Просмотр кода страницы Вычитание векторов

{{Обзорная статья|Линейная операция|Вектор (геометрия)}}
[[Файл:Vector subtraction (new).svg|right|thumb|250px|Треугольник вычитания произвольных векторов: разность векторов '''c''' = '''a''' — '''b''']]

'''Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычитание векторов''' ({{lang-en|subtraction of vectors}}), — [[Операция (математика)|операция]], обратная [[Сложение векторов|сложению]], ставящая в соответствие двум [[Вектор (геометрия)|векторам]] третий вектор — '''''[[Вычитание|разность]] векторов''''', другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое этой суммы{{sfn|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|loc=Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 22}}{{sfn|''Кочин Г. Ф.'' Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965|loc=§ 2. Сложение… векторов.…, с. 8, 10}}{{sfn|''Вычитание'', 1988}}{{sfn|''Вычитание'', 1977}}{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1977|loc=§ 88. Вычитание векторов, с. 122}}. При этом разность <math>\mathbf{a} - \mathbf{b}</math> двух векторов <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math> — это третий вектор <math>\mathbf{c} = \mathbf{a} - \mathbf{b}</math> такой, что <math>\mathbf{c} + \mathbf{b} = \mathbf{a}</math> (см. рисунок справа с треугольником вычитания векторов). Разность векторов определяется через сумму векторов либо с использованием [[#Противоположный вектор|противоположного вектора]], либо без{{sfn|''Разность векторов'', 1984}}{{sfn|''Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.'' Геометрия. 7—9 классы, 2014|loc=85. Вычитание векторов, с. 198}}{{sfn|''Пытьев Ю. П.'' Векторная алгебра, 1977|loc=с. 633}}{{sfn|''Пытьев Ю. П.'' Векторная алгебра, 1988|loc=с. 108}}{{sfn|''Кочин Г. Ф.'' Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965|loc=§ 2. Сложение… векторов.…, с. 10}}{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1977|loc=§ 88. Вычитание векторов, с. 122}}. Первый вектор разности называется '''''уменьшаемым''''', а второй — '''''вычитаемым'''''{{sfn|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|loc=Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 21}}{{sfn|''Вычитание'', 1988}}{{sfn|''Вычитание'', 1977}}{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1977|loc=§ 88. Вычитание векторов, с. 122}}.

== Определение ==
'''Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычита́ние векторо́в''' — [[Операция (математика)|операция]], обратная [[Сложение векторов|сложению]], ставящая в соответствие двум [[Вектор (геометрия)|векторам]] третий вектор — '''''[[Вычитание|разность]] векторов''''', другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое этой суммы. Обозначается обычным знаком [[минус]]{{sfn|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|loc=Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 22}}{{sfn|''Кочин Г. Ф.'' Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965|loc=§ 2. Сложение… векторов.…, с. 8, 10}}{{sfn|''Вычитание'', 1988}}{{sfn|''Вычитание'', 1977}}{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1977|loc=§ 88. Вычитание векторов, с. 122}}:
: <math>\mathbf{c} = \mathbf{a} - \mathbf{b}.</math>

=== Определение без использования противоположного вектора ===
[[Файл:Vector addition and subtraction.svg|right|thumb|250px|Параллелограмм сложения и вычитания векторов]]
Следующее определение разности аналогично определению разности чисел{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Векторы и их применения в геометрии, 1963|loc=2.4. Вычитание векторов, с. 304}}.

'''''Разность''''' <math>\mathbf{a} - \mathbf{b}</math> двух векторов <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math> — это третий вектор <math>\mathbf{c} = \mathbf{a} - \mathbf{b}</math> такой, что <math>\mathbf{c} + \mathbf{b} = \mathbf{a}</math> (см. рисунок в начале статьи с треугольником вычитания векторов){{sfn|''Разность векторов'', 1984}}{{sfn|''Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.'' Геометрия. 7—9 классы, 2014|loc=85. Вычитание векторов, с. 198}}{{sfn|''Пытьев Ю. П.'' Векторная алгебра, 1977|loc=с. 633}}{{sfn|''Пытьев Ю. П.'' Векторная алгебра, 1988|loc=с. 108}}{{sfn|''Кочин Г. Ф.'' Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965|loc=§ 2. Сложение… векторов.…, с. 10}}{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1977|loc=§ 88. Вычитание векторов, с. 122}}{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Векторы и их применения в геометрии, 1963|loc=2.4. Вычитание векторов, с. 304}}.

