Просмотр кода страницы Глоссарий теории кос

{{Глоссарий|nocat=1}}

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, использующихся в '''[[Теория кос|теории кос]]'''. См. также [[глоссарий теории узлов]]. ''Курсивом'' выделены ссылки внутри глоссария.

__NOTOC__
{{АБВ}}

== А ==
{{глосс}}

{{терм|Альтернированная диаграмма}}
{{опр|''[[#Диаграмма|Диаграмма]]'', при движении вдоль каждой ''[[#Компонента диаграммы|компоненты]]'' которой проходы чередуются с переходами. Или, что то же самое, диаграмма, любая ''[[#Дуга диаграммы|дуга]]'' которой является ''[[#Мост диаграммы|мостом]]'' единичной длины.}}

{{терм|Альтернированная коса}}
{{опр|''[[#Коса|Коса]]'', имеющая ''[[#Альтернированная диаграмма|альтернированную диаграмму]]''.}}

{{терм|Антье Деорнуа|[[Антье Деорнуа]]}}
{{опр|Целочисленный ''[[#Инвариант|инвариант кос]]'', принимающий на данной ''[[#Коса|косе]]'' <math>\beta</math> из <math>n</math> нитей такое значение <math>p \in \Z</math>, что <math>\Delta_n^{2p} \leqslant \beta < \Delta_n^{2(p+1)}</math>, где <math>\Delta_n</math> — ''[[#Фундаментальная коса|фундаментальная коса]]'' из того же числа нитей, а <math>\leqslant</math> — ''[[#Порядок Деорнуа|порядок Деорнуа]]''{{sfn|Малютин|2004|p=75}}. Антье Деорнуа косы <math>\beta</math> обычно обозначается символами <math>\lfloor \beta \rfloor_\leqslant</math> и <math>\lfloor \beta \rfloor_D</math>.}}

{{терм|Артиновское слово}}
{{опр|[[Слово (формальный язык)|Слово]] в алфавите из ''[[#Образующая Артина|образующих Артина]]'' и их обратных{{sfn|Малютин|2019|p=203}}{{sfn|Малютин и Нецветаев|2003|p=172}}. Представляет собой кодировку ''[[#Диаграмма|диаграмм кос]]''.}}
{{опр|Также используются термины '''косо́вое слово'''{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=352}}, '''слово в группе кос''' и '''слово-коса'''{{sfn|Мантуров|2005|p=108}}.}}

{{конец-глосс}}

== Б ==
{{глосс}}

{{терм|Бруннова коса}}
{{опр|''[[#Коса|Коса]]'', которая становится ''[[#Тривиальная коса|тривиальной]]'' при удалении любой её ''[[#Нить|нити]]''.}}

{{конец-глосс}}

== Г ==
{{глосс}}

{{Float begin|side=right}}
| || <div style="position:relative; top:0px; left:0px;{{Transform-rotate|90}}">[[Файл:Tresse math.svg|200px]]</div>
{{Float end|caption=Пример геометрической косы из трёх нитей}}
{{терм|Геометрическая коса|[[Геометрическая коса]]}}
{{опр|1. Такое [[Непрерывное отображение|непрерывное]] [[Инъекция (математика)|инъективное]] отображение <math>f\colon [0,1] \times \{1,2,\ldots,n\} \to \R^2\times [0,1]</math> [[Дизъюнктное объединение|дизъюнктного объединения]] конечного числа <math>n \in \N</math> [[Промежуток (математика)|отрезков]] <math>[0,1]</math> в подмножество трёхмерного [[евклидово пространство|евклидова пространства]] <math>\R^3</math>, ограниченное двумя параллельными плоскостями <math>\R^2 \times \{0\}</math> и <math>\R^2 \times \{1\}</math>, что последняя координата образа каждой точки совпадает с её координатой на содержащем её отрезке, т. е. <math>f(t,k) \in \R^2 \times \{t\}</math>, где <math>t \in [0,1]</math> и <math>k \in \{1,2,\ldots,n\}</math>, причем функция <math>f</math> отображает начало <math>(0,k)</math> отрезка с номером <math>k</math> в точку <math>(k,0,0)</math>, а объединение концов <math>(1,k)</math> таких отрезков — в множество <math>\{(k,0,1) \mid k\in \{1,2,\ldots,n\}\}</math>.}}
{{опр|2. [[Образ (математика)|Образ]] подобного отображения. Иными словами, подмножество пространства <math>\R^2\times [0,1]</math>, [[Гомеоморфизм|гомеоморфное]] дизъюнктному объединению конечного числа <math>n \in \N</math> отрезков и пересекающее каждую плоскость <math>\R^2\times \{t\}</math>, где <math>t \in [0,1]</math>, по ровно <math>n</math> точкам, причем пересечение с <math>\R^2\times \{0\}</math> равно <math>\{(k,0,0) \mid k\in \{1,2,\ldots,n\}\}</math>, а пересечение с <math>\R^2\times \{1\}</math> равно <math>\{(k,0,1) \mid k\in \{1,2,\ldots,n\}\}</math>{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=16}}.}}
{{опр|Также используется термин '''геометрическая коса из <math>n</math> нитей'''.}}

{{терм|Группа кос|[[Группа кос]]}}
{{опр|[[Группа (математика)|Группа]] <math>B_n</math>, состоящая из ''[[#Коса|кос]]'' из заданного числа <math>n \in \N</math> нитей с операцией ''[[#Произведение кос|произведения]]''. Её нейтральным элементом является ''[[#Тривиальная коса|тривиальная коса]]'' из <math>n</math> нитей.}}
{{опр|Также используется термин '''группа кос Артина'''.}}

{{терм|Группа кос топологического пространства|[[Группа кос топологического пространства]]}}
{{опр|[[Фундаментальная группа]] <math>B_n(M):=\pi_1(\operatorname{UConf}_n(M))</math> ''[[#Конфигурационное пространство|конфигурационного пространства]]'' <math>\operatorname{UConf}_n(M)</math> данного [[топологическое пространство|топологического пространства]] <math>M</math>.}}

{{терм|Группа крашеных кос|[[Группа крашеных кос]]}}
{{опр|[[Подгруппа]] <math>P_n</math> ''[[#Группа кос|группы кос]]'', состоящая из всех ''[[#Крашеная коса|крашеных]]'' кос.}}
{{опр|Также используется термин '''группа чистых кос'''.}}

