Просмотр кода страницы Быстро-медленная система

[[Файл:Simple jump in slow-fast systems.svg|thumb|right|300px|[[Фазовый портрет]] быстро-медленной системы; зеленым показана устойчивая часть медленной поверхности, красным — неустойчивая]]
'''Быстро-медленная система''' в [[математика|математике]] — это [[динамическая система]], в которой присутствуют процессы, происходящие в разных масштабах времени. [[Фазовое пространство|Фазовые переменные]] такой системы делятся на два класса: «быстрые» и «медленные» переменные. Скорость изменения «быстрых» переменных почти во всех точках [[фазовое пространство|фазового пространства]] много больше скорости изменения «медленных» переменных. Траектории таких систем состоят из чередующихся участков медленного «дрейфа» и быстрых «срывов». Быстро-медленные системы описывают различные [[физика|физические]] и иные явления, в которых постепенное [[эволюция|эволюционное]] накопление малых изменений со временем приводит к скачкообразному переходу системы на новый динамический режим.<ref name="AndronovVittHaikin">{{книга|автор=Андронов  А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э.|заглавие=Теория колебаний|издание=2-е издание|год=1959|страниц=914|страницы=727—855}}</ref>

Связанные термины: '''сингулярно-возмущенная система''', '''релаксационные колебания''', '''динамические бифуркации'''.

== Формальное определение и основные понятия ==
Рассмотрим семейство систем обыкновенных дифференциальных уравнений

<math>
\begin{cases}
\dot x=f(x,y,\varepsilon)\\
\dot y=\varepsilon g(x,y,\varepsilon),
\end{cases}\quad x\in \mathbb R^n,\ y\in \mathbb R^m,\ \varepsilon\in(\mathbb R,0)
</math>

Если ''f'' и ''g'' [[гладкая функция|гладко]] зависят от своих аргументов, а <math>\varepsilon</math> — [[малый параметр]], то говорят, что семейство, записанное таким образом, задает быстро-медленную систему. Переменная ''x'' называется быстрой переменной, ''y'' — медленной. Теория быстро-медленных систем изучает [[асимптотика|асимптотическое]] поведение систем такого вида при <math>\varepsilon\to 0</math>.

'''Медленной кривой''' называется множество нулей функции f: <math>M:=\{(x,y)\mid f(x,y,0)=0\}</math>. При <math>\varepsilon=0</math> система называется «быстрой»: переменная ''y'' является неподвижным параметром. Медленная кривая состоит из неподвижных точек быстрой системы и является таким образом её [[инвариантное многообразие|инвариантным многообразием]]. Для малых <math>\varepsilon\ne 0</math> быстро-медленная система является малым возмущением быстрой: при этом вне любой фиксированной [[окрестность (топология)|окрестности]] <math>M</math> скорость изменения переменной <math>x</math> сколь угодно сильно превосходит скорость изменения переменной <math>y</math>. С геометрической точки зрения это означает, что вне окрестности медленной кривой траектории системы практически параллельны оси быстрого движения <math>x</math>. (На иллюстрациях она традиционно изображается вертикальной, см. рисунок.)

Для малых <math>\varepsilon</math> в малой окрестности участка медленной кривой, однозначно [[проекция|проектирующегося]] вдоль направления быстрого движения (то есть не имеющего складок и других особенностей проектирования) у системы сохраняется [[инвариантное многообразие]], <math>O(\varepsilon)</math>-близкое к медленной кривой <math>M</math>. Это инвариантное многообразие называется '''истинной медленной кривой'''. Его существование можно вывести из [[теорема Феничеля|теоремы Феничеля]], или из теории [[центральное многообразие|центральных многообразий]]. Оно задается неединственным образом, но все такие инвариантные многообразия ''экспоненциально близки'' (то есть расстояние между ними оценивается как <math>O(\exp -C/|\varepsilon|)</math>).

[[Проекция]] векторного поля быстрой системы вдоль направления быстрого движения на медленную кривую называется '''медленным полем''', а задаваемое этим полем уравнение, определенное на медленной кривой, называется '''медленным уравнением'''. Динамика возмущенной системы (при <math>\varepsilon\ne 0</math>) на истинной медленной кривой приближается медленным уравнением с точностью <math>O(\varepsilon)</math>.

