Просмотр кода страницы Геодезические на эллипсоиде

[[Файл:Long geodesic on an oblate ellipsoid.svg|thumb|200px|Геодезическая на сплюснутом эллипсоиде]]
Изучение '''геодезических на эллипсоиде''' возникло в связи с задачами [[геодезия|геодезии]], а именно с обработкой [[Триангуляция (геодезия)|сетей триангуляции]].
[[Земля|Фигура Земли]] хорошо описывается ''[[эллипсоид|эллипсоидом вращения]]'', слегка сплющенной сферой. ''[[Геодезическая]]'' (геодезическая линия) это кратчайший путь между двумя точками на кривой поверхности, на плоскости он обращается в [[прямая|прямую]]. Таким образом, обработка сети триангуляции на эллипсоиде использует ряд задач сфероидической тригонометрии<ref>{{harv|Эйлер|1755}}</ref>.

Если рассматривать Землю как [[сфера|сферу]], то геодезические являются [[большой круг|большими кругами]] (все из которых замкнуты) и задача сводится к [[сферическая тригонометрия|сферической тригонометрии]]. Однако, {{harvtxt|Ньютон|1687}} показал, что эффект вращения Земли приводит к сжатию, соответственно фигура обращается в сплюснутый эллипсоид вращения, в этом случае только [[экватор]] и [[меридиан]]ы являются простыми замкнутыми геодезическими. Кроме того, кратчайший путь между двумя точками на экваторе необязательно проходит вдоль экватора. Наконец, если эллипсоид преобразовать в [[эллипсоид|трехосный]] (с тремя различными полуосями), то только три геодезических линий будут замкнутыми.

== Геодезические на эллипсоиде вращения ==
Есть несколько способов определения геодезических<ref>{{harv|Гильберт|Кон-Фоссен|1952|pp=220–221}}</ref>. Простое определение — кратчайший путь между двумя точками на поверхности. Однако, в общем случае более полезно определять геодезические как пути с нулевой [[кривизна|геодезической кривизной]], аналог [[прямая|прямых]] на искривленной поверхности. Это определение охватывает геодезические, протяженные так далеко по поверхности эллипсоида (несколько больше половины полуокружности) что другие различные маршруты требуют меньшего расстояния.
Локально эти геодезические все еще идентичны кратчайшему расстоянию между двумя точками.

К концу 18 века эллипсоид вращения (аналогичен термину [[сфероид]]) являлся принятым и используемым приближением [[Земля|фигуры Земли]]. Обработка [[Триангуляция (геодезия)|сетей триангуляции]] влечет за собой редукцию всех измерений к [[эллипсоид|референц-эллипсоиду]] и решению исходной задачи на плоскости как задачи сфероидической тригонометрии<ref>{{harv|Бомфорд|1952|loc=Гл. 3}}</ref><ref>{{harv|Лейк и др.|2015|loc=§4.5}}</ref>.

[[Файл:Geodesic problem on an ellipsoid.svg|thumb|right|Рис. 1. Геодезическая ''AB'' на эллипсоиде вращения. ''N'' — северный полюс. ''EFH'' лежит на экваторе.]]
Возможно свести все различные геодезические задачи к двум типам. Рассмотрим две точки: точка {{math|''A''}} с широтой {{math|&phi;<sub>1</sub>}} и долготой {{math|&lambda;<sub>1</sub>}} и {{math|''B''}} с широтой {{math|&phi;<sub>2</sub>}} и долготой {{math|&lambda;<sub>2</sub>}} (см Рис. 1). Соединяющая их геодезическая (от {{math|''A''}} к {{math|''B''}}) это {{math|''AB''}}, с длиной {{math|''s''<sub>12</sub>}}, у которой есть [[Азимут (геодезия)|азимуты]] {{math|&alpha;<sub>1</sub>}} и
{{math|&alpha;<sub>2</sub>}} в двух конечных точках.{{refn|В данном случае {{math|&alpha;<sub>2</sub>}} является ''прямым'' азимутом в {{math|''B''}}.
Некоторые авторы рассчитывают вместо этого ''обратный'' азимут; он находится как {{math|&alpha;<sub>2</sub> &plusmn; &pi;}}.}} Под двумя геодезическими задачами обычно понимают следующее:
# ''Прямая геодезическая задача'' или ''первая геодезическая задача'', в которой, имея исходные {{math|''A''}}, {{math|&alpha;<sub>1</sub>}}, и {{math|''s''<sub>12</sub>}}, определяют {{math|''B''}} и {{math|&alpha;<sub>2</sub>}};
# ''Обратная геодезическая задача'' или ''вторая геодезическая задача'', в которой даны {{math|''A''}} и {{math|''B''}}, и требуется найти {{math|''s''<sub>12</sub>}}, {{math|&alpha;<sub>1</sub>}}, и {{math|&alpha;<sub>2</sub>}}.
Как видно из Рис. 1, решение этих проблем включает в себя решение треугольника {{math|''NAB''}} где дан один угол, {{math|&alpha;<sub>1</sub>}} для прямой задачи и {{math|&lambda;<sub>12</sub> {{=}} &lambda;<sub>2</sub> &minus; &lambda;<sub>1</sub>}} для обратной задачи, а также две его смежные стороны.
Для сферы решение этих главных задач сводится к простым задачам [[Сферическая тригонометрия|сферической тригонометрии]], решение которых сводится к [[Сферический треугольник|формулам для решения сферического треугольника]]. (См. статью [[Большой круг]].)

Для эллипсоида вращения, характерная константа, определяющая геодезическую была найдена {{harvtxt|Клеро|1735}}. А систематическое решение для путей геодезических было дано Лежандром<ref>{{harvtxt|Лежандр|1806}}</ref> и Ориани<ref>{{harvtxt|Ориани|1806}} (а также последующими работами в {{harvtxt|Ориани|1808}} и {{harvtxt|Ориани|1810}})</ref>.
Полное решение прямой задачи (в комплексе с вычислительными таблицами и примером вычислений) дал {{harvtxt|Бессель|1825}}.

На протяжении 18 века геодезические, как правило, называли «кратчайшими линиями».
Термин «геодезическая линия» был введен Лапласом<ref>{{harvtxt|Лаплас|1799a}}</ref>:
<blockquote>
Nous désignerons cette ligne sous le nom de ''ligne géodésique'' [Мы будем называть эту линию ''геодезическая линия''].
</blockquote>
Этот термин вошел в английский язык как «геодезическая линия» или «геодезическая», как пример<ref>{{harv|Хаттон|1811}}</ref>,
<blockquote>
A line traced in the manner we have now been describing, or deduced from trigonometrical measures, by the means we have indicated, is called a ''geodetic'' or ''geodesic line:'' it has the property of being the shortest which can be drawn between its two extremities on the surface of the Earth; and it is therefore the proper itinerary measure of the distance between those two points.
[Линия, пролегающая в форме, которую мы описали, или выведенная из тригонометрических измерений, как мы указали, называется ''геодезической'' или ''геодезической линией:'' она имеет свойство быть самой короткой, которую можно провести между двумя пунктами на поверхности Земли; и, следовательно, истинным путем измерения расстояния между двумя этими пунктами.]
</blockquote>
В применении к другим областям, термин ''геодезическая линия'', часто сокращается до ''геодезической'', которой было отдано предпочтение.

Этот раздел рассматривает задачу на эллипсоиде вращения (как сплюснутого, так и вытянутого). Задача на трехосном эллипсоиде рассматривается в следующем разделе.

=== Уравнения для геодезической ===
[[Файл:Differential element of a meridian ellipse.svg|thumb|left|Рис.2.Дифференциальный элемент меридионального эллипса.]]
[[Файл:Differential element of a geodesic on an ellipsoid.svg|thumb|right|Рис.3.Дифференциальный элемент геодезической на эллипсоиде.]]
Здесь выведены уравнения для геодезической;
Данный вывод объединяет уравнения Бесселя<ref>{{harvtxt|Бессель|1825}}</ref>, Йордана-Эггерта<ref>{{harvtxt|Йордан|Эггерт|1941}}</ref>, Багратуни<ref>{{harvtxt|Багратуни|1962|loc=§15}}</ref>, Ганшина<ref>{{harvtxt|Ганшин|1967|loc=Chap. 5}}</ref>, Краковски-Томпсона<ref>{{harvtxt|Краковски|Томпсон|1974|loc=§4}}</ref>, Раппа<ref>{{harvtxt|Рапп|1993|loc=§1.2}}</ref>, Джекелея<ref>{{harvtxt|Джекелей|2012}}</ref> и Бора-Странга<ref>{{harvtxt|Бор|Странг|2012}}</ref>.

Рассмотрим эллипсоид вращения с экваториальным радиусом {{math|''a''}} и полярным радиусом {{math|''b''}}. Определим сжатие {{math|''f'' {{=}} (''a'' &minus; ''b'')/''a''}}, эксцетриситет {{math|''e'' {{=}} <math>\sqrt{a^2-b^2}/a</math>}}, и второй эксцентриситет {{math|''e''&prime; {{=}} <math>\sqrt{a^2-b^2}/b</math> {{=}} ''e''/(1 &minus; ''f'')}}. (В большинстве случаев, в геодезии применяется сплюснутый эллипсоид {{math|''a'' &gt; ''b''}}; однако, в теории применяется вытянутый эллипсоид, {{math|''a'' &lt; ''b''}}, причем в этом случае {{math|''f''}}, {{math|''e''<sup>2</sup>}}, и {{math|''e''&prime;<sup>2</sup>}} отрицательные.)