{{терм|Группа крашеных кос топологического пространства|[[Группа кос топологического пространства|Группа крашеных кос топологического пространства]]}}
{{опр|[[Фундаментальная группа]] <math>P_n(M):=\pi_1(\operatorname{Conf}_n(M))</math> ''[[#Конфигурационное пространство|конфигурационного пространства]]'' <math>\operatorname{Conf}_n(M)</math> данного [[топологическое пространство|топологического пространства]] <math>M</math>.}}

{{конец-глосс}}

== Д ==
{{глосс}}

{{терм|Движение Маркова}}
{{опр|Один из двух определённых типов ''[[#Преобразование кос|преобразований кос]]''{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=96}}{{sfn|Мантуров|2010|p=122}}. '''Первое движение Маркова''' — ''[[#Сопряжение|сопряжение]]''. '''Второе движение Маркова''' — ''[[#Стабилизация|стабилизация]]'' и дестабилизация''. 
}}
{{опр|Также используются термины '''марковское движение''' и '''преобразование Маркова'''{{sfn|Сосинский и Прасолов|1997|p=89}}.}}

{{терм|Диаграмма}}
{{опр|1. Подмножество евклидовой плоскости <math>\R^2</math>, получающееся из некоторой регулярной ''[[#Плоская проекция|плоской проекции]]'' определёнными разрывами в её двойных точках{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=18}}. А именно, разрывами той ветви маленькой окрестности каждой двойной точки, прообраз в <math>\R^2 \times [0,1]</math> которой имеет меньшую третью координату. Такую ветвь называют '''проход''' или '''нижняя ветвь''', а оставшуюся — '''переход''' или '''верхняя ветвь'''{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=19}}.}}
{{опр|2. [[Класс эквивалентности]] регулярных плоских проекций, где эквивалентными называются такие проекции, которые получаются друг из друга ''[[#Плоская изотопия|плоской изотопией]]''{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=20}}.}}
{{опр|Также используется термин '''плоская диаграмма'''.}}

{{терм|Дуга диаграммы}}
{{опр|[[Компонента связности]] ''[[#Диаграмма|диаграммы косы]].}}

{{конец-глосс}}

== З ==
{{глосс}}

{{терм|Задача распознавания}}
{{опр|[[Задача разрешимости]], заключающаяся в определении того, являются ли ''[[#Изотопность геометрических кос|изотопными]]'' две заданные некоторым образом ''[[#Геометрическая коса|геометрические косы]]''{{sfn|Мантуров|2010|p=115}}.}}

{{терм|Закрученность}}
{{опр|''[[#Инвариант|Инвариант]]'', принимающий на данной ''[[#Коса|косе]]'' <math>\beta</math> значение

: <math>\omega(\beta) := \lim\limits_{m \to \infty} \frac{\lfloor \beta^m \rfloor_\leqslant}{m},</math>

где <math>\lfloor \beta \rfloor_\leqslant</math> — её ''[[#Антье Деорнуа|антье Деорнуа]]''{{sfn|Малютин|2004|p=75}}.}}
{{опр|Также используются термины '''коэффициент дробного скручивания Дена''' (от {{lang-en|fractional Dehn twist coefficient}}), '''число переноса''' и '''число вращения'''{{sfn|Малютин|2019|p=200}}.}}

{{терм|Замкнутая коса}}
{{опр|[[Класс эквивалентности]] всех ''[[#Коса|кос]]'' относительно отношения ''[[#Сопряжение|сопряженности]]''{{sfn|Малютин и Нецветаев|2003|p=172}}{{sfn|Малютин|2004|p=77}}{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=78}}.}}

[[File:Alexander closure of a braid.svg|400px|thumb|Замыкание Александера косы]]
{{терм|Замыкание Александера}}
{{опр|Определённое отображение из множества всех ''[[#Коса|кос]]'' в множество [[Глоссарий теории узлов#Зацепление|зацеплений]].}}

{{терм|Зеркальный образ}}
{{опр|1. ''[[#Диаграмма|Диаграмма]]'', получающееся из данной заменой типов всех ''[[#Перекрёсток диаграммы|перекрёстков]]'', т. е. заменой проходов на переходы и наоборот без изменения ''[[#Тень диаграммы|тени]]'' диаграммы.}}
{{опр|2. ''[[#Коса|Коса]]'', получающаяся из ''[[#Геометрическая коса|геометрического представителя]]'' данной косы [[Отражение (геометрия)|отражением]] относительно плоскости <math>\R \times \{0\} \times [0,1]</math>.}}
{{опр|Также используется термин '''зеркальное отражение'''.}}

{{конец-глосс}}

== И ==
{{глосс}}

{{терм|Изотопность геометрических кос}}
{{опр|Две ''[[#Геометрическая коса|геометрические косы]]'' из одинакового числа нитей называются '''изотопными''', если выполняется одно из следующих эквивалентных{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=18}}{{sfn|Artin|1947|p=104}} условий:
* Существует ''[[#Объемлющая изотопия|объемлющая изотопия]]'', переводящая первую геометрическую косу во вторую.
* Между соответствующими отображениями <math>f,g\colon [0,1] \times \{1,2,\ldots,n\} \to \R^2\times [0,1]</math> существует такая [[гомотопия]] <math>F_t\colon [0,1] \times \{1,2,\ldots,n\} \to \R^2 \times [0,1]</math>, параметризованная числом <math>t \in [0,1]</math>, что <math>F_0=f</math>, <math>F_1=g</math> и для каждого <math>t \in [0,1]</math> отображение <math>F_t</math> является геометрической косой.
* Между соответствующими отображениями <math>f,g\colon [0,1] \times \{1,2,\ldots,n\} \to \R^2\times [0,1]</math> существует такая гомотопия <math>F_t\colon [0,1] \times \{1,2,\ldots,n\} \to \R^2 \times [0,1]</math>, параметризованная числом <math>t \in [0,1]</math>, что <math>F_0=f</math>, <math>F_1=g</math> и для каждого <math>t \in [0,1]</math> отображение <math>F_t</math> является инъективным, причем <math>F_t(\{0\}\times \{1,2,\ldots,n\}) = \{(k,0,0) \mid k\in \{1,2,\ldots,n\}\}</math> и <math>F_t(\{1\}\times \{1,2,\ldots,n\}) = \{(k,0,1) \mid k\in \{1,2,\ldots,n\}\}</math>.}}

