Просмотр кода страницы Диаграмма Дынкина

'''Диаграмма Дынкина''' (''схема Дынкина'') — вид [[Граф (математика)|графов]], в которых некоторые рёбра удвоены или утроены (рисуется как двойная или тройная линия). Кратные рёбра, с некоторыми ограничениями, являются [[Ориентированный граф|ориентированными]]. Названы по имени советского математика [[Дынкин, Евгений Борисович|Евгения Дынкина]], впервые применившего их в 1946 году.

Основное примененение диаграмм — классификация [[Полупростая группа Ли|полупростых алгебр Ли]] над алгебраически замкнутыми [[Поле (алгебра)|полями]]: они приводят к [[Группа Вейля|группам Вейля]], то есть ко многим (хотя не ко всем) {{не переведено 5|Конечная группа отражений|конечным группам отражений||finite reflection group}}. Диаграммы Дынкина возникают также и в других контекстах.

Термин «диаграмма Дынкина» может быть двусмысленным. В некоторых случаях диаграммы Дынкина предполагаются ориентированными, и в этом случае они соответствуют [[Система корней|системам корней]] и полупростым алгебрам Ли, в то время как в других случаях они предполагаются неориентированными, и тогда они соответствуют группам Вейля. Ориентированные диаграммы для <math>B_n</math> и <math>C_n</math> дают ту же самую неориентированную диаграмму, которую обозначают <math>BC_n.</math> В этой статье по умолчанию «диаграмма Дынкина» означает ''ориентированная'' диаграмма Дынкина, а для ''неориентированных'' диаграмм Дынкина это указывается явно.

<gallery widths=320px>
Файл:Finite Dynkin diagrams.svg|Конечные диаграммы Дынкина
Файл:Affine Dynkin diagrams.png|Аффинные (расширенные) диаграммы Дынкина
</gallery>

== Классификация полупростых алгебр Ли ==
{{details|Полупростая алгебра Ли#Классификация}}
Фундаментальный интерес к диаграммам Дынкина возникает вследствие того, что они позволяют классифицировать [[Полупростая группа Ли|полупростые алгебры Ли]] над алгебраически замкнутыми полями. Некоторые классифицируют такие алгебры Ли через их [[Система корней|системы корней]], которые можно представить диаграммами Дынкина. Другие классифицируют диаграммы Дынкина согласно ограничениям, которым они должны удовлетворять, о чём рассказано ниже.

Избавление от направленности рёбер графа соответствует замене системы корней {{не переведено 5|Конечная группа отражений|конечной группой отражений||finite reflection group}}, которую они создают, так называемой [[Группа Вейля|группой Вейля]], и тем самым неориентированные диаграммы Дынкина классифицируют группы Вейля.

== Связанные классификации ==
Диаграммы Дынкина могут использоваться для классификации многих различных объектов, и запись «A<sub>''n''</sub>, B<sub>''n''</sub>, …» используется для ссылок на ''все'' такие интерпретации в зависимости от контекста. Такая двусмысленность может сбивать с толку.

Центральная классификация относится к простым алгебрам Ли, которые имеют систему корней, и с которыми ассоциированы (ориентированные) диаграммы Дынкина. Все три (из перечисленных ниже), например, могут быть обозначены как B<sub>''n''</sub>.

''Не''ориентированная диаграмма Дынкина является видом диаграммом Коксетера и соответствует группе Вейля, которая является {{не переведено 5|Конечная группа отражений|конечной группой отражений||finite reflection group}}, ассоциированной с системой корней. Таким образом, B<sub>''n''</sub> может относиться к неориентированной диаграмме (специальный вид диаграммы Коксетера), группе Вейля (конкретная группа отражений), или абстрактной группе Вейля.

Заметим, что, в то время как группа Вейля, абстрактно, изоморфна группе Коксетера, конкретный изоморфизм зависит от порядка простых корней. Обратите внимание на то, что нотация диаграмм Дынкина стандартизована, в то время как диаграммы Коксетера и нотация группы варьируется и иногда согласуется с диаграммой Дынкина, а иногда нет.

Наконец, ''иногда'' ассоциированные объекты обозначаются той же нотацией, хотя это не всегда можно сделать на регулярной основе. Примеры:
* {{не переведено 5|Корневая решётка|||root lattice}}, образованная системой корней, как в [[Решётка E8|решётке E<sub>8</sub>]]. Она определяется естественно, но не один-к-одному — например, A<sub>2</sub> и G<sub>2</sub> образуют одну и ту же [[Шестиугольная решётка|шестиугольную решётку]].
* Ассоциированный политоп — например, {{не переведено 5|Политоп 4 21|Госсет 4<sub>21</sub>||Gosset 4 21 polytope}}может быть обозначен как «политоп E<sub>8</sub>», так как его вершины получаются из корневой системы E<sub>8</sub> и он имеет группу Коксетера E<sub>8</sub> в качестве группы симметрии.
* Ассоциированная квадратичная форма или многообразие — например, [[E8-многообразие|E<sub>8</sub>]] имеет [[Форма пересечений|форму пересечений]], задаваемую [[Решётка E8|решёткой E<sub>8</sub>]].
Эти последние обозначения чаще всего используются для объектов, ассоциированных с исключительными диаграммами, — для объектов, ассоциированных с обычными диаграммами (A, B, C, D), используются традиционные имена.

Индекс (''n'') равен числу узлов на диаграмме, числу простых корней в базисе, размерности корневой решётки и линейная оболочки системы корней, числу генераторов группы Коксетера и рангу алгебры Ли. Однако ''n'' не обязательно равен размерности определяющего модуля ([[Фундаментальное представление|фундаментального представления]]) алгебры Ли — индекс диаграммы Дынкина не следует путать с индексом алгебры Ли. Например, <math>B_4</math> соответствует <math>\mathfrak{so}_{2\cdot 4 + 1} = \mathfrak{so}_9,</math>, которая действует в 9-мерном пространстве, но имеет ранг 4 как алгебра Ли.

Диаграммы Дынкина [[#Однониточные диаграммы|в одну нитку]], то есть не имеющие многократных рёбер (A, D, E) классифицируют много других математических объектов. Смотрите обсуждение в [[ADE-классификация|Классификация ADE]].

=== Пример: A2 ===
[[Файл:Root system A2.svg|thumb|<math>A_2</math>, {{Dynkin|node|3|node}} система корней.]]
Например, обозначение <math>A_2</math> может относиться к:
* '''Диаграмме Дынкина''' с двумя соединёнными узлами, {{Dynkin|node|3|node}}, которую можно рассматривать также как '''[[Диаграммы Коксетера — Дынкина|диаграмму Коксетера]]'''.
* '''[[Система корней|Системе корней]]''' с двумя простыми корнями под углом <math>2\pi/3</math> (120 градусов).
* '''Алгебре Ли''' <math>\mathfrak{sl}_{2+1} = \mathfrak{sl}_3</math> {{не переведено 5|Ранг (алгебра Ли)|ранга||rank (Lie algebra)}} 2.
* '''[[Группа Вейля|Группе Вейля]]''' симметрий корней (отражения относительно гиперплоскостей, ортогональных корням), которая изоморфна [[Симметрическая группа|симметрической группе]] <math>S_3</math> (порядка 6).
* Абстрактной '''[[Группа Коксетера|группе Коксетера]]''', представленной генераторами и связями, <math>\left\langle r_1,r_2 \mid (r_1)^2=(r_2)^2=(r_ir_j)^3=1\right\rangle.</math>

== Ограничения ==
{{Дополнить раздел|дата=2015-10-14}}

Диаграммы Дынкина должна удовлетворять некоторым ограничениям, тем, которым удовлетворяют конечные [[диаграммы Коксетера — Дынкина]], и, кроме того, дополнительным кристаллографическим ограничениям.

== Связь с диаграммами Коксетера ==
Диаграммы Дынкина тесно связаны с диаграммами Коксетера конечных групп Коксетера, и терминология часто объединяется<ref group="note">В этой секции мы говорим о «диаграммах Коксетера», а не о «диаграммах Коксетера — Дынкина» для краткости и для различения понятий, поскольку существует потенциальная возможность путаницы.</ref>.

Диаграммы Дынкина отличаются от диаграмм Коксетера конечных групп в двух важных отношениях:
;Частичная ориентированность: Диаграммы Дынкина ''частично [[Ориентированный граф|ориентированны]]'' — любое кратное ребро (в терминах Коксетера, имеющие метки «4» и выше) имеет направление (стрелку, направленную от одного узла к другому). Таким образом, диаграмма Дынкина несёт ''больше'' информации, чем соответствующая диаграмма Коксетера (неориентированный граф).
: На уровне корневых систем направление соответствует указанию на более короткий вектор. Рёбра, помеченные «3», не имеют направления, поскольку соответствующие вектора должны иметь равную длину. (Указание: Некоторые авторы используют обратное соглашение, направляя стрелку на более длинный вектор.)
;Кристаллографическое ограничение: Диаграммы Дынкина должна удовлетворять дополнительному ограничению, а именно — допускаются рёбра только с метками 2, 3, 4 и 6. Это ограничение не распространяется на диаграммы Коксетера, так что не всякая диаграмма Коксетера конечной группы происходит от диаграммы Дынкина.
: На уровне корневых систем это соответствует {{не переведено 5|Теорема о кристаллографических ограничениях|теореме о кристаллографических ограничениях||crystallographic restriction theorem}}.
Ещё одно различие, чисто стилистическое, заключается в том, что диаграммы Дынкина принято рисовать с удвоенными и утроенными рёбрами между узлами (для ''p'' = 4, 6), а не помеченными цифрой «''p''».

Термин «диаграмма Дынкина» иногда относят к ''ориентированным'' графам, а иногда к ''неориентированным''. Для точности, в этой статье «диаграмма Дынкина» будет означать ''ориентированная,'' а соответствующий неориентированный граф будем называть «неориентированной диаграммой Дынкина». Таким образом, диаграммы Дынкина и диаграммы Коксетера могут быть связаны следующим образом:
{| class="wikitable" border="1"
! !! кристаллографические !! точечные группы
|-
! ориентированные
| Диаграммы Дынкина
|-
! неориентированные
| Неориентированные Диаграммы Дынкина
| Диаграммы Коксетера — Дынкина конечных групп
|}
Это означает, что диаграммы Коксетера конечных групп соответствуют [[Точечная группа симметрии|точечным группам]], генерируемым отражениями, в то время как диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительным ограничениям, соответствующим {{не переведено 5|Теорема о кристаллографических ограничениях|теореме о кристаллографических ограничениях||crystallographic restriction theorem}}. Также это означает, что диаграммы Коксетера неориентированны, в то время как диаграммы Дынкина (частично) ориентированны.

Математические объекты, систематизируемые диаграммами:
{| class="wikitable" border="1"
! !! кристаллографические!! точечные группы
|-
! ориентированные
| [[Система корней|Системы корней]]
|-
! неориентированные
|[[Группа Вейля|Группы Вейля]]
| [[Группа Коксетера|Конечные группы Коксетера]]
|}
Пустое место в правом верхнем углу, соответствующее ориентированным графам с лежащими под ними неориентированными графами любой диаграммы Коксетера (конечной группы), можно определить формально, но эти определения не допускают простой интерпретации в терминах математических объектов.

Существуют естественные сужающие отображения — из диаграмм Дынкина в неориентированные диаграммы Дынкина, и, соответственно, из корневых систем в ассоциированные группы Вейля, а также прямые отображения из неориентированных диаграмм Дынкина в диаграммы Коксетера, и, соответственно, из групп Вейля в конечные группы Коксетера.

Сужающие отображения отображают '''в''' (по определению), но не один-к-одному. Например, диаграммы ''B''<sub>''n''</sub> и ''C''<sub>''n''</sub> отображаются в одну и ту же неориентированную диаграмму, так что иногда результирующая диаграмма Коксетера и группа Вейля обозначается ''BC''<sub>''n''</sub>.

