Просмотр кода страницы Гамильтон, Уильям Роуэн

{{однофамильцы-тёзки|Гамильтон, Уильям}}
{{Учёный
| Имя                  = Уильям Роуэн Гамильтон
| Оригинал имени       = 
| Изображение          = William_Rowan_Hamilton_painting.jpg
| Ширина               = 200px
| Описание изображения = 
| Место рождения       = {{МР|Дублин}}, [[Соединённое королевство Великобритании и Ирландии|Ирландия]]
| Место смерти         = {{МС|Дублин}}, [[Соединённое королевство Великобритании и Ирландии|Ирландия]]
| Научная сфера        = [[математика]], [[механика]], [[физика]]
| Место работы         =
| Альма-матер          = [[Дублинский университет]]
| Научный руководитель =
| Знаменитые ученики   =
| Известен как         =
| Награды и премии     = [[Королевская медаль]] (1835)
}} 

'''[[Сэр]] Уи́льям Ро́уэн Га́мильтон''' ({{lang-en|William Rowan Hamilton}}; [[4 августа]] [[1805]] — [[2 сентября]] [[1865]]) — [[Ирландия|ирландский]] {{математик|Ирландии|XIX века}}, {{механик|Ирландии|XIX века}}-теоретик, {{физик|Ирландии|XIX века}}-теоретик, «один из лучших математиков XIX века»{{sfn |Математика XIX века. Том I|1978|с=73}}. Известен фундаментальными открытиями в математике ([[кватернион]]ы, основы [[Векторный анализ|векторного анализа]], [[вариационное исчисление]], обоснование [[Комплексное число|комплексных чисел]]), [[Аналитическая механика|аналитической механике]] ([[гамильтонова механика]]) и [[Оптика|оптике]]{{sfn|Боголюбов А. Н.|1983|с=118}}<ref name="khramov">{{книга|автор=[[Храмов, Юрий Алексеевич|Храмов Ю. А.]]|заглавие=Физики: Биографический справочник. 2-е изд|место=М.|издательство=Наука|год=1983|страниц=400}} — С. 73—74</ref>. Автор предельно общего [[Вариационный принцип|вариационного]] [[Принцип наименьшего действия|принципа наименьшего действия]], применяемого во многих разделах физики.

[[Королевский астроном Ирландии]] (1827—1865){{sfn|Стройк Д. Я.|1984|с=211}}. Член [[Ирландская королевская академия|Ирландской королевской академии]] (1837; в 1837—1845 годах — её президент). Член-корреспондент многих академий наук и научных обществ, в том числе [[Российская академия наук|Российской академии наук]] (1837), первый иностранный член [[Национальная академия наук США|Национальной академии наук США]] (1864){{sfn|Боголюбов А. Н.|1983|с=118}}<ref>{{книга|автор=Graves R. P.|заглавие=Life of Sir William Rowan Hamilton. Vol. III|ссылка=https://archive.org/details/lifeofsirwilliam03gravuoft|место=Dublin|издательство=Dublin University Press|год=1889|allpages=xxxvi + 673}} — P. 204—206</ref>. Академик [[Крылов, Алексей Николаевич|А. Н. Крылов]] писал, что Гамильтон — «один из величайших математиков, отличавшийся многочисленностью своих работ, важностью заключавшихся в них открытий, глубиною мысли, оригинальностью методов, вместе с тем и как вычислитель имевший мало себе равных»<ref name=ALEX/>.

== Биография ==

=== Детство и юность ===
Гамильтон был четвёртым из девяти детей в семье ирландки Сары Хаттон ({{lang-en|Sarah Hutton}}, 1780—1817){{sfn |Sir W. Rowan Hamilton }} и полуирландца, полушотландца Арчибальда Гамильтона ({{lang-en|Archibald Hamilton}}, 1778—1819). Арчибальд, родом из городка [[Данбойн]], работал в Дублине юристом. Из-за финансовых затруднений и плохого здоровья родителей было решено с годовалого возраста передать мальчика на воспитание дяде по отцу. Дядя, Джеймс Гамильтон, человек хорошо образованный, служил [[Викарий|викарием]] и учителем в городе [[Трим (город в Ирландии)|Трим]]; он с симпатией отнёсся к племяннику и всячески помогал его развитию{{sfn |Стиллвелл Д.|2004|name=SW|с=384—388 }}. Вскоре Уильям окончательно остался без родителей — мать умерла, когда мальчику было 12 лет, отец пережил её на два года. Позднее Гамильтон взял на себя заботу о трёх своих осиротевших сёстрах.

Уже в детстве мальчик проявил необыкновенные дарования. В 3 года он свободно читал и начал осваивать арифметику. В 7 лет он знал латынь, греческий и [[древнееврейский язык]]и. В 12 — под руководством дяди Джеймса, хорошего лингвиста, — знал уже 12 языков и среди них [[Персидский язык|персидский]], [[Арабский язык|арабский]] и [[санскрит]]{{sfn|Веселовский И. Н.|1974|с=218}}. В 13 лет он написал руководство по сирийской грамматике. Литературу и поэзию Гамильтон всю жизнь высоко ценил и время от времени сам пробовал писать стихи. Среди его литературных знакомых были знаменитый поэт-романтик [[Вордсворт, Уильям|Уильям Вордсворт]], дружба между ними продолжалась до конца жизни Вордсворта, а также [[Кольридж, Сэмюэл Тейлор|Сэмюэл Кольридж]], с которым Гамильтон завязал оживлённую переписку{{sfn |Полак Л. С.|1994|с=460—462 }}.

После языков настала пора увлечения математикой. Ещё в десятилетнем возрасте Гамильтону попался латинский перевод «[[Начала Евклида|Начал]]» [[Евклид]]а, и он детально изучил это сочинение; в 13 лет он прочёл «[[Универсальная арифметика|Универсальную арифметику]]» [[Ньютон, Исаак|Ньютона]]; в 16 лет — большую часть «[[Математические начала натуральной философии|Математических начал натуральной философии]]» Ньютона (при этом Гамильтон — по работам [[Клеро, Алекси Клод|Клеро]] и [[Лаплас]]а — изучал и континентальную математику, что в Великобритании было ещё новостью){{sfn|Стройк Д. Я.|1984|с=211}}. В 17 лет Уильям приступил к изучению «Небесной механики» Лапласа; в этом трактате он обнаружил логическую ошибку и сообщил о ней [[Королевский астроном Ирландии|королевскому астроному Ирландии]] [[Бринкли, Джон|Джону Бринкли]]. Тот оценил способности юноши и стал помогать его научному развитию. Крупных учёных в Ирландии было совсем мало, и фактически Гамильтон изучал математику и физику самоучкой, в затруднительных случаях прибегая к помощи Бринкли. Ирландская писательница [[Эджуорт, Мария|Мария Эджуорт]], с семьёй которой подружился Уильям, назвала его «чудом талантливости, о котором профессор Бринкли говорит, что он может стать вторым Ньютоном»{{sfn |Полак Л. С.|1994|с=458 }}.

[[Файл:Trinity College Library-long room.jpg|320px|right|мини|Один из залов библиотеки Тринити-колледжа (''Long Room'')]]
В 1815—1823 годах Уильям учился в школе, затем 18-летний юноша поступил в [[Тринити Колледж (Дублин)|Тринити-колледж]] [[Дублинский университет|Дублинского университета]]. Там он показал столь блестящие способности (первый по всем предметам), что в 1827 году, ещё 22-летним студентом, по рекомендации ушедшего в отставку Бринкли был назначен на его место — профессором астрономии в Дублинском университете и [[Королевский астроном Ирландии|королевским астрономом Ирландии]]. В университете бывший студент Гамильтон, так никогда и не защитивший диссертацию, читал курс [[небесная механика|небесной механики]]{{sfn|Полак Л. С.|1994|с=463}}.

=== Королевский астроном ===
В 1827 году Гамильтон занял пост [[Королевский астроном Ирландии|королевского астронома Ирландии]] (что автоматически означало по совместительству пост директора [[Дансинкская обсерватория|Дансинкской обсерватории]]) и занимал его на протяжении 38 лет — дольше, чем кто бы то ни было на этой должности. Он опубликовал ряд работ по геометрической оптике, представляющих большую ценность для теории оптических инструментов, но чисто астрономическими проблемами занимался мало; комиссии из Лондона дважды подвергали его критике за недостаточное усердие{{sfn |Полак Л. С.|1994|с=463 }}.
[[Файл:Dunsink Observatory - geograph.org.uk - 510911.jpg|left|300px|мини|Обсерватория в Дансинке]]
В 1833 году Гамильтон женился на Хелен Бэйли (''Helen Maria Bayley''). У них родились два сына и дочь. Брак оказался не слишком удачным, и Гамильтон начал злоупотреблять алкоголем{{sfn |Стиллвелл Д.|2004|name=SW|с=384—388 }}.

