Просмотр кода страницы Возведение в степень

[[Файл:Expo02.svg|мини|[[График функции|Графики]] четырёх [[Функция (математика)|функций]] вида <math>y = a^x</math>, <math>a</math> указано рядом с графиком функции]]
'''Возведе́ние в сте́пень''' — [[Операция (математика)|арифметическая операция]], первоначально определяемая как результат многократного [[Умножение|умножения]] [[Число|числа]] на себя. Степень с '''''основанием''''' <math>a</math> и [[Натуральное число|натуральным]] '''''показателем''''' <math>b</math> обозначается как
: <math>a^b = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_b,</math>
где <math>b</math> — количество множителей (умножаемых чисел)<ref name=ME>{{книга |часть=Степень |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=5 |страницы=221 |год=1985 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref><ref group="К">В разговорной речи иногда говорят, например, что <math>a^3</math> — «{{mvar|a}} умноженное само на себя ''три'' раза», имея в виду, что берётся три множителя <math>a</math>. Это не совсем точно и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: <math>a^3 = a \cdot a \cdot a</math> (три множителя, но две операции умножения). Часто, когда говорят «{{mvar|a}} умноженное само на себя три раза», имеют в виду количество умножений, а не множителей, то есть <math>a^4.</math> См. {{Книга |автор = Август Давидов |год = 1883-01-01 |страниц = 534 |издательство = Типографія Э. Лисслер и Ю. Роман |заглавие = Начальная алгебра |ссылка = https://books.google.com/books?id=mw87AQAAIAAJ |страницы = 6 |archivedate = 2016-05-31 |archiveurl = https://web.archive.org/web/20160531071018/https://books.google.com/books?id=mw87AQAAIAAJ }}. Чтобы избежать двусмысленности, можно говорить, к примеру: третья степень — это когда «число три раза входит в умножение».</ref>.

Например, <math>3^2 = 3\cdot 3 = 9; \quad 2^4=2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2 = 16</math>

В языках программирования, где написание <math>a^b</math> невозможно, применяются альтернативные обозначения.{{переход|#Запись возведения в степень в языках программирования}}

Возведение в степень может быть определено также для [[Отрицательные числа|отрицательных]],{{переход|#Целая степень}} [[Рациональные числа|рациональных]],{{переход|#Рациональная степень}} [[Вещественные числа|вещественных]]{{Переход|#Вещественная степень}} и [[Комплексные числа|комплексных]]{{переход|#Комплексная степень}} степеней<ref name=ME/>.

[[Корень (математика)|Извлечение корня]] — одна из операций, обратных возведению в степень, она по известным значениям степени <math>c=a^b</math> и показателя <math>b</math> находит неизвестное основание <math>a=\sqrt[b]{c}</math>. Вторая обратная операция — [[логарифм]]ирование, она по известным значениям степени <math>c=a^b</math> и основания <math>a</math> находит неизвестный показатель <math>b=\log_ac</math>. Задача нахождения числа по известному его логарифму (потенцирование, [[антилогарифм]]) решается с помощью операции возведения в степень.

Существует [[алгоритм быстрого возведения в степень]], выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

== Употребление в устной речи ==
Запись <math>a^n</math> обычно читается как «{{math|''a''}} в <math>n</math>-й степени» или «{{math|''a''}} в степени {{math|''n''}}». Например, <math>10^4</math> читается как «десять в четвёртой степени», <math>10^{3/2}</math> читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в [[Квадрат (алгебра)|квадрат]] и в [[Куб (алгебра)|куб]] соответственно. Так, например, <math>10^2</math> читается как «десять в квадрате», <math>10^3</math> читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из [[Математика в Древней Греции|древнегреческой математики]]. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке [[Геометрическая алгебра|геометрической алгебры]]. В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади [[прямоугольник]]а или об объёме [[Прямоугольный параллелепипед|параллелепипеда]]: вместо <math>a^2</math>, <math>a^3</math> древние греки говорили «квадрат на отрезке {{mvar|a}}», «куб на {{mvar|a}}». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали<ref>{{книга |автор=Ван дер Варден |заглавие=Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции |место=М. |год=1959 |страниц=456 |страницы=165—167 |ответственный=Пер. с голл. И. Н. Веселовского |ref=Ван дер Варден }}</ref>.

