Просмотр кода страницы Гипотеза Римана

{{Проблемы тысячелетия}}
'''Гипо́теза Ри́мана''' — сформулированная [[Германия|немецким]] математиком [[Риман, Бернхард|Бернхардом Риманом]] в [[1859 год в науке|1859 году]]{{переход|История}} [[Гипотеза (математика)|математическая гипотеза]] о том, что [[дзета-функция Римана|дзета-функция Ри́мана]] <math>\displaystyle \zeta(s)</math> ([[дзета-функция Римана#История|введённая]] [[Эйлер, Леонард|Эйлером]] в [[1737 год в науке|1737 году]]) принимает [[Нуль функции|нулевые]] значения только в [[Отрицательное число|отрицательных]] [[Чётные и нечётные числа|чётных]] числах: <math>0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots</math> (где эти простые нули называются «''тривиальными''» нулями дзета-функции), и [[Комплексное число|комплексных числах]] с [[Комплексное число#Связанные определения|вещественной частью]] <math>{1\over2}</math> («''нетривиальные''» нули дзета-функции Римана){{переход|Формулировка}}. Гипотеза Римана касается расположения этих нетривиальных нулей и утверждает, что{{переход|Гипотеза Римана}}:

{{bquote|''Все'' нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную <math>{1\over2}</math>.}}

Таким образом, если гипотеза верна, все нетривиальные нули дзета-функции Римана (число которых [[Бесконечность#В математике|бесконечно]]) лежат на '''критической прямой''' <math>\operatorname{Re}\,s = \frac 1 2</math>, состоящей из комплексных чисел <math>{1\over2} + i t</math>, где <math>t</math> — [[Вещественное число|действительное число]], а <math>i</math> — [[мнимая единица]].

Особое значение гипотезы Римана состоит в (предположительной) взаимосвязи рисунка распределения на критической прямой нетривиальных нулей дзета-функции Римана с [[«O» большое и «o» малое|асимптотикой]] [[Теорема о распределении простых чисел|распределения]] [[простое число|простых чисел]].
Этот вопрос имеет значение как для [[Чистая математика|чистой математики]] (в [[теория чисел|теории чисел]]), так и для [[Прикладная математика|прикладной математики]] (например, для [[криптография|криптографии]]).
Хотя не было найдено какой-либо закономерности в распределении простых чисел среди [[Натуральное число|натуральных]], Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих <math>x</math>, — [[функция распределения простых чисел]] <math>\pi(x)</math> — выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции. Гипотеза стала основой для дальнейшего доказательства [[Адамар, Жак|Адамаром]] и [[Валле Пуссен, Шарль Жан де ла|Валле-Пуссеном]] ([[1896 год в науке|1896]]) [[Теорема о распределении простых чисел|теоремы о распределении простых чисел]]{{переход|История}}.

Также были выдвинуты гипотезы о возможной связи [[Математическая статистика|статистических]] свойств нетривиальных нулей дзета-функции Римана (а значит — и простых чисел) с явлениями [[Квантовая физика|квантовой физики]], в частности — с [[квантовый хаос|квантовым хаосом]]{{переход|Возможная связь с квантовой механикой}}.

Гипотеза Римана часто рассматривается в качестве важнейшей нерешённой математической проблемы{{sfn|Дербишир|2010|loc=Вступление|с=14—15}}{{sfn|Стюарт|2015|loc=Глава 9. Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана|с=236, 252—253|ref=Стюарт}}<ref>{{книга |автор=[[Бомбиери, Энрико|Bombieri, Enrico]] |заглавие=The Riemann Hypothesis – official problem description |оригинал= |язык=en |ссылка=http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf |викитека= |ответственный= |издание=[[Математический институт Клэя|Clay Mathematics Institute]] |место= |издательство= |год=2000 |volume= |pages= |columns= |allpages= |серия= |isbn= |тираж= |ref= |archivedate=2015-12-22 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20151222090027/http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf }}</ref>. Сама гипотеза, в совокупности с [[гипотеза Гольдбаха|гипотезой Гольдбаха]], составляют [[Восьмая проблема Гильберта|восьмую проблему Гильберта]] — одну из немногих недоказанных по состоянию на 2023 год [[Проблемы Гильберта|проблем Гильберта]]. Также гипотеза Римана — единственная из проблем Гильберта, включённая в [[2000 год в науке|2000 году]] в список семи «[[Задачи тысячелетия|Задач тысячелетия]]», за решение каждой из которых [[Математический институт Клэя|Математическим институтом Клэя]] обещана награда в один миллион долларов США. Несмотря на множество предпринимавшихся (периодически публикуемых) попыток доказательства гипотезы, ни одно из них так и не было признано научным сообществом{{sfn|Стюарт|2015|loc=Глава 9. Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана|с=250|ref=Стюарт}}.

Существует множество математических проблем, доказанных в предположении верности гипотезы Римана, так что её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно в области распределения простых чисел{{sfn|Дербишир|2010|loc=Глава 18. Теория чисел встречается с квантовой механикой, с. 349—350. Глава 22. Она или верна, или нет, с. 423}}{{sfn|Стюарт|2015|loc=Глава 2. Территория простых чисел. Проблема Гольдбаха, с. 64—66. Глава 9. Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана|с=238—239|ref=Стюарт}}.