Пусть элементарный отрезок пути на эллипсоиде имеет длину {{math|''ds''}}. Из Рис. 2 и 3, мы видим что если известен его азимут {{math|&alpha;}}, то {{math|''ds''}} связан с {{math|''d''&phi;}} и {{math|''d''&lambda;}} следующим образом
: (1)<math>{\color{white}.}\qquad
\cos\alpha\,ds = \rho\,d\varphi = - \frac{dR}{\sin\varphi}, \quad
\sin\alpha\,ds = R\,d\lambda,</math>
где {{math|&rho;}} представляет собой [[Радиус кривизны|радиус кривизны меридиана]], {{math|''R'' {{=}} &nu; cos&phi;}} радиус круга с широтой {{math|&phi;}}, и {{math|&nu;}} представляет собой [[Радиус Земли|радиус нормального сечения]].
Следовательно элементарный отрезок равен
: <math>ds^2 = \rho^2\,d\varphi^2 + R^2\,d\lambda^2</math>
или
: <math>\begin{align}ds &= \sqrt{\rho^2\varphi'^2 + R^2}\,d\lambda \\
&\equiv L(\varphi,\varphi')\,d\lambda,
\end{align}
</math>
Где {{math|&phi;&prime; {{=}} ''d''&phi;/''d''&lambda;}} и [[Функция Лагранжа|функция Лагранжа {{math|''L''}}]] отражающая зависимость {{math|&phi;}} от {{math|&rho;(&phi;)}} и {{math|''R''(&phi;)}}. Длина произвольной линии между {{math|(&phi;<sub>1</sub>, &lambda;<sub>1</sub>)}} and {{math|(&phi;<sub>2</sub>, &lambda;<sub>2</sub>)}} задается
: <math> s_{12} =
\int_{\lambda_1}^{\lambda_2} L(\varphi, \varphi')\,d\lambda,</math>
где {{math|&phi;}} функция от {{math|&lambda;}} удовлетворяющих {{math|&phi;(&lambda;<sub>1</sub>) {{=}} &phi;<sub>1</sub>}} и {{math|&phi;(&lambda;<sub>2</sub>) {{=}} &phi;<sub>2</sub>}}. Кратчайший путь или геодезическая находится через функцию {{math|&phi;(&lambda;)}}.
Это задача в области [[Вариационное исчисление|вариационного исчисления]] и связана с минимизацией условий. Оно задается с помощью тождества Бальтрами,
: <math>L - \varphi' \frac{\partial L}{\partial \varphi'} = \text{const.}
</math>
Подставляя {{math|''L''}} и применяя Форм. (1) получим
: <math>R\sin\alpha = \text{const.}</math>
{{harvtxt|Клеро|1735}} вывел это [[Соотношение Клеро|соотношение]], используя геометрическую конструкцию; аналогичный вывод получен Люстерником<ref>{{harvtxt|Люстерник|1964|loc=§10}}</ref>.
{{refn|{{harvtxt|Лаплас|1799a}} показал, что частица, вынужденная двигаться по поверхности, при этом не подверженная никаким силам, движется вдоль геодезической по этой поверхности.  Таким образом, отношение Клеро является лишь следствием [[сохранения момента импульса]] fдля частицы на поверхности вращения.}} Дифференцируя это соотношение получим
: <math>d\alpha=\sin\varphi\,d\lambda.</math>
Данное равенство совместно с уравнением (1) приводит к системе [[Дифференциальные уравнения|обыкновенных дифференциальных уравнений]] для геодезической
: <math>{\color{white}.}\qquad
\frac{d\varphi}{ds} = \frac{\cos\alpha}{\rho};\quad
\frac{d\lambda}{ds} = \frac{\sin\alpha}{\nu\cos\varphi};\quad
\frac{d\alpha}{ds} = \frac{\tan\varphi\sin\alpha}{\nu}.</math>
Мы можем выразить {{math|''R''}} через приведенную широту
''{{math|&beta;}}''
: <math>R = a\cos\beta,</math>
и соотношение Клеро примет вид
: <math>\sin\alpha_1\cos\beta_1 = \sin\alpha_2\cos\beta_2.</math>

[[Файл:Geodesic problem on a sphere.svg|thumb|left|Рис.4.Геодезическая задача, отображенная на вспомогательной сфере.]]
[[Файл:Geodesic problem mapped to the auxiliary sphere.svg|thumb|right|Рис.5.Элементарная геодезическая задача на вспомогательной сфере.]]

Это [[Сферическая теорема синусов|синусоидальное правило]] сферической тригонометрии устанавливающее связь между двумя сторонам треугольника {{math|''NAB''}} (см. Рис. 4) {{math|''NA'' {{=}} {{frac|1|2}}&pi; &minus; &beta;<sub>1</sub>}} и {{math|''NB'' {{=}} {{frac|1|2}}&pi; &minus; &beta;<sub>2</sub>}} и противолежащими углам {{math|''B'' {{=}} &pi; &minus; &alpha;<sub>2</sub>}} и {{math|''A'' {{=}} &alpha;<sub>1</sub>}}.

Для того чтобы найти соотношение для третьей стороны {{math|''AB'' {{=}} &sigma;<sub>12</sub>}}, ''сферической длины дуги'', и прилежащего угла {{math|''N'' {{=}} &omega;<sub>12</sub>}}, ''сферической долготы'', полезно рассмотреть треугольник {{math|''NEP''}}, представляющий собой геодезическую, берущую начало на экваторе (см. рис. 5). На этом рисунке элементы, отнесенные к вспомогательной области, приведены с указанными в скобках значениями на эллипсоиде.
Величины без индексов относятся к произвольной точке {{math|''P''}}. {{math|''E''}} — точка, в которой геодезическая пересекает экватор, используется в качестве начала отчета для {{math|&sigma;}}, {{math|''s''}} и {{math|&omega;}}.

[[Файл:Differential element of a geodesic on a sphere.svg|thumb|Рис. 6. Дифференциальные элементы геодезической на сфере.]]
Если сторону {{math|''EP''}} увеличить путем перемещения {{math|''P''}} в бесконечность (см. Рис. 6), получим
: (2)<math>{\color{white}.}\qquad
\cos\alpha\,d\sigma = d\beta, \quad
\sin\alpha\,d\sigma = \cos\beta\,d\omega.</math>
Комбинация формул (1) и (2) дает дифференциальное
уравнение для {{math|''s''}} и {{math|&lambda;}}
: <math>\frac1a\frac{ds}{d\sigma}
= \frac{d\lambda}{d\omega}
= \frac{\sin\beta}{\sin\varphi}.</math>

Соотношение {{math|&beta;}} и {{math|&phi;}}
: <math>\tan\beta = \sqrt{1-e^2} \tan\varphi = (1-f) \tan\varphi,</math>
дает
: <math>\frac{\sin\beta}{\sin\varphi} = \sqrt{1-e^2\cos^2\beta},</math>
таким образом дифференциальное уравнение для геодезической примет вид
: <math>\frac1a\frac{ds}{d\sigma} = \frac{d\lambda}{d\omega}
= \sqrt{1-e^2\cos^2\beta}.</math>

Последний шаг состоит в использовании {{math|&sigma;}} в качестве независимого параметра в обоих дифференциальных уравнениях для выражения {{math|''s''}} и {{math|&lambda;}} в интегральном виде. Применение синусоидальное правила к вершинам {{math|''E''}} и {{math|''G''}} в сферическом треугольнике {{math|''EGP''}} на Рис. 5 дает
: <math>\sin\beta = \sin\beta(\sigma;\alpha_0) =
\cos\alpha_0 \sin\sigma,</math>
где {{math|&alpha;<sub>0</sub>}} азимут при вершине {{math|''E''}}.
Подставляя в уравнение для {{math|''ds''/''d''&sigma;}} и интегрируя получим
: (3)<math>{\color{white}.}\qquad
\frac sb = \int_0^\sigma \sqrt{1 + k^2 \sin^2\sigma'}\,d\sigma',
</math>
где
: <math>k = e'\cos\alpha_0,</math>
причем вводится ограничение {{math|''s''(&sigma; {{=}} 0) {{=}} 0}}. {{harvtxt|Лежандр|1811|p=180}} указывает на то, что уравнение для {{math|''s''}} такое же, как уравнение для [[Эллипсоид|дуги на эллипсоиде]] с полуосями {{math|''b''{{=}} <math>\sqrt{1+e'cos^2\alpha_0}</math>}} и {{math|''b''}}. Для того, чтобы выразить уравнение для {{math|&lambda;}} через {{math|&sigma;}}, запишем
: <math>d\omega = \frac{\sin\alpha_0}{\cos^2\beta}\,d\sigma,</math>
что следует из уравнения (2) и соотношения Клеро.
Это позволяет получить
: (4)<math>{\color{white}.}\qquad
\lambda - \lambda_0 = \omega - f\sin\alpha_0
\int_0^\sigma\frac
{2-f}{1 + (1-f)\sqrt{1 + k^2\sin^2\sigma'}}
\,d\sigma',
</math>
причем применяются следующие ограничения: {{math|&lambda; {{=}} &lambda;<sub>0</sub>}} на пересечении экватора и {{math|&sigma; {{=}} 0}}.

Это завершает нахождение длины геодезической с использованием вспомогательной сферы. Использование данного способа позволяет точно сопоставить большой круг с геодезической на эллипсоиде вращения.

Существует также несколько способов аппроксимации геодезических на земном эллипсоиде (с малым сжатием)<ref>{{harv|Рапп|1991|loc=§6}}</ref>; некоторые из них описаны в статье о географическом расстоянии.
Тем не менее, они, как правило, сопоставимы по сложности точному решению Джекелея<ref>{{harv|Джекелей|2012|loc=§2.1.4}}</ref>.

=== Поведение геодезических ===
[[Файл:Closed geodesics on an ellipsoid of revolution.svg|thumb|left|Рис. 7. Только меридиан и экватор являются замкнутыми геодезическими. (Для крайне сжатого эллипсоида существуют другие замкнутые геодезические; см Рис. 11 и 12).]]
[[Файл:Long geodesic on an oblate ellipsoid.svg|thumb|right|Рис.8.Геодезическая на сплюснутом эллипсоиде ({{math|''f'' {{=}} {{frac|50}}}}) с {{math|&alpha;<sub>0</sub> {{=}} {{val|45|u=°}}}}.Движение геодезической линии на эллипсоиде примерно по 5 контурам.]]
[[Файл:Really long geodesic on an oblate ellipsoid.svg|thumb|right|Рис.9.Движение той же геодезической по 70 контурам.]]
[[Файл:Long geodesic on a prolate ellipsoid.svg|thumb|left|Рис. 10.Геодезические на вытянутом эллипсоиде ({{math|''f'' {{=}} &minus;{{frac|50}}}}) c {{math|&alpha;<sub>0</sub> {{=}} {{val|45|u=°}}}}. Сравним с
Рис. 8.]] На Рис. 7 показаны простые замкнутые геодезические, которые состоят из меридианов (зеленые) и экватора (красный). (Здесь под определением «простая» подразумевается, что геодезическая замыкается без промежуточного самопересечения.) Это следует из уравнений для геодезических, приведенных в предыдущем разделе.

