Просмотр кода страницы Брахмагупта

{{Учёный
 |Имя                  = Брахмагупта
 |Оригинал имени       = {{Lang-sa|ब्रह्मगुप्त}}
 |Изображение                 =
 |Ширина               = 200px
 |Описание изображения              = Брахмагупта
 |Место рождения       = {{МестоРождения|Бхинмал|в Бхинмале}}, [[Индия]]
 |Место смерти         = 
 |Гражданство          = Индия
 |Научная сфера        = [[математика]], [[астрономия]]
 |Место работы         = 
 |Альма-матер          = 
 |Научный руководитель = 
 |Знаменитые ученики   = 
 |Известен как         = 
 |Известна как         = 
 |Награды и премии     = 
 |Роспись              = 
 |Ширина росписи       = 
}}

'''Брахмагупта''' (или '''Брамагупта''', {{lang-sa|ब्रह्मगुप्त}}, ок. [[598]]{{—}} [[670]]) — [[Древняя Индия|индийский]] {{математик|Индии|VII века}} и {{астроном|Индии|VII века}}. Руководил обсерваторией в [[Удджайн]]е. Оказал существенное влияние на развитие астрономии в Византии и [[Астрономия исламского Средневековья|исламских странах]], стал использовать алгебраические методы для астрономических вычислений, ввёл правила операций с нулём, положительными и отрицательными величинами. До нашего времени сохранилось его основное сочинение «{{нп5|Брахма-спхута-сиддханта||en|Brāhmasphuṭasiddhānta}}» («Правильно изложенное учение Брахмы», или «Разъяснение совершенной системы Брахмы»). Большая часть сочинения посвящена астрономии, две главы (12-я и 18-я) — математике.

== Биография ==
Брахмагупта родился приблизительно в [[598 год]]у. Это следует из книги «Брахма-спхута-сиддханта», в которой он сообщает, что написал этот текст в возрасте 30 лет в 628 году (550 год [[Сакская эра|сакской эры]]){{sfn|Brahmagupta, Bhaskara, Henry-Thomas Colebrooke|1817|p=xxxv–xxxvi}}<ref name="world_bio">{{cite web |url=http://www.encyclopedia.com/topic/Brahmagupta.aspx#1 |title=Brahmagupta |publisher=Encyclopedia of World Biography |date=2006 |accessdate=2013-08-20 |archive-date=2016-09-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160921204028/http://www.encyclopedia.com/topic/Brahmagupta.aspx#1 |deadlink=no }}</ref>. Брахмагупта родился в {{iw|Бхинмал|Бхилламале|en|Bhinmal}} в штате [[Раджастхан]] Северо-Западной Индии, который в то время был столицей страны династии [[Гурджара]]. Его отцом был Джишнугупта<ref name="brahmagupta">{{cite web |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Brahmagupta.html |title=Brahmagupta |publisher=[[Архив по истории математики Мактутор|MacTutor History of Mathematics archive]] |author=J. J. O'Connor, E. F. Robertson |accessdate=2013-08-20 |archiveurl=https://www.webcitation.org/6Jeq9449q?url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Brahmagupta.html |archivedate=2013-09-15}}</ref>. Вероятно, он прожил большую часть жизни в Бхинмале во время правления (и, возможно, под покровительством) правителя Вьяграмукхи{{sfn|Plofker|2007|p=418—419}}, поэтому его нередко именуют Бхилламалачарья (учитель из Бхилламалы)<ref name="sci_bio">{{cite web |url=http://www.encyclopedia.com/topic/Brahmagupta.aspx#2 |title=Brahmagupta |publisher=Complete Dictionary of Scientific Biography |accessdate=2013-08-20 |archive-date=2016-09-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160921204028/http://www.encyclopedia.com/topic/Brahmagupta.aspx#2 |deadlink=no }}</ref>. Брахмагупта был руководителем астрономической обсерватории в [[Удджайн]]е. Обсерватория, в которой также работал [[Варахамихира]], была лучшей в древней Индии<ref name="brahmagupta"/>.

