Просмотр кода страницы Деление (математика)

{{redirect|Деление|Деление|для просмотра других значений}}
{{универсальная карточка}}
[[Файл:Divide20by4.svg|thumb|<math>20: 4=5</math>|307x307пкс]]
'''Деле́ние''' ('''операция деления''') — действие, обратное [[умножение|умножению]]. Деление [[Знак деления|обозначается]] [[двоеточие]]м <math>:</math>, [[обелюс]]ом <math>\div</math>, [[Косая черта|косой чертой]] <math>/</math> или записывается в виде [[Обыкновенная дробь|дроби]].

Для натуральных чисел деление обозначает нахождение, какое число (частное) надо взять столько-то (делитель) раз, чтобы получилось данное (делимое).

Другими словами, это нахождение ''максимально возможного'' количества повторений вычитания делителя из делимого; либо нахождение такой ''наибольшей'' величины, которая может быть отнята от делимого столько раз, сколько указано в делителе.

Рассмотрим, например деление <math>14</math> на <math>3</math>:

'''Сколько раз <math>3</math> содержится в <math>14</math>?'''

Повторяя операцию вычитания <math>3</math> из <math>14</math>, мы находим, что <math>3</math> содержится в <math>14</math> четыре раза, и ещё «остаётся» число <math>2</math>.

В этом случае число <math>14</math> называется '''[[Делимое|делимым]]''', число <math>3</math> — '''[[Делитель|делителем]]''', число <math>4</math> — '''[[Неполное частное|(неполным) частным]]''' и число <math>2</math> — '''[[Остаток от деления|остатком (от деления)]]'''.

'''Полным частным''', '''отношением''' или '''[[соотношение]]м''' чисел <math>a</math> и <math>b</math> называется такое число <math>c</math>, что <math>a=b\cdot c</math>. В случае, когда <math>a=14</math> и <math>b=3</math>, их полное частное может быть записано в виде дроби <math>\frac{14}{3}</math> или [[Десятичная дробь|десятичной дроби]] <math>4,(6)</math>.

''Полное'' и ''неполное'' частные чисел <math>a</math> и <math>b</math> совпадают тогда и только тогда, когда <math>a</math> '''[[Делимость|делится нацело]]''' ('''делится''') на <math>b</math>. Соответствующее свойство данной пары чисел называется '''делимостью'''.

== Формы записи и терминология ==
Деление записывается с использованием одного из «[[Знак деления|знаков деления]]» — «<math>\div,~ /,~ :</math>» между аргументами, такая форма записи называется [[Инфиксная нотация|инфиксной нотацией]]. В данном [[контекст]]е знак деления является бинарным [[Оператор (математика)|оператором]]. Знак деления не имеет специального названия, как например знак сложения, который называется «плюс».
* Самый старый из используемых символов видимо — косая черта (/). Впервые его использовал английский математик [[Отред, Уильям|Уильям Отред]] в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г.
* Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде двоеточия (:) Этот символ он использовал в своём труде ''[[Acta eruditorum]]'' 1684 г. До Лейбница этот знак был использован англичанином Джонсоном в 1633 году в своей книге, но как знак дроби, а не деления в узком смысле.
* [[Ран, Иоганн|Йоханн Ран]] ввёл знак [[обелюс]] (÷) в качестве знака деления, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г. Знак Рана часто называют «английским знаком деления».
В русскоязычных учебниках математики в основном используется знак в виде двоеточия (:). Косая черта (/) используется в компьютерной нотации. Результат записывается с использованием [[Знак равенства|знака равенства]] «<math>=</math>», например:
: <math>a : b = c </math>;
: <math>6 : 3 = 2 </math> («шесть разделить на три равно два»);
: <math>65 : 5 = 13 </math> («шестьдесят пять разделить на пять равно тринадцать»).

