Просмотр кода страницы Гипоциклоида

[[Файл:HypocycloidK1,66.gif|безрамки|справа]]

'''Гипоцикло́ида''' ({{lang-el|ὑπό}} (под, внизу) + {{lang-el|κύκλος}} (круг, окружность)) — плоская кривая, образуемая точкой [[окружность|окружности]], катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения<ref name="БСЭ1">{{ВТ-БСЭ1|Гипоциклоиды и эпициклоиды}}</ref>.

== История ==
[[Файл:Tusi_couple.jpg|мини|Схема гипоциклоиды с k=2 ([[пара Туси]]), сделанная ат-Туси в XIII-м веке<ref>Vatican Library, [https://wps.prenhall.com/esm_chaisson_astronomytoday_5/0,9185,1383966-content,00.html Vat. ar. 319 fol. 28 verso math19 NS.15] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141224122410/https://wps.prenhall.com/esm_chaisson_astronomytoday_5/0,9185,1383966-content,00.html|date=2014-12-24}}, fourteenth-century copy of a manuscript from Tusi</ref>]]
Впервые частный случай гипоциклодиды, который сейчас известен как [[пара Туси]], был описан [[Исламская астрономия|астрономом]] и [[Математика исламского Средневековья|математиком]] [[Насир ад-Дин ат-Туси|Насир ад-Дином ат-Туси]] в его труде ''Тахрир аль-Маджисти'' в 1247 году<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/|title=Tusi Couple|language=en|first=Eric W.|last=Weisstein|website=mathworld.wolfram.com|access-date=2023-02-27|archive-date=2000-02-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20000229101824/https://mathworld.wolfram.com/|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite book|last=Blake|first=Stephen P.|title=Astronomy and Astrology in the Islamic World|url=https://books.google.com/books?id=3dJVDwAAQBAJ&dq=Tusi+couple+al+majisti&pg=PA67|publisher=Edinburgh University Press|date=2016-04-08|isbn=978-0-7486-4911-2|language=en}}</ref>. Позднее немецкий художник и теоретик [[Возрождение|эпохи Ренессанса]] [[Альбрехт Дюрер]] описал [[Эпитрохоида|эпитрохоиды]] в 1525 году, а [[Рёмер, Оле|Рёмер]] и Бернулли сосредоточились на изучении некоторых специфических гипоциклоид, таких как [[Астроида|астроиды]], в 1674 и 1691 годах соответственно.

== Уравнения ==
[[Файл:Fiery hypocycloid.jpg|thumb|Внутри воздушного шарика катится маленькая батарейка с прикреплённым светодиодом, видна гипоциклоида с k=9|слева]]
[[Параметрическое представление функции|Параметрические уравнения]]:
: <math>\begin{cases}x = r(k-1) \left( \cos t+ \frac{\cos((k-1)t)}{k-1} \right)\\ y = r (k-1) \left( \sin t- \frac{\sin((k-1)t)}{k-1} \right)\end{cases}</math>
где <math>\textstyle k=\frac{R}{r}</math>, где <math>R</math> — радиус неподвижной окружности, <math>r</math> — радиус катящейся окружности.

{|
 |
{{Hider|
  title = Вывод уравнений |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Пусть в начальный момент окружности касаются в точке <math>A</math>, лежащей на оси <math>OX</math>, где точка <math>O</math> — центр большой окружности.
Координаты точки <math>A</math> при этом - <math>(kr, 0)</math>, где <math>k=\frac{R}{r}</math>.
Рассмотрим, как меняются координаты точки <math>A</math>, привязанной к катящейся окружности (<math>A</math> переходит в <math>A'</math>).
Пусть маленькая окружность прокатилась так, что её центр перешел из точки <math>C'</math> в точку <math>C'</math> и повернулся относительно точки <math>O</math> на угол <math>t</math>. Во-первых, можно показать, что поворот маленькой окружности относительно своего центра при этом (т.е. угол между <math>CA</math> и <math>C'A'</math>) равен <math>t - kt = -(k-1)t</math>. Во-вторых, координаты точки <math>C'</math> будут такими: <math>(cos(t)(k-1)r, sin(t)(k-1)r)</math>. Тогда, зная, куда перейдет центр катящейся окружности, и на какой угол она повернулась относительно этого центра, можно записать координаты точки <math>A'</math>:
: <math>\begin{cases}
  x= cos(t)(k-1)r + cos((k-1)t)r\\
  y= sin(t)(k-1)r - sin((k-1)t)r
  \end{cases}</math>
}}
 |}

Модуль величины <math>k</math> определяет форму гипоциклоиды.
При <math>k=2</math> гипоциклоида описывается [[Пара Туси|парой Туси]] — это [[диаметр]] неподвижной окружности, при <math>k=4</math> является [[астроида|астроидой]].
Если модуль <math>k</math> — [[рациональное число|несократимая дробь]] вида <math>\frac{m}{n}</math> (<math>m,n \in \mathbb{N}</math>), то <math>m</math> — это количество [[касп]]ов данной гипоциклоиды, а <math>(m-n)</math> — количество полных вращений катящейся окружности. Если модуль <math>k</math> [[иррациональное число]], то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.

== Примеры гипоциклоид ==
{| align="left" style="background:#F5F7F3; border:1px solid #c8ccd1; font-size:90%; margin-right:1em" cellspacing=0 cellpadding=0
|-
|<gallery mode="packed" heights="140px">
image:HypocycloidK3.gif| <math>k=3</math> — [[Дельтоида]]
image:HypocycloidK1,5.gif| <math>k=1.5=\frac{3}{2}</math>
image:HypocycloidK4.gif|<math>k=4</math> — [[Астроида]]
image:HypocycloidK1,33.gif| <math>k=\frac{4}{3}</math>
image:HypocycloidK5.gif| <math>k=5</math>
image:HypocycloidK6.gif| <math>k=6</math>
image:HypocycloidK5,5.gif| <math>k=5.5=\frac{11}{2}</math>
image:HypocycloidK1,66.gif| <math>k=\frac{5}{3}</math>
image:HypocycloidK3,6.gif| <math>k=3.6=\frac{18}{5}</math>
</gallery>
|}
{{clear}}

== См. также ==
* [[Циклоида]]
* [[Эпициклоида]]
* [[Гипотрохоида]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{Навигация|Викисловарь = гипоциклоида|Викитека = |}}
* {{Из КНЭ|2|75|Гипоциклоида}}

{{ВС}}
{{Кривые}}

[[Категория:Кривые]]
[[Категория:Трансцендентные кривые]]