Прямые отображения просто являются включением — неориентированные диаграммы Дынкина являются частным случаем диаграмм Коксетера, а группы Вейля — специальными случаями конечных групп Коксетера, и это отображение не '''на''', поскольку не всякая диаграмма Коксетера является неориентированной диаграммой Дынкина (отсутствующие диаграммы — ''H''<sub>3</sub>, ''H''<sub>4</sub> и ''I''<sub>2</sub>(''p'') для ''p'' = 5 ''p'' ≥ 7), и, соответственно, не всякая конечная группа Коксетера является группой Вейля.

== Изоморфизмы ==
[[Файл:Dynkin Diagram Isomorphisms.svg|thumb|upright|{{не переведено 5|Исключительный изоморфизм|Исключительные изоморфизмы||exceptional isomorphism}} связных диаграмм Дынкина.]]
Диаграммы Дынкина обычно нумеруются так, чтобы список не был избыточным — <math>n \geq 1</math> для <math>A_n,</math> <math>n \geq 2</math> для <math>B_n,</math> <math>n \geq 3</math> для <math>C_n,</math> <math>n \geq 4</math> для <math>D_n</math> и <math>E_n</math> начиная с <math>n=6.</math> Элементы семейств, однако, можно определить и для младших ''n,'' получая {{не переведено 5|Исключительный изоморфизм|исключительные изоморфизмы||exceptional isomorphism}} диаграмм и соответствующие исключительные изоморфизмы алгебр Ли и ассоциированных групп Ли.

Проще всего начать со случаев n = 0 или n = 1, в которых все серии изометричны и имеется единственные пустая диаграмма и диаграмма с одним узлом. Другие изоморфизмы связных диаграмм Дынкина:
* <math>A_1 \cong B_1 \cong C_1</math>
* <math>B_2 \cong C_2</math>
* <math>D_2 \cong A_1 \times A_1</math>
* <math>D_3 \cong A_3</math>
* <math>E_3 \cong A_1 \times A_2</math>
* <math>E_4 \cong A_4</math>
* <math>E_5 \cong D_5</math>

Эти изоморфизмы соответствуют изоморфизмам простых и полупростых алгебр Ли.

== Автоморфизмы ==
[[Файл:Dynkin diagram D4.png|thumb|Наиболее симметричной диаграммой Дынкина является D<sub>4</sub>, которая приводит к {{не переведено 5|Тройственность|тройственности||triality}}.]]

В дополнение к изоморфизмам между различными диаграммами, некоторые диаграммы также имеют изоморфизмы на себя, то есть «[[автоморфизм]]ы». Автоморфизмы диаграмм соответствуют {{не переведено 5|Внешний автоморфизм|внешним автоморфизмам||outer automorphism}} алгебры Ли, что означает, что группа внешних автоморфизмов Out = Aut/Inn равна группе автоморфизмов диаграммы {{sfn|Fulton, Harris|1991|с=Proposition D.40}}{{sfn|Jacobson |1971|с=section 7}}{{sfn|Humphreys|1972|с=Section 16.5}}.

Диаграммы, имеющие нетривиальные автоморфизмы — A<sub>''n''</sub> (<math>n > 1</math>), D<sub>''n''</sub> (<math>n > 1</math>) и E<sub>6</sub>. Во всех этих случаях, за исключением D<sub>4</sub>, имеется один нетривиальный автоморфизм (Out = ''C''<sub>2</sub>, циклическая группа порядка 2), в то время как для D<sub>4</sub> группа автоморфизмов является [[Симметрическая группа|симметрической группой]] трёх букв (''S''<sub>3</sub>, порядок 6) — этот феномен известен как «{{не переведено 5|Тройственность|тройственность||triality}}». Оказывается, все эти автоморфизмы диаграмм можно представить как симметрии традиционного рисунка диаграмм в евклидовой плоскости, но это лишь именно результат того, как они рисуются, а не присущая диаграммам структура.

[[Файл:Dynkin diagram An.svg|160px|thumb|A<sub>n</sub>.]]
Для A<sub>''n''</sub> автоморфизм диаграмм — переворачивание диаграммы. Узлы диаграммы индексируются {{не переведено 5|Фундаментальный вес|фундаментальными весами||fundamental weight}}, которые (для A<sub>''n''−1</sub>) равны <math>\bigwedge^i C^n</math> для <math>i=1,\dots,n</math>, и автоморфизм диаграммы соответствует двойственности <math>\bigwedge^i C^n \mapsto \bigwedge^{n-i} C^n.</math>
Рассматриваемый как алгебра Ли <math>\mathfrak{sl}_{n+1},</math> внешний автоморфизм можно выразить как отрицательная транспозиция, <math>T \mapsto -T^{\mathrm T}</math>{{sfn|Jacobson |1971|с=section 7}}.

[[Файл:Dynkin diagram Dn.svg|160px|thumb|D<sub>n</sub>.]]
Для D<sub>''n''</sub> автоморфизм диаграммы переключает два узла на конце Y, и соответствует переключению двух [[Хиральность (математика)|хиральных]] {{не переведено 5|Спинорное представление|спинорных представлений||spin representation}}. Рассматриваемый как алгебра Ли <math>\mathfrak{so}_{2n},</math> внешний автоморфизм можно выразить как сопряжение с помощью матрицы из O(2''n'') с определителем −1<ref group="note">сопряжение матрицы g с помощью матрицы a — это матрица, [[Подобные матрицы|подобная матрица]] a<sup>−1</sup>ga</ref>. Заметим, что <math>\mathrm{A}_3 \cong \mathrm{D}_3,</math> так что их автоморфизмы одинаковы, в то время как <math>\mathrm{D}_2 \cong \mathrm{A}_1 \times \mathrm{A}_1</math> и эта диаграмма несвязна, так что автоморфизм соответствует переключению узлов.

Для D<sub>4</sub> [[фундаментальное представление]] изоморфно двум {{не переведено 5|Спинорное представление|спинорным||spin representation}} и получающаяся [[симметрическая группа]] трёх букв (''S''<sub>3</sub>, или, альтернативно, [[диэдрическая группа]] шестого порядка, Dih<sub>3</sub>) соответствует как автоморфизмам алгебры Ли, так и автоморфизмам диаграммы.

[[Файл:Dynkin diagram E6 2.png|160px|thumb|E<sub>6</sub>.]]
Автоморфизм E<sub>6</sub> соответствует переворачиванию диаграммы и может быть выражен с помощью [[Йорданова алгебра|йордановых алгебр]] {{sfn|Jacobson |1971|с=section 7}}.

Несвязные диаграммы, которые соответствуют ''полу''простым алгебрам Ли, могут иметь автоморфизмы, полученные путём перестановки компонент диаграммы.

[[Файл:Dynkin diagram F4.svg|160px|thumb|При характеристике 2 стрелку в F<sub>4</sub> можно игнорировать, что создаёт дополнительный автоморфизм диаграмм и соответствующих {{не переведено 5|Группа Сузуки — Ри|групп Сузуки — Ри||Suzuki–Ree group}}.]]
При [[Характеристика кольца|положительной характеристике]] имеются дополнительные автоморфизмы диаграмм — грубо говоря, при характеристике ''p'' можно игнорировать стрелки на связях кратности ''p'' в диаграмме Дынкина, когда рассматриваем автоморфизм диаграмм. Таким образом, при характеристике 2 имеется автоморфизм порядка 2 для <math>\mathrm{B}_2 \cong \mathrm{C}_2</math> и для F<sub>4</sub>, в то время как при характеристике 3 имеется автоморфизм порядка 2 для G<sub>2</sub>.

=== Построение групп Ли с помощью автоморфизмов диаграмм ===
Автоморфизмы диаграмм создают дополнительные группы Ли и [[Группа лиева типа|группы типа Ли]], что является причиной их центральной важности в классификации конечных простых групп.

Построение [[Группа лиева типа#Группs Шевалле|группы Шевалле]] групп Ли в терминах их диаграмм Дынкина не даёт классических групп, а именно, унитарных групп и {{не переведено 5|Расщепимая ортогональная группа|нерасщепимых ортогональных групп||split orthogonal group}}. [[Группа лиева типа#Группы Штейнберга|Группы Штейнберга]] строят унитарные группы <sup>2</sup>A<sub>''n''</sub>, в то время как другие ортогональные группы строят <sup>2</sup>D<sub>''n''</sub> и в обоих случаях это относится к комбинации автоморфизма диаграммы с автоморфизмом поля. Это также даёт дополнительные экзотические группы Ли <sup>2</sup>E<sub>6</sub> и <sup>3</sup>D<sub>4</sub>, последняя определена только над полями с автоморфизмом порядка 3.

При положительной характеристике дополнительные характеристики дают [[Группа Ри|Группа Сузуки — Ри]], <sup>2</sup>B<sub>2</sub>, <sup>2</sup>F<sub>4</sub> и <sup>2</sup>G<sub>2</sub>.

=== Свёртки ===
[[Файл:Geometric folding Dynkin graphs2.png|188px|thumb|Свёртки конечных групп Коксетера.]]
[[Файл:Geometric folding Dynkin graphs affine2.png|343px|thumb|Свёртки аффинных групп Коксетера с тремя соглашениями об именовании: первое — исходное расширенное множество, второе используется в контексте {{не переведено 5|Колчан (математика)|колчанов||Quiver (mathematics)}}, последнее использовал [[Кац, Виктор Гершевич|Виктор Гершевич Кац]] для {{не переведено 5|Аффинная алгебра Ли|аффинных алгебр Ли с кручением||Affine Lie algebra}}.]]
(Однониточная) диаграмма Дынкина (конечная или [[#Аффинная диаграмма Дынкина|аффинная]]), имеющая симметрию (удовлетворяющую одному условию ниже), может быть свёрнута по симметрии, что даёт новую, в общем случае многониточную (с кратными рёбрами), диаграмму с использованием процесса, называемого '''свёрткой'''. На уровне алгебр Ли это соответствует взятию инвариантной подалгебры при внешней группе автоморфизма, и процесс может быть определён чисто на корневой системе без использования диаграмм<ref>''Algebraic geometry and number theory: in honor of Vladimir Drinfeld’s 50th Birthday,'' edited by Victor Ginzburg, [https://books.google.com/books?id=gGUTVxVieRIC&pg=PA47 p. 47, section 3.6: Cluster folding] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=gGUTVxVieRIC&pg=PA47 |date=20210416222718 }}</ref>. Далее любая многониточная диаграмма (конечная или бесконечная) может быть получена свёрткой однониточной диаграммы<ref name="stembridge">[http://www.math.lsa.umich.edu/~jrs/papers/folding.ps.gz Folding by Automorphisms] {{Wayback|url=http://www.math.lsa.umich.edu/~jrs/papers/folding.ps.gz |date=20160304091644 }}, John Stembridge, 4pp., 79K, 20 August 2008, [http://www.math.lsa.umich.edu/~jrs/other.html Other Articles by John Stembridge] {{Wayback|url=http://www.math.lsa.umich.edu/~jrs/other.html |date=20160111071922 }}</ref>.

Существует условие для автоморфизма свёртки, чтобы автоморфизм был возможен — различные узлы графа на той же орбите (при автоморфизме) не должны быть соединены ребром. На уровне системы корней корни на той же орбите должны быть ортогональны<ref name="stembridge" />. На уровне диаграмм это необходимо, так как в противном случае результирующая диаграмма будет иметь петлю, поскольку при этом объединяются два узла, имеющих ребро между ними, а петли в диаграммах Дынкина не разрешены.

