Просмотр кода страницы График функции

{{другие значения термина|График|График}}
[[Файл:Function x^3.svg|thumb|Пример графика функции <math>x^3</math> в прямоугольных координатах]]
[[Файл:Dipole radiation.svg|thumb|Пример графика [[Диаграмма направленности|диаграммы направленности]] [[Диполь (электродинамика)|дипольного излучателя]] в [[Полярная система координат|полярных координатах]]]]
[[Файл:Three-dimensional graph.png|thumb|Изометрический график двумерной поверхности функции двух переменных <math>f(x,y) = \sin\left(x^2\right)\cos\left(y^2\right)</math>]]
'''Гра́фик фу́нкции''' — геометрическое понятие в [[Математика|математике]], дающее представление о [[Геометрия|геометрическом]] образе [[Функция (математика)|функции]].

Наиболее наглядны графики [[Числовая функция|вещественнозначных функций]] [[Вещественное число|вещественного переменного]] одной переменной.

Для непрерывной функции двух переменных <math>z = f(x,\ y)</math> их графики представляют собой поверхности в [[Трёхмерное пространство|трёхмерном пространстве]], являющиеся геометрическим местом точек <math>z,\ x,\ y.</math> Эти поверхности могут быть изображены на плоскости в какой-либо [[Изометрическая проекция|изометрической проекции]] (см. рисунок).

Обычно графики строят в [[Прямоугольная система координат|прямоугольной системе координат]], на плоскости эту систему координат называют ''декартовой системой координат''.
Также графики для повышения наглядности часто строят в других системах координат, например, в [[Полярная система координат|полярной системе координат]] или других [[Аффинная система координат|косоугольных системах координат]].

В случае использования прямоугольной системы координат, '''график функции''' — это [[геометрическое место точек]] плоскости, [[Абсцисса|абсциссы]] (''x'') и [[ордината|ординаты]] (''y''), которые связаны отображаемой функцией:

: точка <math>(x,y)</math> располагается (или находится) на графике функции <math>y=f(x)</math> [[тогда и только тогда, когда]] <math>y=f(x)</math>.

Таким образом, функция может быть адекватно описана своим '''графиком'''.

Из определения '''графика функции''' следует, что далеко не всякое множество точек плоскости может быть графиком некоторой функции, например, из требования однозначности функции вытекает, что никакая прямая, параллельная [[Ось ординат|оси ординат]], не может пересекать график функции более чем в одной точке. Если функция обратима, то график [[Обратная функция|обратной функции]] (как [[подмножество]] плоскости) будет совпадать с графиком самой функции (это, проще говоря, одно и то же подмножество плоскости).

Некоторые функции определены только в конечном дискретном множестве аргумента, при этом график таких функций представляет собой множество точек — например, график функции, определённой как:

: <math>f(x)=\left\{\begin{matrix} a, & x=1 \\ b, & x=2 \\ c, & x=3 \end{matrix}\right.</math>

представляет собой множество из трёх точек <math>(1,\ a); ~ (2,\ b); ~ (3,\ c).</math>

'''График''' гладкой (требуемое количество раз [[Дифференцируемая функция|дифференцируемой функции]]) является [[Кривая|плоской кривой]] той же степени гладкости.

Некоторые графики имеют самостоятельные имена, например:
* График [[Линейная функция|линейной функции]] — [[прямая]].
* График квадратной функции — [[парабола]].
* График дробной функции — [[Гипербола (математика)|гипербола]].
* График [[Показательная функция|показательной функции]] — [[экспонента]]
* График синуса — [[синусоида]], график косинуса — [[косинусоида]] , тангенса — [[тангенсоида]] и т. д.
Большинство из них называются тригонометрическими функциями.