[[Файл:BritishmuseumRahu.JPG|thumb|150px|right|Голова Раху, желая отомстить Солнцу и Луне, иногда проглатывает их, вызывая таким образом солнечные и лунные затмения]]
На исследования Брахмагупты оказали серьёзное влияние его религиозные взгляды. Будучи правоверным [[Индуизм|индуистом]], он критиковал космологические воззрения некоторых его современников, в частности точку зрения [[Ариабхата|Ариабхаты]], утверждающего что Земля есть вращающаяся сфера<ref name="britannica">{{cite web |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/77073/Brahmagupta |title=Brahmagupta |publisher=[[Энциклопедия Британника]] |author=Takao Hayashi |accessdate=2013-08-20 |archiveurl=https://www.webcitation.org/6JfLfTQnZ?url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/77073/Brahmagupta |archivedate=2013-09-16}}</ref>. Брахмагупта спорил с Ариабхатой и о природе солнечных затмений<ref>''Еремеева А. И., Цицин Ф. А.'' История астрономии. Указ. соч., с. 111.</ref>:
{|
|-
|{{начало цитаты}}
Среди людей есть такие, которые думают, что затмения вызываются не Головой [дракона [[Раху]]]. Это абсурдное мнение, ибо это она вызывает затмения, и большинство жителей мира говорят, что именно она вызывает их. В [[Веды|Ведах]], которые есть Слово Божие, из уст [[Брахма|Брахмы]] говорится, что Голова вызывает затмения. Напротив того, Ариабхата, идя наперекор всем, из вражды к упомянутым священным словам утверждает, что затмение вызывается не Головой, а только Луной и тенью Земли… Эти авторы должны подчиниться большинству, ибо всё, что есть в Ведах — священно.
{{конец цитаты}}
|}

Хотя Брахмагупта был знаком с работами Ариабхаты, неизвестно, был ли он знаком также с работами [[Бхаскара I|Бхаскары]]. Работы Брахмагупты содержат многочисленные критические замечания в адрес современных ему астрономов, а содержание «Брахма-спхута-сиддханты» свидетельствует о расколе среди индийских математиков того времени. Разногласия были обусловлены в значительной степени выбором астрономических параметров и теории. Критика теорий оппонентов Брахмагупты содержится в первых двенадцати главах «Брахма-спхута-сиддханты» и отсутствует в тринадцатой и восемнадцатой главах.

Арабский учёный [[Аль-Бируни]] в своей книге «Китаб аль-Хинд» (около 1035) проанализировал и описал идеи индийских астрономов. В своей работе он ссылается на Брахмагупту как самый крупный авторитет<ref name="unesco"/>.

== Основные труды ==
Известно два основных труда Брахмагупты: «Брахма-спхута-сиддханта» (ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त) (628) и «Кхандакхадьяка» (खण्डखाद्यक) (665)<ref name="brahmagupta_arabic">{{cite web|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch8_3.html|title=Brahmagupta, and the influence on Arabia|publisher=[[Архив по истории математики Мактутор|MacTutor History of Mathematics archive]]|author=Pearce Ian|accessdate=2013-08-20|archiveurl=https://www.webcitation.org/6Jeq9hMCc?url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch8_3.html|archivedate=2013-09-15}}</ref>.

=== Брахма-спхута-сиддханта ===
{{main|Брахма-спхута-сиддханта}}
{{iw|Брахма-спхута-сиддханта|«Брахма-спхута-сиддханта»|en|Brāhmasphuṭasiddhānta}} («Усовершенствованное учение Брахмы», или «Пересмотр системы Брахмы»<ref>{{БСЭ3|статья=Брахмагупта}}</ref>) — самый известный труд Брахмагупты, посвящённый математике и астрономии. Трактат написан стихами и содержит только результаты без доказательств. Труд состоит из 25 глав<ref name="brahmagupta"/> (в других источниках говорится о 24 главах и приложении с таблицами<ref name="sci_bio"/>).