Узлы и рёбра полученных («свёрнутых») диаграмм являются орбитами узлов и рёбер исходных диаграмм. Рёбра единичны (не кратны), если смежные рёбра не отображаются в то же ребро (особенно для узлов валентности большей, чем 2 — «точек ветвления»), в противном случае вес является числом смежных рёбер, а стрелка направлена к узлу, которому они инцидентны — «точка ветвления отображается в неоднородную точку». Например, в D<sub>4</sub> при свёртке в G<sub>2</sub> рёбра в G<sub>2</sub> направлены от внешних узлов класса 3 (валентность 1) в центральные узлы (валентность 3).

Свёртки конечных диаграмм<ref>См. {{Harv|Stekolshchik|2008|loc=[https://books.google.com/books?id=gtwR-rd4--UC&pg=PA102 p. 102], remark 5.4}} для иллюстрации таких свёрток и ссылок.</ref><ref group="note">Заметьте, что Стекольщик использует стрелки, в отличие от соглашений, принятых в данной статье.</ref>:
* <math>A_{2n-1} \to  C_n</math>
: (Автоморфизм A<sub>2''n''</sub> не создаёт свёртку, поскольку средние два узла соединены ребром, но не находятся на одной орбите.)
* <math>D_{n+1} \to B_n</math>
* <math>D_4 \to G_2</math> (если осуществлять свёртку по полной группе или 3-циклу, кроме того, <math>D_4 \to B_3</math> тремя различными путями, если осуществлять свёртку по инволюции (элементу с порядком 2))
* <math>E_6 \to F_4</math>

Аналогичные свёртки существуют для аффинных диаграмм:
* <math>\tilde A_{2n-1} \to \tilde C_n</math>
* <math>\tilde D_{n+1} \to \tilde B_n</math>
* <math>\tilde D_4 \to \tilde G_2</math>
* <math>\tilde E_6 \to \tilde F_4</math>

Запись свёрток можно использовать также для [[Диаграммы Коксетера — Дынкина|диаграмм Коксетера — Дынкина]]<ref>{{статья
|издание=CiteSeer
|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.54.3122
|заглавие= Generalized Dynkin diagrams and root systems and their folding
|автор= Jean-Bernard Zuber
|страницы= 28–30
}}</ref>. Можно обобщить допустимые свёртки диаграммы Дынкина до H<sub>n</sub> и I<sub>2</sub>(''p''). Геометрически это соответствует проекциям {{не переведено 5|Однородный политоп|однородных политопов||uniform polytope}}. Можно заметить, что любая однониточная диаграмма Дынкина может быть свёрнута в I<sub>2</sub>(''h''), где ''h'' является [[Число Коксетера|числом Коксетера]], геометрически соответствующего проекции на {{не переведено 5|плоскость Коксетера|||Coxeter plane}}.

Свёртку можно использовать, чтобы свести вопросы о (полупростых) алгебрах Ли к вопросам об однониточных алгебрах вместе с автоморфизмом, который может быть проще, чем рассмотрение напрямую алгебр Ли с кратными рёбрами. Это может быть сделано путём построения полупростых алгебр Ли, например. Смотрите [http://mathoverflow.net/questions/3888/folding-by-automorphisms Math Overflow: Folding by Automorphisms] {{Wayback|url=http://mathoverflow.net/questions/3888/folding-by-automorphisms |date=20150911051014 }} для дальнейшего обсуждения.

== Другие отображения диаграмм ==
{| class=wikitable align=right
|- align=center
|[[Файл:Root system A2.svg|160px]]<BR>Система корней <BR>A<sub>2</sub>
|[[Файл:Root system G2.svg|160px]]<BR>Система корней <BR>G<sub>2</sub>
|}

Некоторые дополнительные отображения диаграмм имеют содержательную интерпретацию, как объяснено ниже. Однако не все отображения систем корней появляются как отображения диаграмм<ref name="armstrong">[http://unapologetic.wordpress.com/2010/03/05/transformations-of-dynkin-diagrams/ Transformations of Dynkin Diagrams] {{Wayback|url=http://unapologetic.wordpress.com/2010/03/05/transformations-of-dynkin-diagrams/ |date=20160310183910 }}, John Armstrong, March 5, 2010</ref>.

Например, имеется два вхождения систем корней A<sub>2</sub> в G<sub>2</sub>, либо как шесть длинных корней, или как шесть коротких корней. Однако узлы в диаграмме G<sub>2</sub> соответствуют одному длинному и одному короткому корню, в то время как узлы в диаграмме A<sub>2</sub> соответствуют корням равной длины, и, таким образом, это отображение систем корней не может быть выражено как отображение диаграмм.

Некоторые включения систем корней можно выразить как отношение графов, когда одна диаграмма является [[Глоссарий теории графов|порождённым подграфом]] другой, что означает вхождение «подмножества узлов вместе со всеми рёбра между ними». Это происходит потому, что удаление узла из диаграммы Дынкина соответствует удалению простого корня из системы корней, что даёт систему корней с рангом на единицу меньше. В отличие от этого, удаление ребра (или изменение кратности ребра) при сохранении узлов соответствует изменению углов между корнями, что не может быть сделано без изменения всей системы корней. Таким образом можно содержательно удалить узлы, но не рёбра. Удаление узла из связной диаграммы может дать связную диаграмму (простую алгебру Ли) если узел является листом, или несвязную диаграмму (полупростую, но не простую группу Ли) с двумя или тремя компонентами (последнее для D<sub>''n''</sub> и E<sub>''n''</sub>). На уровне алгебр Ли эти включения соответствуют подалгебрам Ли.

Максимальные подграфы (здесь «сопряжение» означает «посредством [[#Автоморфизмы|автоморфизма диаграммы]]»):
* A<sub>''n''+1</sub>: A<sub>''n''</sub>, двумя сопряжёнными путями.
* B<sub>''n''+1</sub>: A<sub>''n''</sub>, B<sub>''n''</sub>.
* C<sub>''n''+1</sub>: A<sub>''n''</sub>, C<sub>''n''</sub>.
* D<sub>''n''+1</sub>: A<sub>''n''</sub> (двумя сопряжёнными), D<sub>''n''</sub>.
* E<sub>''n''+1</sub>: A<sub>''n''</sub>, D<sub>''n''</sub>, E<sub>''n''</sub>.
** Для E<sub>6</sub>, две из которых совпадают: <math>\mathrm{D}_5 \cong \mathrm{E}_5</math> и сопряжены.
* F<sub>4</sub>: B<sub>3</sub>, C<sub>3</sub>.
* G<sub>2</sub>: A<sub>1</sub>, двумя несопряжёнными путями (как длинные корни или короткие корни).

Наконец, двойственность диаграмм соответствует изменению направления стрелок, если таковые есть:<ref name="armstrong" /> B<sub>n</sub> и C<sub>n</sub> двойственны, в то время как F<sub>4</sub> и G<sub>2</sub> самодвойственны, поскольку являются однониточными ADE диаграммами.

== Однониточные диаграммы ==
{{Main|ADE классификация}}
[[Файл:Simply Laced Dynkin Diagrams.svg|thumb|upright|Однониточные диаграммы Дынкина классифицируют многообразные математические объекты, и она называется [[ADE-классификация|ADE-классификацией]].]]

Диаграммы Дынкина без кратных рёбер называются '''однониточными'''. К ним относятся диаграммы <math>A_n, D_n, E_n</math> и классификация объектов такими диаграммами носит название [[ADE-классификация|ADE-классификацией]]. В этом случае диаграммы Дынкина в точности совпадают с диаграммами Коксетера.

== Диаграммы Сатаке ==
{{main|Диаграмма Сатаке}}
{{Дополнить раздел|дата=2015-10-14}}

Диаграммы Дынкина классифицируют ''комплексные'' полупростые алгебры Ли. Вещественные полупростые алгебры Ли можно классифицировать как {{не переведено 5|Вещественная форма (теория Ли)|вещественные формы||Real form (Lie theory)}} комплексных полупростых алгебр Ли, а они классифицируются {{не переведено 5|Диаграммы Сатаке|диаграммами Сатаке||Satake diagram}}, которые можно получить из диаграмм Дынкина путём пометки некоторых узлов чёрным цветом (внутренность кружка) и соединением некоторых других узлов в пары стрелками по некоторым правилам.

== История ==
{{See also|Полупростая группа Ли#История}}
[[Файл:Eugene Dynkin.jpg|thumb|upright|[[Дынкин, Евгений Борисович|Евгений Борисович Дынкин]].]]
Диаграммы Дынкина названы в честь [[Дынкин, Евгений Борисович|Евгения Борисовича Дынкина]], который использовал их в двух статьях (1946, 1947) для представления классификации полупростых алгебр Ли {{sfn|Knapp|2002|с=758}}, смотрите {{Harv| Е. Б. Дынкин|2000}}. После того, как Дынкин покинул Советский Союз в 1976, что в те времена расценивалось как предательство, советские математики для ссылок на диаграммы использовали название «диаграммы простых корней» вместо употребления фамилии автора.

Неориентированные графы были использованы ранее Коксетером (1934) для классификации {{не переведено 5|Группа отражений|групп отражений||reflection group}}, и в них узлы соответствовали простым отражениям. Графы затем использовал Витт (с информацией о длине) (в 1941) в контексте корневых систем, где узлы соответствуют простым корням, как это используется в наши дни {{sfn|Knapp|2002|с=758}}<ref name="overdraw">{{Cite web |url=http://mathoverflow.net/questions/20847/why-are-the-dynkin-diagrams-e6-e7-and-e8-always-drawn-the-way-they-are-drawn |title=Почему диаграммы Дынкина E6, E7 и E8 всегда рисуются именно так? |access-date=2015-10-14 |archive-date=2015-09-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150911012724/http://mathoverflow.net/questions/20847/why-are-the-dynkin-diagrams-e6-e7-and-e8-always-drawn-the-way-they-are-drawn |deadlink=no }}</ref>. Дынкин затем использовал диаграммы в 1946 и 1947, поблагодарив Коксетера и Витта в статье 1947 года.

== Соглашения ==
Диаграммы Дынкина рисуются многими способами<ref name="overdraw" />. Соглашения, используемые в этой статье, общепризнанны, с углами 180° для узлов валентности 2, 120° для узлов валентности 3 для D<sub>''n''</sub> и углами 90°/90°/180° валентности 3 для E<sub>''n''</sub>, с указанием кратности с помощью 1, 2 или 3 параллельных рёбер, и указанием длины корня с помощью указания ориентации ребра. Кроме простоты, эти соглашения позволяют показать автоморфизмы диаграмм с помощью евклидовых [[Изометрия (математика)|изометрий]] диаграмм.

Альтернативные соглашения предполагают указание числа рёбер для кратности (обычно используется в диаграммах Коксетера), использование цвета для указания длины корня или использование углов 120° для узлов валентности 2, чтобы сделать узлы более различимыми.

Имеются также соглашения о нумерации узлов. Общепринятое соглашение было разработано и проиллюстрировано в 1960-х в книге Бурбаки {{sfn|Bourbaki|1968}}<ref name="overdraw" />.

== Диаграммы Дынкина ранга 2 ==
Диаграммы Дынкина эквивалентны обобщённым [[Матрица Картана|матрицам Картана]], как показано в таблице диаграмм Дынкина ранга 2 указанием соответствующих им ''2''x''2'' матриц Картана.

Для ранга 2 матрица Картана имеет вид:
: <math>A = \left [\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}\right ]</math>

Многорёберная диаграмма соответствует недиагональной матрице Картана с элементами -a<sub>21</sub>, -a<sub>12</sub>, где число рёбер диаграммы равно '''max'''(-a<sub>21</sub>, -a<sub>12</sub>), а стрелка направлена в сторону неединичных элементов.

