Просмотр кода страницы Вектор (геометрия)

{{Об|понятии вектора в геометрии|общем понятии вектора в математике|Вектор (математика)}}
{{Обзорная статья|Ориентация}}
[[Файл:Vector AB from A to B.svg|right|thumb|200px|Вектор <math>\overrightarrow{AB}</math>]]

{{Якорь|Направленный отрезок}}
'''Ве́ктор''' — '''''направленный отрезок''''', то есть [[отрезок]], для которого указано, какая из его [[Граница (топология)|граничных точек]] начало, а какая — конец{{sfn|''Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.'' Геометрия. 7—9 классы, 2014|loc=79. Понятие вектора, с. 190}}.

Вектор с началом в точке <math>A</math> и концом в точке <math>B</math> принято обозначать как <math>\overrightarrow{AB}</math>. Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда — чёрточкой) над ними, например <math>\vec a</math>. Другой распространённый способ записи: написание символа вектора прямым жирным шрифтом: <math>\mathbf a</math>{{sfn|''Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.'' Геометрия. 7—9 классы, 2014|loc=79. Понятие вектора, с. 190}}.

Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу ([[Параллельный перенос|параллельному переносу]]), что, очевидно, проясняет происхождение его названия ({{lang-lat|vector}}, ''несущий''). Итак, каждый направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства: скажем, вектор <math>\overrightarrow{AB}</math> естественно определяет перенос, при котором точка <math>A</math> перейдёт в точку <math>B</math>, также и обратно, параллельный перенос, при котором <math>A</math> переходит в <math>B</math>, определяет собой единственный направленный отрезок <math>\overrightarrow{AB}</math> (единственный — если считать равными все направленные отрезки одинакового [[Направление вектора|направления]] и [[#Модуль вектора|длины]] — то есть рассматривать их как [[#Виды векторов|свободные векторы]]; действительно, при параллельном переносе все точки смещаются в одинаковом направлении на одинаковое расстояние, так что в таком понимании <math>\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{A_2B_2} = \overrightarrow{A_3B_3} =\dots </math>).

Интерпретация вектора как переноса позволяет естественным и интуитивно очевидным способом ввести операцию [[#Сложение векторов|сложения векторов]] — как композиции (последовательного применения) двух (или нескольких) переносов; то же касается и операции умножения вектора на число.

== Основные понятия ==
Вектором называется направленный отрезок, соединяющий две точки, одна из которых считается началом, а другая концом.

Проекции вектора определяются как разность координат точек его конца и начала. Например, на координатной плоскости, если даны координаты начала и конца: <math>T_1 = (x_1, y_1)</math> и <math>T_2 = (x_2, y_2)</math>, то проекции вектора будут: <math>\overrightarrow{V} = T_2 - T_1 = (x_2, y_2) - (x_1, y_1) = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)</math>. 

Длиной вектора <math>\overrightarrow{V}</math> называется расстояние между двумя точками <math>T_1</math> и <math>T_2</math>, её обычно обозначают <math>|\overrightarrow{V}| = |T_2 - T_1| = |(x_2 - x_1, y_2 - y_1)| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}</math> 

Роль нуля среди векторов играет [[нулевой вектор]], у которого начало и конец совпадают <math>T_1 = T_2</math>; ему, в отличие от других векторов, не приписывается никакого направления{{sfn |Элементарная математика|1976|с = 249.}}.

[[Файл:Projection-acute angle.svg|мини|Проекция вектора на направленную прямую <math>\mathbf{e}</math>]]

{{Якорь|Проекция вектора}}
Для координатного представления векторов большое значение имеет понятие '''''проекции вектора на ось''''' (направленную прямую, см. рисунок). Проекцией называется длина отрезка, образованного проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую, причём проекции приписывается знак плюс, если направление проекции соответствует направлению оси, иначе — знак минус. Проекция равна длине исходного вектора, умноженной на косинус угла между исходным вектором и осью; проекция вектора на перпендикулярную ему ось равна нулю.