Первые 10 глав, которые представляют собой типичный текст по астрономии того периода, часто рассматриваются отдельно как первая версия работы, так как существуют манускрипты, содержащие только эти главы. Этот текст носит название Дашадхьяйи<ref name="sci_bio"/>. В нём содержатся в частности расчёты средней и истинной долготы, вычисление суточного вращения, расчёт [[Солнечное затмение|солнечных]] и [[Лунное затмение|лунных затмений]], методы расчёта положения небесных тел с течением времени ([[Эфемерида|эфемериды]]), их восходов и заходов, [[Парад планет|соединений]]<ref name="brahmagupta"/>.

Следующие 15 глав содержат значительные дополнения и уточнения к первым главам, а также главы по математике<ref name="brahmagupta"/>. Математические главы дают представление о двух основных подходах индийских математиков: «математика процедур», или алгоритмы, и «математика семян», или уравнения. 12-я глава книги носит название «Математика», она посвящена простейшим арифметическим операциям, пропорциям, задачам на смешение и рядам, что составляло основную часть практической математики во времена Брахмагупты. 18-я глава, «Распылитель», имеет прямое отношение к алгебре, но поскольку такого термина ещё не существовало, названа по первой задаче, рассматриваемой в главе<ref name="britannica"/>.

Во второй половине VIII века [[халиф]] из династии [[Аббасид]]ов [[Абу Джафар аль-Мансур]] (712—775) пригласил в Багдад учёного из [[Удджайн]]а по имени Канках, который преподавал индийскую систему астрономии на основе «Брахма-спхута-сиддханта». Халиф заказал письменный перевод книги на арабский язык, который был осуществлён математиком и философом [[Ал-Фазари, Ибрахим|Ибрахимом аль-Фазари]] в 771 году<ref name="world_bio"/><ref name="brahmagupta_arabic"/>. Перевод, выполненный в виде таблиц — [[зидж]]а — с необходимыми пояснениями и рекомендациями, получил название «Большой Синдхинд». Известно, что этой работой пользовался [[ал-Хорезми]] для написания своих трудов по астрономии («Зидж ал-Хорезми») и арифметике («Книга об индийском счёте»). Считается, что перевод последней в XI веке на латинский язык сыграл решающую роль в распространении позиционной системы счисления<ref name="brahmagupta_arabic"/>.

«Брахма-спхута-сиддханта» была переведена китайскими математиками VII—IX веков (известно по крайней мере четыре перевода), позволив таким образом распространить десятичную систему среди китайских учёных<ref name="brahmagupta_arabic"/>. В 1817 году две математические главы были переведены на английский [[Колбрук, Генри Томас|Генри Томасом Колбруком]]<ref name="sci_bio"/>.

В 860 году индийский математик Притхудака Свами написал комментарии к работе, которые носят название Васана-бхашья. От полных комментариев сохранилось только несколько манускриптов. Известно также несколько анонимных комментариев к полной версии сочинения и к первым десяти главам. В Индии работа Брахмагупты была опубликована в 1902 и 1966 годах<ref name="sci_bio"/>.