== Свойства ==
Операция деления на числовых множествах <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> имеет следующие основные свойства:
* Деление [[Коммутативная операция|не перестановочно]] (не коммутативно) — от перемены мест аргументов частное изменяется:
: <math>a:b \ne b:a;</math>
* Деление не ассоциативно — при последовательном выполнении деления трёх или более чисел последовательность выполнения операций имеет значение, результат изменится:
: <math>(a:b):c \ne a:(b:c);</math>
* Деление дистрибутивно справа, это — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве, также известно, как ''распределительный закон''<ref>Так эти свойства называются в учебниках для младших классов</ref> :
: [[Дистрибутивность]]: <math>(a+b):x=(a:x)+(b:x), ~ x \ne 0;</math>
* Относительно деления в множестве <math>A</math> существует единственный нейтральный элемент справа (число <math>1</math>), деление на единицу (или нейтральный элемент) даёт число, равное исходному:
: [[Нейтральный элемент]] справа: <math>x:1=x;</math>
* Относительно деления в множестве <math>A</math> существует единственный обратный элемент, получаемый делением единицы на число, что даёт число, обратное исходному:
: [[Обратный элемент]]: <math>1:x=\frac{1}{x}=x^{-1}, ~ x \ne 0;</math>
* Относительно деления в множестве <math>A</math> существует единственный нулевой элемент слева — число <math>0</math>, делённое на любое число, даёт нуль:
: [[Нейтральный элемент|Нулевой элемент]] слева: <math>0:x=0, \quad\exists 0\in A, ~ x \ne 0;</math>
* По правилам обычной арифметики деление на ноль <math>0</math> (нулевой элемент) не определено;
: [[Деление на ноль]]: <math>x:0 =\infty , \quad\exists 0\in A, ~ x \ne 0;</math>
* Деление на [[Обратный элемент|противоположный элемент]] даёт минус единицу:
: <math>x:(-x)=-1, \quad \exists! -x\in A, ~ x \ne 0.</math>
Результат деления не всегда является определённым для множеств [[Натуральное число|натуральных чисел]] <math>\mathbb{N}</math> и [[Целое число|целых чисел]] <math>\mathbb{Z}</math>, чтобы получить натуральное или целое число в результате деления, делимое должно быть кратно делителю. Невозможно в рамках этих чисел получить дробный результат. В этом случае говорится о [[Деление с остатком|делении с остатком]]. То есть деление на этих множествах есть частичная [[бинарная операция]].

Операция деления, определённая на множествах (в [[Поле (алгебра)|полях]]) [[Рациональное число|рациональных]] <math> \mathbb{Q} </math>, [[Вещественное число|вещественных]] <math> \mathbb{R}</math> и [[Комплексное число|комплексных чисел]] <math> \mathbb{C}</math>, даёт число (частное), принадлежащее этому же множеству, следовательно, множества <math> \mathbb{Q_{-0}}, \mathbb {R_{-0}} ,\mathbb {C_{-0}} </math> замкнуты относительно операции деления (в точке 0 имеется [[разрыв второго рода]] — следовательно [[Кольцо (математика)|кольца]] рациональных, вещественных и комплексных чисел разомкнуты относительно операции деления).

В математических выражениях операция деления имеет более высокий приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними.

== Выполнение деления ==
[[Файл:Диаграмма19.svg|мини|306x306пкс|Пример пошагового деления числа 8 на число 4 на числовой прямой.]]
Деление является [[гипероператор]]ом вычитания и сводится к последовательному вычитанию. :

<math>a:b = \operatorname{hyper-2} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, -2, b) = a ^ {(-2)} b=c.</math><br>

<math> a {^{(-2)}} b = a : b = a \underbrace{ - b - b - \dots - b}_{c}.</math><br>

где: <math>- b - b - \dots - b</math> — последовательность операций вычитания, выполненная <math>c</math> раз.

При практическом решении задачи деления двух [[Число|чисел]] необходимо свести её к последовательности более простых операций: [[вычитание]], [[Соотношение|сравнение]], [[Перенос (арифметика)|перенос]] и др. Для этого разработаны различные методы деления, например для чисел, дробей, векторов и др. В русскоязычных учебниках математики в настоящее время используется [[алгоритм]] [[Деление столбиком|деления столбиком]]. При этом следует рассматривать деление как [[Математическая процедура|процедуру]] (в отличие от операции).

Схема, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком:
[[Файл:Деление столбиком.svg|центр|мини|464x464px|Деление столбиком]]
Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места.