Все остальные геодезические изображены на Рис. 8 и 9, которые показывают геодезические начиная от экватора с {{math|&alpha;<sub>0</sub> {{=}} 45°}}. Геодезическая колеблется вокруг экватора. Пересечения экватора называются ''узлы'', а точки максимума и минимума широты называются ''вершинами''; вершины широты задаются:
{{math|&beta; {{=}} &plusmn;({{frac|1|2}}&pi; &minus; {{!}}&alpha;<sub>0</sub>{{!}})}}.
Геодезическая совершает одно полное колебание в широте до того, как долгота увеличится на {{val|360|u=°}}.
Таким образом, на каждом последующем северном пересечении экватора (Рис. 8), {{math|&lambda;}} отстает от полного круга экватора приблизительно на {{math|2&pi; ''f'' sin&alpha;<sub>0</sub>}} (для вытянутого эллипсоида эта величина отрицательна и {{math|&lambda;}} совершает более, чем один полный круг; см. Рис. 10). Почти для всех значений {{math|&alpha;<sub>0</sub>}}, геодезическая покроет область эллипсоида между двумя параллелями с максимальной и минимальной широтой (Рис. 9).

[[Файл:Non-standard closed geodesics on an ellipsoid of revolution 1.svg|thumb|right|Рис.11. Две дополнительные замкнутые геодезические для сплюснутого эллипсоида, {{math|{{frac|''b''|''a''}} {{=}} {{frac|2|7}}}} (вид сбоку)]]
[[Файл:Non-standard closed geodesics on an ellipsoid of revolution 2.svg|thumb|right|Рис.12. Две дополнительные замкнутые геодезические для сплюснутого эллипсоида, {{math|{{frac|''b''|''a''}} {{=}} {{frac|2|7}}}} (вид сверху)]]
Если эллипсоид достаточно сплюснутый, то есть, {{math|{{frac|''b''|''a''}} &lt; {{frac|1|2}}}}, возможен еще один вид простых замкнутых геодезических<ref name="автоссылка4">{{harv|Клингенберг|1982|loc=§3.5.19}}</ref>. Две такие геодезические показаны на Рис. 11 и 12. Здесь {{math|{{frac|''b''|''a''}} {{=}} {{frac|2|7}}}} и экваториальный азимут, {{math|&alpha;<sub>0</sub>}}, для зеленой (соотв. синей) геодезической задан как {{val|53.175|u=°}} (соотв. {{val|75.192|u=°}}), так что геодезическая совершает 2 (соотв. 3) полных колебания относительно экватора на одном круге по эллипсоиду.

[[Файл:Geodesics and geodesic circles on an oblate ellipsoid.svg|thumb|Рис. 13. Геодезические (синим) от одной точки при {{math|''f'' {{=}} {{frac|10}}}}, {{math|&phi;<sub>1</sub> {{=}} {{val|-30|u=°}}}}; геодезические круги показаны зеленым, множество раздела катлокус показано красным.]]
На Рис.13 показаны геодезические (синим) исходящие из {{math|''A''}} с {{math|&alpha;<sub>1</sub>}}, кратным {{val|15|u=°}} вплоть до то точки, в которой они перестают быть кратчайшими путями. (Сжатие было увеличено до {{frac|10}} чтобы подчеркнуть эллипсоидальные эффекты.)
Также показаны (зеленым) кривые с постоянной {{math|''s''<sub>12</sub>}}, которые являются геодезическими окружностями с центром {{math|''A''}}.
{{harvtxt|Гаусс|1828}} показал, что на любой поверхности, геодезические и геодезический круг пересекаются под прямым углом. Красная линия — [[множество раздела]] (катлокус), множество точек, которые имеют несколько (в данном случае две) кратчайших геодезических из {{math|''A''}}. На сфере катлокус является точкой. На сплющенном эллипсоиде (показанном здесь) он представляет собой сегмент параллели с центром в точке, диаметрально противоположной {{math|''A''}}, {{math|&phi; {{=}} &minus;&phi;<sub>1</sub>}}. Протяженность катлокуса по долготе приблизительно {{math|&lambda;<sub>12</sub> &isin; [&pi; &minus; ''f'' &pi; cos&phi;<sub>1</sub>, &pi; + ''f'' &pi; cos&phi;<sub>1</sub>]}}. Если {{math|''A''}} лежит на экваторе, {{math|&phi;<sub>1</sub> {{=}} 0}}, это соотношение является точным и, как следствие, экватор является кратчайшей геодезической, только если выполняется условие {{math|{{!}}&lambda;<sub>12</sub>{{!}} &le; (1 &minus; ''f'')&pi;}}. Для вытянутого эллипсоида, катлокус представляет собой сегмент анти-меридиана с центром в точке, диаметрально противоположной {{math|''A''}}, {{math|&lambda;<sub>12</sub> {{=}} &pi;}}, и это означает, что меридианные геодезические перестают быть кратчайшими путями при достижении противоположной точки.

=== Решение прямых и обратных задач ===
Решение геодезических задач подразумевает проектирование геодезических на вспомогательную сферу и решение соответствующих задач по [[Большой круг|большому кругу]].
При решении «элементарного» сферического треугольника {{math|''NEP''}} на Рис.5, [[Мнемоническое правило Непера|по правилу Непера]] получим,
: <math>
\begin{align}
\sin\alpha_0 &= \sin\alpha \cos\beta = \tan\omega \cot\sigma, \\
\cos\sigma &= \cos\beta \cos\omega  = \tan\alpha_0 \cot\alpha, \\
\cos\alpha &= \cos\omega \cos\alpha_0 = \cot\sigma \tan\beta, \\
\sin\beta &= \cos\alpha_0 \sin\sigma = \cot\alpha \tan\omega, \\
\sin\omega &= \sin\sigma \sin\alpha = \tan\beta \tan\alpha_0.
\end{align}
</math>
Определение геодезических включает в себя решение интегралов для расстояния, {{math|''s''}}, и долготы, {{math|&lambda;}}, Ур. (3) и (4) которые, в свою очередь, зависят от параметра {{math|&alpha;<sub>0</sub>}}.

Решение прямой задачи не вызывает сложности, потому что {{math|&alpha;<sub>0</sub>}} может быть определен непосредственно из заданных величин {{math|&phi;<sub>1</sub>}} и {{math|&alpha;<sub>1</sub>}}.

В случае обратной задачи, {{math|&lambda;<sub>12</sub>}} задана; из этого нельзя быстро перейти к эквивалентному сферическому углу {{math|&omega;<sub>12</sub>}}, потому что {{math|&alpha;<sub>0</sub>}} неизвестен.
Таким образом, для решения задачи требуется находить {{math|&alpha;<sub>0</sub>}} итеративно.

В геодезии, где {{math|''f''}} мал, интегралы раскладываются в ряд<ref name="автоссылка3">{{harv|Лежандр|1806}}</ref><ref>{{harv|Ориани|1806}}</ref><ref>{{harv|Бессель|1825}}</ref><ref>{{harv|Гельмерт|1880}}</ref><ref>{{harv|Рэйнсфорд|1955}}</ref><ref>{{harv|Рапп|1993}}</ref>. Для любых {{math|''f''}}, интегралы (3) и (4) могут быть найдены численно или выражением их в [[эллиптические интегралы]]<ref name="автоссылка3" /><ref>{{harv|Кэли|1870}}</ref>.

{{harvtxt|Винсенти|1975}} предоставляет решения для прямых и обратных задач; они основаны на разложении в ряд до третьего порядка в сжатии и обеспечивают точность около {{val|0.1|u=mm}} для эллипсоида [[WGS84]]; однако обратный метод не сходится для практически диаметрально противоположных точек. {{harvtxt|Карней|2013}} продолжает разложение до шестого порядка, чего достаточно для обеспечения полной двойной точности для {{math|{{!}}''f''{{!}} &le; {{frac|1|50}}}} и повышает точность решения обратной задачи, так, что она сходится во всех случаях.
{{harvtxt|Карней|2013|loc=addendum}} расширил возможности использования эллиптических интегралов, которые могут быть применены к эллипсоидам с произвольным сжатием.

=== Различные свойства геодезических ===
Различные задачи, связанные с геодезическими требуют знания об их поведении при возмущении. Это полезно при уравнивании тригонометрии<ref>{{harv|Элерт|1993}}</ref>, определение физических свойств сигналов, проходящих по геодезической, и т. д. Рассмотрим опорную геодезическую, выраженную как {{math|''s''}}, и другую геодезическую на малом расстоянии {{math|''t''(''s'')}} от первой. {{harvtxt|Гаусс|1828}} показал, что {{math|''t''(''s'')}} удовлетворяют уравнению Гаусса — Якоби
: <math>{\color{white}.}\qquad
\displaystyle\frac{d^2t(s)}{ds^2} = K(s) t(s), </math>
[[Файл:Definition of reduced length and geodesic scale.svg|thumb|Рис. 14. Определение приведенной длины и масштаба геодезической.]] где {{math|''K''(''s'')}} является [[Кривизна Гаусса|Гауссовой кривизной]] для {{math|''s''}}.
В качестве второго порядка линейного однородного дифференциального уравнения, его решение может быть выражено как сумма двух независимых решений
: <math> t(s_2) = C m(s_1,s_2) + D M(s_1,s_2) </math>
где
: <math>
\begin{align}
m(s_1, s_1) &= 0, \quad
\left.\frac{dm(s_1,s_2)}{ds_2}\right|_{s_2 = s_1} = 1, \\
M(s_1, s_1) &= 1, \quad
\left.\frac{dM(s_1,s_2)}{ds_2}\right|_{s_2 = s_1} = 0.
\end{align}
</math>
Величина {{math|''m''(''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>) {{=}} ''m''<sub>12</sub>}} является так называемой ''уменьшенной длиной'', и {{math|''M''(''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>) {{=}} ''M''<sub>12</sub>}} ''масштабом геодезической''.{{refn|{{harvtxt|Багратуни|1962|loc=§17}} использует термин "коэффициент ковергенции ординат" для масштаба геодезической.}}
Их основные определения приведены на Рис. 14.

[[Кривизна Гаусса|Гауссова кривизна для эллипсоида вращения]]:
: <math>
K = \frac1{\rho\nu} = \frac{\bigl(1-e^2\sin^2\varphi\bigr)^2}{b^2}
  = \frac{b^2}{a^4\bigl(1-e^2\cos^2\beta\bigr)^2}.
</math>
{{harvtxt|Гельмерт|1880|loc=Eq. (6.5.1.)}} решил уравнение Гаусса — Якоби для этого случая, позволяющим выразить {{math|''m''<sub>12</sub>}} and
{{math|''M''<sub>12</sub>}} в интегральной форме.

