Просмотр кода страницы Вписанная окружность

[[Файл:Вики вписанная в многоугольник окружность.png|мини|Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE]]
[[Окружность]] называют '''вписанной''' в [[угол]], если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на [[биссектриса|биссектрисе]] этого угла.

Окружность называется '''вписанной''' в [[выпуклый многоугольник]], если она лежит внутри данного [[многоугольник]]а и касается всех его сторон.

== В многоугольнике ==
* Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех внутренних углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

* Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади <math>S</math> к его полупериметру <math>p</math>:
: <math>r=\frac{S}{p}</math>

== В треугольнике ==
{{main|Вписанная в треугольник окружность}}
[[Файл:Вики вписанная окружность.png|мини|Окружность, вписанная в треугольник со сторонами a, b, c.]]
Свойства вписанной окружности:
* В каждый [[треугольник]] можно вписать окружность, притом только одну.
* [[Центр вписанной окружности|Центр]] <math>I</math> вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения [[Биссектриса|биссектрис]] треугольника.
* Радиус <math>r</math> вписанной в треугольник окружности равен:

: <math>r = \frac 12\sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{a+b+c}}; </math>
* Радиус <math>R</math> описанной вокруг треугольника окружности равен:
: <math>R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}; </math>

: <math>\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}</math>
где <math>a, b, c</math> — стороны треугольника, <math>h_a, h_b, h_c</math> — высоты, проведённые к соответствующим сторонам{{sfn|Altshiller-Court|1925|p=79}};

: <math>r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}</math>[[Файл:Лемма о трезубце вики7.png|мини|[[Теорема Эйлера (планиметрия)|Формула Эйлера]]]]
: где <math>S</math> — площадь треугольника, а <math>p</math> — его полупериметр.
: <math>r= \frac{p-a}{\operatorname{ctg}(\alpha/2)} = \frac{p-b}{\operatorname{ctg}(\beta/2)} = \frac{p-c}{\operatorname{ctg}(\gamma/2)} </math>, <math>p</math> — полупериметр треугольника ([[Теорема котангенсов]]).
* Если <math>AB</math> — основание [[Равнобедренный треугольник|равнобедренного треугольника]] <math>\triangle ABC</math>, то окружность, касающаяся сторон угла <math>\angle ACB</math> в точках <math>A</math> и <math>B</math>, проходит через центр вписанной окружности треугольника <math>\triangle ABC</math>.
* [[Теорема Эйлера (планиметрия)|Теорема Эйлера]]: <math>R^2-2Rr=|OI|^2</math>, где <math>R</math> — радиус описанной вокруг треугольника окружности, <math>r</math> — радиус вписанной в него окружности, <math>O</math> — центр описанной окружности, <math>I</math> — [[центр вписанной окружности]].
: <math>|OI|^2 = \frac{a\,b\,c\,}{a+b+c}\left [\frac{a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}-1 \right ]</math>
* Если прямая, проходящая через точку <math>I</math> параллельно стороне <math>AB</math>, пересекает стороны <math>BC</math> и <math>CA</math> в точках <math>A_1</math> и <math>B_1</math>, то <math>A_1B_1=A_1B+AB_1</math>.
* Если точки касания вписанной в треугольник <math>T</math> окружности соединить отрезками с его сторонами, то получится треугольник <math>T_1</math> со свойствами:
** [[Биссектриса|Биссектрисы]] T являются [[Серединный перпендикуляр|серединными перпендикулярами]] T<sub>1</sub>
** Пусть T<sub>2</sub> — [[ортотреугольник]] T<sub>1</sub>. Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
** Пусть T<sub>3</sub> — [[серединный треугольник]] T<sub>1</sub>. Тогда биссектрисы T являются высотами T<sub>3</sub>.
** Пусть T<sub>4</sub> — [[ортотреугольник]] T<sub>3</sub>, тогда биссектрисы T являются биссектрисами T<sub>4</sub>.
* Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами ''a'', ''b'' и гипотенузой ''c'' окружности равен <math>\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}</math>.
* Расстояние от вершины ''С'' треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно <math>d=\frac{a+b-c}{2}=p-c</math>.
* Расстояние от вершины ''C'' до центра вписанной окружности равно <math>l_c=\frac{r}{\sin(\frac{\gamma}{2})}</math>, где <math>r</math> — радиус вписанной окружности, а γ — угол вершины ''C''.
* Расстояние от вершины ''C'' до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам <math>l_c = \sqrt{(p-c)^2 + r^2}</math> и <math>l_c = \sqrt{ab - 4Rr}</math>
* [[Теорема о трезубце]] или ''теорема трилистника'': Если ''D'' — точка пересечения биссектрисы угла ''A'' с описанной окружностью треугольника ''ABC'', ''I'' и ''J'' — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны ''BC'', тогда <math>|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|</math>.
[[Файл:Вики полувписанная окружность.png|мини|200x200пкс|left|Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R. '''Лемма Веррьера''': [[Центр вписанной окружности]] лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и ''окружности Веррьера'' (полувписанной окружности)]]
* [[Лемма Веррьера]]<ref>{{книга | автор = {{nobr|Ефремов Д.}} | заглавие = Новая геометрия треугольника | ссылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/ngt/ngt.htm | место = Одесса | издательство =  | год = 1902 | страницы = 130 | страниц = 334 | isbn =  | archivedate = 2016-03-04 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20160304132809/http://ilib.mccme.ru/djvu/ngt/ngt.htm }}</ref><ref>{{книга | автор = {{nobr|Ефремов Д.}} | заглавие = Новая геометрия треугольника. Изд. 2. Серия: Физико-математическое наследие (репринтное воспроизведение издания). | ссылка = https://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=199934 | место = Москва | издательство = Ленанд | год = 2015 | страниц = 352 | isbn = 978-5-9710-2186-5 | archivedate = 2020-07-22 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20200722235549/https://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=199934 }}</ref>: пусть окружность <math>V</math> касается сторон <math>AB</math>, <math>AC</math> и дуги <math>BC</math> описанной окружности треугольника <math>ABC</math>. Тогда точки касания окружности <math>V</math> со сторонами и [[центр вписанной окружности]] треугольника <math>ABC</math> лежат на одной прямой.

