Просмотр кода страницы Гауссовы целые числа

[[Файл:Gaussian integer lattice.svg|thumb|217px|<center>Решётка гауссовых чисел на комплексной плоскости</center>]]
'''Га́уссовы це́лые чи́сла''' ('''гауссовы числа''', '''целые комплексные числа''') — это [[комплексные числа]], у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа{{sfn |Математическая энциклопедия|1977|name=MATH }}.

Примеры: <math>1+2i;\quad -4+11i;\quad 4i;\quad 5;\quad 1-i</math>.

Впервые введены [[Гаусс, Карл Фридрих|Гауссом]] в монографии «Теория биквадратичных вычетов» (1828—1832){{sfn |Гаусс К. Ф.|1959|с=655—754}} {{sfn |Математика XIX века. Том I: Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей|1978|с=88—92|name=XIX }}. Множество гауссовых целых чисел принято обозначать <math>\mathbb{Z}[i],</math> отражая тем самым тот факт, что оно получается из множества целых чисел <math>\mathbb{Z}</math> добавлением в него [[Мнимая единица|мнимой единицы]] <math>i</math> и комбинаций её с целыми числами. Свойства гауссовых чисел похожи на свойства обычных целых чисел, однако имеются и существенные отличия.

== Общие свойства ==

=== Определение и классификация ===
Формальное определение:
: <math>\mathbb{Z}[i] = \{a+bi \mid a,b\in \mathbb{Z} \}</math>.
Множество <math>\mathbb{Z}[i]</math> содержит множество обычных целых чисел <math>\mathbb{Z}</math> и представляет собой его расширение{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=146}}. Сумма, разность и произведение гауссовых чисел являются гауссовыми числами; для них, как и для целых чисел, сохраняются свойства [[Ассоциативная операция|ассоциативности]], [[Коммутативная операция|коммутативности]] и [[Дистрибутивность|дистрибутивности]] — такая алгебраическая структура называется в [[Общая алгебра|общей алгебре]] [[Коммутативное кольцо|коммутативным кольцом]]{{sfn |Айерлэнд К., Роузен М.|1987|с=23}}. Ввести в этом комплексном кольце [[Упорядоченное кольцо|упорядоченность]], согласованную с порядком [[Вещественное число|вещественных чисел]], невозможно.

[[Сопряжённое число|Сопряжённое]] к гауссовому числу <math>a+bi</math> есть также гауссово число <math>a-bi</math>.

Каждое гауссово число <math>z=a+bi</math> удовлетворяет квадратному уравнению:
: <math>(z-a)^2+b^2=0</math>
Поэтому гауссово число есть [[целое алгебраическое число]].

=== Норма ===
Норма для гауссова числа <math>a + bi</math> определяется как квадрат его [[Абсолютная величина|модуля]]{{sfn |Окунев Л. Я.|1941|с=27—28}}:
: <math>N \left(a+bi \right) = a^2+b^2 = (a+bi)\overline{(a+bi)}</math>.

Свойства нормы{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=147—149|name=KF148 }}:
* Норма равна нулю только для нуля. В остальных случаях норма — положительное целое число.
* Нормы [[Комплексное число|сопряжённых чисел]] совпадают.
* Норма обычного целого числа равна его квадрату.
* Если норма нечётна, то она имеет вид <math>4 n + 1</math>, то есть при делении её на 4 получается остаток 1. Никакое гауссово число не может иметь норму вида <math>4 n + 3</math>.

Норма, как и модуль, обладает важным свойством [[мультипликативность|мультипликативности]]<ref name=KF148/>:
: <math>N(u\cdot v) = N(u)\cdot N(v)</math>
Отсюда следует<ref name=OKU29/>, что обратимыми элементами кольца ([[Обратимый элемент|делителями единицы]]) являются те элементы, у которых норма равна 1, то есть <math>\{1; -1; i; -i \}</math>.

Два гауссовых числа называются ассоциированными, если одно получается из другого умножением на делитель единицы. Легко видеть, что ассоциированность — [[отношение эквивалентности]]<ref name=OKU29/>. Пример: гауссовы числа <math>1+i</math> и <math>1-i</math> ассоциированы, поскольку:
: <math>1+i = i(1-i)</math>.
У каждого ненулевого гауссова числа есть три ассоциированных с ним. Нормы всех четырёх ассоциированных между собой чисел совпадают.

== Теория делимости ==

=== Деление нацело ===
Деление нацело гауссовых чисел определяется обычным образом<ref name=KF148/>:
{{рамка}}
Говорят, что гауссово число <math>u</math> делится (нацело) на гауссово число <math>v</math>, если существует третье гауссово число <math>q</math> такое, что <math>u=vq</math>. Обозначение: <math>v \mid u</math>.
{{конец рамки}}
Произношение: один из трёх равносильных вариантов.
* <math>u</math> делится на <math>v</math>;
* <math>v</math> делит <math>u</math>;
* <math>v</math> — делитель <math>u</math>.
Используются традиционные термины: [[делимое]] или [[кратное]] (<math>u</math>), [[делитель]] (<math>v</math>) и [[Деление (математика)|частное от деления]] (<math>q</math>). Количество делителей гауссова числа всегда конечно, количество кратных бесконечно.

Пример: число 2 делится нацело на <math>1+i</math>, потому что <math>2=(1+i)(1-i)</math>.

Все гауссовы числа делятся на делители единицы, поэтому любое гауссово число, отличное от делителей единицы, имеет как минимум 8 делителей: 4 делителя единицы и 4 их произведения на само это число. Эти делители называются '''тривиальными'''{{sfn |Окунев Л. Я.|1941|с=32}}.

