Просмотр кода страницы Гиперболические числа

{{Другое значение|О гиперкомплексных числах параболического типа см. [[дуальные числа]]}}
'''Гиперболические числа''', или '''двойны́е чи́сла''', '''паракомпле́ксные чи́сла''', '''расщепля́емые компле́ксные чи́сла''', '''компле́ксные чи́сла гиперболи́ческого ти́па''', '''контркомпле́ксные чи́сла'''<ref>[http://www.pdmi.ras.ru/znsl/2019/v482/abs087.html С. А. Жилина. Графы отношений алгебры контрседенионов. Записки научных семинаров ПОМИ, том 482, с. 87—113.]</ref> — [[гиперкомплексные числа]] вида «{{math|''a'' + ''j'' · ''b''}}», где {{math|''a''}} и {{math|''b''}} — [[вещественные числа]] и <math>j^2 = 1,</math> причём {{math|''j'' ≠ ±1}}.

== Определение ==

=== Алгебраическое определение ===
Любое гиперболическое число можно представить как упорядоченную пару вещественных чисел <math>(x, y).</math> Сложение и умножение определяются по правилам:

: <math>(x,y) + (x',y') = (x + x',y + y'),</math>
: <math>(x,y) \cdot (x',y') = (x x' + y y',x y' + y x').</math>

Числа вида <math>(a,0)</math> отождествляются с вещественными числами, а <math>j = (0,1).</math> Тогда соответствующие тождества принимают вид:

: <math>(x + j y) + (x' + j y') = (x + x') + j(y + y'),</math>
: <math>(x + j y) \cdot (x' + j y') = (x x' + y y') + j(x y' + y x').</math>

=== Матричное [[представление группы|представление]] ===
Гиперболические числа можно представить как [[Матрица (математика)|матрицы]] из вещественных чисел, при этом сложению и умножению гиперболических чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:

: <math> j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},</math>
: <math>x + j y = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}.</math>

== Арифметические операции ==
* Сложение:
*: <math>(a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j.</math>
* Вычитание:
*: <math>(a+bj)-(c+dj)=(a-c)+(b-d)j.</math>
* Умножение:
*: <math>(a+bj)\cdot(c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j.</math>
* Деление на число, не являющееся делителем нуля:
*: <math>\frac{a+bj}{c+dj} = \frac{ac-bd}{c^2-d^2} + \frac{bc-ad}{c^2-d^2} j.</math>

== Свойства ==
: <math> \mathrm{e}^{j x} = \operatorname{ch} x + j \operatorname{sh} x,</math> где sh и ch — [[Гиперболические функции|гиперболические]] синус и косинус.
: <math> \operatorname{sh}jx=j\operatorname{sh}x</math>
: <math> \operatorname{ch}jx=\operatorname{ch}x</math>

Гиперболические числа образуют двумерную [[Ассоциативность (математика)|ассоциативно]]-[[коммутативность|коммутативную]] [[алгебра над полем|алгебру]] над [[поле (алгебра)|полем]] вещественных чисел.
Алгебра гиперболических чисел содержит [[делитель нуля|делители нуля]] (то есть такие ненулевые элементы {{math|''z''}} и {{math|''w''}}, что {{math|''zw'' {{=}} 0}}) и поэтому, в отличие от алгебры [[комплексное число|комплексных чисел]], не является полем. Все делители нуля имеют вид <math>a \cdot (1\pm j).</math>

Если взять <math>\alpha=(1+j)/2</math> и <math>\beta=(1-j)/2,</math> то
: <math>\alpha \beta=0,</math> <math>\alpha^2=\alpha</math> и <math>\beta^2=\beta.</math>

Любое гиперболическое число может быть представлено как сумма <math>\alpha x + \beta y,</math> где <math>x</math> и <math>y</math> — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно.

Таким образом, алгебра гиперболических чисел может быть разложена в [[прямая сумма|прямую сумму]] двух полей вещественных чисел.

