Просмотр кода страницы Группа орнамента

[[Файл:Wallpaper group-p4m-5.jpg|thumb|250px|Пример [[египет]]ского орнамента с группой орнамента [[#Группа p4mm|'''''p''4''m''''']] ]]
'''Группа орнамента''' (или '''группа плоской симметрии''', или '''плоская кристаллографическая группа''') — это математическая классификация двумерных повторяющихся узоров, основанных на [[симметрия]]х. Такие узоры часто встречаются в [[Архитектура|архитектуре]] и [[Декоративное искусство|декоративном искусстве]]. Существует 17 возможных различных [[Группа (математика)|групп]].

Группы орнаментов являются двумерными [[Группы симметрии|группами симметрии]], средними по сложности между [[Группа бордюра|группами бордюра]] и трёхмерными [[Кристаллографическая группа|кристаллографическими группами]] (называемыми также ''пространственными группами'').

== Введение ==
Группы орнаментов распределяют узоры по категориям согласно их симметриям. Тонкая разница в похожих узорах может привести к распределению узоров в разные группы, в то время как узоры, существенно отличные по стилю, цвету, масштабу или ориентации могут принадлежать одной группе.

Рассмотрим следующие примеры:
<gallery class="center">
Image:Wallpaper_group-p4m-2.jpg|<center>Пример '''A''': Ткань, [[Таити]]</center>
Image:Wallpaper_group-p4m-1.jpg|<center> Пример '''B''': Орнамент, [[Ниневия]], [[Ассирия]]</center>
Image:Wallpaper_group-p4g-2.jpg|<center> Пример '''C''': Расписной [[фарфор]], [[Китайская Народная Республика|Китай]]</center>
</gallery>

Примеры '''A''' и '''B''' имеют ту же самую группу орнаментов, в [[Международный союз кристаллографов#Обозначения симметрии|обозначениях IUC]] она называется [[#Группа p4mm|'''''p''4''m''''']], а в {{не переведено 5|Орбиобозначение|орбиозначениях||orbifold notation}} — [[#Группа p4mm|*442]].
Пример '''C''' имеет другую группу орнаментов, называемую [[#Группа p4gm|'''''p''4''g''''']], или [[#Группа p4gm|4*2]] . Факт, что '''A''' и '''B''' имеют ту же самую группу, означает, что эти орнаменты имеют те же самые симметрии вне зависимости от деталей узоров, в то время как '''C''' имеет другой набор симметрий вопреки внешней похожести.

[[#Семнадцать групп|Полный список всех семнадцати возможных групп орнаментов]] можно найти ниже.

=== Симметрии узоров ===
[[Симметрия]] узора является, грубо говоря, способом преобразования узора таким образом, что он выглядит после преобразования точно так же, каким он был до преобразования.
Например, [[Трансляционная симметрия|симметрия параллельного переноса]] присутствует, если при некотором сдвиге ([[Параллельный перенос|параллельном переносе]]) рисунок совместится с самим собой.
Представьте сдвиг вертикальных (одной ширины) полос горизонтально на одну полосу, рисунок останется тем же самым. Строго говоря, настоящая симметрия существует только для узоров, повторяющихся в точности и бесконечно. Набор из, скажем, только пяти полос не имеет симметрии параллельного переноса — при сдвиге полоса на одной стороне «исчезает» и новая полоса «добавляется» на другой стороне.

Иногда возможны два способа категоризации узора, одна основана исключительно на форме, а другая использует раскраску. Если игнорировать цвета, узор может иметь больше симметрий. Среди чёрно-белых мозаик существует тоже 17 групп орнаментов. Например, раскрашенная плитка эквивалентна чёрно-белой плитке с закодированным цветом в виде радиально симметричного «бар-кода» в центре масс каждой плитки.

Типы преобразований, рассматриваемые здесь, называются [[Движение (математика)|движениями]].
Например:
* Если мы ''сдвигаем'' пример '''B''' на одну единицу вправо, так что каждый квадрат накрывает квадрат, первоначально ему смежный, то получающийся узор ''в точности тот же самый''. Этот тип симметрии называется '''[[Параллельный перенос|параллельным переносом]]'''. Примеры '''A''' и '''C''' аналогичны, но в них наименьший возможный сдвиг находится по диагонали.
* Если мы ''повернём'' пример '''B''' по часовой стрелке на 90°, вокруг центра одного из квадратов, снова получим тот же самый узор. Это называется '''[[поворот]]ом'''. Примеры '''A''' и '''C''' также имеют повороты на 90°, хотя требуется чуть больше изобретательности для нахождения правильного центра вращения для '''C'''.
* Мы можем ''отразить'' пример '''B''' относительно горизонтальной оси, проходящей через середину изображения. Это называется '''[[Отражение (геометрия)|(зеркальным) отражением]]'''. Пример '''B''' имеет зеркальную симметрию также относительно вертикальной оси и двух диагональных осей. То же самое можно сказать о примере '''A'''.

[[Файл:Krok_6.svg|250px|right|thumb|Скользящая симметрия отображает множество левых и правых следов друг в друга.]]

Однако пример '''C''' ''отличается''. Он имеет отражения только относительно горизонтальных и вертикальных направлений, но ''не'' относительно диагональных осей. Если мы отразим узор относительно диагональной оси, мы ''не'' получим тот же самый узор. Мы получим исходный узор, смещённый на некоторое расстояние. Это одна из причин, почему группа орнаментов узоров '''A''' и '''B''' отличается от группы орнаментов узора '''C'''.

Другое преобразование — ''[[скользящая симметрия]]'', комбинация отражения и параллельного переноса вдоль оси отражения.

== История ==

[[Математическое доказательство|Доказательство]] того, что существует только 17 возможных узоров, впервые осуществил [[Фёдоров, Евграф Степанович|Евграф Степанович Фёдоров]] в 1891{{sfn|Фёдоров|1891|с=245-291}}, а затем, независимо, было выведено [[Пойа, Дьёрдь|Дьёрдьем Пойей]] в 1924{{sfn|Pólya|1924|с=278–282}}. Доказательство, что список групп орнаментов полон, пришло лишь после того, как это было сделано для куда более сложного случая кристаллографических групп.

== Определение ==

Группа орнаментов, или плоская [[кристаллографическая группа]], — это [[Изометрия (математика)|изометрическое]] [[Действие группы|вполне разрывное кокомпактное действие]] [[Группа (математика)|группы]] на евклидовой плоскости (кокомпактность эквивалентна тому, что действие содержит два [[Линейная независимость|линейно независимых]] [[Параллельный перенос|параллельных переноса]]).

Две такие [[Группа изометрий|группы изометрий]] имеют тот же тип (ту же самую группу орнаментов), если они переводятся друг в друга при аффинном преобразовании плоскости.

Так, например, сдвиг всего узора (а значит, и перенос осей отражения и центров поворота) не влияет на группу орнаментов.
То же самое относится к изменению угла между векторами параллельного переноса при условии, что это не приводит к добавлению или исчезновению какой-либо симметрии (это возможно только в случае, когда нет зеркальной симметрии и [[Скользящая симметрия|скользящих симметрий]], а [[вращательная симметрия]] имеет порядок максимум 2).

=== Замечания ===
* В этом определении мы можем ограничивать аффинные преобразования сохраняющими [[Ориентация|ориентацию]] преобразованиями.
** В отличие от [[Кристаллографическая группа|трёхмерного случая]], классификация остаётся той же.
* Из [[теорема Бибербаха|теоремы Бибербаха]] следует, что все группы орнаментов отличаются даже как абстрактные группы (в противоположность, например, [[Группа бордюра|группам бордюра]], из которых две группы изоморфны '''Z''').

== Обсуждение определения ==

=== Изометрии евклидовой плоскости ===
Изометрии евклидовой плоскости распадаются на четыре категории (см. статью {{не переведено 5|Изометрия евклидовой плоскости|||Euclidean plane isometry}} для дополнительной информации).
* '''[[Параллельный перенос|Параллельные переносы]]''' обозначаются ''T''<sub>''v''</sub> (от английского «translation»), где ''v'' — [[Вектор (геометрия)|вектор]] в '''R'''<sup>2</sup>. Эффект преобразования — сдвиг плоскости на вектор [[Перемещение (кинематика)|перемещения]] ''v''.
* '''[[Поворот]]ы''' обозначаются ''R''<sub>''c'',''θ''</sub> (от английского «rotation»), где ''c'' — точка плоскости (центр вращения), а ''θ'' — угол поворота.
* '''[[Отражение (геометрия)|Отражения]]''', или '''зеркальные изометрии''', обозначаются ''F''<sub>''L''</sub> (от английского «flip»), где ''L'' — прямая в '''R'''<sup>2</sup>. Результатом отражения будет зеркальная симметрия плоскости относительно прямой ''L'', которая называется '''осью отражения''' или '''зеркалом'''.
* '''[[Скользящая симметрия|Скользящие симметрии]]''' обозначаются ''G''<sub>''L'',''d''</sub> (от английского «glide»), где ''L'' — прямая в '''R'''<sup>2</sup>, а ''d'' — расстояние. Преобразование является комбинацией зеркального отражения относительно прямой ''L'' и параллельного переноса вдоль ''L'' на расстояние ''d''.

=== Условие независимости параллельных переносов ===
Условие линейной независимости параллельных переносов означает, что существуют линейно независимые вектора ''v'' и ''w'' (в '''R'''<sup>2</sup>), такие, что группа содержит как ''T''<sub>''v''</sub>, так и ''T''<sub>''w''</sub>.

Цель этого условия — отгородить группы орнаментов от [[Группа бордюра|групп бордюра]], которые обладают параллельным переносом, но не двумя линейно независимыми, а также от [[Группы симметрии#Two dimensions|двумерных дискретных точечных групп]], которые вообще не имеют параллельных переносов. Другими словами, группы орнамента представляют узор, который повторяется в ''двух'' различных направлениях, в противоположность группам бордюра, которые повторяются только вдоль одной оси.

(Можно обобщить эту ситуацию. Мы, к примеру, могли бы изучать дискретные группы изометрий '''R'''<sup>''n''</sup> с ''m'' линейно независимыми параллельными переносами, где ''m'' — любое целое в промежутке 0&nbsp;≤&nbsp;''m''&nbsp;≤&nbsp;''n''.)