{{терм|Инвариант}}
{{опр|Произвольная функция, действующая из множества ''[[#Коса|кос]]''. Или, что то же самое, функция, действующая из множества ''[[#Геометрическая коса|геометрических кос]]'', принимающая одинаковые значения на ''[[#Изотопность геометрических кос|изотопных]]'' элементах.}}

{{терм|Инвариант конечного типа}}
{{опр|Элемент определённого семейства ''[[#Инвариант|инвариантов]]''{{sfn|Дужин|2011|p=178}}.}}
{{опр|Также используются термины '''инвариант конечного порядка''', '''инвариант Васильева — Гусарова''' и '''инвариант Гусарова — Васильева'''.}}

{{конец-глосс}}

== К ==
{{глосс}}

{{терм|Квазиположительная коса}}
{{опр|''[[#Коса|Коса]]'', представимая в виде ''[[#Произведение кос|произведения]]'' ''[[#Сопряжение|сопряженных]]'' к положительным ''[[#Образующая Артина|образующим Артина]]''{{sfn|Малютин и Нецветаев|2003|p=176}}.}}

{{терм|Компонента диаграммы}}
{{опр|Объединение ''[[#Дуга диаграммы|дуг]]'' диаграммы, соответствующих некоторой ''[[#Нить|нити]]'' косы.}}
{{опр|Также используется термин '''нить диаграммы'''.}}

{{терм|Конфигурационное пространство|[[Конфигурационное пространство (топология)|Конфигурационное пространство]]}}
{{опр|1. Пространство упорядоченных наборов <math>n</math> различных точек [[топологическое пространство|топологического пространства]] <math>M</math>:

: <math>\operatorname{Conf}_n(M) := \{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in M^n \mid x_i\neq x_j </math> для всех <math>i\neq j\}</math>.}}
{{опр|2. Пространство неупорядоченных наборов <math>n</math> различных точек топологического пространства <math>M</math>:

: <math>\operatorname{UConf}_n(M) := \operatorname{Conf}_n(M)/ \sim</math>,

где <math>(x_1,\ldots,x_n)\sim (y_1,\ldots,y_n)</math>, если <math>\{x_1,\ldots,x_n\} = \{y_1,\ldots,y_n\}</math>.
}}

[[File:Short-сircuit map.svg|450px|thumb|Короткое замыкание косы из чётного (слева) или из нечётного (справа) числа нитей]]
{{терм|Короткое замыкание}}
{{опр|Определённое отображение из множества всех ''[[#Коса|кос]]'' в множество [[Глоссарий теории узлов#Зацепление|зацеплений]]{{sfn|Дужин|2011|p=179}} (от {{lang-en|short-circuit}} — короткое замыкание). Также используется термин '''замыкание Стенфорда — Мостового'''.}}

{{терм|Коса|[[Коса (математика)|Коса]]}}
{{опр|[[Класс эквивалентности]] ''[[#Геометрическая коса|геометрических кос]]'' по отношению ''[[#Изотопность геометрических кос|изотопности]]''.}}

{{терм|Коэффициент зацепления}}
{{опр|Целочисленная характеристика ''[[#Коса|косы]]'' из <math>n</math> нитей, заданная для таких <math>i</math> и <math>j</math>, что <math>1 \leq i < j \leq n</math>, и равная разности между количеством положительных и отрицательных перекрёстков между нитями с номерами <math>i</math> и <math>j</math> на любой ''[[#Диаграмма|диаграмме]]'' этой косы. Является ''[[#Инвариант|инвариантом]]''.}}

{{терм|Крашеная коса}}
{{опр|''[[#Коса|Коса]]'', начало и конец каждой её нити которой расположены на одном уровне{{sfn|Сосинский и Прасолов|1997|p=91}}. Или, что то же самое, коса, чья ''[[#Перестановка косы|перестановка]]'' является тождественной{{sfn|Матвеев и Фоменко|1998|p=74}}.}}
{{опр|Также используется термин '''чистая коса'''{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=33}}.}}

{{конец-глосс}}

== М ==
{{глосс}}

{{терм|Минимальная коса}}
{{опр|Коса, имеющая наименьшее число нитей среди всех кос, имеющих то же самое ''[[#Замыкание Александера|замыкание Александера]]''{{sfn|Малютин и Нецветаев|2003|p=184}}.}}

{{терм|Мост диаграммы}}
{{опр|Дуга ''[[#Диаграмма|диаграммы]]'', содержащая хотя бы один ''[[#Перекрёсток диаграммы|перекрёсток]]''. '''Длина''' моста — количество перекрёстков, которое он содержит.}}

{{терм|Моноид положительных кос}}
{{опр|[[Моноид]] <math>B_n^+</math>, состоящий из ''[[#Положительная коса|положительных кос]]'' из заданного числа <math>n \in \N</math> нитей с операцией ''[[#Произведение кос|произведения]]''. Его нейтральным элементом является ''[[#Тривиальная коса|тривиальная коса]]'' из <math>n</math> нитей.}}

{{конец-глосс}}

== Н ==
{{глосс}}

{{терм|Нить}}
{{опр|1. [[Сужение функции|Сужение]] ''[[#Геометрическая коса|геометрического представителя]]'' данной ''[[#Коса|косы]]'' на один из отрезков <math>[0,1]\times \{k\}</math>.}}
{{опр|2. [[Компонента связности]] геометрического представителя данной косы.}}
{{опр|'''Начало''' нити — её точка пересечения с плоскостью <math>\R^2 \times \{0\}</math>. '''Конец''' нити — её точка пересечения с плоскостью <math>\R^2 \times \{1\}</math>. '''Номер''' нити — натуральное число <math>k</math> такое, что её началом является точка <math>(k,0,0)</math>.}}
{{опр|'''Количество нитей''' косы, также известное как её '''индекс'''{{sfn|Малютин и Нецветаев|2003|p=172}}, является ''[[#Инвариант|инвариантом]]''.}}
{{опр|Также используется термин '''компонента косы'''.}}

