Просмотр кода страницы Диаграммы Коксетера — Дынкина

[[Файл:Finite coxeter.svg|400px|right|thumb|Диаграммы Коксетера — Дынкина для фундаментальных конечных групп Коксетера]]
[[Файл:Affine coxeter.svg|400px|right|thumb|Диаграммы Коксетера — Дынкина для фундаментальных аффинных групп Коксетера]]

'''Диаграмма Коксетера — Дынкина''' (или '''диаграмма Коксетера''', '''граф Коксетера''', '''схема Коксетера'''<ref>{{книга
|автор=В. О. Бугаенко
|заглавие=Правильные многогранники
|серия=Математическое просвещение Сер.3
|выпуск=7
|страницы107-115
}}</ref>) — это [[Граф (математика)|граф]] с помеченными числами рёбрами (называемыми '''ветвями'''), представляющими пространственные связи между набором [[Отражение (геометрия)|зеркальных симметрий]] (или [[Гиперплоскость|гиперплоскостей]] зеркальных отражений).
Диаграмма описывает [[калейдоскоп]]ичное построение — каждая «вершина» графа представляет зеркало (грань фундаментальной области), а метки ветвей задают величину [[Двугранный угол|двугранного угла]] между двумя зеркалами (на гребне фундаментальной области, то есть на грани с размерностью <math>n-2</math>).
Непомеченные ветви неявно подразумевают порядок 3.

Каждая диаграмма представляет [[Группа Коксетера|группу Коксетера]], и группы Коксетера классифицируются ассоциированными с ними диаграммами.

[[Диаграмма Дынкина|Диаграммы Дынкина]] тесно связаны с диаграммами Коксетера и отличаются от них в двух отношениях — во-первых, ветви с меткой «4» и выше являются [[Ориентированный граф|ориентированными]], в то время как в диаграммах Коксетера они неориентированные, во-вторых, диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительному ({{не переведено 5|Теорема о кристаллографических ограничениях |кристаллографическому||crystallographic restriction theorem}}) ограничению, а именно, в качестве меток разрешены только 2, 3, 4 и 6.
Диаграммы Дынкина соответствуют [[Система корней|системе корней]] и используются для их классификации, а потому соответствуют [[Полупростая группа Ли|полупростым группам Ли]]<ref>{{книга
|автор=Brian C. Hall 
|заглавие=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction 
|издательство=Springer 
|год=2003 
|isbn=0-387-40122-9
}}</ref>.

== Описание ==
Ветви диаграммы Коксетера — Дынкина помечаются [[Рациональное число|рациональными числами]] ''p'', соответствующими [[Двугранный угол|двугранным углам]] 180°/''p''.
Если ''p'' = 2, угол равен 90° и зеркала никак не влияют друг на друга, так что ветвь может быть исключена из диаграммы.
Если ветвь не помечена, предполагается, что ''p'' = 3, что соответствует углу 60°.
Два параллельных зеркала имеют ветвь, помеченную знаком «∞».
В принципе, ''n'' отражений могут быть представлены [[Полный граф|полным графом]], в котором все ''n''(''n'' − 1) / 2 ветвей нарисованы.
На практике, почти все интересные комбинации отражений содержат некоторое число прямых углов, так что соответствующие ветви могут быть исключены.

Диаграммы могут быть обозначены согласно их структуре графа.
Первыми формами, которые изучал [[Шлефли, Людвиг|Людвиг Шлефли]], были симплексы, определяемые набором взаимноперпендикулярных рёбер.
Эти симплексы Шлефли назвал {{не переведено 5|Ортосхема Шлефли|ортосхемами||orthoscheme}}.
Ортосхемы возникают в различных контекстах, а особенно при рассмотрении [[Политоп|правильных политопов]] и {{не переведено 5|Правильные соты|правильных сотов||regular honeycomb}}.
'''Плагиосхемы''' — это симплексы, представленные ветвящимися графами, а '''циклосхемы''' — симплексы, представленные циклическими графами.

== Матрица Грама (Шлефли) ==

Любая диаграмма Коксетера имеет соответствующую '''матрицу [[Шлефли, Людвиг|Шлефли]]''' с элементами 
:<math>a_{i,j} = a_{j,i}= -2 \cos \left( \frac{\pi}{p} \right),</math>
где <math>p</math> — порядок ветки между парами отражений.
Как ''матрица косинусов'', она также называется [[Определитель Грама|матрицей Грама]] по имени [[Грам, Йорген Педерсен|Йоргена Грама]].
Все матрицы Грама [[Группа Коксетера|группы Коксетера]] симметричны, поскольку их корневые векторы нормализованы. 
Они близко связаны с [[Матрица Картана|матрицами Картана]], которые используются в подобном контексте, но для ориентированных графов [[Диаграмма Дынкина|диаграмм Дынкина]] для случаев <math>p = 2,3,4,6</math> и которые, в общем случае, несимметричны.

Определитель матрицы Шлефли называется '''шлефлианом''' (он же '''грамиан''') и его знак определяет, является ли группа конечной (положительный определитель), аффинной (нулевой) или неопределённой (отрицательный). 
Это правило называется '''критерием Шлефли'''<ref>{{книга
|автор=Coxeter, 
|заглавие={{не переведено 5|Книга Коксетера ''Regular Polytopes''|''Regular Polytopes''||Regular Polytopes (book)}}{{ненп}}
|ссылка=https://archive.org/details/regularpolytopes00coxe_869
|издание=3rd
|год=1973
|издательство=Dover edition
|ISBN=0-486-61480-8
|часть=7.7. Schläfli's Criterion
|страницы=[https://archive.org/details/regularpolytopes00coxe_869/page/n151 133]
}}</ref>.

[[Собственный вектор|Собственные значения]] матрицы Грама определяют, является ли группа Коксетера ''конечного типа'' (все значения положительны), ''аффинного типа'' (все неотрицательны, по меньшей мере одно значение равно нулю) или ''неопределённого типа'' (все остальные случаи). 
Неопределённый тип иногда далее разбивается на подтипы, например, на гиперболические и остальные группы Коксетера. 
Однако имеется много неэквивалентных определений гиперболических групп Коксетера. 
Мы используем следующее определение: Группа Коксетера с соответствующей диаграммой является ''гиперболической'', если она ни конечного, ни аффинного типов, но любая связная поддиаграмма имеет либо конечный, либо аффинный тип. 
Гиперболическая группа Коксетера '''компактна''', если все её подгруппы конечны (то есть имеют положительные определители) и '''паракомпактна''', если все её подгруппы конечны или аффинны (то есть имеют неотрицательные определители)<ref>{{статья
|автор=В. О. Бугаенко
|заглавие=Классификация многогранников Коксетера
|издание=Матем. просв.
|год=2003
|выпуск=7
|страницы=82—106
}}</ref>.