Как видно из Рис. 14 (верхний подрисунок), разделение двух геодезических, начиная с одно и той же точки с азимутами, различающимися на {{math|''d''&alpha;<sub>1</sub>}} представляется как {{math|''m''<sub>12</sub> ''d''&alpha;<sub>1</sub>}}. На замкнутой поверхности, например на эллипсоиде, {{math|''m''<sub>12</sub>}} колеблется около нуля. Точка, в которой {{math|''m''<sub>12</sub>}} обращается в ноль, это точка [[Спряжение|сопряженная]] с исходной точкой.
Для геодезической между {{math|''A''}} и {{math|''B''}}, длиной {{math|''s''<sub>12</sub>}}, чтобы быть кратчайшим путем, необходимо удовлетворять условию Якоби<ref>{{harv|Якоби|1837}}</ref><ref>{{harv|Якоби|1866|loc=§6}}</ref><ref>{{harv|Форсайт|1927|loc=§§26–27}}</ref><ref>{{harv|Блисс|1916}}</ref>, так что нет никакого смысла сопрягать {{math|''A''}} между {{math|''A''}} и {{math|''B''}}. Если это условие не выполняется, то ''поблизости'' есть путь (не обязательно являющийся геодезической), который короче. Таким образом, условие Якоби является локальным свойством геодезической и необходимым условием, при котором геодезическая является кратчайшим путем.
Необходимые и достаточные условия для того, чтобы геодезическая являлась кратчайшим путем:
* для сжатого эллипсоида, {{math|{{!}}&sigma;<sub>12</sub>{{!}} &le; &pi;}};
* для вытянутого эллипсоида, {{math|{{!}}&lambda;<sub>12</sub>{{!}} &le; &pi;}}, если {{math|&alpha;<sub>0</sub> &ne; 0}}; если {{math|&alpha;<sub>0</sub> {{=}} 0}}, то дополнительное условие {{math|''m''<sub>12</sub> &ge; 0}} требуется, если {{math|{{!}}&lambda;<sub>12</sub>{{!}} {{=}} &pi;}}.

=== Конверт геодезической ===
[[Файл:Envelope of geodesics on an oblate ellipsoid.svg|thumb|Рис. 15. Конверт геодезической в точке {{math|''A''}} с {{math|&phi;<sub>1</sub> {{=}} {{val|-30|u=°}}}} ({{math|''f'' {{=}} {{frac|10}}}}, {{math|&phi;<sub>1</sub> {{=}} {{val|-30|u=°}}}})]][[Файл:Four geodesics connecting two points on an oblate ellipsoid.svg|thumb|Рис. 16. Четыре геодезические линии, соединяющие точку {{math|''A''}} с точкой {{math|''B''}}, {{math|&phi;<sub>2</sub> {{=}} {{val|26|u=°}}}}, {{math|&lambda;<sub>12</sub> {{=}} {{val|175|u=°}}}} ({{math|''f'' {{=}} {{frac|10}}}}, {{math|&phi;<sub>1</sub> {{=}} {{val|-30|u=°}}}})]]

Геодезические, проведённые из опредёленной точки {{math|''A''}}, если они продолжаются после точки разрыва, образуют конверт изображённый на Рис. 15.
Здесь геодезические для которых {{math|&alpha;<sub>1</sub>}} кратен {{val|3|u=°}} Показаны голубым цветом. (Геодезические показаны только для первого прохождения вблизи точки-антипода) Геодезические окружности показаны зеленым цветом; Они образуют на конверте зажимы. Место разреза показано красным цветом. Конверт — это место сопряжённых с {{math|''A''}} точек; точки на конверте могут быть вычислены путём нахождения точки, в которой {{math|''m''<sub>12</sub> {{=}} 0}} на геодезической.
{{harvtxt|Якоби|1891}} называет эту звезду рисунком полученным в конверте [[Астроида|Астроиды]].

За пределами астроиды две геодезические пересекаются в каждой точке. Таким образом там имеются две геодезические линии между точкой А и этими точками.
Это соответствует ситуации на той сфере, где есть «короткие» и «длинные» линии по большой окружности между двумя точками. Внутри же астроиды четыре геодезические пересекаются в каждой точке. Четыре таких геодезических показаны на Рис. 16, где геодезические пронумерованы в порядке увеличения длины. (На этом рисунке используется такое же как на Рис.13 положение точки {{math|''A''}} и изображается в той же проекции.)
Две кратчайшие геодезические являются ''стабильными'', то есть, {{math|''m''<sub>12</sub> &gt; 0}}, причем нет другой более короткой линии, соединяющей две точки; другие две нестабильны. Только самая короткая (первая) линия имеет {{math|&sigma;<sub>12</sub> &le; &pi;}}. Все геодезические являются касательными к конверту, который показан зеленым цветом на рисунке.

Астроида (внешне) [[эволюта]] геодезических кругов с центром в точке {{math|''A''}}. Аналогично, геодезические являются [[Эвольвента|эвольвентой]] астроиды.

=== Площадь геодезического полигона ===
Геодезический полигон — это полигон, сторонами которого являются геодезические. Такой полигон можно найти, предварительно вычислив площадь между отрезком геодезической и экваторм, то есть площадь четырехугольника ''AFHB'' на Рис. 1<ref name="автоссылка1">{{harv|Даниельсен|1989}}</ref>. Когда эта площадь известна, площадь полигона может быть вычислена путем суммирования областей всех рёбер полигона.

Выражение для области {{math|''S''<sub>12</sub>}} в {{math|''AFHB''}} разработано Сьобергом{{sfn|Сьоберг|2006}}. Площадь любой закрытой области эллипсоида можно найти по формуле

: <math> T = \int dT = \int \frac1K \cos\varphi\,d\varphi\,d\lambda,
</math>
где {{math|''dT''}} элемент площади поверхности, а {{math|''K''}} — [[Гауссова кривизна]].
Приведем [[Формула Гаусса — Бонне|формулу Гаусса — Бонне]], применяемую для геодезических полигонов
: <math>
\Gamma = \int K \,dT = \int \cos\varphi\,d\varphi\,d\lambda,
</math>
где
: <math>
\Gamma = 2\pi - \sum_j \theta_j
</math>
является геодезическим избытком и {{math|&theta;<sub>''j''</sub>}} внешний угол при вершине {{math|''j''}}. Увеличив уравнение на величину {{math|&Gamma;}}{{math|''R''<sub>2</sub><sup>2</sup>}}, где {{math|''R''<sub>2</sub>}} — [[Радиус Земли|подлинный радиус]], вычитание которого из уравнения для {{math|''T''}} даёт
: <math>
\begin{align}
T &=
R_2^2 \,\Gamma + \int \biggl(\frac1K - R_2^2\biggr)\cos\varphi\,d\varphi\,d\lambda \\
&=R_2^2 \,\Gamma + \int \Biggl(
\frac{b^2}{\bigl(1 - e^2\sin^2\varphi\bigr)^2} - R_2^2
\Biggr)\cos\varphi\,d\varphi\,d\lambda,
\end{align}
</math>
где {{math|''K''}} было заменено значением [[Эллипсоид вращения|кривизны для эллипсоида]]. Применяя эту формулу к четырёхугольнику {{math|''AFHB''}} и заметив, что {{math|&Gamma; {{=}} &alpha;<sub>2</sub> &minus; &alpha;<sub>1</sub>}} проинтегрируем по {{math|&phi;}}
: <math>
S_{12}=R_2^2 (\alpha_2-\alpha_1)
+ b^2 \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} \biggl(
\frac1{2\bigl(1 - e^2\sin^2\varphi\bigr)}+
\frac{\tanh^{-1}(e \sin\varphi)}{2e \sin\varphi}
- \frac{R_2^2}{b^2}\biggr)\sin\varphi
\,d\lambda,
</math>
где Интеграл находится над геодезической линией (так, что {{math|&phi;}} является косвенной функцией от {{math|&lambda;}}).
Интеграл может быть выражен в виде ряда, допустимого для малых {{math|''f''}}<ref name="автоссылка1" /><ref>{{harv|Карней|2013|loc=§6 и добавление}}</ref>.

Площадь геодезического полигона задаётся суммированием {{math|''S''<sub>12</sub>}} по его сторонам. Этот результат выполняется при условии, что полигон не включает полюс; если же включает, то к сумме должно быть добавлено {{math|2&pi; ''R''<sub>2</sub><sup>2</sup>}}. Если ребра заданы их вершинами, то
[[Эксцесс (сферическая тригонометрия)|удобным выражением]] для геодезического избытка {{math|''E''<sub>12</sub> {{=}} &alpha;<sub>2</sub> &minus; &alpha;<sub>1</sub>}} является
: <math>
\tan\frac{E_{12}}2 =
\frac{\sin\tfrac12 (\beta_2 + \beta_1)}
{\cos\tfrac12 (\beta_2 - \beta_1)} \tan\frac{\omega_{12}}2.
</math>

== Геодезические на трёхосном эллипсоиде ==

=== Трёхосная система координат ===
Рассмотрим эллипсоид, определяемый по формуле

: <math>
  h = \frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} + \frac{Z^2}{c^2} = 1,
</math>

где {{math|(''X'',''Y'',''Z'')}} декартовы координаты с началом в центре эллипсоида и без потери примем обобщение, {{math|''a'' &ge; ''b'' &ge; ''c'' &gt; 0}}.{{refn|1=This notation for the semi-axes is incompatible with that used in the previous section on ellipsoids of revolution in which {{math|''a''}} and {{math|''b''}} stood for the equatorial radius and polar semi-axis.
Thus the corresponding inequalities are {{math|''a'' {{=}} ''a'' &ge; ''b'' &gt; 0}} for an oblate ellipsoid and {{math|''b'' &ge; ''a'' {{=}} ''a'' &gt; 0}} for a prolate ellipsoid.}}
{{harvtxt|Якоби|1866|loc=§§26–27}} установил что эллипсоидальные широты и долготы {{math|(&beta;, &omega;)}} определяются следующим образом:
[[Файл:Triaxial ellipsoid coordinate system.svg|thumb|Рис. 17. [[Эллипсоидальные координаты]]]]
: <math>
\begin{align}
  X &= a \cos\omega
      \frac{\sqrt{a^2 - b^2\sin^2\beta - c^2\cos^2\beta}}
           {\sqrt{a^2 - c^2}}, \\
  Y &= b \cos\beta \sin\omega, \\
  Z &= c \sin\beta
      \frac{\sqrt{a^2\sin^2\omega + b^2\cos^2\omega - c^2}}
           {\sqrt{a^2 - c^2}}.
\end{align}
</math>