{{конец-глосс}}

== О ==
{{глосс}}

{{терм|Объемлющая изотопия}}
{{опр|Такое непрерывное семейство [[Гомеоморфизм|гомеоморфизмов]] <math>f_t\colon \R^2\times [0,1] \to \R^2\times [0,1]</math>, параметризованное числом <math>t \in [0,1]</math>, что <math>f_0</math> — [[тождественное отображение]], а каждый гомеоморфизм <math>f_t</math> тождествен на объединении <math>\R^2\times\{0\}\cup \R^2\times \{1\}</math>. Под непрерывностью семейства имеется в виду то, что отображение <math>(\R^2\times [0,1]) \times [0,1] \to \R^2\times [0,1]</math>, заданное правилом <math>(x,t) \mapsto f_t(x)</math>, является [[Непрерывное отображение|непрерывным]].}}
{{опр|[[Путь (топология)|Путь]], заданный формулой <math>t \mapsto f_t(x)</math>, называется '''траекторией''' движения точки <math>x \in \R^2\times [0,1]</math> под действием объемлющей изотопии <math>f_t</math>.}}
{{опр|Говорят, что объемлющая изотопия '''переводит''' подмножество <math>A \subseteq \R^2\times [0,1]</math> в подмножество <math>B \subseteq \R^2\times [0,1]</math>, если <math>f_1(A)=B</math>.}}

[[Файл:Artin generators of the braid group.svg|400px|thumb|Определение ''[[#Образующая Артина|образующих Артина]]'' (слева) и ''[[#Диаграмма|диаграма косы]]'', соответствующая слову в образующих Артина (справа)]]
{{терм|Образующая Артина}}
{{опр|1. ''[[#Коса|Коса]]'' с <math>n</math> нитями, имеющая ''[[#Диаграмма|диаграмму]]'' с ровно одним ''[[#Перекрёсток диаграммы|перекрёстком]].}}
{{опр|2. Аналогично определению выше, но перекрёсток предполагается положительным.}}
{{опр|Символом <math>\sigma_i</math> обозначается образующая Артина, заданная диаграммой, на которой нити с номерами <math>i</math> и <math>i+1</math> образуют положительный перекрёсток, а символом <math>\sigma_i^{-1}</math> обозначается образующая Артина, заданная диаграммой, на которой нити с номерами <math>i</math> и <math>i+1</math> образуют отрицательный перекрёсток.}}
{{опр|В случае кос <math>\sigma_i</math> также используется термин '''положительная''' образующая Артина, а в случае кос <math>\sigma_i^{-1}</math> — '''обратная''' или '''отрицательная''' образующая Артина. Также используются термины '''элементарная коса'''{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=30}}{{sfn|Сосинский|2005|p=36}} и '''артиновская образующая'''{{sfn|Малютин|2019|p=201}}.}}

[[Файл:Образующие группы крашеных кос.svg|450px|thumb|Стандартные ''[[#Диаграмма|диаграммы]]'' ''[[#Образующая Маркова|образующих Маркова]]'']]
{{терм|Образующая Маркова}}
{{опр|''[[#Коса|Коса]]'' из <math>n</math> нитей, заданная для таких <math>i</math> и <math>j</math>, что <math>1 \leq i < j \leq n</math>, следующим ''[[#Артиновское слово|артиновским словом]]''{{sfn|Малютин|2009|p=118}}:

: <math>A_{i,j} := \sigma_{j-1}\sigma_{j-2}\ldots \sigma_{i+1}\sigma_i^2\sigma_{i+1}^{-1}\ldots\sigma_{j-2}^{-1}\sigma_{j-1}^{-1}</math>.}}

{{терм|Обратная коса}}
{{опр|''[[#Коса|Коса]]'', получающаяся из ''[[#Геометрическая коса|геометрического представителя]]'' данной косы [[Отражение (геометрия)|отражением]] относительно плоскости <math>\R \times \R \times \{1/2\}</math>{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=33}}. Коса, обратная к косе <math>\beta</math>, обозначается символом <math>\beta^{-1}</math>.}}

{{терм|Однородная диаграмма}}
{{опр|''[[#Диаграмма|Диаграмма]]'', заданная ''[[#Артиновское слово|артиновским словом]]'', в котором отсутствуют образующие Артина с одинаковыми индексами и противоположными типами: <math>\sigma_i</math> и <math>\sigma_i^{-1}</math>. Иными словами, словом, в которое образующие Артина входят с одним и тем же знаком (только положительным или только отрицательным).}}

{{терм|Однородная коса}}
{{опр|''[[#Коса|Коса]]'', имеющая ''[[#Однородная диаграмма|однородную диаграмму]]''.}}

{{конец-глосс}}

== П ==
{{глосс}}

{{терм|Перекрёсток диаграммы}}
{{опр|1. Участок ''[[#Диаграмма|диаграммы]]'', полученный в результате разрыва нижней ветви на маленькой окрестности некоторой двойной точки регулярной ''[[#Плоская проекция|плоской проекции]]''.}}
{{опр|2. То же, что и двойная точка регулярной плоской проекции.}}
{{опр|Каждый перекрёсток имеет один из двух типов. '''Положительный перекрёсток''' — такой, что его нижняя ветвь (проход) указывает налево от его верхней ветви (перехода) относительно ориентации нитей, ведущих от их начала к концу. '''Отрицательный перекрёсток''' — противоположное понятие.}}
{| border=0 cellpadding=5 style="margin:auto; text-align:center;"
|- style="vertical-align:center;"
| <div style="position:relative; top:0px; left:0px; {{Transform-rotate|90|display=block}}">[[Файл:Knot-crossing-plus.svg|60px]]</div>
| <div style="position:relative; top:0px; left:0px; {{Transform-rotate|90|display=block}}">[[Файл:Knot-crossing-minus.svg|60px]]</div>
|- style="vertical-align:center;"
| положительный перекрёсток
| отрицательный перекрёсток
|}

{{терм|Переключение перекрёстка}}
{{опр|1. ''[[#Преобразование диаграмм|Преобразование диаграмм]]'', заключающееся в смене типа некоторого ''[[#Перекрёсток диаграммы|перекрёстка]]'' ''[[#Диаграмма|диаграммы]]'' (прохода на переход и наоборот).}}
{{опр|2. ''[[#Преобразование кос|Преобразование кос]]'', заключающееся в смене типа некоторого перекрёстка на некоторой диаграмме данной косы.}}
{{опр|Также используются термины '''замена перекрёстка''' и '''переброска'''.}}

{{терм|Перестановочная коса}}
{{опр|''[[#Коса|Коса]]'', имеющая ''[[#Положительная диаграмма|положительную]]'' диаграмму, на которой любые две ''[[#Нить|нити]]'' имеют не более одного общего ''[[#Перекрёсток диаграммы|перекрёстка]]''.}}
{{опр|Также используется термин '''приведённая коса'''{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=324}}.}}