{{начало скрытого блока |заголовок= Примерный алгоритм процедуры деления натуральных чисел столбиком }}
      [[Файл:Алгоритм деления.svg]]
{{конец скрытого блока}}
 
Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при делении больших чисел может занять продолжительное время. Данная процедура применима к делению [[Натуральное число|натуральных]] и [[Целое число|целых]] (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

Арифметические действия над числами в любой позиционной [[Система счисления|системе счисления]] производятся по тем же правилам, что и в [[Десятичная система счисления|десятичной системе]], так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими [[многочлен]]ами{{Sfn|Системы счисления|2006|p=3|name=Системы счисления}}. При этом нужно пользоваться таблицей вычитания соответствующей данному основанию <math>P</math> системы счисления.

Пример деления натуральных чисел в [[Двоичная система счисления|двоичной]], десятичной и [[Шестнадцатеричная система счисления|шестнадцатеричной]] системах счисления:

    <u> </u> 110010│<u>101 </u>  │    0 — 0         <u> </u> 50800│<u>25  </u>  │    0 — 0         <u> </u> CD530│<u>A8  </u>   │    0 — 0
      <u>101</u>   │1010  │ -101 — 1           <u>50</u>   │2032  │  -25 — 1           <u>A8</u>   │138E   │  -A8 — 1
      <u> </u> 10                             <u> </u> 08         │  -50 — 2         <u> </u> 255          │ -150 — 2
         <u>0 </u>                               <u>0</u>         │  -75 — 3           <u>1F8</u>          │ -1F8 — 3
      <u> </u> 101                             <u> </u> 80        │ -100 — 4          <u> </u> 5D3         │ -2A0 — 4
        <u>101</u>                               <u>75</u>        │  ... — ...          <u>540</u>         │ -348 — 5
        <u> </u> 00                             <u> </u> 50                            <u> </u> 930        │ -3F0 — 6
           <u>0</u>                               <u>50</u>                              <u>930</u>        │ -498 — 7
           0.                               0.                               0.       │ -540 — 8
                                                                                      │ -5E8 — 9
                                                                                      │ -690 — A
                                                                                      │ -738 — B
                                                                                      │ -7E0 — C
                                                                                      │ -888 — D
                                                                                      │ -930 — E

== Деление чисел ==

=== Натуральные числа ===
Воспользуемся определением [[Натуральное число|натуральных чисел]] <math>\mathbb{N}</math> как [[Отношение эквивалентности|классов эквивалентности]] [[Конечное множество|конечных множеств]]. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <math>C, A, B, R</math> порождённых [[биекция]]ми, с помощью скобок: <math>[C], [A], [B], [R]</math>. Тогда [[Операция (математика)|математическая операция]] «деление» определяется следующими образами:
# <math>\quad [C]=[A] : [B] = [\rightarrow (A / B)]\quad \& \quad[R]</math> — деление на равные части (отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения), частным чисел <math>a</math> и <math>b</math> называется число элементов каждого подмножества разбиения;
# <math>\quad [C]=[A] : [B] = [A / (\rightarrow B)]\quad \& \quad[R]</math> — деление по содержанию (отыскание числа подмножеств разбиения), частным чисел <math>a</math> и <math>b</math> называется число (количество) подмножеств разбиения;
где: <math>A / B</math> это — [[разбиение множества|разбиение конечного множества]] на равночисленные попарно не пересекающиеся [[Подмножество|подмножества]], такие что:

<math>B_{\alpha}=B_{\beta},</math><math>\quad \bigcup\limits_{\alpha \in C} B_{\alpha} +R = A,</math> <math>\quad \bigcap_{\alpha, \beta \in C} (B_{\alpha}, B_{\beta}, R) = \{ \emptyset \},</math> для любых коэффициентов <math>\alpha, \beta \in C </math>, таких что <math>\alpha\not=\beta;</math>

<math>R</math> — остаток (множество оставшихся элементов), <math>\{ \emptyset \} \leqslant R<B</math>,

<math>\rightarrow</math> — [[Арность|нульарная]] операция «выделение элемента».