Конечные и аффинные группы также называются ''эллиптическими'' и ''параболическими'' соответственно. 
Гиперболические группы называются также {{iw|группа Ланнера|группами Ланнера||Lannér group}} ({{lang-sv|Folke Lannér}}), который перечислил компактные гиперболические группы в 1950-м<ref name=folke>{{книга
|автор= Folke Lannér
|заглавие= On complexes with transitive groups of automorphisms
|ссылка= http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0042129
|серия= Meddelanden Från Lunds Universitets Matematiska Seminarium [Communications du Séminaire Mathématique de l'Université de Lund]
|том= 11
|год= 1950
|страницы= 1—71
|archivedate= 2015-06-10
|archiveurl= https://web.archive.org/web/20150610204221/http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0042129
}}</ref>, а паракомпактные группы — группами {{iw|Кошуль, Жан-Луи|Кошуля||Jean-Louis Koszul}} ({{lang-fr|Jean-Louis Koszul}} [kɔ'syl]), или квазиланнеровыми группами. 
Встречаются и другие названия.
Так, в статье Максвелла<ref name=Maxwell/> конечные группы называются положительными, а аффинные — евклидовыми.

=== Группы Коксетера ранга 2 ===
Для ранга 2 тип группы Коксетера полностью определён определителем матрицы Грама, поскольку он просто равен произведению его собственных значений: конечный тип (положительный определитель), аффинный тип (нулевой определитель) или гиперболический тип (отрицательный определитель).
Коксетер использует эквивалентную {{не переведено 5|Нотация Коксетера|скобочную нотацию||Coxeter notation}}, которая перечисляет последовательности порядков веток вместо графических диаграмм узел-ветвь.
{| class=wikitable
!Тип
!colspan=5|Конечная
!Аффинная
!colspan=2|Гиперболическая
|- align=center
!Геометрия
|[[Файл:Dihedral symmetry domains 1.png|80px]]
|[[Файл:Dihedral symmetry domains 2.png|80px]]
|[[Файл:Dihedral symmetry domains 3.png|80px]]
|[[Файл:Dihedral symmetry domains 4.png|80px]]
|…
|[[Файл:Dihedral symmetry domains infinity.png|80px]]
|[[Файл:Horocycle mirrors.png|80px]]
|[[Файл:Dihedral symmetry ultra.png|80px]]
|- align=center
!Коксетер
|{{CDD|node_c1}}<BR>[ ]
|{{CDD|node_c1|2|node_c3}}<BR>[2]
|{{CDD|node_c1|3|node_c1}}<BR>[3]
|{{CDD|node_c1|4|node_c3}}<BR>[4]
|{{CDD|node|p|node}}<BR>[p]
|{{CDD|node_c1|infin|node_c3}}<BR>[∞]
|{{CDD|node_c2|infin|node_c3}}<BR>[∞]
|{{CDD|node_c2|ultra|node_c3}}<BR>[iπ/λ]
|-
![[Порядок элемента|порядок]]
!2
!4
!6
!8
!2''p''
!colspan=3|∞
|- align=center
|colspan=9|Прямые отражения раскрашены соответственно узлам диаграммы Коксетера.<BR>Фундаментальные области выкрашены в альтернативные цвета.
|}
{| class="wikitable" style="width:720px;"
|+ Диаграммы группы Коксетера ранга 2
|-
!rowspan=2|[[Порядок элемента|Порядок]]<br>''p''
!rowspan=2|Группа
!rowspan=2 colspan=2|Диаграмма Коксетера
!colspan=2|Матрица Грама
|-
!<math>\left [\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}\right ]</math>
!Определитель<br>(4-a<sub>21</sub>*a<sub>12</sub>)
|- align=center
!colspan=7|[[Диаграмма Дынкина#Конечные диаграммы Дынкина|Конечная]] (Определитель>0)
|- align=center
!2
!I<sub>2</sub>(2) = A<sub>1</sub>xA<sub>1</sub>
|{{CDD|node|2|node}}||[2]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|4
|- align=center
!3
!I<sub>2</sub>(3) = A<sub>2</sub>
|{{CDD|node|3|node}}||[3]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|3
|- align=center
!4
!I<sub>2</sub>(4) = B<sub>2</sub>
|{{CDD|node|4|node}}||[4]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{2}\\-\sqrt{2}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|2
|- align=center
!5
!I<sub>2</sub>(5) = H<sub>2</sub>
|{{CDD|node|5|node}}||[5]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\phi\\-\phi&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>4\sin^2(\pi/5)</math><br>=<math>(5-\sqrt{5})/2</math>

~1.38196601125
|- align=center
!6
!I<sub>2</sub>(6) = G<sub>2</sub>
|{{CDD|node|6|node}}||[6]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{3}\\-\sqrt{3}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|1
|- align=center
!8
!I<sub>2</sub>(8)
|{{CDD|node|8|node}}||[8]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/8)\\-2\cos(\pi/8)&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>2-\sqrt{2}</math><br>
~0.58578643763
|- align=center
!10
!I<sub>2</sub>(10)
|{{CDD|node|10|node}}||[10]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/10)\\-2\cos(\pi/10)&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>4\sin^2(\pi/10)</math><br>=<math>(3-\sqrt{5})/2</math>

~0.38196601125
|- align=center
!12
!I<sub>2</sub>(12)
|{{CDD|node|12|node}}||[12]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/12)\\-2\cos(\pi/12)&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>2-\sqrt{3}</math><br>
~0.26794919243
|- align=center
!''p''
!I<sub>2</sub>(p)
|{{CDD|node|p|node}}||[p]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/p)\\-2\cos(\pi/p)&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>4\sin^2(\pi/p)</math>
|- align=center
!colspan=6|[[Диаграмма Дынкина#Аффинная диаграмма Дынкина|Аффинная]] (Определитель=0)
|- align=center
!∞
!I<sub>2</sub>(∞) = <math>{\tilde{I}}_1</math> = <math>{\tilde{A}}_1</math>
|{{CDD|node|infin|node}}||[∞]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|0
|- align=center
!colspan=6|Гиперболическая (Определитель≤0)
|- align=center
!∞
!
|{{CDD|node|infin|node}}||[∞]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|0
|- align=center
!∞
!
|{{CDD|node|ultra|node}}||[iπ/λ]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2cosh(2\lambda)\\-2cosh(2\lambda)&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>-4\sinh^2(2\lambda) \le 0</math>
|}

=== Геометрическое представление ===
Диаграмму Коксетера — Дынкина можно рассматривать как графическое описание [[Фундаментальная область|фундаментальной области]] отражений.
Зеркалом (множеством неподвижных точек отражения) является [[гиперплоскость]] в заданном сферическом, евклидовом или гиперболическом пространстве.
(В двумерном пространстве зеркалом служит прямая, а в трёхмерном — плоскость.)

