Просмотр кода страницы Вектор (математика)

{{Другие значения|Вектор}}
[[Файл:Vector AB from A to B.svg|right|thumb|300px|Вектор <math>\overrightarrow{AB}</math>]]
{{Классическая механика}}
'''Ве́ктор''' (от {{lang-lat|[[wikt:vector|vector]]}} — «перевозчик», «переносчик», «несущий») — в простейшем случае [[математический объект]], характеризующийся величиной и направлением<ref name="автоссылка1">{{книга |часть=Вектор |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=1 |год=1977 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |archivedate=2013-11-13 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20131113180443/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu }}</ref>.

Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой в [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]] (или на плоскости)<ref name="автоссылка1" />.

'''Замечание.''' Правило [[Сложение векторов|сложения векторов]] накладывает ограничения на направленные величины, которые можно назвать векторами. Например, [[вращение]] вокруг оси на конечный угол можно представить направленным отрезком, который нельзя назвать вектором, потому что два таких вращения вокруг разных осей складываются не по правилу сложения векторов, а более сложным способом. Такой направленный отрезок является [[тензор]]ом. Напротив, [[Бесконечно малая и бесконечно большая|бесконечно малые]] вращения являются векторами{{sfn|''Кочин Г. Ф.'' Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965|loc=§ 2. Сложение… векторов. …, с. 10}}.

Поэтому '''''вектор''''' — величина, имеющая три характеристики{{sfn|''Кочин Г. Ф.'' Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965|loc=§ 2. Сложение… векторов. …, с. 11}}:
* численное значение;
* направление;
* закон геометрического сложения.

'''Свободным вектором''' (или просто '''вектором''') называется класс равных между собой по длине и направлению направленных отрезков (эквиполентных<ref>{{Книга|автор={{nobr|Кириченко В. Ф., Гусева Н. И., Денисова Н. С. и др.}}|заглавие=Геометрия: учеб. пособие для студ. учреждений высш. пед. проф. образования: в 2 т. Т. 1|ответственный=В. Ф. Кириченко, Н. И. Гусева, Н. С. Денисова, Л. А. Игнаточкина, А. В. Никифорова, О. Ю. Тесля|год=2012|часть=Глава 1. Векторная алгебра: § 1.1. Направленные отрезки и векторы|место=М.|издательство=Издательский центр «Академия»|страницы=6|страниц=400|серия=Сер. Бакалавриат|isbn=978-5-7965-8802-0 (т. 1)}}</ref><ref>{{Книга|автор={{nobr|Атанасян Л. С., Базылев В. Т.}}|заглавие=Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.|год=1986|часть=Глава I. Векторы и их свойства: § 1. Векторы на плоскости и в пространстве|место=М.|издательство=[[Просвещение]]|страницы=7|страниц=336}}</ref>), исходящих из разных точек пространства<ref>{{книга |автор=Цыпкин А. Г. |издание=3-е изд. |заглавие=Справочник по математике для средних учебных заведений |место=М. |издательство=Наука |год=1983 |страницы=286 |страниц=480}}</ref><ref>{{книга |часть=Вектор |заглавие=Геометрия 1: учебное пособие для вузов, Атанасян  С. Л. , Покровский В. Г. под ред. С. Л. Атанасяна. — 3-е изд., электрон. |место=М.: Лаборатория знаний|год=2021}}</ref>{{sfn|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|loc=Глава I. Линейные операции над векторами. § 1. Скаляры и векторы, с. 14}}. В математике и естественных науках рассматриваются также:
* '''связанный вектор''' (или '''приложенный вектор'''{{sfn|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|loc=Глава I. Линейные операции над векторами. § 1. Скаляры и векторы, с. 14}}), для которого задана конкретная начальная точка;
* '''скользящий вектор''', для которого задана [[Аналлагматическая геометрия#Осевая аналлагматическая геометрия|направленная прямая]], вдоль которой он действует. Эта прямая называется '''линией приложения вектора, или линией действия вектора'''{{sfn|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|loc=Глава I. Линейные операции над векторами. § 1. Скаляры и векторы, с. 14}}.

Примеры:
: свободные векторы: '''''направляющий вектор''''' [[Прямая|прямой]], направление [[Параллельный перенос|параллельного переноса]];
: связанные векторы: [[нормаль]] в точке [[Поверхность|поверхности]], [[радиус-вектор]] орбиты планеты, вектор [[градиент]]а, элементы разнообразных [[Векторное поле|векторных полей]];
: скользящий вектор: сила, приложенная к твёрдому телу{{sfn|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|loc=Глава I. Линейные операции над векторами. § 1. Скаляры и векторы, с. 14}}.

