Просмотр кода страницы Глоссарий алгебраической геометрии

{{глоссарий|Алгебраическая геометрия|nocat=1}}

__NOTOC__
{{АБВ}}

== А ==
{{глосс}}
{{терм|абелево многообразие}}
{{опр|Полная алгебраическая группа. Например, [[комплексное многообразие]] <math>\mathbb{C}^n/\mathbb{Z}^{2n} </math> или [[эллиптическая кривая]] <math>E</math> над [[Конечное поле|конечным полем]] <math>\mathbb{F}_q</math>.}}
{{терм|алгебраическая группа}}
{{опр|[[Алгебраическая группа]] — это [[алгебраическое многообразие]], которое также является [[Группа (математика)|группой]], причём групповые операции являются морфизмами многообразий.}}
{{терм|алгебраическая схема}}
{{опр|Отделимая схема конечного типа над полем. Например, алгебраическое многообразие — это приведённая неприводимая алгебраическая схема.}}
{{терм|алгебраическое векторное расслоение}}
{{опр|[[Локально свободный пучок]] конечного ранга.}}
{{терм|алгебраическое многообразие}}
{{опр|Целая отделимая схема конечного типа над полем.}}
{{терм|алгебраическое множество}}
{{опр|Приведённая отделимая схема конечного типа над полем. Алгебраическое многообразие — это приведённая неприводимая алгебраическая схема.}}
{{терм|арифметический род}}
{{опр|Арифметический род проективного многообразия ''X'' размерности ''r'' — это <math>(-1)^r (\chi(\mathcal{O}_X) - 1)</math>.}}
{{терм|артинова схема}}
{{опр|0-мерная нётерова схема.}}
{{терм|аффинный}}
{{опр|no=1|[[Аффинное пространство]] — это, грубо говоря, [[векторное пространство]], в котором мы забыли, какая точка является началом координат.}}
{{опр|no=2|[[Аффинное многообразие]] — это [[Алгебраическое многообразие|многообразие]] в аффинном пространстве.}}
{{опр|no=3|[[Аффинная схема]] — это [[Схема (математика)|схема]], изоморфная [[Спектр кольца|спектру]] некоторого коммутативного кольца.}}
{{опр|no=4|Морфизм называется ''аффинным'', если прообраз любого открытого аффинного подмножества аффинный. Важные классы аффинных морфизмов - [[Векторное расслоение|векторные расслоения]] и [[Конечный морфизм|конечные морфизмы]].}}
{{конец-глосс}}

== Б ==
{{глосс}}
{{терм|бирациональный морфизм}}
{{опр|Бирациональный морфизм схем — это морфизм схем, который индуцирует изоморфизм их плотных открытых подмножеств. Пример бирационального морфизма — отображение, индуцируемое {{нп5|Раздутие (алгебраическая геометрия)|раздутием||Blowing up}}.}}
{{конец-глосс}}

== Г ==
{{глосс}}
{{терм|геометрический род}}
{{опр|Геометрический род гладкого проективного многообразия ''X'' размерности ''n'' — это
: <math>\dim \Gamma(X, \Omega^n_X) = \dim \operatorname{H}^n(X, \mathcal{O}_X)</math>
(где равенство — это [[Двойственность Серра|теорема двойственности Серра]].}}
{{терм|гладкий}}
{{опр|no=1|1=Гладкие морфизмы — это многомерный аналог этальных морфизмов. Существует несколько различных определений гладкости. Следующие определения гладкости морфизма {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} эквивалентны:
: 1) для любой точки ''y'' ∈ ''Y'' существуют открытые аффинные окрестности ''V'' и ''U'' точек ''y'', ''x''=''f''(''y''), соответственно, такие, что ограничение ''f'' на ''V'' раскладывается в композицию этального морфизма и проекции из ''n''-мерного проективного пространства над ''U''.
: 2) ''f'' плоский, локально конечно представимый, и для любой геометрической точки <math>\bar{y}</math> в ''Y'' (морфизма из алгебраически замкнутого поля <math>k(\bar{y})</math> в ''Y''), геометрический слой <math>X_{\bar{y}}:=X\times_Y \mathrm{Spec} (k(\bar{y}))</math> является гладким многообразием над <math>k(\bar{y})</math> в смысле классической алгебраической геометрии.}}
{{опр|no=2|Гладкая схема над [[Совершенное поле|совершенным полем]] ''k'' — это регулярная схема локально конечного типа.}}
{{опр|no=3|Схема ''X'' над полем ''k'' гладкая, если она геометрически гладкая: схема <math>X \times_k \overline{k}</math> гладкая.}}
{{терм|группа Пикара}}
{{опр|Группа Пикара ''X'' — это группа классов изоморфизма линейных расслоений на ''X'', групповая операция в которой — [[тензорное произведение]].}}
{{конец-глосс}}