Число, являющееся результатом возведения натурального числа в <math>n</math>-ую степень, называется точной <math>n</math>-ой степенью. В частности, число, являющееся результатом возведения натурального числа в квадрат (куб), называется точным квадратом (кубом). Точный квадрат также называется [[Полный квадрат|полным квадратом]].

== Свойства ==

=== Основные свойства ===
Все приведённые ниже основные свойства возведения в степень выполняются для натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=140—141}}. Для комплексных чисел, в силу многозначности комплексной операции, они выполняются только в случае натурального показателя степени.{{переход|#Комплексная степень}}
* <math>-a^2 = (-a)*a, (-a)^2 = a^2</math>
* <math>a^0 = 1, (a \ne 0)</math>
* <math>a^1 = a</math>
* <math>\left(ab\right)^n = a^nb^n</math>
* <math>\left({a\over b}\right)^n = {{a^n}\over{b^n}}</math>
* <math>a^na^m = a^{n+m}</math>
* <math>\left. {a^n\over {a^m}} \right. = a^{n-m}</math>
* <math>\left(a^n\right)^m = a^{nm}</math>
* <math>a^n = (a^m)^{n\over m}</math>
* <math>a^n = \sqrt[m]{a}^{nm}</math>
* <math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}, (a\neq0)</math>
* <math>\left ( \frac{a}{b} \right )^{-n} = \left ( \frac{b}{a} \right )^{n}, \bigl(a\neq0,b\neq0\bigr)</math>

Запись <math>a^{n^m}</math> не обладает свойством [[ассоциативная операция|ассоциативности]] (сочетательности), то есть, в общем случае,<math>(a^n)^m \ne a^\left({n^m}\right)</math> Например, <math>(2^2)^3=4^3=64</math>, а <math>2^\left({2^3}\right)=2^8=256</math>. В математике принято считать запись <math>a^{n^m}</math> равнозначной <math>a^\left({n^m}\right)</math>, а вместо <math>(a^n)^m </math> можно писать просто <math>a^{nm}</math>, пользуясь предыдущим свойством. Впрочем, некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения{{какой}}.

Возведение в степень не обладает свойством [[коммутативная операция|коммутативности (переместительности)]]: вообще говоря, [[Уравнение xʸ = yˣ|<math>a^b\ne b^a</math>]], например, <math>2^5=32</math>, но <math>5^2=25.</math> Причём во втором случае, когда основание больше показателя, результат получается меньше, чем в обратном случае: иначе говоря, когда <math>a > b</math>, <math>a ^ b < b ^ a.</math>