=== Условие вполне разрывности ===
Условие вполне разрывности (иногда называется дискретностью) означает, что существует некоторое положительное вещественное число ε, такое, что для любого параллельного переноса ''T''<sub>''v''</sub> в группе, вектор ''v'' имеет длину ''по меньшей мере'' ε (за исключением, конечно, случая нулевого вектора ''v'').

Цель этого условия — обеспечить, чтобы группа имела компактную [[фундаментальная область|фундаментальную область]], или, другими словами, «ячейка» ненулевой конечной площади, которая повторяется на плоскости (в виде узора). Без этого условия мы можем получить, например, группу, содержащую параллельный перенос ''T''<sub>''x''</sub> для любого [[Рациональное число|рационального числа]] ''x'', что не соответствует никакому приемлемому орнаментальному узору.

Важное и нетривиальное следствие условия дискретности в комбинации с условием независимости параллельных переносов — группа может содержать только вращения порядка 2, 3, 4 или 6. То есть любой поворот в группе должен быть поворотом на 180°, 120°, 90° или 60°. Этот факт известен как {{не переведено 5|теорема о кристаллографических ограничениях|||crystallographic restriction theorem}}, и эта теорема может быть обобщена на случаи более высоких размерностей.

== Обозначения ==

=== Кристаллографическое обозначение ===

В кристаллографии имеется 230 различных [[Кристаллографическая группа|кристаллографических групп]], много больше 17 групп орнаментов, но многие симметрии в группах те же самые. Таким образом, можно использовать похожие обозначения для обоих видов групп, нотацию {{не переведено 5|Герман, Карл (кристаллограф)|Карла Германа||Carl Hermann}} и {{не переведено 5|Моген, Шарль-Виктор|Шарля-Виктора Могена||Charles-Victor Mauguin}}. Пример полного имени орнамента в стиле Германа-Могена (обозначения называются также «Обозначениями Международного союза кристаллографов», [[Международный союз кристаллографов#Обозначения симметрии|IUC]]) — [[#Группа p31m|'''''p''31''m''''']] с четырьмя буквами и цифрами. Обычно используется укороченное название, типа [[#Группа c2mm|'''''cmm''''']] или [[#Группа pg|'''''pg''''']].

Для групп орнаментов полное обозначение начинается с '''''p''''' (от ''primitive cell'' - [[элементарная ячейка]]) или '''''c''''' (от ''face-centred cell'' — гранецентрированная ячейка). Они будут объяснены ниже. За буквой следует цифра '''''n''''', обозначающая наибольший порядок вращательной симметрии — 1-кратная (нет), 2-кратная, 3-кратная, 4-кратная или 6-кратная. Следующие два символа обозначают симметрии по отношению к одной из осей параллельного переноса, которая считается «главной». Если существует зеркальная симметрия, перпендикулярная оси параллельного переноса, выбираем эту ось в качестве главной (если таких две, выбираем любую из них). В качестве символов выбирается '''''m''''', '''''g''''' или '''1''', для зеркальной симметрии, скользящей симметрии или отсутствия симметрии. Ось зеркальной симметрии или скользящей симметрии перпендикулярна главной оси для первой буквы, и либо параллельна, либо наклонённая на 180°/''n'' (если ''n''&nbsp;>&nbsp;2) для второй буквы. Многие группы включают другие симметрии. В короткой нотации отбрасываются цифры или '''''m''''', если она определяется логически, если это не приводит к путанице с другими группами.

Примитивная ячейка — это минимальная область, повторяющаяся параллельным переносом по решётке. Все, кроме двух групп симметрии орнаментов, описываются осями примитивной ячейки, базис координат, использующий вектора параллельного переноса решётки. В оставшихся двух случаях симметрия описывается центрированными ячейками, которые больше примитивных ячеек, а потому имеют внутреннее повторение. Направления их сторон отлично от направлений векторов параллельного переноса. Нотация Германа-Могена для кристаллов [[Кристаллографическая группа|кристаллографических групп]] использует дополнительные типы ячеек.

;Примеры
* '''[[#Группа p2|''p''2]]''' ('''''p''211'''): Примитивная ячейка, 2-кратная симметрия вращения, ни зеркальных отражений, ни скользящих симметрий.
* '''[[#Группа p4gm|''p''4''gm'']]''' ('''''p''4''mm'''''): Примитивная ячейка, 4-кратная симметрия вращения, скользящая симметрия, перпендикулярная главной оси, ось зеркальной симметрии под углом 45°.
* '''[[#Группа c2mm|''c''2''mm'']]''' ('''''c''2''mm'''''): Центрированная ячейка, 2-кратная симметрия вращения, оси зеркальной симметрии перпендикулярны и параллельны главной оси.
* '''[[#Группа p31m|''p''31''m'']]''' ('''''p''31''m'''''): Примитивная ячейка, 3-кратная симметрия вращения, ось зеркальной симметрии под углом 60°.

Имена, короткий и полный вид которых отличаются.

:{| class="wikitable"
|+ '''Кристаллографические короткие и полные имена'''
! ''Короткое''
! [[#Группа p2|''p''2]]
! ''[[#Группа pm|pm]]''
! ''[[#Группа pg|pg]]''
! ''[[#Группа cm|cm]]''
! ''[[#Группа p2mm|pmm]]''
! ''[[#Группа p2mg|pmg]]''
! ''[[#Группа p2gg|pgg]]''
! ''[[#Группа c2mm|cmm]]''
! [[#Группа p4mm|''p''4''m'']]
! [[#Группа p4gm|''p''4''g'']]
! [[#Группа p6mm|''p''6''m'']]
|- style="background:white"
! ''Полное'' || ''p''211 || ''p''1''m''1 || ''p''1''g''1 || ''c''1''m''1 || ''p''2''mm'' || ''p''2''mg'' || ''p''2''gg'' || ''c''2''mm'' || ''p''4''mm'' || ''p''4''gm'' || ''p''6''mm''
|}

Остальные названия — '''[[#Группа p1|''p''1]]''', '''[[#Группа p3|''p''3]]''', '''[[#Группа p3m1|''p''3''m''1]]''', '''[[#Группа p31m|''p''31''m'']]''', '''[[#Группа p4|''p''4]]''' и '''[[#Группа p6|''p''6]]'''.

=== Орбиобозначения ===
Орбиобозначение для групп орнаментов популяризовано [[Конвей, Джон Хортон|Джоном Конвеем]], основывается не на кристаллографии, а на топологии.
Мы рассматриваем фактор-[[орбиобразие]] плоскости по действию группы орнамента и описываем его с помощью нескольких символов.

* Цифра, '''''n''''', показывает центр ''n''-кратного вращения, соответствующего вершине конуса орбиобразия. По теореме о кристаллографических ограничениях ''n'' должно равняться 2, 3, 4 или 6.
* Звёздочка, '''*''', показывает зеркальную симметрию, соответствующую границе орбиобразия. Она взаимосвязана с цифрами следующим образом:
*# Цифры перед '''*''' означают центры простого ([[Точечная группа симметрии|циклического]]) вращения.
*# Цифры после '''*''' означают центры вращения с проходящими через них зеркалами, что соответствует «углам» границы орбиобразия ([[Диэдральная группа|диэдральные]]).
* Крестик, '''×''', появляется, когда присутствует скользящая симметрия; он показывает лист Мебиуса на орбиобразии. Простые отражения комбинируются с трансляцией решётки для получения скользящей симметрии, но они уже учтены, так что мы не обозначаем их.
* Символ «отсутствия симметрии», '''o''', стоит один и означает, что имеется только симметрия параллельного переноса и никаких других симметрий. Орбиобразие с таким символом является тором. В общем случае символ '''o''' соответствует [[Разложение на ручки|приклеиванию ручки]] к орбиобразию.

Рассмотрим группу с кристаллографической нотацией [[#Группа c2mm|'''''cmm''''']]. В обозначениях Конвея это будет '''2*22'''. '''2''' перед '''*''' говорит, что мы имеем центр 2-кратного вращения без зеркал, проходящих через него. Сама '''*''' говорит, что мы имеем зеркало. Первая цифра '''2''' после '''*''' указывает, что мы имеем центр 2-кратного вращения на зеркале. Конечная '''2''' говорит, что мы имеем независимый второй центр 2-кратного вращения на зеркале, который не дублирует первый центр при симметриях.

Группа с обозначением [[#Группа p2gg|'''''pgg''''']] будет иметь обозначение Конвея '''22×'''. Мы имеем два простых центра 2-кратного вращения и ось скользящей симметрии. Контрастирует с этой группой группа [[#Группа p2mg|'''''pmg''''']], с символом Конвея '''22*''', где кристаллографическое обозначение упоминает скользящую симметрию, но ту, которая подразумевается неявно другими симметриями орбиобразия.

{{не переведено 5|Нотация Коксетера|Скобочная нотация||Coxeter notation}} [[Коксетер, Гарольд|Коксетера]] также включена. Она основана на [[Группа Коксетера|группе Коксетера]] и модифицирована плюсом (в верхнем индексе) для вращений, {{не переведено 5|Несобственное вращение|несобственных вращений||improper rotation}} и параллельных переносов.