В период 1834—1835 годов появились классические работы по «[[Уравнения Гамильтона|гамильтоновой механике]]». Шотландский математик [[Тэт, Питер Гатри|Питер Тэт]] назвал эти работы «крупнейшим дополнением теоретической динамики со времени великих эпох [[Ньютон, Исаак|Ньютона]] и [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжа]]». За открытия в оптике и по совокупности научных заслуг вице-король [[Ирландия|Ирландии]] возвёл Гамильтона в [[Рыцарь|рыцарское достоинство]] (1835){{sfn |Полак Л. С.|1994|с=464, 483}} и назначил ежегодное пособие в 200 фунтов, а лондонское [[Королевское общество]] наградило его (совместно с [[Фарадей, Майкл|Фарадеем]]) [[Королевская медаль|Королевской медалью]].

Однако впереди был ещё целый ряд крупных открытий. В том же 1835 году Гамильтон завершил разработку нового, чрезвычайно общего подхода к решению задач [[Динамика (физика)|динамики]] в виде [[Вариационные принципы|вариационного принципа]] ([[принцип Гамильтона]]). Спустя почти столетие именно этот подход оказался ключевым для создания [[Квантовая механика|квантовой механики]], а открытый Гамильтоном вариационный принцип с успехом был использован при разработке [[Уравнения Эйнштейна|уравнений поля]] [[Общая теория относительности|общей теории относительности]].

В 1837 году Гамильтона избрали президентом [[Ирландская королевская академия|Ирландской королевской академии]]{{sfn|Боголюбов А. Н.|1983|с=118}}. В том же году по представлению академиков [[Буняковский, Виктор Яковлевич|В. Я. Буняковского]], [[Остроградский, Михаил Васильевич|М. В. Остроградского]] и [[Фусс, Павел Николаевич|П. Н. Фусса]] он был избран членом-корреспондентом [[Петербургская академия наук|Петербургской академии наук]] за работу «Об общем методе в динамике»{{sfn|Веселовский И. Н.|1974|с=224}}.

1843 год стал в жизни Гамильтона переломным. В этом году он открыл алгебраическую систему [[кватернион]]ов — обобщение системы [[комплексное число|комплексных чисел]] — и оставшиеся два десятилетия своей жизни посвятил их исследованию{{sfn|Стройк Д. Я.|1984|с=213}}. В Великобритании теорию кватернионов встретили с необыкновенным энтузиазмом и «глубоким уважением, доходящим до благоговения»{{sfn|Клейн Ф.|1937|с=228}}; в Ирландии (а затем — и в Англии) она стала обязательным элементом образования{{sfn|Александрова Н. В.|1982|с=211}}.

В 1846 году случился неприятный скандал на обеде Геологической ассоциации, куда Гамильтон явился в состоянии чрезвычайно сильного опьянения: в результате он подал в отставку с поста президента Ирландской академии<ref name=PO466/>. Год спустя скончался дядя Джеймс, заменивший Уильяму отца.

Весной 1865 года здоровье Гамильтона стало быстро ухудшаться. Свой многолетний труд, монографию «Элементы кватернионов», он успел завершить за несколько дней до смерти. Гамильтон скончался 2 сентября в возрасте 60 лет{{sfn |Полак Л. С.|1994|с=466|name=PO466 }}. Похоронен на дублинском кладбище ''Mount Jerome Cemetery and Crematorium''.

== Научный вклад ==
Во всех своих основных работах Гамильтон стремился поставить и решить задачу максимально общим, универсальным способом, глубоко исследовать открытые им методы и ясно очертить области их практического применения{{sfn |Полак Л. С.|1956|с=230—231, 243—244 }}.

=== Математика ===

==== Теория комплексных чисел ====
В 1835 году Гамильтон опубликовал работу «Теория алгебраических пар» (''Theory of Algebraic Couples''), в которой дал строгое построение теории [[комплексное число|комплексных чисел]]. Если [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] рассматривал комплексное число как формальную сумму <math>a+bi</math>, а [[Вессель, Каспар|Вессель]] и [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] пришли к ''геометрической интерпретации'' комплексных чисел, трактуя их как точки координатной плоскости (причём последний в 1831 году в работе «Теория биквадратных вычетов» также предложил вполне строгое построение алгебры комплексных чисел), то Гамильтон (вероятно, не знакомый с работой Гаусса) рассматривал комплексное число как пару <math>(a,b)</math> действительных чисел. Ныне все три подхода распространены в равной мере; при этом с появлением работ Гаусса и Гамильтона был снят вопрос о [[непротиворечивость|непротиворечивости]] теории комплексных чисел (точнее, он был сведён к вопросу о непротиворечивости теории [[Вещественное число|действительных чисел]]){{sfn|Стройк Д. Я.|1984|с=240}}{{sfn|Веселовский И. Н.|1974|с=172}}.
[[Файл:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|thumb|300px|<center>Памятная табличка на мосту Брум Бридж в [[Дублин]]е: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, сэр Уильям Роуэн Гамильтон, во вспышке гения, открыл формулу умножения [[кватернион]]ов»</center>]]
Геометрическая интерпретация комплексных чисел открывала возможность плодотворного применения их в [[планиметрия|планиметрии]] и при решении двумерных задач [[математическая физика|математической физики]]. Пытаясь добиться аналогичного результата в пространственном случае<ref name=ALEX>{{книга|автор=Александрова Н. В. |часть=Исчисление кватернионов Гамильтона |заглавие=''Гамильтон У. Р.'' Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы |издательство=Наука |место=М. |год=1994 |серия=Классики науки}}— С. 519—534</ref>, Гамильтон в течение нескольких лет работал над обобщением понятия комплексного числа и созданием полноценной системы «чисел» из ''троек'' действительных чисел (сложение должно было — как и для комплексных чисел — быть покомпонентным; проблема состояла в надлежащем определении умножения). Не преуспев в этом, он обратился к ''четвёркам'' действительных чисел. Озарение пришло к нему в один из октябрьских дней 1843 года — во время прогулки по дублинскому мосту; так появились [[кватернион]]ы{{sfn|Стройк Д. Я.|1984|с=240}}{{sfn|Александрова Н. В.|1982|с=205—206}}.

==== Теория кватернионов ====

===== Создание теории кватернионов =====
Для открытых им «четырёхчленных чисел» Гамильтон ввёл название '''кватернионы''' — от {{lang-la|quaterni}} ‘по четыре’<ref>''Александрова Н. В.'' О происхождении некоторых математических понятий // ''Сб. научн.-метод. статей по математике'', вып. 8, 1978. — С. 104—109</ref>. Наряду с представлением кватернионов четвёрками действительных чисел он — по аналогии с комплексными числами — записывал кватернионы{{sfn|Александрова Н. В.|1982|с=206—207}} и как формальные суммы вида
: <math>(*)\qquad q\,=\,a+bi+cj+dk\,,</math>
где <math>i,j,k</math> — три ''кватернионные единицы'' (аналоги [[мнимая единица|мнимой единицы]] <math>i</math>)<ref>{{книга|автор=[[Постников, Михаил Михайлович|Постников М. М.]]|заглавие=Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия |место=М .|издательство=Наука |год=1988 |страниц=496 |isbn=5-02-013741-1}} — С. 124—126.</ref><ref name="kn">{{книга|автор=Кирпичников С. Н., Новосёлов В. С.|заглавие=Математические аспекты кинематики твёрдого тела|место=Л.|издательство=Изд-во Ленингр. ун-та|год=1986|страниц=252}} — С. 102—109</ref>. Предполагая умножение кватернионов [[дистрибутивность|дистрибутивным]] относительно сложения, Гамильтон свёл определение операции умножения кватернионов к заданию [[таблица умножения|таблицы умножения]] для базовых единиц <math>1,i,j,k</math> вида {{sfn|Александрова Н. В.|1982|с=206—207}}:
<center><math>\begin{matrix}
& \times & \mathbf1 & \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
& \mathbf1 & \,1 & \,i & \,j & \,k \\
& \mathbf{i} & \,i & \,-1 & \,k & \,-j \\
& \mathbf{j} & \,j & \,-k & \,-1 & \,i \\
& \mathbf{k} & \,k & \,j & \,-i & \,-1 \\
\end{matrix}</math></center>

Из таблицы видно, что умножение кватернионов не является [[коммутативность|коммутативным]] (поэтому алгебраическая система кватернионов является [[тело (алгебра)|телом]], но не [[поле (алгебра)|полем]]). В 1878 году [[Фробениус, Фердинанд Георг|Г. Фробениус]] объяснил причину неуспеха Гамильтона с тройками действительных чисел, доказав следующее утверждение (''[[теорема Фробениуса]]''): над полем действительных чисел <math>\mathbb R</math> существуют лишь три конечномерные [[ассоциативная алгебра|ассоциативные алгебры]] с делением: само <math>\mathbb R</math>, поле комплексных чисел <math>\mathbb C</math> и тело кватернионов <math>\mathbb H</math><ref>{{книга|автор=[[Кострикин, Алексей Иванович|Кострикин А. И.]]|заглавие=Введение в алгебру|место=М.|издательство=Наука|год=1977|страниц=496}} — С. 466—467</ref>.