== Д ==
{{глосс}}
{{терм|доминантный}}
{{опр|Морфизм {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} называется доминантным, если образ ''f''(''X'') [[Плотное множество|плотен]]. Морфизм аффинных схем ''Spec A'' → ''Spec B'' доминантен, если и только если ядро соответствующего отображения ''B'' → ''A'' содержится в нильрадикале ''B''.}}
{{терм|дуализирующий пучок}}
{{опр|Когерентный пучок <math>\omega_X</math> на ''X'', такой что [[двойственность Серра]]
:<math>H^{n-i}(X, F^{\vee} \otimes \omega) \simeq H^i(X, F)^*</math>
имеет место для любого когерентного пучка ''F'' на ''X''; например, если ''X'' — гладкое проективное многообразие, то это {{emdash}} [[канонический пучок]].}}
{{конец-глосс}}

== З ==
{{глосс}}
{{терм|замкнутый}}
{{опр|'''Замкнутые подсхемы''' схемы ''X'' строятся при помощи следующей конструкции. Пусть ''J'' квазикогерентный пучок идеалов. Носитель факторпучка <math>\mathcal{O}_X/J</math> - замкнутое подмножество ''Z'' в ''X'' и <math>(Z,(\mathcal{O}_X/J)|_Z)</math> - это схема, называемая '''замкнутой подсхемой, определённой квазикогерентным пучком идеалов ''J'''''{{sfn|Grothendieck & Dieudonné|1960|loc=4.1.2 and 4.1.3}}. Причина того, что определение замкнутой подсхемы зависит от такой конструкции состоит в том, что, в отличие от открытых подмножеств, замкнутые подмножества схемы обладают не единственной структурой схемы.}}
{{конец-глосс}}

== К ==
{{глосс}}
{{терм|каноническая модель}}
{{опр|Каноническая модель — это [[Конструкция Proj|Proj]] канонического кольца (предполагаемого конечно порождённым).}}
{{терм|канонический}}
{{опр|no=1|Канонический пучок на нормальном многообразии ''X'' размерности ''n'' — это пучок <math>\omega_X = i^*\Omega_U^n</math> дифференциальных форм степени ''n'' на подмножестве гладких точек <math>i:U\to X</math>.}}
{{опр|no=2|Канонический класс <math>K_X</math> на нормальном многообразии ''X'' — это класс дивизоров, такой, что <math>\mathcal{O}_X(K_X) = \omega_X</math>.}}
{{опр|no=3|Канонический дивизор — это представитель канонического класса <math>K_X</math>, обозначаемый тем же символом (определённый не однозначно).}}
{{опр|no=4|Каноническое кольцо на нормальном многообразии ''X'' — кольцо сечений канонического пучка.}}
{{терм|касательное пространство}}
{{опр|См. [[касательное пространство Зарисского]].}}
{{терм|квазикомпактный морфизм}}
{{опр|1=Морфизм {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} называется квазикомпактным, если для некоторого (а тогда и для любого) открытого аффинного покрытия ''X'' множествами ''U<sub>i</sub>'' = ''Spec B<sub>i</sub>'', прообразы ''f''<sup>−1</sup>(''U<sub>i</sub>'') [[Компактное пространство|компактны]].}}
{{терм|квазиконечный морфизм}}
{{опр|Морфизм конечного типа, имеющий конечные слои.}}
{{терм|квазиотделимый}}
{{опр|Морфизм {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} называется квазиотделимым, если диагональный морфизм {{nowrap|''Y'' → ''Y'' ×<sub>''X''</sub>''Y''}} квазикомпактен. Схема ''Y'' квазиотделима, если морфизм из неё в Spec('''Z''') квазиотделим{{sfn|Grothendieck & Dieudonné|1964|loc=1.2.1}}.}}
{{терм|конечно представимый}}
{{опр|Если ''y'' — точка ''Y'', то морфизм ''f'' конечно представим в ''y'', если существует открытая аффинная окрестность ''U'' точки ''f(y)'' и открытая аффинная окрестность ''V'' точки ''y'', такая, что ''f''(''V'') ⊆ ''U'' и <math>\mathcal{O}_Y(V)</math> — конечно представимая алгебра над <math>\mathcal{O}_X(U)</math> (фактор конечно порождённой алгебры по конечно порождённому идеалу). Морфизм ''f'' локально конечно представим, если он конечно представим во всех точках ''Y''. Если ''X'' локально нётерова, то ''f'' локально конечно представим если и только если он локально конечного типа{{sfn|Grothendieck & Dieudonné|1960|loc=§1.4}}.

