Просмотр кода страницы Гипервещественное число

[[Файл:Números hiperreales.png|right|400px]]
'''Гипервещественные числа''' (''гипердействительные числа'') — [[расширение поля]] [[Вещественное число|вещественных чисел]] <math>\mathbb{R}</math>, которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы <math>1 + 1 + \cdots + 1</math>.

Термин «гипервещественное число» ({{lang-en|hyper-real number}}) был предложен американским математиком {{iw|Хьюитт, Эдвин|Эдвином Хьюиттом|en|Edwin Hewitt}} в 1948 году<ref>{{cite journal | last1 = Hewitt | first1 = Edwin | year = 1948 | title = Rings of real-valued continuous functions. I | url = | journal = Trans. Amer. Math. Soc. | volume = 64 | issue = | pages = 45–99 | doi=10.1090/s0002-9947-1948-0026239-9| doi-access = free }}</ref>. Теорию [[Поле (алгебра)|поля]] гипервещественных чисел как расширения поля вещественных чисел опубликовал в 1960-е годы [[Абрахам Робинсон]], который назвал её «[[Нестандартный анализ|нестандартным анализом]]». Робинсон также доказал [[непротиворечивость]] этой теории (точнее, свёл проблему к непротиворечивости вещественных чисел).

Теория гипервещественных чисел даёт строгий подход к исчислению [[Бесконечность|бесконечно больших]] и [[Бесконечно малое|бесконечно малых]] величин, которые в этом случае, в отличие от стандартного анализа, являются не переменными, а постоянными, то есть числами. В нестандартном анализе на современной основе реабилитируется восходящая к [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбницу]] и его последователям идея о существовании [[Актуальная бесконечность|актуальных]] [[бесконечно малое|бесконечно малых]] величин, отличных от нуля, — идея, которая в историческом развитии математического анализа была заменена понятием предела [[Переменная величина|переменной величины]]. Любопытно, что представления об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых величинах сохранялись в учебниках физики и других естественных наук, где часто встречаются фразы вроде «пусть <math>dV</math> — (бесконечно малый) элемент объёма…»<ref>См., например: ''Детлаф А. А., Яворский Б. М.'' Курс физики. М.: Высшая школа, 1999, С. 128 и далее.</ref>.

== Формальное определение ==
Множество гипервещественных чисел <math>^*\mathbb{R}</math> представляет собой [[неархимедово поле|неархимедово]] [[упорядоченное поле]], [[расширение поля]] [[Вещественное число|вещественных чисел]] <math>\mathbb{R}</math>, которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы <math>1 + 1 + \cdots + 1</math>. Каждое такое число [[Бесконечность|бесконечно велико]], а обратное ему [[Бесконечно малое|бесконечно мало́]].

Гипервещественные числа удовлетворяют принципу переноса — строгому варианту эвристического [[Принцип непрерывности|принципа непрерывности]] [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбница]].
Принцип переноса утверждает, что утверждения в [[Логика первого порядка|логике первого порядка]] об <math>\mathbb{R}</math> справедливы и для <math>^*\mathbb{R}</math>.
Например, правило [[Коммутативность|коммутативности]] сложения <math>x + y = y + x</math> справедливо для гипервещественных чисел так же, как и для вещественных. Принцип переноса для ультрастепеней является следствием теоремы Лося (1955). Свойства арифметических операций с гипервещественными числами в основном такие же, как у вещественных.

Изучение бесконечно малых величин восходит к древнегреческому математику [[Евдокс Книдский|Евдоксу Книдскому]], который использовал для их исчисления [[метод исчерпывания]]. В 1961 году [[Робинсон, Абрахам|А. Робинсон]] доказал, что поле вещественных чисел может быть расширено до множества ([[Упорядоченное поле|упорядоченного]] неархимедового поля), содержащего бесконечно малые и бесконечно большие элементы в том смысле, какой вкладывали в эти понятия Лейбниц и другие математики XVIII века<ref name=PANOV>{{книга |автор=Панов В. Ф. |заглавие=Математика древняя и юная |издание=Изд. 2-е, исправленное |место=М. |издательство=[[МГТУ им. Баумана]] |год=2006 |страниц=648 |страницы=548—553 |isbn=5-7038-2890-2 }}</ref>.