Два следующих десятилетия Гамильтон посвятил подробному исследованию новых чисел и практическим приложениям{{sfn |Стиллвелл Д.|2004|loc=Глава 20. Гиперкомплексные числа|name=SW20 }}, написав на эту тему 109 статей и две объёмные монографии «Лекции о кватернионах» и «Элементы кватернионов». Правую часть формулы <math>(*)</math> он рассматривал как сумму двух слагаемых: ''скалярной части'' (число <math>a</math>) и ''векторной части'' (оставшаяся часть суммы){{sfn|Александрова Н. В.|1982|с=206—207}}; позднее некоторые авторы использовали соответственно выражения «вещественная часть» и «мнимая часть»<ref name="kn"/>. Так в математику впервые вошли слова '''[[вектор (математика)|вектор]]''' (1847 г.{{sfn|Боголюбов А. Н.|1983|с=118}}) применительно к кватерниону с нулевой скалярной частью и '''[[скаляр]]''' (1853 г.{{sfn|Александрова Н. В.|1982|с=206—207}}) применительно к кватерниону с нулевой векторной частью. В качестве векторной и скалярной частей кватернионного произведения двух векторов появились на свет соответственно [[векторное произведение|векторное]] и [[скалярное произведение|скалярное]] произведения{{sfn|Александрова Н. В.|1982|с=208}}.

===== Приложения кватернионов =====
Крупнейшим продолжателем работ Гамильтона и популяризатором кватернионов стал его ученик — шотландский математик [[Тэт, Питер Гатри|Питер Тэт]], предложивший для них множество приложений к геометрии, [[Сферическая тригонометрия|сферической тригонометрии]] и физике<ref name=ALEX/>. Одним из первых таких приложений стало изучение пространственных преобразований. Комплексные числа успешно используются для моделирования произвольных движений на плоскости: сложению чисел соответствует перенос точек [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]], а умножению — поворот (с одновременным растяжением, если модуль множителя отличен от 1){{sfn |Клейн Ф.|1937|с=225—226 }}.

Аналогично кватернионы представляют собой удобный инструмент для исследования движений в трёхмерном евклидовом пространстве (см. [[Кватернионы и вращение пространства]]): такое их использование основано на ''геометро-числовой интерпретации'' кватернионов, при которой кватернионным единицам сопоставляются (в современной терминологии) векторы некоторого правого [[ортонормированный базис|ортонормированного базиса]] в трёхмерном пространстве<ref>{{книга|автор=[[Журавлёв, Виктор Филиппович|Журавлёв В. Ф.]]|заглавие=Основы теоретической механики. 2-е изд|место=М.|издательство=Физматлит|год=2001|страниц=320|isbn=5-94052-041-3}} — С. 32—38</ref>. Тогда устанавливается взаимно однозначное соответствие между трёхмерными поворотами и [[внутренний автоморфизм|внутренними автоморфизмами]] тела кватернионов<ref>{{книга|заглавие=Общая алгебра. Т. 1|ответственный=Под ред. Л.&nbsp;А.&nbsp;Скорнякова|место=М.|издательство=Наука|год=1990|страниц=592|серия=Справочная математическая библиотека|isbn=5-02-014426-6}} — С. 296, 335—336</ref><ref>{{книга|автор=[[Голубев, Юрий Филиппович|Голубев Ю. Ф.]]|заглавие=Основы теоретической механики. 2-е изд|место=М.|издательство=Изд-во Моск. ун-та|год=2000|страниц=719|isbn=5-211-04244-1}} — С. 110—112</ref>; каждый такой автоморфизм может быть порождён кватернионом с модулем, равным 1 (''модуль'' кватерниона <math>q</math> определяется как корень квадратный из суммы квадратов его компонентов <math>a,b,c,d</math><ref>{{книга|автор=[[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]]|заглавие=Основные понятия алгебры|место=М.|издательство=ВИНИТИ АН СССР|год=1986|страниц=289|серия=Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 11}} — С. 76</ref>), причём данный кватернион, называемый ''кватернионом поворота'', определяется с точностью до знака<ref name="kn"/>. При этом последовательному выполнению двух поворотов соответствует умножение соответствующих кватернионов поворота. Этот факт, кстати, ещё раз иллюстрирует некоммутативность умножения кватернионов, поскольку результат выполнения двух трёхмерных поворотов существенно зависит от порядка их выполнения{{sfn |Клейн Ф.|1937|с=225—226 }}.

В ходе исследований кватернионов Гамильтон попутно ввёл понятие [[векторное поле|векторного поля]] (сам термин «''поле''» у него ещё отсутствует, вместо него использовалось понятие [[Вектор-функция|векторной функции]] точки) и заложил основы [[Векторный анализ|векторного анализа]]. Символика Гамильтона (в частности, введённый им [[оператор набла]]) позволила ему компактно записывать основные [[Дифференциальный оператор|дифференциальные операторы]] векторного анализа: [[градиент]], [[Ротор (математика)|ротор]] и [[Дивергенция|дивергенцию]]{{sfn |Математика XIX века. Том I|1978|с=74 }} {{sfn |Математика XIX века. Том II|1981|с=55—56 }}. На основе работ Гамильтона [[Гиббс, Джозайя Уиллард|Гиббс]] и [[Хевисайд, Оливер|Хевисайд]] выделили и развили систему векторного анализа, уже отделённую от теории кватернионов; она оказалась чрезвычайно полезной в прикладной математике и вошла в учебники{{sfn |Стиллвелл Д.|2004|с=388 }}.

[[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелл]] ознакомился с кватернионами благодаря Тэту, своему школьному другу, и высоко их оценил: «Изобретение исчисления кватернионов есть шаг вперёд в познании величин, связанных с пространством, который по своей важности можно сравнить только с изобретением пространственных координат Декартом»<ref>{{книга |автор=Максвелл Дж. К.|заглавие=Статьи и речи |место=Μ. |издательство=Наука |год=1968 |страницы=39}}</ref>. В ранних статьях Максвелла по теории [[Электромагнитное поле|электромагнитного поля]] кватернионная символика применяется для представления дифференциальных операторов<ref>{{cite web|url=http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/BIO/KRYLOV/KRYLOV_23.HTM|title=Отзыв о работах академика П. П. Лазарева|author=Крылов А. Н.|accessdate=2013-12-02|archive-date=2017-05-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20170503043859/http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/BIO/KRYLOV/KRYLOV_23.HTM|deadlink=no}}</ref>, тем не менее в последних своих работах Максвелл отказался от кватернионной символики в пользу более удобного и наглядного векторного анализа Гиббса и Хевисайда<ref>{{книга|автор=Александрова Η. В.|заглавие=Из истории векторного исчисления|место=Μ.|издательство=Изд-во МАИ|год=1992|страниц=152}}</ref>.