В случае, если одно натуральное число не делится на другое без остатка, говорится о [[Деление с остатком|делении с остатком]]. На остаток накладываются следующее ограничение (чтобы он был корректно, то есть однозначно, определён): <math>0\leqslant r<|b|</math>, <math>a = b\cdot c + r</math>,

где: <math>a</math> — делимое, <math>b</math> — делитель, <math>c</math> — частное, <math>r</math> — остаток.

Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Арифметическая операция «деление» частична для множества натуральных чисел <math> \mathbb{N} </math>, (для [[Полукольцо|полукольца]] натуральных чисел).
[[Файл:Диаграмма13.svg|центр|890x890px|Примеры деления множества: верхний ряд — деление на равные части, нижний ряд — деление по содержанию.|мини]]

=== Деление [[Целое число|целых чисел]] ===
Деление произвольных целых чисел несущественно отличается от деления натуральных чисел — достаточно поделить их модули и учесть [[правило знаков]].

Однако деление целых чисел с остатком определяется неоднозначно. В одном случае, (так же как и без остатка) рассматривают сначала модули и в результате остаток приобретает тот же знак, что делитель или делимое (например, <math>-7 / (-3) = 2</math> с остатком (-1)); в другом случае понятие остатка напрямую обобщается и ограничения заимствуются из натуральных чисел:
: <math>-7 \equiv 2 \pmod 3</math>.
Для устранения неоднозначности принято соглашение: остаток от деления всегда неотрицателен.

=== Деление рациональных чисел ===
[[Замыкание (алгебра)|Замыкание]] множества целых чисел по операции деления приводит к расширению его до множества рациональных чисел. Это приводит к тому, что результатом деления одного [[целое число|целого числа]] на другое всегда является [[рациональное число]]. Более того, полученные числа (рациональные) уже полностью поддерживают операцию деления (замкнуты относительно неё).

Правило деления обыкновенных дробей:
<math>\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} = \frac{ad}{bc}</math>

=== Деление вещественных чисел ===
Множество [[Вещественное число|вещественных чисел]] — [[Непрерывность множества действительных чисел|непрерывное]] [[упорядоченное поле]], обозначается <math>\mathbb{R}</math>. Множество вещественных чисел не является счётным, его [[Мощность множества|мощность]] называется ''[[Континуум (теория множеств)|мощностью континуума]]''. Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как ''непрерывное продолжение''<ref>Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида <math>\{x: \alpha < x < \beta\}</math></ref> соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными [[Десятичная дробь|десятичными дробями]]:
: <math> \alpha = \pm a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \{a_n\},</math>
: <math> \beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \{b_n\},</math>
определённые соответственно [[Фундаментальная последовательность|фундаментальными последовательностями]] рациональных чисел (удовлетворяющие [[Условие Коши|условию Коши]]), обозначенные как: <math>\alpha = [a_n]</math> и <math>\beta = [b_n]</math>, то их частным называют число <math>\gamma = [c_n]</math>, определённое частным последовательностей <math>\{a_n\}</math> и <math>\{b_n\}</math>:
: <math>\gamma = \alpha : \beta \overset{\text{def}}{=} [a_n] : [b_n] = [a_n /b_n]</math>,
вещественное число <math>\gamma = \alpha : \beta</math>, удовлетворяет следующему условию:
: <math>
\forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q}; ~~~~ (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \land (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' : b' \leqslant \alpha / \beta \leqslant a'' : b'') \Rightarrow (a' : b' \leqslant \gamma \leqslant a'' : b'').
</math>
Таким образом частное двух вещественных чисел <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> является такое вещественное число <math>\gamma</math> которое содержится между всеми частными вида <math>a' : b'</math> с одной стороны и всеми частными вида <math>a'' : b''</math> с другой стороны{{sfn|Ильин|1985|quote=|с=46}}. [[Дедекиндово сечение]] позволяет однозначно определить результат деления.

На практике для того, чтобы разделить два числа <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>, необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами <math>a</math> и <math>b</math>. За приближенное значение частного чисел <math>\alpha : \beta</math> берут частное указанных рациональных чисел <math>a : b</math>. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>. Деление производится по алгоритму деления столбиком.