{{терм|Перестановка косы}}
{{опр|Такая биекция <math>\pi \colon \{1,2,\ldots,n\} \to \{1,2,\ldots,n\}</math>, что концом ''[[#Нить|нити]]'' с номером <math>k</math> некоторого ''[[#Геометрическая коса|геометрического представителя]]'' данной ''[[#Коса|косы]]'' является точка <math>(\pi(k),0,1)</math>.}}
{{опр|Также используются термины '''перестановка, соответствующая косе'''{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=17}} и '''перестановка, ассоциированная с косой'''{{sfn|Звонкин и Ландо|2010|p=316}}.}}

{{терм|Периодическая коса}}
{{опр|''[[#Коса|Коса]]'', которая удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий: 
* Она ''[[#Сопряжение|сопряжена]]'' некоторой целой степени одной из кос <math>\sigma_1\sigma_2\ldots\sigma_{n-1}</math> или <math>\sigma_1(\sigma_1\sigma_2\ldots\sigma_{n-1})</math>, где <math>n</math> — количество нитей{{sfn|Малютин|2019|p=208}}.
* Некоторая её целая степень является целой степенью ''[[#Центральная коса|центральной косы]]''{{sfn|Малютин|2004|p=83}}.
}}

[[File:Plat closure of a braid.svg|450px|thumb|Плетёное замыкание косы из чётного (слева) или из нечётного (справа) числа нитей]]
{{терм|Плетёное замыкание}}
{{опр|Определённое отображение из множества всех ''[[#Коса|кос]]'' в множество [[Глоссарий теории узлов#Зацепление|зацеплений]] (от {{lang-en|plat}} — плетение).}}

{{терм|Плоская изотопия}}
{{опр|Такое непрерывное семейство [[Гомеоморфизм|гомеоморфизмов]] <math>f_t\colon \R \times [0,1] \to \R \times [0,1]</math>, параметризованное числом <math>t \in [0,1]</math>, что <math>f_0</math> — [[тождественное отображение]], а каждый гомеоморфизм <math>f_t</math> тождествен на объединении <math>\R\times\{0\}\cup \R\times \{1\}</math>. Под непрерывностью семейства имеется в виду то, что отображение <math>(\R \times [0,1]) \times [0,1] \to \R \times [0,1]</math>, заданное правилом <math>(x,t) \mapsto f_t(x)</math>, является [[Непрерывное отображение|непрерывным]].}}
{{опр|[[Путь (топология)|Путь]], заданный формулой <math>t \mapsto f_t(x)</math>, называется '''траекторией''' движения точки <math>x \in \R\times [0,1]</math> под действием плоской изотопии <math>f_t</math>.}}
{{опр|Говорят, что плоская изотопия '''переводит''' подмножество <math>A \subseteq \R \times [0,1]</math> в подмножество <math>B \subseteq \R \times [0,1]</math>, если <math>f_1(A)=B</math>.}}

{{терм|Плоская проекция}}
{{опр|[[Образ (математика)|Образ]] ''[[#Геометрическая коса|геометрической косы]]'' относительно [[#Проекция (геометрия)|ортогональной проекции]] <math>\pi \colon \R \times \R \times [0,1] \to \R \times [0,1]</math>, заданной формулой <math>(x,y,t) \mapsto (x,t)</math>.}}
{{опр|'''Ветвь''' плоской проекции — её подмножество, являющееся образом связного подмножества геометрической косы.}}
{{опр|'''Кратностью''' или '''порядком''' точки на плоской проекции называется [[мощность множества|мощность]] её [[прообраз]]а относительно ортогональной проекции <math>\pi</math>. Плоская проекция называется '''регулярной''', если кратность каждой её точки не превосходит двух (т. е. равна единице или двойке), причем двойных точек (т. е. точек кратности два) лишь конечное число, и каждая из них представляет собой [[Трансверсальность|трансверсальное]] пересечение.}}

{{терм|Полигональная геометрическая коса}}
{{опр|''[[#Геометрическая коса|Геометрическая коса]]'', являющаяся объединением конечного числа [[Ломаная|ломаных]].}}

{{терм|Положительная диаграмма}}
{{опр|''[[#Диаграмма|Диаграмма]]'', каждый перекрёсток которой является положительным. Иными словами, диаграмма, заданная ''[[#Артиновское слово|артиновским словом]]'' в положительных образующих Артина{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=323}}{{sfn|Малютин и Нецветаев|2003|p=176}}.}}

{{терм|Положительная коса}}
{{опр|''[[#Коса|Коса]]'', имеющая ''[[#Положительная диаграмма|положительную диаграмму]]''.}}

[[File:Dehornoy-positive braid.svg|450px|thumb|Общий вид положительной по Деорнуа диаграммы косы]]
{{терм|Положительная по Деорнуа диаграмма}}
{{опр|''[[#Диаграмма|Диаграмма]]'', заданная таким непустым ''[[#Артиновское слово|артиновским словом]]'', что образующая Артина <math>\sigma_k</math> с наименьшим (среди присутствующих в слове) индексом <math>k</math> входит в него только в положительных степенях{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=353}}.}}
{{опр|Также используются термины '''<math>\sigma</math>-положительная диаграмма''' и '''D-положительная диаграмма'''{{sfn|Малютин и Нецветаев|2003|p=173}}.}}

{{терм|Положительная по Деорнуа коса}}
{{опр|''[[#Коса|Коса]]'', имеющая ''[[#Положительная по Деорнуа диаграмма|положительную по Деорнуа диаграмму]]''.}}
{{опр|Также используются термины '''<math>\sigma</math>-положительная коса''' и '''D-положительная коса'''{{sfn|Малютин и Нецветаев|2003|p=173}}.}}

{{терм|Полный инвариант}}
{{опр|''[[#Инвариант|Инвариант]]'', задающий на множестве кос инъективную функцию.}}

{{терм|Порядок Деорнуа|[[Порядок Деорнуа]]}}
{{опр|Определённый [[Упорядоченная группа|левоинвариантный линейный порядок]] на ''[[#Группа кос|группе кос]]'' <math>B_n</math> из <math>n</math> нитей{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=354}}. По определению, коса <math>\alpha</math> меньше косы <math>\beta</math> в порядке Деорнуа, что обозначается символом <math>\alpha \leqslant \beta</math>, если либо <math>\alpha=\beta</math>, либо коса <math>\alpha^{-1}\beta</math> является ''[[#Положительная по Деорнуа коса|положительной по Деорнуа]]''. Во втором случае при обозначении используется строгое неравенство: <math>\alpha < \beta</math>.}}