Деление нацело в <math>\mathbb{Z}[i]</math> по своим свойствам похоже на аналогичное деление целых чисел. Некоторые специфические для гауссовых чисел особенности{{sfn |Окунев Л. Я.|1941|с=29|name=OKU29 }}<ref name=KF148/>:
* Если гауссово число <math>z</math> делится нацело на обычное целое число, то на это целое число делятся как вещественная, так и мнимая часть <math>z</math>.
* Если <math>u \mid v</math> и <math>v \mid u</math>, то эти числа ассоциированы.
* Если <math>u \mid v</math>, то любое из 3 чисел, ассоциированных с <math>v</math>, делится на любое из 3 чисел, ассоциированных с <math>u</math>.
* Если <math>u</math> делится на <math>v\; (u=vq)</math>, то сопряжённое к делимому число <math>\overline u</math> делится на сопряжённое к делителю <math>\overline v \; (\overline u=\overline v\overline q)</math>.
* Все делители гауссова числа <math>z</math> являются также делителями его нормы <math>N(z)=z \cdot \overline{z}</math>.
* Норма гауссова числа чётна тогда и только тогда, когда это число делится на <math>1+i</math>.
* Если <math>v \mid u</math>, то и норма делимого, в силу мультипликативности, делится нацело на норму делителя. При этом:
:: <math>N\left(\frac{u}{v}\right) = \frac {N(u)} {N(v)}</math>

[[Файл:Gaussian multiples.jpg|мини|240px|Решётка кратных для <math>1+2i</math>]]

=== Геометрическое представление делимости ===
У каждого гауссова числа <math>z</math> есть 4 кратных с той же нормой (и, соответственно, тем же модулем) — это само <math>z</math> и ассоциированные с ним 3 числа, которые получаются последовательным умножением <math>z</math> на <math>i</math>:
: <math>z;\ iz;\ -z;\ -iz</math>
Но умножение на <math>i</math> означает на [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]] поворот [[радиус-вектор]]а числа на 90° против часовой стрелки, причём модуль результата будет тем же. Таким образом, все 4 числа образуют равносторонний крест (выделен красным на рисунке), центр и вершины которого кратны <math>z</math>. Последовательно сдвигая этот крест во все стороны на одну из 4 величин, ассоциированных с <math>z</math>, мы получаем на всей плоскости квадратную решётку, все узлы которой (вершины квадратов) кратны <math>z</math>. Обратно, любое кратное <math>z</math> совпадает с одним из узлов решётки. Ширина каждого квадрата решётки равна <math>|z|</math>. Далее для краткости эта решётка будет называться «решёткой кратных» (или, если требуется уточнение, «{{nobr|<math>z</math>-решёткой кратных}}»).

Пример: на рисунке одним из узлов решётки является число <math>4-2i</math>, кратное <math>1+2i</math>:
: <math>4-2i=-2i(1+2i)</math>.

=== Простые гауссовы числа ===
[[Файл:Gauss-primes-768x768.png|thumb|left|300px|Распределение гауссовых простых чисел на комплексной плоскости]]
[[Файл:Gaussian primes.svg|thumb|300px|Распределение гауссовых простых вблизи нуля]]
{{-}}
'''Простое гауссово число''' — ненулевое число, не имеющее других делителей, кроме тривиальных. Число, не являющееся простым, называется '''составным'''. При этом делители единицы, подобно натуральной единице, не считаются ни простыми, ни составными числами{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=150}}.

Некоторые свойства простых гауссовых чисел:
* Если <math>a+bi</math> — простое гауссово число, то [[Противоположное число|противоположное]] <math>-a-bi</math> и  [[Сопряжённое число|сопряжённое]] к нему <math>a-bi</math> гауссовы числа тоже являются простыми.
* Если простое гауссово число является делителем произведения гауссовых чисел, то оно является делителем по крайней мере одного из сомножителей.
* Норма любого простого гауссова числа, кроме ассоциированных с <math>1+i</math>, всегда нечётна и поэтому имеет вид <math>4n+1</math>.

Натуральное [[простое число]] может не быть гауссовым простым числом. Например, числа 2 и 5 в <math>\mathbb{Z}[i]</math> уже не простые:
: <math>2 = (1+i)(1-i);\quad 5 = (2+i)(2-i)</math>

Разложение гауссовых чисел с нормой от 2 до 100 на простые гауссовы множители см. в таблице [[Факторизация гауссовых чисел]].

=== Взаимно простые числа ===
Если гауссово число <math>w</math> является делителем для двух гауссовых чисел <math>u</math> и <math>v</math>, оно называется их общим делителем. Множество общих делителей двух чисел всегда содержит 4 делителя единицы; если других общих делителей нет, эти числа называются взаимно простыми{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=155|name=KF155 }}.

Отметим, что если нормы гауссовых чисел <math>u, v</math> взаимно просты как целые числа, то и сами числа <math>u, v</math> взаимно просты как гауссовы числа. Обратное неверно: нормы взаимно простых гауссовых чисел могут иметь общие делители — например, <math>5+2i</math> и <math>5-2i</math> взаимно просты, но их нормы совпадают и поэтому не взаимно просты.

Укажем два свойства, аналогичные свойствам целых чисел.
* Если каждое из двух гауссовых чисел <math>u,v</math> взаимно просто с гауссовым числом <math>w,</math> то и их произведение <math>uv</math> тоже взаимно просто<ref name=KF155/> с <math>w</math>.
* Если <math>z|uv</math> и при этом <math>z</math> взаимно просто с <math>u</math>, то{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=156}} <math>z|v</math>.