[[Погрешность измерения#Классификация погрешностей|Абсолютная погрешность]] частного приближённых чисел: <math>\Delta \left( \frac{a}{b} \right) =\frac{|b| \cdot \Delta a+ |a| \cdot \Delta b}{b^2}</math>, абсолютная погрешность числа принимается равной половине последней единицы разряда этого числа.

[[Погрешность измерения#Классификация погрешностей|Относительная погрешность]] частного равна сумме относительных погрешностей аргументов: <math>\delta \left( \frac{a}{b} \right) =\delta a+\delta b</math>. Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример деления <math>\gamma=\pi : e</math>, с точностью до 3-го знака после запятой:
* [[Округление|Округляем]] данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
* Получаем: <math>\pi\approx 3.1416,\ e \approx 2.7183</math>;
* Делим столбиком: <math>\gamma = \pi : e \approx  3.1416 : 2.7183 \approx 1.1557</math>;
* Округляем до 3-го знака после запятой: <math>\gamma\approx 1.156</math>.

=== График ===
На множестве пар вещественных чисел <math>\mathbb{R}^2</math>[[Область значений функции|область значений]] [[Функция (математика)|функции]] деления <math>c=a : b~</math>[[График функции|графически]] имеет вид гиперболического [[параболоид]]а — [[Поверхность второго порядка|поверхности второго порядка]]<ref>Уравнение <math>z=\frac{x}{y}</math> заменой переменных легко свести к уравнению гиперболического параболоида <math>\frac{z^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2x</math>.</ref>.
[[Файл:Деление.jpg|центр|мини|430x430пкс|График функции c=a : b]]
Так как <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math>, то и для этих множеств область значений функции деления будет принадлежать этой поверхности.

=== Деление комплексных чисел ===
[[Файл:Диаграмма14.svg|мини|238x238пкс|Комплексное число z на комплексной плоскости.]]
Множество [[Комплексное число|комплексных чисел]] с арифметическими операциями является [[Поле (алгебра)|полем]] и обычно обозначается символом <math>\mathbb{C}</math>.

==== Алгебраической форма ====
Частным двух комплексных чисел в [[Однородный многочлен|алгебраической форме]] записи, называется комплексное число, равное:
: <math>z=c+fi=\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+di}{b+ei} = \frac{ab+de}{b^2+e^2}+\frac{db-ae}{b^2+e^2}i, </math>
где: <math>z,z_1,z_2</math> — комплексные числа, <math>a, b, c, d, e, f \in \R</math>, <math>i</math> — [[мнимая единица]]; <math>z_2 \ne 0, ~~~ b + ei \ne 0</math>.

На практике частное комплексных чисел находят умножением делимого и делителя на число, [[Комплексное число#Сопряжённые числа|комплексно-сопряженное]] делителю:

<math>z=c+fi=\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+di}{b+ei}=\frac{(a+di)(b-ei)}{(b+ei)(b-ei)} = \frac{ab+de}{b^2+e^2}+\frac{db-ae}{b^2+e^2}i, </math><math>~~ z_2 \ne 0, ~~~ b + ei \ne 0;</math>

делитель становится действительным числом, а в числителе умножаются два комплексных числа, затем полученная дробь почленно делится. Результат определён для всех <math>b+ei\neq 0=0+0i</math>

==== Тригонометрическая форма ====
Для того, чтобы разделить два комплексных числа в [[Комплексное число#Тригонометрическая форма|тригонометрической форме]] записи, нужно разделить модуль делимого на [[Абсолютная величина|модуль]] делителя, а из аргумента делимого вычесть аргумент делителя:

<math>z=c+fi=\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+di}{b+ei}=\frac{r_1 (\cos\varphi_1 +i \sin\varphi_1)}{r_2 (\cos\varphi_2 +i \sin\varphi_2)} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1-\varphi_2) +i \sin(\varphi_1-\varphi_2),</math>
[[Файл:Диаграмма16.svg|мини|236x236пкс|Деление комплексных чисел на комплексной плоскости.]]
где: <math>r_n=|z_n|=|x+yi|=\sqrt{x^2+y^2}; ~~~ \varphi_n = \operatorname{Arg}(z_n)=\operatorname{arctg} \biggl( \frac{x}{y} \biggr)</math>— [[Комплексное число#Модуль|модуль]] и [[Комплексное число#Аргумент|аргумент]] комплексного числа; <math>z_2 \ne 0, ~~~ r_2 \ne 0</math>.

