Просмотр кода страницы Гравитационная задача N тел

'''Гравитацио́нная зада́ча ''N'' тел''' является классической проблемой [[Небесная механика|небесной механики]] и [[Гравитация|гравитационной]] [[Динамика (физика)|динамики]] [[Ньютон, Исаак|Ньютона]].

Она формулируется следующим образом.

В пустоте находится ''N'' [[Материальная точка|материальных точек]], массы которых известны {''m''<sub>i</sub>}. Пусть попарное взаимодействие точек подчинено [[Гравитация|закону тяготения Ньютона]], и пусть силы гравитации [[Аддитивность (математика)|аддитивны]]. Пусть известны начальные на момент времени ''t''=0 положения и скорости каждой точки '''r'''<sub>i</sub>|<sub>''t'' =0 </sub> = '''r'''<sub>i0</sub>, '''v'''<sub>i</sub>|<sub>''t'' =0 </sub> = '''v'''<sub>i0</sub>. Требуется найти положения точек для всех последующих моментов времени.

== Математическая формулировка гравитационной задачи ''N'' тел ==
Эволюция системы ''N'' гравитирующих тел ([[Материальная точка|материальных точек]]) описывается следующей системой уравнений:

<center>
{|
|<math>
\frac{d{\mathbf r}_i}{dt} = {\mathbf v}_i,
</math>
|-
|<math>
\frac{d{\mathbf v}_i}{dt} = \sum\limits_{j \neq i}^N G \, m_j \,
\frac{{\mathbf r}_j - {\mathbf r}_i}{\left|{\mathbf r}_j - {\mathbf
r}_i\right|^{3}},
</math>
|}
</center>

где <math>m_i,\, {\mathbf r}_i, \, {\mathbf v}_i</math> — масса, [[радиус-вектор]] и скорость ''i''-го тела соответственно (''i'' изменяется от 1 до ''N''), ''G'' — [[гравитационная постоянная]]. Массы тел, а также положения и скорости в начальный момент времени считаются известными. Необходимо найти положения и скорости всех частиц в произвольный момент времени.

== Аналитическое решение ==
[[Файл:2bodies.png|thumb|320px|Траектории двух тел разной массы, пребывающих в гравитационном взаимодействии друг с другом]]

[[Файл:3bodies.png|thumb|320px|Приблизительные траектории трёх одинаковых тел, находившихся в вершинах неравнобедренного треугольника и обладавших нулевыми начальными скоростями]]

Случай уединённой точки <math>N=1</math> не является предметом рассмотрения гравитационной динамики. Поведение такой точки описывается [[Первый закон Ньютона|первым законом Ньютона]]. Гравитационное взаимодействие — это как минимум парный акт.

Решением [[задача двух тел|задачи двух тел]] <math>N=2</math> является барицентрическая системная орбита (не путать с полевой центральной орбитой Кеплера). В полном соответствии с исходной постановкой задачи, решение задачи двух тел совершенно нечувствительно к нумерации точек и соотношению их масс. Полевая центральная орбита Кеплера возникает предельным переходом <math>\frac{m_1}{m_2}\rightarrow0</math>. При этом теряется равноправие точек: <math>m_2</math> принимается абсолютно неподвижным тяготеющим центром, а первая точка «теряет» массу, — параметр <math>m_1</math> выпадает из динамических уравнений. В математическом смысле возникающая система дегенеративна, так как количество уравнений и параметров уменьшается в два раза. Поэтому обратная асимптотика становится невозможной: из законов Кеплера не следует закон тяготения Ньютона. (Следует учесть, что массы вообще не упоминаются в законах Кеплера.)

Для [[задача трёх тел|задачи трёх тел]] <math>N=3</math> в [[1912 год]]у [[Зундман, Карл|Карлом Зундманом]] было получено общее аналитическое решение в виде рядов. Хотя эти ряды и сходятся для любого момента времени и с любыми начальными условиями, но сходятся они крайне медленно<ref>К. Л. Зигель. [http://telescopoptic.ucoz.ru/Zigel1959ru.djvu Лекции по небесной механике.] {{Wayback|url=http://telescopoptic.ucoz.ru/Zigel1959ru.djvu |date=20210202003828 }} — М.: ИЛ, 1959.</ref>. Из-за крайне медленной сходимости практическое использование рядов Зундмана невозможно<ref name="Markeev">{{статья |автор=А. П. Маркеев |заглавие=Задача трёх тел и её точные решения |издание=[[Соросовский образовательный журнал]] |номер=9 |год=1999 |ссылка=http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9909_112.pdf |archivedate=2021-02-02 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210202011735/http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9909_112.pdf }} ([https://web.archive.org/web/20060211082821/http://www.issep.rssi.ru/pdf/9909_112.pdf копия] статьи в [[Архив Интернета|Архиве Интернета]])</ref>.