На 2004 год [[Вычислительные методы|численными методами]] было подтверждено, что более 10<sup>13</sup> (десяти триллионов) первых нетривиальных нулей дзета-функции Римана удовлетворяют этой гипотезе, что является хорошим аргументом в пользу истинности этой гипотезы, но ''не гарантирует'' её{{переход|Соображения об истинности или ложности гипотезы}}.

== Формулировка ==
[[Файл:RiemannCriticalLine.svg|thumb|350px|Действительная (<font color=red>красная</font>) и мнимая (<font color=blue>синяя</font>) компоненты дзета-функции]]
[[Дзета-функция Римана]] <math>\zeta(s)</math> определена для всех комплексных <math>s\ne 1</math> и имеет нули в отрицательных чётных, то есть <math>0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) \dots</math>, такие нули называются тривиальными.

Из функционального уравнения <math>\zeta(s) = 2^s \pi^{s} \sin{\pi s \over 2} \frac1{\sin\pi s\Gamma(s)}\zeta(1-s)</math> и явного выражения <math>\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}</math> при <math>\operatorname{Re}\,s>1</math>, где <math>\mu(n)</math> — [[функция Мёбиуса]], следует, что все остальные нули (называемые «нетривиальными»), расположены в полосе <math>0\leqslant\operatorname{Re}\,s\leqslant1</math> симметрично относительно так называемой «критической линии» <math>{1\over2}+i t,\; t\in\mathbb{R}</math>.

=== Гипотеза Римана ===
Гипотеза Римана утверждает, что{{sfn|Дербишир|2010|loc=Вступление, с. 15. Глава 5. Дзета-функция Римана, с. 105}}{{sfn|Стюарт|2015|loc=Глава 9. Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана|с=236|ref = Стюарт}}:
: «''Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную <math>\frac{1}{2}</math>''»,
то есть являются комплексными числами, расположенными на прямой <math>\operatorname{Re} s = \frac{1}{2}</math>.

=== Обобщённая гипотеза Римана ===
'''Обобщённая гипотеза Римана''' — аналог гипотезы Римана для обобщений дзета-функций, называемых [[L-функция Дирихле|L-функциями Дирихле]].

== История ==
В [[1859 год в науке|1859 году]] Бернхард Риман опубликовал работу {{iw|О числе простых чисел, не превышающих данной величины|«О числе простых чисел, не превышающих данной величины»|en|On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude}}<ref>{{Статья |автор=[[Риман, Бернхард|Bernhard Riemann]] |заглавие=Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse |язык=de |ссылка=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/ |год=1859 |издание=Monatsberichte der Berliner Akademie |archivedate=2009-06-17 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090617072303/http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/ }}</ref>. В рамках предположения о верности гипотезы Риман писал (для удобства работая, в основном, с зависимой {{iw|Кси-функция Римана|кси-функцией|en|Riemann Xi function}}){{sfn|Стюарт|2015|loc=Глава 9. Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана|с=235—236|ref = Стюарт}}:
{{Цитата|... Весьма вероятно, что все [нули кси-функции] действительны. Хотелось бы, конечно, иметь строгое [[Математическое доказательство|доказательство]] этого факта, но после нескольких бесплодных попыток я отложил поиск такого доказательства, поскольку этого не требуется для непосредственных целей моего исследования.
{{oq|de|... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.}}}}

Данное заявление Римана о кси-функции эквивалентно подобному заявлению (формулирующемуся в гипотезу Римана) о зависимой от неё дзета-функции{{sfn|Стюарт|2015|loc=Глава 9. Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана|с=236|ref = Стюарт}}.

Доказательство [[Адамар, Жак|Адамаром]] и [[Валле Пуссен, Шарль Жан де ла|Валле-Пуссеном]] в [[1896 год в науке|1896 году]] [[Теорема о распределении простых чисел|теоремы о распределении простых чисел]] (где они независимо показали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых <math>\operatorname{Re}\,s=0</math> и <math>\operatorname{Re}\,s=1</math>) дало мощный импульс развитию [[аналитическая теория чисел|аналитической теории чисел]]{{sfn|Стюарт|2015|loc=Глава 9. Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана|с=237—238|ref = Стюарт}}.

В [[1900 год в науке|1900 году]] [[Давид Гильберт]] включил гипотезу Римана в список [[Проблемы Гильберта|23 нерешённых проблем]] как часть восьмой проблемы, совместно с [[гипотеза Гольдбаха|гипотезой Гольдбаха]].

В [[1914 год в науке|1914 году]] [[Харди, Годфри Харолд|Харди]] доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже совместно с [[Литлвуд, Джон Идензор|Литлвудом]] дал нижнюю оценку доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.

Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «[[явление Лемера]]»<ref>{{MathWorld |title=Lehmer's Phenomenon |urlname=LehmersPhenomenon}}</ref>.

Титчмарш и Ворос в [[1987 год в науке|1987 году]] показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в [[разложение Адамара]].

== Эквивалентные формулировки ==
Риманом была изложена эквивалентная формулировка, гласящая, что все корни {{iw|Кси-функция Римана|кси-функции Римана|en|Riemann Xi function}} ξ(s) вещественны.