Разность существует для любых двух векторов, что следует из следующего правила её построения{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Векторы и их применения в геометрии, 1963|loc=2.4. Вычитание векторов, с. 304}}.

'''''Правило построения разности векторов без обратного вектора''''' состоит в следующем. '''''Разность''''' <math>\mathbf{a} - \mathbf{b}</math> любых двух векторов <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math>, отложенных от одной точки, — это третий вектор <math>\mathbf{c} = \mathbf{a} - \mathbf{b}</math>, проведённый от конца вектора <math>\mathbf{b}</math> к концу вектора <math>\mathbf{a}</math> (см. рисунок в начале статьи с треугольником вычитания векторов){{sfn|''Разность векторов'', 1984}}{{sfn|''Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.'' Геометрия. 7—9 классы, 2014|loc=85. Вычитание векторов, с. 198}}{{sfn|''Кочин Г. Ф.'' Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965|loc=§ 2. Сложение… векторов.…, с. 10}}{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1977|loc=§ 88. Вычитание векторов, с. 122}}{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Векторы и их применения в геометрии, 1963|loc=2.4. Вычитание векторов, с. 304}}.

Операция вычитания векторов обладает следующими определяющими свойствами{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Векторы и их применения в геометрии, 1963|loc=2.4. Вычитание векторов, с. 304}}:
* всегда '''''выполнима''''';
* '''''однозначна''''', то есть из <math>\mathbf{b} + \mathbf{x} = \mathbf{b} + \mathbf{y}</math> следует <math>\mathbf{x} = \mathbf{y}.</math>

Если на двух неколлинеарных векторах построить параллелограмм, то тогда одна диагональ этого параллелограмма будет представлять сумму этих двух векторов. а другая — их разность (см. рисунок справа с параллелограммом сложения векторов){{sfn|''Кочин Г. Ф.'' Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965|loc=§ 2. Сложение… векторов.…, с. 10}}.
{{clear}}

=== Противоположный вектор ===
Вектор, '''''противоположный''''' данному вектору — вектор, равный по модулю данному и противоположно ему направленный. Вектор, противоположный нулевому вектору, определяется тоже как нулевой. Вектор, противоположный вектору <math>\mathbf{a}</math>, обозначается той же буквой с поставленным перед ней обычным знаком [[минус]] (см. рисунок справа){{sfn|''Пытьев Ю. П.'' Векторная алгебра, 1977|loc=с. 633}}{{sfn|''Пытьев Ю. П.'' Векторная алгебра, 1988|loc=с. 108}}{{sfn|''Кочин Г. Ф.'' Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965|loc=§ 2. Сложение… векторов.…, с. 10}}{{sfn|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|loc=Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 21}}{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Векторы и их применения в геометрии, 1963|loc=2.4. Вычитание векторов, с. 304}}{{sfn|''Противоположный вектор'', 1984}}{{sfn|''Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.'' Геометрия. 7—9 классы, 2014|loc=85. Вычитание векторов, с. 199}}{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1977|loc=§ 85. Противоположные векторы, с. 119}}: <math>-\mathbf{a}.</math>

Также '''''противоположный''''' вектор можно определить как вектор <math>\mathbf{0} - \mathbf{a}</math>{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Векторы и их применения в геометрии, 1963|loc=2.4. Вычитание векторов, с. 304}}.