Морфизм {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} конечно представим, если он локально конечно представим, квазикомпактен и квазиотделим. Если ''X'' локально нётерова, то ''f'' конечно представим, если и только если он конечного типа.}}
{{терм|конечный морфизм}}
{{опр|Морфизм {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} — конечный, если <math>X</math> можно покрыть открытыми аффинными множествами <math> \text{Spec }B </math>, такими, что каждое <math> f^{-1}(\text{Spec }B) </math> аффинно — имеет вид <math> \text{Spec }A </math> — и <math> A </math> конечно порождён как <math> B </math>-модуль.}}
{{терм|кольцо сечений}}
{{опр|Кольцо сечений линейного расслоения ''L'' на схеме ''X'' — это градуированное кольцо <math>\oplus_0^\infty \Gamma(X, L^n)</math>.}}
{{конец-глосс}}

== Л ==
{{глосс}}
{{терм|локально нётерова схема}}
{{опр|Схема, покрытая [[Спектр кольца|спектрами]] [[Нётерово кольцо|нётеровых колец]]. Если спектров конечное число, схема называется нётеровой.}}
{{терм|локально факториальная схема}}
{{опр|Схема, локальные кольца которой [[Факториальное кольцо|факториальны]].}}
{{конец-глосс}}

== М ==
{{глосс}}
{{терм|многообразие Фано}}
{{опр|Гладкое [[проективное многообразие]], у которого антиканонический пучок <math>\omega_X^{-1}</math> обилен.}}
{{терм|многочлен Гильберта}}
{{опр|Многочлен Гильберта проективной схемы ''X'' над полем — это эйлерова характеристика <math>f(s)=\chi(\mathcal{O}_X(s))</math>.}}
{{терм|морфизм (локально) конечного типа}}
{{опр|Морфизм {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} локально конечного типа, если <math> X </math> можно покрыть открытыми аффинными подмножествами <math> \text{Spec }B </math>, такими, что каждый прообраз <math>f^{-1}(\text{Spec }B)</math> можно покрыть открытыми аффинными подмножествами <math>\text{Spec }A</math> где каждое <math> A </math> конечно прождено как <math>B</math>-алгебра.

Морфизм {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} конечного типа, если <math> X </math> можно покрыть открытыми аффинными подмножествами <math> \text{Spec }B </math>, такими, что каждый прообраз <math>f^{-1}(\text{Spec }B)</math> можно покрыть конечным числом открытых аффинных подмножества <math>\text{Spec }A</math>, где каждое <math> A </math> конечно порождено как <math>B</math>-алгебра.}}
{{конец-глосс}}

== Н ==
{{глосс}}
{{терм|неприводимая схема}}
{{опр|Схема называется неприводимой, если она (как топологическое пространство), не является объединением двух собственных замкнутых подмножеств.}}
{{терм|неразветвлённый морфизм}}
{{опр|Для точки <math> y \in Y</math>, рассмотрим соответствующий морфизм олкальных колец

: <math>f^\# \colon \mathcal{O}_{X, f(y)} \to \mathcal{O}_{Y, y}</math>.

Пусть <math> \mathfrak{m} </math> — максимальный идеал <math> \mathcal{O}_{X,f(y)} </math>, и пусть

: <math>\mathfrak{n} = f^\#(\mathfrak{m}) \mathcal{O}_{Y,y}</math>

это идеал, порождённый образом <math> \mathfrak{m} </math> в <math>\mathcal{O}_{Y,y} </math>. Морфизм <math> f </math> называется неразветвлённым, если он локально конечного типа и для всех <math> y\in Y</math>, <math> \mathfrak{n} </math> — максимальный идеал кольца <math> \mathcal{O}_{Y,y} </math> и индуцированное отображение

: <math>\mathcal{O}_{X,f(y)}/\mathfrak{m} \to \mathcal{O}_{Y,y}/\mathfrak{n} </math>

является [[Конечное расширение|конечным]] [[Сепарабельное расширение|сепарабельным]] расширением полей.}}
{{терм|нормальная схема}}
{{опр|Целая схема называется нормальной, если её локальные кольца [[Целозамкнутое кольцо|целозамкнуты]].}}
{{конец-глосс}}