Ниже показаны фундаментальные области двумерных и трёхмерных евклидовых групп, а также двумерных сферических групп.
Для каждой группы диаграмма Коксетера может быть выведена путём определения гиперплоскостей и разметки их связей, игнорируя при этом двугранные углы в 90 градусов (порядок 2).

{| class=wikitable

|-
!rowspan=2|Группа Коксетера
!<math>{\tilde{C}}_{2}</math>
!<math>{\tilde{I}}_1</math>x<math>{\tilde{I}}_1</math>
!<math>{\tilde{G}}_{2}</math>
!<math>{\tilde{A}}_{2}</math>
|-
![4,4]
![∞4,∞]
![6,3]
![(3,3,3)] = [3<sup>[3]</sup>]
|- align=center
!Фундаментальная область
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain T1.svg|140px]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain Q.svg|140px]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain T2.svg|140px]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain T3.svg|140px]]
|-
!Диаграмма<BR> Коксетера — Дынкина
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain DT1.svg|140px]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain DQ.svg|140px]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain DT2.svg|140px]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain DT3.svg|140px]]
|}

Группы Коксетера на евклидовой плоскости с соответствующими диаграммами.
Зеркала помечены как узлы графа ''R''1, ''R''2, и т. д. и раскрашены соответственно порядку отражения.
Отражения на 90 градусов ничего не меняют, а потому удалены из диаграммы.
Параллельные отражения отмечены символом ∞.
Призматическая группа <math>{\tilde{I}}_1</math>x<math>{\tilde{I}}_1</math> показана как удвоение <math>{\tilde{C}}_2</math>, но она также может быть создана как прямоугольные области, полученные из удвоения треугольников <math>{\tilde{G}}_2</math>.
<math>{\tilde{A}}_2</math> является удвоением треугольника <math>{\tilde{G}}_2</math>.

{| class=wikitable
|+ Некоторые гиперболические калейдоскопы
|-
!Группа Коксетера
![n,4]
![∞n,∞]
![n,3]
![(n,3,3)]
|- align=center
!Фундаментальная область
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain HT1.svg|140px]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain HQ.svg|140px]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain HT2.svg|140px]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain HT3.svg|140px]]
|-
!Двойственный граф (полная схема Коксетера)
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain UT1.svg|140px]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain UQ.svg|140px]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain UT2.svg|140px]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain UT3.svg|140px]]
|-
!Диаграмма<BR> Коксетера — Дынкина
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain DU1.svg|140px]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain DUQ.svg|140px]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain DU2.svg|140px]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain DU3.svg|140px]]
|-
!
!n=5,6...
!n=3,4...
!n=7,8...
!n=4,5
|}

<br>Многие группы Коксетера на [[Геометрия Лобачевского|гиперболической плоскости]] могут быть распространены из евклидова случая как серии гиперболических решений.

{| class="wikitable" style="width:720px;"
|- valign=top
|- valign=top
|[[Файл:Coxeter-Dynkin 3-space groups.png|360px]]<br>Группы Коксетера в трёхмерном пространстве с соответствующими диаграммами. Зеркала (треугольные грани) помечены противоположными вершинами 0..3. Ветви выкрашены соответственно порядку отражений.<br><math>{\tilde{C}}_3</math> заполняет 1/48 часть куба. <math>{\tilde{B}}_3</math> заполняет 1/24 часть куба. <math>{\tilde{A}}_3</math> заполняет 1/12 часть куба.
|[[Файл:Coxeter-Dynkin sphere groups.png|360px]]<br>Группы Коксетера на сфере с соответствующими диаграммами. Одна фундаментальная область выделена жёлтым цветом. Вершины области (и ветви графа) выкрашены соответственно порядку отражения.
|}

== Конечные группы Коксетера ==
: См. также [[семейства многогранников]] для таблицы однородных многогранников, связанных с этими группами.
* Для каждой группы приведены три различных обозначения — буквенно-цифровое обозначение, набор цифр в скобках и диаграмма Коксетера.
* Разветвлённые группы D<sub>''n''</sub> являются ''половинными'' или ''знакопеременными'' версиями обычных групп C<sub>''n''</sub>.
* Для разветвлённых групп D<sub>''n''</sub> и E<sub>''n''</sub> приведены обозначения с верхними индексами [3<sup>''a'',''b'',''c''</sup>], где числа ''a'',''b'' и ''c'' задают количество сегментов в каждой из трёх ветвей.