В [[1901 год в науке|1901 году]] [[Хельге фон Кох]] показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел:
: <math>\pi(x) = \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t} + O\left(\sqrt x\ln x\right)</math> при <math>x\rightarrow\infty.</math>

Ещё несколько эквививалентных формулировок:
* Для всех <math>x \geqslant 2657</math> выполняется неравенство <math>\left|\pi(x) - \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t}\right| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln x,</math>
* Для всех <math>x \geqslant 73{,}2 </math> выполняется неравенство <math>|\psi(x) - x| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln^2(x),</math> где ''ψ''(''x'') — [[Функции Чебышёва|вторая функция Чебышёва]],
* Для всех <math>n > 5040 </math> выполняется неравенство <math>\sigma(n) < e^\gamma n \log \log n,</math> где <math>\sigma(n)</math> — [[сумма делителей]] числа <math>n</math>, а <math>\gamma</math> — [[постоянная Эйлера-Маскерони]]. Неравенство нарушается при ''n'' = 5040 и некоторых меньших значениях (всего 27 исключений), но Гай Робин в 1984 году показал, что оно соблюдается для всех бо́льших целых, тогда и только тогда, когда гипотеза Римана верна, и что последовательность исключений из условия теоремы Робина бесконечно много, если гипотеза Римана неверна. Известно также, что наименьшее из таких чисел-исключений ''n'' ≥ 5041 должно быть [[Суперизбыточное число|сверхизбыточным числом]]<ref>Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), «Superabundant numbers and the Riemann hypothesis», American Mathematical Monthly 116 (3): 273—275, doi:10.4169/193009709X470128</ref>.
* Для всех <math>n>1</math> выполняется неравенство <math>\sigma(n) < H_n+e^{H_n}\ln H_n,</math> где <math>H_n</math> — <math>n</math>-е [[гармоническое число]]<ref>{{статья |заглавие=An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis |doi=10.2307/2695443 |jstor=2695443 |mr=1908008 |издание=[[American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly]] |том=109 |номер=6 |страницы=534—543 |ссылка=http://arxiv.org/abs/math/0008177 |язык=en |тип=journal |автор=Jeffrey C. Lagarias |год=2002 |archivedate=2021-06-27 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210627231232/https://arxiv.org/abs/math/0008177 }}</ref>.
* Для любого положительного <math>\varepsilon</math> выполняется неравенство <math>M(n) = O(n^{1/2+\varepsilon})</math>, где <math>M(n)</math> — [[функция Мертенса]], см. также обозначение [[«O» большое и «o» малое|O большое]]. Более сильная гипотеза <math>|M(n)|<\sqrt{n}</math> была опровергнута в 1985 году<ref>{{статья |заглавие=Disproof of the Mertens conjecture |ссылка=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262633 |mr=783538 |издание=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] |том=357 |страницы=138—160 |язык=und |автор=Andrew Odlyzko, Herman te Riele |год=1985 |archivedate=2012-07-11 |archiveurl=https://archive.today/20120711011237/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262633 }}</ref>.
* Гипотеза Римана эквивалентна следующему равенству: <math>\int\limits_{0}^{\infty}\frac{(1-12t^2)}{(1+4t^2)^3}\int\limits_{1/2}^{\infty}\log|\zeta(\sigma+i t)|\,d\sigma \,dt=\frac{\pi(3-\gamma)}{32}</math>.
* Показано, что гипотеза Римана истинна тогда и только тогда, когда интегральное уравнение

: <math>\int_{0}^\infty\frac{z^{-\sigma-1}\phi(z)\,dz}{{e^{x/z}}+1}=0 </math>

не имеет нетривиальных решений <math>\phi</math> для <math>1/2<\sigma <1</math>.

== Связанные проблемы ==

=== Две гипотезы Харди — Литтлвуда ===
В [[1914 год в науке|1914 году]] [[Харди, Годфри Харолд|Годфри Харольд Харди]] доказал<ref>{{статья |заглавие=Sur les zeros de la  fonction <math>\zeta(s)</math> |страницы=1012—1014 |издание=Comp. Rend. Acad. Sci. |номер=158 |язык=fr |тип=magazine |автор=Hardy, G.H. |год=1914}}</ref>, что функция <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math> имеет бесконечно много вещественных нулей.

Пусть <math>N(T)</math> есть количество вещественных нулей, а <math>N_0(T)</math> количество нулей нечётного порядка функции <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math>, лежащих на интервале <math>(0,T]</math>.

Две гипотезы Харди и [[Литлвуд, Джон Идензор|Литлвуда]]<ref>{{citation|last=Hardy|first= G. H.|last2= Littlewood|first2= J. E.|title= The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line|journal= Math. Z.|volume= 10|pages= 283–317 |year=1921|doi=10.1007/BF01211614|issue=3–4}}</ref> (о расстоянии между вещественными нулями <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math> и о плотности нулей <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math> на интервалах <math>(T,T+H]</math> при достаточно большом <math>T > 0</math>, <math>H = T^{a + \varepsilon}</math> и как можно меньшем значении <math>a > 0</math>, где <math>\varepsilon > 0</math> сколь угодно малое число), определили два направления в исследовании [[дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]]:

# Для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>T_0 = T_0(\varepsilon) > 0</math>, такое что при <math>T \geqslant T_0</math> и <math>H=T^{0{,}25+\varepsilon}</math> интервал <math>(T,T+H]</math> содержит нуль нечётного порядка функции <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math>.
# Для любого <math>\varepsilon > 0</math> существуют такие <math>T_0 = T_0(\varepsilon) > 0</math> и <math>c = c(\varepsilon) > 0</math>, что при <math>T \geqslant T_0</math> и <math>H=T^{0{,}5+\varepsilon}</math> справедливо неравенство <math>N_0(T+H)-N_0(T) \geqslant cH</math>.