=== Критерий Гаусса ===
Гаусс указал определяющие признаки простого числа в <math>\mathbb{Z}[i]</math>{{sfn |Окунев Л. Я.|1941|с=41, 44}}.
{{рамка}}
Гауссово число <math>a+bi</math> является простым тогда и только тогда, когда:
* либо одно из чисел <math>a, b</math> нулевое, а другое — целое простое число вида {{s|<math>\pm(4n+3)</math>}};
* либо <math>a, b</math> оба не нули и норма <math>a^2+b^2</math> — простое натуральное число.
{{конец рамки}}
Примеры простых гауссовых чисел:
* к первой части критерия: <math>\pm 3;\ \pm 7;\ \pm 3i</math>;
* ко второй части критерия: <math>1 \pm i;\ 1 \pm 2i;\ 1 \pm 4i;\ 4+5i;\ 2-3i;\ 15+22i</math>.
Некоторые источники для большей ясности разделяют вторую часть критерия на две{{sfn |A classification of gaussian primes|с=10}}:
# Числа, ассоциированные с <math>1+i</math>. Их норма равна 2.
# Числа, норма которых есть простое натуральное число вида <math>4n+1</math>.
Сам Гаусс такого разделения не делал{{sfn |Гаусс К. Ф.|1959|с=698}}.

Следствия:
* Никакое простое натуральное число вида <math>4n+1</math> не может быть простым гауссовым числом. Простые натуральные числа вида <math>4n+3</math> являются и простыми гауссовыми числами.
* Норма простого гауссова числа является либо простым натуральным числом, либо квадратом простого натурального числа{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=158}}.
* Простое натуральное число вида <math>4n+1</math> можно представить как произведение сопряжённых простых гауссовых чисел <math>(a+b i)(a-b i)</math> или, что то же самое, как сумму квадратов <math>a^2+b^2</math>. Этот факт известен как [[Теорема Ферма — Эйлера]]. Именно при исследовании данной темы, а также теории биквадратичных вычетов, Гаусс с успехом применил целые комплексные числа. Обратно, если простое натуральное число представимо в виде суммы натуральных квадратов, то в <math>\mathbb{Z}[i]</math> оно составное и разлагается на два сопряжённых гауссовых простых<ref name=CON9/>.
* Каждое простое гауссово число является делителем одного и только одного простого натурального числа{{sfn |Conrad, Keith|loc=Глава 9|name=CON9 }}. Это значит, что разлагая натуральные простые на гауссовы множители, получаются все гауссовы простые.

=== Разложение на простые множители ===
В <math>\mathbb{Z}[i]</math> имеет место аналог [[основная теорема арифметики|основной теоремы арифметики]]: каждое гауссово число, не являющееся нулём или делителем единицы, разлагается на простые множители, причём это разложение однозначно с точностью до порядка и ассоциированности множителей<ref name=MATH/>{{sfn |Окунев Л. Я.|1941|с=33—34}}.

Пример: <math>5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i)</math>. Множители этих двух, по виду разных, разложений попарно ассоциированы: <math>1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),</math> так что однозначность не нарушается.

Чтобы практически разложить гауссово число <math>z</math> на простые множители, можно использовать приведённое выше свойство: все делители гауссова числа являются также делителями его нормы. При этом норма содержит также «лишние» простые множители, соответствующие сопряжённому к <math>z</math> числу.

Таким образом, начать следует с разложения нормы числа <math>z</math> на простые натуральные множители{{sfn |Conrad, Keith|loc=Глава 6}}.
# Множитель 2, если он присутствует в разложении нормы, разлагается как <math>(1+i)(1-i)</math>. Следует включить в результирующее разложение те из этих множителей (в соответствующей степени), на которые <math>z</math> делится нацело.
# Кроме 2, остальные множители нормы — нечётные. Множитель вида <math>4n+3</math> является простым гауссовым числом, поэтому он делит не только норму <math>N(z)=~z \overline{z}</math>, но и само <math>z</math>. Но тогда этот множитель делит и сопряжённое число <math>\overline{z}</math>. Отсюда вытекает, что множитель вида <math>4n+3</math> входит в разложение нормы всегда в чётной степени, а в разложение самого <math>z</math> — в степени, вдвое меньшей.
# Множитель вида <math>4n+1</math> можно разложить на произведение сопряжённых простых гауссовых чисел (или, что то же самое, на сумму квадратов натуральных чисел). И здесь следует делением выяснить, какой из сомножителей относится к исходному числу, а какой — к сопряжённому.

Например, для разложения на простые множители <math>9+12i</math> (норма — 225) выделяются простые натуральные множители: <math>225=3^2 \cdot 5^2</math>. По предыдущему, <math>5=(2-i)(2+i)</math>. При этом <math>9+12i</math> делится только на <math>2+i</math> и не делится на <math>2-i</math>. Частное от деления <math>9+12i</math> на <math>3(2+i)</math> равно <math>2+i,</math> поэтому окончательный результат:
: <math>9+12i=3\cdot(2+i)^2</math>.