'''Обобщённая матрица Картана''' — это [[квадратная матрица]] <math>A = (a_{ij})</math>, такая, что:
# Для диагональных элементов <math>a_{ii} = 2</math>.
# Для недиагональных элементов <math>a_{ij} \leq 0 </math>.
# <math>a_{ij} = 0</math> тогда и только тогда, когда <math>a_{ji} = 0</math>

Матрица Картана определяет, имеет ли группа '''конечный тип''' (если она [[Положительно определённая матрица|положительно определена]], то есть все собственные значения положительны), '''аффинный тип''' (если матрица не является положительно определённой, но положительно полуопределена, то есть все собственные значения неотрицательны), или '''неопределённый тип'''. Неопределённый тип часто делят на подтипы, например, группа Коксетера является '''лоренцевой''', если она имеет одно отрицательное собственное значение и все остальные значения положительны. Далее некоторые источники говорят о '''гиперболических''' группах Коксетера, но для этого понятия существует несколько неэквивалентных определений. В обсуждении ниже под гиперболическими группами Коксетера понимается специальный случай групп Лоренца, удовлетворяющих дополнительным условиям. Заметим, что для ранга 2 все матрицы Картана с отрицательным определителем соответствуют гиперболическим группам Коксетера. Но в общем случае большинство матриц с отрицательным определителем не являются ни гиперболическими, ни лоренцевыми.

Конечные ветви имеют (-a<sub>21</sub>, -a<sub>12</sub>)=(1,1), (2,1), (3,1), а аффинные (с нулевым определителем) имеют (-a<sub>21</sub>, -a<sub>12</sub>) =(2,2) или (4,1).

{| class=wikitable  width=720
|+ Диаграммы Дынкина ранга 2
|-
!rowspan=2|Название<BR>группы
!colspan=3|Диаграмма Дынкина
!colspan=2|Матрица Картана
!rowspan=2|Порядок<BR>симметрии
!rowspan=2|Связанная<BR>однониточная<BR>группа<sup>3</sup>
|-
!(Стандартный)<BR>многорёберный<BR>граф<BR>{{Dynkin2|node_n1|3|node_n2}}
!Граф со<BR>значениями<sup>1</sup>
!Граф<BR>Коксетера<sup>2</sup>
!<math>\left [\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}\right ]</math>
!Определитель<br>(4-a<sub>21</sub>*a<sub>12</sub>)
|- align=center
!colspan=7|[[#Конечные диаграммы Дынкина|Конечные]] (Определитель>0)
|- align=center
!A<sub>1</sub>xA<sub>1</sub>
|{{Dynkin|node}} {{Dynkin|node}}
|{{Dynkin|node}} {{Dynkin|node}}
| {{CDD|node|2|node}}
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|4
|2
|
|- align=center
!A<sub>2</sub> (неор.<ref group="note">неориентированная диаграмма</ref>)
|{{Dynkin|node|3|node}}
|{{Dynkin|node|3|node}}
| {{CDD|node|3|node}}
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|3
|3
|
|- align=center
!B<sub>2</sub>
|{{Dynkin|node|4b|nodeg}}
|{{Dynkin|node|v21|nodeg}}
|
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\\-1&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|2
|4
|<math>{A}_3</math> {{Dynkin|node|branch2}}
|- align=center
!C<sub>2</sub>
|{{Dynkin|nodeg|4a|node}}
|{{Dynkin|nodeg|v12|node}}
|
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-1\\-2&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|2
|4
|<math>{A}_3</math> {{Dynkin|branch1|node}}
|- align=center
!BC<sub>2</sub><BR> (неор.)
|{{Dynkin|node|4|node}}
|
| {{CDD|node|4|node}}
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{2}\\-\sqrt{2}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|2
|4
|
|- align=center
!G<sub>2</sub>
|{{Dynkin|nodeg|6a|node}}
|{{Dynkin|nodeg|v13|node}}
|
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-1\\-3&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|1
|6
|<math>{D}_4</math> [[Файл:Dynkin affine D3 folding.png]]
|- align=center
!G<sub>2</sub> (неор.)
|{{Dynkin|node|6|node}}
|
|{{CDD|node|6|node}}
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{3}\\-\sqrt{3}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|1
|6
|
|- align=center
!colspan=7|[[#Аффинные диаграммы Дынкина|Аффинные]] (Определитель=0)
|- align=center
!A<sub>1</sub><sup>(1)</sup>
|{{Dynkin|nodeg|4ab|nodeg}}
|{{Dynkin|nodeg|v22|nodeg}}
| {{CDD|node|infin|node}}
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|0
|∞
|<math>{\tilde{A}}_3</math> [[Файл:Dynkin affine A3 folding.png]]
|- align=center
!A<sub>2</sub><sup>(2)</sup>
|{{Dynkin|nodeg|4c|node}}
|{{Dynkin|nodeg|v14|node}}
|
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-1\\-4&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|0
|∞
|<math>{\tilde{D}}_4</math> [[Файл:Dynkin affine D4 folding.png]]
|- align=center
!colspan=7|Гиперболические (Определитель<0)
|- align=center
!
|colspan=2|{{Dynkin|nodeg|v51|node}}
|
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-1\\-5&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
| -1
| -
|
|- align=center
!
|colspan=2|{{Dynkin|nodeg|v32|nodeg}}
|
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\\-3&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
| -2
| -
|
|- align=center
!
|colspan=2|{{Dynkin|nodeg|v61|node}}
|
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-1\\-6&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
| -2
| -
|
|- align=center
!
|colspan=2|{{Dynkin|nodeg|v71|node}}
|
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-1\\-7&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
| -3
| -
|
|- align=center
!
|colspan=2|{{Dynkin|nodeg|v42|nodeg}}
|
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\\-4&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
| -4
| -
|
|- align=center
!
|colspan=2|{{Dynkin|nodeg|v81|node}}
|
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-1\\-8&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
| -4
| -
|
|- align=center
!
|colspan=2|{{Dynkin|nodeg|v33|nodeg}}
|
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-3\\-3&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
| -5
| -
|
|- align=center
!
|colspan=2|{{Dynkin|nodeg|vab|nodeg}}
|
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-b\\-a&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|4-ab<0
| -
|-
|colspan=8|
Примечание<sup>1</sup>: Для гиперболических групп, (a<sub>12</sub>*a<sub>21</sub>>4), многорёберный стиль не используется, а значения (a<sub>21</sub>, a<sub>12</sub>) указываются напрямую на ребре. Это обычно не используется для конечных и аффинных групп<ref>''Notes on Coxeter Transformations and the McKay correspondence'', Rafael Stekolshchik, 2005, Section 2.1 ''The Cartan matrix and its Tits form'' p. 27. [http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0510/0510216v1.pdf] {{Wayback|url=http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0510/0510216v1.pdf |date=20200301195814 }}</ref>.

Примечание<sup>2</sup>: Для неориентированных групп диаграммы Дынкина и [[Диаграммы Коксетера — Дынкина|диаграммы Коксетера]] равноценны. Рёбра в них обычно помечаются их порядком симметрии, а рёбра порядка 3 не помечаются.

Примечание<sup>3</sup>: Многие многорёберные группы можно получить из однониточных групп более высокого ранга с помощью подходящей [[#Свёртка|операции свёртки]].
|}

== Конечные диаграммы Дынкина ==
{| class="wikitable"
|+ Конечные графы Дынкина с количеством узлов от 1 до 9
|- align=center
!rowspan=2|Ранг
!colspan=4|{{не переведено 5|Классическая группа Ли|Классические группы Ли||Classical Lie group}}
!colspan=2|[[Простая группа Ли|Исключительные группы Ли]]
|-
!height=35|<math>{A}_{1+}</math>
!<math>{B}_{2+}</math>
!<math>{C}_{2+}</math>
!<math>{D}_{2+}</math>
!{{не переведено 5|En (алгебра Ли)|<math>{E}_{3-8}</math>||En (Lie algebra)}}
![[G2 (математика)|<math>{G}_{2}</math>]] / [[F4 (математика)|<math>{F}_{4}</math>]]
|- align=center
!1
|A<sub>1</sub> <br>{{Dynkin2|node}}
|
|
|
|
|
|- align=center
!2
|A<sub>2</sub> <br>{{Dynkin2|node|3|node}}
|B<sub>2</sub><br>{{Dynkin2|node|4a|node}}
|C<sub>2</sub>=B<sub>2</sub><br>{{Dynkin2|node|4b|node}}
|D<sub>2</sub>=A<sub>1</sub>xA<sub>1</sub><br>{{Dynkin2|nodes}}
|
|G<sub>2</sub> <br>{{Dynkin2|node|6a|node}}
|- align=center
!3
|A<sub>3</sub><br>{{Dynkin2|node|3|node|3|node}}
|B<sub>3</sub><br>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node}}
|C<sub>3</sub><br>{{Dynkin2|node|4b|node|3|node}}
|D<sub>3</sub>=A<sub>3</sub><br>{{Dynkin|branch1|node}}
|E<sub>3</sub>=A<sub>2</sub>xA<sub>1</sub><br>{{Dynkin2|node|3|node|2|node}}
|
|- align=center
!4
|A<sub>4</sub><br>{{Dynkin2|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>4</sub><br>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|node}}
|C<sub>4</sub><br>{{Dynkin2|node|4b|node|3|node|3|node}}
|D<sub>4</sub><br>{{Dynkin|branch1|node|3|node}}
|E<sub>4</sub>=A<sub>4</sub><br>{{Dynkin2|node|3|node|3|branch}}
|F<sub>4</sub><br>{{Dynkin2|node|3|node|4a|node|3|node}}
|- align=center
!5
|A<sub>5</sub><br>{{Dynkin2|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>5</sub><br>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|node|3|node}}
|C<sub>5</sub><br>{{Dynkin2|node|4b|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>5</sub><br>{{Dynkin|branch1|node|3|node|3|node}}
|E<sub>5</sub>=D<sub>5</sub><br>{{Dynkin2|node|3|node|3|branch|3|node}}
|rowspan=6|
|- align=center
!6
|A<sub>6</sub> <br>{{Dynkin2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>6</sub> <br>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|C<sub>6</sub> <br>{{Dynkin2|node|4b|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>6</sub> <br>{{Dynkin|branch1|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>6</sub> <br>{{Dynkin2|node|3|node|3|branch|3|node|3|node}}
|- align=center
!7
|A<sub>7</sub> <br>{{Dynkin2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>7</sub> <br>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|C<sub>7</sub> <br>{{Dynkin2|node|4b|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>7</sub> <br>{{Dynkin|branch1|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>7</sub> <br>{{Dynkin2|node|3|node|3|branch|3|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!8
|A<sub>8</sub> <br>{{Dynkin2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>8</sub> <br>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|C<sub>8</sub> <br>{{Dynkin2|node|4b|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>8</sub> <br>{{Dynkin|branch1|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>8</sub> <br>{{Dynkin2|node|3|node|3|branch|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!9
|A<sub>9</sub> <br>{{Dynkin2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>9</sub> <br>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|C<sub>9</sub> <br>{{Dynkin2|node|4b|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>9</sub> <br>{{Dynkin|branch1|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!10+
|..
|..
|..
|..
|}

== Аффинные диаграммы Дынкина ==
{{details|{{iw|Афинная система корней|||Affine root system}}}}

Существуют расширения диаграмм Дынкина, а именно '''аффинные диаграммы Дынкина'''. Эти диаграммы классифицируют матрицы Картана {{не переведено 5|Аффинная алгебра Ли|аффинных алгебр Ли||affine Lie algebra}}. Классификация осуществлена в статье Каца {{sfn|Kac|1994|с=47—55}}, список приведён в той же статье на стр. 53-55. Аффинные диаграммы обозначаются как <math>X_l^{(1)}, X_l^{(2)}</math> или <math>X_l^{(3)},</math> где ''X'' — буква соответствующей конечной диаграммы, а верхний индекс указывает серию аффинных диаграмм, в которую диаграммы входит. Первая из серий, <math>X_l^{(1)},</math> наиболее известна, называется '''расширенными диаграммами Дынкина''' и помечается тильдой (~), а иногда знаком '''+''' в верхнем индексе<ref>См., например, ''Reflection groups and Coxeter groups,'' Хамфриса (James E. Humphreys), [https://books.google.com/books?id=ODfjmOeNLMUC&pg=PA96#v=onepage&q&f=false p. 96] </ref>, например, <math>\tilde A_5 = A_5^{(1)} = A_5^{+}</math>. Серии (2) и (3) называются '''скрученными аффинными диаграммами'''.