[[Файл:Vector subtraction with opposite vector.svg|right|thumb|200px|Треугольник вычитания произвольных векторов: разность векторов есть сумма векторов<br>'''c''' = '''a''' + ('''−b''')]]

Из определения противоположного вектора следуют равенства{{sfn|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|loc=Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 21}}{{sfn|''Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.'' Геометрия. 7—9 классы, 2014|loc=85. Вычитание векторов, с. 199}}{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1977|loc=§ 85. Противоположные векторы, с. 119}}{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Векторы и их применения в геометрии, 1963|loc=2.4. Вычитание векторов, с. 305}}:
: <math>-(-\mathbf{a}) = \mathbf{a}, \quad |-\mathbf{a}| = |\mathbf{a}|, \quad \mathbf{a} + (-\mathbf{a}) = \mathbf{0}.</math>

=== Определение с использованием противоположного вектора ===
'''Теорема 1.'''
: <math>\mathbf{a} - \mathbf{b} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b})</math>
''для любых векторов <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math> (см. рисунок справа)''{{sfn|''Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.'' Геометрия. 7—9 классы, 2014|loc=85. Вычитание векторов, с. 199}}{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Векторы и их применения в геометрии, 1963|loc=2.4. Вычитание векторов, с. 305}}.

'''Доказательство.''' Из определения разности векторов получаем{{sfn|''Кочин Г. Ф.'' Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965|loc=§ 2. Сложение… векторов.…, с. 10}}{{sfn|''Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.'' Геометрия. 7—9 классы, 2014|loc=85. Вычитание векторов, с. 199}}:
: <math>(\mathbf{a} - \mathbf{b}) + \mathbf{b} = \mathbf{a},</math><math>\quad (\mathbf{a} - \mathbf{b}) + \mathbf{0} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b}),</math><math>\quad (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = \mathbf{a} + (-\mathbf{b}).</math>

На основании этой теоремы можно определить понятие разности следующим образом{{sfn|''Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.'' Геометрия. 7—9 классы, 2014|loc=85. Вычитание векторов, с. 199}}{{sfn|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|loc=Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 21}}{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Векторы и их применения в геометрии, 1963|loc=2.4. Вычитание векторов, с. 305}}.

'''''Разность''''' <math>\mathbf{a} - \mathbf{b}</math> двух векторов <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math> — это третий вектор <math>\mathbf{c} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b})</math> (см. рисунки справа){{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1977|loc=§ 88. Вычитание векторов, с. 122}}{{sfn|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|loc=Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 21}}{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Векторы и их применения в геометрии, 1963|loc=2.4. Вычитание векторов, с. 305}}.

'''''Правило построения разности векторов с использованием обратного вектора''''' состоит в следующем. '''''Разность''''' <math>\mathbf{a} - \mathbf{b}</math> любых двух векторов <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math> — это третий вектор <math>\mathbf{c} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b})</math>, проведённый от начала вектора <math>\mathbf{a}</math> к концу вектора <math>-\mathbf{b}</math>, причём конец первого вектора совпадает с началом второго (см. рисунки справа){{sfn|''Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.'' Геометрия. 7—9 классы, 2014|loc=85. Вычитание векторов, с. 199}}.

[[Файл:Vector subtraction with and without opposite vector.svg|right|thumb|300px|Параллелограмм вычитания произвольных векторов: разность векторов строится как при помощи противоположного вектора, так и без]]

Если взять за исходное второе определение разности векторов, то первое определение можно сформулировать в виде теоремы.

'''Теорема 2.''' ''Вычитание векторов — операция, обратная сложению векторов, то есть по сумме векторов и одному из слагаемых находится второе слагаемое — разность суммы и первого слагаемого:''
: <math>\mathbf{b} + (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = \mathbf{a}</math>
''для любых векторов <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math> (см. рисунок в начале статьи и рисунок справа)''{{sfn|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|loc=Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 21—22}}.