== Применение ==
Гиперболические числа иногда [[Быстрота#Геометрический смысл быстроты|применяются]] в [[релятивистская кинематика|релятивистской кинематике]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
;на русском языке
* {{книга |автор=[[Яглом, Исаак Моисеевич|Яглом И. М.]]|заглавие=Комплексные числа и их применение в геометрии |nodot= |язык=ru |ответственный= |ссылка=https://math.ru/lib/book/djvu/yaglom/compl_num.djvu |место=М.|издательство= |год=1963 |том= |страниц=192|страницы= |isbn= |ref=Яглом}}
;на других языках
* Bencivenga, Uldrico (1946) «Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo», ''Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli'', Ser (3) v.2 No7. {{MathSciNet|id=0021123}}.
* [[Walter Benz]] (1973) ''Vorlesungen uber Geometrie der Algebren'', Springer
* N. A. Borota, E. Flores, and T. J. Osler (2000) «Spacetime numbers the easy way», [[Mathematics and Computer Education]] 34: 159—168.
* N. A. Borota and T. J. Osler (2002) «Functions of a spacetime variable», ''Mathematics and Computer Education'' 36: 231—239.
* K. Carmody, (1988) «Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions», Appl. Math. Comput. 28:47-72.
* K. Carmody, (1997) «Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions — further results», Appl. Math. Comput. 84:27-48.
* [[William Kingdon Clifford]] (1882) ''Mathematical Works'', A. W. Tucker editor, page 392, «Further Notes on Biquaternions»
* V.Cruceanu, P. Fortuny & P.M. Gadea (1996) [http://www.projecteuclid.org/euclid.rmjm/1181072105 A Survey on Paracomplex Geometry], [[Rocky Mountain Journal of Mathematics]] 26(1): 83-115, link from [[Project Euclid]].
* De Boer, R. (1987) «An also known as list for perplex numbers», ''American Journal of Physics'' 55(4):296.
* Anthony A. Harkin & Joseph B. Harkin (2004) [http://people.rit.edu/harkin/research/articles/generalized_complex_numbers.pdf Geometry of Generalized Complex Numbers], [[Mathematics Magazine]] 77(2):118-29.
* F. Reese Harvey. ''Spinors and calibrations.'' Academic Press, San Diego. 1990. {{isbn|0-12-329650-1}}. Contains a description of normed algebras in indefinite signature, including the Lorentz numbers.
* Hazewinkle, M. (1994) «Double and dual numbers», [[Encyclopaedia of Mathematics]], Soviet/AMS/Kluwer, Dordrect.
* Kevin McCrimmon (2004) ''A Taste of Jordan Algebras'', pp 66, 157, Universitext, Springer {{isbn|0-387-95447-3}} {{mr|id=2014924}}
* C. Musès, «Applied hypernumbers: Computational concepts», Appl. Math. Comput. 3 (1977) 211—226.
* C. Musès, «Hypernumbers II—Further concepts and computational applications», Appl. Math. Comput. 4 (1978) 45-66.
* Olariu, Silviu (2002) ''Complex Numbers in N Dimensions'', Chapter 1: Hyperbolic Complex Numbers in Two Dimensions, pages 1-16, North-Holland Mathematics Studies #190, [[Elsevier]] {{isbn|0-444-51123-7}}.
* Poodiack, Robert D. & Kevin J. LeClair (2009) «Fundamental theorems of algebra for the perplexes», [[The College Mathematics Journal]] 40(5):322-35.
* {{cite book|editor=Marco Ceccarelli and Victor A. Glazunov|title=Advances on Theory and Practice of Robots and Manipulators: Proceedings of Romansy 2014 XX CISM-IFToMM Symposium on Theory and Practice of Robots and Manipulators|year=2014 | publisher=Springer | isbn=978-3-319-07058-2|chapter=Generalised Complex Numbers in Mechanics|author=J. Rooney|series=Mechanisms and Machine Science | volume=22|pages=55–62|doi=10.1007/978-3-319-07058-2_7}}
{{Числа}}

[[Категория:Гиперкомплексные числа]]