== Определение графика ==
При рассмотрении отображения произвольного вида <math>f\colon X\to Y</math>, действующего из множества <math>X</math> в множество <math>Y</math>, '''графиком функции''' называется следующее множество упорядоченных пар:

: <math>\Gamma_f=\{\,(x,f(x))\in X\times Y\mid x\in X\,\}.</math>

В частности, при рассмотрении [[Динамическая система|динамических систем]], изображающая точка <math>(t,f(t))</math> представляет собою график решения соответствующего [[Дифференциальное уравнение|дифференциального уравнения]] с заданными [[Независимые начальные условия|начальными условиями]] такой график часто называют [[Фазовое пространство|фазовой траекторией]] системы.
<!-- == Связанные определения ==
* ''Надграфик'' вещественнозначной функции <math>f:X\to\R</math> есть множество
*: <math>\Gamma_f^+=\{\,(x,y)\in X\times \R\mid x\in X, y\ge f(x)\,\}.</math>
-->

== Примеры ==
{| class="wikitable"
! Функция
! График функции
! Описание
|-
| <math>f(x) = \begin{cases} -1, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ 1, & x>0 \end{cases}</math>
| [[Файл:mplwp sgn.svg|250px]]
| Функция <math>y=\sgn(x).</math> В точке <math>x=0 ~ ~ y=0.</math>
|-
| <math>f(x) = \begin{cases} 0, & x=1 \\ 8, & x=2 \\ 15, & x=3 \end{cases}</math>
| [[Файл:mplwp 0 8 15.svg|250px]]
| Пример графика функции, определённой только в трёх точках <math>\{1,2,3\}</math> и содержит только три точки с координатами <math>(1,0)</math>, <math>(2,8)</math> и <math>(3,15).</math>
|-
| <math>f(x)=\sin(x)</math><br><math>f(x)=\cos(x)</math><br><math>f(x)=\operatorname{tg}(x)</math><br><math>f(x)=\operatorname{ctg}(x)</math><br><math>f(x)=\sec(x)</math><br><math>f(x)=\operatorname{cosec}(x)</math><br>
| [[Файл:Trigonometric functions no legend.svg|250px|]]
| Графики тригонометрических функций:<br>{{легенда|#B20000|синуса|inline}},<br> {{легенда|#00B233|косинуса|inline}},<br>{{легенда|#0000B2|тангенса|inline}},<br>{{легенда|#79B200|котангенса|inline}},<br>{{легенда|#B29200|секанса|inline}},<br> {{легенда|#8400B2|косеканса|inline}}
|-
| <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>
| [[Файл:mplwp 1overx.svg|250px]]
| График гиперболы. При <math>x=0</math> претерпевает [[Непрерывная функция#Классификация точек разрыва в R¹|разрыв 2-го рода]] и в точке <math>x=0</math> не определена.
|-
| <math>f(x)=b^x</math>
| [[Файл:Expo02.svg|250px|]]
| Графики функций <math>y=b^x</math> различными основаниями <math>b</math>:
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|green solid 2px|основание:&nbsp;10}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|red solid 2px|основание:&nbsp;''e''}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|основание:&nbsp;2}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|cyan solid 2px|основание:&nbsp;{{sfrac|1|2}}}}}}
Каждая кривая проходит через точку {{math|(0, 1)}}.
|-
| <math>f(x)=x^3-9x</math>
| [[Файл:cubicpoly.svg|right|250px|]]
| График <math>f(x)=x^3-9x</math> кубического многочлена [[Вещественные числа|вещественной]] переменной, это множество <math>\{(x, x^3-9 x)\in \R^2\ | x\in\R\}</math>.
|}

== См. также ==
* [[Исследование функции]]
* [[Преобразования графиков функций]]

== Литература ==
* {{ВТ-ЭСБЕ|График}}

== Ссылки ==
{{Навигация|Тема=Иллюстрации}}
* Построение графика функции онлайн: [http://www.archimy.com flash] {{Wayback|url=http://www.archimy.com/ |date=20211125192622 }}, [http://umath.ru/calc/postroenie-grafika-funkcii-onlajn/ JavaScript] {{Wayback|url=http://umath.ru/calc/postroenie-grafika-funkcii-onlajn/ |date=20150402154624 }}, [http://yotx.ru генерация рисунка] {{Wayback|url=http://yotx.ru/ |date=20220326092012 }}
* [https://web.archive.org/web/20090523103456/http://www.how-tos.ru/content/computers/software/office/0002.html Как построить график функции в электронных таблицах (на примере Microsoft Excel)]
* {{YouTube|-OlDgdxHAss}}

[[Категория:Функции]]
[[Категория:Элементарная математика]]
[[Категория:Общие понятия о функциях]]