{{терм|Представление Бурау|[[Представление Бурау]]}}
{{опр|Определённое [[линейное представление]] ''[[#Группа кос|группы кос]]'' <math>B_n</math> из <math>n</math>{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=127}}.}}

{{терм|Представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу|[[Представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу]]}}
{{опр|Определённое [[линейное представление]] ''[[#Группа кос|группы кос]]'' <math>B_n</math> из <math>n</math>{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=156}}.}}

{{терм|Преобразование геометрических кос}}
{{опр|Произвольная геометрическая процедура, задающая функцию (возможно, [[Многозначная функция|многозначную]]) из множества ''[[#Геометрическая коса|геометрических кос]]'' в себя.}}

{{терм|Преобразование диаграмм}}
{{опр|Произвольная геометрическая процедура, задающая функцию (возможно, [[Многозначная функция|многозначную]]) из множества всех ''[[#Диаграмма|диаграмм]]'' в себя. Обычно задаётся в терминах представляющих данные диаграммы ''[[#Артиновское слово|артиновских слов]]''.}}

{{терм|Преобразование замкнутых кос}}
{{опр|Произвольная геометрическая процедура, проводимая над представителями ''[[#Замкнутая коса|замкнутых кос]]'' и задающая функцию (возможно, [[Многозначная функция|многозначную]]) из множества замкнутых кос в себя.}}

{{терм|Преобразование кос}}
{{опр|Произвольная геометрическая процедура, проводимая над геометрическими представителями ''[[#Коса|кос]]'' и задающая функцию (возможно, [[Многозначная функция|многозначную]]) из множества кос в себя.}}

[[File:Braid product.svg|thumb|Произведение кос|450px]]
{{терм|Произведение кос}}
{{опр|Определённая [[бинарная операция]] на множестве всех ''[[#Коса|кос]]'' из одинакового числа нитей{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=18}}. Произведением ''[[#Геометрическая коса|геометрических кос]]'' <math>A, B \subset \R^2\times [0,1]</math> из <math>n</math> нитей называется геометрическая коса из <math>n</math> нитей, состоящая из таких точек <math>(p,t)</math>, что <math>(p,2t) \in A</math>, если <math>t \in [0,1/2]</math>, и <math>(p,2t-1) \in B</math>, если <math>t \in [1/2,1]</math>. Произведением кос <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> называется коса, заданная произведением любых их геометрических представителей, которая обозначается символом <math>\alpha\beta</math>.}}

{{конец-глосс}}

== Р ==
{{глосс}}

{{терм|Разводимая коса}}
{{опр|''[[#Коса|Коса]]'', которая имеет ''[[#Геометрическая коса|геометрического представителя]]'', лежащего по разные стороны от некоторой полосы вида <math>\{s+1/2\} \times \R \times [0,1]</math>, где <math>s \in \Z</math>. Или, что то же самое, записывается ''[[#Артиновское слово|артиновским словом]]'', в котором хотя бы одна из образующих Артина отсутствует вместе со своей обратной.}}
{{опр|Также используется термин '''расщепимая коса'''{{sfn|Малютин|2004|p=72}}.}}

{{конец-глосс}}

== С ==
{{глосс}}

{{терм|Соотношение Артина}}
{{опр|Соотношение между ''[[#Образующая Артина|образующими Артина]]'' из <math>n</math> нитей, имеющее вид <math>\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}</math>, где <math>i \in \{1,2,\ldots,n-2\}</math>.}}
{{опр|Также используются термины '''соотношение кос'''{{sfn|Сосинский|2005|p=37}}, '''уравнение Артина''', '''уравнение кос''' и '''уравнение Янга — Бакстера'''{{sfn|Сосинский|2001|p=13}}.}}

{{терм|Соотношение дальней коммутативности}}
{{опр|Соотношение между ''[[#Образующая Артина|образующими Артина]]'', имеющее вид <math>\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i</math>, где <math>|i-j| \geq 2</math>.}}
{{опр|Два ''[[#Артиновское слово|артиновских слова]]'' представляют ''[[#Плоская изотопия|изотопные]]'' ''[[#Диаграмма|диаграммы]]'' в том и только в том случае, если одну можно получить из другой применением конечной последовательности таких соотношений.}}
{{опр|Также используются термины '''дальняя коммутативность'''{{sfn|Мантуров|2005|p=110}} и '''соотношение коммутативности для отдалённых кос'''{{sfn|Сосинский|2005|p=37}}.}}

{{терм|Сопряжение}}
{{опр|''[[#Преобразование кос|Преобразование кос]]'', заключающееся в переходе от косы <math>\beta</math> к косе <math>\alpha\beta\alpha^{-1}</math>, где <math>\alpha</math> — некоторая коса с тем же числом нитей, а символ <math>\alpha^{-1}</math> обозначает ''[[#Обратная коса|обратную косу]]''. Также используется термин '''сопряжение косой''' <math>\alpha</math>.}}
{{опр|Косы называются '''сопряженными''', если одну можно получить из другой сопряжением некоторой косой. '''Сопряженность''' — соответствующее [[отношение эквивалентности]] на множестве всех кос.}}
{{опр|Также используются термины '''первое движение Маркова'''{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=96}} и '''первое преобразование Маркова'''{{sfn|Сосинский и Прасолов|1997|p=89}}.}}

{{терм|Стабилизация}}
{{опр|1. Определённое ''[[#Преобразование кос|преобразование кос]]''. '''Положительная стабилизация''' — переход от косы <math>\beta</math> из <math>n</math> нитей к косе <math>\beta \sigma_n</math> из <math>n+1</math> нитей, где <math>\sigma_n</math> — ''[[#Образующая Артина|образующая Артина]]''. '''Отрицательная стабилизация''' — аналогичный переход от косы <math>\beta</math> к косе <math>\beta \sigma_n^{-1}</math>.}}
{{опр|2. ''[[#Преобразование замкнутых кос|Преобразование замкнутых кос]]'', заключающееся в применении одной из двух вышеуказанных операций к некоторой ''[[#Коса|косе]]'', представляющей данную ''[[#Замкнутая коса|замкнутую косу]]''.}}
{{опр|'''Дестабилизация''' — обратное преобразование.}}