=== Таблица натуральных степеней небольших чисел ===
{|class="wikitable" style="text-align:right"
! ''n'' !! ''n''<sup>2</sup> !! ''n''<sup>3</sup> !! ''n''<sup>4</sup> !! ''n''<sup>5</sup> !! ''n''<sup>6</sup> !! ''n''<sup>7</sup> !! ''n''<sup>8</sup> !! ''n''<sup>9</sup> !! ''n''<sup>10</sup>
|-
|'''2''' || 4 || 8 || 16 || 32 || 64 || 128 || 256 || 512 || 1024
|-
|'''3''' || 9 || 27 || 81 || 243 || 729 || {{val|2187}} || {{val|6561}} || {{val|19683}} || {{val|59049}}
|-
|'''4''' || 16 || 64 || 256 || 1024 || {{val|4096}} || {{val|16384}} || {{val|65536}} || {{val|262144}} || {{val|1048576}}
|-
|'''5''' || 25 || 125 || 625 || 3125 || {{val|15625}} || {{val|78125}} || {{val|390625}} || {{val|1953125}} || {{val|9765625}}
|-
|'''6''' || 36 || 216 || 1296 || {{val|7776}} || {{val|46656}} || {{val|279936}} || {{val|1679616}} || {{val|10077696}} || {{val|60466176}}
|-
|'''7''' || 49 || 343 || 2401 || {{val|16807}} || {{val|117649}} || {{val|823543}} || {{val|5764801}} || {{val|40353607}} || {{val|282475249}}
|-
|'''8''' || 64 || 512 || 4096 || {{val|32768}} || {{val|262144}} || {{val|2097152}} || {{val|16777216}} || {{val|134217728}} || {{val|1073741824}}
|-
|'''9''' || 81 || 729 || 6561 || {{val|59049}} || {{val|531441}} || {{val|4782969}} || {{val|43046721}} || {{val|387420489}} || {{val|3486784401}}
|-
|'''10''' || 100 || 1000 || {{val|10000}} || {{val|100000}} || {{val|1000000}} || {{val|10000000}} || {{val|100000000}} || {{val|1000000000}} || {{val|10000000000}}
|}

=== Свойство степеней чисел ===
Всякая степень числа есть сумма сто́льких последовательных нечётных чисел, сколько единиц в основании степени.

== Расширения ==

=== Целая степень ===
Операция обобщается на произвольные [[Целое число|целые]] числа, включая отрицательные и ноль{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=182—184|name=VYG182}}::
: <math>	a^z = \begin{cases}
              a^{z}, & z>0
           \\ 1, & z=0, a \ne \; 0
           \\ \dfrac{1}{a^{|z|}}, & z<0, a \ne \; 0
              \end{cases}</math>

Результат не определён при <math>a = 0</math> и <math>z \leqslant 0</math>.

=== Рациональная степень ===
Возведение в [[Рациональное число|рациональную]] степень <math>m/n,</math> где <math>m</math> — целое число, а <math>n</math> — натуральное, [[Знак (математика)|положительного]] числа определяется следующим образом<ref name=VYG182/>:
: <math>a^{m\over n} = (\sqrt[n]{a})^m; \quad\forall a>0, a\in \mathbb{R}, m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}.</math>.

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного рационального показателя.

: <math>0^{m \over n}=0; \quad m\in \mathbb{N}, n\in \mathbb{N}.</math>

Для отрицательных <math>a</math> степень с дробным показателем не рассматривается.

Следствие: <math>\sqrt[n]{a} = a^{1/n};\quad a>0, a\in \mathbb{R}.</math> Таким образом, понятие рациональной степени объединяет возведение в целочисленную степень и [[корень (математика)|извлечение корня]] в единую операцию.

=== Вещественная степень ===
Множество [[Вещественное число|вещественных чисел]] — [[Непрерывность множества действительных чисел|непрерывное]] [[упорядоченное поле]], обозначается <math>\mathbb{R}</math>. Множество вещественных чисел не является счётным, его [[Мощность множества|мощность]] называется ''[[Континуум (теория множеств)|мощностью континуума]]''. Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как ''непрерывное продолжение''<ref>Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида <math>\{x: \alpha < x < \beta\}</math></ref> соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными [[Десятичная дробь|десятичными дробями]] (где <math> \alpha</math> — положительное):
: <math> \alpha = a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \{a_n\},~~\alpha > 0,</math>
: <math> \beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \{b_n\},</math>
определённые соответственно [[Фундаментальная последовательность|фундаментальными последовательностями]] рациональных чисел (удовлетворяющие [[условие Коши|условию Коши]]), обозначенные как: <math>\alpha = [a_n]</math> и <math>\beta = [b_n]</math>, то их степенью называют число <math>\gamma = [c_n]</math>, определённое степенью последовательностей <math>\{a_n\}</math> и <math>\{b_n\}</math>:
: <math>\gamma = \alpha ^ \beta {=} [a_n] ^ {[b_n]} = [a_n \widehat{ } b_n]</math>,
вещественное число <math>\gamma = \alpha ^ \beta</math>, удовлетворяет следующему условию:
: <math>
(a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \land (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow ({(a')} ^ {b'} \leqslant \alpha ^ \beta \leqslant {(a'')} ^ {b''}) \Rightarrow ({(a')} ^ {b'} \leqslant \gamma \leqslant {(a'')} ^ {b''}), ~~~ \forall ~ a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q}, ~\forall \alpha>0 , ~\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}.
</math>
Таким образом степенью вещественного числа <math>\alpha ^ \beta</math> является такое вещественное число <math>\gamma</math> которое содержится между всеми степенями вида <math>{(a')} ^ {b'}</math> с одной стороны и всеми степенями вида <math>{(a'')} ^ {b''}</math>с другой стороны.

