Просмотр кода страницы Дельта-метод (статистика)

{{значения|Дельта-метод}}
'''Дельта-метод''' (в [[Статистика|статистике]]) — [[Распределение вероятности|вероятностное распределение]] функции от асимптотически [[Нормальное распределение|нормальной]] статистической [[Точечная оценка|оценки]] при известной асимптотической [[Дисперсия случайной величины|дисперсии]] этой оценки.

== Одномерный дельта-метод ==
Хотя дельта-метод легко обобщается до многомерного случая, аккуратное обоснование этой техники проще продемонстрировать в одномерной постановке задачи. Грубо говоря, если существует [[последовательность]] [[Случайная величина|случайных величин]] {{Mvar|X<sub>n</sub>}} , удовлетворяющая:

<math>{\sqrt{n}[X_n-\theta]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2)}</math>

где ''θ'' и ''σ''<sup>2</sup> - конечные константы, а <math>\xrightarrow{D}</math> обозначает [[сходимость по распределению]], то верно:

<math>{\sqrt{n}[g(X_n)-g(\theta)]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2[g'(\theta)]^2)}</math> 

для любой функции ''g,'' такой, что  {{Math|''g′''(''θ'')}} существует, принимает ненулевые значения, и полиномиально ограничена случайной величиной<ref>Oehlert, G. W. (1992).</ref>.

=== Доказательство в одномерном случае ===
Демонстрация этого результата довольно очевидна в предположении, что {{Math|''g′''(''θ'')}} [[Непрерывная функция|непрерывна]]. 

По [[Формула конечных приращений|формуле Лагранжа]]: <math>g(X_n)=g(\theta)+g'(\tilde{\theta})(X_n-\theta),</math>

где <math>\tilde{\theta}</math> лежит между {{Mvar|X<sub>n</sub>}} и ''θ''. 

Поскольку  <math>X_n\,\xrightarrow{P}\,\theta</math> и<math>X_n <  \tilde{\theta} < \theta  </math>, то <math>\tilde{\theta} \,\xrightarrow{P}\,\theta</math> , и поскольку {{Math|''g′''(''θ'')}} непрерывна, применение теоремы о непрерывном отображении даёт:

<math>g'(\tilde{\theta})\,\xrightarrow{P}\,g'(\theta),</math>

где <math>\xrightarrow{P}</math> обозначает [[сходимость по вероятности]].

Перестановка слагаемых и умножение на  <math>\sqrt{n}</math> даёт <math>\sqrt{n}[g(X_n)-g(\theta)]=g' \left (\tilde{\theta} \right )\sqrt{n}[X_n-\theta].</math>

Так как <math>{\sqrt{n}[X_n-\theta] \xrightarrow{D} \mathcal{N}(0,\sigma^2)}</math> по предположению, то применение [[Теорема Слуцкого|теоремы Слуцкого]] даёт <math>{\sqrt{n}[g(X_n)-g(\theta)] \xrightarrow{D} \mathcal{N}(0,\sigma^2[g'(\theta)]^2)}.</math>

Это завершает доказательство.

==== Доказательство с явным порядком приближения ====
Как вариант, можно добавить ещё один шаг в конце, чтобы выразить степень приближения.
:<math>
\begin{align}
\sqrt{n}[g(X_n)-g(\theta)]&=g' \left (\tilde{\theta} \right )\sqrt{n}[X_n-\theta]=\sqrt{n}[X_n-\theta]\left[ g'(\tilde{\theta} )+g'(\theta)-g'(\theta)\right]\\
&=\sqrt{n}[X_n-\theta]\left[g'(\theta)\right]+\sqrt{n}[X_n-\theta]\left[ g'(\tilde{\theta} )-g'(\theta)\right]\\
&=\sqrt{n}[X_n-\theta]\left[g'(\theta)\right]+O_p(1)\cdot o_p(1)\\
&=\sqrt{n}[X_n-\theta]\left[g'(\theta)\right]+o_p(1)
\end{align}
</math>
Это говорит о том, что ошибка аппроксимации сходится к 0 по вероятности.

== Многомерный дельта-метод ==
По определению, [[состоятельная оценка]] ''B'' [[сходимость по мере|сходится по вероятности]] к своему истинному значению ''β'', и зачастую можно применить [[центральная предельная теорема|центральную предельную теорему]], чтобы получить [[Асимптотически нормальная оценка|асимптотически нормальную оценку]]:

:<math>\sqrt{n}\left(B-\beta\right)\,\xrightarrow{D}\,N\left(0, \Sigma \right),</math>

где ''n'' -- число наблюдений и Σ -- ([[Симметричная матрица|симметричная]], [[Положительно определённая матрица|положительно определённая]]) [[ковариационная матрица]]. Предположим, мы хотим оценить дисперсию скалярной функции ''h'' от оценки ''B''. Возьмём первых два члена [[Ряд Тейлора|ряда Тейлора]] и используя векторную нотацию [[Градиент|градиента]], мы можем оценить ''h(B)'' как

:<math>h(B) \approx h(\beta) + \nabla h(\beta)^T \cdot (B-\beta)</math>

что означает, что дисперсия ''h(B)'' примерно

:<math>\begin{align}
\operatorname{Var}\left(h(B)\right) & \approx \operatorname{Var}\left(h(\beta) + \nabla h(\beta)^T \cdot (B-\beta)\right) \\
 & = \operatorname{Var}\left(h(\beta) + \nabla h(\beta)^T \cdot B - \nabla h(\beta)^T \cdot \beta\right) \\
 & = \operatorname{Var}\left(\nabla h(\beta)^T \cdot B\right) \\
 & = \nabla h(\beta)^T \cdot \operatorname{Cov}(B) \cdot \nabla h(\beta) \\
 & = \nabla h(\beta)^T \cdot \frac{\Sigma}{n} \cdot \nabla h(\beta)
\end{align}</math>

Можно использовать [[Формула конечных приращений|формулу конечных приращений]] (для действительнозначных функций нескольких переменных), чтобы увидеть, что это не влияет на приближения в первом порядке{{?}}.

Дельта метод утверждает, что

:<math>\sqrt{n}\left(h(B)-h(\beta)\right)\,\xrightarrow{D}\,N\left(0, \nabla h(\beta)^T \cdot \Sigma \cdot \nabla h(\beta)\right)</math>

или в одномерном случае:

:<math>\sqrt{n}\left(h(B)-h(\beta)\right)\,\xrightarrow{D}\,N\left(0, \sigma^2 \cdot \left(h^\prime(\beta)\right)^2 \right).</math>

== Пример ==
{{пустой раздел|дата=2023-03-09}}

== Замечание ==
{{пустой раздел|дата=2023-03-09}}

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Эконометрика]]
[[Категория:Статистика]]
[[Категория:Вероятность]]
[[Категория:Статистические модели]]