\to M_1</math>). Совокупность многообразий, бордантных друг другу, называется '''классами бордизмов''', а тройку <math>(W,\;M_0,\;M_1)</math> называют '''бордизмом''' (точнее было бы говорить о пятёрке <math>(W,\;M_0,\;M_1,\;g_0,\;g_1)</math>).

Множество классов бордизмов <math>n</math>-мерных многообразий образует [[Абелева группа|абелеву группу]] <math>\Omega_n^O</math> относительно [[Дизъюнктное объединение|несвязного объединения]], называемую '''''группой бордизмов'''''. Нулем в ней служит класс бордизмов, состоящих из многообразий, которые являются границей некоторого многообразия (другие названия: <math>M</math> — '''''ограничивающее многообразие''''', <math>M</math> — '''''внутренне гомологично''''', или '''''бордантно''''' нулю). Элементом <math>\Omega_n^O</math> обратным данному классу бордизмов, является сам этот класс (так как объединение двух копий <math>M</math> диффеоморфно границе прямого произведения <math>M\times [0,\;1]</math>). Прямая сумма <math>\Omega_*^O</math> групп <math>\Omega_n^O</math> является коммутативным градуированным [[Кольцо (алгебра)|кольцом]], умножение в котором индуцировано [[прямое произведение|прямым произведением]] многообразий, с единицей, заданной классом бордизмов точки.

== Бордизмы с дополнительной структурой ==

=== Ориентированные бордизмы ===
'''''Ориентированные бордизмы''''' — наиболее простой тип бордизмов гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой.
Два ориентированных многообразия <math>M</math> и <math>M'</math> '''''ориентированно бордантны''''', если они бордантны в прежнем смысле, причём '''''плёнка''''' <math>W</math> ориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией <math>W</math> на <math>M_0</math> и <math>M_1</math> (как на частях края), переходит при диффеоморфизмах <math>g_0</math> и <math>g_1</math>, соответственно, в исходную ориентацию <math>M</math> и в ориентацию, противоположную исходной ориентации <math>M'</math>. Аналогично <math>\Omega_n^O</math>, и <math>\Omega_*^O</math> вводятся группы ориентированных бордизмов <math>\Omega_n^{SO}</math> и кольцо <math>\Omega_*^{SO}</math>.

=== Другие варианты ===
{{Якорь|Унитарный бордизм}}
Другие варианты бордизмов многообразий с дополнительной структурой — очень важные бордизмы квазикомплексных многообразий (называемые также '''''унитарными бордизмами'''''), бордизмы многообразий, на которых действует группа преобразований, <math>\mathrm{Spin}</math>-бордизмы. Имеются также варианты несколько иного рода, для кусочно линейных или топологических многообразий, для комплексов Пуанкаре и т. д. Особое положение занимают бордизмы [[Слоение|слоений]] и [[h-бордизм|<math>h</math>-бордизмы]] (ранее называемые <math>J</math>-эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и гомотопической топологии.

== Свойства ==
* Два многообразия бордантны, тогда и только тогда, когда у них совпадают [[Характеристический класс|характеристические числа]] ([[число Штифеля — Уитни|числа Штифеля — Уитни]] в неориентируемом случае и числа Штифеля — Уитни и [[число Понтрягина|числа Понтрягина]] — в ориентируемом).

== История ==
Первый пример — бордизм [[Оснащённое многообразие|оснащённых многообразий]], введённый в 1938 году [[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягиным]], который показал, что классификация этих бордизмов эквивалентна вычислению [[Гомотопические группы сфер|гомотопических групп сфер]] <math>\pi_i(S^n)</math>, и таким путём смог найти <math>\pi_{n+1}(S^n)</math> и <math>\pi_{n+2}(S^n)</math>. Неориентированные и ориентированные бордизмы были введены в 1951—53 годах [[Рохлин, Владимир Абрамович|Рохлиным]], вычислившим <math>\Omega_n^{SO}</math> для <math>n\leqslant4</math>. Понтрягин доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают [[Характеристический класс|характеристические числа]]. Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.

== Литература ==
* ''Милнор Дж., Уоллес А.'' Дифференциальная топология / Пер. с англ. — {{М}}: Мир, 1972. — 280 с.

== См. также ==
* [[h-кобордизм|<math>h</math>-кобордизм]]

{{Топология|state=collapsed}}
{{rq|refless}}

[[Категория:Алгебраическая топология]]
[[Категория:Дифференциальная геометрия и топология]]