в пределе {{math|''b'' &rarr; ''a''}}, {{math|&beta;}} становится параметрической широтой для сплющенного эллипсоида, поэтому использование символа {{math|&beta;}} согласуется с предыдущими разделами.
Однако, {{math|&omega;}} от''лична'' от сферической долготы, определяемой выше.{{refn|Предел {{math|''b'' &rarr; ''c''}} дает вытянутый эллипсоид с {{math|&omega;}}, которая играет роль параметрической широты.}}

Линии сетки константы {{math|&beta;}} (показаны синим цветом) и {{math|&omega;}} (показаны зеленым цветом) изображены на Рис. 17. Это константа позволяет создать [[Ортогональная система координат|ортогональную]] систему координат: линии сетки пересекаются под прямым углом. Основными сечениями эллипсоида являются показанные красным цветом {{math|''X'' {{=}} 0}} и {{math|''Z'' {{=}} 0}}. Третий основной разрез, {{math|''Y'' {{=}} 0}}, образуется линиями {{math|&beta; {{=}} &plusmn;90°}} и {{math|&omega; {{=}} 0°}} or {{math|&plusmn;180°}}. Эти линии пересекаются в четырёх точках округления (две из которых видны на этом рисунке), где [[Радиус кривизны|главные радиусы кривизны]] равны между собой. Здесь и на других рисунках в секциях в качестве параметров эллипсоида принято {{math|''a'':''b'':''c'' {{=}} 1.01:1:0.8}} и рассматривается ортогональная проекция для точки с {{math|&phi; {{=}} 40°}}, {{math|&lambda; {{=}} 30°}}.

Линии сетки эллипсоидальных координат могут быть определены в трёх направлениях разными способами:

# Они являются «линиями кривизны» на эллипсоиде: они параллельны направлениям главной кривизны<ref>{{harv|Мунге|1850}}</ref>.
# Они также являются пересечениями эллипсоида с конфокальной системой гиперболоидов из одного и двух листов<ref>{{harv|Дюпен|1813|loc = [https://books.google.com/books?id=j40AAAAAMAAJ&pg=PA297 Часть 5]}}</ref>.
# Наконец, они являются геодезическими эллипсами и гиперболами, определёнными с использованием двух соседних точек округления<ref>{{harv|Гильберт|Кон-Фоссен|1952|p=188}}</ref>. Например, линии с постоянной {{math|&beta;}} на Рис. 17 может быть сгенерирована с помощью привычной струнной конструкции для эллипсов с концами струны, прикрепленными к двум точкам округления.

=== Решение Якоби ===
Якоби показал, что геодезические уравнения, выраженные через эллипсоидальные координаты, являются разделяемыми. Вот как он рассказывал о своем открытии другу и соседу Бесселю<ref>{{harv|Якоби|1839|loc=Письмо к Бесселю}}</ref>,
<blockquote> Позавчера я свел к квадратуре задачу геодезической линии на эллипсоиде с тремя неравными осями. Это самые простые формулы в мире, Абелевы интегралы, которые становятся хорошо известными эллиптическими интегралами, если две оси заданы равными.<br>
[[Кёнигсберг]], 28 декабря '38.
</blockquote>

Решение Якоби имеет вид<ref name="автоссылка2">{{harv|Якоби|1839}}</ref><ref>{{harv|Якоби|1866|loc=§28}}</ref>

: <math>
\begin{align}
\delta &= \int \frac
{\sqrt{b^2\sin^2\beta + c^2\cos^2\beta}\,d\beta}
{\sqrt{a^2 - b^2\sin^2\beta - c^2\cos^2\beta}
 \sqrt{\bigl(b^2-c^2\bigr)\cos^2\beta - \gamma}} \\[6pt]
&\quad -
\int \frac
{\sqrt{a^2\sin^2\omega + b^2\cos^2\omega}\,d\omega}
{\sqrt{a^2\sin^2\omega + b^2\cos^2\omega - c^2}
 \sqrt{\bigl(a^2-b^2\bigr)\sin^2\omega + \gamma}}.
\end{align}
</math>

Как отмечает Якоби «функция угла {{math|&beta;}} равна функции угла {{math|&omega;}}. Эти две функции представляют собой только Абелевы интегралы…» В решении появляются две константы {{math|&delta;}} и {{math|&gamma;}}. Обычно {{math|&delta;}} равно нулю если нижние пределы интегралов в начальной точке геодезической равны и направление геодезической определяется по формуле {{math|&gamma;}}. Однако, для геодезической начинающейся в точке округления мы имеем {{math|&gamma; {{=}} 0}} и {{math|&delta;}}, определяющую направление в точку округления.
Константа {{math|&gamma;}} может быть найдена следующим образом

: <math>
\gamma = \bigl(b^2-c^2\bigr)\cos^2\beta\sin^2\alpha-
\bigl(a^2-b^2\bigl)\sin^2\omega\cos^2\alpha,
</math>

где {{math|&alpha;}} между геодезической и линией с постоянным значением {{math|&omega;}}. В пределе {{math|''b'' &rarr; ''a''}}, что позволяет получить равенство {{math|sin&alpha; cos&beta; {{=}} const.}}, являющееся знакомым соотношением Клеро. Вывод решения Якоби приведен [[Дарбу, Жан Гастон|Дарбу]]{{sfn|Дарбу|1894|loc=§§583–584}}; он приводит решение найденное Луивиллем{{sfn|Луивилль|1846}} для общей квадратичной поверхности.

=== Изучение трехосных геодезических ===
[[Файл:Circumpolar geodesic on a triaxial ellipsoid case A.svg|thumb|left|Рис.18.Циркумполярные геодезические с {{math|&omega;<sub>1</sub> {{=}} {{val|0|u=°}}}}, {{math|&alpha;<sub>1</sub> {{=}} {{val|90|u=°}}}}, {{math|&beta;<sub>1</sub> {{=}} {{val|45.1|u=°}}}}..]]
[[Файл:Circumpolar geodesic on a triaxial ellipsoid case B.svg|thumb|right|Рис.19.Циркумполярные геодезические с {{math|&omega;<sub>1</sub> {{=}} {{val|0|u=°}}}}, {{math|&alpha;<sub>1</sub> {{=}} {{val|90|u=°}}}}, {{math|&beta;<sub>1</sub> {{=}} {{val|87.48|u=°}}}}..]]
На триаксиальном эллипсоиде существует только три простых замкнутых геодезических: три главных сечения эллипсоида, для которых ''X'' = 0, ''Y'' = 0 и ''Z'' = 0 .{{refn|Если {{math|{{frac|''c''|''a''}} &lt; {{frac|1|2}}}}, то существуют и другие простые замкнутые геодезические похожие на те, что показаны на Рис. 11 и 12<ref>{{harv|Клингенберг|1982|loc=§3.5.19}}</ref>.}}
Для изучения других геодезических, удобно рассматривать геодезические которые пересекают среднее основное сечение, {{math|''Y'' {{=}} 0}}, под прямым углом. Такие геодезические линии показаны на Рис. 18-22, которые используют те же параметры эллипсоида и рассматриваются под таким же углом, что и на Рис. 17. Кроме того, показаны три главных эллипса красным цветом на каждом из этих рисунков.

Если начальная точка имеет координаты {{math|&beta;<sub>1</sub> &isin; (&minus;90°, 90°)}}, {{math|&omega;<sub>1</sub> {{=}} 0}}, и {{math|&alpha;<sub>1</sub> {{=}} 90°}}, то {{math|&gamma; &gt; 0}} и геодезическая окружает эллипсоид в «циркумполярном» смысле. Геодезическая линия смещается к северу и югу от экватора; при каждом смещении он совершает чуть меньше, чем полный круг вокруг эллипсоида в результате, как правило, геодезическая заполняет всю область ограниченную параллелями с широтами {{math|&beta; {{=}} &plusmn;&beta;<sub>1</sub>}}. Два примера приведены на Рис. 18 и 19. Рисунок 18 показывает практически такое же поведение, что и для сплющенного эллипсоида вращения(так как {{math|''a'' &asymp; ''b''}}); сравните с Рис. 9.
Однако, если начальная точка находится на более высокой широте (Рис. 18), искажения, возникающие в результате {{math|''a'' &ne; ''b''}} очевидны. Все касательные к циркумполярной геодезической линии соприкасаются с конфокальной однолистовым гиперболоидом, пересекающим эллипсоид при {{math|&beta; {{=}} &beta;<sub>1</sub>}}<ref>{{harv|Шаль|1846}}</ref><ref>{{harv|Гильберт|Кон-Фоссен|1952|pp=223–224}}</ref>.

[[Файл:Transpolar geodesic on a triaxial ellipsoid case A.svg|thumb|left|Рис.20.Трансполярные геодезические {{math|&beta;<sub>1</sub> {{=}} {{val|90|u=°}}}}, {{math|&alpha;<sub>1</sub> {{=}} {{val|180|u=°}}}}, {{math|&omega;<sub>1</sub> {{=}} {{val|39.9|u=°}}}}.]]
[[Файл:Transpolar geodesic on a triaxial ellipsoid case B.svg|thumb|right|Рис.21.Трансполярные геодезические {{math|&beta;<sub>1</sub> {{=}} {{val|90|u=°}}}}, {{math|&alpha;<sub>1</sub> {{=}} {{val|180|u=°}}}}, {{math|&omega;<sub>1</sub> {{=}} {{val|9.966|u=°}}}}.]]
Если начальная точка имеет координаты {{math|&beta;<sub>1</sub> {{=}} 90°}}, {{math|&omega;<sub>1</sub> &isin; (0°, 180°)}}, и {{math|&alpha;<sub>1</sub> {{=}} 180°}}, то {{math|&gamma; &lt; 0}} и геодезическая окружает эллипсоид в" трансполярном " смысле. Геодезическая колеблется к востоку и западу от эллипса с {{math|''X'' {{=}} 0}}; на каждом колебании она совершает чуть больше, чем полный круг вокруг эллипсоида. Как правило, это приводит к заполнению геодезической всей области ограниченной параллелями с долготами {{math|&omega; {{=}} &omega;<sub>1</sub>}} и {{math|&omega; {{=}} 180° &minus; &omega;<sub>1</sub>}}.
Если {{math|''a'' {{=}} ''b''}}, то все меридианы являются геодезическими; эффект от {{math|''a'' &ne; ''b''}} вызывает такие геодезические колебания на восток и Запад.
Два примера приведены на Рис. 20 и 21. Сужение геодезическая вблизи полюса исчезает в пределе {{math|''b'' &rarr; ''c''}}; в этом случае эллипсоид становится вытянутым, и Рис. 20 будет напоминать Рис. 10 (поворачивается на бок). Все касательные к трансполярной геодезической касаются конфокального двухслойного гиперболоида пересекающий эллипсоид при {{math|&omega; {{=}} &omega;<sub>1</sub>}}.