== Применения ==
Векторы находят широкое применение в геометрии и в прикладных науках, где используются для представления величин, имеющих направление (силы, скорости и т. п.). Применение векторов упрощает ряд операций — например, определение углов между прямыми или отрезками, вычисление [[Площадь фигуры|площадей фигур]]. В компьютерной графике векторы-[[нормаль|нормали]] используются, чтобы создать правильное освещение тела. Использование векторов может быть положено в основу [[метод координат|метода координат]].

== Виды векторов ==
Иногда вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество ''всех'' направленных отрезков (рассматривая как различные все направленные отрезки, начала и концы которых не совпадают), берут только некоторую модификацию этого множества ([[фактормножество]]), то есть, некоторые направленные отрезки рассматривают как равные, если они имеют одинаковое направление и длину, хотя они могут иметь разное начало (и конец), то есть направленные отрезки одинаковой длины и направления считаются представляющими один и тот же вектор; таким образом, каждому вектору оказывается соответствующим целый класс направленных отрезков, одинаковых по длине и направлению, но различающихся началом (и концом).

Так, говорят о ''«свободных»'', ''«скользящих»'' и ''«фиксированных» векторах''.
Эти виды отличаются понятием равенства двух векторов.
* Говоря о свободных векторах, отождествляют любые векторы, имеющие одинаковое направление и длину;
* говоря о скользящих векторах — добавляют, что начала равных скользящих векторов должны совпадать или лежать на одной прямой, на которой лежат изображающие эти векторы направленные отрезки (так что один может быть совмещен с другим перемещением в направлении, им же самим задаваемом);
* говоря о фиксированных векторах — говорят, что равными считаются только векторы, у которых совпадают и направления, и начала (то есть в этом случае факторизации нет: нет двух фиксированных векторов с различными началами, которые считались бы равными).

Формально:

Говорят, что '''свободные векторы''' <math>\overrightarrow{AB}</math> и <math>\ \overrightarrow{CD}</math> равны, если найдутся точки <math>E</math> и <math>F</math> такие, что [[четырёхугольник]]и <math>ABFE</math> и <math>CDFE</math> — [[параллелограмм]]ы.

Говорят, что '''скользящие векторы''' <math>\overrightarrow{AB}</math> и <math>\ \overrightarrow{CD}</math> равны, если
* точки <math>A, B, C, D</math> располагаются на одной прямой,
* векторы <math>\overrightarrow{AB}</math> и <math>\ \overrightarrow{CD}</math> равны между собой как свободные векторы.

Скользящие векторы особо употребимы в [[теоретическая механика|механике]].
Простейший пример скользящего вектора в механике — [[сила]], действующая на твердое тело.
Перенос начала вектора силы вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет [[Момент силы|момента силы]] относительно любой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (даже почти всегда вызовет):
поэтому при вычислении момента нельзя рассматривать силу как свободный вектор, то есть, нельзя её считать приложенной к произвольной точке твердого тела.

Говорят, что '''фиксированные векторы''' <math>\overrightarrow{AB}</math> и <math>\ \overrightarrow{CD}</math> равны, если попарно совпадают точки <math>A</math> и <math>C</math>, <math>B</math> и <math>D</math>.

Вектором в одном случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные [[классы эквивалентности]] направленных отрезков, определяемые неким конкретным [[Отношение эквивалентности|отношением эквивалентности]].
Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора (свободный или фиксированный).
Внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Все операции над векторами (сложение, умножение на число, скалярное и векторное произведения, вычисление модуля или длины, угла между векторами и так далее) в принципе определены одинаково для всех типов векторов, различие в типах сводится в этом отношении только к тому, что для скользящих и фиксированных наложено ограничение на возможность осуществления операций между двумя векторами, имеющими разное начало (так, для двух фиксированных векторов запрещено — или лишено смысла — сложение, если их начала отличаются; однако для всех случаев, когда эта операция разрешена — или имеет смысл — она такова же, как для свободных векторов). Поэтому часто тип вектора явно не указывается, подразумевается, что он ясен из контекста.
Более того, один и тот же вектор в зависимости от контекста задачи может рассматриваться как фиксированный, скользящий или свободный, например, в механике векторы сил, приложенных к телу, могут суммироваться независимо от точки приложения при нахождении равнодействующей (и в статике, и в динамике при исследовании движения центра масс, изменения импульса и того подобного), но не могут складываться друг с другом без учета точек приложения при вычислении вращающего момента (также и в статике и в динамике).