{| class=wikitable
|+ '''Соответствие обозначений Конвея, Коксетера и кристаллографической нотации'''
|- align="center" style="background:lightyellow"
! ''Конвей'' 
|| {{blue|o}} || {{red|××}} || {{red|*×}} || {{red|**}} || {{blue|632}} || {{red|*632}}
|- align="center" style="background:lightgray"
! ''Коксетер'' 
|| [∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>] || [(∞,2)<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>] || [∞,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>] || [∞,2,∞<sup>+</sup>] || [6,3]<sup>+</sup> || [6,3]
|- align="center" style="background:white"
! ''Кристаллографическая''
|| [[#Группа p1|''p''1]] || ''[[#Группа pg|pg]]'' || ''[[#Группа cm|cm]]'' || ''[[#Группа pm|pm]]'' || [[#Группа p6|''p''6]] || [[#Группа p6mm|''p''6''m'']]
|}
{| class=wikitable
|- align="center" style="background:lightyellow"
! ''Конвей''
|| <span style="color:blue;">333</span> || <span style="color:red;">*333</span> || <span style="color:blue;">3</span><span style="color:red;">*3</span> || <span style="color:blue;">442</span> || <span style="color:red;">*442</span> || <span style="color:blue;">4</span><span style="color:red;">*2</span>
|- align="center" style="background:lightgray"
! ''Коксетер''
|| [3<sup>[3]</sup>]<sup>+</sup> || [3<sup>[3]</sup>] || [3<sup>+</sup>,6] || [4,4]<sup>+</sup> 
|| [4,4] || [4<sup>+</sup>,4]
|- align="center" style="background:white"
! ''Кристаллографическая''
|| [[#Группа p3|''p''3]] || [[#Группа p3m1|''p''3''m''1]] || [[#Группа p31m|''p''31''m'']] || Группа Group p4|''p''4]] 
|| [[#Группа p4mm|''p''4''m'']] || [[#Группа p4gm|''p''4''g'']]
|}
{| class=wikitable
|- align="center" style="background:lightyellow"
! ''Конвей''
|| <span style="color:blue;">2222</span> || <span style="color:blue;">22</span><span style="color:red;">×</span> || <span style="color:blue;">22</span><span style="color:red;">*</span> || <span style="color:red;">*2222</span> || <span style="color:blue;">2<span style="color:red;">*22</span> 
|- align="center" style="background:lightgray"
! ''Коксетер''
|| [∞,2,∞]<sup>+</sup> || [((∞,2)<sup>+</sup>,(∞,2)<sup>+</sup>)] || [(∞,2)<sup>+</sup>,∞] || [∞,2,∞] || [∞,2<sup>+</sup>,∞] 
|- align="center" style="background:white"
! ''Кристаллографическая''
|| [[#Группа p2|''p''2]] || ''[[#Группа p2gg|pgg]]'' || ''[[#Группа p2mg|pmg]]'' || ''[[#Группа p2mm|pmm]]'' || ''[[#Группа c2mm|cmm]]'' 
|}

=== Почему существует в точности семнадцать групп ===
Орбиобразие можно рассматривать как [[многоугольник]] с гранью, рёбрами и вершинами, который может быть развёрнут с образованием, возможно, бесконечного множества многоугольников, которые замощают всю [[Сфера|сферу]], плоскость или [[Геометрия Лобачевского#Модели|гиперболическую плоскость]]. Если многоугольник замощает плоскость, он даёт группу орнаментов, а если сферу или гиперболическую плоскость, то [[Список групп сферической симметрии|группу сферической симметрии]] или {{не переведено 5|Орбифолдная нотация|группу гиперболической симметрии||Orbifold notation}}. Тип пространства, которое многоугольник замощает, может быть найден вычислением [[Эйлерова характеристика|эйлеровой характеристики]], ''χ''&nbsp;=&nbsp;''V''&nbsp;−&nbsp;''E''&nbsp;+&nbsp;''F'', где ''V'' — число углов (вершин), ''E'' — число рёбер и ''F'' — число граней. Если эйлерова характеристика положительна, то орбиобразие имеет эллиптическую (сферическую) структуру. Если эйлерова характеристика равна нулю, оно имеет параболическую структуру, т. е. это группа орнаментов. Если же эйлерова характеристика отрицательна, орбиобразие имеет гиперболическую структуру. Когда перечислили все возможные орбиобразия, обнаружилось, что только 17 имеют эйлерову характеристику 0.

Когда орбиобразие копируется для заполнения плоскости, его элементы создают структуру вершин, рёбер и граней, которые должны удовлетворять характеристике Эйлера. Обращая процесс, мы можем назначить номера элементам орбиобразия, но дробные, а не целые. Поскольку само по себе орбиобразие является факторгруппой полной поверхности по группе симметрии, эйлерова характеристика орбиобразия является частным от деления эйлеровой характеристика поверхности на [[Порядок элемента|порядок]] группы симметрии.

Эйлерова характеристика орбиобразия равна 2 минус сумма значений элементов, назначенных следующим образом:
* Цифра '''''n''''' перед * считается как (''n''&nbsp;−&nbsp;1)/''n''.
* Цифра '''''n''''' после * считается как (''n''&nbsp;−&nbsp;1)/2''n''.
* * и × считаются как 1.
* Знак «нет симметрии» ° считается как 2.

Для группы орнаментов сумма для характеристики Эйлера должна равняться нулю, так что сумма значений элементов должна равняться 2.

;Примеры
* 632: 5/6 + 2/3 + 1/2 = 2
* 3*3: 2/3 + 1 + 1/3 = 2
* 4*2: 3/4 + 1 + 1/4 = 2
* 22×: 1/2 + 1/2 + 1 = 2

Теперь перечисление всех групп орнаментов сводится к арифметике, списку наборов элементов, дающих в сумме 2.

Наборы элементов с другой суммой не бессмысленны. Они заключают в себе неплоские замощения, которые мы здесь не обсуждаем. (Если эйлерова характеристика орбиобразия отрицательна, замощение {{не переведено 5|Орбифолдная нотация|гиперболическое||Orbifold notation}}, если же положительное, замощение [[Список групп сферической симметрии|сферическое]], либо ''плохое'').

== Руководство для распознавания групп орнаментов ==
Чтобы понять, какая группа орнаментов соответствует конкретной мозаике, можно использовать следующую таблицу {{sfn|Radaelli|2011}}.

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center"
! rowspan="2" | Размер наименьшего<br/>поворота !! colspan="6" | Имеет отражения?
|-
| colspan="4" | Да || colspan="2" | Нет
|-
| 360° / 6 || colspan="4" | [[#Группа p6mm|''p''6''m'' (*632)]] || colspan="2" | [[#Группа p6|''p''6 (632)]]
|-
| rowspan="2" | 360° / 4 || colspan="4" | '''Имеет зеркала под углом 45°?''' || rowspan="2" colspan="2" | [[#Группа p4|''p''4 (442)]]

|-
| colspan="2" | Да: [[#Группа p4mm|''p''4''m'' (*442)]] || colspan="2" | Нет: [[#Группа p4gm|''p''4''g'' (4*2)]]
|-
| rowspan="2" | 360° / 3 || colspan="4" | '''Имеет центры поворота вне зеркал?''' || rowspan="2" colspan="2" | [[#Группа p3|''p''3 (333)]]
|-
| colspan="2" | Да: [[#Группа p31m|''p''31''m'' (3*3)]] || colspan="2" | Нет: [[#Группа p3m1|''p''3''m''1 (*333)]]
|-
| rowspan="4" | 360° / 2 || colspan="4" | '''Имеет перпендикулярные отражения?''' || rowspan="2" colspan="2" | '''Имеет скользящую симметрию?'''
|-
| colspan="3" | Да || Нет
|-
| colspan="3" | ''' Имеет центры поворота вне зеркал?''' || rowspan="2" | [[#Группа p2mg|''pmg'' (22*)]] || rowspan="2" | Да: [[#Группа p2gg|''pgg'' (22×)]] || rowspan="2" | Нет: [[#Группа p2|''p''2 (2222)]]
|-
| Да: [[#Группа c2mm|''cmm'' (2*22)]] || colspan="2" | Нет: [[#Группа p2mm|''pmm'' (*2222)]]
|-
| rowspan="2" | Нет поворотов || colspan="4" | '''Имеет оси скольжения вне зеркал?''' || colspan="2" | '''Имеет скользящую симметрию?'''
|-
| colspan="2" | Да: [[#Группа cm|''cm'' (*×)]] || colspan="2" | Нет: [[#Группа pm|''pm'' (**)]] || Да: [[#Группа pg|''pg'' (××)]] || Нет: [[#Группа p1|''p''1 (o)]]
|}
</center>

См. также [[commons:Wallpaper group diagrams|Это обозрение с диаграммами]].

== Семнадцать плоских кристаллографических групп ==
Каждая из групп в этой секции имеет две диаграммы структуры ячейки, каждая из которых интерпретируется следующим образом (здесь существенна форма, не цвет):
{| class="wikitable"
| align="right" | [[Файл:Wallpaper group diagram legend rotation2.svg|20px]]
| центр вращения порядка два (180°).
|-
| align="right" | [[Файл:Wallpaper group diagram legend rotation3.svg|20px]]
| центр вращения порядка три (120°).
|-
| align="right" | [[Файл:Wallpaper group diagram legend rotation4.svg|20px]]
| центр вращения порядка четыре (90°).
|-
| align="right" | [[Файл:Wallpaper group diagram legend rotation6.svg|20px]]
| центр вращения порядка шесть (60°).
|-
| align="right" | [[Файл:Wallpaper group diagram legend reflection.svg|120px]]
| ось отражения.
|-
| align="right" | [[Файл:Wallpaper group diagram legend glide reflection.svg|120px]]
| ось скользящей симметрии.
|}
На правой части диаграммы различные классы эквивалентности элементов симметрии покрашены (и повёрнуты) различно.

'''Коричневые или жёлтые области''' обозначают [[фундаментальная область|фундаментальную область]], т. е. наименьшую повторяющаяся часть узора.

Диаграммы справа показывают ячейку [[Решётка (теория групп)|решётки]], соответствующую наименьшему параллельному переносу. Слева иногда показывает большую область.

=== {{anchor| Группа p1}} Группа ''p''1 (o) ===
[[Файл:SymBlend p1.svg|thumb|Пример и диаграмма для '''''p''1''']]
{| class=wikitable
|+ Структуры ячейки для '''''p''1''' по типу решётки
!colspan=3|[[Файл:Wallpaper group diagram p1.svg|160px]]<br>Косая
!colspan=3|[[Файл:Wallpaper_group_diagram_p1_half.svg|160px]]<br>Шестиугольная
|-
!colspan=2|[[Файл:Wallpaper group diagram p1_rect.svg|120px]]<br>Прямоугольная
!colspan=2|[[Файл:Wallpaper group diagram p1_rhombic.svg|120px]]<br>Ромбическая
!colspan=2|[[Файл:Wallpaper group diagram p1_square.svg|80px]]<br>Квадратная
|}

* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:blue;">o</span>
* Обозначение Коксетера (прямоугольник): [&infin;<sup>+</sup>,2,&infin;<sup>+</sup>] или [&infin;]<sup>+</sup>×[&infin;]<sup>+</sup>
* Решётка: косая
* Точечная группа: C<sub>1</sub>
* Группа '''''p''1''' содержит только параллельные переносы. Группа не содержит ни поворотов, ни зеркальных отражений, ни скользящих симметрий.
;Примеры группы ''p''1
{{Clear}}
<gallery class="center">
Image:WallpaperP1.GIF|<center>Создано на компьютере </center>
Image:Wallpaper_group-p1-3.jpg|<center>[[Средние века|Средневековая]] драпировка стены</center></gallery>

Два параллельных переноса (стороны ячейки) могут иметь различные длины и могут образовывать любой угол.