{| class="wikitable"
|+ Связанные графы Дынкина с рангами от 1 до 9
|- align=center
!rowspan=2|Ранг
!colspan=3|[[Простая группа Ли|Простые группы Ли]]
!colspan=3|[[Исключительные простые группы Ли|Исключительные группы Ли]]
!colspan=2|
|-
!height=35|<math>{A}_{1+}</math>
!<math>{BC}_{2+}</math>
!<math>{D}_{2+}</math>
!{{не переведено 5|En (Алгебра Ли)|<math>{E}_{3-8}</math>||En (Lie algebra)}}
![[F4 (математика)|<math>{F}_{3-4}</math>]]
![[G2 (математика)|<math>{G}_{2}</math>]]
!<math>{H}_{2-4}</math>
!<math>{I}_{2}(p)</math>
|- align=center
!1
|A<sub>1</sub>=[]<br>{{CDD|node}}
|
|
|
|
|- align=center
!2
|A<sub>2</sub>=[3]<br>{{CDD|node|3|node}}
|B<sub>2</sub>=[4]<br>{{CDD|node|4|node}}
|D<sub>2</sub>=A<sub>1</sub>xA<sub>1</sub><br>{{CDD|nodes}}
|
|
|G<sub>2</sub>=[6]<br>{{CDD|node|6|node}}
|H<sub>2</sub>=[5]<br>{{CDD|node|5|node}}
|I<sub>2</sub>[p]<br>{{CDD|node|p|node}}
|- align=center
!3
|A<sub>3</sub>=[3<sup>2</sup>]<br>{{CDD|node|3|node|3|node}}
|B<sub>3</sub>=[3,4]<br>{{CDD|node|4|node|3|node}}
|D<sub>3</sub>=A<sub>3</sub><br>{{CDD|nodes|split2|node}}
|E<sub>3</sub>=A<sub>2</sub>A<sub>1</sub><br>{{CDD|nodea|3a|nodea}} {{CDD|nodeb}}
|F<sub>3</sub>=B<sub>3</sub><br>{{CDD|node|3|node|4|node}}
|rowspan=8|
|H<sub>3</sub> <br>{{CDD|node|5|node|3|node}}
|- align=center
!4
|A<sub>4</sub>=[3<sup>3</sup>]<br>{{CDD|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>4</sub>=[3<sup>2</sup>,4]<br>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node}}
|D<sub>4</sub>=[3<sup>1,1,1</sup>]<br>{{CDD|nodes|split2|node|3|node}}
|E<sub>4</sub>=A<sub>4</sub><br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
|F<sub>4</sub><br>{{CDD|node|3|node|4|node|3|node}}
|H<sub>4</sub> <br>{{CDD|node|5|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!5
|A<sub>5</sub>=[3<sup>4</sup>]<br>{{CDD|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>5</sub>=[3<sup>3</sup>,4]<br>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>5</sub>=[3<sup>2,1,1</sup>]<br>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node}}
|E<sub>5</sub>=D<sub>5</sub><br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|rowspan=6|
|- align=center
!6
|A<sub>6</sub>=[3<sup>5</sup>]<br>{{CDD|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>6</sub>=[3<sup>4</sup>,4]<br>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>6</sub>=[3<sup>3,1,1</sup>]<br>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>6</sub>=[3<sup>2,2,1</sup>]<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center
!7
|A<sub>7</sub>=[3<sup>6</sup>]<br>{{CDD|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>7</sub>=[3<sup>5</sup>,4]<br>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>7</sub>=[3<sup>4,1,1</sup>]<br>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>7</sub>=[3<sup>3,2,1</sup>]<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center
!8
|A<sub>8</sub>=[3<sup>7</sup>]<br>{{CDD|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>8</sub>=[3<sup>6</sup>,4]<br>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>8</sub>=[3<sup>5,1,1</sup>]<br>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>8</sub>=[3<sup>4,2,1</sup>]<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center
!9
|A<sub>9</sub>=[3<sup>8</sup>]<br>{{CDD|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>9</sub>=[3<sup>7</sup>,4]<br>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>9</sub>=[3<sup>6,1,1</sup>]<br>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|rowspan|
|- align=center
!10+
|..
|..
|..
|..
|}

== Приложение для однородных политопов ==
[[Файл:Coxeter node markup (ru).svg|220px|thumb|При построении однородных многогранников узлы маркируются как ''активные'' путём добавления кружка, если генерирующая точка находится вне зеркала (гиперплоскости, относительно которой производится отражение), образуя тем самым новое ребро между генерирующей точкой и её отражением. 
Узлы без кружка представляют ''неактивные'' отражения, не генерирующие новых точек.]]
Диаграммы Коксетера — Дынкина могут явно перечислить почти все классы [[Однородный многогранник|однородных многогранников]] и [[Однородная мозаика|однородных мозаик]]. 
Каждый однородный многогранник с простой зеркальной симметрией (все они, за исключением нескольких специальных случаев, имеют простую зеркальную симметрию) могут быть представлены диаграммами Коксетера — Дынкина с перестановками ''меток''. 
Каждый однородный многогранник можно получить, используя такие зеркала и одну генерирующую точку — отражения создают в результате симметрии новые точки, затем можно определить [[Ребро (математика)|рёбра]] многогранника между точками и их зеркальными отражениями. 
[[Грань (геометрия)|Грани]] можно построить при получении цикла из рёбер и т. д. 
Для задания генерирующей вершины один или более узлов помечаются кружками, что означает, что вершина ''не'' находится на зеркале(-ах), представленных помеченными кружками узлами.
(Если два или более зеркала помечены, вершина располагается на равноудалённом расстоянии от них.)
Зеркало ''активно'' (создаёт отражения) только для точек, не лежащих на нём.
Диаграмма должна иметь по меньшей мере один активный узел для представления многогранника.

Все [[правильные многомерные многогранники]], представленные [[Символ Шлефли|символом Шлефли]] (''p'', ''q'', ''r'', …), могут иметь [[Фундаментальная область|фундаментальные области]], представленные набором ''n'' зеркал с соответствующей диаграммой Коксетера — Дынкина в виде последовательности узлов и ветвей, помеченных ''p'', ''q'', ''r'', … с первым обведённым кружком узлом.

Однородные многогранники с одним кружком соответствуют генерирующим точкам в углах симплекса фундаментальной области.
Два кружка соответствуют рёбрам симплекса и имеют свободу выбора, но только середина приводит к однородному решению с одинаковыми длинами рёбер.
В общем случае генераторы с k кружками являются (k-1)-мерными гранями симплекса.
Если все узлы помечены кружками, генерирующая точка находится внутри симплекса.

Другой элемент разметки выражает специальный случай незеркальной симметрии однородных многогранников.
Эти случаи существуют как {{не переведено 5|Альтернация (геометрия)|альтернации||Alternation (geometry)}} зеркальной симметрии многогранников.
В этом элементе разметки отсутствует центральная точка помеченного кружком узла, который тогда называется ''дыркой'', и означает такой узел удалённую альтернирующую вершину.
Полученный многогранник будет иметь подсимметрии исходной [[Группа Коксетера|группы Коксетера]]. Усечённая альтернация называется [[Обрезок (геометрия)|''обрезком'']].
* Отдельный узел представляет отдельное зеркало. Соответствующая группа обозначается A<sub>1</sub>. Кружок вокруг узла приводит к образованию [[Отрезок|отрезка]], перпендикулярного зеркалу, и он обозначается как {}.
* Два несвязанных узла представляют два [[Перпендикулярность|перпендикулярных]] зеркала. Если оба узла обведены кружком, может быть создан [[прямоугольник]], или [[квадрат]], если точки расположены на одинаковом расстоянии от обоих зеркал.
* Два узла, соединённых ветвью порядка ''n'', могут создать [[Многоугольник|''n''-угольник]], если точка находится на одном из зеркал, и 2''n''-угольник, если точка не лежит ни на одном из зеркал. Эти два узла образуют группу I<sub>1</sub>(n).
* Два параллельных зеркала могут представлять группу бесконечного многоугольника I<sub>1</sub>(∞), обозначаемую также Ĩ<sub>1</sub>.
* Три зеркала в виде треугольника образуют образы, которые наблюдаются в традиционном [[калейдоскоп]]е и такая конфигурация может быть представлена тремя узлами, соединёнными в треугольник. Периодические примеры будут иметь ветви, помеченные как (3 3 3), (2 4 4) и (2 3 6), хотя последние два могут быт нарисованы как прямые (удалив ветви ''2''). Они генерируют {{не переведено 5|Мозаики из правильных многоугольников|однородные мозаики||Tiling by regular polygons}}.
* Три зеркала может создать [[однородный многогранник]], включая [[Треугольник Шварца|треугольники Шварца]], получаемые из рациональных чисел.
* Три зеркала, где одно зеркало перпендикулярно двум другим, могут создать [[Призма (геометрия)|однородные призмы]].