=== Кхандакхадьяка ===
Вторая работа Брахмагупты, Кхандакхадьяка (A Piece Eatable), была написана в 665 году<ref name="britannica"/>. Она состоит из 8 глав. В этой работе Брахмагупта уточнил и упростил ряд астрономических расчётов, пользуясь во многом системой, предложенной Ариабхатой<ref name="unesco"/>. Кроме того, она включает [[Интерполяционная формула Брахмагупты|интерполяционную формулу для вычисления синусов]]<ref name="brahmagupta"/>. В VIII веке Кхандакхадьяка была переведена на арабский язык под названием «Арканд»<ref name="unesco">{{книга
 |автор               = Katz V. J., Imhausen A.
 |заглавие         = История человечества
 |3                        = Mathematics in India
 |4                        = Edited by M. A. Al-Bakhit, L. Bazin and S. M. Cissoko
 |allpages                 = 796
 |pages                    = 410—412
 |ссылка             = https://books.google.ca/books?id=https://books.google.ca/books?id=xMhb5HRbTG4C&source=gbs_navlinks_s
 |том                   = IV. VII—XVI века
 |издательство = Издательский дом Магистр-Пресс
 |год                   = 2003
 |ref                      = UNESCO
}}{{Недоступная ссылка|date=2018-09|bot=InternetArchiveBot }} {{ref-ru}}</ref>.

Комментарии к Кхандакхадьяке были написаны в 864, 966, 1040, 1180 годах, некоторые из них не сохранились. Сама книга была напечатана в [[Калькутта|Калькутте]] в 1925 и 1941 годах. Перевод на английский язык осуществил Прабодх Чандра Сенгупта в 1934 году<ref name="sci_bio"/>.
<!-- * Cadamekela (Кадамекела)(624)
* Durkeamynarda (Дуркеаминарда) (672).-->

== Вклад в математику ==
В своей работе Брахма-спхута-сиддханта Брахмагупта дал определение нуля как результат вычитания из числа самого числа. Он одним из первых установил правила арифметических операций над положительными и отрицательными числами и нулём, рассматривая при этом положительные числа как имущество, а отрицательные числа как долг. Далее Брахмагупта пытался расширить арифметику дав определение деления на ноль<ref name="brahmagupta"/>. Согласно Брахмагупте<ref name="brahmagupta"/>{{sfn|Plofker|2007|p=428—434}},
* Деление нуля на ноль есть ноль;
* Деление положительного или отрицательного числа на ноль есть дробь с нулём в знаменателе;
* Деление нуля на положительное или отрицательное число есть ноль.

Брахмагупта предложил три метода умножения многозначных чисел в столбик (основной и два упрощённых), которые близки к тем, что используются в настоящее время. Основной метод Брахмагупта назвал «гомутрика», что в переводе Ифра означает «как траектория мочи коровы» ({{lang-en|"like the trajectory of cow's urine"}})<ref name="brahmagupta"/>.

Брахмагупта также предложил метод приближённого вычисления квадратного корня, эквивалентный итерационной формуле Ньютона (Newton-Raphson), метод решения некоторых неопределённых квадратных уравнений вида ''ax''<sup>2</sup> + ''c'' = ''y''<sup>2</sup>, метод решения неопределённых линейных уравнений вида ''ax'' + ''c'' = ''by'', используя метод последовательных дробей<ref name="brahmagupta"/>.

Он определил сумму квадратов и кубов первых ''n'' чисел через сумму первых ''n'' чисел, утверждая что «Сумма квадратов есть сумма чисел, умноженная на удвоенное число шагов, увеличенное на единицу, и делённая на три. Сумма кубов есть квадрат суммы чисел до одного и того же числа»{{sfn|Plofker|2007|p=428—434}}{{sfn|Plofker|2007|p=428—434}}. Формулы, которые можно записать как …, приводятся без доказательства<ref name="brahmagupta"/>.