=== {{anchor|Группа  p2}} Группа ''p''2 (2222) ===
[[Файл:SymBlend p2.svg|right|thumb|Пример и диаграмма для '''''p''2''']]
{| class=wikitable
|+ Структуры ячеек для '''''p''2''' по типам решёток
!colspan=3|[[Файл:Wallpaper group diagram p2.svg|160px]]<br>Косая
!colspan=3|[[Файл:Wallpaper group diagram p2 half.svg|160px]]<br>Шестиугольная
|-
!colspan=2|[[Файл:Wallpaper group diagram p2 rect.svg|120px]]<br>Прямоугольная
!colspan=2|[[Файл:Wallpaper group diagram p2 rhombic.svg|120px]]<br>Ромбическая
!colspan=2|[[Файл:Wallpaper group diagram p2 square.svg|80px]]<br>Квадратная
|}
* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:blue;">2222</span>
* Обозначение Коксетера (прямоугольник): [&infin;,2,&infin;]<sup>+</sup>
* Решётка: косая
* Точечная группа: C<sub>2</sub>
* Группа '''''p''2''' содержит четыре центра поворота порядка два (180°), но не содержит ни отражений, ни скользящих симметрий.
{{Clear}}
;Примеры группы ''p''2

<gallery class="center">
Image:WallpaperP2.GIF|<center>Создано на компьютере</center>
Image:Wallpaper_group-p2-1.jpg|<center>Ткань, [[Гавайские острова]] ([[Гавайи]])</center>
Image:Wallpaper_group-p2-2.jpg|<center>Коврик, на котором стоял [[Древний Египет|египетский]] фараон </center>
Image:Wallpaper_group-p2-2 detail 2.jpg|<center>Египетский коврик (увеличено)</center>
Image:Wallpaper_group-p2-3.jpg|<center>Потолок [[Древний Египет|египетской]] [[Усыпальница|усыпальницы]]</center>
Image:Wallpaper_group-p2-4.jpg|<center>Проволочный [[забор]], ([[сетка Рабица]]).</center>
</gallery>

=== {{anchor|Группа pm}} Группа ''pm'' (**) ===
[[Файл:SymBlend pm.svg|right|thumb|Пример и диаграмма для '''''pm''''']]
{| class=wikitable
|+ Структура ячейки для '''''pm'''''
![[Файл:Wallpaper group diagram pm.svg|160px]]<br>Горизонтальное отражение
![[Файл:Wallpaper group diagram pm rotated.svg|160px]]<br>Вертикальное отражение
|}
* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:red;">**</span>
* Обозначение Коксетера: [&infin;,2,&infin;<sup>+</sup>] или [&infin;<sup>+</sup>,2,&infin;]
* Решётка: прямоугольная
* Точечная группа: D<sub>1</sub>
* Группа '''''pm''''' не имеет вращений. Она имеет оси отражения, все они параллельны.
{{Clear}}
;Примеры группы ''pm''

(Первые три имеют вертикальные оси симметрии, а последние два имеют диагональные оси.)
<gallery class="center">
Image:WallpaperPM.gif|<center>Сгенерировано на компьютере</center>
Image:Wallpaper_group-pm-3.jpg|<center>Одежда на фигуре в [[Усыпальница|усыпальнице]] в [[Долина Царей|Долине Царей]], [[Древний Египет|Египет]]</center>
Image:Wallpaper_group-pm-4.jpg|<center>[[Древний Египет|Египетская]] [[усыпальница]], [[Фивы (Египет)|Фивы]]</center>
Image:Wallpaper_group-pm-1.jpg|<center>Потолок [[Усыпальница|усыпальницы]] в Курна, [[Древний Египет|Египет]]. Оси зеркальных отражений диагональны </center>
Image:Wallpaper_group-pm-5.jpg|<center>[[Индия|Индийская]] работа по металлу на [[Всемирная выставка (1851)|Всемирной выставке]] в 1851. Почти '''''pm''''' (если игнорировать короткие диагональные отрезки между овалами, получаем [[#Группа p1|'''''p''1''']])</center>
</gallery>

=== {{anchor|Группа  pg}} Группа ''pg'' (××) ===
[[Файл:SymBlend pg.svg|right|thumb|Пример и диаграмма для '''''pg''''']]
{| class=wikitable
|+ Структуры ячеек для '''pg'''
![[Файл:Wallpaper group diagram pg.svg|160px]]<br>Горизонтальные сдвиги
![[Файл:Wallpaper group diagram pg rotated.svg|160px]]<br>Вертикальные сдвиги
|-
!colspan=2|Прямоугольная
|}
* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:red;">××</span>
* Обозначение Коксетера: [(&infin;,2)<sup>+</sup>,&infin;<sup>+</sup>] или [&infin;<sup>+</sup>,(2,&infin;)<sup>+</sup>]
* Решётка: прямоугольная
* Точечная группа: D<sub>1</sub>
* Группа '''''pg''''' содержит только скользящие симметрии и оси этих симметрий все параллельны. Нет ни поворотов, ни зеркальных отражений.
{{Clear}}
;Примеры группы ''pg''

<gallery class="center">
Image:WallpaperPG.GIF|<center>Сгенерировано на компьютере</center>
Image:Wallpaper_group-pg-1.jpg|<center>Коврик с {{не переведено 5|Узор «ёлочка»|узором «ёлочка»||herringbone pattern}}, на котором стоял [[Древний Египет|египетский]] фараон </center>
Image:Wallpaper_group-pg-1 detail.jpg|<center>Египетский коврик (частично)</center>
Image:Wallpaper_group-pg-2.jpg|<center>Мостовая с {{не переведено 5|Узор «ёлочка»|укладкой «ёлочкой»||herringbone pattern}} в [[Зальцбург]]е (обратите внимание, что края плиток изогнуты, и у плиток нет осевой симметрии). Оси скользящей симметрии идут с северо-востока на юго-запад</center>
Image:Tile 33434.svg|<center>Одна из раскрасок [[Плосконосая квадратная мозаика|плосконосой квадратной мозаики]]. Прямые скользящей симметрии идут от верхнего левого угла в нижний правый. Если игнорировать цвета, получим много больше симметрий, чем просто у '''''pg''''', это будет '''''p''4''g''''' (см. этот же узор с раскрашенными в один цвет треугольниками)<ref>Это помогает рассматривать квадраты как задний план, тогда мы видим простые узоры строк ромбов.</ref></center>
</gallery>
Без рассмотрения деталей внутри зигзага коврик является [[#Группа p2mg|'''''pmg''''']]. Если принимать во внимание детали внутри зигзага, но не различать коричневые и чёрные полосы, получим [[#Группа p2gg|'''''pgg''''']].

Если игнорировать волнистые края плиток, мостовая является [[#Группа p2gg|'''''pgg''''']].

=== {{anchor|Группа  cm}} Группа ''cm'' (*×) ===
[[Файл:SymBlend cm.svg|right|thumb|Пример и диаграмма для '''''cm''''']]
{| class=wikitable
|+ Структура ячейки для '''cm'''
![[Файл:Wallpaper group diagram cm.svg|160px]]<br>Горизонтальное отражение
![[Файл:Wallpaper group diagram cm rotated.svg|160px]]<br>Вертикальное отражение
|-
!colspan=2|Ромбическая
|}
* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:red;">*×</span>
* Обозначение Коксетера: [&infin;<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,&infin;] или [&infin;,2<sup>+</sup>,&infin;<sup>+</sup>]
* Решётка: ромбическая
* Точечная группа: D<sub>1</sub>
* Группа '''''cm''''' не содержит вращений. Она имеет оси отражения, все они параллельны. Имеется по меньшей мере одна скользящая симметрия, ось которой ''не'' является осью отражения, и она лежит посередине между двумя смежными параллельными осями отражения.
* Эта группа относится к симметриям ступенчатых строк (т. е. есть сдвиг на каждой строке на половину величины параллельного переноса внутри строк) одинаковых объектов, которые имеют оси симметрии, перпендикулярные строкам.
{{Clear}}
;Примеры группы ''cm''

<gallery class="center">
Image:WallpaperCM.GIF|<center>Создано на компьютере</center>
Image:Wallpaper_group-cm-1.jpg|<center>Одежда [[Амон]]а из [[Абу-Симбел]]а, [[Древний Египет|Египет]]</center>
Image:Wallpaper_group-cm-2.jpg|<center>{{не переведено 5|Панель (архитектура)|Панель||Dado (architecture)}} из [[Долина Царей|Долины Царей]], [[Древний Египет|Египет]]</center>
Image:Wallpaper_group-cm-3.jpg|<center>[[Бронза|Бронзовый]] сосуд из [[Нимруд]]а, [[Ассирия]]</center>
Image:Wallpaper_group-cm-4.jpg|<center>[[Пазуха сводов|Пазухи]] [[Арка|арок]], [[Альгамбра]], [[Испания]]</center>
Image:Wallpaper_group-cm-5.jpg|<center>[[Софит (архитектура)|Софит]] арки, [[Альгамбра]], [[Испания]]</center>
Image:Wallpaper_group-cm-6.jpg|<center>[[Персидская империя|Персидский]] [[гобелен]]</center>
Image:Wallpaper_group-cm-7.jpg|<center>[[Индия|Индийская]] художественная работа по петеллу на [[Всемирная выставка (1851)|Всемирной выставке]] 1851 года</center>
Image:Wallpaper_group-pm-2.jpg|<center>Одежда фигуры в [[Усыпальница|усыпальнице]] в [[Долина Царей|долине Царей]], [[Древний Египет|Египет]]</center>
</gallery>