{| class=wikitable width=800
|- valign=top
|[[Файл:Wythoffian construction diagram.png|400px]]<BR>Имеется 7 зеркальных однородных конструкций для общего треугольника, основанных на 7 топологических позициях генератора внутри фундаментальной области. Любое единичное активное зеркало имеет генератор в углу и образует ребро, для двух зеркал генератор находится на одной из сторон треугольника, а три активных зеркала имеют генератор внутри треугольника. Одна или две степени свободы можно свести к одной позиции для достижения одинаковых длин рёбер результирующего многогранника или мозаики.
|[[Файл:Polyhedron truncation example3.png|400px]]<BR>Пример семи генераторов при {{не переведено 5|Октаэдральная симметрия|октаэдральной симметрии||octahedral symmetry}} с фундаментальным треугольником (4 3 2) и восьмым генератором обрезка
|}

Двойственные однородные многогранники иногда помечаются вертикальными чертами вместо помеченных кружками узлов, а перечёркнутый пустой узел (без внутренней точки) означает отсечение.
Например, {{CDD|node_1|2|node_1}} представляет [[прямоугольник]] (как два активных ортогональных зеркала), а {{CDD|node_f1|2|node_f1}} представляет его {{не переведено 5|двойственный многоугольник|||dual polygon}} ([[ромб]]).

=== Примеры многогранников и мозаик ===

В качестве примера [[группа Коксетера]] B<sub>3</sub> имеет схему {{CDD|node|4|node|3|node}}.
Она также называется {{не переведено 5|Октаэдральная симметрия|октаэдральной симметрией||octahedral symmetry}}.

Имеется 7 выпуклых [[Однородный многогранник|однородных многогранников]], которые можно построить с помощью этой группы симметрии и 3 из её {{не переведено 5|Альтернация (геометрия)|альтернационных||Alternation (geometry)}} подсимметрий, каждая с единственной схемой Коксетера — Дынкина.
{{не переведено 5|Символ Витхоффа|||Wythoff symbol}} представляет специальный случай схемы Коксетера для графов ранга 3 со всеми тремя ветвями без удаления ветвей порядка 2.
Символ Витхоффа способен работать с ''обрезками'', но не с общими альтернациями, когда не все узлы помечены кружками.

{{Октаэдральные многогранники}}

Те же построения можно сделать с несвязными (ортогональными) группами Коксетера, наподобие группы однородных [[Призма (геометрия)|призм]], и могут рассматриваться с большей ясностью как мозаики [[диэдр]]ов и [[осоэдр]]ов на сфере, наподобие семейств [6]×[] или [6,2]:
{{Шестиугольные диэдральные усечения}}

По сравнению с [6,3], семейство {{CDD|node|6|node|3|node}} порождает два параллельных семейства 7 однородных мозаик евклидовой плоскости и их двойственных мозаик. Снова имеется 3 альтернации и несколько полусимметричных версий.
{{Таблица шестиугольных мозаик}}

На гиперболической плоскости [7,3] семейство {{CDD|node|7|node|3|node}} порождает два параллельных множества однородных мозаик евклидовой плоскости и двойственных им мозаик.
Имеется только одна альтернация ([[Обрезок (геометрия)|обрезок]]), поскольку все ветви нечётные.
Много других гиперболических семейств однородных мозаик можно видеть среди [[Однородные мозаики на гиперболической плоскости|однородных мозаик на гиперболической плоскости]].

{{Таблица семиугольных мозаик}}

== Аффинные группы Коксетера ==
Семейства выпуклых однородных евклидовых мозаик определяются {{не переведено 5|Аффинная группа Коксетера|аффинной группой Коксетера||affine Coxeter group}}.
Эти группы идентичны конечным группам с добавлением одного узла. В буквенных обозначениях им даётся та же буква с тильдой («~») над буквой. Индекс относится к конечной группе, так что ранг равен индексу + 1. (Символы [[Витт, Эрнст|Витта]] для аффинных групп даны с пометкой ''также'')
# <math>{\tilde{A}}_{n-1}</math>: диаграммы этого типа являются циклами. (Также P<sub>n</sub>)
# <math>{\tilde{C}}_{n-1}</math> ассоциирована с семейством [[Гиперкубические соты|гиперкубических правильных мозаик]] (3, …., 4). (Также R<sub>n</sub>)
# <math>{\tilde{B}}_{n-1}</math> связана с C удалением одного минора. (Также S<sub>n</sub>)
# <math>{\tilde{D}}_{n-1}</math> связана с C удалением двух миноров. (Также Q<sub>n</sub>)
# <math>{\tilde{E}}_6</math>, <math>{\tilde{E}}_7</math>, <math>{\tilde{E}}_8</math>. (Также T<sub>7</sub>, T<sub>8</sub>, T<sub>9</sub>)
# <math>{\tilde{F}}_4</math> образует {3,4,3,3} правильную мозаику. (Также U<sub>5</sub>)
# <math>{\tilde{G}}_2</math> образует 30-60-90 треугольные фундаментальные области. (Также V<sub>3</sub>)
# <math>{\tilde{I}}_1</math> состоит из двух параллельных зеркал. (= <math>{\tilde{A}}_1</math> = <math>{\tilde{C}}_1</math>) (Также W<sub>2</sub>)

Составные группы можно определить как ортогональные системы.
Наиболее часто используется <math>{\tilde{A}}_1</math>.
Так, например, <math>{\tilde{A}}_1^2</math> {{CDD|node|infin|node|2|node|infin|node}} представляет квадратные или прямоугольные области на евклидовой плоскости, а <math>{\tilde{A}}_1 {\tilde{G}}_2</math> {{CDD|node|infin|node|2|node|split1|branch}} представляет фундаментальную область в виде [[Треугольная призма|треугольной призмы]] в евклидовом трёхмерном пространстве.

