Просмотр кода страницы Гипотеза Эрдёша — Грэма

'''Гипотеза Эрдёша — Грэма''' — предположение в [[Арифметическая_комбинаторика|комбинаторной]] [[теория чисел|теории чисел]] относительно проблемы [[Разбиение множества|разбиения]] множества [[Целое число|целых чисел]], больших единицы, на конечное число подмножеств, одно из которых можно использовать для образования [[Египетские дроби|египетской дроби]], представляющей единицу. [[Эрдёш, Пал|Эрдёш]] и [[Грэм, Рональд|Грэм]] высказали предположение, что для любого <math>r>0</math> и любой <math>r</math>-раскраски целых чисел, больших единицы, имеется конечное одноцветное подмножество <math>S</math> этих целых чисел, такое что:
: <math>\sum_{n\in S}\frac{1}{n} = 1</math>,

и максимальный элемент множества <math>S</math> можно ограничить значением <math>b^r</math> с некоторой константой <math>b</math>, независимой от <math>r</math>. Известно, что для верности этого утверждения необходимо, чтобы <math>b</math> было не меньше [[e (число)|числа <math>e</math>]].

Гипотеза доказана {{нп2|Крут, Эрнест|Эрнестом Крутом|en|Ernest S. Croot, III}} в [[2003 год в науке|2003 году]], установленная оценка <math>b</math> очень велика — число должно быть не больше <math>e^{167000}</math>. Результат Крута вытекает из более общей теоремы, утверждающий о существовании представления единицы в виде египетской дроби для множеств <math>C</math> [[Гладкое число|гладких чисел]] в интервалах вида <math>[X, X^{1+\delta}]</math>, где <math>C</math> содержит достаточно много чисел, сумма обратных величин которых не меньше шести. Гипотеза Эрдёша — Грэма выводится из этого результата путём нахождения интервала, в котором сумма обратных величин всех гладких чисел будет как минимум <math>6r</math>. Таким образом, если целые числа <math>r</math>-раскрашены, должно существовать одноцветное подмножество <math>C</math>, удовлетворяющее условию теоремы Крута.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{книга
  | автор = Croot, Ernest S., III
  | заглавие = Unit Fractions
  | версия = Ph.D. thesis
  | издательство = [[Университет_Джорджии|University of Georgia]], Athens
  | год = 2000
}}
* {{статья
 | автор = Croot, Ernest S., III
 | год = 2003
 | заглавие = On a coloring conjecture about unit fractions
 | ссылка = https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2003-03_157_2/page/545
 | издание = [[Annals of Mathematics]]
 | том = 157
 | выпуск = 2
 | страницы = 545—556
 | arxiv = math.NT/0311421 
 | doi = 10.4007/annals.2003.157.545
}}
* {{статья
 | автор = [[Эрдёш, Пал|Пал Эрдёш]], [[Грэм, Рональд|Рональд Л. Грэм]]
 | год = 1980
 | заглавие = Old and new problems and results in combinatorial number theory
 | издание = [[L’Enseignement Mathématique]]
 | том = 28
 | страницы = 30—44
}}
* [http://www.math.gatech.edu/~ecroot/ Ernie Croot’s Webpage] {{Wayback|url=http://www.math.gatech.edu/~ecroot/ |date=20090409070941 }}


{{rq|checktranslate}}

[[Категория:Комбинаторика]]
[[Категория:Теоремы теории чисел]]
[[Категория:Египетские дроби]]
[[Категория:Пал Эрдёш]]