===== Историческое значение теории кватернионов =====
В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в [[квантовая механика|квантовой механике]]<ref>{{книга|автор=Курочкин Ю. А. |заглавие=Кватернионы и некоторые приложения их в физике. Препринт диссертации № 109|издание=ИФ АН БССР |год=1976}}</ref> и [[теория относительности|теории относительности]]<ref name=ALEX/>. Реальное применение кватернионы нашли в современной [[компьютерная графика|компьютерной графике и программировании игр]]<ref>{{книга|автор=Побегайло А. П. |заглавие=Применение кватернионов в компьютерной геометрии и графике|место=Минск|издательство=Изд-во БГУ |год=2010 |страниц=216 |isbn=978-985-518-281-9 }}</ref>, а также в [[вычислительная механика|вычислительной механике]]<ref name="wittenburg">{{книга|автор=Виттенбург Й. |заглавие=Динамика систем твёрдых тел|место=М.|издательство=Мир|год=1980|страниц=292}} — С. 25—26, 34—36</ref><ref name="pogorelov">{{книга|автор=Погорелов Д. Ю. |заглавие=Введение в моделирование динамики систем тел|место=Брянск|издательство=Изд-во БГТУ|год=1997|страниц=156|isbn=5-230-02435-6}} — С. 22—26, 31—36</ref>, в [[инерциальная навигация|инерциальной навигации]] и [[теория управления|теории управления]]<ref>{{книга|автор=[[Ишлинский, Александр Юльевич|Ишлинский А. Ю.]] |заглавие=Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация|место=М.|издательство=Наука|год=1976|страниц=672}} — С. 87—103, 593—604</ref><ref>{{cite web|url=http://hypercomplex.xpsweb.com/articles/366/ru/pdf/07-10.pdf|title=Уравнения инерциальной навигации и кватернионная теория пространства-времени|last=Чуб В. Ф.|accessdate=2013-12-09|archive-date=2013-12-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20131213142532/http://hypercomplex.xpsweb.com/articles/366/ru/pdf/07-10.pdf|deadlink=no}}</ref>. С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»<ref>{{Cite web |url=http://hypercomplex.xpsweb.com/section.php?lang=ru&genre=3 |title=Журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике» |access-date=2013-12-09 |archive-date=2016-09-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160926203312/http://hypercomplex.xpsweb.com/section.php?lang=ru&genre=3 |deadlink=no }}</ref>.

[[Феликс Клейн]] высказал мнение, что «кватернионы хороши и применимы на своём месте, но они не имеют всё же такого значения, какое имеют обыкновенные комплексные числа»{{sfn |Клейн Ф.|1937|с=224 }}. Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется [[Матрица (математика)|матричное исчисление]]{{sfn |Клейн Ф.|1937|с=229—231 }}; однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи ''минимального'' числа скалярных параметров, использование [[параметры Родрига — Гамильтона|параметров Родрига — Гамильтона]] (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, [[углы Эйлера|углами Эйлера]]) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается<ref name="wittenburg"/><ref name="pogorelov"/>.

В любом случае исторический вклад кватернионов в развитие математики был неоценим. [[Анри Пуанкаре]] писал: «Их появление дало мощный толчок развитию [[Общая алгебра|алгебры]]; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и [[Линейное отображение|линейного оператора]], пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал [[Лобачевский, Николай Иванович|Лобачевский]] в геометрии»{{sfn |Полак Л. С.|1956|с=273 }}.

==== Геометрия и другие области математики ====
В 1861 г. Гамильтон в области планиметрии доказал носящую его имя [[Теорема Гамильтона|теорему Гамильтона]]:
Три отрезка прямых, соединяющих [[ортоцентр]] с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три ''треугольника Гамильтона'', имеющих ту же самую [[окружность Эйлера]] ([[окружность девяти точек]]), что и исходный остроугольный треугольник.

[[Файл:Hamiltonian path.svg|мини|Головоломка Гамильтона (показано одно из решений)]]
В 1856 году Гамильтон исследовал [[Конечная группа|группу симметрий]] [[икосаэдр]]а и показал, что у неё имеются три порождающих элемента{{sfn |Стиллвелл Д.|2004|с=355 }}. Изучение другого [[многогранник]]а, [[додекаэдр]]а, привело впоследствии к появлению в [[Теория графов|теории графов]] полезного понятия [[Гамильтонов граф|«гамильтонова графа»]]<ref>{{книга|автор=Акимов О. Е. |часть=Задача Гамильтона о цепях додекаэдра|заглавие=Дискретная математика. Логика, группы, графы, фракталы|ссылка=http://sceptic-ratio.narod.ru/ma/dm3-1i.htm|год=2005|страниц=656|isbn=5-9900342-1-0|archivedate=2013-12-14|archiveurl=https://web.archive.org/web/20131214175928/http://sceptic-ratio.narod.ru/ma/dm3-1i.htm}}</ref>; кроме того, Гамильтон придумал занимательную головоломку, связанную с обходом рёбер додекаэдра, и выпустил её в продажу (1859). Эта игра, красочно оформленная как «Путешествие вокруг света», долгое время выпускалась в разных странах Европы<ref>{{книга|автор=Гарднер, Мартин.|часть=«Икосаэдрическая игра» и «Ханойская башня»|заглавие=Математические головоломки и развлечения|ссылка=http://stepanov.lk.net/gardner/hex/hex06.html|место=Μ.|издательство=АСТ|год=2010|isbn=978-5-17-068027-6|archivedate=2014-04-27|archiveurl=https://web.archive.org/web/20140427002015/http://stepanov.lk.net/gardner/hex/hex06.html}}</ref>.

С момента возникновения теории кватернионов Гамильтон постоянно имел в виду приложения возникшего в её рамках аппарата векторов к пространственной [[геометрия|геометрии]]. При этом [[направленный отрезок]] <math>\overline{AB}</math> с началом в точке <math>A</math> и концом в точке <math>B</math> Гамильтон трактовал именно как вектор и записывал (вслед за [[Мёбиус, Август Фердинанд|Мёбиусом]]) в виде <math>B-A</math> (то есть как разность конца и начала). Сам термин «вектор» был образован им от латинского глагола ''vehere'' ‘нести, тянуть’ (имелся в виду перенос подвижной точки из начального положения <math>A</math> в конечное положение <math>B</math>){{sfn|Александрова Н. В.|1982|с=208}}.

Геометрия обязана Гамильтону и такими терминами, как «[[коллинеарность]]» и «[[компланарность]]» (применявшимися только к точкам; для векторов с общим началом в соответствующих случаях употреблялись выражения ''termino-collinear'' и ''termino-coplanar''){{sfn|Александрова Н. В.|1982|с=208}}.

Несколько работ Гамильтона посвящены уточнению работ [[Абель, Нильс Хенрик|Абеля]] по [[Теорема Абеля — Руффини|разрешимости уравнения пятой степени]]<ref>{{cite web|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Badano/|title=On Equations of the Fifth Degree|last=William R. Hamilton|accessdate=2013-12-09|archive-date=2013-12-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20131213094333/http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Badano/|deadlink=no}}</ref> и [[Вычислительные методы|численным методам]]. В ходе своих исследований кватернионов Гамильтон доказал ряд алгебраических теорем, которые в наши дни относят к [[Матрица (математика)|теории матриц]]. Важную в линейной алгебре [[Теорема Гамильтона — Кэли|теорему Гамильтона — Кэли]] он фактически доказал для матриц размерности <math>4 \times 4</math>, само понятие матрицы и формулировку теоремы (без доказательства) опубликовал [[Кэли, Артур|Кэли]] (1858){{sfn |Математика XIX века. Том I|1978|с=68 }}, для общего случая доказательство дал [[Фробениус, Фердинанд Георг|Фробениус]] в 1898 году.

=== Оптика ===

==== Теория распространения света ====
Первую свою крупную научную работу, озаглавленную ''«Caustics»'', 19-летний Гамильтон представил в 1824 году доктору [[Бринкли, Джон|Бринкли]], тогдашнему президенту Ирландской академии наук. Работа эта (посвящённая развитию [[дифференциальная геометрия|дифференциальной геометрии]] прямолинейных конгруэнций с применением к теории оптических инструментов{{sfn|Стройк Д. Я.|1984|с=211}}) осталась в рукописи, однако с 1827 года Гамильтон начал публикацию серии статей со значительно расширенным и углублённым её вариантом под общим заглавием «Теория систем лучей» (''Theory of Systems of Rays''){{sfn|Погребысский И. Б.|1966|с=185}}.

В данных статьях Гамильтон стремился построить формальную теорию известных оптических явлений, которая была бы приемлема безотносительно к принимаемой точке зрения на природу света (то есть к его трактовке либо как потока частиц, либо как распространяющихся волн). Он заявлял, что его цель — создать теорию оптических явлений, которая обладала бы такой же «красотой, эффективностью и гармонией», что и аналитическая механика [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжа]]<ref name="gliozzi">{{книга|автор=Льоцци М.|заглавие=История физики|место=М.|издательство=Мир|год=1970|страниц=464}} — С. 207—208, 399—401</ref>.

В первой из статей цикла (1827 год) Гамильтон применительно к случаю оптически однородной среды исследует общие свойства световых лучей, которые выходят из одной светящейся точки и подвергаются либо [[отражение (физика)|отражениям]], либо [[преломление|преломлениям]]. В основу исследования он кладёт известные из опыта законы отражения и преломления лучей. Исходя из этих представлений [[геометрическая оптика|геометрической оптики]], Гамильтон приходит к понятию «поверхностей постоянного действия» (в волновой интерпретации — [[фронт волны]]), получает и анализирует описывающие данные поверхности дифференциальные уравнения{{sfn|Погребысский И. Б.|1966|с=185—188}}.