{| class="wikitable"
|+ Аффинные группы Коксетера (от 2 до 10 узлов)
!Ранг
!<math>{\tilde{A}}_{1+}</math> (P<sub>2+</sub>)
!<math>{\tilde{B}}_{3+}</math> (S<sub>4+</sub>)
!<math>{\tilde{C}}_{1+}</math> (R<sub>2+</sub>)
!<math>{\tilde{D}}_{4+}</math> (Q<sub>5+</sub>)
! <math>{\tilde{E}}_n</math> (T<sub>n+1</sub>) / <math>{\tilde{F}}_4</math> (U<sub>5</sub>) / <math>{\tilde{G}}_2</math> (V<sub>3</sub>)
|- align=center valign=top
!2
|<math>{\tilde{A}}_1</math>=[∞]<br>{{CDD|node|infin|node}}
|rowspan=2|
|<math>{\tilde{C}}_1</math>=[∞]<br>{{CDD|node|infin|node}}
|rowspan=2|
|
|- align=center valign=top
!3
|<math>{\tilde{A}}_{2}</math>=[3<sup>[3]</sup>]<br>[[:Файл:DynkinA2Affine.svg|*]] {{CDD|branch|split2|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{2}</math>=[4,4]<br>[[:Файл:DynkinC2Affine.svg|*]] {{CDD|node|4|node|4|node}}
|<math>{\tilde{G}}_{2}</math>=[6,3]<br>[[:Файл:DynkinG2Affine1.svg|*]] {{CDD|node|6|node|3|node}}
|- align=center valign=top
!4
|<math>{\tilde{A}}_{3}</math>=[3<sup>[4]</sup>]<br>[[:Файл:DynkinA3Affine.svg|*]] {{CDD|node|split1|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{3}</math>=[4,3<sup>1,1</sup>]<br>[[:Файл:DynkinB3Affine.svg|*]] {{CDD|nodes|split2|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{3}</math>=[4,3,4]<br>[[:Файл:DynkinC3Affine.svg|*]] {{CDD|node|4|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{3}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>−1</sup>,3<sup>1,1</sup>]<BR>{{CDD|node|split1|nodes|split2|node}} = <math>{\tilde{A}}_{3}</math>
|
|- align=center valign=top
!5
|<math>{\tilde{A}}_{4}</math>=[3<sup>[5]</sup>]<br>[[:Файл:DynkinA4Affine.svg|*]] {{CDD|branch|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{4}</math>=[4,3,3<sup>1,1</sup>]<br>[[:Файл:DynkinB4Affine.svg|*]] {{CDD|nodes|split2|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{4}</math>=[4,3<sup>2</sup>,4]<br>[[:Файл:DynkinC4Affine.svg|*]] {{CDD|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{4}</math>=[3<sup>1,1,1,1</sup>]<br>[[:Файл:DynkinD4Affine.svg|*]] {{CDD|nodes|split2|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{F}}_{4}</math>=[3,4,3,3]<br>[[:Файл:DynkinF4Affine.svg|*]] {{CDD|node|3|node|4|node|3|node|3|node}}
|- align=center valign=top
!6
|<math>{\tilde{A}}_{5}</math>=[3<sup>[6]</sup>] <br>[[:Файл:DynkinA5Affine1.svg|*]] {{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{5}</math>=[4,3<sup>2</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>[[:Файл:DynkinB5Affine.svg|*]] {{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{5}</math>=[4,3<sup>3</sup>,4]<br>[[:Файл:DynkinC5Affine.svg|*]] {{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{5}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>1,1</sup>]<br>[[:Файл:DynkinD5Affine.svg|*]] {{CDD|nodes|split2|node|3|node|split1|nodes}}
|
|- align=center valign=top
!7
|<math>{\tilde{A}}_{6}</math>=[3<sup>[7]</sup>]<br>[[:Файл:AffineA6.svg|*]] {{CDD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{6}</math>=[4,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{6}</math>=[4,3<sup>4</sup>,4]<br>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{6}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>2</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{E}}_{6}</math>=[3<sup>2,2,2</sup>]<br>{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node}}
|- align=center valign=top
!8
|<math>{\tilde{A}}_{7}</math>=[3<sup>[8]</sup>]<br>[[:Файл:AffineA7.svg|*]] {{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{7}</math>=[4,3<sup>4</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>[[:Файл:AffineB7.svg|*]] {{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{7}</math>=[4,3<sup>5</sup>,4]<br>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{7}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>[[:Файл:AffineD7.svg|*]] {{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{E}}_{7}</math>=[3<sup>3,3,1</sup>]<br>[[:Файл:AffineE7.svg|*]] {{CDD|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|- align=center valign=top
!9
|<math>{\tilde{A}}_{8}</math>=[3<sup>[9]</sup>]<br>[[:Файл:AffineA8.svg|*]] {{CDD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{8}</math>=[4,3<sup>5</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{8}</math>=[4,3<sup>6</sup>,4]<br>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{8}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>4</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{E}}_{8}</math>=[3<sup>5,2,1</sup>]<br>[[:Файл:E9-AffineE8.svg|*]] {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center valign=top
!10
|<math>{\tilde{A}}_{9}</math>=[3<sup>[10]</sup>]<br>[[:Файл:AffineA9.svg|*]] {{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{9}</math>=[4,3<sup>6</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{9}</math>=[4,3<sup>7</sup>,4]<br>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{9}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>5</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|- align=center valign=top
!11
|…
|…
|…
|…
|}

== Гиперболические группы Коксетера ==
Имеется бесконечно много бесконечных гиперболических [[Группа Коксетера|групп Коксетера]]. Гиперболические группы делятся на компактные и некомпактные, где компактные группы имеют ограниченные фундаментальные области. Компактные группы гиперболических симплексов ('''симплексы Ланнера''') существуют для рангов от 3 до 5. Паракомпактные группы симплексов ('''симплексы Кошуля''') существуют вплоть до ранга 10. Гиперкомпактные ('''многогранники Винберга''') группы исследовались, но полностью ещё не изучены. В 2006 Алкок (Allcock) доказал, что имеется бесконечно много компактных многогранников Винберга для пространств размерности вплоть до 6 и бесконечно много многогранников Винберга для размерностей вплоть до 19<ref>{{статья
|автор=Daniel Allcock
|заглавие=Infinitely many hyperbolic Coxeter groups through dimension 19
|journal=Geometry & Topology
|date=2006-07-11
|volume=10
|pages=737–758
|doi=10.2140/gt.2006.10.737
}}</ref>, так что полное перечисление невозможно. Все эти фундаментальные области отражений, как симплексов, так и не симплексов, часто называют '''[[Политоп|политопами Коксетера]]''', или, иногда, что менее аккуратно, '''[[многогранник]]ами Коксетера'''.