=== Гипотеза А. Сельберга ===
В [[1942 год в науке|1942 году]] [[Сельберг, Атле|Атле Сельберг]] исследовал проблему Харди-Литтлвуда '''2''' и доказал, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существуют <math>T_0 = T_0(\varepsilon) > 0</math> и <math>c = c(\varepsilon) > 0</math>, такие, что для <math>T \geqslant T_0</math> и <math>H=T^{0{,}5+\varepsilon}</math> справедливо неравенство <math>N(T+H)-N(T) \geqslant cH\log T</math>.

Сельберг высказал гипотезу<ref>{{статья |заглавие=On the zeros of Riemann's zeta-function |страницы=1—59 |издание=Shr. Norske Vid. Akad. Oslo |номер=10 |язык=und |автор=Selberg, A. |год=1942}}</ref>, что можно уменьшить показатель степени <math>a = 0{,}5</math> для величины <math>H=T^{0{,}5+\varepsilon}</math>.

В [[1984 год в науке|1984 году]] [[Карацуба, Анатолий Алексеевич|А. А. Карацуба]] доказал<ref>{{статья |заглавие=О нулях функции ζ(s)  на коротких промежутках критической прямой |страницы=569—584 |издание=[[Известия РАН. Серия математическая.]] |номер=48:3 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=1984 }}</ref><ref>{{статья |заглавие=Распределение нулей функции ζ(1/2 + it) |страницы=1214—1224 |издание=[[Известия РАН. Серия математическая.]] |номер=48:6 |язык=ru |автор=Карацуба, А. А. |год=1984 }}</ref><ref>{{статья |заглавие=О нулях дзета-функции Римана на критической прямой |страницы=167—178 |издание=Труды МИАН |номер=167 |язык=und |автор=Карацуба, А. А. |год=1985}}</ref>, что при фиксированном <math>\varepsilon</math> с условием <math>0<\varepsilon < 0{,}001</math>, достаточно большом <math>T</math> и <math>H = T^{a+\varepsilon}</math>, <math>a = \tfrac{27}{82} = \tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{246}</math> промежуток <math>(T,T+H)</math> содержит не менее <math>cH\ln T</math> вещественных нулей [[Дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]] <math>\zeta\Bigl(\tfrac{1}{2}+it\Bigr)</math>. Тем самым он подтвердил гипотезу Сельберга.

Оценки Сельберга и Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при <math>T\to +\infty</math>.

В [[1992 год в науке|1992 году]] Карацуба доказал<ref>{{статья |заглавие=О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой |страницы=372—397 |издание=[[Известия РАН. Серия математическая.]] |номер=56:2 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=1992 }}</ref>, что аналог '''гипотезы Сельберга''' справедлив для «почти всех» промежутков <math>(T,T+H]</math>, <math>H = T^{\varepsilon}</math>, где <math>\varepsilon</math> — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой, позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках <math>(T, T+H]</math>, длина <math>H</math> которых растёт медленнее
любой, даже сколь угодно малой, степени <math>T</math>. В частности, он доказал, что для любых заданных чисел <math>\varepsilon</math>, <math>\varepsilon_{1}</math> с условием
<math>0<\varepsilon, \varepsilon_{1}<1</math> почти все промежутки <math>(T,T+H]</math> при <math>H\geqslant\exp{\{(\ln T)^{\varepsilon}\}}</math> содержат не менее <math>H(\ln T)^{1-\varepsilon_{1}}</math> нулей функции <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math>. Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.

== Возможная связь с квантовой механикой ==
[[Файл:Montgomery-Odlyzko law.png|right|thumb|Диаграмма, указывающая на возможную связь статистики нетривиальных нулей дзета-функции Римана (синие точки — первые 10<sup>5</sup> нетривиальных нулей) с квантовым хаосом (непрерывная линия описывает двухточечную корреляционную функцию случайной матрицы типа ГУА).]]

Приблизительно в начале XX века венгерский математик [[Пойа, Дьёрдь|Дьёрдь Пойа]] (в 1912—1914 годах), и, предположительно (но не достоверно), [[Гильберт, Давид|Давид Гильберт]]{{sfn|Дербишир|2010|loc=Глава 17. Немного алгебры|с=334—337}}, сформулировали [[Гипотеза Гильберта — Пойи|гипотезу Гильберта — Пойи]], указывающую на возможную связь между нетривиальными нулями дзета-функции Римана и явлениями [[квантовая механика|квантовой механики]]{{sfn|Дербишир|2010|loc=Глава 17. Немного алгебры|с=335}}{{sfn|Стюарт|2015|loc=Глава 9. Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана|с=250—251|ref=Стюарт}}<ref name="qwe">''Трушечкин А. С.'', [https://mccme.ru/dfc/2013/Program2/Trushechkin-summary.pdf Квантовый хаос, периодические орбиты и дзета-функция Римана.] {{Wayback|url=https://mccme.ru/dfc/2013/Program2/Trushechkin-summary.pdf |date=20220121035948 }} // Краткое изложение заявки.</ref><ref name="qaz">''Трушечкин А. С.'', [http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?presentid=6823&option_lang= Видеодоклад] (2013) по темам: аксиомы квантовой механики, чудо квантовой интерференции, квантовая вероятность, группа Гейзенберга-Вейля, интегралы Фейнмана по путям, квантовая телепортация, квантовый хаос и дзета-функция Римана.</ref>:
{{bquote|Нетривиальные нули дзета-функции Римана (их мнимые части) соответствуют [[Собственный вектор|собственным значениям]] некоторого [[Эрмитов оператор|эрмитового оператора]] ([[Ограниченность|неограниченного]] самосопряжённого оператора в [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]]).}}