== Смешанная система ==
Для анализа быстро-медленных систем часто оказывается полезно рассмотреть так называемую ''смешанную систему''. Будем считать, что на медленной кривой динамика задается медленным уравнением, а вне медленной кривой — быстрой системой. «Траектория» такой системы (так называемая «сингулярная траектория») представляет собой кусочно-гладкую кривую, состоящую из чередующихся дуг устойчивой части медленной кривой и быстрых срывов.

В быстро-медленных системах на плоскости (то есть когда быстрая и медленная переменные одномерны), при выполнении некоторых условий невырожденности, сингулярные траектории смешанной системы позволяют «моделировать» поведение быстро-медленной системы при малых <math>\varepsilon\ne 0</math>: «настоящая» траектория проходит в <math>O(\varepsilon)</math>-окрестности от сингулярной. Её динамика состоит из чередующихся фаз медленного «дрейфа» вблизи устойчивых участков медленной кривой и быстрых «срывов» вдоль траекторий быстрого движения.

В ходе «медленного» движения траектория проходит фиксированное расстояние за время порядка <math>O(1/\varepsilon)</math>, при этом экспоненциально притягиваясь к соответствующей истинной медленной кривой (и другим траекториям).

== Релаксационные циклы ==
[[Файл:Van der Pol type slow-fast limit cycle.svg|thumb|250px|right|Релаксационный цикл в быстро-медленной системе типа [[Осциллятор Ван дер Поля|осциллятора Ван дер Поля]]]]
Рассмотрим следующую быстро-медленную систему, связанную с [[Осциллятор Ван дер Поля|осциллятором Ван-дер-Поля]]:

<math>
	\begin{cases}
		\dot x&=-y+x-x^3;\\
		\dot y&=\varepsilon x.
	\end{cases}
</math>

Её медленная кривая — кубическая парабола <math>y=x-x^3</math>. (См. рис.) Рассматривая смешанную систему, легко построить так называемый «сингулярный цикл», проходящий через точки <math>G_1</math>, <math>F_2</math>, <math>G_2</math>, <math>F_1</math>. Отметим, что цикл получается благодаря тому, что
медленное поле направлено вправо в верхней части графика и влево в нижней; при этом на неустойчивой части медленной кривой медленная система имеет неподвижную точку.

При <math>\varepsilon>0</math> вблизи этого сингулярного цикла у быстро-медленной системы появляется «настоящий» устойчивый предельный цикл. Действительно, истинная медленная кривая вблизи участка <math>F_1 G_1</math> продолжается в прямом времени за точку срыва <math>G_1</math>, срывается вниз, достигает окрестности нижней части медленной кривой, далее двигается влево вблизи истинной медленной кривой, соответствующей участку <math>F_2 G_2</math>, претерпевает срыв вверх и снова попадает в окрестность дуги <math>F_1 G_1</math>. В связи с эффектом экспоненциального сближения траекторий при движении вблизи устойчивых участков медленной кривой (см. конец предыдущего раздела), [[отображение Пуанкаре]] с трансверсали <math>J</math> на себя (см. рис.) является [[сжимающее отображение|сжимающим отображением]], а следовательно [[Теорема Банаха о неподвижной точке|имеет неподвижную точку]]. Это и означает, что система имеет предельный цикл. Про такую систему также говорят, что она испытывает ''релаксационные колебания''.