См. [http://lesha.goder.com/dynkin-diagrams.html Генератор диаграмм Дынкина] для диаграмм.

{| class=wikitable width=840
|- align=center
|[[Файл:Affine Dynkin diagrams.png|420px]]<BR>Множество расширенных аффинных диаграмм Дынкина с добавленными узлами (помечены зелёным цветом) (<math>n\ge 3</math> для <math>B_n</math> и <math>n\ge 4</math> для <math>D_n</math>)
|[[Файл:Twisted affine Dynkin diagrams.png|320px]]<BR>«Скрученные» аффинные диаграммы помечены (2) или (3) в верхнем индексе.<BR>(''k'' равно числу жёлтых узлов графа)
|}

Ниже в таблице приведены все графы Дынкина для аффинных групп до 10 узлов. Расширенные графы Дынкина указаны как семейства с ''~'' и соответствуют конечным графам выше с одним добавленным узлом. Другие варианты ориентированных графов даны с верхними индексами (2) или (3) и они представляют собой свёртки групп более высокого порядка. Они входят в категорию ''Скрученные аффинные'' диаграммы {{sfn|Kac|1994|с=53}}.

{| class="wikitable"
|+ Связные аффинные графы Дынкина с количеством узлов от 2 до 10<BR>(сгруппированы как неориентированные графы)
!Ранг
!<math>{\tilde{A}}_{1+}</math>
!<math>{\tilde{B}}_{3+}</math>
!<math>{\tilde{C}}_{2+}</math>
!<math>{\tilde{D}}_{4+}</math>
! E / F / G
|- align=center valign=top
!2
|<math>{\tilde{A}}_{1}</math> or <math>{A}_{1}^{(1)}</math><br>{{Dynkin|node|4ab|nodeg}}
|rowspan=2|
|<math>{A}_{2}^{(2)}</math>: {{Dynkin|nodeg|4c|node}}
|rowspan=3|
|
|- align=center valign=top
!3
|<math>{\tilde{A}}_{2}</math> or <math>{A}_{2}^{(1)}</math><ref name="автоссылка1">[[:File:DynkinA2Affine.svg]]</ref><br> {{Dynkin2|branch|loop2g}}
|<math>{\tilde{C}}_{2}</math> or <math>{C}_{2}^{(1)}</math><ref name="автоссылка2">[[:File:DynkinC2Affine.svg]]</ref><br> {{Dynkin2|nodeg|4b|node|4a|node}}<br><math>{D}_{5}^{(2)}</math>: {{Dynkin2|nodeg|4a|node|4b|node}}<br><math>{A}_{4}^{(2)}</math>: {{Dynkin2|nodeg|4a|node|4a|node}}
|<math>{\tilde{G}}_{2}</math> or <math>{G}_{2}^{(1)}</math><ref name="автоссылка3">[[:File:DynkinG2Affine.svg]]</ref><br> {{Dynkin2|node|6a|node|3|nodeg}}<br><math>{D}_{4}^{(3)}</math><BR><br>{{Dynkin2|node|6b|node|3|nodeg}}
|- align=center valign=top
!4
|<math>{\tilde{A}}_{3}</math> or <math>{A}_{3}^{(1)}</math><ref>[[:File:DynkinA3Affine.svg]]</ref><br> {{Dynkin2|loop1|nodes|loop2g}}
|<math>{\tilde{B}}_{3}</math> or <math>{B}_{3}^{(1)}</math><ref>[[:File:DynkinB3Affine.svg]]</ref><br> {{Dynkin|branch1yg|node|4b|node}}<br><math>{A}_{5}^{(2)}</math>: {{Dynkin|branch1yg|node|4a|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{3}</math> or <math>{C}_{3}^{(1)}</math><ref>[[:File:DynkinC3Affine.svg]]</ref><br> {{Dynkin2|nodeg|4b|node|3|node|4a|node}}<br><math>{D}_{6}^{(2)}</math>: {{Dynkin2|nodeg|4a|node|3|node|4b|node}}<br><math>{A}_{6}^{(2)}</math>: {{Dynkin2|nodeg|4a|node|3|node|4a|node}}
|
|- align=center valign=top
!5
|<math>{\tilde{A}}_{4}</math> or <math>{A}_{4}^{(1)}</math><ref>[[:File:DynkinA4Affine.svg]]</ref><br> {{Dynkin2|branch|3s|nodes|loop2g}}
|<math>{\tilde{B}}_{4}</math> or <math>{B}_{4}^{(1)}</math><ref>[[:File:DynkinB4Affine.svg]]</ref><br> {{Dynkin|branch1yg|node|3|node|4b|node}}<br><math>{A}_{7}^{(2)}</math>: {{Dynkin|branch1yg|node|3|node|4a|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{4}</math> or <math>{C}_{4}^{(1)}</math><ref>[[:File:DynkinC4Affine.svg]]</ref><br> {{Dynkin2|nodeg|4b|node|3|node|3|node|4a|node}}<br><math>{D}_{7}^{(2)}</math>: {{Dynkin2|nodeg|4a|node|3|node|3|node|4b|node}}<br><math>{A}_{8}^{(2)}</math>: {{Dynkin2|nodeg|4a|node|3|node|3|node|4a|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{4}</math> or <math>{D}_{4}^{(1)}</math><ref>[[:File:DynkinD4Affine.svg]]</ref><br> {{Dynkin|branch1|node|branch2gy}}
|<math>{\tilde{F}}_{4}</math> or <math>{F}_{4}^{(1)}</math><ref>[[:File:DynkinF4Affine.svg]]</ref><br> {{Dynkin2|node|3|node|4a|node|3|node|3|nodeg}}<br><math>{E}_{6}^{(2)}</math><BR><br>{{Dynkin2|node|3|node|4b|node|3|node|3|nodeg}}
|- align=center valign=top
!6
|<math>{\tilde{A}}_{5}</math> or <math>{A}_{5}^{(1)}</math><ref>[[:File:DynkinA5Affine.svg]]</ref><br> {{Dynkin2|loop1|nodes|3s|nodes|loop2g}}
|<math>{\tilde{B}}_{5}</math> or <math>{B}_{5}^{(1)}</math><ref>[[:File:DynkinB5Affine.svg]]</ref><br> {{Dynkin|branch1yg|node|3|node|3|node|4b|node}}<br><math>{A}_{9}^{(2)}</math>: {{Dynkin|branch1yg|node|3|node|3|node|4a|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{5}</math> or <math>{C}_{5}^{(1)}</math><ref>[[:File:DynkinC5Affine.svg]]</ref><br> {{Dynkin2|nodeg|4b|node|3|node|3|node|3|node|4a|node}}<br><math>{D}_{8}^{(2)}</math>: {{Dynkin2|nodeg|4a|node|3|node|3|node|3|node|4b|node}}<br><math>{A}_{10}^{(2)}</math>: {{Dynkin2|nodeg|4a|node|3|node|3|node|3|node|4a|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{5}</math> or <math>{D}_{5}^{(1)}</math><ref>[[:File:DynkinD5Affine.svg]]</ref><br> {{Dynkin|branch1|node|3|node|branch2gy}}
|
|- align=center valign=top
!7
|<math>{\tilde{A}}_{6}</math> or <math>{A}_{6}^{(1)}</math><ref>[[:File:AffineA6.svg]]</ref><br> {{Dynkin2|branch|3s|nodes|3s|nodes|loop2g}}
|<math>{\tilde{B}}_{6}</math> or <math>{B}_{6}^{(1)}</math><br>{{Dynkin|branch1yg|node|3|node|3|node|3|node|4b|node}}<br><math>{A}_{11}^{(2)}</math>: {{Dynkin|branch1yg|node|3|node|3|node|3|node|4a|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{6}</math> or <math>{C}_{6}^{(1)}</math><br>{{Dynkin2|nodeg|4b|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4a|node}}<br><math>{D}_{9}^{(2)}</math>: {{Dynkin2|nodeg|4a|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4b|node}}<br><math>{A}_{12}^{(2)}</math>: {{Dynkin2|nodeg|4a|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4a|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{6}</math> or <math>{D}_{6}^{(1)}</math><br>{{Dynkin|branch1|node|3|node|3|node|branch2gy}}
|<math>{\tilde{E}}_{6}</math> or <math>{E}_{6}^{(1)}</math><br>{{Dynkin|nodes|3s|nodes|loop2|3|node|3|nodeg}}
|- align=center valign=top
!8
|<math>{\tilde{A}}_{7}</math> or <math>{A}_{7}^{(1)}</math><ref name="автоссылка4">[[:File:AffineA7.svg]]</ref><br> {{Dynkin2|loop1|nodes|3s|nodes|3s|nodes|loop2g}}
|<math>{\tilde{B}}_{7}</math> or <math>{B}_{7}^{(1)}</math><ref name="автоссылка5">[[:File:AffineB7.svg]]</ref><br> {{Dynkin|branch1yg|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4b|node}}<br><math>{A}_{13}^{(2)}</math>: {{Dynkin|branch1yg|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4a|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{7}</math> or <math>{C}_{7}^{(1)}</math><br>{{Dynkin2|nodeg|4b|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4a|node}}<br><math>{D}_{10}^{(2)}</math>: {{Dynkin2|nodeg|4a|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4b|node}}<br><math>{A}_{14}^{(2)}</math>: {{Dynkin2|nodeg|4a|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4a|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{7}</math> or <math>{D}_{7}^{(1)}</math><ref name="автоссылка6">[[:File:AffineD7.svg]]</ref><br> {{Dynkin|branch1|node|3|node|3|node|3|node|branch2gy}}
|<math>{\tilde{E}}_{7}</math> or <math>{E}_{7}^{(1)}</math><br>{{Dynkin|nodesyg|3s|nodes|3s|nodes|loop2|3|node}}
|- align=center valign=top
!9
|<math>{\tilde{A}}_{8}</math> or <math>{A}_{8}^{(1)}</math><ref>[[:File:AffineA8.svg]]</ref><br> {{Dynkin2|branch|3s|nodes|3s|nodes|3s|nodes|loop2g}}
|<math>{\tilde{B}}_{8}</math> or <math>{B}_{8}^{(1)}</math><br>{{Dynkin|branch1yg|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4b|node}}<br><math>{A}_{15}^{(2)}</math>: {{Dynkin|branch1yg|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4a|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{8}</math> or <math>{C}_{8}^{(1)}</math><br>{{Dynkin2|nodeg|4b|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4a|node}}<br><math>{D}_{11}^{(2)}</math>: {{Dynkin2|nodeg|4a|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4b|node}}<br><math>{A}_{16}^{(2)}</math>: {{Dynkin2|nodeg|4a|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4a|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{8}</math> or <math>{D}_{8}^{(1)}</math><br>{{Dynkin|branch1|node|3|node|3|node|3|node|3|node|branch2gy}}
|<math>{\tilde{E}}_{8}</math> or <math>{E}_{8}^{(1)}</math><br>{{Dynkin2|node|3|node|3|branch|3|node|3|node|3|node|3|node|3|nodeg}}
|- align=center valign=top
!10
|<math>{\tilde{A}}_{9}</math> or <math>{A}_{9}^{(1)}</math><ref>[[:File:AffineA9.svg]]</ref><br> {{Dynkin2|loop1|nodes|3s|nodes|3s|nodes|3s|nodes|loop2g}}
|<math>{\tilde{B}}_{9}</math> or <math>{B}_{9}^{(1)}</math><br>{{Dynkin|branch1yg|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4b|node}}<br><math>{A}_{17}^{(2)}</math>: {{Dynkin|branch1yg|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4a|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{9}</math> or <math>{C}_{9}^{(1)}</math><br>{{Dynkin2|nodeg|4b|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4a|node}}<br><math>{D}_{12}^{(2)}</math>: {{Dynkin2|nodeg|4a|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4b|node}}<br><math>{A}_{18}^{(2)}</math>: {{Dynkin2|nodeg|4a|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4a|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{9}</math> or <math>{D}_{9}^{(1)}</math><br>{{Dynkin|branch1|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|branch2gy}}
|- align=center valign=top
!11
|…
|…
|…
|…
|}

== Гиперболические диаграммы Дынкина и более высокие уровни ==
Множество компактных и некомпактных гиперболических графов Дынкина было перечислено в статье Карбоне и др.<ref>{{
статья
|автор= L Carbone, S Chung, C Cobbs, R McRae, D Nandi, Y Naqvi, D Penta
|заглавие=Classification of hyperbolic Dynkin diagrams, root lengths and Weyl group orbits
|издание=J. Phys. A: Math. Theor
|выпуск=43
|год=2010
|url=http://arxiv.org/abs/1003.0564 1003.0564
}}</ref> Все гиперболические графы ранга 3 компактны. Компактные гиперболические диаграммы Дынкина существуют вплоть до ранга 5, а некомпактные гиперболические графы существуют вплоть до ранга 10.