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного вещественного показателя.

: <math>0^{\beta}=0; \quad \beta \in \mathbb{R}, \beta>0.</math>

Для отрицательных <math> \alpha</math> степень с вещественным показателем не рассматривается.

На практике для того, чтобы возвести число <math>\alpha</math> в степень <math>\beta</math>, необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами <math>a</math> и <math>b</math>. За приближенное значение степени <math>\alpha ^ \beta</math> берут степень указанных рациональных чисел <math>a ^ b</math>. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>.

Пример возведения в степень <math>\gamma=\pi ^ e</math>, с точностью до 3-го знака после запятой:
* [[Округление|Округляем]] данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
* Получаем: <math>\pi\approx 3.1416,\ e \approx 2.7183</math>;
* возводим в степень: <math>\gamma = \pi ^ e \approx  3.1416 ^ {2.7183} \approx 22.4592</math>;
* Округляем до 3-го знака после запятой: <math>\gamma\approx 22.459</math>.

Полезные формулы:
: <math>x^y = a^{y\log_a x}</math>
: <math>x^y = e^{y\ln x}</math>
: <math>x^y = 10^{y\lg x}</math>
Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции <math>x^y</math>, и для [[Приближение (математика)|приближённого]] возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.

=== Комплексная степень ===
Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняется обычным умножением в [[Комплексное число|тригонометрической форме]]. Результат однозначен:

: <math>z^n = r^n(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = r^n(\cos n\varphi + i \sin n\varphi); \quad\forall n \in \mathbb{N}, z \in \mathbb{C}, r \in \mathbb{R}</math> , ([[формула Муавра]])<ref>{{Cite web|lang=ru|url=https://scask.ru/f_book_p_math1.php?id=86|title=§ 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа|author=Пискунов Н. С.|website=scask.ru|access-date=2022-03-27}}</ref>.
Для нахождения степени произвольного комплексного числа в [[Комплексное число|алгебраической форме]] <math>a + bi</math> можно воспользоваться формулой [[Бином Ньютона|бинома Ньютона]] (справедливой и для комплексных чисел):
: <math>(a+bi)^n=a^n+C_n^1 a^{n-1} bi+C_2^n a^{n-2} b^2 i^2 + ... + C_n^{n-1} ab^{n-1} i^{n-1} + b^n i^n, \quad\forall n \in \mathbb{N}</math> .