То есть модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент — разности аргументов делимого и делителя.

==== Показательная (экспоненциальная) форма ====
Деление комплексного числа <math>z_1 = a+di = r_1 e^ {i\varphi _1}</math> в [[Комплексное число#Показательная форма|показательной форме]], на комплексное число <math>z_2 = b+ei = r_2 e^ {i\varphi _2}</math> сводится к повороту [[Вектор (математика)|вектора]], соответствующего числу <math>z_1</math>, на [[Угол#Угловая мера|угол]] <math>\operatorname{Arg}(z_2)</math> и изменению его длины на <math>|z_2|</math> раз. Для частного комплексных чисел в показательной форме верно равенство:

<math>z=c+fi=\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+di}{b+ei}=\frac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\varphi_1-\varphi_2)};</math>

где: <math>e=2{,}718281828\dots</math> — [[E (число)|число e]]; <math>z_2 \ne 0, ~~~ r_2 \ne 0</math>.

=== Экспоненциальная запись ===
В [[Экспоненциальная запись|экспоненциальной записи]] числа записываются в виде <math>a= \pm x \cdot P^{ \pm n}</math>, где <math>x</math> — [[Экспоненциальная запись|мантисса]], <math>P^{n}</math> — [[Характеристика логарифма|характеристика числа]], <math>P</math> — основание системы счисления, <math>n \in \Z</math>. Для деления двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме необходимо разделить мантиссы и характеристики: <math> (a \cdot P^{n}) : (b \cdot P^{k}) = (a : b) \cdot (P^{n} : P^{k})= \frac{a}{b} \cdot P^{n-k}.</math>

Например:
: <math>(6{,}34 \cdot 10^{4}) :~ (2{,}16 \cdot 10^{-2}) = (6{,}34 :~ 2{,}16) \cdot (10^{4} : 10^{-2}) \approx 2{,}935 \cdot 10^{(4-(-2))} \approx 2{,}94 \cdot 10^{4+2} \approx 2{,}94 \cdot 10^{6}.</math>

== Деление физических величин ==
[[Единицы физических величин|Единица измерения]] [[Физическая величина|физической величины]] имеет определённое наименование ([[Размерность физической величины|размерность]]): для [[Длина|длины]] (L) — [[метр]] (м), для [[Время|времени]] (T) — [[секунда]] (с), для [[Масса|массы]] (M) — [[грамм]] (г) и так далее. Поэтому, результат измерения той или иной величины представляет собой не просто число, а число с наименованием<ref>{{Cite web|url=http://brestschool7.iatp.by/volinsky_1.htm|title=Интегрированный урок по физике и математике, Измерение физических величин и их единицы, СШ 7 г. Бреста|author=Волинская Н. И.|publisher=brestschool7.iatp.by|accessdate=2016-04-18|archive-date=2016-08-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20160807101705/http://brestschool7.iatp.by/volinsky_1.htm|deadlink=no}}</ref>. Наименование представляет собой самостоятельный объект, который равноправно участвует в операции деления. При производстве операции деления над физическими величинами, делятся как сами числовые составляющие, так и их наименования.

Помимо размерных физических величин существуют [[Безразмерная величина|безразмерные]] (количественные) величины, которые формально являются элементами [[Числовая ось|числовой оси]], то есть числами, не имеющие привязки к определённым физическим явлениям (измеряются «штуками», «разами» и тому подобное). При делении чисел представляющих собой физические величины на безразмерную величину, делимое число изменяется по величине и сохраняет единицу измерения. Например если взять 15 гвоздей и разложить в 3 коробки, то в результате деления получим 5 гвоздей в каждой коробке:
: <math> 15~ \text{гв} : 3 = 5~ \text{гв}. </math>
Деление разнородных физических величин надо рассматривать как нахождение новой физической величины, принципиально отличающейся от величин, которые мы делим. Если физически возможно создание такого частного, например, при нахождении работы, [[Скорость|скорости]] или других величин, то эта величина образует множество, отличное от начальных. В этом случае композиции этих величин присваивается новое обозначение (новый [[термин]]), например: [[плотность]], [[ускорение]], [[мощность]] и прочее<ref>{{Cite web|url=http://lithology.ru/node/943|title=О «размерности» физических величин|author=Макаров Владимир Петрович|publisher=lithology.ru, Литология.РФ|accessdate=2016-04-18|archive-date=2016-05-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20160506143359/http://lithology.ru/node/943|deadlink=no}}</ref>.