В конце статьи Гамильтон показывает, что все оптические законы могут быть выведены из чрезвычайно общего и плодотворного [[Вариационные принципы|вариационного принципа]], применённого к некоторой «характеристической функции», которая характеризует конкретную оптическую систему. В современной терминологии эта функция представляет собой [[интеграл]] от [[Действие (физическая величина)|действия]] как функцию пределов интегрирования{{sfn |Клейн Ф.|1937|с=237 }}; его часто называют «[[Уравнение эйконала|эйконалом]] Гамильтона»<ref>{{книга |часть=Эйконал |заглавие=[[Физическая энциклопедия]] (в 5 томах) |ответственный=Под редакцией акад. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохорова]] |том=5 |год=1998 |место=М. |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |isbn=5-85270-034-7}}</ref>. В письме к [[Кольридж, Сэмюэл Тейлор|Кольриджу]] Гамильтон вспоминал{{sfn|Полак Л. С.|1956|с=217—219, 228}}:
{{начало цитаты}}
Моей целью было не открывать новые феномены, не улучшать конструкции оптических инструментов, но с помощью [[Дифференциальное исчисление|дифференциального исчисления]] преобразовать геометрию света, посредством установления единого метода для решения всех проблем этой науки.
{{конец цитаты}}

Он поясняет: «Общей проблемой, которую я поставил перед собой в оптике, является исследовать математические следствия [[Принцип наименьшего действия|принципа наименьшего действия]]». Этот принцип, далеко обобщающий классический [[Принцип Ферма|«принцип наименьшего времени Ферма»]], оказался единым как для механики, так и для оптики. Средствами своей теории Гамильтон также строго доказал, что [[геометрическая оптика]] есть предельный случай волновой оптики для малых длин волн{{sfn |Полак Л. С.|1956|с=217—219, 228}}.

В «Первом дополнении» (1830 год) Гамильтон распространяет исследование на случай произвольных оптических сред (неоднородных и неизотропных); при этом наряду с характеристической функцией <math>V</math> вводится ещё вторая функция <math>W</math>, зависящая от направляющих косинусов последнего отрезка луча. Во «Втором дополнении» (тот же 1830 год) Гамильтон получает для <math>V</math> [[уравнение в частных производных]], а функцию <math>W</math> истолковывает как общий интеграл данного уравнения{{sfn|Погребысский И. Б.|1966|с=189}}.

Законченный вид теория Гамильтона обретает в «Третьем дополнении» (1832 год). Здесь он доказывает, что метод характеристических функций описывает геометрию световых лучей с полной общностью и совместим как с корпускулярной, так и с волновой теориями света{{sfn|Погребысский И. Б.|1966|с=185, 189—190}}.

==== Применения теории ====
В «Третьем дополнении» Гамильтон на основании своей теории предсказал явление ''внутренней конической рефракции'': если в [[кристалл]]е с двумя [[оптическая ось|оптическими осями]] вырезать плоскую пластину перпендикулярно одной из осей и направить на эту пластину пучок света так, чтобы он преломился параллельно оптической оси, то на выходе из пластины будет видно светящееся кольцо (диаметр которого зависит от толщины пластины). Опыты с [[арагонит]]ом, проведённые университетским физиком [[Ллойд, Хэмфри|Хамфри Ллойдом]], доставили данному предсказанию экспериментальное подтверждение<ref name="gliozzi"/>{{sfn |Стиллвелл Д.|2004|с=387 }}. Это открытие, сенсационное само по себе, наглядно показало плодотворность методов Гамильтона, его даже сравнивали с [[Открытие Нептуна|открытием]] [[Нептун (планета)|Нептуна]] «на кончике пера»{{sfn |Клейн Ф.|1937|с=236 }}.

Хотя теоретические исследования Гамильтона по оптике изначально преследовали цель создания надёжно обоснованных математических методов расчёта оптических инструментов, его блестящие работы в течение нескольких десятилетий не находили практического применения{{sfn|Погребысский И. Б.|1966|с=184, 208}}. Лишь впоследствии теория Гамильтона нашла широкое применение в прикладной геометрической оптике и теории оптических приборов{{sfn |Полак Л. С.|1956|с=230 }}.

Выбирая, какую из теорий света — корпускулярную или волновую — следует предпочесть, Гамильтон в конце концов сделал выбор в пользу последней. С 1832 года он способствовал принятию в Великобритании принципа [[Волновая оптика|волновой природы света]], который в то время благодаря работам [[Френель, Огюстен Жан|Френеля]] уже победил во Франции, но, несмотря на пионерские работы [[Юнг, Томас|Томаса Юнга]], долгое время отвергался большинством английских физиков. В своих работах Гамильтон доказал, что вариационный подход, ранее предложенный для [[Геометрическая оптика|геометрической оптики]], полностью сохраняет силу и для волновой теории{{sfn |Полак Л. С.|1994|с=486—490|name=P94P486 }}.

Историки науки обнаружили, что в ходе изучения распространения волн Гамильтон в 1839 году первым ввёл понятие [[групповая скорость|групповой скорости]] волны и указал на различие между [[Групповая скорость|групповой]] и [[Фазовая скорость|фазовой скоростями]] волны; однако это его открытие осталось незамеченным и несколько позднее было переоткрыто [[Стокс, Джордж Габриель|Стоксом]] и [[Стретт, Джон Уильям (лорд Рэлей)|Рэлеем]]<ref name="khramov"/>. Указанное различие также оказалось фундаментальным при разработке аппарата квантовой механики<ref name=P94P486/>.

==== Историческое значение оптики Гамильтона ====
Выдающиеся работы Гамильтона по оптике и открытая им [[оптико-механическая аналогия]] не сразу были оценены научной общественностью{{sfn |Полак Л. С.|1994|с=476—481 }}. Только в конце XIX века, когда ряд его результатов был переоткрыт [[Брунс, Генрих|Г. Брунсом]] и другими исследователями, началось их внедрение в оптику{{sfn|Погребысский И. Б.|1966|с=191}}{{sfn|Стройк Д. Я.|1984|с=213}}. Позднее — уже в начале XX века — синтез проблем оптики и механики, достигнутый в работах Гамильтона, был вновь найден [[де Бройль, Луи|Л. де Бройлем]] в работах по [[фотон]]ной теории света (где он пришёл к концепции [[корпускулярно-волновой дуализм|корпускулярно-волнового дуализма]] — установив соответствие между [[принцип Мопертюи — Эйлера|принципом Мопертюи — Эйлера]], применённым к движению частицы, и [[принцип Ферма|принципом Ферма]], применённым к движению связанной с ней волны, он дал квантовое объяснение оптико-механической аналогии). Чуть позже идеи Гамильтона сыграли вдохновляющую роль для исследований [[Шрёдингер, Эрвин|Э. Шрёдингера]], разработавшего [[волновая механика|волновую механику]] и получившего для [[волновая функция|волновой функции]] основное уравнение квантовой механики — [[уравнение Шрёдингера]]<ref name="gliozzi"/><ref>{{cite web |url=http://innosfera.org/node/377 |title=Классические аналогии квантовых явлений |accessdate=2013-11-30 |archive-date=2013-12-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131203052509/http://innosfera.org/node/377 |deadlink=yes }}</ref>.

=== Теоретическая механика и физика ===
[[Файл:W.R.Hamilton President.jpg|мини|left|Уильям Гамильтон, президент Ирландской академии наук (рисунок около 1840 г.)]]

==== Принцип стационарного действия ====
Описанные выше вариационные методы, предложенные Гамильтоном для задач оптики, он вскоре развил в применении к общей задаче механики, где ввёл в рассмотрение аналог «характеристической функции» — «главную функцию», представляющую собой интеграл [[Действие (физическая величина)|действия]]<ref name="lanczos">{{книга|автор=[[Ланцош, Корнелий|Ланцош К.]]|заглавие=Вариационные принципы механики|место=М.|издательство=Мир|год=1965|страниц=408}} — С. 257, 393</ref>.

Основная задача [[Динамика (физика)|динамики]]: рассчитать движение тела или системы тел при заданном распределении действующих сил. При этом на систему тел могут быть наложены [[механическая связь|связи]] (стационарные или меняющиеся с течением времени). В конце XVIII века [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]] в своей «Аналитической механике» уже сформулировал свой вариант вариационного принципа<ref name=RUM>{{статья |автор=[[Румянцев, Валентин Витальевич|Румянцев В. В.]] |ref=Румянцев В. В. |заглавие=Леонард Эйлер и вариационные принципы механики. § 4. Принцип Гамильтона и оптико-механическая аналогия |страницы=191—202 |издание=Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука |издательство=Наука |место=М. |год=1988 }}</ref> и дал [[Уравнения Лагранжа второго рода|решение задачи]] для случая систем с [[голономная связь|голономными связями]].