== Теория сравнений ==

=== Сравнения по гауссовому модулю ===
Понятие [[сравнение по модулю|сравнения по модулю]] определяется в <math>\mathbb{Z}[i]</math> аналогично тому, как это делается для целых чисел<ref name=CON7/>:
{{рамка}}
Пусть <math>w</math> — некоторое гауссово число. Два гауссовых числа <math>u, v</math> называются сравнимыми по модулю <math>w</math>, если разность <math>u-v</math> делится (нацело) на <math>w</math>. Запись: <math>u\equiv v\pmod w</math>.
{{конец рамки}}
Свойства сравнений в <math>\mathbb{Z}[i]</math> в основном такие же, как у целых чисел. Отношение сравнимости есть [[отношение эквивалентности]], поэтому <math>\mathbb{Z}[i]</math> разбивается на непересекающиеся [[Сравнение по модулю|классы вычетов]] — каждый такой класс содержит все сравнимые друг с другом (по заданному модулю) гауссовы числа. Для классов, как в случае целых чисел, можно определить сложение и умножение, так что получается [[кольцо вычетов]] по гауссову модулю.

Пример. Возьмём в качестве модуля сравнения <math>1+i</math>. Тогда <math>\mathbb{Z}[i]</math> разбивается на два класса вычетов: числа <math>a+bi</math>, у которых <math>a,b</math> одинаковой чётности, попадут в один класс (содержащий кратные для модуля), а числа с разной чётностью <math>a,b</math> — в другой.

У гауссова сравнения имеются некоторые особенности. Например, если для целых чисел по модулю 3 существуют 3 класса вычетов с представителями <math>0;\ 1;\ 2,</math> то для гауссовых чисел по тому же модулю количество классов значительно больше. Их представители:
: <math>0;\ 1;\ 2;\ i;\ 1 + i;\ 2 + i;\ 2i;\ 1 + 2i;\ 2 + 2i</math>
Как обнаружил Гаусс, кольцо вычетов по модулю <math>a+bi</math> содержит <math>N(a+bi)=a^2+b^2</math> элементов{{sfn |Conrad, Keith|loc=Глава 7|name=CON7 }}. Этот факт вынуждает модифицировать некоторые классические теоремы. Например, [[малая теорема Ферма]] для целых чисел утверждает, что <math>(a^p-a)</math> делится на <math>p</math> для любого простого <math>p</math> и натурального <math>a</math>. Для гауссовых чисел это неверно, даже если ограничиться натуральными значениями <math>p</math>; например, для целых чисел <math>a^3-a</math> всегда делится на 3, а для гауссовых <math>i^3-i=-2i</math>, и это значение на 3 не делится. Модифицированный аналог малой теоремы Ферма формулируется следующим образом<ref name=CON7/>:
{{теорема|
Для простого гауссова числа <math>w=a+bi</math> и любого гауссова числа <math>u</math><br> <math>(u^{N(w)}-u) = (u^{a^2+b^2}-u)</math> делится на <math>w</math>.
}}
На том же примере с <math>w=3; u=i</math> результат: <math>(i^9-i)=0</math> — делится на 3.

Назовём класс вычетов по модулю <math>w,</math> содержащий число <math>u,</math> '''обратимым''', если сравнение <math>ux \equiv 1\pmod w</math> имеет решение относительно <math>x</math>. Класс обратим тогда и только тогда, когда гауссовы числа <math>u</math> и <math>w</math> взаимно просты<ref name=CON7/>. В частности, если модуль сравнений <math>w</math> — гауссово простое число, то каждый ненулевой класс вычетов имеет обратный элемент, а это значит, что классы вычетов по простому модулю в <math>\mathbb{Z}[i]</math>, как и в <math>\mathbb{Z},</math> образуют [[Поле (алгебра)|поле]].

=== Функция Эйлера для гауссовых чисел ===
Введём аналог [[Функция Эйлера|функции Эйлера]] для гауссовых чисел. Определение для целых чисел не годится хотя бы потому, что содержащееся в нём выражение «от <math>1</math> до <math>n</math>» не имеет смысла для комплексных чисел. Новое определение<ref name=CON7/>:
{{рамка}}
Функция Эйлера <math>\varphi(z)</math> для гауссова числа <math>z</math> определяется как число обратимых классов вычетов по модулю <math>z</math>.
{{конец рамки}}
Определённая таким образом функция, как и её прототип для целых чисел, [[Мультипликативная функция|мультипликативна]], поэтому достаточно знать её значения для простых чисел и их натуральных степеней. Если <math>z</math> — простое гауссово число, то<ref name=CON7/>:
: <math>\varphi(z)=N(z)-1; \quad \varphi(z^k)=N(z)^{k-1}(N(z)-1)</math>
Пример: <math>\varphi(3+4i) = \varphi((2+i)^2) = N(2+i)(N(2+i)-1) = 5\cdot 4 = 20</math>.

Теперь можно обобщить приведённую в предыдущем разделе малую теорему Ферма на случай произвольного (не обязательно простого) модуля сравнения, то есть привести аналог [[Теорема Эйлера (теория чисел)|теоремы Эйлера]]<ref name=CON7/>:
{{рамка}}
Если гауссово число <math>z</math> взаимно просто с модулем <math>w,</math>, то:<br>
: <math>z^{\varphi(w)} \equiv 1 \pmod w</math>
{{конец рамки}}

[[Файл:Gaussian congruent.jpg|мини|240px|Сравнение по модулю <math>1+2i</math>]]

=== Геометрическое представление сравнения по модулю ===
Рассмотрим для примера сравнения по модулю <math>w=1+2i</math>. Как сказано в разделе о геометрическом представлении делимости, можно разбить комплексную плоскость на квадраты так, что узлы этой решётки (вершины квадратов) представляют всевозможные комплексные кратные <math>1+2i</math>. Тогда, по определению, числа сравнимы по модулю <math>w</math>, если их разность совпадает с одним из узлов решётки кратных.