Например, если разделить длину <math> L = 8~ \text{м}~ </math>на время <math> T = 2~ \text{с},~ </math>соответствующие одному физическому процессу, то получится именованное число (физическая величина) соответствующее этому же физическому процессу, которая называется «скорость» и измеряется в «метрах в секунду»: <math> V = 4~ \text{м/с}. </math>
: <math> V = L : T = 8~ \text{м} : 2~ \text{с} = 4~~ \text{(м : с)} = 4~ \text{м/с}. </math>
При описании математическими средствами физических процессов немаловажную роль играет понятие однородности, которое означает например, что «1 кг муки» и «1 кг меди» принадлежат разным множествам {мука} и {медь} соответственно и не могут быть непосредственно разделены. Также понятие однородности предполагает, что делимые величины принадлежат одному физическому процессу. Недопустимо делить, например скорость лошади на время собаки.

== Деление в алгебре ==
В отличие от простейших арифметических случаев, на произвольных множествах и структурах деление может быть не только не определено, но и обладать множественностью результата.

Обычно в алгебре деление вводится через понятие единичного и обратного элементов. Если [[Нейтральный элемент|единичный элемент]] вводится однозначным образом (обычно аксиоматически или по определению), то [[обратный элемент]] часто может быть как левым (<math>x^{-1}*x=e</math>), так и правым (<math>x*x^{-1}=e</math>). Эти два обратных элемента могут по отдельности существовать или не существовать, равняться или не равняться друг другу.

К примеру, отношение [[Матрица (математика)|матриц]] определяется через обратную матрицу, при этом даже для [[Квадратная матрица|квадратных матриц]] может быть:
: <math>B^{-1}\cdot A \neq A\cdot B^{-1}</math>.

Отношение [[тензор]]ов в общем случае не определено.

== Деление [[многочлен]]ов ==
{{основная статья|деление многочленов}}
В общих чертах оно повторяет идеи деления натуральных чисел, ибо натуральное число есть не что иное, как значения многочлена, у которого коэффициенты — цифры, а вместо переменной стоит основание системы счисления:
: <math>5334_8 = 5\cdot 8^3 + 3\cdot 8^2 + 3\cdot 8^1 + 4\cdot 8^0 = \left.(5x^3+3x^2+3x+4)\right|_{x=8}</math>.
Поэтому аналогично определяются: частное, делитель, делимое и остаток (с той лишь разницей, что ограничение накладывается на степень остатка). Поэтому к делению многочленов также применимо [[Деление многочленов столбиком|деление столбиком]].

Отличие же заключается в том, что при делении многочленов основной упор делается на степени делимого и делителя, а не на коэффициенты. Поэтому обычно считается, что частное и делитель (а следовательно и остаток) определены с точностью до постоянного множителя.

== [[Деление на ноль]] ==
По определению числовых множеств <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> [[Деление на ноль|деление на число 0]] не определено. Частное от деления какого-либо отличного от нуля числа на ноль не существует, так как в этом случае никакое число не может удовлетворять определению частного<ref>''М. Я. Выгодский'' Справочник по элементарной математике.</ref>. Для определения данной ситуации полагают, что результат этой операции считается «бесконечно большим» или «равным [[Бесконечность|бесконечности]]» (положительной или отрицательной, в зависимости от знака операндов).