{{конец-глосс}}

== Т ==
{{глосс}}

{{терм|Тензорное произведение кос}}
{{опр|Определённая [[бинарная операция]] на множестве всех ''[[#Коса|кос]]'', заключающаяся в параллельном приставлении одной косы к другой{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=98}}. Тензорным произведением ''[[#Геометрическая коса|геометрических кос]]'' <math>A, B \subset \R\times\R\times [0,1]</math> из <math>n</math> и <math>m</math> нитей, расположенных в <math>[1,n]\times\R\times[0,1]</math> и <math>[1,m]\times\R\times[0,1]</math>, называется геометрическая коса из <math>n+m</math> нитей, состоящая из таких точек <math>(x,y,t)</math>, что <math>(x,y,t) \in A</math>, если <math>x \in (-\infty,n]</math>, и <math>(x-n,y,t) \in B</math>, если <math>x \in [n,+\infty)</math>. Тензорным произведением кос называется коса, заданная тензорным произведением любых их геометрических представителей с указанными выше свойствами.}}

{{терм|Тень диаграммы}}
{{опр|[[Образ (математика)|Образ]] ортогональной проекции, соответствующей ''[[#Диаграмма|диаграмме]]''.}}

{{терм|Тривиальная коса}}
{{опр|''[[#Коса|Коса]]'', которая удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:
* Она имеет ''[[#Геометрическый узел|геометрического представителя]]'' вида <math>\{1,2,\ldots,n\}\times \{0\} \times [0,1]</math> для некоторого <math>n \in \N</math>{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=18}}.
* Она имеет геометрического представителя, лежащего в полосе <math>\R \times \{0\} \times [0,1]</math>.
* Она имеет ''[[#Диаграмма|диаграмму]]'' с нулём ''[[#Перекрёсток диаграммы|перекрёстков]]''.
}}

{{конец-глосс}}

== Ф ==
{{глосс}}

[[Файл:Два обличия фундаментальной косы.svg|400px|thumb|Две ''[[#Диаграмма|диаграммы]]'' ''[[#Фундаментальная коса|фундаментальной косы]]'' из <math>6</math> нитей]]
{{терм|Фундаментальная коса}}
{{опр|''[[#Коса|Коса]]'' из <math>n</math> нитей, заданная следующим ''[[#Артиновское слово|артиновским словом]]''{{sfn|Малютин и Нецветаев|2003|p=172}}:

:<math>\Delta_n := (\sigma_{n-1}\sigma_{n-2}\ldots\sigma_1)(\sigma_{n-1}\sigma_{n-2}\ldots \sigma_2) \ldots (\sigma_{n-1}\sigma_{n-2})\sigma_{n-1}</math>.}}
{{опр|Также используются термины '''полуоборот <math>n</math> нитей''', '''гарсайдовский элемент''' и '''элемент Гарсайда'''.}}

{{конец-глосс}}

== Ц ==
{{глосс}}

[[Файл:Non-uniqueness of roots in the braid group.svg|500px|thumb|Две ''[[#Диаграмма|диаграммы]]'' ''[[#Центральная коса|центральной косы]]'' из <math>6</math> нитей]]
{{терм|Центральная коса}}
{{опр|''[[#Коса|Коса]]'' <math>\Delta_n^2</math> из <math>n</math> нитей, являющаяся квадратом ''[[#Фундаментальная коса|фундаментальной косы]]''.}}
{{опр|Также используется термин '''полный оборот <math>n</math> нитей'''{{sfn|Мантуров|2010|p=116}}.}}

{{конец-глосс}}

== Э ==
{{глосс}}

{{терм|Экспоненциальная сумма}}
{{опр|Целочисленная характеристика ''[[#Коса|косы]]'', равная разности между количеством положительных и отрицательных ''[[#Перекрёсток диаграммы|перекрёстков]]'' на любой ''[[#Диаграмма|диаграмме]]'' этой косы. Является ''[[#Инвариант|инвариантом]]''.}}

{{терм|Элементарная изотопия}}
{{опр|''[[#Преобразование геометрических кос|Преобразование]]'' ''[[#Полигональная геометрическая коса|полигональных кос]]'', заключающееся в замене звена (прямолинейного отрезка) <math>AB</math> на два звена <math>AC</math> и <math>CB</math>, а также обратное преобразование, осуществляемое при условии, что [[треугольник]] <math>ABC</math> не пересекает остальные звенья полигональной косы по своей внутренности или границе{{sfn|Сосинский и Прасолов|1997|p=71}}.}}
{{опр|Также используется термин '''элементарное преобразование'''.}}

{{конец-глосс}}

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга
 |автор         = {{автор|Кассель, Кристиан|Кассель, К.}}, {{автор|Тураев, Владимир Георгиевич|Тураев, В. Г.}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Группы кос
 |nodot         = 
 |оригинал      = Braid groups
 |язык          = ru
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = пер. с англ. С. Н. Малыгина
 |издание       = 
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[МЦНМО]]
 |год           = 2014
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 424
 |серия         = 
 |isbn          = 978-5-4439-0245-6
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Кассель и Тураев
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Сосинский, Алексей Брониславович|Сосинский, А. Б.}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Узлы и косы
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = ru
 |ссылка        = http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.10.pdf
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[МЦНМО]]
 |год           = 2001
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 24
 |серия         = Библиотека «Математическое просвещение»
 |isbn          = 5-900916-76-6
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Сосинский
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Прасолов, Виктор Васильевич|Прасолов, В. В.}}, {{автор|Сосинский, Алексей Брониславович|Сосинский, А. Б.}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = ru
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[МЦНМО]]
 |год           = 1997
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 352
 |серия         = 
 |isbn          = 5-900916-10-3
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Сосинский и Прасолов
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Сосинский, Алексей Брониславович|Сосинский, А. Б.}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Узлы. Хронология одной математической теории
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = ru
 |ссылка        = http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/d63008f4-a780-11dc-945c-d34917fee0be/71_sosinskij_uzli.pdf
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[МЦНМО]]
 |год           = 2005
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 112
 |серия         = 
 |isbn          = 5-94057-220-0
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Сосинский
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Мантуров, Василий Олегович|Мантуров, В. О.}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Теория узлов
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = ru
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = 
 |издательство  = Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований
 |год           = 2005
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 512
 |серия         = 
 |isbn          = 5-93972-404-3
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Мантуров
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Матвеев, Сергей Владимирович|Матвеев, С. В.}}, {{автор|Фоменко, Анатолий Тимофеевич|Фоменко, А. Т.}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = ru
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 2
 |место         = М.
 |издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год           = 1998
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 304
 |серия         = Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения
 |isbn          = 5-02-013655-7
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Матвеев и Фоменко
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Звонкин, Александр Калманович|Звонкин, А. К.}}, {{автор|Ландо, Сергей Константинович|Ландо, С. К.}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Графы на поверхностях и их приложения
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = ru
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[МЦНМО]]
 |год           = 2010
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 480
 |серия         = 
 |isbn          = 978-5-94057-588-7
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Звонкин и Ландо
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}

