Просмотр кода страницы Вещественное число

'''Веще́ственное число́ (действи́тельное число<ref>Названия «''вещественное число''» и «''действительное число''» равнозначны.
Исторически в Московской математической школе использовали термин «''действительное число''», а в Ленинградской — «''вещественное число''». В качестве примера можно привести две классические работы:
* {{книга
|автор        = Лузин, Н. Н.
|заглавие     = Теория функций действительного переменного
}} ''(Московская школа)''
* {{книга
|автор        = Натансон, И. П.
|заглавие     = Теория функций вещественной переменной
|год        = 1974
|ссылка      = https://archive.org/details/B-001-032-017-ALL
}} ''(Ленинградская школа)''

В современных университетских учебниках употребляются оба термина:
* {{книга
|автор        = Зорич В. А. 
|заглавие     = Математический анализ
}} ([[Механико-математический факультет МГУ|МГУ, мехмат]]) — ''действительное число''
* {{книга
|автор        = Ильин В. А., Позняк В. Г. 
|заглавие     = Основы математического анализа
}} ([[Физический факультет МГУ|МГУ, физфак]]) — ''вещественное число''
* {{книга
|автор        = Кудрявцев, Л. Д.
|заглавие     = Курс математического анализа
}} ([[Московский физико-технический институт|МФТИ]]) — ''действительное число''
* {{книга
|автор        = Фихтенгольц, Г. М.
|заглавие     = Курс дифференциального и интегрального исчисления
}} ([[СПбГУ]]) — ''вещественное число''
</ref>)''' — [[математический объект]], возникший из потребности [[Измерение|измерения]] [[Геометрия|геометрических]] и [[Физика|физических]] величин окружающего мира, а также проведения таких вычислительных операций, как [[Корень (математика)|извлечение корня]], вычисление [[логарифм]]ов, решение [[Алгебраическое уравнение|алгебраических уравнений]], исследование поведения функций<ref>См. {{книга
 |автор         = Кудрявцев Л. Д.
 |заглавие      = Курс математического анализа
 |том           = 1
 |страницы      = 35—36
}}, а также
{{книга
 |автор         = Бурбаки Н.
 |заглавие      = Очерки по истории математики
 |страницы      = 146
}}</ref>.

[[Файл:Real number line.svg|thumb|350px|[[Числовая прямая]], показано положение на ней чисел [[Корень из 2|{{sqrt|2}}]], [[E (число)|<math>e</math>]] и [[Пи (число)|<math>\pi</math>]]]]
Если [[Натуральное число|натуральные числа]] возникли в процессе счёта, [[Рациональное число|рациональные]] — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое, помимо [[Рациональное число|чисел рациональных,]] включает элементы, называемые ''[[Иррациональное число|иррациональными числами]]''.

Наглядно понятие вещественного числа можно представить при помощи [[Числовая ось|числовой прямой]]. Если на прямой выбрать направление, [[Начало координат|начальную точку]] и [[Единица измерения|единицу длины]] для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую [[Точка (геометрия)|точку]] на этой прямой и, обратно, каждой точке прямой можно поставить в соответствие некоторое вещественное число, притом только одно. Вследствие этого соответствия термин «''[[числовая прямая]]''» обычно употребляется в качестве [[синоним]]а множества вещественных чисел.

Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё [[Математика в Древней Греции|в Древней Греции]] в школе [[Пифагор]]а, которая в основу всего ставила [[Целое число|целые числа]] и их отношения, было открыто существование ''несоизмеримых величин'' (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим [[Евдокс Книдский|Евдоксом Книдским]] была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия<ref name = "Пути">{{книга
 |автор         = Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж.
 |заглавие      = Пути и лабиринты. Очерки по истории математики
 |страницы      = 287—289
}}</ref>. Лишь во второй половине XIX века, когда развитие [[Математический анализ|математического анализа]] потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах [[Вейерштрасс, Карл|К. Вейерштрасса]], [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Р. Дедекинда]], [[Кантор, Георг Фердинанд Людвиг Филипп|Г. Кантора]], [[Гейне, Эдуард|Э. Гейне]], [[Мерэ, Шарль|Ш. Мере]]<ref name="Пути"/> была создана строгая теория вещественных чисел.

С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — [[Непрерывность множества действительных чисел|непрерывное]] [[упорядоченное поле]]. Это определение, или эквивалентная система [[Аксиома|аксиом]], в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до [[изоморфизм]]а, непрерывное упорядоченное [[Поле (алгебра)|поле]].

Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — <big>'''R'''</big> («полужирное R»), <math>\R</math> или <math>\mathbf{R}</math>, [[Unicode]] U+211D: ℝ) ({{lang-en|blackboard bold}} «R») от {{lang-la|realis}} — действительный.

== История становления понятия вещественного числа ==

=== Наивная теория вещественных чисел ===
Первая развитая числовая система, построенная в [[Математика в Древней Греции|Древней Греции]], включала только [[натуральные числа]] и их отношения ([[Пропорция (математика)|пропорции]], в современном понимании — [[Рациональное число|рациональные числа]]). Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: например, отношение длины [[Диагональ|диагонали]] [[квадрат]]а к длине его стороны не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом<ref>{{книга |автор=[[Николя Бурбаки|Бурбаки Н.]]. |заглавие=Архитектура математики. Очерки по истории математики  |страницы=147 }}</ref>.

Для выхода из положения [[Евдокс Книдский]] ввёл, в дополнение к числам, более широкое понятие ''[[Величина (математика)|геометрической величины]]'', то есть длины отрезка, площади или объёма. Теория Евдокса дошла до нас в изложении [[Евклид]]а («[[Начала Евклида|Начала]]», книга V). По существу, теория Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел. С современной точки зрения, число при таком подходе есть ''отношение'' двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Классическая теория [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинда]] для построения вещественных чисел по своим принципам чрезвычайно похожа на изложение Евдокса.
Однако модель Евдокса неполна в некоторых отношениях, например, она не включает отрицательные числа.