== Отношения между векторами ==
{{Якорь|Сонаправленные векторы}}{{Якорь|Противоположно направленные векторы}}
Два вектора называются '''[[Коллинеарность|коллинеарными]]''', если они лежат на параллельных прямых, либо на одной прямой. Два вектора называются '''сонаправленными''', если они коллинеарны и направлены в одну сторону, '''противоположно направленными''', если коллинеарны и направлены в разные стороны. Есть и другое определение: два ненулевых вектора <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> называются коллинеарными, если существует некоторое число <math>\alpha</math> такое, что <math>\vec{a} = \alpha \vec{b}</math><ref name="bigod">{{книга |автор={{nobr|Выгодский М. Я.}} |заглавие=Справочник по высшей математике |место=Москва |издательство=Астрель |год=2006 |страниц=991|isbn=5-271-03651-0}}</ref><br>
Три вектора называются '''[[Компланарность|компланарными]]''', если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости<ref name="bigod" />.

== Координатное представление ==
[[Файл:3D Vector.svg|thumb|3D Vector|Разложение вектора <math>\vec{a}</math> по базису]]
При работе с векторами часто вводят некоторую [[декартова система координат|декартову систему координат]] и в ней определяют координаты вектора, раскладывая его по [[базис (математика)|базисным]] векторам. '''Разложение по базису''' геометрически можно представить проекциями вектора на координатные оси. Если известны координаты начала и конца вектора, координаты самого вектора получаются вычитанием из координат конца вектора координат его начала.
: <math>\overrightarrow{AB} = (AB_x, AB_y, AB_z) = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z)</math>
За базис часто выбирают координатные [[единичный вектор|орты]], обозначаемые <math> \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, соответственно осям <math>x, y, z</math>. Тогда вектор <math>\vec{a}</math> можно записать как
: <math> \vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}</math>
Любое геометрическое свойство можно записать в координатах, после чего исследование из геометрического становится алгебраическим и при этом часто упрощается. Обратное, вообще говоря, не совсем верно: обычно принято говорить<ref>Это утверждение, очевидно, до некоторой степени условно, поскольку конкретная фиксированная система координат при желании может быть явно включена в число объектов, для которых соотношения устанавливаются, и тогда алгебраические утверждения для этой фиксированной частной системы координат могут быть переформулированы так, что будут инвариантными при записи в любой другой, произвольной, системе координат.</ref>, что «геометрическое истолкование» имеют лишь те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (''инвариантные'').

== Операции над векторами ==

=== Модуль вектора ===
Модулем вектора <math>\overrightarrow{AB}</math> называется число, равное длине отрезка <math>AB</math>. Обозначается, как <math>|\overrightarrow{AB}|</math>. Для трёхмерного вектора в декартовой системе координат его можно вычислить как корень квадратный из суммы квадратов его проекций:
: <math> |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} </math>

=== Сложение векторов ===
{{Основная статья|Сложение векторов}}
[[Файл:Vector addition.svg|thumb|Два вектора <math>\vec{a}, \vec{b}</math> и вектор их суммы (слева — найденный по правилу параллелограмма, справа — по правилу треугольника)]]
В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих проекций слагаемых:
: <math>\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z) </math>
Для геометрического построения вектора суммы <math>\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}</math> используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.