== О ==
{{глосс}}
{{терм|обильный}}
{{опр|Обильное линейное расслоение — это линейное расслоение, некоторая тензорная степень которого очень обильна.}}
{{терм|образ}}
{{опр|Если {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} — морфизм схем, то теоретико-схемный образ ''f'' — это однозначно определённая замкнутая подсхема {{nowrap|''i'' : ''Z'' → ''X''}}, которая удовлетворяет следующему универсальному свойству:
# ''f'' пропускается через ''i'',
# если {{nowrap|''j'' : ''Z''′ → ''X''}} — любая замкнутая подсхема ''X'', такая, что ''f'' пропускается через ''j'', то ''i'' также пропускается через ''j''.<ref>[http://www.math.columbia.edu/algebraic_geometry/stacks-git/morphisms.pdf The Stacks Project] {{Wayback|url=http://www.math.columbia.edu/algebraic_geometry/stacks-git/morphisms.pdf |date=20120316172018 }}, Chapter 21, §4.</ref>}}
{{терм|отделимый}}
{{опр|Отделимый морфизм — это морфизм <math> f </math>, такой, что  диагональ расслоенного произведения <math> f </math> с собой замкнута.
Как следствие, схема <math> X </math> отделима, когда диагональное вложение <math> X </math> в схемное произведение <math> X </math> с собой является замкнутым вложением.

Заметим, что топологическое пространство ''Y'' хаусдорфово, если и только если диагональное вложение
:<math>Y \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} Y \times Y</math>
замкнуто. Разница между топологическим и алгебро-геометрическим случаем состоит в том, что топологическое пространство схемы <math>X \times_{\textrm{Spec} (\mathbb{Z})} X</math> отличается от произведения топологических пространств.

Любая аффинная схема ''Spec A'' отделима, так как диагональ соответствует сюръективному отображению колец
:''<math>A \otimes_{\mathbb Z} A \rightarrow A, a \otimes a' \mapsto a \cdot a'</math>''.}}
{{терм|открытая подсхема}}
{{опр|Открытая подсхема схемы ''X'' - это открытое подмножество ''U'' со структурным пучком <math>\mathcal{O}_X|_U</math>.}}
{{терм|очень обильный}}
{{опр|Линейное расслоение ''L'' на многообразии ''X'' очень обильно, если ''X'' может быть вложено в проективное пространство, так чтоо ''L'' будет ограничением [[Скручивающий пучок Серра|скручивающего пучка Серра]] ''O''(1).}}
{{конец-глосс}}

== П ==
{{глосс}}
{{терм|плоский морфизм}}
{{опр|Морфизм, индуцирующий плоские отображения [[Слой пучка|слоёв]]. Гомоморфизм колец ''A'' → ''B'' называется плоским, если он делает ''B'' [[Плоский модуль|плоским]] ''A''-модулем.}}
{{терм|плюрирод}}
{{опр|''n''-й плюрирод гладкого проективного многообразия — это <math>\dim \Gamma(X, \omega_X^{\otimes n})</math>.}}
{{терм|приведённая схема}}
{{опр|Схема, локальные кольца которой не имеют ненулевых нильпотентов.}}
{{терм|проективный}}
{{опр|no=1|[[Проективное многообразие]] — это замкнутое подмногообразие [[Проективное пространство|проективного пространства]].}}
{{опр|no=2|Проективная схема над схемой ''S'' — это ''S''-схема, которая пропускается через некоторое проективное пространство <math>\mathbf{P}^N_S \to S</math> как замкнутая подсхема.}}
{{опр|no=3|Проективные морфизмы определяются сходным образом с аффинными морфизмами: {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} называется проективным, если он раскладывается в композицию замкнутого вложения и проекции проективного пространства <math> \mathbb{P}^{n}_X := \mathbb{P}^n \times_{\mathrm{Spec}\mathbb Z} X</math> на <math> X </math>.}}
{{конец-глосс}}

== Р ==
{{глосс}}
{{терм|раздутие}}
{{опр|Раздутие — это бирациональное преобразование, которое заменяет замкнутую подсхему эффективным дивизором Картье. Более точно, для нётеровой схемы ''X'' и замкнутой подсхемы <math>Z \subset X</math>, раздутие ''Z'' в ''X'' - это собственный морфизм <math>\pi: \widetilde{X} \to X</math>, такой, что (1) <math>\pi^{-1}(Z) \hookrightarrow \widetilde{X}</math> является эффективным дивизором Картье, называемым исключительным дивизором и (2) <math>\pi</math> - универсальный объект со свойством (1).}}
{{терм|размерность Кодайры}}
{{опр|Размерность канонической модели.}}
{{терм|регулярная схема}}
{{опр|Схема, локальные кольца которой — [[Регулярное локальное кольцо|регулярные локальные кольца]].}}
{{терм|род}}
{{опр|См. [[#арифметический род]], [[#геометрический род]].}}
{{конец-глосс}}