Пойа предположил, что одним из способов вывести гипотезу Римана является нахождение самосопряжённого оператора, из существования которого последует утверждение о вещественных частях нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Некоторую поддержку гипотеза Гильберта — Пойи находит в ряде аналогов дзета-функции Римана, нули которых соответствуют собственным значениям некоторого оператора: нули дзета-функции многообразия над [[Конечное поле|конечным полем]] соответствуют собственным значениям [[Эндоморфизм Фробениуса|элемента Фробениуса]] на группе {{iw|Этальная когомология|этальных когомологий|en|Étale cohomology}}, нули {{iw|Дзета-функция Сельберга|дзета-функции Сельберга|en|Selberg zeta function}} являются собственными значениями [[Оператор Лапласа|оператора Лапласа]] [[Риманова поверхность|римановой поверхности]], а нули {{iw|р-адическая L-функция|р-адической дзета-функции|en|p-adic L-function}} соответствуют собственным векторам действия Галуа на [[Группа классов идеалов|группах классов идеалов]].

В [[1973 год в науке|1973 году]] американский математик [[Монтгомери, Хью Лоуэлл|Хью Монтгомери]] (после общения в [[1972 год в науке|1972 году]] с [[Дайсон, Фримен|Фрименом Дайсоном]]) сформулировал [[Парная корреляционная гипотеза Монтгомери|парную корреляционную гипотезу]] (не доказанную, но [[Парная корреляционная гипотеза Монтгомери#Численный подсчёт Одлыжко|подтверждаемую]] ({{iw|Одлыжко, Эндрю|Одлыжко|en|Andrew Odlyzko}}, [[1987 год в науке|1987]]) крупномасштабными численными расчётами), согласно которой [[Корреляционная функция|корреляционные функции]] ([[Формфактор (физика)|формфактор]] для парных корреляций) соответственно нормированных нулей дзета-функции Римана должны быть такими же, как и у собственных значений [[Гаусс, Карл Фридрих|гауссовой]] [[Теория случайных матриц|случайной]] [[Эрмитова матрица|эрмитовой матрицы]]{{sfn|Дербишир|2010|loc=Глава 18. Теория чисел встречается с квантовой механикой|с=345—350}}{{sfn|Стюарт|2015|loc=Глава 9. Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана|с=251|ref=Стюарт}}.

[[Дербишир, Джон (писатель)|Джон Дербишир]] обращает внимание на следующие подобия при сравнении поведения нулей дзета-функции Римана и собственных значений гауссовой случайной эрмитовой матрицы{{sfn|Дербишир|2010|loc=Глава 18. Теория чисел встречается с квантовой механикой|с=349}}:
* Ни нули дзета-функции Римана, ни собственные значения гауссовой случайной эрмитовой матрицы не похожи на случайно разбросанные точки (отличаются от ''идеально'' случайного разброса);
* Нули дзета-функции и собственные значения эрмитовой матрицы ведут себя сходным образом;
* Как для нулей дзета-функции, так и для собственных значений эрмитовой матрицы наблюдается эффект отталкивания.

После прояснения ситуации с некоторыми несоответствиями между результатами Одлыжко и предсказаниями модели [[Теория случайных матриц#Основные ансамбли случайных матриц и их применение в физике|гауссова унитарного ансамбля]] (ГУА) (малых интервалов у Одлыжко получилось несколько больше, чем в модели ГУА), парная корреляционная гипотеза Монтгомери стала (впервые в статье Николаса Каца и Питера Сарнака, [[1999 год в науке|1999]]) «законом Монтгомери — Одлыжко»{{sfn|Дербишир|2010|loc=Глава 18. Теория чисел встречается с квантовой механикой|с=352}}:
{{bquote|Распределение интервалов между последовательными нетривиальными нулями дзета-функции Римана (в правильной нормировке) статистически тождественно распределению собственных значений ГУА-оператора.}}

Смысл «нормировки» в «законе Монтгомери — Одлыжко» состоит во внесении поправки в виде растяжения верхней части выбранного интервала путём умножения каждого числа на его логарифм (что необходимо для выравнивания среднего расстояния между нулями дзета-функции Римана — из-за того, что нули по мере движения вверх по критической прямой делаются ближе друг к другу){{sfn|Дербишир|2010|loc=Глава 18. Теория чисел встречается с квантовой механикой|с=353}}.

'''Ключевой вопрос''', возникающий при подобного рода исследованиях, Дербишир формулирует так{{sfn|Дербишир|2010|loc=Глава 18. Теория чисел встречается с квантовой механикой|с=355}}:
{{bquote|Нетривиальные нули дзета-функции Римана появились при исследовании распределения простых чисел. Собственные значения случайных эрмитовых матриц появились при исследовании поведения систем [[Субатомная частица|субатомных частиц]], подчиняющихся законам квантовой механики. ''Скажите, пожалуйста, что вообще может быть общего между простыми числами и поведением субатомных частиц?''}}

В [[1986 год в науке|1986 году]] (ещё до выхода работы Одлыжко 1987 года) английский специалист в области [[Математическая физика|математической физики]] [[Берри, Майкл|Майкл Берри]] в статье «Дзета-функция Римана: модель '''[[Квантовый хаос|квантового хаоса]]'''?» исследовал вопрос о существовании ''оператора Римана'' — [[Оператор (физика)|оператора]], собственные значения которого в точности совпадают с нетривиальными нулями дзета-функции Римана. Берри предположил, что подобный оператор Римана (риманов оператор) существует, и в рамках такого предположения задал следующий вопрос — какую динамическую систему такой риманов оператор может представлять? Его версия состояла в том, что такой риманов оператор может моделировать [[Теория хаоса|хаотическую]] систему{{sfn|Дербишир|2010|loc=Глава 20. Риманов оператор и другие подходы|с=371—372}}.