{| class=wikitable
|+ Количество диаграмм
|-
!Ранг
!Компактные
!Некомпактные
!Всего
|-
!3
||31||93||123
|-
!4
||3||50||53
|-
!5
||1||21||22
|-
!6
||0||22||22
|-
!7
||0||4||4
|-
!8
||0||5||5
|-
!9
||0||5||5
|-
!10
||0||4||4
|}

=== Компактные гиперболические диаграммы Дынкина ===
{| class=wikitable
|+ Компактные гиперболические графы
|-
!colspan=2|Ранг 3
!Ранг 4
!Ранг 5
|- valign=top
|Linear graphs
* (6 4 2):
** H<sub>100</sub><sup>(3)</sup>: {{Dynkin|node|4b|node|6b|node}}
** H<sub>101</sub><sup>(3)</sup>: {{Dynkin|node|4b|node|6a|node}}
** H<sub>105</sub><sup>(3)</sup>: {{Dynkin|node|4a|node|6b|node}}
** H<sub>106</sub><sup>(3)</sup>: {{Dynkin|node|4a|node|6a|node}}
* (6 6 2):
** H<sub>114</sub><sup>(3)</sup>: {{Dynkin|node|6a|node|6a|node}}
** H<sub>115</sub><sup>(3)</sup>: {{Dynkin|node|6b|node|6a|node}}
** H<sub>116</sub><sup>(3)</sup>: {{Dynkin|node|6a|node|6b|node}}
| Cyclic graphs
* (4 3 3): H<sub>1</sub><sup>(3)</sup>: {{Dynkin|branch4al|loop2}}
* (4 4 3): 3 forms…
* (4 4 4): 2 forms…
* (6 3 3): H<sub>3</sub><sup>(3)</sup>: {{Dynkin|branch6|loop2}}
* (6 4 3): 4 forms…
* (6 4 4): 4 forms…
* (6 6 3): 3 forms…
* (6 6 4): 4 forms…
* (6 6 6): 2 forms…
|
* (4 3 3 3):
** H<sub>8</sub><sup>(4)</sup>: {{Dynkin|branch4al|3s|branch}}
** H<sub>13</sub><sup>(4)</sup>: {{Dynkin|branch4al|3s|branch4ar}}
* (4 3 4 3):
** H<sub>14</sub><sup>(4)</sup>: {{Dynkin|branch4al|3s|branch4br}}
|
* (4 3 3 3 3):
** H<sub>7</sub><sup>(5)</sup>: {{Dynkin|branch4al|3s|nodes|loop2}}
|}

=== Некомпактные (существенно расширенные формы) ===
Некоторые нотации, используемые в [[Теоретическая физика|теоретической физике]], в таких областях, как [[М-теория]], применяют верхний индекс «+» для расширенных групп вместо «~», что даёт возможность определять более сильные расширения групп.
# '''Расширенным''' диаграммам Дынкина (аффинным) даётся индекс «+» и они имеют один добавочный узел. (То же, что и «~»)
# '''Существенно расширенным''' диаграммам Дынкина (гиперболическим) даётся индекс «^» или «++» и они имеют два добавочных узла.
# '''Сильно расширенным''' диаграммам Дынкина с 3 добавочными узлами даётся индекс «+++».

{| class=wikitable
|+Некоторые примеры существенно расширенных (гиперболических) диаграмм Дынкина
|- align=center
!Ранг
!height=30|<math>{AE}_{n}</math> = A<sub>n-2</sub><sup>(1)^</sup>
!height=30|<math>{BE}_{n}</math> = B<sub>n-2</sub><sup>(1)^</sup><br><math>{CE}_{n}</math>
!height=30|C<sub>n-2</sub><sup>(1)^</sup>
!height=30|<math>{DE}_{n}</math> = D<sub>n-2</sub><sup>(1)^</sup>
! E / F / G
|- align=center
!3
|<math>{AE}_{3}</math>:{{Dynkin|node|4ab|nodeg|3|nodeg}}
|
|
|
|
|- align=center
!4
|<math>{AE}_{4}</math>:{{Dynkin|branch|loop2g|3|nodeg}}<BR>{{Dynkin|branch|loop2g|4a|nodeg}}<BR>{{Dynkin|branch|loop2g|4b|nodeg}}<BR>{{Dynkin|branch|loop2g|6a|nodeg}}<BR>{{Dynkin|branch|loop2g|6b|nodeg}}
|
|C<sub>2</sub><sup>(1)^</sup><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|4b|node|4a|node}}<br>A<sub>4</sub><sup>(2)'^</sup><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|4a|node|4a|node}}<br>A<sub>4</sub><sup>(2)^</sup><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|4b|node|4b|node}}<br>D<sub>3</sub><sup>(2)^</sup><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|4a|node|4b|node}}
|rowspan=2|
|G<sub>2</sub><sup>(1)^</sup><br>{{Dynkin2|node|6a|node|3|nodeg|3|nodeg}}<br>D<sub>4</sub><sup>(3)^</sup><br>{{Dynkin2|node|6b|node|3|nodeg|3|nodeg}}
|- align=center
!5
|<math>{AE}_{5}</math>:{{Dynkin|loop1|nodes|loop2g|3|nodeg}}<BR>{{Dynkin|loop1|nodes|loop2g|4a|nodeg}}<BR>{{Dynkin|loop1|nodes|loop2g|4b|nodeg}}
|<math>{BE}_{5}</math><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|3|branch|4b|node}}<BR><math>{CE}_{5}</math><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|3|branch|4a|node}}
|C<sub>3</sub><sup>(1)^</sup><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|4b|node|3|node|4a|node}}<br>A<sub>6</sub><sup>(2)^</sup><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|4a|node|3|node|4a|node}}<br>A<sub>6</sub><sup>(2)'^</sup><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|4b|node|3|node|4b|node}}<br>D<sub>5</sub><sup>(2)^</sup><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|4a|node|3|node|4b|node}}
|- align=center
!6
|<math>{AE}_{6}</math><br>{{Dynkin|branch|3s|nodes|loop2g|3|nodeg}}
|<math>{BE}_{6}</math><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|3|branch|3|node|4b|node}}<BR><math>{CE}_{6}</math><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|3|branch|3|node|4a|node}}
|C<sub>4</sub><sup>(1)^</sup><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|4b|node|3|node|3|node|4a|node}}<br>A<sub>8</sub><sup>(2)^</sup><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|4a|node|3|node|3|node|4a|node}}<br>A<sub>8</sub><sup>(2)'^</sup><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|4b|node|3|node|3|node|4b|node}}<br>D<sub>7</sub><sup>(2)^</sup><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|4a|node|3|node|3|node|4b|node}}
|<math>{DE}_{6}</math><br>{{Dynkin|triplebranch1|node|3|nodeg|3|nodeg}}
|F<sub>4</sub><sup>(1)^</sup><br>{{Dynkin2|node|3|node|4a|node|3|node|3|nodeg|3|nodeg}}<br>E<sub>6</sub><sup>(2)^</sup><br>{{Dynkin2|node|3|node|4b|node|3|node|3|nodeg|3|nodeg}}
|- align=center
!7
|<math>{AE}_{7}</math><br>{{Dynkin|loop1|nodes|3s|nodes|loop2g|3|nodeg}}
|<math>{BE}_{7}</math><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|3|branch|3|node|3|node|4b|node}}<BR><math>{CE}_{7}</math><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|3|branch|3|node|3|node|4a|node}}
|
|<math>{DE}_{7}</math><br>{{Dynkin2|node|3|branch|3|branch|3|nodeg|3|nodeg}}
|- align=center
!8
|<math>{AE}_{8}</math><br>{{Dynkin|branch|3s|nodes|3s|nodes|loop2g|3|nodeg}}
|<math>{BE}_{8}</math><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|3|branch|3|node|3|node|3|node|4b|node}}<BR><math>{CE}_{8}</math><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|3|branch|3|node|3|node|3|node|4a|node}}
|
|<math>{DE}_{8}</math><br>{{Dynkin2|node|3|branch|3|node|3|branch|3|nodeg|3|nodeg}}
|E<sub>6</sub><sup>(1)^</sup><br>{{Dynkin|nodes|3s|nodes|loop2|3|node|3|nodeg|3|nodeg}}
|- align=center
!9
|<math>{AE}_{9}</math><br>{{Dynkin|loop1|nodes|3s|nodes|3s|nodes|loop2g|3|nodeg}}
|<math>{BE}_{9}</math><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|3|branch|3|node|3|node|3|node|3|node|4b|node}}<BR><math>{CE}_{9}</math><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|3|branch|3|node|3|node|3|node|3|node|4a|node}}
|
|<math>{DE}_{9}</math><br>{{Dynkin2|node|3|branch|3|node|3|node|3|branch|3|nodeg|3|nodeg}}
|E<sub>7</sub><sup>(1)^</sup><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|3|node|3|node|3|branch|3|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!10
|
|<math>{BE}_{10}</math><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|3|branch|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4b|node}}<BR><math>{CE}_{10}</math><br>{{Dynkin2|nodeg|3|nodeg|3|branch|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4a|node}}
|
|<math>{DE}_{10}</math><br>{{Dynkin2|node|3|branch|3|node|3|node|3|node|3|branch|3|nodeg|3|nodeg}}
|<math>{E}_{10}</math>=E<sub>8</sub><sup>(1)^</sup><br>{{Dynkin2|node|3|node|3|branch|3|node|3|node|3|node|3|node|3|nodeg|3|nodeg}}
|}

=== 238 гиперболических групп (компактных и некомпактных) ===
238 перечисленных гиперболических групп (компактных и некомпактных) обозначены как H<sub>i</sub><sup>(n)</sup> для ранга n, и имеют индекс i=1,2,3… для каждого ранга.