Каждый квадрат решётки получается из любого другого квадрата сдвигом (переносом) на величину, кратную <math>w,</math> поэтому разность любой точки квадрата и результата её сдвига тоже кратна <math>w</math>. Отсюда следует окончательный вывод<ref name=CON7/>:
{{рамка}}
Гауссовы числа сравнимы по модулю <math>w</math> тогда и только тогда, когда они занимают одно и то же относительное положение в своих квадратах решётки кратных.
{{конец рамки}}
Например, сравнимы все центры квадратов, или все середины их соответствующих сторон и т. п.

== Деление с остатком ==

=== Определение ===
В кольце <math>\mathbb{Z}[i]</math> можно определить деление с остатком (на любое ненулевое гауссово число), потребовав, чтобы норма остатка была меньше нормы делителя{{sfn |Conrad, Keith|loc=Глава 3}}:
{{рамка}}
Любое гауссово число <math>u</math> можно разделить с остатком на любое ненулевое гауссово число <math>v</math>, то есть представить в виде:
: <math>u = vq + r</math>
где частное <math>q</math> и остаток <math>r</math> — гауссовы числа, причём <math>N(r)<N(v)</math>.
{{конец рамки}}
В качестве частного от деления с остатком можно взять гауссово число, ближайшее к частному от обычного деления комплексных чисел{{sfn |Окунев Л. Я.|1941|с=30—31}}.

Условия «норма остатка меньше нормы делителя» недостаточно для того, чтобы гарантировать однозначность остатка от деления, поэтому в <math>\mathbb{Z}[i]</math> остаток неоднозначен. Например, <math>7+2i</math> можно разделить на <math>3-i</math> тремя способами:
: <math>7+2i = (3-i)(2+i)+i = (3-i)(1+i)+3 = (3-i)(2+2i)+(-1-2i)</math>
Можно гарантировать только то, что все остатки попадают в один класс вычетов по модулю делителя. Впрочем, похожая ситуация имеет место и для обычных целых чисел — например, разделить с остатком 8 на 3 можно двумя способами: <math>8=3\cdot 2 + 2</math> или <math>8=3\cdot 3 - 1</math> (оба остатка по модулю меньше делителя) поэтому в арифметике целых чисел введено дополнительное условие, обеспечивающее однозначность операции: остаток должен быть неотрицательным.

'''Пример'''. Для деления с остатком <math>11+10i</math> на <math>4+i</math> вначале находится частное от обычного комплексного деления:
: <math>\frac{11+10i}{4+i} = \frac{(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)} = \frac{54+29i}{17} \approx 3{,}17+1{,}7i</math>
Ближайшее к результату гауссово число есть <math>3+2i,</math> тогда остаток равен <math>11+10i - (4+i)(3+2i) = 1-i</math>. В итоге:
: <math>11+10i = (4+i)(3+2i) + 1-i</math>

Для гауссовых чисел имеет место аналог [[Китайская теорема об остатках|китайской теоремы об остатках]], поскольку она доказывается с помощью [[Алгоритм Евклида|алгоритма Евклида]].

=== Геометрическое представление ===
Из определения деления с остатком <math>u</math> на <math>v</math> следует, что <math>|r|=|u-vq|</math>, то есть модуль остатка есть расстояние между комплексными числами <math>u</math> и <math>vq</math>. Другими словами, <math>|r|</math> есть расстояние от делимого до одного из узлов {{nobr|<math>v</math>-решётки}} кратных. Требование «норма остатка меньше нормы делителя» эквивалентно условию <math>|r|<|v|</math>. Отсюда вытекает:
{{рамка}}
Деление с остатком <math>u</math> на <math>v</math> имеет столько решений, сколько узлов {{nobr|<math>v</math>-решётки}} кратных находится от делимого на расстоянии меньше <math>|v|</math>.
{{конец рамки}}
[[Файл:Gaussian modulo.jpg|мини|Распределение числа решений задачи деления с остатком]]
В вышеприведённом примере деления <math>7+2i</math> на <math>3-i</math> ближайшими к делимому являются кратные делителя, образующие вершины квадрата решётки, содержащего делимое:
: <math>7+i=(3-i)(2+i)</math>
: <math>4+2i=(3-i)(1+i)</math>
: <math>8+4i=(3-i)(2+2i)</math>
Все они находятся от делимого на расстоянии меньше, чем <math>|v|=\sqrt{10}</math>. Четвёртая вершина квадрата <math>5+5i</math> удалена от делимого больше чем на <math>\sqrt{10}</math>. Поэтому данная задача деления с остатком имеет три решения.

В общем случае, проведя из вершин квадрата <math>v</math>-решётки кратных дуги радиусом <math>|v|,</math> мы получим фигуру, показанную на рисунке. Если делимое находится в центральной области (красная зона), оно удалено от всех вершин менее чем на <math>|v|,</math> и деление с остатком может быть выполнено четырьмя способами. Если делимое находится в одном из «лепестков» (синяя зона), то одна из вершин отпадает, и число решений равно трём. Для белой зоны получаем два решения. Наконец, если делимое совпадает с одной из вершин, то остаток равен нулю, и решение единственно.