'''Доказательство.''' Вычислим{{sfn|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|loc=Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 22}}:
: <math>\mathbf{b} + (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = \mathbf{a} + (-\mathbf{b}) + \mathbf{b} = \mathbf{a} + \mathbf{0} = \mathbf{a}.</math>

'''Теорема 3.''' ''Вектор-слагаемое можно переносить из одной части равенства в другую с противоположным знаком''{{sfn|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|loc=Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 22}}{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Векторы и их применения в геометрии, 1963|loc=2.4. Вычитание векторов, с. 305}}{{sfn|''Гусятников П. Б., Резниченко С. В.'' Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985|loc=Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 22}}.

'''Доказательство.''' Пусть
: <math>\mathbf{a} - \mathbf{b} = \mathbf{c}.</math>
Тогда по теореме 2 получаем{{sfn|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|loc=Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 22}}{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Векторы и их применения в геометрии, 1963|loc=2.4. Вычитание векторов, с. 305}}{{sfn|''Гусятников П. Б., Резниченко С. В.'' Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985|loc=Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 22}}:
: <math>\mathbf{a} = \mathbf{b} + \mathbf{c}.</math>

Итак, операции сложения и вычитания векторов имеют такие же свойства, какие известны в арифметике чисел{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Векторы и их применения в геометрии, 1963|loc=2.4. Вычитание векторов, с. 305}}.

== Правило раскрытия скобок ==
'''Теорема 4. Правило раскрытия скобок'''{{sfn|''Гусятников П. Б., Резниченко С. В.'' Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985|loc=Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 23}}.
: <math>(\mathbf{a}_1 - \mathbf{b}_1) + (\mathbf{a}_2 - \mathbf{b}_2) + \cdots + (\mathbf{a}_n - \mathbf{b}_n) =</math>
:: <math>= (\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \cdots + \mathbf{a}_n) - (\mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2+ \cdots +\mathbf{b}_n).</math>

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство{{sfn|''Гусятников П. Б., Резниченко С. В.'' Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985|loc=Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 23}}
| Содержание    =
В силу определения разности двух векторов из исходного выражения получаем{{sfn|''Гусятников П. Б., Резниченко С. В.'' Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985|loc=Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 23}}:
: <math>(\mathbf{a}_1 - \mathbf{b}_1) + (\mathbf{a}_2 - \mathbf{b}_2) + \cdots + (\mathbf{a}_n - \mathbf{b}_n) =</math>
:: <math>= (\mathbf{a}_1 + (-\mathbf{b}_1)) + (\mathbf{a}_2 + (-\mathbf{b}_2)) + \cdots + (\mathbf{a}_n + (-\mathbf{b}_n)).</math>

Обозначим эту сумму через <math>\mathbf{x}</math> и опустим внешние скобки по [[Сложение векторов#Сочетательный закон|сочетательному закону сложения векторов]]{{sfn|''Гусятников П. Б., Резниченко С. В.'' Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985|loc=Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 23}}:
: <math>\mathbf{x} = \mathbf{a}_1 + (-\mathbf{b}_1) + \mathbf{a}_2 + (-\mathbf{b}_2) + \cdots + \mathbf{a}_n + (-\mathbf{b}_n).</math>

Несколько раз используем [[Сложение векторов#Переместительный закон|переместительный закон сложения векторов]]{{sfn|''Гусятников П. Б., Резниченко С. В.'' Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985|loc=Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 23}}:
: <math>\mathbf{x} = (\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \cdots + \mathbf{a}_n) + (-\mathbf{b}_1) + (-\mathbf{b}_2) + \cdots + (-\mathbf{b}_n).</math>