Заменяя степени <math>i^k</math> в правой части формулы их значениями в соответствии с равенствами: <math>i^{4k}=1, i^{4k+1}=i, i^{4k+2}=-1, i^{4k+3}= -i, k\in \mathbb{N}</math>, получим:

: <math>(a+bi)^n=\sum_{k=0}^{[n/2]} (-1)^k C_n^{2k} a^{n-2k} b^{2k} + i \sum_{k=0}^{[(n-1)/2]} (-1)^k C_n^{2k+1} a^{n-2k-1} b^{2k+1}.</math><ref>{{Cite web|lang=ru|url=https://math.vsu.ru/pdf/BliznyakovNM_Compl.pdf|title=КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА|author=Близняков Н.М.|website=Учебно-методическое пособие для вузов|pages=23|access-date=2022-03-27|archive-date=2022-04-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20220401044431/https://math.vsu.ru/pdf/BliznyakovNM_Compl.pdf|deadlink=no}}</ref>

Основой для более общего определения [[Комплексное число|комплексной]] степени служит [[экспонента]] <math>e^z</math>, где <math>e</math> — [[e (число)|число Эйлера]], <math>z = x + iy</math> — произвольное [[комплексное число]]<ref name="VYG2">{{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |издание=12-е изд. |заглавие=Справочник по высшей математике |место=М. |издательство=Наука |год=1977 |страницы=597 (подстрочное примечание 3) |страниц=872 }}</ref>.

Определим комплексную экспоненту с помощью такого же [[Ряд (математика)|ряда]], как и вещественную:
: <math>e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \cdots.</math>
Этот ряд [[Абсолютная сходимость|абсолютно сходится]] для любого комплексного <math>z,</math> поэтому его члены можно как угодно перегруппировывать. В частности, отделим от него часть для <math>e^{iy}</math>:
: <math>e^{iy} = 1 + iy + \frac{(iy)^2}{2!} + \frac{(iy)^3}{3!} + \frac{(iy)^4}{4!} + \cdots = \left(1 - \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} - \frac{y^6}{6!} + \cdots\right) + i \left(y - \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} - \cdots\right).</math>
В скобках получились известные из вещественного анализа ряды для [[косинус]]а и [[синус]]а, и мы получили [[Формула Эйлера|формулу Эйлера]]:
: <math>e^z = e^x e^{yi} = e^x(\cos y + i \sin y)</math>

Общий случай <math>a^b</math>, где <math>a, b</math> — комплексные числа, определяется через представление <math>a</math> в [[Показательная форма комплексного числа|показательной форме]]: <math>a=re^{i (\theta+2\pi k)}</math> согласно определяющей формуле<ref name=VYG2/>:
: <math>a^b = (e^{\operatorname{Ln}(a)})^b = (e^{\operatorname{ln}(r) + i(\theta+2\pi k)})^b = e^{b(\operatorname{ln}(r) + i(\theta+2\pi k))}.</math>
Здесь <math>\operatorname{Ln}</math> — [[комплексный логарифм]], <math>\ln</math> — его главное значение.

При этом комплексный логарифм — [[многозначная функция]], так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно<ref name=VYG2/>. Неучёт этого обстоятельства может привести к ошибкам. Пример: возведём известное тождество <math>e^{2\pi i}=1</math> в степень <math>i.</math> Слева получится <math>e^{-2\pi},</math> справа, очевидно, 1. В итоге: <math>e^{-2\pi} = 1,</math> что, как легко проверить, неверно. Причина ошибки: возведение в степень <math>i</math> даёт и слева, и справа бесконечное множество значений (при разных <math>k</math>), поэтому правило <math>\left(a^b\right)^c=a^{bc}</math> здесь неприменимо. Аккуратное применение формул определения комплексной степени даёт слева и справа <math>e^{-2\pi k};</math> отсюда видно, что корень ошибки — путаница значений этого выражения при <math>k=0</math> и при <math>k=1.</math>