Если в пространстве задана [[система координат]], то (свободный) вектор однозначно задаётся набором своих координат. Поэтому в математике, информатике и других науках упорядоченный набор чисел часто тоже называют вектором. В более общем смысле вектор в математике рассматривается как элемент некоторого [[Векторное пространство|векторного (линейного) пространства]].

Является одним из основополагающих понятий [[Линейная алгебра|линейной алгебры]]. При использовании наиболее общего определения векторами оказываются практически все изучаемые в линейной алгебре объекты, в том числе [[Матрица (математика)|матрицы]], [[тензор]]ы, однако при наличии в окружающем контексте этих объектов под вектором понимаются соответственно [[Матрица (математика)#Вектор-строка и вектор-столбец|вектор-строка или вектор-столбец]], тензор первого ранга. Свойства операций над векторами изучаются в [[векторное исчисление|векторном исчислении]].

== Обозначения ==
Вектор, представленный набором <math>n</math> элементов (компонент) <math>a_1, a_2, \ldots, a_n</math>, обозначают следующими способами:
: <math>\langle a_1, a_2, \ldots, a_n\, \rangle,\  \left ( a_1, a_2, \ldots, a_n\, \right ), \{ a_1, a_2, \ldots, a_n\, \} </math>.
Для того чтобы подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр), используют черту сверху, стрелочку сверху, жирный или готический шрифт:
: <math>\bar a,\ \vec a, \mathbf a, \mathfrak A,\  \mathfrak a.</math>

Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:
: <math>\vec{a} + \vec{b}</math>.
Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например:
: <math>k \vec{b}</math>,
причём число при этом обычно пишут слева.

Умножение вектора на [[Матрица (математика)|матрицу]] также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие [[Линейное отображение|линейного оператора]] на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака.

Стоит иметь в виду, что умножение вектора на матрицу требует написания компонент первого в виде строки, тогда как умножение матрицы на вектор требует написания последнего в виде столбца. Чтобы дополнительно подчеркнуть, что в операции вектор <math>\vec{a}</math> участвует как строка, пишут знак [[Транспонирование матрицы|транспонирования]]: <math>\vec{a}^T</math>

== История ==
Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью [[Комплексное число|комплексных чисел]] ([[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]], 1831). Развитые операции с векторами опубликовал [[Гамильтон, Уильям Роуэн|Гамильтон]] как часть своего [[кватернион]]ного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин ''вектор'' ({{lang-lat|vector}}, ''несущий'') и описал некоторые операции [[Векторный анализ|векторного анализа]]. Этот формализм использовал [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелл]] в своих трудах по [[электромагнетизм]]у, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» [[Гиббс, Джозайя Уиллард|Гиббса]] (1880-е годы), а затем [[Хевисайд, Оливер|Хевисайд]] (1903) придал векторному анализу современный вид<ref name=AL/>.

Общепринятых обозначений вектора не существует, используются жирный шрифт, черта или стрелка над буквой, готический алфавит и др.<ref name=AL>{{книга |автор=Александрова Н. В. |заглавие=История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник |ссылка=https://archive.org/details/isbn_9785382008394 |издание=3-е изд |место=СПб. |издательство=ЛКИ |год=2008 |страниц=248  |страницы=[https://archive.org/details/isbn_9785382008394/page/n21 22]—23 |isbn=978-5-382-00839-4}}</ref>

== В геометрии ==
{{main|Вектор (геометрия)}}
В геометрии под векторами понимают направленные отрезки. Эту интерпретацию часто используют в [[компьютерная графика|компьютерной графике]], строя [[карта освещения|карты освещения]] с помощью [[нормаль|нормалей]] к поверхностям. Также с помощью векторов можно находить площади различных фигур, например, [[треугольник]]ов и [[параллелограмм]]ов, а также объёмы тел: [[тетраэдр]]а и [[параллелепипед]]а. <br>
Иногда с вектором отождествляют направление.

Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу ([[Параллельный перенос|параллельному переносу]]), что, очевидно, проясняет происхождение его названия ({{lang-lat|vector}}, ''несущий''). Действительно, любой направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства, и обратно, параллельный перенос однозначно определяет собой единственный направленный отрезок (однозначно — если считать равными все направленные отрезки одинакового направления и длины — то есть рассматривать их как [[Вектор (геометрия)#Виды векторов|свободные векторы]]).