=== Гиперболические группы в H<sup>2</sup> ===
{{Further|Однородные мозаики на гиперболической плоскости}}

{| class="wikitable" style="float:right;"
|+ [[Модель Пуанкаре]] фундаментальной области [[Группа треугольника|треугольников]]
|-
!colspan=5|Примеры прямоугольных треугольников [p, q]
|- align=center
|[[Файл:H2checkers 237.png|80px]]<br>[3,7]
|[[Файл:H2checkers 238.png|80px]]<br>[3,8]
|[[Файл:Hyperbolic domains 932 black.png|80px]]<br>[3,9]
|[[Файл:H2checkers 23i.png|80px]]<br>[3,∞]
|- align=center
|[[Файл:H2checkers 245.png|80px]]<br>[4,5]
|[[Файл:H2checkers 246.png|80px]]<br>[4,6]
|[[Файл:H2checkers 247.png|80px]]<br>[4,7]
|[[Файл:H2checkers 248.png|80px]]<br>[4,8]
|[[Файл:H2checkers 24i.png|80px]]<br>[∞,4]
|- align=center
|[[Файл:H2checkers 255.png|80px]]<br>[5,5]
|[[Файл:H2checkers 256.png|80px]]<br>[5,6]
|[[Файл:H2checkers 257.png|80px]]<br>[5,7]
|[[Файл:H2checkers 266.png|80px]]<br>[6,6]
|[[Файл:H2checkers 2ii.png|80px]]<br>[∞,∞]
|- align=center
!colspan=5|Примеры треугольников общего вида [(p, q, r)]
|- align=center
|[[Файл:H2checkers 334.png|80px]]<br>[(3,3,4)]
|[[Файл:H2checkers 335.png|80px]]<br>[(3,3,5)]
|[[Файл:H2checkers 336.png|80px]]<br>[(3,3,6)]
|[[Файл:H2checkers 337.png|80px]]<br>[(3,3,7)]
|[[Файл:H2checkers 33i.png|80px]]<br>[(3,3,∞)]
|- align=center
|[[Файл:H2checkers 344.png|80px]]<br>[(3,4,4)]
|[[Файл:H2checkers 366.png|80px]]<br>[(3,6,6)]
|[[Файл:H2checkers 3ii.png|80px]]<br>[(3,∞,∞)]
|[[Файл:H2checkers 666.png|80px]]<br>[(6,6,6)]
|[[Файл:H2checkers iii.png|80px]]<br>[(∞,∞,∞)]
|}
Двумерные гиперболические [[Группа треугольника|группы треугольника]] существуют как схемы Коксетера ранга 3, определяемые треугольником (p q r):
: <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<1.</math>

Существует бесконечно много компактных треугольных гиперболических групп Коксетера, включая линейные и треугольные графы. Линейные графы существуют для прямоугольных треугольников (с r=2).<ref>[http://www.math.ohio-state.edu/~mdavis/davisbook.pdf ''The Geometry and Topology of Coxeter Groups'', Michael W. Davis, 2008] {{Wayback|url=http://www.math.ohio-state.edu/~mdavis/davisbook.pdf |date=20100628064500 }} p. 105 Table 6.2. Hyperbolic diagrams</ref>

{| class="wikitable"
|+ Компактные гиперболические группы Коксетера
|-
! valign=top|Линейные
! valign=top|Циклические
|-
| valign=top|'''{{не переведено 5|Регулярные гиперболические мозаики|∞||Regular hyperbolic tiling}}''' [p, q], {{CDD|node|p|node|q|node}}: <br>2(p+q)&lt;pq<br>
{{CDD|node|7|node|3|node}}<br>
{{CDD|node|8|node|3|node}}<br>
{{CDD|node|9|node|3|node}}<br>
…<br>
{{CDD|node|5|node|4|node}}<br>
{{CDD|node|6|node|4|node}}<br>
…<br>
{{CDD|node|5|node|5|node}}<br>
{{CDD|node|6|node|5|node}}<br>
…<br>
| valign=top|∞ [(p, q, r)], {{CDD|pqr}}: p+q+r&gt;9<br>
{| class=wikitable
|- valign=top
|
{{CDD|3|node|4|node|3|node|3}}<br>
{{CDD|3|node|4|node|4|node|3}}<br>
{{CDD|3|node|4|node|4|node|4}}<br>
|
{{CDD|3|node|5|node|3|node|3}}<br>
{{CDD|3|node|5|node|4|node|3}}<br>
{{CDD|3|node|5|node|4|node|4}}<br>
{{CDD|3|node|5|node|5|node|3}}<br>
{{CDD|3|node|5|node|5|node|4}}<br>
{{CDD|3|node|5|node|5|node|5}}
|
{{CDD|3|node|6|node|3|node|3}}<br>
{{CDD|3|node|6|node|4|node|3}}<br>
{{CDD|3|node|6|node|4|node|4}}<br>
{{CDD|3|node|6|node|5|node|3}}<br>
{{CDD|3|node|6|node|5|node|4}}<br>
{{CDD|3|node|6|node|5|node|5}}<br>
{{CDD|3|node|6|node|6|node|3}}<br>
{{CDD|3|node|6|node|6|node|4}}<br>
{{CDD|3|node|6|node|6|node|5}}<br>
{{CDD|3|node|6|node|6|node|6}}
|
{{CDD|3|node|7|node|3|node|3}}<br>
…
|}
|}

Паракомпактные группы Коксетера ранга 3 существуют как пределы компактных.

{| class=wikitable
|-
!Линейные графы
!Циклические графы
|- valign=top
|
* [p,∞] {{CDD|node|p|node|infin|node}}
* [∞,∞] {{CDD|node|infin|node|infin|node}}
|
* [(p, q,∞)] {{CDD|3|node|p|node|q|node|infin|3}}
* [(p,∞,∞)] {{CDD|3|node|p|node|infin|node|infin|3}}
* [(∞,∞,∞)] {{CDD|3|node|infin|node|infin|node|infin|3}}
|}
{{-}}

==== Арифметическая группа треугольника ====
Конечным подмножеством гиперболических [[Группа треугольника|групп треугольника]] являются [[Арифметическая группа|арифметические группы]].
Полный список таких групп нашёл с помощью компьютера Кисао Такэути и опубликовал в статье 1977 года «Арифметические группы треугольников»<ref>{{статья
 |ссылка= https://projecteuclid.org/euclid.jmsj/1240433796
 |заглавие= Arithmetic triangle groups
 |издание= Journal of the Mathematical Society of Japan
 |том= 29
 |страницы= 91—106
 |ref= Takeuchi
 |автор= Takeuchi, Kisao
 |год= 1977
 |archivedate= 2020-06-11
 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20200611105959/https://projecteuclid.org/euclid.jmsj/1240433796
 }}</ref>. Имеется таких групп 85, из них 76 компактных и 9 паракомпактных.