Ситуация начала меняться в первые века н. э. Уже [[Диофант Александрийский]], вопреки прежним традициям, рассматривает дроби так же, как и натуральные числа, а в IV книге своей «Арифметики» даже пишет об одном результате: «Число оказывается не рациональным»<ref name=B150>{{книга |автор=[[Николя Бурбаки|Бурбаки Н.]]. |заглавие=Архитектура математики. Очерки по истории математики  |страницы=150—151 }}</ref>. После гибели античной науки на передний план выдвинулись математики [[История математики в Индии|Индии]] и [[Математика исламского Средневековья|стран ислама]], для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно взяли верх и в средневековой Европе<ref>{{книга |заглавие=История математики |том=I |страницы=190—191, 304—305}}</ref>, где поначалу разделяли рациональные и ''[[Иррациональное число|иррациональные]]'' (буквально: «неразумные») числа (их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. п.). Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами [[Стевин, Симон|Симона Стевина]] (конец XVI века), который провозгласил<ref name=B150/>:
{{цитата
|Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью.
}}
Он же, с некоторыми оговорками, легализовал [[отрицательные числа]], а также развил теорию и символику [[Десятичная дробь|десятичных дробей]], которые с этого момента начинают вытеснять неудобные [[шестидесятеричная система счисления|шестидесятеричные]].

Спустя столетие [[Ньютон, Исаак|Ньютон]] в своей «[[Универсальная арифметика|Универсальной арифметике]]» ([[1707 год]]а) даёт классическое определение (вещественного) числа как отношения результата измерения к единичному эталону<ref>{{книга |заглавие=История математики |том=II |страницы=35}}</ref>:
{{цитата
|Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу.
}}
Долгое время это прикладное определение считалось достаточным, так что практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными (из геометрических или [[Кинематика|кинематических]] соображений). Например, считался самоочевидным тот факт, что непрерывная кривая, точки которой расположены по разные стороны от некоторой прямой, пересекает эту прямую. Строгое определение понятия непрерывности также отсутствовало<ref>{{книга |автор=[[Николя Бурбаки|Бурбаки Н.]]. |заглавие=Архитектура математики. Очерки по истории математики |страницы=154}}</ref>. Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки.

Даже после того, как [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] разработал достаточно строгий фундамент [[Математический анализ|анализа]], положение не изменилось, поскольку теории вещественных чисел, на которую обязан был опираться анализ, не существовало. Из-за этого Коши сделал немало ошибок, положившись на интуицию там, где она приводила к неверным выводам: например, он полагал, что сумма ряда из непрерывных функций всегда непрерывна.

=== Создание строгой теории ===
Первую попытку заполнить пробел в основаниях математики сделал [[Больцано, Бернард|Бернард Больцано]] в своей статье «Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один действительный [[Уравнение|корень уравнения]]» ([[1817 год]]). В этой пионерской работе ещё нет целостной системы вещественных чисел, но уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе теорема, упомянутая в заглавии, может быть строго доказана<ref>{{книга |заглавие=Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей |ответственный=Под ред. [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]] |место=М. |издательство=Просвещение |год=1977 |страниц=224 |страницы=171—178}}</ref>. В более поздней работе<ref>''Бернард Больцано.''[http://bbi-math.narod.ru/bolzano/p0000.html Парадоксы бесконечного.] {{Wayback|url=http://bbi-math.narod.ru/bolzano/p0000.html |date=20140413155658 }}</ref> Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой к [[Кантор, Георг Фердинанд Людвиг Филипп|канторовской]] [[Теория множеств|теории множеств]]<ref>''Рыхлик Карел.'' Теория вещественных чисел в рукописном наследии Больцано // ИМИ, 1958. № 11. С. 515—532.</ref>, но эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в 1851 году. Взгляды Больцано значительно опередили своё время и не привлекли внимания математической общественности.

Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрасса]], [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинда]] и [[Кантор, Георг Фердинанд Людвиг Филипп|Кантора]]. Они предложили [[Конструктивные способы определения вещественного числа|различные, но эквивалентные подходы]] к теории этой важнейшей математической структуры и окончательно отделили это понятие от геометрии и механики<ref name="Kol">''[[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]], [[Абрамов, Александр Михайлович (математик)|Абрамов А. М.]], Дудницын Ю. П.'' Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. — М., Просвещение, 1994. — ISBN 5-09-006088-6. — C. 162—165</ref>.

== Конструктивные способы определения вещественного числа ==
{{Основная статья|Конструктивные способы определения вещественного числа}}

При конструктивном определении понятия вещественного числа на основе известных математических объектов (например, множества [[Рациональное число|рациональных чисел]] <math>\mathbb{Q}</math>), которые принимают заданными, строят новые объекты, которые, в определённом смысле, отражают наше интуитивное понимание о понятии вещественного числа. Существенным отличием между вещественными числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и ''пока'' не являются строго определённым математическим понятием.

Эти объекты и объявляют вещественными числами. Для них вводят основные арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их свойства.

Исторически первыми строгими определениями вещественного числа были именно конструктивные определения. В 1872 году были опубликованы одновременно три работы: теория фундаментальных последовательностей [[Кантор, Георг Фердинанд Людвиг Филипп|Кантора]], теория [[Карл Вейерштрасс|Вейерштрасса]] (в современном варианте — теория бесконечных десятичных дробей) и теория сечений в области рациональных чисел Дедекинда<ref name="Пути"/><ref>{{книга
 |автор         = Рыбников К. А.
 |заглавие      = История математики
 |том           = 2
 |страницы      = 196
}}</ref>.

=== Теория фундаментальных последовательностей Кантора ===
{{См. также|Конструктивные способы определения вещественного числа#Теория фундаментальных последовательностей Кантора|l1=Теория фундаментальных последовательностей Кантора}}

В данном подходе вещественное число рассматривается как [[Предел последовательности#Предел числовой последовательности|предел последовательности]] рациональных чисел. Чтобы последовательность рациональных чисел сходилась, на неё накладывается ''[[условие Коши]]'':
<center><math>
\forall \varepsilon > 0 \; \exists N_\varepsilon: \; \forall n > N_\varepsilon \; \forall m > 0 \; | a_{n+m} - a_n | < \varepsilon
</math></center>
Смысл этого условия заключается в том, что члены последовательности, начиная с некоторого номера, будут лежать сколь угодно близко друг от друга. Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются ''фундаментальными''.