==== Правило треугольника ====
Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> некоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса <math>\vec{a} + \vec{b}</math>, соответствующего этому правилу.
Для сложения двух векторов <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> по правилу [[треугольник]]а оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в ''правило ломаной'':

==== Правило трёх точек ====
Если отрезок <math>\overrightarrow{AB} </math>  изображает вектор <math> \vec{a }</math>, а отрезок <math>\overrightarrow{BC} </math> изображает вектор <math> \vec{b }</math> , то отрезок <math>\overrightarrow{AC} </math>  изображает вектор <math>\vec{a} + \vec{b}</math>.

==== Правило многоугольника ====
Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего — с концом второго и так далее, сумма же <math>n</math> векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом <math>n</math>-го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Также называется правилом ломаной.

==== Правило параллелограмма ====
Для сложения двух векторов <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> по правилу [[параллелограмм]]а оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала. (Легко видеть, что эта диагональ совпадает с третьей стороной треугольника при использовании правила треугольника).

Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых — то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.

==== Модуль суммы ====
'''Модуль суммы двух векторов''' можно вычислить, используя [[теорема косинусов|теорему косинусов]]:
: <math>|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos (\vec{a},\vec{b})</math>, где <math>\cos (\vec{a},\vec{b})</math> — косинус угла между векторами <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>.
Если векторы изображены в соответствии с правилом треугольника и берется угол по рисунку — между сторонами треугольника — что не совпадает с обычным определением угла между векторами, а значит и с углом в приведенной формуле, то последний член приобретает знак минус, что соответствует теореме косинусов в её прямой формулировке.

'''Для суммы произвольного количества векторов''' применима аналогичная формула, в которой членов с косинусом больше: по одному такому члену существует для каждой пары векторов из суммируемого набора. Например, для трех векторов формула выглядит так:

: <math>|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 
+ 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos (\vec{a},\vec{b})
+ 2|\vec{a}||\vec{c}| \cos (\vec{a},\vec{c})
+ 2|\vec{b}||\vec{c}| \cos (\vec{b},\vec{c}).</math>

=== Вычитание векторов ===
{{Основная статья|Вычитание векторов}}
[[Файл:Vector subtraction.png|thumb|280px|Два вектора <math>\vec{a}, \vec{b}</math> и вектор их разности]]
Под '''разностью''' двух векторов <math>\vec{a} - \vec{b}</math> понимают вектор <math>\vec{c}</math>, удовлетворяющий условию <math>\vec{c}+ \vec{b}= \vec{a}</math>. Процесс нахождения разности <math>\vec{a} - \vec{b}</math> называется '''операцией вычитания''' этих векторов.

Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие проекции векторов:
: <math>\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z) </math>
Для получения вектора разности <math>\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}</math> начала векторов соединяются и началом вектора <math>\vec{c}</math> будет конец <math>\vec{b}</math>, а концом — конец <math>\vec{a}</math>. Если записать, используя точки векторов, то <math>\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}</math>.

==== Модуль разности векторов ====
Три вектора <math> \vec{a}, \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}</math>, как и при сложении, образуют треугольник, и выражение для модуля разности получается аналогичным:
: <math>|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos (\vec{a},\vec{b}),</math>
где <math>\cos (\vec{a},\vec{b})</math> — косинус угла между векторами <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}.</math>

Отличие от формулы модуля суммы в знаке перед косинусом, при этом надо хорошо следить, какой именно угол берется (вариант формулы модуля суммы с углом между сторонами треугольника при суммировании по правилу треугольника по виду не отличается от данной формулы для модуля разности, но надо иметь в виду, что тут берутся разные углы: в случае суммы берётся угол, когда вектор <math>\vec{b}</math> переносится к концу вектора <math>\vec{a}</math>, когда же ищется модуль разности, берётся угол между векторами, приложенными к одной точке; выражение для модуля суммы с использованием того же угла, что в данном выражении для модуля разности, отличается знаком перед косинусом).