=== Наибольший общий делитель ===
Кольцо гауссовых чисел является [[Евклидово кольцо|евклидовым]], и в нём всегда можно определить [[наибольший общий делитель]], определённый однозначно с точностью до делителей единицы{{sfn |Окунев Л. Я.|1941|с=35—36}}.
{{рамка}}
[[Наибольший общий делитель|Наибольшим общим делителем]] НОД<math>(u, v)</math> для гауссовых чисел <math>u</math> и <math>v</math>, хотя бы одно из которых ненулевое, называется их общий делитель, который делится на любой другой общий делитель <math>u</math> и <math>v</math>.
{{конец рамки}}
Эквивалентное определение: НОД<math>(u, v)</math> есть тот общий делитель <math>u, v</math>, у которого норма максимальна{{sfn |Conrad, Keith|loc=Глава 4|name=CON4 }}.

'''Свойства НОД'''
* Если известен некоторый НОД, то любое из трёх чисел, ассоциированных с ним, также будет НОД. В частности. если один из НОД — делитель единицы, то такими же будут и остальные три НОД.
* Гауссовы числа взаимно просты тогда и только тогда, когда их НОД есть делитель единицы.
* Имеет место аналог [[Соотношение Безу|соотношения Безу]]{{sfn |Conrad, Keith|loc=Глава 5|name=CON5 }}:
{{рамка}}
Пусть <math>u, v</math> — гауссовы числа, и хотя бы одно из них не нуль. Тогда существуют такие гауссовы числа <math>x, y</math>, что выполняется соотношение:
: НОД<math>(u, v) = xu + yv</math>
{{конец рамки}}
:: Другими словами, наибольший общий делитель двух гауссовых чисел можно всегда представить как [[линейная комбинация|линейную комбинацию]] этих чисел с гауссовыми коэффициентами.
* Следствие соотношения Безу<ref name=CON5/>: если гауссовы числа <math>u, v</math> взаимно просты, то уравнение <math>xu + yv = 1</math> относительно <math>x, y</math> имеет решение в <math>\mathbb{Z}[i]</math>. Вместо 1 в приведённом уравнении может стоять любой другой делитель единицы, теорема при этом останется верной.

=== Алгоритм Евклида и практическое вычисление НОД ===
Для определения НОД в <math>\mathbb{Z}[i]</math> удобно использовать [[алгоритм Евклида]], вполне аналогичный применяемому для целых чисел. НОД получается в этой схеме как последний ненулевой остаток{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=153—155}}. Алгоритм Евклида можно также использовать для нахождения коэффициентов <math>x, y</math> в соотношении Безу<ref name=CON7/>.

Пример 1. Найдём НОД для <math>32+9i</math> и <math>4+11i</math>.
: Шаг 1: <math>32+9i = (4+11i) (2-2i) + 2-5i</math> (разделили с остатком первое число на второе)
: Шаг 2: <math>4+11i = (2-5i) (-2+i) + 3-i</math> (разделили с остатком предыдущий делитель на остаток предыдущего шага)
: Шаг 3: <math>2-5i = (3-i) (1-i) -i</math> (то же действие)
: Шаг 4: <math>3-i = (-i) (1+3i)</math> (то же действие, деление выполнилось нацело)
Отметим, что на каждом шаге норма остатка монотонно уменьшается. Последний ненулевой остаток равен <math>-i</math>, это делитель единицы, поэтому заключаем, что исследуемые числа взаимно просты.

Пример 2. Найдём НОД для <math>11+3i</math> и <math>1+8i</math>.
: Шаг 1: <math>11+3i = (1+8i) (1-i) +2-4i</math>
: Шаг 2: <math>1+8i = (2-4i) (-1+i) +(-1+2i)</math>
: Шаг 3: <math>2-4i = (-1+2i) (-2)</math> (деление выполнилось нацело)
Последний ненулевой остаток равен <math>-1+2i</math>, это и есть искомый НОД. Последовательно подставляя вместо левых частей равенств правые (начиная с предпоследнего равенства, снизу вверх), получается соотношение Безу для НОД:
: <math>-1+2i = (11+3i)(1-i) + (1+8i)(1+2i)</math>

== Некоторые приложения ==
Гаусс использовал открытую им алгебраическую структуру для глубокого исследования биквадратичных вычетов. Можно указать и другие области успешного применения гауссовых чисел{{sfn |Conrad, Keith|loc=Глава 8|name=CON8 }}. Примечательно, что значительная их часть относится к теории не комплексных, а натуральных чисел.

=== Разложение натуральных чисел на сумму двух квадратов ===
Из критерия Гаусса{{переход|#Критерий Гаусса}} вытекает, что простое натуральное число вида <math>4n+1</math> можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, причём единственным способом. Пример: <math>29=(2+5i)(2-5i)=2^2+5^2</math>.

Разложение натуральных чисел другого вида не всегда возможно — например, <math>15; 19; 27; 103</math> и другие числа вида <math>4n+3</math> нельзя представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Составные числа могут также иметь более одного варианта разложения, например<ref name=CON8/>: <math>65=4^2+7^2=1^2+8^2</math>. Общая теорема: натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда в его [[Основная теорема арифметики|каноническом разложении]] все простые множители вида <math>4n+3</math> входят в чётных степенях<ref name=CON9/>.

Пример: <math>21=3\cdot 7</math> нельзя представить в виде суммы квадратов, потому что число 3 (как и 7) входит в него с нечётной степенью. Но <math>245=5\cdot 7^2</math> представить можно: <math>245=7^2+14^2</math>.