[[Файл:Unstable umbilical geodesic on a triaxial ellipsoid.svg|thumb|Рис. 22. Круговая геодезическая, {{math|&beta;<sub>1</sub> {{=}} {{val|90|u=°}}}}, {{math|&omega;<sub>1</sub> {{=}} {{val|0|u=°}}}}, {{math|&alpha;<sub>1</sub> {{=}} {{val|135|u=°}}}}.]]
Если начальная точка имеет координаты {{math|&beta;<sub>1</sub> {{=}} 90°}}, {{math|&omega;<sub>1</sub> {{=}} 0°}} (точка округления), и {{math|&alpha;<sub>1</sub> {{=}} 135°}} (геодезический пересекает эллипс {{math|''Y'' {{=}} 0}} под прямым углом), то {{math|&gamma; {{=}} 0}} и геодезическая неоднократно пересекает противоположную точку округления и возвращается к своей начальной точке. Однако на каждом circuit угол, под которым он пересекает {{math|''Y'' {{=}} 0}} становится ближе к {{val|0|u=°}} или {{val|180|u=°}} так что асимптотически геодезическая лежит на эллипсе {{math|''Y'' {{=}} 0}}<ref>{{harv|Харт|1849}}</ref><ref>{{harv|Арнольд|1989|p=265}}</ref>, как показано на Рис. 22. Одна геодезическая не заполняет область на эллипсоиде. Все касательные к круговой геодезической касаются конфокальной гиперболы, которая пересекает эллипсоид в точке округления.

Круговая геодезическая обладает несколькими интересными свойствами.

* Через любую точку на эллипсоиде проходят две круговые геодезические линии.
* Геодезическое расстояние между противоположными точками округления независимо от начального направления геодезической.
* В то время как замкнутые геодезические на эллипсах {{math|''X'' {{=}} 0}} и {{math|''Z'' {{=}} 0}} являются стабильными (геодезическая, изначально близкая к эллипсу и почти параллельная ему, остается близкой к эллипсу), замкнутая геодезическая на эллипсе {{math|''Y'' {{=}} 0}}, которая проходит через все 4 точки округления, ''экспоненциально неустойчива''. Если она будет возмущена, то будет колебаться в плоскости {{math|''Y'' {{=}} 0}} и перевернется, прежде чем вернуться к этой плоскости. (Это поведение может повторяться в зависимости от характера начального возмущения.)

Если начальная точка {{math|''A''}} геодезической не является круговой точкой, то ее оболочка — это астроид с двумя вершинами лежащими на {{math|&beta; {{=}} &minus;&beta;<sub>1</sub>}} и двумя на {{math|&omega; {{=}} &omega;<sub>1</sub> + &pi;}}. Локус разреза для точки {{math|''A''}} является частью линии {{math|&beta; {{=}} &minus;&beta;<sub>1</sub>}} между вершинами.

== Приложения ==
Прямая и обратная геодезические задачи ныне не занимают в геодезии центральную роль, которую занимали ранее. Вместо [[метод наименьших квадратов|уравнивания]] геодезической сети, как двухмерной задачи сфероидической тригонометрии, эти проблемы сейчас решаются трехмерными методами<ref>{{harv|Винсенти|Бауринг|1978}}</ref>.
Тем не менее, земные геодезические все еще играют важную роль в некоторых областях:
* в измерении расстояний и площадей в [[Геоинформационная система|ГИС]];
* в определении [[Граница (значения)|морских границ]]<ref>{{harv|UNCLOS|2006}}</ref>;
* для местной навигации, согласно правилам Федерального управления гражданской авиации<ref>{{harv|RNAV|2007}}</ref>;
* как метод измерения расстояний в ФАИ<ref>{{harv|FAI|2018}}</ref>.

По [[Метод наименьших квадратов|принципу наименьшего влияния]], многие проблемы в физике могут быть сформулированы в виде дифференциальной задачи, аналогичной такой же для геодезических. Геодезическая эквивалентна отрезку пути движения частицы по поверхности в отсутствие воздействия на неё каких-либо сил<ref>{{harv|Лаплас|1799a}}</ref><ref>{{harv|Гильберт|Кон-Фоссен|1952|стр=222}}</ref>.
По этой причине геодезические на простых поверхностях, таких как эллипсоид вращения или трехосный эллипсоид чаще используются в качестве «тестовых» при изучении новых методов. Примеры:
* исследование эллиптических интегралов<ref>{{harv|Лежандр|1811}}</ref> и [[Эллиптическая функция|эллиптических функций]]<ref>{{harv|Вейерштрасс|1861}}</ref>;
* развитие дифференциальной геометрии<ref>{{harv|Гаусс|1828}}</ref><ref>{{harv|Кристоффель|1869}}</ref>;
* методы решения систем дифференциальных уравнений по изменению независимых переменных<ref>{{harv|Якоби|1839}}</ref>;
* изучение [[Каустика|каустики]]<ref>{{harv|Якоби|1891}}</ref>;
* исследование числа и устойчивости периодических орбит<ref>{{harv|Пуанкаре|1905}}</ref>;
* в пределе {{math|''c'' &rarr; 0}}, геодезические на трехосном эллипсоиде сводятся к случаю [[:en:Dynamical billiards|динамического бильярда]];
* расширения для произвольного числа измерений<ref>{{harv|Кноррер|1980}}</ref>;
* геодезический поток на поверхности<ref>{{harv|Бергер|2010|loc=Часть. 12}}</ref>.