С [[Аффинная геометрия|геометрической]] точки зрения выполняется [[Расширенная числовая прямая|аффинное расширение числовой прямой]]. То есть привычная последовательность вещественных чисел «сжимается» так, чтобы можно было оперировать границами этой последовательности. В качестве границ (условных) введены две абстрактные [[Бесконечно малая и бесконечно большая|бесконечно большие величины]] <math>+ \infty, - \infty</math>.

С точки зрения [[Общая топология|общей топологии]] выполняется двухточечная [[компактификация]] числовой прямой путем добавления двух идеализированных точек (бесконечностей с противоположным знаком). Пишут:
: [[Файл:Колесо в математике.svg|мини|172x172пкс|Топологическая картинка проективного расширения числовой прямой и точки 0/0]]<math>a:0=\pm \infty</math>, где <math>a \neq 0.</math>
Если произвести [[Проективно расширенная числовая прямая|проективное расширение множества вещественных чисел]] введением идеализированной точки <math>\infty~</math>, которая соединяет оба конца вещественной прямой, тогда с точки зрения [[Общая топология|общей топологии]] будет выполнена [[Компактификация#Одноточечная компактификация|одноточечная компактификация]] числовой прямой путем добавления бесконечности без знака. Дополним полученное множество чисел новым элементом <math> \perp = 0/0 </math>, в результате получится <math>\mathbb{R}_{\perp}^\infty =\mathbb{R} \cup \{ \infty,\perp \}</math>, на данной основе строится алгебраическая структура <math>\mathfrak W =\langle \mathbb{R}_{\perp}^\infty, 0, 1, +, \cdot, / \rangle ~</math>называемая «[[Колесо (алгебра)|Колесом]]» (Wheel)<ref>{{Книга|автор=Jesper Carlstrom|заглавие=Wheels — On Division by Zero|ответственный=|издание=|место=Stockholm|издательство=Department of Mathematics Stockholm University|год=2001|страницы=|страниц=48|isbn=|isbn2=|ref=Wheels}}</ref>. Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0. Внесенные изменения превращают эту [[Алгебраическая система|алгебраическую систему]] в [[моноид]] как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента). Это тип алгебры, где деление всегда определено. В частности, деление на ноль имеет смысл.

Существуют и другие алгебраические системы с делением на ноль. Например, «общие луга» (common meadows)<ref>{{Книга|автор=Jan A. Bergstra and Alban Ponse|заглавие=Division by Zero in Common Meadows|ссылка=https://arxiv.org/pdf/1406.6878v2.pdf|место=The Netherlands|издательство=Section Theory of Computer Science
Informatics Institute, Faculty of Science
University of Amsterdam|год=2014|страницы=|страниц=16|isbn=|isbn2=|ref=Common Meadows|archivedate=2018-03-26|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180326203024/https://arxiv.org/pdf/1406.6878v2.pdf}}</ref>. Они чуть проще, так как не расширяют пространство, вводя новые элементы. Цель достигается как в колесах, трансформацией операций сложения и умножения, а также отказом от бинарного деления.

== См. также ==
{{wiktionary|деление}}
* [[Признаки делимости]]
* [[Наибольший общий делитель]]
* [[Наименьшее общее кратное]]
* [[Деление многочленов]]
* [[Деление столбиком]]
* [[Деление с остатком]]

== Примечания ==
{{примечания|33em}}

== Литература ==
* {{книга |автор = Ильин В.А. и др. |заглавие = Математический анализ. Начальный курс. |оригинал = |год = 1985 |страниц = 662 |том = 1 |ссылка = http://edu.alnam.ru/book_man_b.php?id=11 |язык = русский |тип = книга |издательство = МГУ |arxiv = |isbn = |ref = Ильин}}
* {{Книга |заглавие       = Системы счисления |ссылка         = http://vmt.vogu35.ru/index.php/component/phocadownload/category/13-informatsionnye-tekhnologii# |место          = Вологда |издательство   = ГОУ СПО «Вологодский машиностроительный техникум» |год           = 2006 |страницы       = 3 |страниц        = 16 |подзаголовок   = Учебное пособие по дисциплинам «Информатика » и «Информационные технологии в профессиональной деятельности» для студентов всех специальностей |ref            = Системы счисления}}
{{ВС}}
[[Категория:Деление| ]]
[[Категория:Арифметические действия]]