=== Умножение вектора на число ===
{{Основная статья|Умножение вектора на число}}
[[Файл:Scalar multiplication of vectors2.svg|thumb|200px|Вектор <math>\vec{a}</math> и вектора, получаемые из него, домножением на число]]
Умножение вектора <math>\vec{a}</math> на число <math>\alpha > 0 </math>, даёт сонаправленный вектор с длиной в <math>\alpha</math> раз больше.<br>
Умножение вектора <math>\vec{a}</math> на число <math>\alpha < 0 </math>, даёт противоположно направленный вектор с длиной в <math>|\alpha|</math> раз больше.
Умножение вектора на число в координатной форме выполняется умножением всех его проекций на это число:
: <math> \alpha \vec{a} = (\alpha a_x, \alpha a_y, \alpha a_z)</math>
Исходя из определения получается выражение для модуля вектора, умноженного на число:
: <math>|\alpha \vec{a}| = |\alpha| |\vec{a}|</math>
Аналогично как и числами, операции сложение вектора с самим с собой можно записать через умножение на число:
: <math> \vec{a} + \vec{a} = 2 \vec{a}</math>
А вычитание векторов можно переписать через сложение и умножение:
: <math> \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})</math>

Исходя из того, что умножение на <math>-1</math> не меняет длины вектора, а меняет только направление и учитывая определение вектора, получаем:
: <math>-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}</math>

=== Скалярное произведение векторов ===
{{main|Скалярное произведение}}
Для геометрических векторов скалярное произведение определяется через их геометрические характеристики и вводится следующим образом:
: <math>\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos (\vec{a},\vec{b})</math>
Здесь для вычисления косинуса берётся угол между векторами, который определяется как величина угла, образованного векторами, если приложить их к одной точке (совместить их начала).

Это выражение можно переписать через проекции вектора (здесь формула для трехмерного пространства):
: <math>\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z</math>
'''Скалярным квадратом вектора''' называется его скалярное произведение само на себя и может быть вычислено через модуль вектора:
: <math> \vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2</math>

=== Векторное произведение векторов ===
{{main|Векторное произведение}}
Векторным произведением двух векторов <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> называется такой вектор <math>\vec{a} \times \vec{b}</math>, который ортогонален плоскости векторов <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>, его длина равняется площади параллелограмма, образованного векторами, а направление определяется по [[правило правой руки|правилу правой руки]].

=== Смешанное произведение векторов ===
{{main|Смешанное произведение векторов}}
Смешанным произведением трёх векторов <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> называется число, определяемое следующим образом:
: <math>(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c} ) </math>
Модуль этой величины даёт объём [[параллелепипед]]а, построенного на векторах <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>.

== См. также ==
* [[Линейное пространство]]
* [[Векторная величина]]
* [[Кортеж (математика)]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{h|''Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.'' Геометрия. 7—9 классы, 2014|3=
''[[Атанасян, Левон Сергеевич|Атанасян Л. С.]], [[Бутузов, Валентин Фёдорович|Бутузов В. Ф.]], Кадомцев С. Б., [[Позняк, Эдуард Генрихович|Позняк Э. Г.]], Юдина И. И.'' Геометрия. 7—9 классы : учебник для общеобразовательных организаций. 2-е изд. М.: Просвещение, 2014. 383 с., ил.
}}

== Литература ==
* {{статья|автор=Башмаков М.|заглавие=Что такое вектор? |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1976/04/chto_takoe_vektor.htm|язык=ru|издание=[[Квант (журнал)|Квант]]|год=1976|том=|номер=4|страницы=2—5|doi=|issn=}}
* {{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., [[Сканави, Марк Иванович|Сканави М. И.]]
  |заглавие=Элементарная математика. Повторительный курс |издание=Издание третье, стереотипное
  |издательство=Наука |место=М. |год=1976 |страниц=591 |ref=Элементарная математика}}

{{Векторы и матрицы}}

[[Категория:Евклидова геометрия]]
[[Категория:Векторы]]