== См. также ==
* [[:en:Geographical distance|Географическая дальность]]
* [[Большой круг|Навигация по большому кругу]]
* [[Геодезия]]
* [[Меридиан|Дуга меридиана]]
* [[Румб|Румбовая линия]]
* [[:en:Vincenty's formulae#External links|Формулы Винсенти]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
{{refbegin|30em}}
* {{книга
|ref=Арнольд
|год=1989
|заглавие=Mathematical Methods of Classical Mechanics
|издание=2nd
|издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
|oclc=4037141
|isbn=978-0-387-96890-2
|язык=en
|автор={{Нп3|Vladimir Arnold|Arnold, V. I.|en|Vladimir Arnold}}
}}
* {{h|Багратуни|1962|{{книга
|год=1967
|заглавие=Course in Spheroidal Geodesy
|doi=10.5281/zenodo.32371
|oclc=6150611
|автор=Bagratuni, G. V.
}}}}
* {{книга
|ref=Бергер
|год=2010
|заглавие=Geometry Revealed
|издательство=Springer
|isbn=978-3-540-70996-1
|doi=10.1007/978-3-540-70997-8
|автор=[[Marcel Berger|Berger, M.]]
}}
* {{h|Бессель|1825|{{статья
|origyear=1825
|заглавие=The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements
|издание=[[Astronomische Nachrichten]]
|том=331
|номер=8
|страницы=852—861
|translator-last1=Karney
|translator-first1=C. F. F.
|translator-last2=Deakin
|translator-first2=R. E.
|doi=10.1002/asna.201011352
|arxiv=0908.1824
|bibcode=2010AN....331..852K
|язык=en
|тип=journal
|автор={{Нп3|Bessel, F. W.|Bessel, F. W.||Friedrich Bessel}}
|год=2010
|издательство=[[John Wiley & Sons|Wiley-VCH]]
}}}}. — «. English translation of [http://adsabs.harvard.edu/abs/1825AN......4..241B ''Astron. Nachr.'' '''4''', 241—254 (1825)]. [https://geographiclib.sourceforge.io/bessel-errata.html Errata].».
* {{статья
|ref=Блисс
|заглавие=Jacobi's condition for problems of the calculus of variations in parametric form
|издание=[[Transactions of the American Mathematical Society]]
|том=17
|номер=2
|страницы=195—206
|doi=10.1090/S0002-9947-1916-1501037-4
|язык=en
|тип=journal
|автор={{Нп3|Bliss, G. A.|Bliss, G. A.||Gilbert Ames Bliss}}
|год=1916
}}. — « (free access).».
* {{книга
|ref=Бомфорд
|год=1952
|заглавие=Geodesy
|издательство=Clarendon
|место=Oxford
|oclc=1396190
|автор=Bomford, G.
}}
* {{книга
|ref=БорСтранг
|год=2012
|заглавие=Algorithms for Global Positioning
|oclc=795014501
|isbn=978-0-9802327-3-8
|издательство=Wellesley-Cambridge Press
|автор=Borre, K.; [[Gilbert Strang|Strang, W. G.]]
}}
* {{статья
|ref=Кэли
|заглавие=On the geodesic lines on an oblate spheroid
|издание=[[Philosophical Magazine]]
|серия=4th series
|том=40
|номер=268
|страницы=329—340
|doi=10.1080/14786447008640411
|ссылка=https://books.google.com/books?id=Zk0wAAAAIAAJ&pg=PA329
|язык=en
|автор={{Нп3|Cayley, A.|Cayley, A.||Arthur Cayley}}
|год=1870
|тип=journal
}}
* {{статья
|ref=Шаль
|заглавие=Sur les lignes géodésiques et les lignes de courbure des surfaces du second degré
|язык=fr
|издание={{Нп3|Journal de Mathématiques Pures et Appliquées}}
|том=11
|страницы=5—20
|ссылка=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1846_1_11_A2_0.pdf
|автор={{Нп3|Chasles, M.|Chasles, M.||Michel Chasles}}
|год=1846
}}
* {{статья
|ref=Кристоффель
|заглавие=Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke
|язык=de
|издание=Abhandlungen Königlichen Akademie der Wissenschaft zu Berlin
|страницы=119—176
|ссылка=https://books.google.com/books?id=EEtFAAAAcAAJ&pg=PA119
|автор={{Нп3|Christoffel, E. B.|Christoffel, E. B.||Elwin Bruno Christoffel}}
|год=1869
}}
* {{статья
|ref=Клеро
|заглавие=Détermination géometrique de la perpendiculaire à la méridienne tracée par M. Cassini
|язык=fr
|издание=Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris 1733
|страницы=406—416
|ссылка=https://books.google.com/books?id=GOAEAAAAQAAJ&pg=PA406
|автор={{Нп3|Clairaut, A. C.|Clairaut, A. C.||Alexis Claude Clairaut}}
|год=1735
}}
* {{статья
|ref=Даниельсен
|заглавие=The Area under the Geodesic
|издание=Survey Review
|том=30
|номер=232
|страницы=61—66
|doi=10.1179/003962689791474267
|автор=Danielsen, J. S.
|год=1989
}}
* {{книга
|ref=[[Дарбу, Жан Гастон|Дарбу]]
|год=1894
|заглавие=Leçons sur la théorie générale des surfaces
|том=3
|язык=fr
|издательство=Gauthier-Villars
|место=Paris
|ссылка=https://books.google.com/books?id=hGMSAAAAIAAJ
|oclc=8566228
|автор=[[Jean Gaston Darboux|Darboux, J. G.]]
}}
* {{книга
|ref=Дюпен
|год=1813
|заглавие=Développements de Géométrie
|язык=fr
|издательство=Courcier
|место=Paris
|ссылка=https://books.google.com/books?id=j40AAAAAMAAJ
|oclc=560800801
|автор={{Нп3|Charles Dupin|Dupin, P. C. F.|en|Charles Dupin}}
}}
* {{cite tech report
|ref =Элерт |year = 1993
|last = Ehlert |first = D.
|title = Methoden der ellipsoidischen Dreiecksberechnung
|language = German
|trans-title = Methods for ellipsoidal triangulation
|institution = [[:de:Deutsche Geodätische Kommission|Deutsche Geodätische Kommission]]
|series = Reihe B: Angewandte Geodäsie, Heft Nr. 292
|oclc = 257615376
}}
* {{статья
|ref=Эйлер
|заглавие=Élémens de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et plus petits
|язык=fr
|издание=Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin 1753
|страницы=258—293
|том=9
|ссылка=https://books.google.com/books?id=QIIfAAAAYAAJ&pg=PA258
|автор={{Нп3|Euler, L.|Euler, L.||Leonhard Euler}}
|год=1755
}}. — «. [https://books.google.com/books?id=QIIfAAAAYAAJ&pg=PA362-IA1 Figures].».
* {{cite techreport
|ref = FAI |year = 2018
|last = FAI |authorlink = Fédération Aéronautique Internationale
|title = FAI Sporting Code
|institution = Fédération Aéronautique Internationale
|location = Lausanne, Switzerland
|url = https://www.fai.org/sites/default/files/documents/fai_sporting_code_gs_2018_final.pdf
|postscript = . Section 8.2.3.
}}
* {{книга
|ref=Форсайт
|год=1927
|заглавие=Calculus of Variations
|издательство=[[Издательство Кембриджского университета|Cambridge University Press]]
|isbn=978-1-107-64083-2
|oclc=250050479
|автор={{Нп3|Andrew Forsyth|Forsyth, A. R.|en|Andrew Forsyth}}
}}
* {{h|Ганшин|1967|{{книга
|год=1969
|заглавие=Geometry of the Earth Ellipsoid
|издательство=Aeronautical Chart and Information Center
|место=St. Louis
|doi=10.5281/zenodo.32854
|oclc=493553
|автор=Gan'shin, V. V.
}}}}
* {{h|Гаусс|1828|{{книга
|год=1902
|заглавие=General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825
|издательство=Princeton Univ. Lib
|ссылка=https://books.google.com/books?id=a1wTJR3kHwUC
|oclc=7824448
|язык=en
|автор={{Нп3|Carl Friedrich Gauss|Gauss, C. F.|en|Carl Friedrich Gauss}}
}}}}
* {{статья
|ref=Харт
|заглавие=Geometrical demonstration of some properties of geodesic lines
|издание=Cambridge and Dublin Mathematical Journal
|том=4
|страницы=80—84
|ссылка=https://books.google.com/books?id=ClAeAQAAMAAJ&pg=PA80
|язык=en
|тип=journal
|автор={{Нп3|Hart, A. S.|Hart, A. S.||Andrew Searle Hart}}
|год=1849
}}
* {{h|Гельмерт|1880|{{книга
|год=1964
|заглавие=Mathematical and Physical Theories of Higher Geodesy
|том=1
|издательство=Aeronautical Chart and Information Center
|место=St. Louis
|doi=10.5281/zenodo.32050
|oclc=17273288
|язык=en
|автор=[[Friedrich Robert Helmert|Helmert, F. R.]]
}}}}
* {{книга
|ref=ГильбертКон-Фоссен
|год=1952
|заглавие=Geometry and the Imagination
|ссылка=https://archive.org/details/geometryimaginat00davi_0
|издательство=Chelsea
|место=New York
|oclc=301610346
|автор=[[David Hilbert|Hilbert, D.]]; [[Кон-Фоссен, Стефан Эммануилович|Stephan Cohn-Vossen]]
}}
* {{книга
|ref=Хаттон
|год=1811
|заглавие=A Course of Mathematics in Three Volumes Composed for the Use of the Royal Military Academy
|место=London
|страницы=115
|ссылка=https://books.google.com/books?id=BtM2AAAAMAAJ&pg=PA115
|oclc=18031510
|язык=en
|автор={{Нп3|Charles Hutton|Hutton, C.|en|Charles Hutton}}
}}
* {{статья
|ref=Якоби
|заглавие=Zur Theorie der Variations-Rechnung und der Differential-Gleichungen
|язык=de
|издание=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|Journal für die Reine und Angewandte Mathematik]]
|том=1837
|номер=17
|страницы=68—82
|doi=10.1515/crll.1837.17.68
|ссылка=https://books.google.com/books?id=FKvxAAAAMAAJ&pg=PA68
|автор={{Нп3|Jacobi, C. G. J.|Jacobi, C. G. J.||Carl Gustav Jacob Jacobi}}
|год=1837
}}
* {{статья
|ref=Якоби
|заглавие=Note von der geodätischen Linie auf einem Ellipsoid und den verschiedenen Anwendungen einer merkwürdigen analytischen Substitution
|язык=de
|издание=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|Journal für die Reine und Angewandte Mathematik]]
|том=1839
|номер=19
|страницы=309—313
|doi=10.1515/crll.1839.19.309
|ссылка=https://books.google.com/books?id=RbwGAAAAYAAJ&pg=PA309
|автор={{Нп3|Jacobi, C. G. J.|Jacobi, C. G. J.||Carl Gustav Jacob Jacobi}}
|год=1839
}}. — «. [https://books.google.com/books?id=_09tAAAAMAAJ&pg=PA385 Letter to Bessel], Dec. 28, 1838. [http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1841_1_6_A20_0.pdf French translation] (1841).».
* {{h|Якоби|1866|{{книга
|год=2009
|заглавие=Lectures on Dynamics
|издательство=Hindustan Book Agency
|место=New Delhi
|isbn=978-81-85931-91-3
|mr=2569315
|oclc=440645889
|автор=[[Carl Gustav Jacob Jacobi|Jacobi, C. G. J.]]
|ответственный={{Нп3|Alfred Clebsch|A. Clebsch|en|Alfred Clebsch}}
}}}}
* {{cite book |ref = Якоби
|year = 1891
|last = Jacobi |first = C. G. J. |authorlink = Carl Gustav Jacob Jacobi
|work = Jacobi's Gesammelte Werke
|title = Über die Curve, welche alle von einem Punkte ausgehenden geodätischen Linien eines Rotationsellipsoides berührt
|publisher = Reimer |location = B.
|language = de
|trans-title = The envelope of geodesic lines emanating from a single point on an ellipsoid
|pages = 72–87
|editor = K. T. W. Weierstrass|editor-link = Karl Weierstrass