== Степень как функция ==

=== Разновидности ===
Поскольку в выражении <math>x^y</math> используются два символа (<math>x</math> и <math>y</math>), то его можно рассматривать как одну из трёх функций.
* Функция переменной <math>x</math> (при этом <math>y</math> — постоянная-параметр). Такая функция называется [[Степенная функция|степенной]]. [[Обратная функция]] — [[извлечение корня]].
* Функция переменной <math>y</math> (при этом <math>x</math> — постоянная-параметр). Такая функция называется [[Показательная функция|показательной]] (частный случай — [[экспонента]]). Обратная функция — [[логарифм]].
* Функция двух переменных <math>f(x, y) = x^y.</math> Отметим, что в точке <math>(0, 0)</math> эта функция имеет неустранимый [[Непрерывная функция#Точки разрыва|разрыв]]. В самом деле, вдоль положительного направления оси <math>X,</math> где <math>y = 0,</math> она равна единице, а вдоль положительного направления оси <math>Y,</math> где <math>x = 0,</math> она равна нулю.

=== Ноль в степени ноль ===
{{main|Ноль в нулевой степени}}
Выражение <math>0^0</math> (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла, поскольку, как указано выше, функция <math>f(x, y) = x^y</math> в точке (0, 0) разрывна. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:
: <math>e^x = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} {x^n \over n!}</math>
можно записать короче:
: <math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!}.</math>
Следует предостеречь, что соглашение <math>0^0=1</math> чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.

== История ==

=== Обозначение ===
В Европе сначала степень величины записывали словесными сокращениями (q или Q обозначало квадрат, c или C — куб, bq или qq — биквадрат, то есть 4-я степень и т. д.) или как произведение — например, <math>x^4</math> изображалось как <math>xxxx.</math> [[Отред, Уильям|Отред]] записывал <math>x^5-15 x^4</math> следующим образом: <math>1qc-15qq</math> (если неизвестная всего одна, ей часто не присваивался буквенный значок){{sfn |History of Mathematical Notations, vol. 1|2007|loc=§290—297}}. Немецкая школа коссистов для каждой степени неизвестной предлагала особый готический значок.

В XVII веке постепенно стала преобладать идея явно указывать показатель степени. [[Жирар, Альбер|Жирар]] (1629 год) для возведения в степень числа ставил показатель в круглых скобках ''перед'' этим числом, а если числа правее показателя не было, то это значило, что подразумевается наличие неизвестного в указанной степени{{sfn |History of Mathematical Notations, vol. 1|2007|loc=§164|name=CAJ1-164}}; например, <math>(2)2+1(2)</math> у него означало <math>2^2+x^2</math>. Варианты размещения показателя степени предлагали [[Эригон, Пьер|Пьер Эригон]] и шотландский математик [[Джеймс Юм]], они записывали <math>x^4</math> в виде <math>x4</math> и <math>x^{IV}</math> соответственно{{sfn |Александрова Н. В.|2008|с=130—131|name=AL130}}.

Современная запись показателя степени — правее и выше основания — введена [[Декарт, Рене|Декартом]] в его «[[Геометрия (Декарт)|Геометрии]]» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее [[Валлис, Джон|Валлис]] и [[Ньютон, Исаак|Ньютон]] (1676) распространили декартову форму записи степени на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов [[Орем, Николай|Орема]], [[Шюке, Никола|Шюке]], [[Стевин, Симон|Стевина]], [[Жирар, Альбер|Жирара]] и самого Валлиса. К началу XVIII столетия альтернативы для записи степеней «по Декарту», как выразился Ньютон в «[[Универсальная арифметика|Универсальной арифметике]]», «вышли из моды» (''out of fashion''). [[Показательная функция]], то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах [[Готфрид Вильгельм фон Лейбниц|Лейбница]] (1679). Возведение в мнимую степень обосновал [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] (1743)<ref name=AL130/>{{sfn |History of Mathematical Notations, vol. 1|2007|loc=§298—301, 307—309}}.