Вещественное число, определяемое фундаментальной последовательностью рациональных чисел <math>\{a_n\}</math>, обозначим <math>[a_n]</math>.

Два вещественных числа
<center>
<math>\alpha = [a_n]</math> и <math>\beta = [b_n]</math>,
</center>
определённые соответственно фундаментальными последовательностями <math>\{a_n\}</math> и <math>\{b_n\}</math>, называются ''[[Отношение эквивалентности|равными]]'', если
<center><math>
\lim_{n \to \infty} \left ( a_n - b_n\right ) = 0
</math></center>

Если даны два вещественных числа <math>\alpha = [a_n]</math> и <math>\beta = [b_n]</math>, то их суммой и произведением называются числа, определённые соответственно суммой и произведением последовательностей <math>\{a_n\}</math> и <math>\{b_n\}</math>:
<center><math>
\alpha + \beta \overset{\text{def}}{=} [a_n + b_n] \qquad \alpha \cdot \beta \overset{\text{def}}{=} [a_n \cdot b_n]
</math></center>

[[Частично упорядоченное множество|Отношение порядка]] на множестве вещественных чисел устанавливается посредством соглашения, в соответствии с которым число <math>\alpha=[a_n]</math> ''по определению'' больше числа <math>\beta=[b_n]</math>, то есть <math>\alpha > \beta</math>, если
<center><math>
\exists \varepsilon > 0 \; \exists N: \; \forall n > N \; a_n \geqslant b_n + \varepsilon
</math></center>

Способ построения множества вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел является частным случаем конструкции ''пополнения'' произвольного [[Метрическое пространство|метрического пространства]]. Как и в общем случае, полученное в результате пополнения множество вещественных чисел само уже является ''полным'', то есть содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов.

=== Теория бесконечных десятичных дробей ===
{{См. также|Конструктивные способы определения вещественного числа#Теория бесконечных десятичных дробей|l1=Теория бесконечных десятичных дробей}}

Вещественное число определяется как ''бесконечная десятичная дробь'', то есть выражение вида
<center><math>
\pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n \ldots
</math></center>
где <math>\pm</math> есть один из символов <math>+</math> или <math>-</math>, называемый знаком числа, <math>a_0</math> — целое неотрицательное число, <math>a_1, a_2, \ldots a_n, \ldots</math> — последовательность десятичных знаков, то есть элементов числового множества <math>\{0, 1, \ldots 9\}</math>.

Бесконечная десятичная дробь интерпретируется как такое число, которое на числовой прямой лежит между ''рациональными'' точками вида
<center>
<math>\pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n</math> и <math>\pm \left ( a_0,a_1 a_2 \ldots a_n + 10^{-n} \right )</math>
для всех <math>n=0, 1, 2, \ldots</math>
</center>

Сравнение вещественных чисел в форме бесконечных десятичных дробей производится поразрядно. Например, пусть даны два неотрицательных числа
<center><math>
\begin{matrix}
\alpha & = + a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots \\
\beta & = + b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots
\end{matrix}
</math></center>
Если <math>a_0 < b_0</math>, то <math>\alpha <\beta</math>; если <math>a_0 > b_0</math> то <math>\alpha > \beta</math>. В случае равенства <math>a_0 = b_0</math> переходят к сравнению следующего разряда. И так далее. Если <math>\alpha \neq \beta</math>, то после конечного числа шагов встретится первый разряд <math>n</math>, такой что <math>a_n \neq b_n</math>. Если <math>a_n < b_n</math>, то <math>\alpha <\beta</math>; если <math>a_n > b_n</math> то <math>\alpha > \beta</math>.

Однако, при этом следует учитывать, что число <math>a_0,a_1 a_2 \ldots a_n (9) = a_0,a_1 a_2 \ldots a_n + 10^{-n}</math>. Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда, представляет собой периодическую десятичную дробь, у которой в периоде стоит 9, то её следует заменить на эквивалентную запись, с нулём в периоде.
 
Арифметические операции над бесконечными десятичными дробями определяются как ''непрерывное продолжение''<ref>Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида <math>\{x: \alpha < x < \beta\}</math></ref> соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> называется вещественное число <math>\alpha + \beta</math>, удовлетворяющее следующему условию:
<center><math>
\forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q} \; (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \land (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' + b' \leqslant \alpha + \beta \leqslant a'' + b'')
</math></center>
Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.

=== Теория сечений в области рациональных чисел ===
{{См. также|Конструктивные способы определения вещественного числа#Теория сечений в области рациональных чисел|l1=Теория сечений в области рациональных чисел}}
В подходе Дедекинда вещественные числа определяются с помощью сечений в множестве рациональных чисел.

''Сечением'' в множестве рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> называется всякое разбиение совокупности всех рациональных чисел на два непустых ''класса'' — ''нижний'' <math>A</math> и ''верхний'' <math>A'</math>, так что каждое число из нижнего класса строго меньше всякого числа из верхнего:
<center>
<math> \mathbb{Q} = A \cup A' \quad \land \quad  A, A' \neq \varnothing  \quad \land \quad  \forall a \in A, \forall a' \in A' \; (a < a')</math>
</center>

Если существует число <math>\alpha</math>, которое является максимальным в нижнем классе, либо минимальным в верхнем классе, то это число ''разделяет'' множества <math>A</math> и <math>A'</math>: числа нижнего и верхнего классов лежат по разные стороны от <math>\alpha</math>. Говорят также, что рациональное число <math>\alpha</math> ''производит'' данное сечение множества рациональных чисел.