{| class="wikitable"
|- valign=top
|[[Файл:Rank3CompactHyperbolicDynkins1-31bw.svg|200px]]
|
|[[Файл:Rank3NonCompactHyperbolicDynkins32-75bw.svg|200px]]
|
|[[Файл:Rank3NonCompactHyperbolicDynkins76-123bw.svg|200px]]
|
|[[Файл:Rank4HyperbolicDynkins124-176bw.svg|200px]]
|- valign=top
|[[Файл:Rank5HyperbolicDynkins177-198bw.svg|200px]]
|
|[[Файл:Rank6HyperbolicDynkins199-205bw.svg|200px]]
|
|[[Файл:Rank6HyperbolicDynkins206-212bw.svg|200px]]
|
|[[Файл:Rank6HyperbolicDynkins213-220bw.svg|200px]]
|- valign=top
|[[Файл:Rank7HyperbolicDynkins221-224bw.svg|200px]]
|
|[[Файл:Rank8HyperbolicDynkins225-229bw.svg|200px]]
|
|[[Файл:Rank9HyperbolicDynkins230-234bw.svg|200px]]
|
|[[Файл:Rank10HyperbolicDynkins235-238bw.svg|200px]]
|}

=== Сильно расширенные диаграммы ===
Сильно расширенные группы являются [[Группа Лоренца|группами Лоренца]], которые определяются добавлением трёх узлов к конечным группам. E<sub>8</sub>, E<sub>7</sub>, E<sub>6</sub>, F<sub>4</sub> и G<sub>2</sub> дают шесть серий, завершающихся сильно расширенными группами. Другие расширенные не показанные серии можно определить из A<sub>n</sub>, B<sub>n</sub>, C<sub>n</sub> и D<sub>n</sub> как различные серии для каждого ''n''. Определитель ассоциированной [[Матрица Картана|матрицы Картана]] определяет, где серия меняется от конечной (положительный определитель) к аффинной (нулевой определитель) и к некомпактной гиперболической группе (отрицаетельный определитель) и завершается серия как группа Лоренца, что можно определить по появлению [[Пространство-время|подобной времени]] размерности<ref>[http://arxiv.org/pdf/hep-th/0304206v2.pdf The symmetry of M-theories] {{Wayback|url=http://arxiv.org/pdf/hep-th/0304206v2.pdf |date=20170118223118 }}, Francois Englert, Laurent Houart, Anne Taormina and Peter West, 2003</ref>.

{| class=wikitable
|+ Расширенные серии ранга 2
|-
!Конечная
!<math>A_2</math>
!<math>C_2</math>
![[G2 (математика)|<math>G_2</math>]]
|- align=center
!2
|BGCOLOR="#ffffe0"|A<sub>2</sub>{{Dynkin2|branch}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|C<sub>2</sub>{{Dynkin|node|4a|node}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|G<sub>2</sub>{{Dynkin|node|6a|node}}
|- align=center
!3
|BGCOLOR="#ffe0e0"|A<sub>2</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_{2}</math><ref name="автоссылка1" /> <br> {{Dynkin|branch|loop2g}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|C<sub>2</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{C}}_{2}</math><ref name="автоссылка2" /> <br> {{Dynkin|node|4b|node|4a|nodeg}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|G<sub>2</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{G}}_{2}</math><ref name="автоссылка3" /> <br> {{Dynkin|node|6a|node|3|nodeg}}
|- align=center
!4
|BGCOLOR="#e0ffe0"|A<sub>2</sub><sup>++</sup><ref>[[:File:HyberbolicAffineA2.svg]]</ref> <br> {{Dynkin|branch|loop2g|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|C<sub>2</sub><sup>++</sup><ref>[[:File:HyberbolicAffineC2.svg]]</ref> <br> {{Dynkin|node|4b|node|4a|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|G<sub>2</sub><sup>++</sup><ref>[[:File:HyberbolicAffineG2.svg]]</ref> <br> {{Dynkin|node|6a|node|3|nodeg|3|nodeg}}
|- align=center
!5
|BGCOLOR="#e0e0ff"|A<sub>2</sub><sup>+++</sup><ref>[[:File:VeryExtendedAffineA2.svg]]</ref> <br> {{Dynkin|branch|loop2g|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0e0ff"|C<sub>2</sub><sup>+++</sup><ref>[[:File:VeryExtendedAffineC2.svg]]</ref> <br> {{Dynkin|node|4b|node|4a|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0e0ff"|G<sub>2</sub><sup>+++</sup><ref>[[:File:VeryExtendedAffineG2.svg]]</ref> <br> {{Dynkin|node|6a|node|3|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|- align=center
!Det(M<sub>n</sub>)
|3(3-''n'')
|2(3-''n'')
|3-''n''
|}

{| class=wikitable
|+ Расширенные серии рангов 3 и 4
|-
! Конечная
!<math>A_3</math>
!<math>B_3</math>
!<math>C_3</math>
!<math>A_4</math>
!<math>B_4</math>
!<math>C_4</math>
!<math>D_4</math>
![[F4 (математика)|<math>F_4</math>]]
|- align=center
!2
|
|A<sub>1</sub><sup>2</sup><BR>{{Dynkin|node|2|node}}
|
|
|
|
|
|A<sub>2</sub><BR>{{Dynkin2|node|3|node}}
|- align=center
!3
|BGCOLOR="#ffffe0"|A<sub>3</sub><BR>{{Dynkin2|loop1|nodes}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|B<sub>3</sub><BR>{{Dynkin2|node|4a|branch}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|C<sub>3</sub><BR>{{Dynkin2|node|4b|node|3|node}}
|
|B<sub>2</sub>A<sub>1</sub><BR>{{Dynkin2|node|4a|node|2|node}}
|
|A<sub>1</sub><sup>3</sup><BR>{{Dynkin2|node|2|node|2|node}}
|{{Dynkin2|node|3|node|4a|node}}
|- align=center
!4
|BGCOLOR="#ffe0e0"|A<sub>3</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_3</math><BR>{{Dynkin|loop1|nodes|loop2g}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|B<sub>3</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{3}</math><BR>{{Dynkin2|node|4a|branch|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|C<sub>3</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{C}}_{3}</math><BR>{{Dynkin|node|4b|node|3|node|4a|nodeg}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|A<sub>4</sub><BR>{{Dynkin|branch|3s|nodes}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|B<sub>4</sub><BR>{{Dynkin2|node|4a|node|3|branch}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|C<sub>4</sub><BR>{{Dynkin2|node|4b|node|3|node|3|node}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|D<sub>4</sub><BR>{{Dynkin|triplebranch1|node}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|F<sub>4</sub><BR>{{Dynkin2|node|3|node|4a|node|3|node}}
|- align=center
!5
|BGCOLOR="#e0ffe0"|A<sub>3</sub><sup>++</sup><BR>{{Dynkin|loop1|nodes|loop2g|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|B<sub>3</sub><sup>++</sup><BR>{{Dynkin2|node|4a|branch|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|C<sub>3</sub><sup>++</sup><BR>{{Dynkin|node|4b|node|3|node|4a|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|A<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_{4}</math><BR>{{Dynkin|branch|3s|nodes|loop2g}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|B<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{4}</math><BR>{{Dynkin2|node|4a|node|3|branch|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|C<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{C}}_{4}</math><BR>{{Dynkin2|node|4b|node|3|node|3|node|4a|nodeg}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|D<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_{4}</math><BR>{{Dynkin|triplebranch1|node|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|F<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{F}}_{4}</math><BR>{{Dynkin2|node|3|node|4a|node|3|node|3|nodeg}}
|- align=center
!6
|BGCOLOR="#e0e0ff"|A<sub>3</sub><sup>+++</sup><BR>{{Dynkin|loop1|nodes|loop2g|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0e0ff"|B<sub>3</sub><sup>+++</sup><BR>{{Dynkin2|node|4a|branch|3|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0e0ff"|C<sub>3</sub><sup>+++</sup><BR>{{Dynkin|node|4b|node|3|node|4a|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|A<sub>4</sub><sup>++</sup><BR>{{Dynkin|branch|3s|nodes|loop2g|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|B<sub>4</sub><sup>++</sup><BR>{{Dynkin2|node|4a|node|3|branch|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|C<sub>4</sub><sup>++</sup><BR>{{Dynkin2|node|4b|node|3|node|3|node|4a|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|D<sub>4</sub><sup>++</sup><BR>{{Dynkin|triplebranch1|node|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|F<sub>4</sub><sup>++</sup><BR>{{Dynkin2|node|3|node|4a|node|3|node|3|nodeg|3|nodeg}}
|- align=center
!7
|BGCOLOR="#e0e0ff"|
|BGCOLOR="#e0e0ff"|
|BGCOLOR="#e0e0ff"|
|BGCOLOR="#e0e0ff"|A<sub>4</sub><sup>+++</sup><BR>{{Dynkin|branch|3s|nodes|loop2g|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0e0ff"|B<sub>4</sub><sup>+++</sup><BR>{{Dynkin2|node|4a|node|3|branch|3|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0e0ff"|C<sub>4</sub><sup>+++</sup><BR>{{Dynkin2|node|4b|node|3|node|3|node|4a|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0e0ff"|D<sub>4</sub><sup>+++</sup><BR>{{Dynkin|triplebranch1|node|3|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0e0ff"|F<sub>4</sub><sup>+++</sup><BR>{{Dynkin2|node|3|node|4a|node|3|node|3|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|- align=center
!Det(M<sub>n</sub>)
|4(4-''n'')
|colspan=2|2(4-''n'')
|5(5-''n'')
|colspan=2|2(5-''n'')
|4(5-''n'')
|5-''n''
|}

{| class=wikitable
|+ Расширенные серии рангов 5 и 6
|-
!Конечная
!<math>A_5</math>
!<math>B_5</math>
!<math>D_5</math>
!<math>A_6</math>
!<math>B_6</math>
!<math>D_6</math>
!<math>E_6</math>
|- align=center
!4
|
|B<sub>3</sub>A<sub>1</sub><BR>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|2|node}}
|A<sub>3</sub>A<sub>1</sub><BR>{{Dynkin2|node|3|branch|2|node}}
|
|
|
|A<sub>2</sub><sup>2</sup><BR>{{Dynkin|nodes|3s|nodes}}
|- align=center
!5
|BGCOLOR="#ffffe0"|A<sub>5</sub><BR>{{Dynkin|loop1|nodes|3s|nodes}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|branch}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|D<sub>5</sub><BR>{{Dynkin2|node|3|branch|3|branch}}
|
|B<sub>4</sub>A<sub>1</sub><BR>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|node|2|node}}
|D<sub>4</sub>A<sub>1</sub><BR>{{Dynkin2|node|3|branch|3|node|2|node}}
|A<sub>5</sub><BR>{{Dynkin|nodes|3s|nodes|loop2}}
|- align=center
!6
|BGCOLOR="#ffe0e0"|A<sub>5</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_5</math><BR>{{Dynkin|loop1|nodes|3s|nodes|loop2g}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|B<sub>5</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{5}</math><BR>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|branch|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|D<sub>5</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_5</math><BR>{{Dynkin2|node|3|branch|3|branch|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|A<sub>6</sub><BR>{{Dynkin2|branch|3s|nodes|3s|nodes}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|B<sub>6</sub><BR>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|node|3|branch}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|D<sub>6</sub><BR>{{Dynkin2|node|3|branch||3|node|3|branch}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|E<sub>6</sub><BR>{{Dynkin|nodes|3s|nodes|loop2|3|node}}
|- align=center
!7
|BGCOLOR="#e0ffe0"|A<sub>5</sub><sup>++</sup><BR>{{Dynkin|loop1|nodes|3s|nodes|loop2g|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|B<sub>5</sub><sup>++</sup><BR>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|branch|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|D<sub>5</sub><sup>++</sup><BR>{{Dynkin2|node|3|branch|3|branch|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|A<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_6</math><BR>{{Dynkin|branch|3s|nodes|3s|nodes|loop2g}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|B<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{6}</math><BR>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|node|3|branch|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|D<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_6</math><BR>{{Dynkin2|node|3|branch|3|node|3|branch|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|E<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{E}}_6</math><BR>{{Dynkin|nodes|3s|nodes|loop2|3|node|3|nodeg}}
|- align=center
!8
|BGCOLOR="#e0e0ff"|A<sub>5</sub><sup>+++</sup><BR>{{Dynkin|loop1|nodes|3s|nodes|loop2g|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0e0ff"|B<sub>5</sub><sup>+++</sup><BR>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|branch|3|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0e0ff"|D<sub>5</sub><sup>+++</sup><BR>{{Dynkin2|node|3|branch|3|branch|3|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|A<sub>6</sub><sup>++</sup><BR>{{Dynkin|branch|3s|nodes|3s|nodes|loop2g|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|B<sub>6</sub><sup>++</sup><BR>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|node|3|branch|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|D<sub>6</sub><sup>++</sup><BR>{{Dynkin2|node|3|branch|3|node|3|branch|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|E<sub>6</sub><sup>++</sup><BR>{{Dynkin|nodes|3s|nodes|loop2|3|node|3|nodeg|3|nodeg}}
|- align=center
!9
|BGCOLOR="#e0e0ff"|
|BGCOLOR="#e0e0ff"|
|BGCOLOR="#e0e0ff"|
|BGCOLOR="#e0e0ff"|A<sub>6</sub><sup>+++</sup><BR>{{Dynkin|branch|3s|nodes|3s|nodes|loop2g|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0e0ff"|B<sub>6</sub><sup>+++</sup><BR>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|node|3|branch|3|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0e0ff"|D<sub>6</sub><sup>+++</sup><BR>{{Dynkin2|node|3|branch|3|node|3|branch|3|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0e0ff"|E<sub>6</sub><sup>+++</sup><BR>{{Dynkin|nodes|3s|nodes|loop2|3|node|3|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|- align=center
!Det(M<sub>n</sub>)
|6(6-''n'')
|2(6-''n'')
|4(6-''n'')
|7(7-''n'')
|2(7-''n'')
|4(7-''n'')
|3(7-''n'')
|}