=== Запись возведения в степень в языках программирования ===
С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две [[Звёздочка (типографика)|звёздочки]]: «<code>**</code>», используемые в языке [[Фортран]]. В появившемся несколько позже языке [[Алгол]] использовался значок [[Стрелка (символ)|стрелки]]: «<code>↑</code>» ([[Стрелочная нотация Кнута|стрелки Кну́та]]). Во второй редакции [[ASCII]] символ стрелки был заменён символом «[[циркумфлекс]]» (<code>^</code>, на жаргоне его также называют «шапочка» (hat) и «карет»). Разработчикам языков программирования было предложено использовать комбинацию из циркумфлекса и вертикальной черты, чтобы изобразить стрелку, однако такой вариант не получил распространения, и в этом качестве стали использовать просто символ циркумфлекса<ref>{{cite web |title=The Evolution of Character Codes, 1874–1968 |date=2000-06-20 |first=Eric |last=Fischer |pages=25 |url=http://dump.deadcodersociety.org/ascii.pdf |access-date=2022-11-30 |archive-date=2022-11-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221130065133/http://dump.deadcodersociety.org/ascii.pdf |url-status=live|lang=en|ref=Fischer}}</ref>. Примеры:
: <code>3^2 = 9</code>; <code>5^2 = 25</code>; <code>2^3 = 8</code>; <code>5^3 = 125</code>.

{{Якорь|ассоциативность}}
Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую [[ассоциативность (программирование)|ассоциативность]], в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень.
То есть некоторые языки программирования (например, программа [[Microsoft Excel|Excel]]) могут воспринимать запись <code>a^b^c</code>, как <code>(a^b)^c</code>, тогда как другие системы и языки (например, [[Haskell]], [[Perl]], [[WolframAlpha|Wolfram{{!}}Alpha]] и многие другие) обработают эту запись справа налево: <code>a^(b^c)</code>, как это принято в математике: <math>a^{b^c} = a^\left(b^c\right)</math>.

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:
* <code>x ↑ y</code>: [[Алгол]], некоторые диалекты Бейсика;
* <code>x ^ y</code>: [[Бейсик]], [[J (язык программирования)|J]], [[MATLAB]], [[R (язык программирования)|R]], [[Microsoft Excel]], [[TeX]], [[bc]]<ref group="К">Для целой степени.</ref>, [[Haskell]]<ref group="К">Для неотрицательной целой степени.</ref>, [[Lua]], [[MathML]] и большинство [[Система компьютерной алгебры|систем компьютерной алгебры]];
* <code>x ^^ y</code>: [[Haskell]]<ref group="К">Поддерживает отрицательные степени, в отличие от <code>^</code>, реализованной только как последовательное умножение.</ref>, [[D (язык программирования)|D]];
* <code>x ** y</code>: [[Ада (язык программирования)|Ада]], [[Bash]], [[Кобол]], [[Фортран]], [[FoxPro]], [[Gnuplot]], [[OCaml]], [[Perl]], [[PL/I]], [[PHP]]<ref group="К">Начиная с версии 5.6 (см. [http://php.net/manual/ru/migration56.new-features.php#migration56.new-features.exponentiation Руководство по PHP › Appendices › Миграция с PHP 5.5.x на PHP 5.6.x › Новые возможности] {{Wayback|url=http://php.net/manual/ru/migration56.new-features.php#migration56.new-features.exponentiation |date=20180418032208 }}).</ref>, [[Python]], [[REXX]], [[Ruby]], [[SAS Institute|SAS]], [[Seed7]], [[Tcl]], [[ABAP/4|ABAP]], [[Haskell]]<ref group="К">Для степени, представленной числом с плавающей запятой — реализовано через логарифм.</ref>, {{iw|Turing|||Turing (programming language)}}, [[VHDL]], [[ECMAScript]]<ref group="К">Описан в стандарте EcmaScript 7 (ECMA-262, 7th edition), принятом в июне 2016 года.</ref><ref group="К" name=":0">В [[JavaScript]] изначально присутствует [[Метод (программирование)|метод]] <code>Math.pow(x, y)</code>.</ref>, [[AutoHotkey]]<ref name=":0" group="К" />[[JavaScript|, JavaScript]];
* <code>x⋆y</code>: [[APL (язык программирования)|APL]].