В работе Кхандакхадьяка Брахмагупта предложил [[Интерполяционная формула Брахмагупты|интерполяционную формулу второго порядка]], являющуюся частным случаем выведенной более чем через 1000 лет [[Интерполяционные формулы Ньютона|интерполяционной формулы Ньютона — Стирлинга]]. Он использовал её для [[Интерполяция|интерполяции]] значений [[Тригонометрические функции|синуса]] в составленных им тригонометрических таблицах<ref>{{книга
|место=Princeton, NJ
|заглавие=The Crest of the Peacock
|ссылка=https://archive.org/details/crestofpeacockno00jose
|издательство=[[Princeton University Press]]
|год=2000
|isbn=0-691-00659-8
|ref=joseph-2000
|страницы=[https://archive.org/details/crestofpeacockno00jose/page/285 285]—286
|автор=Joseph, George G.
}}.</ref>. Формула даёт оценку значения функции {{math|''f''}} при значении её аргумента {{math|''a'' + ''xh''}} (при {{math|''h'' &gt; 0}} и {{math|−1 ≤ ''x'' ≤ 1}}), когда её значение уже известно в точках {{math|''a'' − ''h''}}, {{math|''a''}} и {{math|''a'' + ''h''}}. Она записывается следующим образом:
: <math>f(a + x h) \approx f(a) + x \left(\frac{\Delta f(a) + \Delta f(a - h)}{2}\right) + \frac{x^2 \Delta^2 f(a - h)}{2!},</math>

где {{math|Δ}} — оператор восходящей [[Конечные разности|конечной разности]] первого порядка, то есть
: <math> \Delta f(a) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ f(a + h) - f(a).</math>

[[Файл:Brahmaguptas formula.svg|мини|слева|150px|Формула Брахмагупты для четырёхугольника]]
Брахмагупта предложил формулу вычисления площади четырёхугольника, вписанного в окружность<ref name="brahmagupta"/>. [[Формула Брахмагупты]] является обобщением [[формула Герона|формулы Герона]] для площади треугольника. А именно, площадь {{math|''S''}} вписанного в окружность четырёхугольника со сторонами {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d''}} и полу[[периметр]]ом {{math|''p''}} равна
: <math>S = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}.</math>

При этом сам Брахмагупта не уточнил, что формула верна только для четырёхугольников, которые можно вписать в окружность, поэтому некоторые историки полагают здесь ошибку Брахмагупты<ref name="brahmagupta"/>.

Известна ещё одна формула Брахмагупты для радиуса описанной окружности произвольного треугольника:
: <math>R = \frac{ab}{2h_c} = \frac{bc}{2h_a} = \frac{ac}{2h_b},</math>

где {{math|''a'', ''b'', ''c''}} — стороны треугольника, {{math|''h<sub>a</sub>'', ''h<sub>b</sub>''}} и {{math|''h<sub>c</sub>''}} — его высоты.

==== Тождество Брахмагупты ====
[[Тождество Брахмагупты]] утверждает, что произведение двух сумм двух квадратов само является суммой двух квадратов, причём двояким образом.
: <math>(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2.</math>

К примеру,
: <math>(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.</math>

==== Теорема Брахмагупты ====
[[Файл:Brahmaguptra's theorem.svg|thumb|right|Теорема Брахмагупты утверждает, что AF = FD]]
{{main|Теорема Брахмагупты}}
Пусть имеется вписанный четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Опустим из точки пересечения диагоналей перпендикуляр на одну из его сторон. Будучи продолженным по другую сторону от точки пересечения диагоналей, этот перпендикуляр делит противоположную сторону четырёхугольника на две равные части.

==== Задача Брахмагупты ====
Задача Брахмагупты — [[Построение с помощью циркуля и линейки|построить с помощью циркуля и линейки]] вписанный четырёхугольник по четырём его сторонам<ref>[[Прасолов, Виктор Васильевич|В. В. Прасолов]], Задачи по планиметрии.</ref>.
Одно из решений использует [[окружность Аполлония]].

== Вклад в астрономию ==
Брахмагупта полагал Землю неподвижной (не вращающейся вокруг своей оси) и в своей работе Брахма-спхута-сиддханта указал продолжительность года как 365 дней 6 часов 5 минут и 19 секунд, в то же время в последующей работе Кхандакхадьяка продолжительность года указана как 365 дней 6 часов 12 минут и 36 секунд. Возможно, что второе значение было взято у Ариабхаты<ref name="brahmagupta"/>.