== Исторический обзор ==

=== Релаксационные колебания ===
Впервые релаксационные колебания были обнаружены в
[[радиотехника|радиотехнике]]. Для описания [[колебательный контур|колебаний в
контуре]], включающем в себя два [[резистор|сопротивления]],
[[конденсатор|ёмкость]], [[катушка индуктивности|индуктивность]] и [[тетрод]],
Б. Ван-дер-Поль предложил в конце 20-х годов XX века<ref name="VdP27">''van der Pol, B.'', On relaxation-oscillations, The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. and J. of Sci., ''' 2''':7 (1927), 978—992
</ref> [[обыкновенное дифференциальное уравнение]] второго порядка ([[уравнение Ван-дер-Поля]]), зависящее от
параметра, который мы будем обозначать через <math>\mu</math>. Указанный
параметр выражался через параметры элементов контура. При малых
<math>\mu</math> колебания в контуре были близки к гармоническим, однако с
увеличением <math>\mu</math> их характер менялся, и при больших значениях
параметра в динамике колебательного процесса стали выделяться участки двух
типов: «медленного» изменения и быстрых «скачков» с одного состояния на другое.
Ван-дер-Поль предложил называть такие колебания ''релаксационными'' , и
выдвинул гипотезу, что при <math>\mu\to+\infty</math> соответствующие решения
становятся разрывными. (В связи с этим релаксационные колебания также часто
называются ''разрывными''.)

Аналогичные эффекты также наблюдались и в других физических системах. В
частности, в ходе анализа различных схем мультивибраторов, [[Андронов, Александр Александрович (старший)|А. А. Андроновым]] и
[[Витт, Александр Адольфович|А. А. Виттом]] было обнаружено<ref name="AndronovVittHaikin" />, что некоторые «паразитные» параметры (такие как сопротивление или самоиндукция
проводника), традиционно отбрасываемые в силу своей относительной малости при
построении [[математическая модель|модели]], могут существенно влиять на поведение системы: например,
участвовать в образовании [[обратная связь|положительных обратных связей]] и тем самым играть
ключевую роль в возникновении [[автоколебание|автоколебаний]]. Таким образом, их отбрасывание
приводило к неадекватной модели. Первоначально влияние малых параметров удалось
учесть путём введения «постулата скачка», предложенного [[Мандельштам, Леонид Исаакович|Л. И. Мандельштамом]], в соответствии с которым из физических соображений декларировалось, что достигнув
некоторого состояния система «мгновенно» переходит в другое состояние.
Математическое обоснование «постулата скачка» было получено Н. А. Железцовым и
Л. В. Родыгиным<ref name="ZhelezcovRodygin">''Железцов Н. А., Родыгин Л. В.'' К теории симметричного мультивибратора. — Докл. АН СССР, ''' 81''':3 (1951), 391—392.</ref><ref  name="Zhelezcov">''Железцов Н. А.'', К теории разрывных колебаний в системах второго порядка. Изв. высших учебных заведений. Радиофизика ''' 1''':1 (1958), 67—78.</ref>, и потребовало рассмотрения
уравнений, в которых «паразитный» малый параметр входил [[коэффициент]]ом при
старшей производной, и его учет повышал порядок уравнения — или, иными словами,
[[размерность]] [[фазовое пространство|фазового пространства]] соответствующей системы.
Таким образом, с 40-х годов различными исследователями стали рассматриваться
системы вида
{{формула|<math>	\left\{
	\begin{matrix}
\varepsilon x'&=& f(x,y,\varepsilon),\\
y'&=&g(x,y,\varepsilon).
\end{matrix}
	\right.
</math>|(*)}}
или, после перехода к другому масштабу времени <math>t=\tau/\varepsilon</math>:
{{формула|<math>\begin{cases}
\dot x=f(x,y,\varepsilon),\\
\dot y=\varepsilon g(x,y,\varepsilon),
\end{cases}
</math>|(**)}}
где <math>x</math> и <math>y</math> могут быть, вообще говоря, многомерными координатами, а <math>\varepsilon</math> —
малый параметр. К системе аналогичного вида приводится классическое уравнение
Ван-дер-Поля с помощью преобразования Льенара (при этом <math>\varepsilon\sim 1/\mu</math>). Такие
системы в современной терминологии получили название «быстро-медленных»:
координата <math>x</math> — быстрая, <math>y</math> — медленная. Интерес представляет
асимптотическое поведение решений при <math>\varepsilon\to 0</math>.