Если же в нижнем классе сечения нет максимального элемента, а в верхнем — минимального, то не существует никакого рационального числа, которое разделяло бы множества <math>A</math> и <math>A'</math>. В этом случае по определению полагают, что данное сечение ''определяет'' некоторое ''иррациональное число'' <math>\alpha</math>, которое находится между нижним и верхним классами, и тем самым производит данное сечение. Иначе говоря, для всякого сечения, не производимого никаким ''рациональным'' числом, вводят новый объект — ''иррациональное'' число, которое по определению больше всякого числа из нижнего класса и меньше всякого числа из верхнего класса:
<center>
<math>\forall a \in A, \forall a' \in A' \; a < \alpha < a'</math>
</center>

Объединение всех рациональных и всех иррациональных чисел называют ''множеством вещественных чисел'', а его элементы — ''вещественными числами''.

Арифметические операции над вещественными числами определяются как ''непрерывное продолжение'' соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> называется вещественное число <math>\alpha + \beta</math>, удовлетворяющее следующему условию:
<center><math>
\forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q} \; (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \land (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' + b' \leqslant \alpha + \beta \leqslant a'' + b'')
</math></center>

== Аксиоматический подход ==
Построить множество вещественных чисел можно разными способами. В [[Конструктивные способы определения вещественного числа#Теория фундаментальных последовательностей Кантора|теории Кантора]] вещественные числа — классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, в [[Конструктивные способы определения вещественного числа#Теория бесконечных десятичных дробей|теории Вейерштрасса]] — бесконечные десятичные дроби, в [[Конструктивные способы определения вещественного числа#Теория сечений в области рациональных чисел|теории Дедекинда]] — сечения в области рациональных чисел. Во всех этих подходах в результате мы получаем некоторое множество объектов (вещественных чисел), обладающих определёнными свойствами: их можно складывать, умножать, сравнивать между собой. Более того, коль скоро установлены свойства этих объектов, мы можем больше не апеллировать к тем конкретным конструкциям, с помощью которых они были построены.

В [[математика|математике]] важна не конкретная природа объектов, а лишь математические соотношения, существующие между ними.

Для человека, который исследует математическое понятие [[мощность множества|количество элементов]], безразлично, о чём говорить — о трёх яблоках или о трёх камнях, и их съедобность или несъедобность значения не имеет. В процессе отвлечения от несущественных признаков, то есть [[Абстракция|абстрагирования]] ({{lang-la|abstractio}} — отвлечение), он приходит к тому общему, что есть у трёх яблок и трёх камней — количеству элементов. Так возникает абстрактное понятие [[Натуральное число|натурального числа]]. С этой точки зрения три яблока и три камня — две конкретные реализации ''модели'' абстрактного понятия «число три».

Точно так же классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, бесконечные десятичные дроби, сечения в области рациональных чисел являются лишь конкретными реализациями, моделями вещественного числа. А само понятие вещественного числа определяется существующими для него математическими соотношениями. Коль скоро они установлены, определено и понятие вещественного числа.

Здесь уместно привести знаменитое высказывание [[Гильберт, Давид|Д. Гильберта]], основоположника системного [[Аксиоматический метод|аксиоматического метода]] в математике, который, имея в виду [[Аксиоматика Гильберта|аксиоматизацию геометрии]], как-то заметил:
{{цитата
|автор = Давид Гильберт<ref>{{книга
 |автор          = Рид К.
 |заглавие       = Гильберт
 |страницы       = 79
}}</ref>
|Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках.
}}

=== Аксиоматика вещественных чисел ===
''Множество <math>\R</math> называется множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый [[аксиома]]тикой вещественных чисел:''

==== Аксиомы поля ====
На множестве <math>\R</math> определено [[отображение]] (''[[бинарная операция|операция]] сложения'')
<center>
<math>+ : \R \times \R \to \R</math>
</center>
сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов <math>a, b</math> из <math>\R</math> некоторый элемент <math>c</math> из того же множества <math>\R</math>, называемый ''суммой'' <math>a</math> и <math>b</math> (<math>a+b</math> эквивалентная запись элемента <math>c</math> множества <math>\R</math>).

Также, на множестве <math>\R</math> определено отображение (''операция умножения'')
<center>
<math>\cdot : \R \times \R \to \R</math>
</center>
сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов <math>a, b</math> из <math>\R</math> некоторый элемент <math>a \cdot b</math>, называемый ''произведением'' <math>a</math> и <math>b</math>.

При этом имеют место следующие свойства.

: <math>\text{I}_{1}. </math> ''Коммутативность сложения.'' Для любых <math>a, b \in \R</math>
<center><math>
a + b = b + a
</math></center>

: <math>\text{I}_{2}.</math> ''Ассоциативность сложения.'' Для любых <math>a, b, c \in \R</math>
<center><math>
a + (b + c) = (a + b) + c
</math></center>

: <math>\text{I}_{3}.</math> ''Существование нуля.'' Существует элемент <math>0 \in \R</math>, называемый ''нулём'', такой, что для любого <math>a \in \R</math>
<center><math>
a + 0 = a
</math></center>

: <math>\text{I}_{4}.</math> ''Существование противоположного элемента.'' Для любого <math>a \in \R</math> существует элемент <math>-a \in \R</math>, называемый ''противоположным'' к <math>a</math>, такой, что
<center><math>
a + (-a) = 0
</math></center>

: <math>\text{I}_{5}.</math> ''Коммутативность умножения.'' Для любых <math>a, b \in \R</math>
<center><math>
a \cdot b = b \cdot a
</math></center>

: <math>\text{I}_{6}.</math> ''Ассоциативность умножения.'' Для любых <math>a, b, c \in \R</math>
<center><math>
a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c
</math></center>

: <math>\text{I}_{7}.</math> ''Существование единицы.'' Существует элемент <math>1 \in \R</math>, называемый ''единицей'', такой, что для любого <math>a \in \R</math>
<center><math>
a \cdot 1 = a
</math></center>

: <math>\text{I}_{8}.</math> ''Существование обратного элемента.'' Для любого <math>a \in \R, a \neq 0</math> существует элемент <math>a^{-1} \in \R</math>, обозначаемый также <math>1 / a</math> и называемый ''обратным'' к <math>a</math>, такой, что
<center><math>
a \cdot a^{-1} = 1
</math></center>

: <math>\text{I}_{9}.</math> ''Дистрибутивный закон умножения относительно сложения.'' Для любых <math>a, b, c \in \R</math>
<center><math>
a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
</math></center>

: <math>\text{I}_{10}.</math> ''Нетривиальность поля. '' ''Единица'' и ''ноль'' — различные элементы <math>\R</math>:
<center>
<math>1 \neq 0</math>
</center>

==== Аксиомы порядка ====
Между элементами <math>\R</math> определено отношение <math>\leqslant</math>, то есть для любой упорядоченной пары элементов <math>a,b</math> из <math>\R</math> установлено, выполняется соотношение <math>a \leqslant b</math> или нет. При этом имеют место следующие свойства.