Берри показал, что в случае своего существования риманов оператор должен моделировать одну из т. н. ''квазиклассических'' хаотических систем (где под квазиклассической понимается такая система, в которой [[Динамический хаос|классическая хаотическая система]] связывается с [[Квантовый хаос|подобными в квантовом мире]] через взятие [[Предел (математика)|предела]] в уравнениях квантовой механики, где квантовый множитель — [[постоянная Планка]] — стремится к нулю), где собственные значения такого риманова оператора — мнимые части нетривиальных нулей дзета-функции Римана — являются уровнями энергии этой квазиклассической хаотической системы. Где примечательно то, что периодические орбиты в аналогичной классической хаотической системе соответствовали бы [[простое число|простым числам]] (их [[логарифм]]ам){{sfn|Дербишир|2010|loc=Глава 20. Риманов оператор и другие подходы|с=376}}.

Согласно Берри, в такой квазиклассической хаотической системе отсутствовало бы свойство [[T-симметрия|симметрии относительно обращения времени]] (что есть свойством хаотических систем, моделирующихся операторами типа операторов ГУА, в отличие от хаотических систем, допускающих обращение времени, и моделирующихся операторами типа операторов ГОА — [[Теория случайных матриц#Основные ансамбли случайных матриц и их применение в физике|гауссова ортогонального ансамбля]]){{sfn|Дербишир|2010|loc=Глава 20. Риманов оператор и другие подходы|с=376}}.

В [[1988 год в науке|1988 году]] Берри<ref>''Berry M. V.'', Semiclassical formula for the number variance of the Riemann zeros. Nonlinearity Vol. 1. 1988. P. 399—407.</ref>, и в 1999 году Берри и {{iw|Китинг, Джонатан|Джонатан Китинг|en|Jonathan Keating}}<ref>''Berry M. V.'', ''Keating J. P.'' The Riemann zeros and eigenvalue asymptotics. SIAM Rev. Vol. 41, № 2, 1999. P. 236—266.</ref> предсказали и детально описали отклонения от ГУА-статистики в корреляциях между сильно разнесёнными нулями (ранее замеченные Одлыжко в [[Дисперсия случайной величины|численной дисперсии]] положения нулей), где выяснилось, что отклонения точно соответствуют [[Квантовая теория поля|квантовой теории]], за исключением [[Колебания|осцилляций]] малого масштаба, которые впоследствии были объяснены (1999) Китингом и [[Богомольный, Евгений Борисович|Богомольным Е. Б.]]<ref>''Bogomolny E. В.'', ''Keating J. P.'' Asymptotics of the pair correlation of Riemann zeros. 1999.</ref> По мнению Берри, данное объяснение является «сильнейшим свидетельством в пользу гипотезы Римана», и, кроме того, «помещает неуловимый оператор в класс квантовых систем с классическим хаосом, а не в класс случайных матриц»{{sfn|Дербишир|2010|loc=Примечания и дополнения автора, сделанные в середине 2003 года|с=447}}.

Французский математик [[Конн, Ален|Ален Конн]] вместо поиска (риманова) оператора, собственные значения которого совпадали бы с нетривиальными нулями дзета-функции Римана, пошёл по пути ''построения'' такого оператора, для чего «образовал» {{iw|Адельная алгебраическая группа|адельное|en|Adelic algebraic group}} пространство в качестве площадки для риманова оператора. Особенностью адельного пространства является то, что действующие на нём операторы принципиально основаны на простых числах. Такой подход позволил построить риманов оператор, собственные значения которого в точности являются нетривиальными нулями дзета-функции Римана, и где в адельное пространство, на котором такой оператор действует, простые числа встроены специальным математическим образом, но которое при этом имеет отношение к реальным физическим системам — реальным наборам субатомных частиц{{sfn|Дербишир|2010|loc=Глава 20. Риманов оператор и другие подходы|с=377—382}}.

Для доказательства гипотезы Римана в рамках подхода Конна необходимо доказать определённую [[След (теория полей)|следовую]] формулу — формулу типа формулы {{iw|Гутцвиллер, Мартин|Гутцвиллера|en|Martin Gutzwiller}} (связывающей собственные значения риманова оператора, действующего в адельном пространстве, с периодическими орбитами в аналоговой классической системе){{sfn|Дербишир|2010|loc=Глава 20. Риманов оператор и другие подходы|с=382}}.

Один из важнейших вопросов теории квантового хаоса — установление соответствия между распределением собственных значений [[Гамильтониан (квантовая механика)|оператора Гамильтона]], задающего классическую динамику, и классическими неустойчивыми периодическими орбитами, где это соответствие даётся формулами {{iw|Формула следа Сельберга|следа Сельберга|en|Selberg trace formula}} и Гутцвиллера<ref name="qwe" />.