=== {{anchor|Группа  p2mm}} Группа ''pmm'' (*2222) ===
[[Файл:SymBlend pmm.svg|right|thumb|Пример и диаграмма для '''''pmm''''']]
{| class=wikitable
|+ Структура ячейки для '''pmm'''
![[Файл:Wallpaper group diagram pmm.svg|240px]]<br>прямоугольная
![[Файл:Wallpaper group diagram pmm square.svg|140px]]<br>квадратная
|}
* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:red;">*2222</span>
* Обозначение Коксетера (прямоугольник): [&infin;,2,&infin;] или [&infin;]×[&infin;]
* Обозначение Коксетера (квадрат): [4,1<sup>+</sup>,4] или [1<sup>+</sup>,4,4,1<sup>+</sup>]
* Решётка: прямоугольная
* Точечная группа: D<sub>2</sub>
* Группа '''''pmm''''' имеет отражения в двух перпендикулярных направлениях и четыре центра поворота порядка два (180°), расположенные в точках пересечения зеркал.
{{Clear}}
;Примеры группы ''pmm''

<gallery class="center">
Image:Wallpaper_group-pmm-1.jpg|<center>2D-рисунок решётки [[забор]]а, США. (в 3D имеется дополнительная симметрия)</center>
Image:Wallpaper_group-pmm-2.jpg|<center> Саркофаг [[Мумия|мумии]], [[Лувр]]</center>
Image:Wallpaper_group-pmm-4.jpg|<center>Саркофаг [[Мумия|мумии]], [[Лувр]]. Узор принадлежал бы '''''p''4''m''''', но в узоре не совпадают раскраски </center>
</gallery>

=== {{anchor|Группа  p2mg}} Группа ''pmg'' (22*) ===
[[Файл:SymBlend pmg.svg|right|thumb|Пример и диаграмма для '''''pmg''''']]
{| class=wikitable
|+ Структуры ячеек для '''pmg'''
![[Файл:Wallpaper group diagram pmg.svg|160px]]<br>Горизонтальные отражения
![[Файл:Wallpaper group diagram pmg rotated.svg|160px]]<br>Вертикальные отражения
|}
* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:blue;">22</span><span style="color:red;">*</span>
* Обозначение Коксетера: [(&infin;,2)<sup>+</sup>,&infin;] или [&infin;,(2,&infin;)<sup>+</sup>]
* Решётка: прямоугольная
* Точечная группа: D<sub>2</sub>
* Группа '''''pmg''''' имеет два центра вращения порядка два (180°) и отражения только в одном направлении. Группа имеет скользящую симметрию, оси которой перпендикулярны оси отражения. Все центры вращения лежат на осях скользящих симметрий.
{{Clear}}
;Примеры группы ''pmg''

<gallery class="center">
Image:WallpaperPMG.GIF|<center>Создано на компьютере</center>
Image:Wallpaper_group-pmg-1.jpg|<center>Ткань, [[Гавайские острова]] ([[Гавайи]])</center>
Image:Wallpaper_group-pmg-2.jpg|<center>Потолок [[Древний Египет|египетской]] [[Усыпальница|усыпальницы]]</center>
Image:Wallpaper_group-pmg-3.jpg|<center>Мозаичный пол в [[Прага|Праге]], [[Чехия]]</center>
Image:Wallpaper_group-pmg-4.jpg|<center>Чаша из [[Керма (царство)|Кермы]]</center>
Image:2-d pentagon packing.svg|<center>Укладка пятиугольников </center>
</gallery>

=== {{anchor|Группа  p2gg}} Группа ''pgg'' (22×) ===
[[Файл:SymBlend pgg.svg|right|thumb|Пример и диаграмма для '''''pgg''''']]
{| class=wikitable
|+ Структура ячеек для '''pgg''' по типу решётки
![[Файл:Wallpaper group diagram pgg.svg|160px]]<br>Прямоугольная
![[Файл:Wallpaper group diagram pgg square.svg|100px]]<br>Квадратная
|}
* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:blue;">22</span><span style="color:red;">×</span>
* Обозначение Коксетера (прямоугольник): [((&infin;,2)<sup>+</sup>,(&infin;,2)<sup>+</sup>)]
* Обозначение Коксетера (квадрат): [4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]
* Решётка: прямоугольная
* Точечная группа: D<sub>2</sub>
* Группа '''''pgg''''' содержит два центра поворота порядка два (180°) и скользящие симметрии в двух перпендикулярных направлениях. Центры поворота не расположены на осях скользящей симметрии. Группа не содержит зеркальных отражений.
{{Clear}}
;Примеры группы ''pgg''

<gallery class="center">
Image:WallpaperPGG.GIF|<center>Создано на компьютере</center>
Image:Wallpaper_group-pgg-1.jpg|<center>[[Бронза|Бронзовый]] сосуд из [[Нимруд]]а, [[Ассирия]]</center>
Image:Wallpaper_group-pgg-2.jpg|<center>[[Мостовая]] в [[Будапешт]]е, [[Венгрия]]. Оси скользящих симметрий диагональны </center>
</gallery>

=== {{anchor|Группа  c2mm}} Группа ''cmm'' (2*22) ===
[[Файл:SymBlend cmm.svg|right|thumb|Пример и диаграмма для '''''cmm''''']]
{| class=wikitable
|+ Структуры ячеек для '''cmm''' по типам решётки
![[Файл:Wallpaper group diagram cmm.svg|200px]]<br>Ромбическая
![[Файл:Wallpaper group diagram cmm square.svg|120px]]<br>Квадратная
|}
* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:blue;">2</span><span style="color:red;">*22</span>
* Обозначение Коксетера (ромб): [&infin;,2<sup>+</sup>,&infin;]
* Обозначение Коксетера (квадрат): [(4,4,2<sup>+</sup>)]
* Решётка: ромбическая
* Точечная группа: D<sub>2</sub>
* Группа '''''cmm''''' имеет отражения в двух перпендикулярных направлениях и вращение порядка два (180°), центр которого ''не'' лежит на осях симметрии. Группа имеет также два поворота, центры которых лежат ''на'' осях отражения.
* Эта группа часто наблюдается в повседневной жизни, поскольку большинство кладок [[кирпич]]а в кирпичных зданиях используют этот узор (кладка в полкирпича) (см. пример ниже).

Симметрии вращения порядка 2 с центрами вращения в центрах сторон ромба являются следствием других свойств.

Узор соответствует:
* симметрично ступенчатым строкам одинаковых дважды симметричных объектов
* узору в виде шахматного расположения двух прямоугольных плиток, каждая из которых, сама по себе, дважды симметрична
* узору в виде шахматного расположения двух прямоугольных плиток с двукратной вращательной симметрией и их зеркальные отражения
{{Clear}}
;Примеры группы ''cmm''

<gallery class="center">
Image:WallpaperCMM.GIF|<center>Создано на компьютере</center>
File:1-uniform_n8.svg|<center>Одна из 8 [[Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости#Архимедовы, однородные, или полуправильные мозаики|полуправильных замощений]]</center>
Image:Wallpaper_group-cmm-1.jpg|<center>Загородная [[кирпич]]ная стена с [[Кирпичная кладка|тычковой кладкой]], США</center>
Image:Wallpaper_group-cmm-2.jpg|<center>Потолок [[Древний Египет|египетской]] [[Усыпальница|усыпальницы]]. Если игнорировать цвета, это была бы группа [[#Группа p4gm|'''''p''4''g''''']]</center>
Image:Wallpaper_group-cmm-3.jpg|<center>[[Древний Египет|Египетский]] узор</center>
Image:Wallpaper_group-cmm-4.jpg|<center>[[Персидская империя|Персидский]] [[гобелен]]</center>
Image:Wallpaper_group-cmm-5.jpg|<center>[[Древний Египет|египетская]] [[усыпальница]]</center>
Image:Wallpaper_group-cmm-6.jpg|<center>[[Тюрки|Тюркская]] тарелка</center>
Image:2-d dense packing r1.svg|<center>Компактная упаковка кругов двух размеров </center>
Image:2-d dense packing r3.svg|<center>Другая компактная упаковка кругов двух размеров </center>
Image:2-d dense packing r7.svg|<center>Другая компактная упаковка кругов двух размеров </center>
</gallery>

=== {{anchor|Группа  p4}} Группа ''p''4 (442) ===
[[Файл:SymBlend p4.svg|right|thumb|Пример и диаграмма для '''''p''4''']]
[[Файл:Wallpaper group diagram p4 square.svg|left|thumb|Структура ячейки для '''''p''4''']]
* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:blue;">442</span>
* Обозначение Коксетера: [4,4]<sup>+</sup>
* Решётка: квадратная
* Точечная группа: C<sub>4</sub>
* Группа '''''p''4''' имеет два центра поворота порядка четыре (90°) и один центр вращения порядка два (180°). Группа не имеет ни отражений, ни скользящих симметрий.
{{Clear}}
;Примеры группы ''p''4

Узор '''''p''4''' можно рассматривать как повторение в строках и столбцах квадратной плитки с 4-кратной симметрией вращения. Его также можно рассматривать как шахматная клетка двух таких плиток меньших в <math>\sqrt{2}</math> раз и повёрнутых на 45°.