== С ==
{{глосс}}
{{терм|связный}}
{{опр|Схема связна, если она [[Связное пространство|связна]] как топологическое пространство. [[Аффинная схема]] ''Spec(R)''  связна, если и только если кольцо ''R'' не имеет идемпотентов, кроме 0 и 1.}}
{{терм|слой}}
{{опр|Для морфизма схем <math>f: X \to Y</math>, слой ''f'' над ''y'' как множества — это прообраз <math>f^{-1}(y) = \{x \in X|f(x)=y\}</math>; он имеет естественную структуру схемы над {{нп5|Поле вычетов|полем вычетов||Residue field}} точки ''y'' как расслоенное произведение <math>X \times_Y \{y\}</math>, где <math>\{y\}</math> имеет естественную структуру схемы над ''Y'' как спктр поля вычетов точки ''y''.}}
{{терм|собственный морфизм}}
{{опр|Отделимый универсально замкнутый морфизм конечного типа. Морфизм схем ''f'': ''X'' → ''Y'' называется универсально замкнутым, если для любой схемы ''Z'' с морфизмом ''Z'' → ''Y'' проекция из расслоенного произведения <math>X \times_Y Z \to Z</math> является замкнутым отображением топологических пространств (переводит замкнутые множества в замкнутые).}}
{{терм|схема}}
{{опр|[[Схема (математика)|Схема]] - это [[локально окольцованное пространство]], локально изоморфное [[Спектр кольца|спектру]] [[Коммутативное кольцо|коммутативного кольца]].}}
{{конец-глосс}}

== Т ==
{{глосс}}
{{терм|точка}}
{{опр|Схема <math> S </math> — это локально окольцованное пространство, и следовательно топологическое пространство, но слово ''точка <math> S </math>'' имеет три значения:
# точка <math> P </math> подлежащего топологического пространство;
# <math> T </math>-точка <math>S</math> — это морфизм из <math> T </math> в <math> S </math>, для любой схемы <math> T </math>;
# ''геометрическая точка'' схемы <math> S </math>, определённой над (с морфизмом в) <math> \textrm{Spec}(K) </math>, где <math> K </math> — [[Поле (математика)|поле]], это морфизм из <math> \textrm{Spec} (\overline{K}) </math> в <math> S </math>, где <math> \overline{K} </math> — [[алгебраическое замыкание]] <math>K</math>.}}
{{конец-глосс}}

== Ц ==
{{глосс}}
{{терм|целая схема}}
{{опр|Приведённая неприводимая схема. Для локально нётеровой схемы, быть целой эквивалентно тому, чтобы быть связной и покрытой спектрами [[Область целостности|областей целостности]]}}
{{конец-глосс}}

== Э ==
{{глосс}}
{{терм|этальный}}
{{опр|Морфизм {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} этальный, если он плоский и неразветвлённый. Существует несколько других эквивалентных определений. В случае гладких многообразий <math> X </math> и <math> Y </math> над алгебраически замкнутым полем, этальные морфизмы — это морфизмы, индуцирующие изоморфизм касательных пространств <math> df: T_{y} Y \rightarrow T_{f(y)} X</math>, что совпадает с обычным определением этальных отображений в дифференциальной геометрии.}}
{{терм|эффективный дивизор Картье}}
{{опр|Эффективный [[дивизор Картье]] на схеме ''X'' над ''S'' — это замкнутая подсхема ''X'', которая является плоской над ''S'' и пучок идеалов которой [[Обратимый пучок|обратим]].}}
{{конец-глосс}}

== Примечания ==
{{примечания|27em}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Хартсхорн Р.|заглавие=Алгебраическая геометрия|ответственный=пер. с англ. В. А. Исковских|место=М.|издательство=Мир|год=1981|ref=Хартсхорн}}
* {{Citation | last1=Fulton | first1=William | author1-link=William Fulton (mathematician) | title=Intersection theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics] | isbn=978-3-540-62046-4|mr=1644323 | year=1998 | volume=2}}
* {{EGA | book=I}}
* {{EGA | book=IV-1}}

[[Категория:Алгебраическая геометрия]]
[[Категория:Математические глоссарии]]