В 1999 году Берри и Китинг предположили, что существует некоторое неизвестное квантование <math>\hat H</math> классического гамильтониана ''H'' = ''xp'' такое, что

: <math> \zeta (1/2+i\hat H) = 0 </math>

и ещё более сильно то, что римановы нули совпадают со спектром оператора <math>1/2 + i \hat H</math>. Это противоречит [[Вторичное квантование|каноническому квантованию]], которое приводит к [[Принцип неопределённости|принципу неопределённости Гейзенберга]] <math>[x,p]=1/2</math> и [[натуральное число|натуральным числам]] как спектру [[Квантовый гармонический осциллятор|квантового гармонического осциллятора]]. Важным моментом является то, что гамильтониан должен быть самосопряжённым оператором, чтобы квантование было реализацией гипотезы Гильберта — Пойи. В связи с этой проблемой квантовой механики Берри и [[Конн, Ален|Ален Конн]] предположили, что обратный потенциал гамильтониана связан с полупроизводной функции

: <math> N(s)= \frac{1}{\pi}\operatorname{Arg}\xi(1/2+i\sqrt s)</math>

где тогда, в подходе Берри — Конна<ref>''Connes, Alain'' (1999), «Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function», Selecta Mathematica. New Series, 5 (1): 29-106, arXiv: math/9811068, doi:10.1007/s000290050042, MR 1694895</ref>,

: <math> V^{-1}(x) = \sqrt{4\pi} \frac{d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}</math>

Это даёт гамильтониан, собственные значения которого являются квадратом мнимой части римановых нулей, а также то, что функциональный определитель этого гамильтонова оператора является {{iw|Кси-функция Римана|кси-функцией Римана|en|Riemann Xi function}}. Фактически кси-функция Римана была бы пропорциональна функциональному определителю (произведение Адамара)

: <math> \det(H+1/4+s(s-1)) </math>

где, как доказано Конном и другими, в этом подходе

: <math> \frac{\xi(s)}{\xi(0)}=\frac{\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1/4)}.</math>

В 2017 году Карл Бендер, Дорж Броди и Маркус Мюллер определили условия квантования гамильтониана Берри—Китинга<ref>{{Статья|ссылка=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.118.130201|автор=Carl M. Bender, Dorje C. Brody, Markus P. Müller|заглавие=Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function|год=2017-03-30|издание=Physical Review Letters|том=118|выпуск=13|страницы=130201|doi=10.1103/PhysRevLett.118.130201}}</ref>, но полученный гамильтониан не соответствует никакой физической системе очевидным образом<ref>{{Cite web|lang=ru|url=https://indicator.ru/mathematics/gipoteza-rimana-08-04-2017.htm|title=Квантовая механика подсказала возможное доказательство гипотезы Римана|website=indicator.ru|accessdate=2021-01-28|archive-date=2020-09-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20200925170218/https://indicator.ru/mathematics/gipoteza-rimana-08-04-2017.htm|deadlink=no}}</ref>.

== Соображения об истинности или ложности гипотезы ==
В обзорных работах ({{harvnb|Bombieri|2000}}, {{harvnb|Conrey|2003}}, {{harvnb|Sarnak|2008}}) отмечается, что данные в пользу истинности гипотезы Римана сильны, но оставляют место для обоснованных сомнений. Отдельные авторы, однако, убеждены в ложности гипотезы (в частности, так считал [[Литлвуд, Джон Идензор|Джон Литлвуд]]).

Среди данных, позволяющих предполагать истинность гипотезы, можно выделить успешное доказательство сходных гипотез (в частности, гипотезы Римана о многообразиях над конечными полями<ref>{{статья |заглавие=La conjecture de Weil. I |ссылка=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0 |mr=0340258 |издание=Publications Mathématiques de l'IHÉS |том=43 |страницы=273—307 |doi=10.1007/BF02684373 |язык=und |автор=Deligne P. |год=1974 |archivedate=2021-05-07 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210507001228/http://www.numdam.org/item/?id=PMIHES_1974__43__273_0 }}</ref>). Это наиболее сильный теоретический довод, позволяющий предположить, что условие Римана выполняется для всех {{D-|[[дзета-функции|дзета-функций]]}}, связанных с {{нп3|Автоморфные отображения|автоморфными отображениями||Automorphic forms}}, что включает классическую гипотезу Римана. Истинность аналогичной гипотезы уже доказана<ref>{{статья |заглавие=The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for '''F'''<sub>q</sub>[T] |doi=10.1006/jnth.1998.2232 |издание=[[Journal of Number Theory]] |том=71 |номер=1 |страницы=121—157 |язык=en |тип=journal |автор=Sheats J. |год=1998}}</ref> для {{нп3|Дзета-функция Сельберга|дзета-функции Сельберга||Selberg zeta function}}, в некоторых отношениях сходной с функцией Римана, и для {{нп3|Дзета-функция Госса|дзета-функции Госса||Goss zeta function}} (аналог дзета-функции Римана для функциональных полей).

С другой стороны, некоторые из {{нп3|Дзета-функция Эпштейна|дзета-функций Эпштейна||Epstein zeta-function}} не удовлетворяют условию Римана, хотя они имеют бесконечное число нулей на критической линии. Однако эти функции не выражаются через ряды Эйлера и не связаны напрямую с автоморфными отображениями.