Интерпретация вектора как переноса позволяет естественным и интуитивно очевидным способом ввести операцию [[Вектор (геометрия)#Сложение векторов|сложения векторов]] — как композиции (последовательного применения) двух (или нескольких) переносов; то же касается и операции умножения вектора на число.

== В линейной алгебре ==
{{main|Линейное пространство}}
В [[линейная алгебра|линейной алгебре]] вектором называется элемент линейного пространства, что соответствует общему определению, приведённому ниже. Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности [[изоморфизм|изоморфны]] между собой. <br>
Данным понятием вектора чаще всего пользуются при решении [[система линейных алгебраических уравнений|систем линейных алгебраических уравнений]], а также при работе с [[линейный оператор|линейными операторами]] (пример линейного оператора — оператор [[поворот]]а).
Часто это определение расширяют, определяя [[норма (математика)|норму]] или [[скалярное произведение]] (возможно, и то, и другое вместе), после чего оперируют уже с [[нормированное пространство|нормированными]] и [[евклидово пространство|евклидовыми]] пространствами, со скалярным произведением связывают понятие угла между векторами, а с нормой — понятие длины вектора.
Многие математические объекты (например, [[Матрица (математика)|матрицы]], [[тензор]]ы и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем конечный (а иногда даже и чем счётный) упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам [[Векторное пространство|векторного пространства]], то есть являются с точки зрения алгебры векторами.

== В функциональном анализе ==
В [[функциональный анализ|функциональном анализе]] рассматриваются функциональные пространства — [[размерность векторного пространства|бесконечномерные]] линейные пространства. Их элементами могут являться функции. На основании такого представления функции выстроена теория [[Ряд Фурье|рядов Фурье]]. Аналогично с линейной алгеброй часто вводят норму, скалярное произведение или [[метрический тензор|метрику]] на пространстве функций. На понятии функции как элемента [[Гильбертово пространство|гильбертова пространства]] основываются некоторые методы решения [[дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]], например, [[метод конечных элементов]].

== Общее определение ==
Наиболее общее определение вектора даётся средствами [[Общая алгебра|общей алгебры]]:

* Обозначим <math>\mathfrak F</math> (готическая F) некоторое [[Поле (алгебра)|поле]] с множеством элементов <math>F</math>, аддитивной операцией <math>+</math>, мультипликативной операцией <math>*</math> и соответствующими [[Нейтральный элемент|нейтральными элементами]]: аддитивной единицей <math>0</math> и мультипликативной единицей <math>1</math>.
* Обозначим <math>\mathfrak V</math> (готическая V) некоторую [[абелева группа|абелеву группу]] с множеством элементов <math>V</math>, аддитивной операцией <math>+</math> и, соответственно, с аддитивной единицей <math>\mathbf 0</math>.

Иначе говоря, пусть <math>\mathfrak F= \langle F;+,* \rangle </math>  и <math>\mathfrak V= \langle V;+ \rangle </math>.

Если существует операция <math>F \times V \to V</math>, такая что для любых <math>a,b \in F</math> и для любых <math>\mathbf x ,\mathbf y \in V </math> выполняются соотношения:
# <math>(a+b) \times \mathbf x=a \times \mathbf x + b \times \mathbf x</math>,
# <math>a \times (\mathbf x + \mathbf y )=a \times \mathbf x + a \times \mathbf y</math>,
# <math>(a*b) \times \mathbf x = a \times (b \times \mathbf x )</math>,
# <math>1 \times \mathbf x =\mathbf x</math>,

тогда
* <math>\mathfrak V</math> называется [[Векторное пространство|''векторным пространством'']] над полем <math>\mathfrak F</math> (или линейным пространством),
* элементы <math>V</math> называются ''векторами'',
* элементы <math>F</math> — ''[[скаляр]]ами'',
* указанная операция <math>F \times V \to V</math> — ''умножением вектора на скаляр''.

Многие результаты [[Линейная алгебра|линейной алгебры]] обобщены до [[унитарный модуль|унитарных модулей]] над некоммутативными телами и даже произвольных [[Модуль над кольцом|модулей над кольцами]]; таким образом, в наиболее общем случае в некоторых контекстах вектором может быть назван любой элемент модуля над кольцом.