Астрономические представления Брахмагупты, изложенные в Брахма-спхута-сиддханта, свидетельствуют о высоком уровне его исследований и научной прозорливости. Так, в седьмой главе труда, которая называется «О затмении Луны», Брахмагупта опровергает представление о том, что [[Луна]] находится дальше от Земли, чем [[Солнце]]{{sfn|Plofker|2007|p=419—420}}.

{{начало цитаты}}
7.1. Если бы Луна была выше Солнца, то её ближняя к Солнцу половина всегда была бы освещена.

7.2. Аналогично, освещённая Солнцем часть Луны всегда была бы видна, а неосвещённая часть оставалась бы невидимой.

7.3. Яркость [освещённой части Луны] увеличивается в направлении Солнца. В конце светлого полумесяца половина освещена и другая половина темна. Таким образом, высота рогов полумесяца может быть вычислена.
{{конец цитаты}}

Брахмагупта объясняет, что поскольку Луна ближе к Земле, чем Солнце, степень освещённости Луны зависит от взаимного расположения Солнца и Луны и может быть вычислена исходя из величины угла между этими двумя небесными телами.

Важным вкладом Брахмагупты в астрономию являются методы расчёта положения небесных тел с течением времени ([[Эфемерида|эфемериды]]), их восходов и заходов, [[Парад планет|соединений]], а также расчёта [[Солнечное затмение|солнечных]] и [[Лунное затмение|лунных затмений]]. Брахмагупта подверг критике представления [[Пураны|пуранической космологии]] о том, что [[Земля (планета)|Земля]] является плоской или полой. Он утверждал что Земля и небо имеют сферическую форму и что Земля движется. В 1030 году газневидский астроном [[Аль-Бируни|Абу аль-Райхан аль-Бируни]] в своем труде «Та’рих аль-Хинд» прокомментировал работу Брахмагупты. Бируни отмечал, что на замечания критиков теории шарообразной Земли
(«Если бы это было так, камни и деревья будут падать с земли») Брахмагупта ответил:
{{начало цитаты}}
Напротив, если бы это было так, то Земля не могла бы сохранять свою форму даже в течение минут. […] Все тяжёлые вещи притягиваются к центру Земли […] Земля одинакова со всех сторон. Все люди на Земле стоят, и все тяжёлые вещи падают на землю по закону природы, так устроена природа Земли, чтобы притягивать и держать вещи, также как природа воды — течь, огня — гореть, ветра — приводить в движение … Земля — это единственная низкая вещь, все предметы всегда вернутся к ней из любого направления, куда бы вы их не бросили, и никогда не поднимутся вверх от земли.
{{конец цитаты|источник=Брахмагупта, Брахма-спхута-сиддханта (628) (cf. al-Biruni (1030), Indica)}}

О силе тяжести Земли Брахмагупта говорил:
{{начало цитаты}}
Тела падают на землю, так как это в природе Земли — притягивать их, так же как в природе воды — течь.
{{конец цитаты|источник=Thomas Khoshy, Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, 2002, p. 567. ISBN 0-12-421171-2}}

== Сочинения ==
Основной труд Брахмагупты, «Усовершенствованное учение Брахмы» («Брахма-спхута-сиддханта», [[628]])<ref>Брахмагупта // Большой Энциклопедический словарь. 2000</ref>, содержит {{нет АИ 2|25<!--в преамбуле сейчас говорится о двадцати; в перечне сейчас разделов 24--> разделов:
# О состоянии земного шара и форме неба и земли.
# Об оборотах светил и об определении времени; о том, как находить средние положения светил; об определении синуса дуги.
# О составлении таблицы светил.
# О трёх проблемах, а именно: о тени, о истекшей части дня и о гороскопе; а также о том, как выводить одно из них из другого.
# О том, как светила появляются из-за лучей Солнца и как они скрываются за ними.
# О том, как показывается молодой месяц, и о его двух рогах.
# О затмении Луны.
# О затмении Солнца.
# О тени Луны.
# О соединении и противостоянии светил.
# О широтах светил.
# О критике того, что содержится в книгах и таблицах, и о различении правильного от неправильного.
# Об арифметике и её применении в исчислении расстояний и в других случаях.
# Об уточнении среднего положения светил.
# Об исправлении таблицы светил.
# О точном исследовании трёх проблем.
# Об отклонении затмений.
# О точном определении появления молодого месяца и его двух рогов.
# О методе «куттака».
# О расчётах в размерах стихов и метрике.
# Об окружностях и инструментах.
# О четырёх мерах времени — по Солнцу, по восходу, по Луне и по лунным станциям.
# О знаках для чисел и цифр в стихотворных сочинениях по этому предмету.
# О доказательствах, не использующих математику.|15|08|2013}}