<gallery class="center">
Image:WallpaperP4.GIF|<center>Создано на компьютере</center>
Image:Wallpaper_group-p4-1.jpg|<center>Потолок [[Древний Египет|египетской]] [[Усыпальница|усыпальницы]]. Если игнорировать цвета, это '''''p''4''', иначе — [[#Группа p2|'''''p''2''']]</center>
Image:Wallpaper_group-p4-2.jpg|<center>Потолок [[Древний Египет|египетской]] [[Усыпальница|усыпальницы]]</center>
Image:A_wallpaper_pattern_Overlaid_patterns.svg|<center>Наложение узоров </center>
Image:Wallpaper_group-p4-3.jpg|<center>Бордюр, [[Альгамбра]], [[Испания]]. Требуется внимательное рассмотрение, чтобы понять, почему нет отражений </center>
Image:Wallpaper_group-p4-4.jpg|<center>Венецианское плетение камыша </center>
Image:Wallpaper_group-p4-5.jpg|<center>Глиняная посуда ренессанса </center>
File:A tri-colored Pythagorean tiling View 4.svg|<center>[[Пифагорова мозаика]]</center>
File:Lizard p4 p4.png|<center>Получено из фотографии </center>
</gallery>

=== {{anchor|Группа  p4mm}} Группа ''p''4''m'' (*442) ===
[[Файл:SymBlend p4m.svg|right|thumb|Пример и диаграмма для '''''p''4''m''''']]
[[Файл:Wallpaper group diagram p4m square.svg|left|thumb|Структура ячейки для '''''p''4''m''''']]
* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:red;">*442</span>
* Обозначение Коксетера: [4,4]
* Решётка: квадратная
* Точечная группа: D<sub>4</sub>
* Группа '''''p''4''m''''' имеет два центра вращения порядка четыре (90°) и отражения в четырёх различных направлениях (горизонтальная, вертикальная и диагональные). Группа имеет дополнительные скользящие симметрии, оси которых не являются осями отражения. Повороты порядка два (180°) имеют центры на пересечениях осей скользящей симметрии. Все центры вращения лежат на осях отражения.

Это соответствует прямоугольной сетке строк и столбов одинаковых квадратов с четырьмя осями симметрии. Это также соответствует шахматному узору двух таких квадратов.
{{Clear}}
;Примеры группы ''p''4''m''

Примеры показаны с наименьшим горизонтальным и вертикальным параллельным переносом (как на диаграмме):
<gallery class="center">
Image:WallpaperP4M.GIF|<center>Создано на компьютере</center>
Image:1-uniform_n5.svg|<center>Одно из 3 [[Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости#Правильные мозаики|правильных замощений]]</center>
Image:Tile V488.svg|<center>[[Разделённая квадратная мозаика|Полуправильная мозаика из треугольников]]. Если игнорировать цвета, это '''''p''4''m''''', иначе — [[#Группа c2mm|'''''c''2''m''''']]</center>
Image:Tile 488.svg|<center>Одно из 8 [[Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости#Архимедовы, однородные, или полуправильные мозаики|полуправильных замощений]] (если игнорировать цвет это тоже '''''p''4''m''''', но с меньшими величинами параллельного переноса)</center>
Image:Wallpaper_group-p4m-1.jpg|<center>Орнаментный рисунок, [[Ниневия]], [[Ассирия]]</center>
Image:Wallpaper_group-p4m-3.jpg|<center>[[Дождевая канализация]], США</center>
Image:Wallpaper_group-p4m-5.jpg|<center>Саркофаг [[Древний Египет|египетской]] [[Мумия|мумии]]</center>
Image:Wallpaper_group-p4m-6.jpg|<center>[[Персидская империя|Персидская]] [[Глизаль|лессированная]] мозаика</center>
Image:2-d dense packing r4.svg|<center>Компактная упаковка кругов двух размеров </center>
</gallery>
Примеры с наименьшим параллельным переносом по диагонали:
<gallery class="center">
Image:Tile 4,4.svg|<center>Шахматная клетка</center>
Image:Wallpaper_group-p4m-2.jpg|<center>Ткань, [[Таити]])
Image:Wallpaper_group-p4m-4.jpg|<center>[[Древний Египет|Египетская]] [[усыпальница]]</center>
Image:Wallpaper_group-p4m-7.jpg|<center> Кафедральный собор в [[Бурж]]е</center>
Image:Wallpaper_group-p4m-8.jpg|<center>Тарелка из [[Турция|Турции]] [[Османская империя|османского]] периода</center>
</center>
</gallery>

=== {{anchor|Группа  p4gm}} Группа ''p''4''g'' (4*2) ===
[[Файл:SymBlend p4g.svg|right|thumb|Пример и диаграмма для '''''p''4''g''''']]
[[Файл:Wallpaper group diagram p4g square.svg|left|thumb|Структура ячейки для '''''p''4''g''''']]
* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:blue;">4</span><span style="color:red;">*2</span>
* Обозначение Коксетера: [4<sup>+</sup>,4]
* Решётка: квадратная
* Точечная группа: D<sub>4</sub>
* Группа '''''p''4''g''''' имеет два центра поворота порядка четыре (90°), которые являются зеркальным отражением друг друга, но она имеет отражения только в двух перпендикулярных направлениях. Имеются вращения порядка два (180°), центры которых расположены на пересечении осей отражения. Группа имеет оси скользящих симметрий, параллельные осям отражения (между ними), а также под углом 45° к ним.
Узор '''''p''4''g''''' можно рассматривать как шахматное расположение копий квадратных плиток с 4-кратной вращательной симметрии и их зеркальных образов. Альтернативно, узор можно рассматривать (при сдвиге на половину плитки) как шахматное расположение копий горизонтально или вертикально симметричных плиток и их версий, повёрнутых на 90°. Заметим, что оба способа рассмотрения не применимы к простому шахматному узору из чёрных и белых плиток, в этом случае это группа '''[[#Группа p4mm|''p''4''m'']]''' (с диагональным параллельным переносом ячеек).
{{Clear}}
;Примеры группы ''p''4''g''

<gallery class="center">
Image:Wallpaper_group-p4g-1.jpg|<center>[[Линолеум]] в ванной, США</center>
Image:Wallpaper_group-p4g-2.jpg|<center> Расписной [[фарфор]], Китай</center>
Image:Wallpaper_group-p4g-3.jpg|<center>Москитная сетка, США.</center>
Image:Wallpaper_group-p4g-4.jpg|<center>Рисунок, Китай</center>
File:Uniform tiling 44-h01.svg|<center>одна из раскрасок [[Плосконосая квадратная мозаика|плосконосой квадратной мозаики]] (см. также '''''pg''''')</center>

</gallery>

=== {{anchor|Группа  p3}} Группа ''p''3 (333) ===
[[Файл:SymBlend p3.svg|right|thumb|Пример и диаграмма для '''''p''3''']]
[[Файл:Wallpaper group diagram p3.svg|left|thumb|Структура ячейки для '''''p''3''']]
* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:blue;">333</span>
* Обозначение Коксетера: [(3,3,3)]<sup>+</sup> или [3<sup>[3]</sup>]<sup>+</sup>
* Решётка: шестиугольная
* Точечная группа: C<sub>3</sub>
* Группа '''''p''3''' имеет три различных центра порядка три (120°), но не имеет зеркальных или скользящих симметрий.

Представим [[Паркет (геометрия)|мозаику]] плоскости с равносторонними треугольниками одного размера со стороной, соответствующей наименьшему параллельному переносу. Тогда половина треугольников имеют одну ориентацию, а другая половина симметрична. Группа орнаментов соответствует случаю, когда все треугольники одной ориентации равны, в то время как оба типа имеют вращательную симметрию порядка три, но эти два не равны, не являются зеркальными образами друг друга и оба не симметричны (если оба типа равны, мы имеем '''''p''6''', если они являются зеркальными образами друг друга, мы имеем '''''p''31''m''''', если оба типа симметричны, мы имеем '''''p''3''m''1''', если два из этих трёх свойств имеют место, то имеет место и третье, и мы получаем '''''p''6''m'''''). Для заданного рисунка, возможны три из этих замощений, каждое с центрами вращения в вершинах, то есть для любого замощения возможны два сдвига. В терминах рисунка: вершины могут быть красные, синие или зелёные треугольники.

Эквивалентно, представим замощение плоскости правильными шестиугольниками со стороной, равной наименьшему параллельному переносу, делённому на √3. Тогда эта группа обоев соответствует случаю, когда все шестиугольники равны (и имеют одну и ту же ориентацию) и имеют симметрию вращения порядка три, но при этом нет зеркального отражения (если они имеют вращательную симметрию порядка шесть, получим '''''p''6''', если есть симметрия относительно главной диагонали, имеем '''''p''31''m''''', если есть симметрия относительно прямых, перпендикулярных сторонам, имеем '''''p''3''m''1'''; если выполняются два из трёх этих свойств, то третье выполняется тоже и мы имеем '''''p''6''m'''''). Для заданного образа существует три замощения, каждое получается при расположении центров шестиугольников в центрах вращения узора. В терминах рисунка — центрами шестиугольника могут быть красные, синие и зелёные треугольнички.
{{Clear}}
;Примеры группы ''p''3

<gallery class="center">
Image:WallpaperP3.GIF|<center>Получено с помощью компьютера</center>
Image:Tile 33336.svg|<center>Одна из 8 [[Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости#Архимедовы, однородные, или полуправильные мозаики|полуправильных мозаик]] (если игнорировать цвета: '''''p''6'''). Вектора параллельного переноса чуть сдвинуты по отношению к направлениями нижележащей шестиугольной решётки узора</center>
Image:Wallpaper_group-p3-1.jpg|<center>Уличная мостовая в [[Закопане]], [[Польша]]</center>
Image:Alhambra-p3-closeup.jpg|<center>Мозаика на стене в городе [[Альгамбра]], [[Испания]] (здесь [[:Image:Alhambra-p3-wall.jpg|стена полностью]]). Если игнорировать все цвета, получим '''''p''3''' (если игнорировать только цвета звёзд, получим [[#Группа p1|'''''p''1''']])</center>
</gallery>

=== {{anchor|Группа  p3m1}} Группа ''p''3''m''1 (*333) ===
[[Файл:SymBlend p3m1.svg|right|thumb|Пример и диаграмма для '''''p''3''m''1''']]
[[Файл:Wallpaper group diagram p3m1.svg|left|thumb|Структура ячейки для '''''p''3''m''1''']]
* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:red;">*333</span>
* Обозначение Коксетера: [(3,3,3)] или[3<sup>[3]</sup>]
* Решётка: шестиугольная
* Точечная группа: D<sub>3</sub>
* Группа '''''p''3''m''1''' имеет три различные центры вращения порядка три (120°). Группа имеет отражения относительно трёх сторон равностороннего треугольника. Центры любого вращения лежат на осях отражения. Существуют дополнительные скользящие симметрии в трёх различных направлениях, оси которых расположены на полпути между смежными параллельными осями отражений.