: <math>\text{II}_{1}.</math> ''Рефлексивность.'' Для любого <math>a \in \R</math>
<center>
<math>a \leqslant a</math>
</center>

: <math>\text{II}_{2}.</math> ''Антисимметричность.'' Для любых <math>a, b \in \R</math>
<center>
<math>(a \leqslant b) \land (b \leqslant a) \Rightarrow (a = b)</math>
</center>

: <math>\text{II}_{3}.</math> ''Транзитивность.'' Для любых <math>a, b, c \in \R</math>
<center>
<math>(a \leqslant b) \land (b \leqslant c) \Rightarrow (a \leqslant c)</math>
</center>

: <math>\text{II}_{4}.</math> ''Линейная упорядоченность.'' Для любых <math>a, b \in \R</math>
<center>
<math>(a \leqslant b) \lor (b \leqslant a)</math>
</center>

: <math>\text{II}_{5}.</math> ''Связь сложения и порядка.'' Для любых <math>a, b, c \in \R</math>
<center>
<math>(a \leqslant b) \Rightarrow (a + c \leqslant b + c)</math>
</center>

: <math>\text{II}_{6}.</math>''Связь умножения и порядка.'' Для любых <math>a, b \in \R</math>
<center>
<math>(0 \leqslant a) \land (0 \leqslant b)\Rightarrow (0 \leqslant a \cdot b)</math>
</center>

==== [[Непрерывность множества вещественных чисел|Аксиомы непрерывности]] ====
: <math>\text{III}_{1}.</math> Каковы бы ни были непустые множества <math>A \subset \mathbb{R}</math> и <math>B \subset \mathbb{R}</math>, такие, что для любых двух элементов <math>a \in A</math> и <math>b \in B</math> выполняется неравенство <math>a \leqslant b</math>, существует такое число <math>\xi \in \R</math>, что для всех <math>a \in A</math> и <math>b \in B</math> имеет место соотношение
<center><math>a \leqslant \xi \leqslant b</math></center>

Этих аксиом достаточно, чтобы строго вывести все известные свойства вещественных чисел<ref>См. {{книга
 |автор         = Кудрявцев Л. Д.
 |заглавие      = Курс математического анализа
 |том           = 1
}}</ref>.

На языке современной алгебры аксиомы первой группы означают, что множество <math>\R</math> является [[Поле (алгебра)|полем]]. Аксиомы второй группы — что множество <math>\R</math> является [[Линейно упорядоченное множество|линейно упорядоченным множеством]] (<math>\text{II}_{1}</math> — <math>\text{II}_{4}</math>), причём отношение порядка согласовано со структурой поля <math>\text{II}_{5}</math> — <math>\text{II}_{6}</math>. Множества, удовлетворяющие аксиомам первой и второй группы, называются ''[[упорядоченное поле|упорядоченными полями]]''. Наконец, последняя группа, состоящая из одной аксиомы, утверждает, что множество вещественных чисел обладает свойством ''[[Непрерывность множества вещественных чисел|непрерывности]]'', которое также называют ''полнотой''. Резюмируя, можно дать эквивалентное определение множества вещественных чисел.

'''''Определение.''''' ''Множеством вещественных чисел называется непрерывное упорядоченное поле.''

=== Другие системы аксиом вещественных чисел ===
Существуют и другие способы аксиоматизации вещественных чисел. Например, вместо аксиомы непрерывности <math>\text{III}_{1}.</math> можно использовать любое другое эквивалентное ей условие, или группу условий. Например, в системе аксиом, предложенной Гильбертом, аксиомы групп <math>\text{I}</math> и <math>\text{II}</math>, по существу, те же, что и в приведённые выше, а вместо аксиомы <math>\text{III}_{1}</math> используются следующие два условия:

: <math>\text{III}_{1}'.</math> ''[[Аксиома Архимеда]].'' Пусть <math>a > 0</math><ref><math>(a > 0) \; \overset{\text{def}}{\Leftrightarrow} \; (a \geqslant 0) \land (a \neq 0)</math></ref> и <math>b > 0</math>. Тогда элемент <math>a</math> можно повторить слагаемым столько раз, чтобы образовавшаяся в результате сумма превзошла <math>b</math>:
<center>
<math>a + a + \ldots + a > b</math>
</center>

: <math>\text{III}_{2}'.</math> ''Аксиома полноты (в смысле Гильберта).'' Систему <math>\R</math> невозможно расширить ни до какой системы <math>\R^{*}</math> так, чтобы при сохранении прежних соотношений между элементами <math>\R</math> для <math>\R^{*}</math> выполнялись бы все аксиомы <math>\text{I}</math>—<math>\text{II}</math>, <math>\text{III}_{1}'.</math>.

Таким образом, можно дать следующее эквивалентное определение:

'''''Определение.''''' ''Множество вещественных чисел есть максимальное архимедово упорядоченное поле''

В качестве другого примера аксиоматизации вещественных чисел можно привести [[Аксиоматика Тарского (вещественные числа)|аксиоматику Тарского]], состоящую всего из 8 независимых аксиом.