=== Подсчёт числа представлений в виде суммы двух квадратов ===
Число представлений <math>\rho(m)</math> натурального числа <math>m</math> в виде суммы квадратов (или, что то же самое, число гауссовых чисел с нормой <math>m</math>) можно определить следующим образом{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=164—166}}. Разложим <math>m</math> на простые натуральные множители:
: <math>m=2^\lambda p_1^{\lambda_1} p_2^{\lambda_2} \dots  p_r^{\lambda_r} q_1^{\mu_1} q_2^{\mu_2}\dots  q_s^{\mu_s}</math>
Здесь <math>p_i</math> — множители вида <math>4n+1,</math> а <math>q_j</math> — множители вида <math>4n+3</math>. Тогда возможны 3 случая.
# Если хотя бы один показатель степени <math>\mu_j</math> нечётный, число <math>m</math> не может быть представлено в виде суммы квадратов.
# Пусть все <math>\mu_j</math> чётные. Окончательная формула зависит от чётности <math>\lambda_i</math>. Если все они тоже чётные, то формула имеет вид:
: <math>\rho(m)=\frac{1}{2} [(\lambda_1+1)  (\lambda_2+1) \cdots  (\lambda_r+1) + 1 ]</math>
# <li value="3"> Если не все <math>\lambda_i</math> чётные, то формула немного отличается:
: <math>\rho(m)=\frac{1}{2} (\lambda_1+1)  (\lambda_2+1) \cdots  (\lambda_r+1)</math>

=== Теория пифагоровых троек ===
[[Пифагорова тройка]] — это одно из целочисленных решений уравнения:
: <math>x^2+y^2=z^2</math>.
Общее решение уравнения зависит от двух целых параметров <math>m,n</math>:
: <math>x=m^2-n^2; \; y=2mn; \; z=m^2+n^2</math>.
Для генерации пифагоровых троек можно использовать такой приём. Пусть <math>z=a+bi</math> — произвольное гауссово число, у которого обе компоненты <math>a,b</math> ненулевые. Возведя это число в квадрат, получается некоторое другое гауссово число <math>c+di</math>. Тогда тройка <math>\{|c|; |d|; N(z)\}</math> будет пифагоровой<ref name=CON8/>.

Пример: для исходного числа <math>z=17+12i</math> получается пифагорова тройка <math>(145; 408; 433)</math>.

=== Решение диофантовых уравнений ===
Решение многих [[диофантовы уравнения|диофантовых уравнений]] удаётся найти, если привлечь аппарат гауссовых чисел. Например, для уравнения <math>x^2+y^2=2z^2</math> несложные преобразования дают два типа целых взаимно простых решений{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=162—163}}, зависящих от целых параметров <math>a,b</math>:
# <math>x=a^2-2ab-b^2; \; y=a^2+2ab-b^2</math>
# <math>x=-a^2-2ab+b^2; \; y=a^2-2ab-b^2</math>

В 1850 году Виктор Лебег, используя гауссовы числа, исследовал уравнение <math>x^2+1=y^n</math> и доказал его неразрешимость в натуральных числах. Другими словами, среди натуральных чисел вида <math>n^2+1</math> нет ни одного полного куба или иной степени выше второй<ref name=CON8/>.

== Нерешённые проблемы ==
* Найти количество гауссовых чисел, норма которых меньше заданной натуральной константы <math>R</math>. В эквивалентной формулировке эта тема известна как «[[проблема круга Гаусса]]» в [[Геометрия чисел|геометрии чисел]]<ref>{{книга|автор=Conway J. H., Sloane N. J. A.|заглавие=Sphere Packings, Lattices and Groups|издательство=Springer-Verlag|pages=106}}</ref><ref>{{OEIS|id=A000328}}</ref>.
* Найти прямые на комплексной плоскости, содержащие бесконечно много простых гауссовых чисел. Две такие прямые очевидны — это координатные оси; неизвестно, существуют ли другие<ref>{{книга|автор=Ribenboim, Paulo.|заглавие=The New Book of Prime Number Records, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV |ссылка=https://archive.org/details/newbookofprimenu0000ribe|издание=3rd ed| место=New York |издательство=Springer|год=1996|isbn=0-387-94457-5 }}</ref>.
* Вопрос, известный под названием «[[ров Гаусса]]»: можно ли дойти до бесконечности, переходя от одного простого гауссова числа к другому скачками заранее ограниченной длины? Задача поставлена в 1962 году и до сих пор не решена<ref>{{книга|автор=Guy Richard K.|заглавие=Unsolved problems in number theory |ссылка=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr/page/55|издание=3rd ed |место=New York|издательство=Springer|год=2004|isbn=978-0-387-20860-2|pages=55—57}}</ref>.

== Вариации и обобщения ==
[[Файл:Eisenstein integer lattice.png|мини|Треугольная решётка чисел Эйзенштейна]]
Ещё одним исторически важным евклидовым кольцом, похожим по свойствам на целые числа, стали «[[целые числа Эйзенштейна]]».

Гауссовы рациональные числа, обозначаемые <math>\mathbb Q(i)</math> — это комплексные числа вида <math>a+bi</math>, где <math>a, b</math> — [[рациональные числа]]. Это множество замкнуто относительно всех 4 арифметических операций, включая деление, и поэтому является [[Поле (алгебра)|полем]], расширяющим кольцо гауссовых чисел.

== История ==
В 1820-х годах [[Гаусс, Карл Фридрих|Карл Фридрих Гаусс]] исследовал [[биквадратичный закон взаимности]], результатом стала монография «Теория биквадратичных вычетов» (1828—1832). Именно в этом труде целые комплексные числа доказали свою полезность для решения задач [[Теория чисел|теории чисел]], хотя формулировка этих задач никак не связана с комплексными числами. Гаусс писал, что «естественный источник общей теории следует искать в расширении области арифметики»<ref name=XIX/>.