Гамильтон в 1834—1835 годах опубликовал (в двух статьях «Об общем методе динамики») для механических систем со стационарными голономными связями новый вариационный принцип (известный ныне как '''[[принцип стационарного действия]]''', или '''[[принцип Гамильтона]]'''<ref name="rumyancev">{{книга|автор=[[Румянцев, Валентин Витальевич|Румянцев В. В.]] |часть=Гамильтона — Остроградского принцип|заглавие=Математическая энциклопедия. Т. 1|место=М.|издательство=Сов. энциклопедия|год=1977}} — 1152 стб. — Стб. 856—857</ref>):
: <math> \delta \mathcal{S}\, = \delta \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}(t),\mathbf{\dot{q}}(t), t)\ {\rm d}t \,=\, 0\,\,.</math>
Здесь <math>S</math> — действие, <math>L</math> — [[лагранжиан]] динамической системы, <math>q</math> — [[Степени свободы (физика)|обобщённые координаты]]. Гамильтон положил этот принцип в основу своей [[Гамильтонова механика|«гамильтоновой механики»]]. Он указал способ построения «фундаментальной
функции» ([[Функция Гамильтона|функции Гамильтона]]), из которой [[Частная производная|дифференцированием]] и конечными преобразованиями, без какого-либо [[Интеграл|интегрирования]], получаются все решения вариационной задачи<ref name=RUM/>.

В обобщённых координатах действие по Гамильтону имеет вид:
: <math>S[p,q]\, = \int \big(\sum_i p_i {\rm d}q_i - \mathcal{H}(q,p,t){\rm d}t\big)\, = \int \big(\sum_i p_i \dot q_i -\mathcal{H}(q,p,t)\big) {\rm d}t\,,</math>
где <math>\mathcal{H}(q,p,t) \equiv \mathcal{H}(q_1, q_2,\dots,q_N, p_1, p_2, \dots, p_N,t)</math> — функция Гамильтона данной системы; <math>q \equiv q_1, q_2, \dots, q_N</math> — (обобщённые) координаты,
<math>p \equiv p_1, p_2, \dots, p_N</math> — сопряжённые им [[Обобщённый импульс|обобщённые импульсы]]. Набор координат и импульсов характеризует (в каждый момент времени) динамическое состояние системы и, таким образом, полностью определяет эволюцию (движение) данной системы<ref name=RUM/>. Заметим, что в 1848 году [[Остроградский, Михаил Васильевич|М. В. Остроградский]] распространил принцип Гамильтона на случай систем с нестационарными голономными связями{{sfn|Веселовский И. Н.|1974|с=223}} (после чего распространилось название '''принцип Гамильтона — Остроградского'''<ref name="rumyancev"/>); в 1901 году [[Суслов, Гавриил Константинович|Г. К. Суслов]] и [[Воронец, Пётр Васильевич|П. В. Воронец]] независимо обобщили принцип Гамильтона — Остроградского на случай [[неголономная система|неголономных систем]]<ref>{{книга|заглавие=История механики в России|ответственный=Под ред. А. Н. Боголюбова, И. З. Штокало|место=Киев|издательство=Наукова думка|год=1987|страниц=392}} — С. 297—298</ref>.

==== Канонические уравнения Гамильтона ====
Проварьировав действие <math>S</math> независимо по всем <math>q_i</math> и <math>p_i</math>, Гамильтон в 1835 году получил новую форму уравнений движения механических систем — '''[[канонические уравнения Гамильтона]]'''{{sfn|Веселовский И. Н.|1974|с=224}}:
: <math>\frac{{\rm d}q_{_i}}{{\rm d}t}\;=\;\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_{_i}}\,,\qquad \frac{{\rm d}p_{_i}}{{\rm d}t}\;=\;-\,\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_{_i}}\,,\qquad i\,\,=\,\,1, \dots , N\,\,.</math>
Полученная система канонических уравнений содержит вдвое больше дифференциальных уравнений, чем у Лагранжа, но зато все они первого порядка (у Лагранжа — второго).

==== Значение работ Гамильтона по динамике ====
Предложенная Гамильтоном форма динамики привлекла внимание многих крупных математиков XIX века — [[Якоби, Карл Густав Якоб|К. Якоби]], [[Остроградский, Михаил Васильевич|М. В. Остроградского]], [[Делоне, Шарль-Эжен|Ш. Делоне]], [[Раус, Эдвард Джон|Э. Дж. Рауса]], [[Ли, Софус|С. Ли]], [[Пуанкаре, Анри|А. Пуанкаре]] и др., которые существенно расширили и углубили работы Гамильтона<ref name="lanczos"/>.

Высоко отозвался о работах Гамильтона по динамике член-корреспондент АН СССР [[Сретенский, Леонид Николаевич|Л. Н. Сретенский]], отметивший: «Эти работы легли в основу всего развития аналитической механики в XIX веке»<ref>{{книга|автор=[[Сретенский, Леонид Николаевич|Сретенский Л. Н.]] |часть=Аналитическая механика (XIX в.)|заглавие=История механики с конца XVIII до середины XX века|ответственный=Под общ. ред. [[Григорьян, Ашот Тигранович|А. Т. Григорьяна]], [[Погребысский, Иосиф Бенедиктович|И. Б. Погребысского]]|место=М.|издательство=Наука|год=1972|страниц=411}} — С. 7</ref>. Аналогичное мнение выразил академик РАН [[Румянцев, Валентин Витальевич|В. В. Румянцев]]: «Оптико-механическая аналогия Гамильтона определила на столетие прогресс аналитической механики»<ref name=RUM/>. По мнению профессора [[Полак, Лев Соломонович|Л. С. Полака]], это была «теория, почти не имеющая аналогов в механике по общности и абстрактности», открывшая колоссальные возможности в механике и смежных науках{{sfn |Полак Л. С.|1994|с=495, 506 }}. Академик [[Арнольд, Владимир Игоревич|В. И. Арнольд]] следующим образом охарактеризовал возможности, открывшиеся после появления гамильтоновой механики<ref>{{книга|автор=Арнольд В. И. |заглавие=Математические методы классической механики|место=М.|издательство=Наука|год=1974 |страницы=136}}</ref>:
{{начало цитаты}}
Гамильтонова точка зрения позволяет исследовать до конца ряд задач механики, не поддающихся решению иными средствами (например, задачу о [[Гравитация|притяжении]] двумя неподвижными центрами и задачи о [[Геодезическая линия|геодезических]] на трёхосном [[эллипсоид]]е). Ещё большее значение гамильтонова точка зрения имеет для приближённых методов [[Теория возмущений|теории возмущений]] ([[небесная механика]]), для понимания общего характера движения в сложных механических системах ([[Эргодичность|эргодическая теория]], [[статистическая механика]]) и в связи с другими разделами математической физики (оптика, квантовая механика и т. п.).
{{конец цитаты}}

Подход Гамильтона оказался высоко эффективным во многих [[Математическая модель|математических моделях]] физики. На этом плодотворном подходе основан, например, многотомный [[Курс теоретической физики Ландау и Лифшица|учебный курс «Теоретическая физика»]] [[Ландау, Лев Давидович|Ландау]] и [[Лифшиц, Евгений Михайлович|Лифшица]]. Первоначально вариационный принцип Гамильтона был сформулирован для задач механики, но при некоторых естественных предположениях из него выводятся [[уравнения Максвелла]]<ref>{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988}} Глава IV. Уравнения электромагнитного поля.</ref> [[Электромагнитное поле|электромагнитного поля]]. С появлением [[Теория относительности|теории относительности]] оказалось, что этот принцип строго выполняется и в [[Релятивистская механика|релятивистской динамике]]<ref>{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988}} § 8. Принцип наименьшего действия.</ref>. Его эвристическая сила существенно помогла разработке [[Квантовая механика|квантовой механики]], а при создании [[Общая теория относительности|общей теории относительности]] [[Давид Гильберт]] успешно применил гамильтонов принцип для вывода [[Уравнения Эйнштейна|уравнений гравитационного поля]] (1915 год)<ref>''Визгин В. П.'' [https://ufn.ru/ru/articles/2001/12/d/ Об открытии уравнений гравитационного поля Эйнштейном и Гильбертом (новые материалы)] {{Wayback|url=https://ufn.ru/ru/articles/2001/12/d/ |date=20201027234819 }} // ''[[УФН]]'', № 171 (2001). — С. 1347</ref>. Из сказанного следует, что принцип наименьшего действия Гамильтона занимает место среди коренных, базовых законов природы — наряду с [[Закон сохранения энергии|законом сохранения энергии]] и [[Начала термодинамики|законами термодинамики]].