=== Быстрая и медленная системы ===
Фазовые портреты систем (*) и (**) при фиксированном <math>\varepsilon \ne 0</math>
совпадают, но [[Предел функции|предельное]] поведение при <math>\varepsilon\to
0</math> различно: предел (*) называется ''медленной системой'' (она задает
движение в «медленном времени» <math>\tau</math>), а предел (**) — ''быстрой''
. [[Траектория|Трактории]] быстрой системы лежат в плоскостях
<math>y={\mathrm const}</math>, а множество нулей <math>M:=\{ (x,y)\mid
f(x,y,0)=0\}</math> функции <math>f</math>, называемое ''медленной
поверхностью'' , целиком состоит из [[особая точка дифференциального уравнения|особых (неподвижных) точек]] быстрой системы (которые, таким образом,
не являются изолированными). Наоборот, траектории медленной системы целиком
лежат на медленной поверхности.

Рассмотрение этих предельных систем позволило объяснить появление «мгновенных
скачков». Медленная система соответствует модели, при построении которой
«паразитные» малые параметры были отброшены. Она адекватно описывает поведение
реальной системы при малых <math>\varepsilon</math>, но лишь до тех пор, пока движение происходит
вблизи участков медленной поверхности, состоящих из [[устойчивость (динамические системы)|устойчивых]] особых
точек быстрой системы. Однако, траектория медленной системы может в какой-то
момент достигнуть границы притягивающего участка. В этот момент траектория
реальной системы при <math>\varepsilon\ne 0</math> может испытать ''срыв'' : уйти из окрестности
медленной поверхности и переключиться с медленного движения на быстрое,
задающееся быстрой системой. Это и есть наблюдающийся «скачок» (в медленном
масштабе времени <math>\tau</math> он происходит «мгновенно», то есть траектория имеет
разрыв; в быстром — за время порядка <math>O(1)</math>), который невозможно объяснить,
пренебрегая малыми параметрами. При этом траектория, следуя быстрой динамике,
может вновь попасть на устойчивый участок медленной поверхности, после чего
быстрое движение снова сменится медленным, и т. д.

Таким образом, стало возможным описывать поведение решений быстро-медленных
систем, рассматривая в них чередующиеся фазы медленного движения вдоль
устойчивых участков медленной поверхности, определяемых медленной системой, и
срывов вдоль траекторий быстрой системы. В случае, если быстрая и медленная
координаты одномерны (то есть рассматриваются быстро-медленные системы на
плоскости), этому описанию удовлетворяет типичная траектория типичной системы.
Замкнутая траектория, проходящая через участки быстрых и медленных движений,
является [[#Релаксационные циклы|релаксационным циклом]], ответственным за появление релаксационных
колебаний.

Дальнейшие исследования в этой области были направлены преимущественно на
нахождение [[асимптотика|асимптотик]] по <math>\varepsilon</math> для различных параметров истинных траекторий
системы при <math>\varepsilon\to 0</math> (например, периода релаксационных колебаний).
Существенные трудности вызвал анализ динамики в окрестности точек срыва, где и
происходит переключение с быстрого движения на медленное. Эта задача была решена
[[Понтрягин, Лев Семёнович|Л. С. Понтрягиным]] и [[Мищенко, Евгений Фролович|Е. Ф. Мищенко]] в конце 50-х годов<ref name="P57">''Л. С. Понтрягин'', Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных, Изв. АН СССР. Сер. матем., ''' 21''':5 (1957), 605—626
</ref><ref name="MP59">''Е. Ф. Мищенко, Л. С. Понтрягин'', Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производных, Изв. АН СССР. Сер. матем., ''' 23''':5 (1959), 643—660</ref>. Важные результаты были получены А. Н. Тихоновым, А. Б. Васильевой, Л. Флэтто, Н. Левинсоном и др.<ref name="AAIS" /><ref>см. работы, цитируемые в ''В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников.'' Динамические системы — 5. ВИНИТИ, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ''' 5''', 1986 и ''Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов'', Дифференциальные уравнения малым параметром и релаксационные колебания, Москва, Наука, 1975.</ref>. Первые члены асимптотического ряда для периода релаксационных
колебаний в уравнении Ван-дер-Поля были впервые посчитаны
А. А. Дородницыным<ref name="Dor47">''А. А. Дородницын'', Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля, Прикл. матем. и механ., ''' 11''':3 (1947), 313—328</ref>. Ряд асимптотик для общего случая быстро-медленной системы на плоскости были получены Ж. Хаагом в 40-х годах<ref name="Haag43">''Haag J.'' Etude asymptotique des oscillations de relaxation. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. ''' 60''' (1943).</ref><ref name="Haag44">''Haag J.'' Examples concrets d’etude asymptotique d’oscillations de relaxation. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. ''' 61''' (1944).</ref>. Методы, разработанные Понтрягиным и Мищенко, позволили получить полные асимптотики решений типичных быстро-медленных систем на плоскости, изложенные в монографии Е. Ф. Мищенко и Н. Х. Розова<ref name="MR">''Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов'', Дифференциальные уравнения малым параметром и релаксационные колебания, Москва, Наука, 1975.</ref>, ставшей классической.