* '''[[Теорема Фейербаха]]'''. [[Окружность девяти точек]] касается всех трёх ''вневписанных окружностей'', а также ''вписанной окружности''. Точка касания ''[[Окружность Эйлера|окружности Эйлера]]'' и ''вписанной окружности'' известна как [[Теорема Фейербаха|точка Фейербаха]].

== Связь вписанной и описанной окружностей ==
* [[Теорема Эйлера (планиметрия)|Формула Эйлера]]: Если <math>d</math> — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны <math>r</math> и <math>R</math> соответственно, то <math>d^2 = R^2 - 2Rr</math>.
* Формулы для отношения и произведения радиусов:
: <math>\frac{r}{R} = \frac{4 S^{2}}{pabc} = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma -1;</math><ref name=LH>Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», ''[[Mathematical Gazette]]'' 87, March 2003, 119—120.</ref>
: <math>2Rr = \frac{abc}{a+b+c}</math>,
: <math>\frac {r}{R} = 4\sin\frac {\alpha}{2}\sin\frac {\beta}{2}\sin\frac {\gamma}{2} = \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma - 1</math>
где <math>p</math> — полупериметр треугольника, <math>S</math> — его площадь.
; <math>\frac rR=\frac{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{2abc}</math>

* Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности<ref>Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.: МЦНМО, 2002. c. 11, п. 5</ref>.

* Для треугольника можно построить '''полувписанную''' окружность, или '''окружность Варьера.''' Это окружность, касающаяся двух сторон треугольника и его описанной окружности внутренним образом. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с '''описанной окружностью''', пересекаются в одной точке. Эта точка служит центром [[Гомотетия|гомотетии]]<nowiki/> с положительным коэффициентом, переводящей [[описанная окружность|описанную окружность]] во '''вписанную'''.
* [[Центр вписанной окружности]] лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и полувписанной окружности.
[[Файл:Вики полувписанная окружность.png|слева|мини|200x200пкс|Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R]]