К «практическим» доводам в пользу истинности Римановской гипотезы относится вычислительная проверка большого числа нетривиальных нулей дзета-функции в рамках проекта {{iw|ZetaGrid||en}}. На [[2004 год в науке|2004 год]] Янником Саутером и Патриком Демишелем численными методами было проверено, что более 10<sup>13</sup> (более десяти триллионов) первых нетривиальных нулей дзета-функции Римана удовлетворяют этой гипотезе, что является хорошим аргументом в пользу истинности гипотезы, но не гарантирует её<ref>''Ed Pegg Jr.'' [http://www.mathpuzzle.com/MAA/28-Ten%20Trillion%20Zeta%20Zeroes/mathgames_10_18_04.html «Ten Trillion Zeta Zeros»] {{Wayback|url=http://www.mathpuzzle.com/MAA/28-Ten%20Trillion%20Zeta%20Zeroes/mathgames_10_18_04.html |date=20190218041519 }}{{ref-en}}</ref>{{sfn|Стюарт|2015|loc=Глава 9. Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана|с=245—246|ref = Стюарт}}. Однако, вычислительная проверка сколь угодно большого числа нетривиальных нулей нисколько не приближает к реальному доказательству. Например, долгое время [[гипотеза Мертенса]] также подавала большие надежды на истинность, проходя всевозможные вычислительные проверки, но позже она оказалась опровергнута. Это яркий пример математического доказательства, противоречащего большому количеству вычислительных доказательств в пользу гипотезы.

== Факты ==
{{Неупорядоченный список|дата=2019-05-02}}

* Знаменит ответ [[Гильберт, Давид|Гильберта]] на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-либо причине проспит пятьсот лет и вдруг проснётся. Математик ответил, что первым делом он спросит, была ли доказана гипотеза Римана.
* Гипотеза Римана относится к знаменитым [[открытые математические проблемы|открытым проблемам математики]], в число которых в своё время входила и [[Великая теорема Ферма|теорема Ферма]]. Как известно, [[Ферма, Пьер|Ферма]] сделал запись о том, что доказал свою теорему, не оставив самого доказательства, и тем самым бросил вызов следующим поколениям математиков. Британский математик [[Харди, Годфри Харолд|Г. Х. Харди]] использовал ситуацию с этими проблемами для обеспечения собственной безопасности во время морских путешествий. Каждый раз перед отправкой в путешествие он отправлял одному из своих коллег телеграмму: «Доказал гипотезу Римана. Подробности по возвращении». Харди считал, что [[Бог]] не допустит повторения ситуации с теоремой Ферма и позволит ему благополучно вернуться из плавания<ref>С. Сингх Великая теорема Ферма. ISBN 5-900916-61-8</ref>.

== См. также ==
* [[Открытые математические проблемы]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}
{{примечания|group=Д}}

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Дербишир, Джон (писатель)|Джон Дербишир]]|заглавие=Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике|оригинал=Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics.|ответственный=Пер. с англ. А. М. Семихатова|место=М.|издательство=Астрель : CORPUS|год=2010|страниц=464|тираж=5000|isbn=978-5-271-25422-2|ref=Дербишир}}
* {{книга|автор=[[Стюарт, Иэн (математик)|Иэн Стюарт]]|заглавие=Величайшие математические задачи.|ответственный=Пер. с англ. Н. Лисовой|место=М.|издательство=Альпина нон-фикшн|год=2015|страниц=460|тираж=5000|isbn = 978-5-91671-318-3|ref=Стюарт}}
* {{книга | автор=Воронин С. М., Карацуба А. А. |заглавие=Дзета-функция Римана |место=М. |издательство=[[Физматлит]] |год=1994}}
* {{citation|last=Bombieri|year=2000|first= Enrico|url=https://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf|format=PDF|title=The Riemann Hypothesis - official problem description|publisher=[[Математический институт Клэя|Clay Mathematics Institute]]|accessdate=2017-09-10}}
* {{citation|last=Conrey|first= Brian|title=The Riemann Hypothesis|journal=Notices of the American Mathematical Society|year= 2003|pages=341–353|url= http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf|format=PDF}}
* {{citation|url=https://www.claymath.org/sites/default/files/sarnak_rh_0.pdf |format=PDF|first=Peter |last=Sarnak|chapter=Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis |pages=107–115
|isbn=978-0387721255|editor1-last= Borwein|title=The Riemann Hypothesis |series=CMS Books in Mathematics|publisher=Springer|place=New York|year=2008
|editor1-first=Peter |editor2-first=Stephen |editor2-last=Choi |editor3-first=Brendan|editor3-last= Rooney |editor4-first= Andrea|editor4-last= Weirathmueller}}

== Ссылки ==
* {{статья |автор=Николенко С. |заглавие=Проблемы 2000 года: гипотеза Римана |издание=[[Компьютерра]] |тип=|число=|том=|выпуск=35 |номер=|страницы=|issn=|год=2005 |месяц=|ссылка=https://old.computerra.ru/2005/607/230662/|язык=}}
* {{cite web|author=Dr Matthew Watkins|title=proposed (dis)proofs of the Riemann Hypothesis (предложенные доказательства и опровержения гипотезы Римана)|url=http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/RHproofs.htm|lang=en|accessdate=2016-02-28}}

{{внешние ссылки}}
{{перевести|en|Riemann hypothesis}}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Математические гипотезы|Римана]]
[[Категория:Аналитическая теория чисел]]
[[Категория:Задачи тысячелетия]]
[[Категория:Открытые математические проблемы]]
[[Категория:Проблемы Гильберта]]
[[Категория:Дзета- и L-функции]]