== Ссылки ==
* {{статья
 | автор         = {{автор|Мантуров, Василий Олегович|Мантуров, В. О.}}
 | заглавие      = Экскурс в теорию кос
 | оригинал      = 
 | ссылка        = https://www.mathnet.ru/rus/mp/v14/s3/p107
 | язык          = 
 | ответственный = 
 | автор издания = 
 | издание       = Математическое просвещение
 | тип           = 
 | место         = {{М.}}
 | издательство  = [[МЦНМО]]
 | год           = 2010
 | месяц         = 
 | число         = 
 | том           = 3
 | выпуск        = 14
 | номер         = 
 | страницы      = 107—142
 | isbn          = 978-5-94057-597-9
 | issn          = 
 | doi           = 
 | bibcode       = 
 | arxiv         = 
 | pmid          = 
 | jstor         = 
 | ref           = Мантуров
 | archiveurl    = 
 | archivedate   = 
}}
* {{статья
 | автор         = {{автор|Малютин, Андрей Валерьевич|Малютин, А. В.}}
 | заглавие      = Эффект целочисленного квантования числа вращения в группах кос
 | оригинал      = 
 | ссылка        = https://www.mathnet.ru/rus/tm/v305/p197
 | язык          = 
 | ответственный = 
 | автор издания = 
 | издание       = Труды Математического института имени В. А. Стеклова
 | тип           = 
 | место         = 
 | издательство  = 
 | год           = 2019
 | месяц         = 
 | число         = 
 | том           = 305
 | выпуск        = 
 | номер         = 
 | страницы      = 197—210
 | isbn          = 
 | issn          = 
 | doi           = 10.4213/tm4017
 | bibcode       = 
 | arxiv         = 
 | pmid          = 
 | jstor         = 
 | ref           = Малютин
 | archiveurl    = 
 | archivedate   = 
}}
* {{статья
 | автор         = {{автор|Малютин, Андрей Валерьевич|Малютин, А. В.}}
 | заглавие      = Закрученность (замкнутых) кос
 | оригинал      = 
 | ссылка        = https://www.mathnet.ru/rus/aa/v16/i5/p59
 | язык          = 
 | ответственный = 
 | автор издания = 
 | издание       = Алгебра и анализ
 | тип           = 
 | место         = 
 | издательство  = 
 | год           = 2004
 | месяц         = 
 | число         = 
 | том           = 16
 | выпуск        = 5
 | номер         = 
 | страницы      = 59—91
 | isbn          = 
 | issn          = 
 | doi           = 
 | bibcode       = 
 | arxiv         = 
 | pmid          = 
 | jstor         = 
 | ref           = Малютин
 | archiveurl    = 
 | archivedate   = 
}}
* {{статья
 | автор         = {{автор|Малютин, Андрей Валерьевич|Малютин, А. В.}}, {{автор|Нецветаев, Никита Юрьевич|Нецветаев, Н. Ю.}}
 | заглавие      = Порядок Деорнуа на группе кос и преобразования замкнутых кос
 | оригинал      = 
 | ссылка        = https://www.mathnet.ru/rus/aa/v15/i3/p170
 | язык          = 
 | ответственный = 
 | автор издания = 
 | издание       = Алгебра и анализ
 | тип           = 
 | место         = 
 | издательство  = 
 | год           = 2003
 | месяц         = 
 | число         = 
 | том           = 15
 | выпуск        = 3
 | номер         = 
 | страницы      = 170—187
 | isbn          = 
 | issn          = 
 | doi           = 
 | bibcode       = 
 | arxiv         = 
 | pmid          = 
 | jstor         = 
 | ref           = Малютин и Нецветаев
 | archiveurl    = 
 | archivedate   = 
}}
* {{статья
 | автор         = {{автор|Малютин, Андрей Валерьевич|Малютин, А. В.}}
 | заглавие      = Псевдохарактеры групп кос и простота зацеплений
 | оригинал      = 
 | ссылка        = https://www.mathnet.ru/rus/aa/v21/i2/p113
 | язык          = 
 | ответственный = 
 | автор издания = 
 | издание       = Алгебра и анализ
 | тип           = 
 | место         = 
 | издательство  = 
 | год           = 2009
 | месяц         = 
 | число         = 
 | том           = 21
 | выпуск        = 2
 | номер         = 
 | страницы      = 113—135
 | isbn          = 
 | issn          = 
 | doi           = 
 | bibcode       = 
 | arxiv         = 
 | pmid          = 
 | jstor         = 
 | ref           = Малютин
 | archiveurl    = 
 | archivedate   = 
}}
* {{статья
 | автор         = {{автор|Дужин, Сергей Васильевич|Дужин, С. В.}}
 | заглавие      = Многочлен Конвея и разложение Магнуса
 | оригинал      = 
 | ссылка        = https://www.mathnet.ru/rus/aa/v23/i3/p175
 | язык          = 
 | ответственный = 
 | автор издания = 
 | издание       = Алгебра и анализ
 | тип           = 
 | место         = 
 | издательство  = 
 | год           = 2011
 | месяц         = 
 | число         = 
 | том           = 23
 | выпуск        = 3
 | номер         = 
 | страницы      = 175—188
 | isbn          = 
 | issn          = 
 | doi           = 
 | bibcode       = 
 | arxiv         = 
 | pmid          = 
 | jstor         = 
 | ref           = Дужин
 | archiveurl    = 
 | archivedate   = 
}}
* {{статья
 | автор         = {{автор|Emil, Artin|Artin, E.}}
 | заглавие      = Theory of Braids
 | ссылка        = https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/artinbraids.pdf
 | язык          = en
 | издание       = [[Annals of Mathematics]]
 | тип           = 
 | место         = 
 | издательство  = [[Princeton University]] and the [[Institute for Advanced Study]]
 | год           = 1947
 | том           = 48
 | номер         = 1
 | страницы      = 101–126
 | issn          = 0003-486X
 | doi           = 10.2307/1969218
 | ref           = Artin
 | archiveurl    = 
 | archivedate   = 
}}

[[Категория:Математические глоссарии]]
[[Категория:Теория кос]]