== Свойства ==

=== Связь с рациональными числами ===
Очевидно, что на [[Числовая ось|числовой прямой]] [[рациональные числа]] располагаются вперемешку с вещественными, причём множество вещественных чисел в известном смысле «плотнее» множества рациональных. Возникает закономерный вопрос, насколько часто на числовой прямой попадаются рациональные и вещественные числа и можно ли одни числа приблизить другими. Ответ на этот вопрос дают три [[Лемма|леммы]], основанные, в основном, на [[Аксиома Архимеда|аксиоме Архимеда]]<ref name="ilyin">{{книга
|автор = [[Ильин, Владимир Александрович (математик)|{{nobr|В. А. Ильин}}]], [[Садовничий, Виктор Антонович|{{nobr|В. А. Садовничий}}]], [[Сендов, Благовест|{{nobr|Бл. Х. Сендов}}]].
|часть = Глава 2. Вещественные числа
|заглавие = Математический анализ
|ссылка = http://sci-lib.com/book000401.html
|ответственный = {{nobr|Под ред. [[Тихонов, Андрей Николаевич|А. Н. Тихонова]]}}
|издание = {{nobr|3-е изд.}}, перераб. и доп
|место = М.
|издательство = Проспект
|год = 2006
|том = 1
|страницы = 44—45, 63 — 64
|страниц = 672
|isbn = 5-482-00445-7
|archivedate = 2015-06-23
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20150623071551/http://sci-lib.com/book000401.html
}}</ref>.

'''Лемма 1.''' Для любого вещественного числа и любого наперёд взятого положительного рационального расстояния найдётся пара рациональных чисел, отстоящих друг от друга менее, чем на это расстояние, таких что вещественное число лежит на [[Отрезок|отрезке]] между этими рациональными числами.
: <math>\forall a \in \mathbb{R} ~ \forall \varepsilon \in \mathbb{Q}_+ ~ \exists q_1,q_2 \in \mathbb{Q}: ~ (q_1 \leq a \leq q_2) \land (q_2 - q_1 < \varepsilon)</math>

Эта лемма говорит о том, что любое вещественное число можно с заданной точностью с двух сторон приблизить рациональными числами.

'''Лемма 2.''' Между любыми двумя различными вещественными числами содержится рациональное число.
: <math>\forall a,b \in \mathbb{R}, a < b ~ \exists q \in \mathbb{Q}: a < q < b</math>

Очевидным следствием из этой леммы является тот факт, что между любыми двумя несовпадающими вещественными числами содержится целое [[бесконечное множество]] рациональных. Кроме того, ещё более очевидно, что между любыми двумя различными рациональными числами содержится вещественное.

'''Лемма 3.''' Приближение вещественного числа рациональными, описанное в лемме 1, идентифицирует вещественное число единственным образом.
: <math>\forall a,b \in \mathbb{R} ~ (\forall \varepsilon \in \mathbb{Q}_+ ~ \exists q_1,q_2 \in \mathbb{Q}: ~ (q_1 \leq a \leq q_2) \land (q_1 \leq b \leq q_2) \land (q_2 - q_1 < \varepsilon)) \Rightarrow a = b</math>

Эти леммы прежде всего говорят о том, что множество вещественных чисел не такое «плотное» по сравнению с множеством рациональных чисел, как может показаться; однако оно всё же «более плотное», чем множество рациональных, поскольку множество рациональных чисел имеет [[мощность множества|мощность]] [[алеф-нуль]], а множество вещественных — [[мощность континуума]]. Особенно ярко это иллюстрирует лемма 2. Все три леммы активно используются для доказательства различных теорем, связанных с операциями сложения и умножения вещественных чисел.

=== Теоретико-множественные свойства ===
Изначально вещественные числа были естественным обобщением [[Рациональное число|рациональных]], но у них впервые было обнаружено свойство несчётности, которое говорит о том, что множество вещественных чисел нельзя занумеровать, то есть не существует [[Биекция|биекции]] между множествами вещественных и [[Натуральное число|натуральных чисел]]. Чтобы показать несчётность всего множества вещественных чисел, достаточно показать несчётность [[Промежуток (математика)|интервала]] <math>\left(0, 1 \right)</math><ref name="ilyin" />.

Пусть все числа указанного промежутка уже занумерованы некоторым образом. Тогда их можно выписать в следующем виде:
: <math>x_1 = 0,a_{11}a_{12} \cdots a_{1m} \cdots</math>
: <math>x_2 = 0,a_{21}a_{22} \cdots a_{2m} \cdots</math>
: <math>\cdots</math>
: <math>x_k = 0,a_{k1}a_{k2} \cdots a_{km} \cdots</math>
: <math>\cdots</math>

Здесь <math>a_{ij}</math> — <math>j</math>-я [[Цифры|цифра]] <math>i</math>-го числа. Очевидно, что все числа указанного вида действительно принадлежат рассматриваемому промежутку, если только в каждом числе не все цифры сразу являются [[0 (число)|нулями]] или [[0,(9)|девятками]].

Далее предлагается рассмотреть следующее число:
: <math>x = 0, d_1 d_2 \cdots d_m \cdots</math>

Пусть каждая цифра <math>d_i</math> этого числа удовлетворяет следующим трём свойствам:
* <math>d_i \neq 0</math>
* <math>d_i \neq 9</math>
* <math>d_i \neq a_{ii}</math>

Такое число действительно существует на указанном промежутке, так как оно является вещественным, не совпадает ни с нулём, ни с единицей, а десятичных цифр достаточно, чтобы третье свойство выполнялось. Кроме этого, <math>x</math> интересно тем фактом, что оно не совпадает ни с одним из чисел <math>x_j</math>, выписанных выше, ведь иначе <math>j</math>-я цифра числа <math>x</math> совпала бы с <math>j</math>-ой цифрой числа <math>x_j</math>. Пришли к противоречию, заключающемуся в том, что как бы числа рассматриваемого промежутка ни были занумерованы, всё равно найдётся число из этого же промежутка, которому не присвоен номер<ref name="ilyin"/>.

Это свидетельствует о том, что ''множество вещественных чисел не является [[Счётное множество|счётным]]''. Его [[Мощность множества|мощность]] называется '''''[[Континуум (теория множеств)|мощностью континуума]]'''''.