Подобно группе '''[[#Группа p3|''p''3]]''', представим плоскость с равносторонними треугольниками одинакового размера, со стороной, равной наименьшей величине параллельного переноса. Тогда половина треугольников имеет одну ориентацию, а другая половина — обратную ориентацию. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одной ориентации равны. Оба типа имеют вращательную симметрию порядка три, оба типа симметричны, но они не равны и не являются зеркальным отражением друг друга. Для заданного образа возможны три замощения, каждое имеет вершины в центрах вращения. В терминах рисунка — вершины могут быть красными, тёмно-синими или зелёными треугольничками.

{{Clear}}
;Примеры группы ''p''3''m''1

<gallery class="center">
Image:Tile 3,6.svg|<center>Одна из 3 [[Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости#Правильные мозаики|правильных мозаик]] (игнорируя цвета: '''''p''6''m''''')</center>
Image:Tile 6,3.svg|<center>Другая правильная мозаика (игнорируя цвета: '''''p''6''m''''')</center>
Image:Tile 3bb.svg|<center>Одна из 8 [[Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости#Архимедовы, однородные, или полуправильные мозаики|полуправильных мозаик]] (игнорируя цвета: '''''p''6''m''''')</center>
Image:Wallpaper_group-p3m1-1.jpg|<center>[[Персидская империя|Персидская]] [[Глизаль|лессированная]] мозаика (игнорируя цвета: '''''p''6''m''''')</center>
Image:Wallpaper_group-p3m1-3.jpg|<center>[[Персидская империя|Персидский]] орнамент</center>
Image:Wallpaper_group-p3m1-2.jpg|<center>Рисунок, [[Китайская Народная Республика|Китай]] (см. детальное изображение)</center>
</gallery>

=== {{anchor|Группа  p31m}} Группа ''p''31''m'' (3*3) ===
[[Файл:SymBlend p31m.svg|right|thumb|Пример и диаграмма для '''''p''31''m''''']]
[[Файл:Wallpaper group diagram p31m.svg|left|thumb|Структура ячейки для '''''p''31''m''''']]
* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:blue;">3</span><span style="color:red;">*3</span>
* Обозначение Коксетера: [6,3<sup>+</sup>]
* Решётка: шестиугольная
* Точечная группа: D<sub>3</sub>
* Группа '''''p''31''m''''' имеет три различные центра вращения порядка три (120°), из которых два являются зеркальными образами друг друга. Группа имеет три отражения в трёх различных направлениях. Она имеет по меньшей мере одно вращение, центр которого ''не'' лежит на оси зеркальной симметрии. Существуют дополнительные скользящие симметрии в трёх направлениях, оси которых расположены посередине между смежными параллельными осями отражения.

Как для '''''p''3''' и '''''p''3''m''1''', представим замощение плоскости равносторонними треугольниками одного и того же размера, со стороной, равной наименьшему параллельному переносу. Тогда половина треугольников имеет одну ориентацию, а другая половина — противоположную. Группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одной ориентации равны, в то время как оба типа имеют вращательную симметрию порядка три и каждый является зеркальным отражением другого, но треугольники себе не симметричны и не равны. Для данного образа возможно только одно замощение. В терминах рисунка — вершинами ''не могут'' быть тёмно-синие треугольнички.

{{Clear}}
;Примеры группы ''p''31''m''

<gallery class="center">
Image:Wallpaper_group-p31m-1.jpg|<center>[[Персидская империя|Персидская]] [[Глизаль|лессированная]] мозаика</center>
Image:Wallpaper_group-p31m-2.jpg|<center> Расписной [[фарфор]], [[Китайская Народная Республика|Китай]]</center>
Image:Wallpaper_group-p31m-3.jpg|<center>Рисунок, [[Китайская Народная Республика|Китай]]</center>
Image:2-d dense packing r2.svg|<center>Компактная упаковка кругов двух размеров </center>
</gallery>

=== {{anchor|Группа  p6}} Группа ''p''6 (632) ===
[[Файл:SymBlend p6.svg|right|thumb|Пример и диаграмма для '''''p''6''']]
[[Файл:Wallpaper group diagram p6.svg|left|thumb|Структура ячейки для '''''p''6''']]
* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:blue;">632</span>
* Обозначение Коксетера: [6,3]<sup>+</sup>
* Решётка: шестиугольная
* Точечная группа: C<sub>6</sub>
* Группа '''''p''6''' имеет один центр вращения порядка шесть, которые отличаются только вращением на 60°. Она имеет также два центра вращения порядка три, которые отличаются только вращением на 120° и три порядка два (180°). Группа не имеет отражений или скользящих симметрий.

Узор с такой симметрией можно считать [[Паркет (геометрия)|мозаикой]] плоскости с равными треугольными плитками с симметрией [[Группы симметрии#Two dimensions|C<sub>3</sub>]], или эквивалентно, замощение плоскости равными шестиугольными плитками с симметрией C<sub>6</sub> (при этом края плиток не обязательно будут частью узора).

{{Clear}}
;Примеры группы ''p''6

<gallery class="center">
Image:WallpaperP6.GIF|<center>Создано компьютером</center>
Image:A periodic tiling by regular hexagons and equilateral triangles.svg|<center>[[Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости|Правильные многоугольники]]</center>
Image:Wallpaper_group-p6-1.jpg|<center>Обшивка стены, [[Альгамбра]], [[Испания]]</center>
Image:Wallpaper_group-p6-2.jpg|<center>[[Персидская империя|Персидский]] орнамент</center>
</gallery>

=== {{anchor|Группа  p6mm}} Группа ''p''6''m'' (*632) ===
[[Файл:SymBlend p6m.svg|right|thumb|Пример и диаграмма для '''''p''6''m''''']]
[[Файл:Wallpaper group diagram p6m.svg|left|thumb|Структура ячейки для '''''p''6''m''''']]
* Орбифолдная сигнатура: <span style="color:red;">*632</span>
* Обозначение Коксетера: [6,3]
* Решётка: шестиугольная
* Точечная группа: D<sub>6</sub>
* Группа '''''p''6''m''''' имеет один центр вращения порядка шесть (60°). Она имеет также два центра вращения порядка три, которые отличаются только вращением на 60°, и три порядка два, которые отличаются только вращением на 60°. Группа имеет также отражения в шести различных направлениях. Существуют дополнительные скользящие симметрии в шести различных направлениях, оси которых расположены посередине между двумя смежными параллельными осями отражения.

Узор с этой симметрией можно рассматривать как [[Паркет (геометрия)|мозаику]] на плоскости с равными треугольными плитками с симметрией [[Диэдральная группа#Диэдральная группа как группа симметрии в 2D и группа вращений в 3D|D<sub>3</sub>]], или эквивалентно, замощение плоскости равными шестиугольными плитками с симметрией D<sub>6</sub> (края плиток не обязательно являются частью узора). Простейшие примеры — [[шестиугольная решётка]] с соединяющими прямыми или без них и [[Шестиугольный паркет|шестиугольная мозаика]] с одним цветом для контуров шестиугольников и другим для фона.

{{Clear}}
;Примеры группы ''p''6''m''

<gallery class="center">
Файл:WallpaperP6M.GIF|<center>Сгенерировано компьютером </center>
Файл:Tile 3636.svg|<center>Одна из 8 [[Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости#Архимедовы, однородные, или полуправильные мозаики|полуправильных мозаик]]</center>
Файл:Tile 3464.svg|<center>Другая полуправильная мозаика </center>
Файл:Tile 46b.svg|<center>Другая полуправильная мозаика </center>
Файл:Wallpaper group-p6m-1.jpg|<center>[[Персидская империя|Персидская]] [[Глизаль|лессированная]] мозаика</center>
Файл:Wallpaper group-p6m-2.jpg|<center>Одежда короля, [[Дур-Шаррукин]], [[Ассирия]]. Это почти '''''p''6''m''''' (если игнорировать внутренние части цветков, получим [[Группа орнамента#Группа c2mm|'''''cmm''''']])</center>
Файл:Wallpaper group-p6m-3.jpg|<center>[[Бронза]] сосуд из [[Нимруд]]а, [[Ассирия]]</center>
Файл:Wallpaper group-p6m-4.jpg|<center>[[Искусство Византии|Византийский]] [[мрамор]]ный тротуар, [[Рим]]</center>
Файл:Wallpaper group-p6m-5.jpg|<center> Расписной [[фарфор]], [[Китайская Народная Республика|Китай]]</center>
Файл:Wallpaper group-p6m-6.jpg|<center> Расписной [[фарфор]], [[Китайская Народная Республика|Китай]]</center>
Файл:2-d dense packing r5.svg|<center>Компактная упаковка кругов двух размеров </center>
Файл:2-d dense packing r6.svg|<center>Другая компактная упаковка кругов двух размеров </center>
</gallery>

== Типы решёток ==
Существует пять типов [[Решётка (теория групп)|решёток]] ([[Решётка Браве|решётки Браве]]), соответствующих пяти группам орнаментов самих решёток. Группа орнаментов узора с этой решёткой симметрии параллельного переноса не может иметь больше, но может иметь меньше симметрий, чем сама решётка.
* В 5 случаях вращательной симметрии порядка 3 или 6, единичная ячейка состоит их двух равносторонних треугольников (шестиугольная решётка, сама по себе '''''p6m'''''). Они образуют ромбы с углами 60° и 120°.
* В 3 случаях вращательной симметрии порядка 4 ячейка является квадратом (квадратная решётка, сама по себе '''''p4m''''').
* В 5 случаях отражения или скользящей симметрии, но не одновременно, ячейка является прямоугольником (прямоугольная решётка, сама по себе '''''pmm'''''). Специальные случаи: квадрат.
* В 2 случаях отражения вместе со скользящей симметрией ячейка является ромбом (ромбическая решётка, сама по себе '''''cmm'''''). Решётку можно интерпретировать как центрированная прямоугольная решётка. Специальные случаи: квадрат, шестиугольная ячейка.
* В случае только вращательной симметрии порядка 2 и отсутствия других симметрий, отличных от параллельного переноса, ячейка, в общем случае, является параллелограммом (параллелограммная или косая решётка, сама по себе '''''p''2'''). Специальные случаи: ячейка в виде прямоугольника, квадрата, ромба, шестиугольника.