Прибавим к обеим частям равенства сумму векторов
: <math>(\mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2 + \cdots + \mathbf{b}_n)</math>
и используем законы сложения векторов{{sfn|''Гусятников П. Б., Резниченко С. В.'' Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985|loc=Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 23}}:
: <math>\mathbf{x} + (\mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2 + \cdots + \mathbf{b}_n) =</math>
: <math> = (\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \cdots + \mathbf{a}_n) +{}</math>
:: <math>{}+ (-\mathbf{b}_1) + (-\mathbf{b}_2) + \cdots + (-\mathbf{b}_n) + \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2 + \cdots + \mathbf{b}_n =</math>
: <math> = (\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \cdots + \mathbf{a}_n) +{}</math>
:: <math>{}+ (\mathbf{b}_1 + (-\mathbf{b}_1)) + (\mathbf{b}_2 + (-\mathbf{b}_2)) + \cdots + (\mathbf{b}_n + (-\mathbf{b}_n)) =</math>
: <math> = (\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \cdots + \mathbf{a}_n) + \mathbf{0} + \mathbf{0} + \cdots + \mathbf{0} =</math>
: <math> = \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \cdots + \mathbf{a}_n.</math>

По теореме 3 окончательно имеем{{sfn|''Гусятников П. Б., Резниченко С. В.'' Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985|loc=Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 23}}:
: <math>\mathbf{x} = (\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \cdots + \mathbf{a}_n) - (\mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2 + \cdots + \mathbf{b}_n).</math>
}}

== Модуль разности ==
Так как длина отрезка не превосходит длины ломаной, соединяющей его концы, то выполняются [[неравенство треугольника]]: модуль разности двух векторов не больше разности модулей этих векторов{{sfn|''Гусятников П. Б., Резниченко С. В.'' Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985|loc=Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 24}}:
: <math>|\mathbf{a} - \mathbf{b}| \geqslant |\mathbf{a}| - |\mathbf{b}|, \quad |\mathbf{a} - \mathbf{b}| \geqslant |\mathbf{b}| - |\mathbf{a}|.</math>

В случае коллинеарных векторов{{sfn|''Гусятников П. Б., Резниченко С. В.'' Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985|loc=Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 25}}:
* если два вектора направлены одинаково, то модуль разности двух векторов равен разности модулей уменьшаемого и вычитаемого, если модуль уменьшаемого больше модуля вычитаемого:
:: <math>|\mathbf{a} - \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| - |\mathbf{b}|, \quad |\mathbf{a}| \geqslant |\mathbf{b}|;</math>
:: <math>|\mathbf{a} - \mathbf{b}| = |\mathbf{b}| - |\mathbf{a}|, \quad |\mathbf{b}| \geqslant |\mathbf{a}|.</math>

Для модуля разности векторов возможны три случая (см. рисунок ниже){{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1977|loc=§ 88. Вычитание векторов, с. 122}}:
:* <math>|\mathbf{a} - \mathbf{b}| < |\mathbf{a}|;</math>
:* <math>|\mathbf{a} - \mathbf{b}| = |\mathbf{a}|;</math>
:* <math>|\mathbf{a} - \mathbf{b}| > |\mathbf{a}|.</math>

[[Файл:Three cases of modulus magnitude of vector difference.svg|center|thumb|600px|Три случая величины модуля разности векторов: слева {{s|&#124;'''a''' – '''b'''&#124; < &#124;'''a'''&#124;}}, в центре {{s|&#124;'''a''' – '''b'''&#124; &#61; &#124;'''a'''&#124;}}, справа {{s|&#124;'''a''' – '''b'''&#124; > &#124;'''a'''&#124;}},]]
{{clear}}