== Расширенное множество вещественных чисел ==
В ряде приложений математического анализа удобно использовать ''расширенное множество вещественных чисел'' <math>\overline R</math>, которое получается дополнением множества вещественных чисел <math>R</math> ''[[Расширенная числовая прямая|бесконечно удалённой точкой]]'' одним из следующих способов{{sfn|Кудрявцев Л. Д.|2005|страницы=19}}.
* Двумя бесконечностями со знаком: <math>\overline R = R \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}</math>,
* Одной бесконечностью без знака: <math>\overline R = R \cup \{ \infty\}</math>.
Бесконечности со знаком <math>+\infty</math> и <math>-\infty</math>, фигурирующие в первом определении, представляют собой предел последовательности соответственно положительных или отрицательных чисел, неограниченно возрастающих по модулю. Во втором определении фигурирует бесконечность без знака <math>\infty</math>, иногда обозначаемая также как <math>\pm\infty</math>, которая представляет собой предел последовательности чисел (с произвольными знаками), неограниченно возрастающих по модулю. Заметим, что символом <math>\infty</math> может обозначаться как бесконечность без знака, так и положительная бесконечность <math>+\infty</math>. Обычно из контекста понятно, какая бесконечность имеется в виду, либо это не имеет значения.

== Обобщение вещественных чисел ==
Поле вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math> постоянно служило в математике источником обобщений, причём в различных практически важных направлениях. Непосредственно к полю <math>\mathbb{R}</math> примыкают следующие варианты обобщённых числовых систем.
# [[Комплексные числа]]. Особенно плодотворны в [[Алгебра|алгебре]] и [[Математический анализ|анализе]], успешно используются в [[Физика|физике]], [[Электротехника|электротехнике]], [[Картография|картографии]], [[Гидродинамика|гидродинамике]] и др.
# [[Интервальная арифметика|Интервальные числа]]. Используются преимущественно в теории [[Приближённые вычисления|приближённых вычислений]] и в [[Теория вероятностей|теории вероятностей]].
# [[Нестандартный анализ]], который добавляет к вещественным числам [[Бесконечно малая и бесконечно большая|бесконечно малые и бесконечно большие числа]] (разных порядков).

== Прикладные применения ==
[[Математическая модель]] вещественных чисел повсеместно применяется в науке и технике для измерения непрерывно меняющихся величин. Однако это не главное её применение, потому что реально измеренные величины всегда имеют конечное число десятичных знаков, то есть являются рациональными числами. Основное назначение этой модели — служить базой для [[Математический анализ|аналитических]] методов исследования. Огромный успех этих методов за последние три века показал, что модель вещественных чисел в большинстве случаев достаточно адекватно отражает структуру непрерывных физических величин<ref name=K1>{{книга |заглавие=Математика, её содержание, методы и значение (в трёх томах) |том=1 |страницы=29—31 |страниц=296 |издательство=АН СССР| год=1956}}</ref><ref>{{книга |автор=[[Стюарт, Иэн (математик)|Стюарт, Иэн]] |заглавие=Невероятные числа профессора Стюарта |место=М. |издательство=Альпина нон-фикшн |страниц=422 |оригинал=Professor Stewart's incredible numbers |год=2016 |isbn=978-5-91671-530-9 |страницы=209—210}}</ref>.

Сказанное, конечно, не означает, что вещественная числовая прямая есть точный образ реальной непрерывной величины. Например, современной науке пока не известно, дискретны ли пространство и время или делимы неограниченно; однако даже во втором случае модель вещественных чисел для этих величин должна рассматриваться как приближённая, поскольку понятия точки пространства и момента времени представляют собой [[Идеализация|идеализации]], не имеющие реального аналога. Этот фундаментальный вопрос широко обсуждается в науке, начиная с [[Апории Зенона|апорий Зенона]].

== См. также ==
{{кол}}
* [[Число с плавающей запятой]]
* [[Непрерывность множества действительных чисел]]
* [[Теория чисел]]
* [[Десятичный разделитель]]
* [[Комплексное число]]
* [[Супердействительное число]]
* [[Гипервещественное число]]
* [[Прямая Александрова]]
* {{нп4|Прямая Суслина||en|Souslin line}}
{{кол|конец}}

== Примечания ==
{{примечания|27em}}

== Литература ==
; Использованная литература
* {{книга
 |автор          = Арнольд И. В.
 |заглавие       = Теоретическая арифметика
 |место          = М.
 |издательство   = УЧПЕДГИЗ
 |год            = 1938
}}

* {{книга
 |автор         = Бурбаки Н.
 |заглавие      = Очерки по истории математики
 |ответственный = пер. с франц. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова
 |место         = М.
 |издательство  = Издательство иностранной литературы
 |год           = 1963
}}

* {{книга
 |автор         = Гильберт Д.
 |заглавие      = Основания геометрии
 |оригинал      = Grundlagen der Geometrie
 |ответственный = пер. с 7-го немецкого издания И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского
 |место         = М.-Л.
 |издательство  = Государственное издательство технико-теоретической литературы
 |год           = 1948
}}

* {{книга
 |автор         = Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж.
 |заглавие      = Пути и лабиринты. Очерки по истории математики
 |издание       = Пер. с франц
 |место         = М.
 |издательство  = МИР
 |год           = 1986
 |страниц       = 432
}}

* {{книга
 |автор         = Дедекинд Р.
 |заглавие      = Непрерывность и иррациональные числа
 |оригинал      = Stetigkeit und irrationale Zahlen
 |ссылка        = http://www.mathesis.ru/book/dedekind4
 |издание       = 4-е исправленное издание
 |место         = Одесса
 |издательство  = Mathesis
 |год           = 1923
 |страниц       = 44
}}

* {{книга
 |автор         = Зорич В. А.
 |заглавие      = Математический анализ. Часть I
 |издание       = 4-е изд., испр
 |место         = М.
 |издательство  = МЦНМО
 |год           = 2002
 |страниц       = XVI+664
 |isbn          = 5-94057-056-9
}}

* {{книга
 |автор         = Ильин В. А., Позняк Э. Г.
 |заглавие      = Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I
 |издание       = 7-е изд
 |место         = М.
 |издательство  = ФИЗМАТЛИТ
 |год           = 2005
 |страниц       = 648
 |isbn          = 5-9221-0536-1
}}