== Связь центра вписанной окружности и середин высот треугольника ==
* ''Теорема [[Джон Ригби (математик)|Ригби]]''. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны [[вневписанная окружность|вневписанную окружность]], то точка касания последней с этой стороной, ''середина'' упомянутой высоты, а также [[инцентр]] лежат на одной прямой.<ref>[[Хонсбергер, Росс|Ross Honsberger]]. ''Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry''. Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, {{ISBN|978-0883856390}}. p. 30, Figure 34, §3. An Unlikely Collinearity. </ref>.
*Из ''теоремы [[Джон Ригби (математик)|Ригби]]'' следует, что 3 отрезка, соединяющих  ''середину'' каждой из 3 высот треугольника с точкой касания [[вневписанная окружность|вневписанной окружности]], проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в [[инцентр|инцентре]].

== В четырёхугольнике ==
* ''Описанный четырёхугольник'', если у него нет самопересечений («простой»), должен быть [[выпуклое множество|выпуклым]].
* Некоторые (но не все) [[четырёхугольник]]и имеют вписанную окружность. Они называются [[Описанный четырёхугольник|описанными четырёхугольниками]]. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется [[Теорема Пито|теоремой Пито]].
* Иными словами, в выпуклый [[четырёхугольник]] ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: <math>AB + CD = BC + AD</math>.
[[Файл:Вики прямая Ньютона.png|мини|200x200пкс|[[Теорема Ньютона (планиметрия)]] и [[прямая Ньютона]] ]]
* Во всяком ''описанном четырёхугольнике'' две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой ([[теорема Ньютона (планиметрия)|теорема Ньютона]]). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется [[Прямая Ньютона|прямой Ньютона]]. На рисунке она зелёная, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.
* ''Центр описанной около четырёхугольника окружности'' — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон ([[теорема Брокара]]).

== В сферическом треугольнике ==
Вписанная окружность для [[сферический треугольник|сферического треугольника]] — это окружность, касающаяся всех его сторон.
* Тангенс радиуса<ref>Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и точку касания окружностью стороны треугольника.</ref> вписанной в сферический треугольник окружности равен<ref name="St">{{книга|автор=Степанов Н. Н.|заглавие=Сферическая тригонометрия|место=М.—Л.|издательство=[[ОГИЗ]]|год=1948|страниц=154}}</ref>{{rp|73-74}}
: <math>\operatorname{tg}r=\sqrt{\frac{\sin (p-a)\sin (p-b)\sin (p-c)}{\sin p}}</math>
* Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника<ref name="St"/>{{rp|20-21}}.

== Обобщения ==
* [[Вписанная сфера|Вписанной сферой]] называется сфера, касающаяся всех граней [[многогранник]]а.
* [[Эллипс Штейнера]] — вписанный в треугольник эллипс.

== См. также ==
{{кол|3}}
* [[Вневписанная окружность]]
* [[Внеописанный четырёхугольник]]
* [[Вписанная и вневписанные в треугольник окружности]]
* [[Вписанные и описанные фигуры для треугольника]]
* [[Замечательные прямые треугольника]]
* [[Замечательные точки треугольника]]
* {{не переведено 5|Вписанное коническое сечение|Вписанное коническое сечение||Inconic}}
* [[Описанная окружность]]
* [[Описанный четырёхугольник]]
* [[Ортоцентр]]
* [[Степень точки относительно окружности]]
* [[Теорема Мансиона]]
* [[Теорема о трезубце]]
* [[Теорема Тебо]] 2 и 3
* [[Теорема Фейербаха]]
* [[Теорема Харкорта]]
* [[Точки Аполлония]]
* [[Треугольник]]
* [[Центроид]]
* [[Центроид треугольника]]
{{конец кол}}

== Примечания ==
{{примечания|33em}}

== Литература ==
* {{Книга:Факультативный курс по математике. Никольская|89}}
* {{Книга:Элементарная геометрия. Понарин|52-53|1}}
* {{h|Altshiller-Court|1925}}{{citation| first = Nathan | last = Altshiller-Court | year = 1925 | lccn = 52013504 | title = College Geometry:  An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle | edition = 2nd | publisher = [[Barnes & Noble]] |location = New York }}


[[Категория:Планиметрия]]
[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Четырёхугольники]]
[[Категория:Окружности]]