Имеет место следующее тождество:
: <math>2|\mathbf{a}|^2 + 2|\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 + |\mathbf{a} - \mathbf{b}|^2</math>,
другими словами, сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей (см. рисунок с параллелограммом сложения и вычитания векторов в разделе [[#Определение без использования противоположного вектора|Определение без использования противоположного вектора]]){{sfn|''Погорелов А. В.'' Лекции по аналитической геометрии, 1968|loc=Глава IV. Векторы. § 1. Сложение и вычитание векторов, с. 69}}.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{h|''Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.'' Геометрия. 7—9 классы, 2014|3=
''[[Атанасян, Левон Сергеевич|Атанасян Л. С.]], [[Бутузов, Валентин Фёдорович|Бутузов В. Ф.]], Кадомцев С. Б., [[Позняк, Эдуард Генрихович|Позняк Э. Г.]], Юдина И. И.'' Геометрия. 7—9 классы : учебник для общеобразовательных организаций. 2-е изд. М.: Просвещение, 2014. 383 с., ил.
}}
* {{h|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Векторы и их применения в геометрии, 1963|3=
''[[Болтянский, Владимир Григорьевич|Болтянский В. Г.]], [[Яглом, Исаак Моисеевич|Яглом И. М.]]'' Векторы и их применения в геометрии // ''Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия'' / Гл. ред. [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров]], [[Маркушевич, Алексей Иванович|А. И. Маркушевич]], [[Хинчин, Александр Яковлевич|А. Я. Хинчин]]. Ред. книги 4: [[Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянский]], И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 291—381.
}}
* {{h|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1977|3=
''[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]]'' Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: Наука, 1977. 871 с., ил.
}}
* {{h|''Гусятников П. Б., Резниченко С. В.'' Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985|3=
''Гусятников П. Б., Резниченко С. В.'' Векторная алгебра в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов инж.-тех. спец. вузов. М.: Высшая школа, 1985. 232 с., ил.
}}
* {{h|''Вычитание'', 1977|3=
''Вычитание'' // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 828.
}}
* {{h|''Вычитание'', 1988|3=
''Вычитание'' // ''[[Математический энциклопедический словарь]]'' / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]; Ред. Кол.: [[Адян, Сергей Иванович|С. И. Адян]], [[Бахвалов, Николай Сергеевич|Н. С. Бахвалов]], В. И. Битюцков, [[Ершов, Андрей Петрович|А. П. Ершов]], [[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Л. Д. Кудрявцев]], [[Онищик, Аркадий Львович|А. Л. Онищик]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]]. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1988. 847 с., ил. С. 135.
}}
* {{h|''Кочин Г. Ф.'' Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965|3=
''Кочин Г. Ф.'' [[Векторное исчисление]] и начала [[Тензорное исчисление|тензорного исчисления]]. Изд-е 9-е. М.: Наука, 1965. 427 с., ил.
}}
* {{h|''Лаптев Г. Ф.'' Элементы векторного исчисления, 1975|3=
''[[Лаптев, Герман Фёдорович|Лаптев Г. Ф.]]'' Элементы [[Векторное исчисление|векторного исчисления]]. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
}}
* {{h|''Противоположный вектор'', 1984|3=
''Противоположный вектор'' // ''Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф.'' Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. [[Богданов, Юрий Станиславович|Ю. С. Богданова]]. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 356.
}}
* {{h|''Погорелов А. В.'' Лекции по аналитической геометрии, 1968|3=
''[[Погорелов, Алексей Васильевич|Погорелов А. В.]]'' Аналитическая геометрия. 3-е изд. М.: Наука, 1968. 176 с., ил.
}}
* {{h|''Пытьев Ю. П.'' Векторная алгебра, 1977|3=
''[[Пытьев, Юрий Петрович|Пытьев Ю. П.]]'' Векторная алгебра // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 632—636.
}}
* {{h|''Пытьев Ю. П.'' Векторная алгебра, 1988|3=
''Пытьев Ю. П.'' Векторная алгебра // ''[[Математический энциклопедический словарь]]'' / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]; Ред. Кол.: [[Адян, Сергей Иванович|С. И. Адян]], [[Бахвалов, Николай Сергеевич|Н. С. Бахвалов]], В. И. Битюцков, [[Ершов, Андрей Петрович|А. П. Ершов]], [[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Л. Д. Кудрявцев]], [[Онищик, Аркадий Львович|А. Л. Онищик]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]]. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1988. 847 с., ил. С. 107—109.
}}
* {{h|''Разность векторов'', 1984|3=
''Разность векторов'' // ''Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф.'' Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. [[Богданов, Юрий Станиславович|Ю. С. Богданова]]. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 369.
}}

{{Вектора и матрицы}}

[[Категория:Векторный анализ]]
{{Добротная статья|Математика}}