Применение гипервещественных чисел и, в частности, принципа переноса, в задачах [[Математический анализ|математического анализа]] называется [[Нестандартный анализ|нестандартным анализом]].
Одним из непосредственных приложений является определение основных понятий анализа, таких как [[Производная функции|производная]] и интеграл напрямую, без использования перехода к пределу или сложных логических конструкций. Так, определение производной <math>f(x)</math> из аналитического становится чисто арифметическим:
: <math>f'(x) = \operatorname{st}\left(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)</math>
для бесконечно малого <math>\Delta x</math>, где <math>\operatorname{st}</math> означает [[Стандартная часть числа|стандартную часть числа]], которая связывает каждое конечное гипервещественное число с единственным вещественным, бесконечно близким к нему.

== Поле гипервещественных чисел ==
Поле гипервещественных чисел <math>^*\mathbb{R}</math> состоит из трёх частей{{sfn |Успенский|1987|с=20}}:
* отрицательные бесконечные числа,
* конечные числа,
* положительные бесконечные числа.
Конечные числа, в свою очередь, можно разделить на две категории: обычные вещественные и ''нестандартные''. Каждое нестандартное конечное число может быть однозначно представлено в виде: <math>a+\epsilon,</math> где <math>a</math> — вещественное число, а <math>\epsilon</math> — бесконечно малая (положительная или отрицательная). При <math>a=0</math> получается множество бесконечно малых. Таким образом, каждое вещественное число оказывается как бы окутано аурой (''монадой'') своих гипервещественных двойников, бесконечно к нему близких{{sfn |Успенский|1987|с=19—21}}.

== Алгебраическая структура ==
Положим, что <math>X</math> является [[Вполне регулярное пространство|тихоновским пространством]], которое также называется <math>T_{3.5}</math>-пространством, а <math>C(X)</math> — алгебра непрерывных вещественных функций на <math>X</math>. Пусть <math>M</math> есть [[максимальный идеал]] в <math>C(X)</math>.
Тогда [[факторкольцо]] <math>A = C(X) / M</math>, является, по определению, действительной алгеброй и может быть рассмотрено как [[линейно упорядоченное множество]]. Если <math>F</math> строго содержит <math>\mathbb{R}</math>, то <math>M</math> называется гипервещественным идеалом (по терминологии Хьюитта, 1948), а <math>F</math> — гипервещественным полем.
Отметим, что данное предположение не означает, что мощность поля <math>F</math> больше, чем у поля <math>\mathbb{R}</math>, они могут на самом деле иметь одинаковую мощность.

Важный частный случай — если пространство <math>X</math> является [[Дискретное пространство|дискретным пространством]], в этом случае <math>X</math> можно отождествить с [[Мощность множества|мощностью множества]] <math>\kappa</math>, и <math>C(X)</math> с вещественной алгеброй <math>\mathbb{R}^\kappa</math> функций <math>\kappa</math> от <math>\mathbb{R}</math>.
Гипервещественные поля, которые мы получаем в этом случае, называются {{iw|ультрапроизведение|ультрастепенями|en|Ultraproduct}} <math>\mathbb{R}</math> и идентичны ультрастепеням, построенным через свободные [[ультрафильтр]]ы в [[Общая топология|общей топологии]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Гордон Е. И., Кусраев А. Г., [[Кутателадзе, Семен Самсонович|Кутателадзе С. С.]]
  |заглавие=Инфинитезимальный анализ |ссылка=http://www.math.nsc.ru/LBRT/g2/english/ssk/infa.pdf
  |место=Новосибирск |издательство=Институт математики |год=2006 |ref=Инфинитезимальный анализ}}
* {{книга|автор = Дэвис М. | заглавие = Прикладной нестандартный анализ | место = М. | издательство = Мир | год = 1980}}
* {{книга |автор=[[Успенский, Владимир Андреевич|Успенский В. А.]] |заглавие=Что такое нестандартный анализ |место=М. |издательство=Наука |год=1987 |ref=Успенский}}

{{Числа}}
{{Бесконечно малые и бесконечно большие}}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Алгебра]]
[[Категория:Нестандартный анализ]]