== Группы симметрии ==
Фактическую [[Группы симметрии|группу симметрии]] нужно отличать от группы орнаментов. Группы орнаментов являются набором групп симметрии. Существует 17 таких наборов, но для каждого набора существует бесконечно много групп симметрии в смысле фактических групп изометрий. Они зависят, отдельно от группы орнаментов, числом параметров векторов параллельного переноса, ориентацией и положением осей зеркальной симметрии и центров поворота.

Число [[Степени свободы (физика)|степеней свободы]] равно:
* 6 для '''''p''2'''
* 5 для '''''pmm''''', '''''pmg''''', '''''pgg''''', and '''''cmm'''''
* 4 для остальных.

Однако, внутри каждой группы орнаментов, все группы симметрий алгебраически изоморфны.

Некоторые изоморфизмы групп симметрий:
* '''''p''1''': '''Z'''<sup>2</sup>
* '''''pm''''': '''Z''' × [[Диэдральная группа#Обобщения|D<sub>∞</sub>]]
* '''''pmm''''': D<sub>∞</sub> × D<sub>∞</sub>.

== Зависимость групп орнаментов при трансформациях ==
* Группа орнаментов узора инвариантна по изометриям и однородному {{не переведено 5|Масштабирование (геометрия)|масштабированию||Scaling (geometry)}} ([[Подобие|преобразованию подобия]]).
* Параллельный перенос сохраняется при произвольном биективном [[Аффинное преобразование|аффинном преобразовании]].
* Вращательная симметрия порядка два — то же самое. Это означает, что центров 4- и 6-кратных вращений сохраняют по меньшей мере 2-кратное вращение.
* Отражение относительно прямой и скользящая симметрия сохраняются при растяжении/сжатии вдоль оси симметрии или перпендикуляра к ней. Это меняет '''''p''6''m''''', '''''p''4''g''''' и '''''p''3''m''1''' в '''''cmm''''', '''''p''3''m''1''' в '''''cm''''' и '''''p''4''m''''' в зависимости от направления растяжения/сжатия, в '''''pmm''''' или '''''cmm'''''.

Заметим, что, если преобразование уменьшает симметрию, преобразование того же вида (обратное), очевидно, для того же узора симметрию увеличивает. Такое свойство узора (например, расширение в одном направлении даёт узор с четырёхкратной симметрией) не считается видом дополнительной симметрии.

Замена цветов не влияют на группу орнаментов если любые две точки, имеющие один цвет до изменения, также будут иметь тот же цвет после замены, и, если любые две точки, имеющие разные цвета до замены, будут иметь различные цвета после замены.

Если первое выполняется, а второе нет, как в случае приведения изображения к чёрно/белому, симметрии сохранятся, но могут увеличиться, так что группа обоев может измениться.

== Веб-сайты и программное обеспечение ==
Некоторые программные продукты позволяют создавать двумерные узоры с помощью групп симметрии орнаментов. Обычно можно редактировать исходную плитку и все копии плитки в узоре обновляются автоматически.
* [http://www.madpattern.com/ MadPattern] {{Wayback|url=http://www.madpattern.com/ |date=20181016083300 }}, свободный набор шаблонов Adobe Illustrator, которые поддерживают 17 групп орнаментов
* [http://www.peda.com/tess/ Tess] {{Wayback|url=http://www.peda.com/tess/ |date=20171228121757 }}, [[nagware]] программа создания замощений для ряда платформ, поддерживает все орнаменты, бордюры, и групп розетки, а также мозаики Хииша.
* [https://web.archive.org/web/20181216031531/http://www.scienceu.com/geometry/handson/kali/ Kali], графический онлайн-аплет редактирования симметрий.
* [http://www.geometrygames.org/Kali/index.html Kali] {{Wayback|url=http://www.geometrygames.org/Kali/index.html |date=20201121143626 }}, свободно загружаемая программа для Windows и Mac Classic.
* [[Inkscape]], [[Свободное программное обеспечение|свободный]] [[векторный графический редактор]], поддерживает все 17 групп, плюс произвольное масштабирование, сдвиги, повороты и изменение цветов по строкам или по столбцам. (См. [http://tavmjong.free.fr/INKSCAPE/MANUAL/html/Tiles-Symmetries.html] {{Wayback|url=http://tavmjong.free.fr/INKSCAPE/MANUAL/html/Tiles-Symmetries.html |date=20181016105153 }})
* [http://www.artlandia.com/products/SymmetryWorks/ SymmetryWorks] {{Wayback|url=http://www.artlandia.com/products/SymmetryWorks/ |date=20181121162020 }} является коммерческим плагином для [[Adobe Illustrator]], поддерживает все 17 групп.
* [https://web.archive.org/web/20180426122308/http://www.wozzeck.net/arabeske/index.html Arabeske] является свободным самостоятельным продуктом, поддерживает подмножество групп орнаментов.

== См. также ==
* [[Список плоских групп симметрии]] (краткое изложение данной страницы)
* [[Апериодическая мозаика]]
* [[Кристаллография]]
* {{не переведено 5|Группа слоёв|||Layer group}}
* [[Математика и искусство]]
* [[Мауриц Корнелис Эшер]]
* [[Точечная группа симметрии]]
* {{не переведено 5|Группы симметрии в одномерном пространстве|||Symmetry groups in one dimension}}
* [[Паркет (геометрия)|Мозаики]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{статья
|автор=Е. Фёдоров
|ref=Фёдоров
|год=1891
|заглавие=Симметрия на плоскости
|издание=Записки Императорского Санкт-Петербургского Минералогического общества
|серия=2
|том=28
}}
* {{статья
|автор=George Pólya
|ref=Pólya
|год=1924
|заглавие=Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene
|издание=Zeitschrift für Kristallographie
|том=60
}}
* {{книга
|заглавие=Symmetry in Crystallography
|ссылка=https://archive.org/details/symmetryincrysta0000rada
|автор=Paulo G. Radaelli
|ref=Radaelli
|издательство=Oxford University Press
|ISBN=0-19-955065-4
|год=2011
|серия=Crystallography
}}
* {{книга
|ссылка=http://digicoll.library.wisc.edu/cgi-bin/DLDecArts/DLDecArts-idx?type=header;pview=hide;id=DLDecArts.GramOrnJones
|заглавие=The Grammar of Ornament
|год=1856
|автор=Owen Jones.
}} Многие изображения в этой статье взяты из этой книги. Книга содержит много больше примеров.
* {{книга
|автор=[[Конвей, Джон Хортон|John H. Conway]]
|год=1992
|часть=The Orbifold Notation for Surface Groups
|ответственный=M. W. Liebeck, J. Saxl (eds.)
|заглавие=Groups, Combinatorics and Geometry
|заглавие2=Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. 
|серия=Lecture Notes Series
|том=165
|издательство=Cambridge University Press
|место=Cambridge
|страницы=438–447
}}
* {{книга
|автор=[[Конвей, Джон Хортон|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss
|год=2008
|заглавие=The Symmetries of Things
|место=Worcester MA
|издательство=A.K. Peters
|ISBN=1-56881-220-5
}}
* {{книга
|автор=[[Грюнбаум, Бранко|Branko Grünbaum]], G. C. Shephard
|год=1987
|заглавие=Tilings and Patterns
|ссылка=https://archive.org/details/isbn_0716711931
|место=New York
|издательство=Freeman
|ISBN=0-7167-1193-1
}}
* {{книга
|заглавие=Pattern Design
|автор=Lewis F. Day
|издательство=Dover Publications, Inc.
|место=Mineola, New York
|isbn=0-486-40709-8
|год=1933
}}
== Ссылки ==
* [http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/seventeen.html The 17 plane symmetry groups] {{Wayback|url=http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/seventeen.html |date=20181120133644 }} by David E. Joyce
* [http://www.geom.uiuc.edu/education/math5337/Wallpaper/introduction.html Introduction to wallpaper patterns] {{Wayback|url=http://www.geom.uiuc.edu/education/math5337/Wallpaper/introduction.html |date=20181119011005 }} by Chaim Goodman-Strauss and Heidi Burgiel
* [http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node12.html Description] {{Wayback|url=http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node12.html |date=20181111142525 }} by Silvio Levy
* [http://clowder.net/hop/17walppr/17walppr.html Example tiling for each group, with dynamic demos of properties] {{Wayback|url=http://clowder.net/hop/17walppr/17walppr.html |date=20150309051549 }}
* [http://www.math.toronto.edu/~drorbn/Gallery/Symmetry/Tilings/Sanderson/index.html Overview with example tiling for each group] {{Wayback|url=http://www.math.toronto.edu/~drorbn/Gallery/Symmetry/Tilings/Sanderson/index.html |date=20181107160716 }}
* [http://escher.epfl.ch/escher/ Escher Web Sketch, a java applet with interactive tools for drawing in all 17 plane symmetry groups] {{Wayback|url=http://escher.epfl.ch/escher/ |date=20181126202033 }}
* [https://web.archive.org/web/20090218071905/http://www-viz.tamu.edu/faculty/ergun/research/artisticdepiction/symmetric/program/index.html Burak, a Java applet for drawing symmetry groups.]
* [http://math.hws.edu/eck/js/symmetry/wallpaper.html A JavaScript app for drawing wallpaper patterns] {{Wayback|url=http://math.hws.edu/eck/js/symmetry/wallpaper.html |date=20181124225428 }}
* [http://www.peltenwirbel.de/ Beobachtungen zum geometrischen Motiv der Pelta] {{Wayback|url=http://www.peltenwirbel.de/ |date=20160303182341 }}
* [https://web.archive.org/web/20100323061704/http://mathmuse.sci.ibaraki.ac.jp/pattrn/PatternE.html Seventeen Kinds of Wallpaper Patterns] the 17 symmetries found in traditional Japanese patterns.

{{Геометрические мозаики}}

{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Кристаллография]]
[[Категория:Дискретные группы]]
[[Категория:Евклидовы симметрии]]
[[Категория:Орнамент]]