[[Файл:Bendixen - Carl Friedrich Gauß, 1828.jpg|мини|справа|Карл Фридрих Гаусс в 1828 году]]
В книге Гаусса было показано, что новые числа по своим свойствам во многом напоминают обычные целые числа. Автор описал четыре [[Обратимый элемент|делителя единицы]], определил отношение ассоциированности, понятие простого числа, дал критерий простоты и доказал аналоги [[Основная теорема арифметики|основной теоремы арифметики]], [[Малая теорема Ферма|малой теоремы Ферма]]. Далее Гаусс подробно рассмотрел вычеты по комплексному модулю, [[Первообразный корень (теория чисел)|индексы и первообразные корни]]. Главным достижением построенной теории стал биквадратичный закон взаимности, который Гаусс обещал доказать в следующем томе; этот том так и не был опубликован, но в рукописях Гаусса была обнаружена подробная схема строгого доказательства<ref name=XIX/>.

Гаусс использовал введённые им числа также и в других своих трудах, например, по алгебраическим уравнениям{{sfn |Hardy G. H., Wright E. M.|1968|с=189}}. Идеи Гаусса были развиты в трудах [[Якоби, Карл Густав Якоб|Карла Густава Якоба Якоби]] и [[Эйзенштейн, Фердинанд|Фердинанда Готтхольда Эйзенштейна]]. В середине XIX века Эйзенштейн, [[Дирихле, Петер Густав Лежён|Дирихле]] и [[Эрмит, Шарль|Эрмит]] ввели и исследовали обобщённое понятие [[Целое алгебраическое число|целого алгебраического числа]].

Кольцо гауссовых целых чисел было одним из первых примеров алгебраической структуры с непривычными свойствами. Со временем было открыто большое количество структур такого типа, а в конце XIX века появилась [[Общая алгебра|абстрактная алгебра]], изучающая алгебраические свойства отдельно от объектов-носителей этих свойств.

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Айерлэнд К., Роузен М. |издательство=Мир |год=1987 |страниц=416 |ref=Айерлэнд К., Роузен М.
  |заглавие=Классическое введение в современную теорию чисел |место=М. }}
* {{книга|автор=Алфутова Н. Б, Устинов А. В.|издание=3-е изд., испр. и доп |ref=Алфутова Н. Б, Устинов А. В.
  |заглавие=Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ
  |место=М. |издательство=МЦНМО |год=2009 |страниц=336 |isbn=978-5-94057-550-4 }}
* {{книга|автор=Гаусс К. Ф. |заглавие=Труды по теории чисел |ref=Гаусс К. Ф.
  |страницы=695—754 |место=М. |издательство=Изд-во АН СССР |год=1959}}
* {{книга |часть=Гауссово число |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах)
  |место=М. |том=1 |год=1977 |ref=Математическая энциклопедия
  |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}
* {{книга |автор=Калужнин Л. А. |заглавие=Основная теорема арифметики
  |серия=[[Популярные лекции по математике]] |выпуск=47 |место=М. |издательство=Наука |год=1969 |страниц=32 }}
* {{книга |автор=Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.).
  |заглавие=Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей
  |ref=Математика XIX века. Том I: Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей
  |место=М. |издательство=Наука |том=I |страницы= |год=1978 }}
* {{книга |автор=Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К. |место=М. |ref=Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.
  |заглавие=Алгебра и арифметика комплексных чисел. Пособие для учителей
  |издательство=Учпедгиз |год=1939 |страниц=187}}
* {{книга |автор=Окунев Л. Я. |заглавие=Целые комплексные числа |место=М. |год=1941
  |издательство=Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР |страниц=56 |ref=Окунев Л. Я. }}
* {{статья |автор=Сендеров В., Спивак А. |заглавие=Суммы квадратов и целые гауссовы числа
  |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |год=1999 |номер=3 |страницы=14—22
  |ссылка=http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/kv0399senderov.pdf }}
* {{книга |автор=Hardy G. H., Wright E. M.
 |заглавие=An introduction to the theory of numbers
 |издание=4th edition
 |место=Oxford.
 |год=1968
 |издательство=Oxford University Press
 |страниц=421
 |ref=Hardy G. H., Wright E. M.
 |язык=en
 }}

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* {{cite web|url=http://home.pipeline.com/~hbaker1/Gaussian.html|title=Complex Gaussian Integers for 'Gaussian Graphics'|lang=en|accessdate=2013-09-11|archive-date=2006-06-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20060614145143/http://home.pipeline.com/~hbaker1/Gaussian.html|deadlink=yes}}
* {{cite web|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.568.1607&rep=rep1&type=pdf
  |title=A classification of gaussian primes|author=Butler, Lee A.
  |lang=en|ref=A classification of gaussian primes|accessdate=2017-01-16 }}
* {{cite web|url=http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ugradnumthy/Zinotes.pdf
  |title=The gaussian integers|author=Conrad, Keith. |lang=en |accessdate=2013-09-11
  |ref=Conrad, Keith }}

{{ВС}}
{{Алгебраические числа}}
{{Хорошая статья|Математика}}

[[Категория:Комплексные числа]]
[[Категория:Теория колец]]
[[Категория:Алгебраические числа]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Карла Фридриха Гаусса]]
[[Категория:Обобщения целых чисел]]