==== Другие работы в области механики ====
[[Файл:Годограф.svg|thumb|Годограф скорости]]
Гамильтону также принадлежит введение в механику понятия [[годограф]]а (1846—1847 годы) — наглядного представления изменений величины и направления вектора с течением времени. Теория годографа была развита Гамильтоном для произвольной векторной функции скалярного аргумента{{sfn|Александрова Н. В.|1982|с=209}}; так именуется линия, описываемая при изменении аргумента концом вектора с началом в неподвижном полюсе. В [[кинематика|кинематике]] чаще всего имеют дело с годографом [[скорость|скорости]] точки<ref>{{книга|автор=Бутенин Н. В., Лунц Я. Л., Меркин Д. Р.|заглавие=Курс теоретической механики. Т. I: Статика и кинематика. 3-е изд|место=М.|издательство=Наука|год=1979|страниц=272}} — С. 145, 160—161</ref><ref>{{cite web|url=http://www.du.edu/~jcalvert/phys/hodo.htm|title=The Hodograph|author=Dr. James B. Calvert|work=University of Denver|accessdate=2013-12-01|deadlink=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070610020638/http://www.du.edu/~jcalvert/phys/hodo.htm|archivedate=2007-06-10}}</ref>.

Гамильтон доказал красивую теорему (относящуюся уже к [[динамика (физика)|динамике]]): в случае движения по орбите под действием [[Классическая теория тяготения Ньютона|ньютоновского тяготения]] годограф скорости всегда является окружностью<ref name=ALEX/>.

== Мировоззрение и личные качества ==

=== Черты характера ===
Как собственные блестящие способности, так и неудачная личная жизнь вызвали в Гамильтоне непреодолимое увлечение творческим научным трудом. Он работал по 12 и более часов в день, забывая о еде. Как-то составил себе шутливую эпитафию: «Я был трудолюбивый и правдолюбивый»<ref>{{статья|автор=Scott Bar Ε. |заглавие=Anniversaries in 1965 of interest to physics |ссылка=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-physics_1965-02_33_2/page/76 |издание=American Journal of Physics|год=1965|том=33|номер=2|страницы=76—91}}</ref>.

Вёл активную переписку с коллегами и литераторами, из которой особенный интерес представляют письма к одному из создателей [[Математическая логика|математической логики]] [[Морган, Огастес де|Августу де Моргану]]. По каким-то причинам он ни разу не обменивался письмами с крупнейшими математиками того времени ([[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]], [[Коши, Огюстен Луи|Коши]], [[Риман, Георг Фридрих Бернхард|Риман]] и др.)<ref>{{статья|автор=Lánczos С. |заглавие=William Rowan Hamilton — an appreciation|издание=American scientist |год=1967 |том=55 |выпуск=2 |ссылка=https://www.jstor.org/discover/10.2307/27836817?uid=3738936&uid=2129&uid=2&uid=70&uid=4&sid=21103020213827 |pages=129—143}}</ref>. Доставка в Ирландию иностранных научных журналов была нерегулярной, и в письмах Гамильтон жаловался на трудности ознакомления с новейшими математическими достижениями. В 1842 году Гамильтон побывал в Англии на научном семинаре и встретился с видным продолжателем своих работ [[Якоби, Карл Густав Якоб|Карлом Якоби]], который позже назвал Гамильтона «Лагранжем этой страны»{{sfn |Полак Л. С.|1994|с=507—508 }}.

=== Философские и религиозные взгляды ===
Судя по письмам и заметкам Гамильтона, он живо интересовался [[философия|философией]] и особенно ценил [[Беркли, Джордж|Беркли]] и [[Кант, Иммануил|Канта]]{{sfn|Погребысский И. Б.|1966|с=189}}. Он не верил, что открытые нами законы природы адекватно отражают реальные закономерности. Научная модель мира и реальность, писал он, «интимно и чудесно связаны вследствие последнего единства, субъективного и объективного, в Боге, или, говоря менее специально и более религиозно, благодаря святости обнаружений, которые ему самому угодно было совершить во Вселенной для человеческого интеллекта». В соответствии с Кантом, Гамильтон считал научные представления порождениями человеческой интуиции{{sfn |Полак Л. С.|1994|с=466—469 }}.

Гамильтон был искренне верующим человеком, активным членом консервативного [[Оксфордское движение|«Оксфордского движения»]] в [[Англиканство|англиканстве]], был даже избран церковным старостой своего округа. В 1840-е годы он опубликовал в научных журналах статьи по двум религиозным проблемам: расчёт [[Равноденствие|равноденствия]] в год [[Первый Никейский собор|Никейского собора]] и оценка времени [[Вознесение Господне|вознесения]] [[Иисус Христос|Христа]] на небо{{sfn |Полак Л. С.|1994|с=471 }}.

=== Методология научного исследования ===
Работая над основами математической оптики, Гамильтон пришёл к важным выводам [[методология науки|методологического]] характера. Опубликованные уже в XX веке рукописи Гамильтона<ref>{{книга|автор=Hamilton W. R. |заглавие=The Mathematical Papers. Vol. I. Geometrical Optics|место=Cambridge|издательство=Cambridge University Press|год=1931|allpages=xxviii + 534}}</ref> показывают, что к своим общим результатам в оптике он пришёл на основе кропотливого анализа частных случаев, после чего последовала тщательная отделка изложения, практически полностью скрывшая путь, по которому двигался автор{{sfn|Погребысский И. Б.|1966|с=184}}.

Свою научно-методологическую концепцию Гамильтон изложил в 1833 году в статье «Об общем методе определения путей света и планет с помощью коэффициентов характеристической функции». В ней он писал, что всякая физическая наука имеет два различных направления развития — [[индуктивное умозаключение|индуктивное]] и [[дедуктивное умозаключение|дедуктивное]]: «В каждой физической науке мы должны восходить от фактов к законам путём индукции и анализа и нисходить от законов к следствиям путём дедукции и синтеза»<ref>{{книга|автор=Hamilton W. R. |заглавие=The Mathematical Papers. Vol. I. Geometrical Optics|место=Cambridge|издательство=Cambridge University Press|год=1931|allpages=xxviii + 534}} — P. 315</ref>. При этом для успешного применения математических методов дедуктивный подход должен опираться на общий метод, исходить из одной центральной идеи. Гамильтон подробно обосновал целесообразность принять для оптики в качестве общего закона закон наименьшего (стационарного) действия, а в конце статьи обсудил перспективы аналогичного подхода в механике и астрономии{{sfn|Погребысский И. Б.|1966|с=192—195}}.

== Память ==
Множество понятий и утверждений в науке связано с именем У. Р. Гамильтона.
* [[Оператор набла|Оператор Гамильтона]]
* [[Гамильтона–Якоби уравнение]]
* [[Гамильтониан (квантовая механика)]]
* [[Гамильтонов граф]]
* [[Гамильтонова механика]]
* [[Параметры Родрига — Гамильтона]]
* [[Принцип Гамильтона]]
* [[Теорема Гамильтона — Кэли]]
* [[Уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана]]
* [[Уравнения Гамильтона]]
* [[Функция Гамильтона]]
В честь учёного назван [[Ударный кратер|кратер]] [[Гамильтон (лунный кратер)|Гамильтон]] на [[Видимая сторона Луны|видимой стороне]] [[Луна|Луны]].

В Ирландии два научных института названы в честь величайшего математика страны:
* Гамильтоновский институт при Национальном университете (''The Hamilton Institute at the National University of Ireland'')<ref>{{cite web|url=http://www.hamilton.ie/|title=Hamilton Institute, National University of Ireland|lang=en|accessdate=2013-11-29|archive-date=2016-12-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20161214111308/http://www.hamilton.ie/|deadlink=no}}</ref>, [[Мейнут]].
* Гамильтоновский институт математики (''Hamilton Mathematics Institute'') при дублинском Тринити-колледже<ref>{{cite web|url=http://www.hamilton.tcd.ie/|title=Hamilton Mathematics Institute, TCD|lang=en|accessdate=2013-11-29|archive-date=2015-12-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20151231173230/http://www.hamilton.tcd.ie/|deadlink=no}}</ref>.
В 2005 году научная общественность многих стран отметила 200-летие Уильяма Гамильтона; правительство Ирландии объявило этот год «годом Гамильтона», а Центральный банк Ирландии выпустил памятную монету достоинством 10 евро<ref>{{cite web|url=http://www.thefamouspeople.com/profiles/sir-william-rowan-hamilton-552.php|title=Sir William Rowan Hamilton Biography|accessdate=2013-12-07|archive-date=2013-12-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20131211220949/http://www.thefamouspeople.com/profiles/sir-william-rowan-hamilton-552.php|deadlink=no}}</ref>.