Вторая работа Брахмагупты, «Кхандакхадьяка» ([[655]]), также представляет собой фундаментальный труд по астрономии.

== Публикации ==
* Brahmagupta. ''Brahma-Sphuta-Siddhanta.'' New Delhi, 1966. [http://www.wilbourhall.org/pdfs/BSS_VOL_I.pdf vol. 1].

== См. также ==
* {{iw|Брахма-спхута-сиддханта||en|Brāhmasphuṭasiddhānta}}
* [[Вписанный четырёхугольник]]
* [[Задача Брахмагупты]]
* [[Индийская астрономия]]
* [[Интерполяционная формула Брахмагупты]]
* [[История математики в Индии]]
* {{iw|Матрица Брахмагупты||en|Brahmagupta matrix}}
* [[Построение с помощью циркуля и линейки]]
* [[Решение треугольников]]
* [[Теорема Брахмагупты]]
* [[Тождество Брахмагупты — Фибоначчи]]
* [[Учение о сигнатурах]]
* [[Формула Брахмагупты]]
* [[Варахамихира]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Brahmagupta, Bhaskara, Colebrooke H.-T.
  |заглавие=Algebra, with arithmetic and mensuration, from Sanscrit of Brahmagupta and Bhascara
  |allpages=378
  |ссылка=https://books.google.ca/books?id=ebZIAAAAcAAJ&source=gbs_navlinks_s
  |издательство=John Murray|год=1817|ref=Brahmagupta, Bhaskara, Henry-Thomas Colebrooke}} {{ref-en}}
* {{книга
  |автор         = Plofker K.
  |часть         = Mathematics in India
  |ответственный = Editor Katz V. J.
  |заглавие=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A sourcebook
  |Mathematics in India
  |Plofker K.
  |allpages=685
  |ссылка=https://books.google.ca/books?id=3ullzl036UEC&source=gbs_navlinks_s
  |издательство=Princeton University Press|год=2007|ref=Plofker}} {{ref-en}}

* ''Ван дер Варден Б. Л.'' [[Уравнение Пелля]] в математике греков и индийцев. ''Успехи математических наук'', 31, вып. 5(191), 1976, с. 57-70.
* ''Володарский А. И.'' Очерки истории средневековой индийской математики. — М.: Наука, 1977.
* {{книга|автор=[[Юшкевич, Адольф Павлович|Юшкевич А. П.]]|заглавие=История математики в средние века|место=М.|издательство=Физматгиз|год=1961|ref=Юшкевич}}
* Gupta R. C. Brahmagupta’s formulas for the area and diagonals of a cyclic quadrilateral. ''The Mathematics Education'', 8, 1974, p.&nbsp;33-36.
* Sarasvati Amma T. A. ''Geometry in ancient and medieval India.'' Delhi: Motilal Banarsidass, 1979.
* История математики, т.1, М., 1970.
* ''Еремеева А. И., Цицин Ф. А.'' История астрономии (основные этапы развития астрономической картины мира). Изд. МГУ, 1989.

== Ссылки ==
* {{Commonscat-inline}}
* {{БСЭ3|заглавие=Брахмагупта}}{{V|15|8|2013}}

{{библиоинформация}}