== Физическая интерпретация ==
{{main|Векторная величина}}
Вектор как структура, имеющая одновременно величину (модуль) и направление, рассматривается в физике как математическая модель [[Скорость|скорости]], [[Сила (физика)|силы]] и связанных с ними величин, кинематических или динамических. Математической моделью многих [[Поле (физика)|физических полей]] (например, [[электромагнитное поле|электромагнитного поля]] или поля скорости жидкости) являются [[векторное поле|векторные поля]].

Абстрактные многомерные и бесконечномерные (в духе [[#В функциональном анализе|функционального анализа]]) векторные пространства используются в лагранжевом и гамильтоновом формализме применительно к механическим и другим динамическим системам, а также в квантовой механике (см. [[Квантовое состояние|Вектор состояния]]).

== Вектор как последовательность ==
{{main|Кортеж (математика)}}
''Вектор'' — ([[последовательность]], [[Кортеж (математика)|кортеж]]) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным [[аксиома]]м [[Линейное пространство|линейного пространства]]. Именно в таком виде вектор понимается в [[Программирование|программировании]], где, как правило, обозначается именем-[[идентификатор]]ом с квадратными скобками (например, ''object[]''). Перечень свойств моделирует принятое в [[Теория систем|теории систем]] определение [[Класс (математика)|класса]] и [[Состояние|состояния]] объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения элементов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки обычно принятого в алгебре, да и в математике вообще.

Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел. Обозначается <math>\overline{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math>, числа <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> называются компонентами арифметического вектора. Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число, называется пространством арифметических векторов <math>R^n</math><ref>{{книга | заглавие=Линейная алгебра. ИЭТ МЭИ Краткий конспект лекций | часть=Глава 2. Пространство арифметических векторов ''R''<sup>n</sup> | ссылка=http://old.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/lection/lection3/lection3.asp | archivedate=2019-01-18 | archiveurl=https://web.archive.org/web/20190118224839/http://old.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/lection/lection3/lection3.asp }}</ref>.

== См. также ==
* [[Векторная величина]]
* [[Векторное поле]]
* [[Векторный анализ]]

== Примечания ==
{{примечания}}
{{Викисловарь|вектор}}

== Источники ==
* {{h|''Кочин Г. Ф.'' Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965|3=
''Кочин Г. Ф.'' [[Векторное исчисление]] и начала [[Тензорное исчисление|тензорного исчисления]]. Изд-е 9-е. М.: Наука, 1965. 427 с., ил.
}}
* {{h|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|3=
''[[Лаптев, Герман Фёдорович|Лаптев Г. Ф.]]'' Элементы [[Векторное исчисление|векторного исчисления]]. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Гусятников П. Б., Резниченко С. В.|заглавие=Векторная алгебра в примерах и задачах|место={{М}}|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1985|страниц=232|ссылка=http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah}}
* {{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}}
* {{ref-en}} J. V. Field, ''The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance'', [[Oxford University Press]], 1997 {{ISBN|0198523947}}
* F. Casiro, A. Deledicq, ''Pythagore et Thalès'' Les éditions du Kangourou 1998 {{ISBN|2-87694-040-X}}
* R. Pouzergues, ''Les Hexamys'', IREM de Nice, IremOuvrage, 1993 Cote : IM8974 [http://hexamys.free.fr/ Lire] {{Wayback|url=http://hexamys.free.fr/ |date=20210225222315 }}
* D. Lehmann et [[Rudolf Bkouche]], ''Initiation à la géométrie'', PUF, 1988, {{ISBN|2130401600}}
* Y. Sortais, ''La Géométrie du triangle. Exercices résolus'', Hermann, 1997, {{ISBN|270561429X}}
* Y. Ladegaillerie, ''Géométrie pour le CAPES de mathématiques'', Ellipses Marketing, 2002 {{ISBN|2729811486}}
* J. Perez, ''Mécanique physique'', Masson, 2007 {{ISBN|2225553416}}
* M. B. Karbo, ''Le graphisme et l'internet'', Compétence micro, №26, 2002 {{ISBN|2912954959}}

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* {{ref-en}} [https://web.archive.org/web/19991004052655/http://members.aol.com/jeff570/v.html Premières utilisations connues des termes mathématiques] par J. Miller

{{BC}}{{Вектора и матрицы}}

[[Категория:Линейная алгебра]]
[[Категория:Евклидова геометрия]]
[[Категория:Векторы]]