== Труды в русском переводе ==
* ''Гамильтон У. Р.'' [http://publ.lib.ru/ARCHIVES/G/GAMIL%27TON_Uil%27yam_Rouen/_Gamil%27ton_U.R..html Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы]. — {{М.}}: Наука, 1994. (Серия: Классики науки). — 560 с.
** ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
*** Об одном взгляде на математическую оптику (9).
*** Третье дополнение к «Опыту теории систем лучей» (10).
*** О некоторых результатах, проистекающих из взгляда на характеристическую функцию в оптике (166).
** ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА
*** Исследования по динамике света (175).
*** Исследования о колебании, связанном с теорией света (177).
** ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ
*** Об общем методе представления путей света и планет частными производными характеристической функции (184).
*** О приложении к динамике общего математического метода, ранее приложенного к оптике (210).
** ДИНАМИКА
*** Об общем методе в динамике, посредством которого изучение движений всех свободных систем притягивающихся или отталкивающихся точек сводится к отысканию и дифференцированию одного центрального соотношения, или характеристической функции (215).
*** Второй очерк об общем методе в динамике (287).
** КВАТЕРНИОНЫ
*** О кватернионах, или о новой системе мнимых величин в алгебре (345).
*** Предисловие к «Лекциям о кватернионах» (392).
** ДОПОЛНЕНИЯ
*** Из письма У. Р. Гамильтона Дж. Гершелю (439).
*** Письмо У. Р. Гамильтона Джону Т. Грэйвсу, эсквайру (442).
** ПРИЛОЖЕНИЯ
*** ''[[Полак Л. С.]]'' Уильям Роуэн Гамильтон (1805—1865) (457).
*** ''Александрова Н. В.'' Исчисление кватернионов Гамильтона (519).
** Комментарии, библиография, указатель имён.

См. [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Papers.html список математических трудов Гамильтона], там же ссылки на полный оригинальный текст этих его трудов в форматах (на выбор) [[TeX|Plain TeX]], [[DVI (TeX)|DVI]], [[PostScript]], [[PDF]].

== Примечания ==
{{примечания|3}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Александрова Н. В. |заглавие=Формирование основных понятий векторного исчисления // ''Историко-математические исследования''. Вып. XXVI|место=М.|издательство=Наука|год=1982|страниц=336|ref=Александрова Н. В.}} — С. 205—235.
* {{книга |часть=Гамильтон Уильям Роуан |автор=Боголюбов А. Н.
  |заглавие=Математики. Механики. Биографический справочник
  |ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/istoria/BMM.djvu
  |место=Киев |издательство=Наукова думка |год=1983 |страниц=639 |ref=Боголюбов А. Н.}}
* {{книга|автор=[[Веселовский, Иван Николаевич|Веселовский И. Н.]]|заглавие=Очерки по истории теоретической механики|место=М.|издательство=Высшая школа|год=1974|страниц=287|ref=Веселовский И. Н.}}
* {{книга |автор=[[Клейн, Феликс|Клейн Ф.]] |заглавие=Лекции о развитии математики в XIX столетии
  |ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/razvitie.djvu
  |том=I |издательство=ГОНТИ |место=М.-Л. |год=1937 |страниц=432 |ref=Клейн Ф.}}
* {{статья |автор=Крамар Ф. Д. |заглавие=Кватернионы в ранних работах Гамильтона
  |издание=История и методология естественных наук |выпуск=V (математика) |год=1966
  |место=М. |издательство=МГУ |страницы=175—184}}
* {{книга |заглавие=Математика XIX века. Том I. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей
  |ответственный=Под ред. [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогорова]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]] |место=М. |издательство=Наука |страниц=255 |год=1978 |ref=Математика XIX века. Том I}}
* {{книга |заглавие=Математика XIX века. Том II. Геометрия. Теория аналитических функций
  |ответственный=Под ред. [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогорова]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]] |место=М. |издательство=Наука |страниц=269 |год=1981 |ref=Математика XIX века. Том II}}
* {{книга|автор=[[Погребысский, Иосиф Бенедиктович|Погребысский И. Б.]] |заглавие=От Лагранжа к Эйнштейну: Классическая механика XIX века|место=М.|издательство=Наука|год=1966|страниц=327|ref=Погребысский И. Б.}}
* {{книга |автор=[[Полак Л. С.]] |заглавие=Уильям Гамильтон, 1805—1865 |место=М. |издательство=Наука |год=1993 |страниц=270
  |isbn=5-02-000216-X |ref=Полак Л. С.}}
** {{книга |автор=Полак Л. С. |часть=Уильям Гамильтон, 1805—1865 |ref=Полак Л. С.
  |заглавие=''Гамильтон У. Р.'' Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы |издательство=Наука
  |место=М. |год=1994 |серия=Классики науки }}
* {{статья|автор=Полак Л. С.
 |заглавие=Уильям Роуэн Гамильтон (к 150-летию со дня рождения)
 |издательство=АН СССР
 |издание=Труды Института истории естествознания
 |год=1956
 |том=15 (История физ.—мат. наук)
 |страницы=206—276
 |ref=Полак Л. С.
}}
* {{книга |автор=[[Стиллвелл, Джон|Стиллвелл Дж.]] |заглавие=Математика и ее история |ref=Стиллвелл Д.
  |место=Москва-Ижевск |издательство=Институт компьютерных исследований |год=2004 |страниц=530}}
* {{книга|автор=Стройк Д. Я. 
 |заглавие=Краткий очерк истории математики
 |издание=4-е изд
 |место=М.
 |издательство=Наука
 |год=1984
 |страниц=283
 |ref=Стройк Д. Я.
}}
* {{Книга:Храмов Ю. А.:Физики|часть = Гамильтон Уильям Роуан (Hamilton William Rowan)|с =73—74}}
* {{книга |автор=Graves, Robert Perceval.
 |заглавие=Life of Sir William Rowan Hamilton
 |издательство=Dublin University Press
 |год=1882—1889
}}
** [https://archive.org/details/lifeofsirwilliam01gravuoft Volume I] {{nbsp|3}} [https://archive.org/details/lifeofsirwilliam02gravuoft Volume II] {{nbsp|3}} [https://archive.org/details/lifeofsirwilliam03gravuoft Volume III]

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* {{ВТ-ЭСБЕ|Гамильтон, Вильям Роуэн}}
* {{Сотрудник РАН|50000|Уильяма Роуэна Гамильтона}}
* {{cite web |author=Стюарт, Иэн. |url=http://elementy.ru/lib/431166?page_design=print
  |title=«Истина и красота». Всемирная история симметрии. Глава из книги |accessdate=2013-12-09 }}
* {{cite web |url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton|title=Мемориальный сайт У. Гамильтона
  |lang=en|accessdate=2013-11-27 }}
* {{cite web |url=http://www.hamilton2005.ie/ |lang=en |accessdate=2013-11-27 |title=Мемориальный сайт, посвящённый празднованию 200-летия У. Гамильтона |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130616062320/http://www.hamilton2005.ie/ |archivedate=2013-06-16 |deadlink=yes }}
* {{MacTutor Biography|id=Hamilton}}
* {{cite web |url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Addend/Addend.html |ref=Sir W. Rowan Hamilton
  |title=Sir W. Rowan Hamilton and the dictionary of national biography |lang=en|accessdate=2013-11-29 }}

{{ВС}}
{{Королевские астрономы Ирландии}}
{{wikidata/Ancestors}}
{{Избранная статья|Физика|Математика|Учёный}}

[[Категория:Гамильтоны|Уильям Роуэн]]
[[Категория:Астрономы XIX века]]
[[Категория:Члены-корреспонденты Петербургской академии наук]]
[[Категория:Иностранные члены Национальной академии наук США]]
[[Категория:Члены Ирландской королевской академии]]
[[Категория:Выпускники Тринити-колледжа (Дублин)]]
[[Категория:Члены Прусской академии наук]]
[[Категория:Члены Американской академии искусств и наук]]
[[Категория:Награждённые Королевской медалью]]
[[Категория:Члены-корреспонденты Французской академии наук]]
[[Категория:Президенты Ирландской королевской академии]]
[[Категория:Награждённые медалью Каннингема]]
[[Категория:Эндрюсовский профессор астрономии в Тринити-колледже (Дублин)]]