Также для задачи трёх тел [[Генрих Брунс|Генрихом Брунсом]] и [[Анри Пуанкаре]] было показано, что её общее решение нельзя выразить через [[Алгебраическая функция|алгебраические]] или через однозначные [[Трансцендентная функция|трансцендентные функции]] координат и скоростей<ref name="Markeev" />. Кроме того, известно только [[Точка Лагранжа|5 точных решений]] задачи трёх тел для специальных начальных скоростей и координат объектов.

На данный момент в общем виде задача <math>N</math> тел для <math>N>3</math> может быть решена только численно, причём для <math>N=3</math> ряды Зундмана даже при современном{{когда}} уровне развития вычислительной техники использовать практически невозможно.

== Численные методы ==
С появлением [[компьютер]]ной техники появилась реальная возможность изучать свойства систем гравитирующих тел путём [[Численное решение уравнений|численного решения системы уравнений]] движения. Для этого используются, например, [[метод Рунге — Кутты]] (четвёртого или более высокого порядка).

Численные методы сталкиваются с теми же проблемами, что и аналитические — при тесных сближениях тел необходимо уменьшать [[Метод декомпозиции времени|шаг интегрирования]], а при этом быстро растут численные ошибки. Кроме того, при «прямом» интегрировании число вычислений силы для каждого шага растёт с ростом числа тел приблизительно как <math>N^2</math>, что делает практически невозможным моделирование систем, состоящих из десятков и сотен тысяч тел.

Для решения этой проблемы применяют следующие [[алгоритм]]ы (или их комбинации):
* [[Схема Ахмада-Коэна]] — предлагает разделить силу, действующую на каждое тело, на 2 части — иррегулярную (от близких тел — «соседей») и регулярную (от более далёких тел). Соответственно, регулярную силу можно перевычислять с гораздо большим шагом, чем иррегулярную.
* «Древесный алгоритм» (Treecode), впервые реализованный Джошуа Барнесом<ref>{{Cite web |url=http://www.ifa.hawaii.edu/faculty/barnes/software.html |title=Treecode — Software Distribution |access-date=2008-09-14 |archive-date=2021-02-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210202101630/http://www.ifa.hawaii.edu/faculty/barnes/software.html |deadlink=no }}</ref>.

== Интегралы движения ==
Несмотря на кажущуюся простоту формул, решения в виде конечных аналитических выражений для данной задачи в общем виде для <math>N\ge 3</math> не существует. Как показал [[Брунс, Генрих|Генрих Брунс]], задача многих тел имеет только 10 независимых алгебраических [[интегралы движения|интегралов движения]], которые были найдены в XVIII веке и которых недостаточно для интегрирования задачи трёх и более тел<ref>Bruns H. Ueber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. Bd. 11 (1887), p. 25—96.</ref><ref>Уитекер. Аналитическая динамика.</ref>. Свои обобщения этой теоремы предложили [[Пенлеве, Поль|Пенлеве]] и [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]]. Пенлеве удалось отказаться от требования алгебраичности зависимости от координат, Пуанкаре же высказал гипотезу о том, что не существует нового однозначного интеграла (все классические интегралы, кроме интеграла энергии, являются однозначными функциями). Это последнее утверждение, по всей видимости, до сих пор строго не доказано в столь общей формулировке.

В 1971 году [[Алексеев, Владимир Михайлович (математик)|В. М. Алексеев]] так прокомментировал соответствующий пассаж в «Небесной механике» Пуанкаре<ref>В. В. Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск, 1995.</ref>:

{{начало цитаты}}
Несуществование однозначного аналитического интеграла в задаче трёх тел до сих пор не доказано с полной строгостью… Первое аккуратное доказательство неинтегрируемости гамильтоновой системы достаточно общего вида принадлежит [[Зигель, Карл Людвиг|Зигелю]]<ref>Математика. — 1961. — № 5, вып. 2. — С. 129—155.</ref>. Интересно отметить, что неаналитические интегралы в рассматриваемых задачах возможны; их существование вытекает из одной теоремы [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогорова]]<ref>Колмогоров А. Н. // ДАН, 1954, 48, № 4, 527—530</ref><ref>Арнольд В. И. // УМН, 1963, 18 , № 5—6</ref>. Напротив, в случае, когда число переменных более двух, вероятнее всего, невозможен даже непрерывный интеграл<ref>Арнольд В. И. // ДАН, 1964, 154, № 1, 9—12.</ref>.
{{конец цитаты}}

== См. также ==
* [[MilkyWay@home]]
* [[Взаимодействие многих тел]]
* [[:en:Gravity Pipe]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* James Binney, Scott Tremaine. Galactic Dynamics, 1988, ISBN 0-69-108445-9.

== Ссылки ==
* [https://users.soe.ucsc.edu/~charlie/3body/ Java-апплет, визуализирующий некоторые частные случаи задачи]
* [https://github.com/drons/nbody Параллельная GPU реализация решения задачи N тел с обходом дерева частиц без использования стека]

{{Внешние ссылки}}
{{Орбиты}}
{{Небесная механика}}

[[Категория:Небесная механика]]