|volume = 7
|url = https://books.google.com/books?id=_09tAAAAMAAJ&pg=PA72
|oclc = 630416023
}} Op. post., completed by [[Friedrich Heinrich Albert Wangerin|F. H. A. Wangerin]]. [https://geographiclib.sourceforge.io/geodesic-papers/jacobi-V7.pdf PDF].
* {{h|Джекелей|2012|{{citation
|year = 2012
|last = Jekeli |first = C.
|title = Geometric Reference Systems in Geodesy
|publisher = Ohio State Univ.
|hdl = 1811/51274
}}}}
* {{h|ЙорданЭггерт|1941|{{книга
|год=1962
|заглавие=Handbook of Geodesy
|том=3.2
|издательство=Army Map Service
|место=Washington, DC
|doi=10.5281/zenodo.35316
|oclc=34429043
|bibcode=1962hage.book.....J
|автор={{Нп3|Wilhelm Jordan (geodesist)|Jordan, W.|en|Wilhelm Jordan (geodesist)}}; {{Нп3|Otto Eggert|Eggert, O.|en|Otto Eggert}}
}}}}
* {{статья
|ref=Карней
|заглавие=Algorithms for geodesics
|издание=Journal of Geodesy
|том=87
|номер=1
|страницы=43—55
|doi=10.1007/s00190-012-0578-z
|arxiv=1109.4448
|bibcode=2013JGeod..87...43K
|автор=Karney, C. F. F.
|год=2013
}}. — « (open access). [https://geographiclib.sourceforge.io/geod-addenda.html Addenda].».
* {{cite web
|year = 2015
|title = GeographicLib
|last = Karney |first = C. F. F.
|url = https://geographiclib.sourceforge.io/1.44/
|description = Version 1.44
}}
* {{книга
|ref=Клингенберг
|год=1982
|заглавие=Riemannian Geometry
|ссылка=https://archive.org/details/riemanniangeomet0000klin_r2g4
|издательство=de Gruyer
|oclc=8476832
|isbn=978-3-11-008673-7
|mr=666697
|автор={{Нп3|Wilhelm Klingenberg|Klingenberg, W. P. A.|en|Wilhelm Klingenberg}}
}}
* {{статья
|ref=Кноррер
|заглавие=Geodesics on the ellipsoid
|издание=[[Inventiones Mathematicae]]
|том=59
|номер=2
|страницы=119—143
|doi=10.1007/BF01390041
|bibcode=1980InMat..59..119K
|язык=en
|автор={{Нп3|Knörrer, H.|Knörrer, H.||Horst Knörrer}}
|год=1980
|тип=journal
}}
* {{h|КраковскиТомпсон|1974|{{citation
|year = 1974
|last1 = Krakiwsky |first1 = E. J.
|last2 = Thomson |first2 = D. B.
|title = Geodetic position computations
|location = Fredericton, N.B.
|publisher = Univ. of New Brunswick
|url = http://www2.unb.ca/gge/Pubs/LN39.pdf
|series = Dept. of Geodesy and Geomatics Engineering, Lecture Notes
|number = 39
|bibcode = 1974gpc..book.....K
}}}}
* {{h|Лаплас|1799a|{{книга
|год=1829
|заглавие=Treatise on Celestial Mechanics
|издательство=Hillard, Gray, Little, & Wilkins
|место=Boston
|том=1
|ссылка=https://books.google.com/books?id=k-cRAAAAYAAJ&pg=PA34
|oclc=1294937
|автор={{Нп3|Pierre-Simon Laplace|Laplace, P. S.|en|Pierre-Simon Laplace}}
}}}}
* {{книга
|ref=Laplace
|год=1799b
|заглавие=Traité de Mécanique Céleste
|издательство=Crapelet
|место=Paris
|язык=fr
|том=2
|страницы=112
|ссылка=https://books.google.com/books?id=5FKKk5EGLJ8C&pg=PA112
|oclc=25448952
|автор={{Нп3|Pierre-Simon Laplace|Laplace, P. S.|en|Pierre-Simon Laplace}}
}}
* {{статья
|ref=Лежандр
|заглавие=Analyse des triangles tracées sur la surface d'un sphéroïde
|язык=fr
|издание=Mémoires de l'Institut National de France
|страницы=130—161
|ссылка=https://books.google.com/books?id=EnVFAAAAcAAJ&pg=PA130
|автор={{Нп3|Legendre, A. M.|Legendre, A. M.||Adrien-Marie Legendre}}
|год=1806
}}
* {{книга
|ref=Лежандр
|год=1811
|заглавие=Exercices de Calcul Intégral sur Divers Ordres de Transcendantes et sur les Quadratures
|язык=fr
|издательство=Courcier
|место=Paris
|ссылка=https://books.google.com/books?id=riIOAAAAQAAJ
|oclc=312469983
|автор=[[Adrien-Marie Legendre|Legendre, A. M.]]
}}
* {{книга
|ref=Лейк и др.
|год=2015
|заглавие=GPS Satellite Surveying
|ссылка=https://books.google.com/books?id=FQlhBgAAQBAJ
|издательство=Wiley
|издание=4th
|isbn=978-1-119-01828-5
|автор=Leick, A.; Rapoport, L.; Tatarnikov, D.
}}
* {{статья
|ref=Луивилль
|заглавие=Sur quelques cas particuliers où les équations du mouvement d'un point matériel peuvent s'intégrer
|язык=fr
|издание={{Нп3|Journal de Mathématiques Pures et Appliquées}}
|том=11
|страницы=345—378
|ссылка=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1846_1_11_A45_0.pdf
|автор={{Нп3|Liouville, J.|Liouville, J.||Joseph Liouville}}
|год=1846
}}
* {{книга
|ref=Люстерник
|год=1964
|заглавие=Shortest Paths: Variational Problems
|издательство=Macmillan
|место=New York
|oclc=1048605
|серия=Popular Lectures in Mathematics
|том=13
|mr=0178386
|автор={{Нп3|Lazar Lyusternik|Lyusternik, L.|en|Lazar Lyusternik}}
}}
* {{cite book |ref = Мунге
|year = 1850 |origyear = 1796
|last = Monge |first = G. |authorlink = Gaspard Monge
|title = Sur les lignes de courbure de la surface de l'ellipsoïde
|language = fr
|trans-title = On the lines of curvature on the surface of the ellipsoid
|work = Application de l'Analyse à la Géometrie
|pages = 139–160
|url = https://books.google.com/books?id=Nf5zhlffjd0C&pg=PA139
|editor = J. Liouville|editor-link = Joseph Liouville
|edition = 5th
|publisher = Bachelier |location = Paris
|postscript = . [https://geographiclib.sourceforge.io/geodesic-papers/monge50-fig.pdf Figures].
|oclc = 2829112
}}
* {{cite web
|ref = {{harvid|NGS|2012}} |year = 2012
|title = Geodesic Utilities: Inverse and Forward
|description= Version 3.0
|author = National Geodetic Survey |authorlink = National Geodetic Survey
|url = http://www.ngs.noaa.gov/PC_PROD/Inv_Fwd/
}}
* {{h|Ньютон|1687|{{книга
|год=1848
|заглавие=The Mathematical Principles of Natural Philosophy
|издательство=Adee
|место=New York
|ссылка=https://books.google.com/books?id=KaAIAAAAIAAJ&pg=PA405
|язык=en
|автор=[[Ньютон, Исаак|Isaac Newton]]
}}}}
* {{статья
|ref=Ориани
|заглавие=Elementi di trigonometria sferoidica, Pt. 1
|язык=it
|издание=Memorie Dell'Istituto Nazionale Italiano
|том=1
|страницы=118—198
|ссылка=https://books.google.com/books?id=SydFAAAAcAAJ&pg=PA118
|автор={{Нп3|Oriani, B.|Oriani, B.||Barnaba Oriani}}
|год=1806
}}
* {{статья
|ref=Ориани
|заглавие=Elementi di trigonometria sferoidica, Pt. 2
|язык=it
|издание=Memorie Dell'Istituto Nazionale Italiano
|том=2
|страницы=1—58
|ссылка=https://books.google.com/books?id=XSdFAAAAcAAJ&pg=PA1
|автор={{Нп3|Oriani, B.|Oriani, B.||Barnaba Oriani}}
|год=1808
}}
* {{статья
|ref=Ориани
|заглавие=Elementi di trigonometria sferoidica, Pt. 3
|язык=it
|издание=Memorie Dell'Istituto Nazionale Italiano
|том=2
|страницы=1—58
|ссылка=https://books.google.com/books?id=qaosAQAAMAAJ&pg=PA1
|автор={{Нп3|Oriani, B.|Oriani, B.||Barnaba Oriani}}
|год=1810
}}
* {{статья
|ref=Пуанкаре
|заглавие=Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes
|язык=fr
|издание=[[Transactions of the American Mathematical Society]]
|том=6
|номер=3
|страницы=237—274
|doi=10.2307/1986219
|jstor=1986219
|ссылка=https://zenodo.org/record/2044489
|автор={{Нп3|Poincaré, H.|Poincaré, H.||Henri Poincaré}}
|год=1905
}}
* {{статья
|ref=Рэйнсфорд
|заглавие=Long geodesics on the ellipsoid
|издание=Bulletin Géodésique
|том=37
|номер=1
|страницы=12—22
|doi=10.1007/BF02527187
|bibcode=1955BGeod..29...12R
|автор=Rainsford, H. F.
|год=1955
}}
* {{citation
|year = 1991
|last = Rapp |first = R. H.
|title = Geometric geodesy, part I
|publisher = Ohio State Univ.
|hdl = 1811/24333 |ref=Рапп }}
* {{citation
|year = 1993
|last = Rapp |first = R. H.
|title = Geometric geodesy, part II
|publisher = Ohio State Univ.
|hdl = 1811/24409  |ref=Рапп}}
* {{cite techreport
|ref = RNAV |year = 2007
|last = RNAV |authorlink = RNAV
|title = Order 8260.54A, The United States Standard for Area Navigation
|institution = U.S. Federal Aviation Administration
|location = Washington, D.C.
|url = https://www.faa.gov/documentLibrary/media/Order/8260.54A.pdf
|postscript = . Appendix 2.
}}
* {{статья
|ref=Сьоберг
|заглавие=Determination of areas on the plane, sphere and ellipsoid
|издание=Survey Review
|том=38
|номер=301
|страницы=583—593
|doi=10.1179/003962606780732100
|язык=en
|тип=journal
|автор=Sjöberg, L. E.
|год=2006
}}
* {{cite techreport
|ref = UNCLOS
|year = 2006
|last = UNCLOS
|authorlink = UNCLOS
|title = A Manual on Technical Aspects of the United Nations Convention on the Law of the Sea, 1982
|institution = International Hydrographic Bureau
|edition = 4th
|location = Monaco
|url = http://www.iho.int/iho_pubs/CB/C-51_Ed4-EN.pdf
|accessdate = 2019-12-07
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20130524163050/http://www.iho.int/iho_pubs/CB/C-51_Ed4-EN.pdf
|archivedate = 2013-05-24
|url-status = dead
}}
* {{статья
|ref=Винсенти
|заглавие=Direct and inverse solutions of geodesics on the ellipsoid with application of nested equations
|издание=Survey Review
|том=23
|номер=176
|страницы=88—93
|doi=10.1179/sre.1975.23.176.88
|ссылка=https://www.ngs.noaa.gov/PUBS_LIB/inverse.pdf
|язык=en
|тип=journal
|автор={{Нп3|Vincenty, T.|Vincenty, T.||Thaddeus Vincenty}}
|год=1975
}}. — «. Addendum: Survey Review '''23''' (180): 294 (1976).».
* {{cite techreport
|ref =ВинсентиБауринг |year = 1978
|last1 = Vincenty |first1 = T. |authorlink1 = Thaddeus Vincenty
|last2 = Bowring |first2 = B. R.
|title = Application of three-dimensional geodesy to adjustments of horizontal networks
|institution = NOAA
|number = NOS NGS-13
|url = https://www.ngs.noaa.gov/PUBS_LIB/ApplicationOfThreeDimensionalGeodesyToAdjustmentsOfHorizontalNetworks_TM_NOS_NGS13.pdf
}}
* {{статья
|ref=Вейерштрасс
|заглавие=Über die geodätischen Linien auf dem dreiaxigen Ellipsoid
|язык=de
|издание=Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaft zu Berlin
|страницы=986—997
|ссылка=https://books.google.com/books?id=9O4GAAAAYAAJ&pg=PA257
|автор={{Нп3|Weierstrass, K. T. W.|Weierstrass, K. T. W.||Karl Weierstrass}}
|год=1861
}}. — «. [https://geographiclib.sourceforge.io/geodesic-papers/weierstrass-V1.pdf PDF].».
{{refend}}

[[Категория:Геодезия]]