* {{книга
 |заглавие      = ''История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В трех томах''
 |ответственный = под ред. Юшкевича
 |место         = М.
 |издательство  = НАУКА
 |год           = 1970
 |том           = 1
}}

* {{книга
 |автор          = Кантор Г.
 |часть          =
 |заглавие       = Труды по теории множеств
 |ответственный  = под ред. А. Н. Колмогоров, Ф. А. Медведев, А. П. Юшкевич,
 |место          = М.
 |издательство   = НАУКА
 |год            = 1985
 |серия          = Классики науки
}}

* {{статья |автор=А. Н. Колмогоров |заглавие=К обоснованию теории вещественных чисел |издание=[[УМН]] |том=1 |выпуск=1(11) |год=1946 |страницы=217—219 |ссылка=http://mi.mathnet.ru/umn7018}}
* {{книга
 |автор         = Кудрявцев Л. Д.
 |заглавие      = Курс математического анализа
 |издание       = 5-е изд
 |место         = М.
 |издательство  = «Дрофа»
 |год           = 2003
 |том           = 1
 |страниц       = 704
 |isbn          = 5-7107-4119-1
}}

* {{книга
|автор        = Кудрявцев Л. Д.
|ref          = Кудрявцев Л. Д.
|заглавие     = Краткий курс математического анализа
|издание      = 3-е изд. перераб.
|место        = М.
|издательство = ФИЗМАТЛИТ
|год          = 2005
|том          = 1
|страниц      = 400
|isbn         = 5-9221-0184-6
}}

* {{книга
 |автор          = Рид К.
 |заглавие       = Гильберт
 |ответственный  = пер. с англ. И. В. Долгачева под ред. Р. В. Гамкрелидзе
 |место          = М.
 |издательство   = НАУКА
 |год            = 1977
}}

* {{книга
 |автор         = Рыбников К. А.
 |заглавие      = История математики
 |место         = М.
 |издательство  = Издательство Московского университета
 |год           = 1963
 |том           = 2
}}

* {{книга
 |автор         = Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И.
 |заглавие      = Курс математического анализа
 |издание       = 3-е изд., исправл
 |место         = М.
 |издательство  = ФИЗМАТЛИТ
 |год           = 2001
 |страниц       = 672
 |isbn          = 5-9221-0008-4
}}

* {{книга
|автор          = Фихтенгольц Г. М.
|заглавие       = Основы математического анализа
|издание        = 7-е изд
|место          = М.
|издательство   = ФИЗМАТЛИТ
|год            = 2002
|том            = 1
|страниц        = 416
|isbn           = 5-9221-0196-X
}}

; Рекомендуемая литература
из истории становления понятия вещественного числа:
* {{книга
 |автор         = Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж.
 |заглавие      = Пути и лабиринты. Очерки по истории математики
}}
* История математики под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]] в трёх томах, М.: Наука.
:* Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
:* Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
:* Том 3 [http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm Математика XVIII столетия. (1972)] {{Wayback|url=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm |date=20170324214535 }}

Подробное изложение теории построения вещественных чисел с помощью ''фундаментальных последовательностей'', а также теории построения вещественных чисел с помощью ''сечений в области рациональных чисел'' можно найти в следующей:
* {{книга
 |автор       = Арнольд И. В.
 |ссылка       = http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/klassik/teor_arifm.htm
 |заглавие       = Теоретическая арифметика
}} {{Wayback|url=http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/klassik/teor_arifm.htm |date=20100225071612 }}

Желающим познакомиться с ''оригинальным ходом мысли самого Р. Дедекинда'' можно порекомендовать брошюру, в которой в 1872 году Дедекинд изложил свою теорию вещественного числа. Эта книжка на сегодняшний день остаётся одним из самых лучших и доступных изложений предмета. Имеется русский перевод:
* {{книга
 |автор        = Дедекинд, Р.
 |заглавие     = Непрерывность и иррациональные числа
 |оригинал     = Stetigkeit und irrationale Zahlen
 |ссылка       = http://www.mathesis.ru/book/dedekind4
 |издание      = 4-е исправленное издание
 |место        = Одесса
 |издательство = Mathesis
 |год          = 1923
 |страниц      = 44
}}
также, прекрасное ''изложение теории Дедекинда'' имеется в классическом учебнике:
* {{книга
|автор        = Фихтенгольц, Г. М.
|заглавие     = Основы математического анализа
|издание      = 7-е изд
|место        = М.
|издательство = ФИЗМАТЛИТ
|год          = 2002
|том          = 1
|страниц      = 416
|isbn         = 5-9221-0196-X
}}

Построение теории вещественного числа с помощью ''бесконечных десятичных дробей'' можно найти в книгах:
* {{книга
 |автор         = Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И.
 |заглавие      = Курс математического анализа
}}
* {{книга
 |автор         = Ильин В. А., Позняк Э. Г.
 |заглавие      = Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I
}}

''аксиоматическое изложение теории вещественного числа'' можно найти в книгах:
* {{книга
|автор        = Кудрявцев, Л. Д.
|заглавие     = Курс математического анализа
|издание      = 5-е изд
|место        = М.
|издательство = Дрофа
|год          = 2003
|том          = 1
|страниц      = 704
|isbn         = 5-7107-4119-1
}}
* {{книга
|автор        = Зорич, В. А.
|заглавие     = Математический анализ. Часть I
|издание      = Изд. 4-е, испр
|место        = М.
|издательство = «МЦНМО»
|год          = 2002
|страниц      = 657
|isbn         = 5-94057-056-9
}}

''Сущность аксиоматического метода'' и его сравнение с конструктивным подходом изложены Д. Гильбертом на нескольких страницах в «Дополнении VI. О понятии числа» в следующем издании классической работы:
* {{книга
 |автор         = Гильберт Д.
 |заглавие      = Основания геометрии
 |оригинал      = Grundlagen der Geometrie
 |издание       = пер. с 7-го немецкого издания И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского
 |место         = М.-Л.
 |издательство  = Государственное издательство технико-теоретической литературы
 |год           = 1948
}}

{{Внешние ссылки}}
{{Числа}}

[[Категория:Математический анализ]]
[[Категория:Вещественные числа]]