Во многих языках программирования (например, в [[Java]], [[Си (язык программирования)|Си]] и [[Паскаль (язык программирования)|Паскале]]) отсутствует [[Операция (программирование)|операция]] возведения в степень, и для этой цели используют [[Функция (программирование)|стандартные функции]].

== Вариации и обобщения ==
Возведение в степень с натуральным показателем можно определить не только для чисел, но и для нечисловых объектов, для которых определено умножение — например, к [[Матрица (математика)|матрицам]], [[Линейный оператор|линейным операторам]], множествам (относительно [[Декартово произведение|декартова произведения]], см. [[декартова степень]]).

Обычно эта операция рассматривается в некотором мультипликативном [[моноид]]е <math>M</math> ([[Полугруппа|полугруппе]] с единицей) и определяется индуктивно<ref>{{книга |заглавие=Linear Algebra and Geometry |ссылка=https://archive.org/details/linearalgebrageo0000bloo |год=1979 |isbn=978-0-521-29324-2 |страницы=[https://archive.org/details/linearalgebrageo0000bloo/page/45 45] |язык=en |автор=David M. Bloom}}</ref> для любого <math>x\in M</math>:
* <math>x^0 = e</math> (где <math>e</math> — [[единица (алгебра)|единица]] моноида).
* <math>x^{n+1} = x^n x</math>, где <math>n\geqslant 0</math>
* Если <math>n < 0,</math> то <math>x^n</math> определён только для [[Обратимый элемент|обратимых элементов]] <math>x.</math>
Особенную ценность представляет применение возведения в степень к [[Группа (алгебра)|группам]] и [[Поле (алгебра)|полям]], где возникает прямой аналог отрицательных степеней.

[[Гипероператор]] возведения в степень — [[тетрация]].

== Примечания ==
{{примечания}}

'''Комментарии'''
{{примечания|group="К"}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Александрова Н. В.
 |ref=Александрова Н. В.
 |заглавие=История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник
 |издание=3-е изд
 |место=СПб.
 |издательство=ЛКИ
 |год=2008
 |страниц=248
 |isbn=978-5-382-00839-4
}}
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]]
 |место=М.
 |издательство=Наука
 |год=1978
 |заглавие=Справочник по элементарной математике
 |страниц=509
 |ref=Справочник по элементарной математике
}}
** Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.
* {{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., [[Сканави, Марк Иванович|Сканави М. И.]]
 |заглавие=Элементарная математика. Повторительный курс
 |издание=Издание третье, стереотипное
 |издательство=Наука
 |место=М.
 |год=1976
 |страниц=591
 |ref=Элементарная математика
}}
* {{статья |заглавие=Степенная функция
 |издание=[[Большая советская энциклопедия]]
 |место=М.
 |издательство=Советская энциклопедия
 |год=1969—1978
 |ref=БСЭ
 |ссылка=http://enc-dic.com/enc_sovet/Stepennaja-funkcija-85229.html
}}
* {{книга |автор=[[Кэджори, Флориан|Cajori F.]]
 |ref=History of Mathematical Notations, vol. 1
 |заглавие=A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint)
 |ссылка=https://books.google.ru/books?id=rhEh8jPGQOcC&printsec=frontcover&hl=ru#v=onepage&q&f=false
 |место=NY
 |издательство=Cosimo, Inc.
 |год=2007
 |allpages=xvi + 456
 |isbn=978-1-60206-684-7
}}

== Ссылки ==
* {{cite web|title=Возведение в степень: правила, примеры|url=https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/stepeni/vozvedenie-v-stepen/|accessdate=2020-02-02}}

[[Категория:Математические операции]]
[[Категория:Элементарные функции]]
[[Категория:Бинарные операции]]
[[Категория:Элементарная алгебра]]