=== Затягивание потери устойчивости и утки ===
Однако, оказалось, что указанное простое качественное описание не исчерпывает
всех возможных типов траекторий быстро-медленных систем. Так, в 70-х годах
Понтрягиным было обнаружено явление ''затягивания потери устойчиовсти'' :
оказалось, что в ''[[аналитическая функция|аналитических]]'' быстро-медленных системах с двумерной
быстрой координатой после прохождения границы устойчивости траектория может
находиться длительное время вблизи уже ''неустойчивой'' части медленной
поверхности (проходя вдоль неё отделенное от нуля расстояние), и лишь затем
претерпевать срыв и переключаться на быстрое движение. На конкретном примере
этот эффект был исследован в работе М. А. Шишковой<ref name="Shishkova">''Шишкова М. А.'' Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных.— Докл. АН СССР, 1973, ''' 209''':3, 576—579.
</ref> в 1973,
проведенной под руководством Понтрягина; общий случай проанализировал
А. И. Нейштадт<ref name="Neishtadt">''Нейштадт А. И.'' Асимптотическое исследование потери устойчивости равновесия при медленном прохождении пары собственных чисел через мнимую ось. Успехи мат. наук, 1985, ''' 40''':5, 190—191
</ref> в 1985 г.

Близкий эффект был обнаружен учениками [[Риб, Жорж|Ж. Риба]] (Е. Бенуа, Дж. Калло, Ф. Дьене,
М. Дьене)<ref name="BCDD81">''E. Benoit, J. F. Callot, F. Diener, M. Diener''. Chasse au canard. Collectanea Mathematica, ''' 31—32''' (1981), 37—119.
</ref><ref name="D">''M. Diener'', The canard unchained or how fast/slow dynamical systems bifurcate, The Mathematical Intelligencer ''' 6''' (1984), 38—48.</ref> в начале 80-х годов в быстро-медленных системах с одной
быстрой и одной медленной переменной. Они исследовали рождение релаксационного
предельного цикла в системе Ван-дер-Поля с дополнительным параметром. Оказалось,
что когда при фиксированном <math>\varepsilon</math> этот параметр проходит [[экспонента|экспоненциально]] узкий
(по <math>\varepsilon</math>) интервал (то есть интервал длины порядка <math>\exp(-C/\varepsilon)</math>), предельный цикл, рождающийся из особой точки в результате
[[бифуркация Андронова — Хопфа|бифуркации Андронова — Хопфа]] проходит через несколько стадий эволюции прежде
чем приобрести вид классического релаксационного цикла. При этом, как оказалось,
для промежуточных значений параметра, соответствующие предельные циклы проходят
вблизи некоторых дуг ''неустойчивой'' части медленной кривой. Такие
траектории получили название «у́ток» ({{lang-fr|canard}}, сейчас также используется
английское {{lang-en|duck}}) — частично благодаря контринтуитивности эффекта, который
поначалу был воспринят как «газетная утка», частично из-за своей формы,
отдаленно напоминающей летящую утку<ref name="AAIS">''В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников.'' Динамические системы —- 5. ВИНИТИ, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ''' 5''', 1986.
</ref><ref name="Scholarpedia">''Martin Wechselberger'', [http://www.scholarpedia.org/article/Canards Canards] {{Wayback|url=http://www.scholarpedia.org/article/Canards |date=20190209180455 }}, Scholarpedia, 2(4):1356 (2007),</ref>. Уточные решения
были обнаружены в различных химических, биологических и других моделях.<ref name="Moehlis">(См. напр. ''J. Moehlis'', Canards in a Surface Oxidation Reaction. J. of Nonlinear Sci. ''' 12''':4, 319—345 и цитированные там работы.</ref>