{| class=wikitable
|+ Некоторые расширенные серии ранга 7 и выше
|-
!Конечная
!A<sub>7</sub>
!B<sub>7</sub>
!D<sub>7</sub>
!E<sub>7</sub>
![[En (Lie algebra)|E<sub>8</sub>]]
|- align=center
!3
|
|
|
|
|E<sub>3</sub>=A<sub>2</sub>A<sub>1</sub><BR>{{Dynkin2|node|3|node|2|node}}
|- align=center
!4
|
|
|
|A<sub>3</sub>A<sub>1</sub><BR>{{Dynkin2|node|3|node|3|node|2|node}}
|E<sub>4</sub>=A<sub>4</sub><BR>{{Dynkin2|node|3|node|3|branch}}
|- align=center
!5
|
|
|
|A<sub>5</sub><BR>{{Dynkin2|node|3|node|3|node|3|branch}}
|E<sub>5</sub>=D<sub>5</sub><BR>{{Dynkin2|node|3|node|3|branch|3|node}}
|- align=center
!6
|
|B<sub>5</sub>A<sub>1</sub><BR>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|node|3|node|2|node}}
|D<sub>5</sub>A<sub>1</sub><BR>{{Dynkin2|node|3|branch|3|node|3|node|2|node}}
|D<sub>6</sub><BR>{{Dynkin2|node|3|node|3|node|3|branch|3|node}}
|E<sub>6</sub> <ref>[[:File:DynkinE6Full.svg]]</ref> <br> {{Dynkin2|node|3|node|3|branch|3|node|3|node}}
|- align=center
!7
|BGCOLOR="#ffffe0"|A<sub>7</sub><BR>{{Dynkin|loop1|nodes|3s|nodes|3s|nodes}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|B<sub>7</sub><BR>{{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|node|3|node|3|branch}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|D<sub>7</sub><BR>{{Dynkin2|node|3|branch|3|node|3|node|3|branch}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|E<sub>7</sub> <ref name="автоссылка7">[[:File:DynkinE7Full.svg]]</ref> <br> {{Dynkin2|node|3|node|3|node|3|branch|3|node|3|node}}
|E<sub>7</sub> <ref name="автоссылка7" /> <br> {{Dynkin2|node|3|node|3|branch|3|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!8
|BGCOLOR="#ffe0e0"|A<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_7</math><ref name="автоссылка4" /> <br> {{Dynkin|loop1|nodes|3s|nodes|3s|nodes|loop2g}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|B<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{7}</math><ref name="автоссылка5" /> <br> {{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|node|3|node|3|branch|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|D<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_7</math><ref name="автоссылка6" /> <br> {{Dynkin2|node|3|branch|3|node|3|node|3|branch|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|E<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{E}}_{7}</math><ref>[[:File:AffineE7.svg]]</ref> <br> {{Dynkin2|node|3|node|3|node|3|branch|3|node|3|node|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#ffffe0"|E<sub>8</sub> <ref>[[:File:DynkinE8Full.svg]]</ref> <br> {{Dynkin2|node|3|node|3|branch|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!9
|BGCOLOR="#e0ffe0"|A<sub>7</sub><sup>++</sup> <ref>[[:File:HyberbolicAffineA7.svg]]</ref> <br> {{Dynkin|loop1|nodes|3s|nodes|3s|nodes|loop2g|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|B<sub>7</sub><sup>++</sup> <ref>[[:File:HyberbolicAffineB7.svg]]</ref> <br> {{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|node|3|node|3|branch|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|D<sub>7</sub><sup>++</sup> <ref>[[:File:HyberbolicAffineD7.svg]]</ref> <br> {{Dynkin2|node|3|branch|3|node|3|node|3|branch|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|E<sub>7</sub><sup>++</sup> <ref>[[:File:HyberbolicAffineE7.svg]]</ref> <br> {{Dynkin2|node|3|node|3|node|3|branch|3|node|3|node|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|E<sub>9</sub>=E<sub>8</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{E}}_{8}</math><ref>[[:File:E9-AffineE8.svg]]</ref> <br> {{Dynkin2|node|3|node|3|branch|3|node|3|node|3|node|3|node|3|nodeg}}
|- align=center
!10
|BGCOLOR="#e0e0ff"|A<sub>7</sub><sup>+++</sup> <ref>[[:File:VeryExtendedAffineA7.svg]]</ref> <br> {{Dynkin|loop1|nodes|3s|nodes|3s|nodes|loop2g|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0e0ff"|B<sub>7</sub><sup>+++</sup> <ref>[[:File:VeryExtendedAffineB7.svg]]</ref> <br> {{Dynkin2|node|4a|node|3|node|3|node|3|node|3|branch|3|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0e0ff"|D<sub>7</sub><sup>+++</sup> <ref>[[:File:VeryExtendedAffineD7.svg]]</ref> <br> {{Dynkin2|node|3|branch|3|node|3|node|3|branch|3|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0e0ff"|E<sub>7</sub><sup>+++</sup> <ref>[[:File:VeryExtendedAffineE7.svg]]</ref> <br> {{Dynkin2|node|3|node|3|node|3|branch|3|node|3|node|3|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|BGCOLOR="#e0ffe0"|E<sub>10</sub>=E<sub>8</sub><sup>++</sup> <ref>[[:File:E10-HyperbolicAffineE8.svg]]</ref> <br> {{Dynkin2|node|3|node|3|branch|3|node|3|node|3|node|3|node|3|nodeg|3|nodeg}}
|- align=center
!11
|BGCOLOR="#e0e0ff"|
|BGCOLOR="#e0e0ff"|
|BGCOLOR="#e0e0ff"|
|BGCOLOR="#e0e0ff"|
|BGCOLOR="#e0e0ff"|E<sub>11</sub>=E<sub>8</sub><sup>+++</sup> <ref>[[:File:E11-VeryExtendedAffineE8.svg]]</ref> <br>
{{Dynkin2|node|3|node|3|branch|3|node|3|node|3|node|3|node|3|nodeg|3|nodeg|3|nodeg}}
|- align=center
!Det(M<sub>n</sub>)
|8(8-''n'')
|2(8-''n'')
|4(8-''n'')
|2(8-''n'')
|9-''n''
|}

== См. также ==
* {{не переведено 5|Диаграммы Сатаке|||Satake diagram}}

== Примечания ==

=== Комментарии ===
{{примечания|group=note}}

=== Источники ===
{{примечания}}

== Литература ==
* {{статья 
|автор= Е. Б. Дынкин
|заглавие= Структура полупростых алгебр Ли. 
|издание= УМН 
|том = 2 
|год= 1947 
|выпуск= 4(20) 
|страницы= 59–127 
|ref= Е. Б. Дынкин
}}
* {{книга
|автор= Nicolas Bourbaki
|год= 1968 
|заглавие= Groupes et algebres de Lie 
|часть= Chapters 4–6 
|издательство= Hermann 
|место= Paris 
|ref= Bourbaki
}}
* {{книга
| edition = 1
|издательство= CRC Press
|isbn= 0-8247-1326-5
|автор= Nathan Jacobson
|заглавие= Exceptional Lie Algebras
|год = 1971
|ref = Jacobson
}}
* {{книга 
|заглавие= Introduction to Lie Algebras and Representation Theory
|ссылка= https://archive.org/details/introductiontoli00jame
|автор=James E. Humphreys 
|издательство =Birkhäuser 
|год = 1972 
|isbn=978-0-387-90053-7
|ref= Humphreys
}}
* {{книга
|автор=[[Фултон, Уильям|William Fulton]], [[Харрис, Джо|Joe Harris]]
|год=1991
|заглавие=Representation theory. A first course
|серия=Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics 
|том=129
|место=New York
|издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
|ISBN=978-0-387-97495-8,978-0-387-97527-6
|ref= Fulton, Harris
}}
* {{книга
|издательство= AMS Bookstore
|isbn= 978-0-8218-1065-1
|автор = Evgeniĭ Borisovich Dynkin, Alexander Adolph Yushkevich, Gary M. Seitz, A. L. Onishchik
|заглавие= Selected papers of E.B. Dynkin with commentary
|ссылка= https://archive.org/details/selectedpapersof0000dynk
|год = 2000
|ref=Е. Б. Дынкин
}}
* {{книга
|издательство= Birkhäuser
|isbn= 978-0-8176-4259-4
|автор= Anthony W. Knapp
|заглавие= Lie groups beyond an introduction
|издание= 2nd
|год= 2002
|url=https://books.google.com/books?id=U573NrppkA8C&lpg=PA758
|ref = Knapp
}}
* {{книга
|заглавие= Notes on Coxeter Transformations and the McKay Correspondence 
|серия= Springer Monographs in Mathematics
|автор= R. Stekolshchik
|год= 2008 
|isbn= 978-3-540-77398-6
|doi= 10.1007/978-3-540-77398-3 
|ref = Stekolshchik
}}
* {{книга
|автор= Victor G. Kac
|издательство=Cambridge University press
|заглавие= Infinite-Dimensional Lie Algebras
|год=1994
|ISBN=0-521-37215-1, 0-521-46693-8
|ref= Kac
|url=https://books.google.co.jp/books?id=kuEjSb9teJwC&pg=PA47
}}

== Ссылки ==
* [[wikibooks:de:Beweisarchiv: Lie-Algebren: Wurzelsysteme: Klassifikation von Wurzelsystemen|Klassifikation von Wurzelsystemen]] (Классификация корневых систем, [[Викиучебник]] на немецком языке)
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Dynkin_diagram ''Dynkin diagram'' at Encyclopaedia of Mathematics] {{Wayback|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Dynkin_diagram |date=20150626191119 }}
* [http://math.ucr.edu/home/baez/week230.html John Baez on the ubiquity of Dynkin diagrams in mathematics] {{Wayback|url=http://math.ucr.edu/home/baez/week230.html |date=20151114040359 }}
* [http://lesha.goder.com/dynkin-diagrams.html Web tool for making publication-quality Dynkin diagrams with labels (written in JavaScript)] {{Wayback|url=http://lesha.goder.com/dynkin-diagrams.html |date=20121213085009 }}

{{rq|checktranslate|style|tex}}

[[Категория:Алгебры Ли]]