Первоначально, уточные решения исследовались методами [[нестандартный анализ|нестандартного анализа]],
однако вскоре к ним удалось применить ставшие уже классическими методы
асимптотических рядов (У. Эккауз<ref name="Eckhaus">''W. Eckhaus'', Relaxation oscillations including a standard chase on French ducks, in Asymptotic Analysis II, Springer Lecture Notes Math. ''' 985''' (1983), 449—494.
</ref>, Е. Ф. Мищенко, А. Ю. Колесов,
Ю. С. Колесов, Н. Х. Розов
<ref name="KolesovRozov">''А. Ю. Колесов, Е. Ф. Мищенко.'' Явление затягивания Л. С. Понтрягина и устойчивые циклы-утки многомерных релаксационных систем с одной медленной переменной. Математический сборник, ''' 181''':5 (1990), 579—588.
</ref><ref name="MKKR">''Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. С., Колесов А. Ю., Розов Н. Х.'' Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. Москва, «Физико-математическая литература», 1995
</ref>), а позже — геометрическую теорию
сингулярно-возмущенных систем (разработанную Н. Феничелем<ref name="Fenichel">''N. Fenichel'', Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations, J. of Diff. Eq., ''' 31''' (1979), pp. 53—98.
</ref>) с помощью
метода раздутия (Ф. Дюмортье и Р. Руссари<ref name="DR">''F. Dumortier and R. Roussarie'', Canard cycles and center manifolds, Mem. Amer. Math. Soc., ''' 121''':577 (1996).
</ref>, М. Крупа и
П. Смолян<ref name="KrupaSzmolyan">''M. Krupa, P. Szmolyan'', Extending geometric singular perturbation theory to nonhyperbolic points —- fold and canard points in two dimensions, SIAM J. Math. Anal., ''' 33''':2, 286—314.
</ref>). Оказалось, что уточные решения являются «редким» явлением в
системах на плоскости. В частности, притягивающие уточные циклы, которые могут
быть обнаружены в ходе [[численный эксперимент|численного эксперимента]], появляются только при
наличии дополнительного параметра, причем множество «уточных» значений этого
параметра при фиксированным <math>\varepsilon</math> является экспоненциально узким по <math>\varepsilon</math>.

В 2001 году [[Ильяшенко, Юлий Сергеевич|Ю. С. Ильяшенко]] и [[Гукенхеймер, Джон|Дж. Гукенхеймер]] обнаружили<ref name="GI">''J. Guckenheimer, Yu. S. Ilyashenko'', The Duck and the Devil: Canards on the Staircase, [[MMJ|Moscow Math. J.]], ''' 1''':1, (2001), 27—47.</ref> принципиально новое поведение для быстро-медленных систем на двумерном торе. Было показано, что для некоторого конкретного семейства систем, ''в отсутствие дополнительных параметров'', для сколь угодно малого значения <math>\varepsilon</math> система может иметь устойчивый уточный цикл. Впоследствии, [[Щуров, Илья Валерьевич|И. В. Щуров]] показал<ref>I. V. Schurov, [http://www.springerlink.com/content/b2189qt382672543/# Ducks on the torus: existence and uniqueness]{{Недоступная ссылка|date=Март 2020 |bot=InternetArchiveBot }}, ''Journal of dynamical and control systems'', '''16''':2 (2010), 267—300.</ref>, что подобное явление наблюдается и типичным образом — в некотором открытом множестве быстро-медленных систем.

== Литература ==
* {{Статья:ААИШ-ДС5}}
* [[Аносов, Дмитрий Викторович|Д. В. Аносов]] [http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1159456 О развитии теории динамических систем за последнюю четверть века], глава [http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1159456&uri=node16.html Теория сингулярных возмущений].

== Примечания ==
{{примечания|2}}

{{rq|style|cleanup}}

[[Категория:Дифференциальные уравнения]]
[[Категория:Динамические системы]]