{| class=wikitable
|-
!Прямоугольные треугольники (p q 2)
!Треугольники общего вида (p q r)
|-
|Компактные группы: (76)
: {{CDD|node|3|node|7|node}}, {{CDD|node|3|node|8|node}}, {{CDD|node|3|node|9|node}}, {{CDD|node|3|node|10|node}}, {{CDD|node|3|node|11|node}}, {{CDD|node|3|node|12|node}}, {{CDD|node|3|node|14|node}}, {{CDD|node|3|node|16|node}}, {{CDD|node|3|node|18|node}}, {{CDD|node|3|node|2x|4|node}}, {{CDD|node|3|node|3x|0x|node}}
: {{CDD|node|4|node|5|node}}, {{CDD|node|4|node|6|node}}, {{CDD|node|4|node|7|node}}, {{CDD|node|4|node|8|node}}, {{CDD|node|4|node|10|node}}, {{CDD|node|4|node|12|node}}, {{CDD|node|4|node|18|node}}
: {{CDD|node|5|node|5|node}}, {{CDD|node|5|node|6|node}}, {{CDD|node|5|node|8|node}}, {{CDD|node|5|node|10|node}}, {{CDD|node|5|node|20|node}}, {{CDD|node|5|node|3x|0x|node}}
: {{CDD|node|6|node|6|node}}, {{CDD|node|6|node|8|node}}, {{CDD|node|6|node|12|node}}, {{CDD|node|7|node|7|node}}, {{CDD|node|7|node|14|node}}
: {{CDD|node|8|node|8|node}}, {{CDD|node|8|node|16|node}}, {{CDD|node|9|node|18|node}}, {{CDD|node|10|node|10|node}}, {{CDD|node|12|node|12|node}}, {{CDD|node|12|node|2x|4|node}}, {{CDD|node|15|node|3x|0x|node}}, {{CDD|node|18|node|18|node}}
Паракомпактные прямоугольные треугольники: (4)
: {{CDD|node|3|node|infin|node}}, {{CDD|node|4|node|infin|node}}, {{CDD|node|6|node|infin|node}}, {{CDD|node|infin|node|infin|node}}
|Треугольники общего вида: (39)
: {{CDD|3|node|3|node|3|node|4}}, {{CDD|3|node|3|node|3|node|5}}, {{CDD|3|node|3|node|3|node|6}}, {{CDD|3|node|3|node|3|node|7}}, {{CDD|3|node|3|node|3|node|8}}, {{CDD|3|node|3|node|3|node|9}}, {{CDD|3|node|3|node|3|node|12}}, {{CDD|3|node|3|node|3|node|15}}
: {{CDD|3|node|3|node|4|node|4}}, {{CDD|3|node|3|node|4|node|6}}, {{CDD|3|node|3|node|4|node|12}}, {{CDD|3|node|3|node|5|node|5}}, {{CDD|3|node|3|node|6|node|6}}, {{CDD|3|node|3|node|6|node|18}}, {{CDD|3|node|3|node|8|node|8}}, {{CDD|3|node|3|node|8|node|2x|4}}, {{CDD|3|node|3|node|10|node|3x|0x}}, {{CDD|3|node|3|node|12|node|12}}
: {{CDD|3|node|4|node|4|node|4}}, {{CDD|3|node|4|node|4|node|5}}, {{CDD|3|node|4|node|4|node|6}}, {{CDD|3|node|4|node|4|node|9}}, {{CDD|3|node|4|node|5|node|5}}, {{CDD|3|node|4|node|6|node|6}}, {{CDD|3|node|4|node|8|node|8}}, {{CDD|3|node|4|node|16|node|16}}
: {{CDD|3|node|5|node|5|node|5}}, {{CDD|3|node|5|node|5|node|10}}, {{CDD|3|node|5|node|5|node|15}}, {{CDD|3|node|5|node|10|node|10}}
: {{CDD|3|node|6|node|6|node|6}}, {{CDD|3|node|6|node|12|node|12}}, {{CDD|3|node|6|node|2x|4|node|2x|4}}, {{CDD|3|node|7|node|7|node|7}}, {{CDD|3|node|8|node|8|node|8}}, {{CDD|3|node|9|node|9|node|9}}, {{CDD|3|node|9|node|18|node|18}}, {{CDD|3|node|12|node|12|node|12}}, {{CDD|3|node|15|node|15|node|15}}
Паракомпактные треугольники общего вида: (5)
: {{CDD|3|node|3|node|3|node|infin}}, {{CDD|3|node|3|node|infin|node|infin}}, {{CDD|3|node|4|node|4|node|infin}}, {{CDD|3|node|6|node|6|node|infin}}, {{CDD|3|node|infin|node|infin|node|infin}}
|-
|
: (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9), (2 3 10), (2 3 11), (2 3 12), (2 3 14), (2 3 16), (2 3 18), (2 3 24), (2 3 30)
: (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7), (2 4 8), (2 4 10), (2 4 12), (2 4 18),
: (2 5 5), (2 5 6), (2 5 8), (2 5 10), (2 5 20), (2 5 30)
: (2 6 6), (2 6 8), (2 6 12)
: (2 7 7), (2 7 14), (2 8 8), (2 8 16), (2 9 18)
: (2 10 10) (2 12 12) (2 12 24), (2 15 30), (2 18 18)

: (2 3 ∞) (2,4 ∞) (2,6 ∞) (2 ∞ ∞)
|
: (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6), (3 3 7), (3 3 8), (3 3 9), (3 3 12), (3 3 15)
: (3 4 4), (3 4 6), (3 4 12), (3 5 5), (3 6 6), (3 6 18), (3 8 8), (3 8 24), (3 10 30), (3 12 12)
: (4 4 4), (4 4 5), (4 4 6), (4 4 9), (4 5 5), (4 6 6), (4 8 8), (4 16 16)
: (5 5 5), (5 5 10), (5 5 15), (5 10 10)
: (6 6 6), (6 12 12), (6 24 24)
: (7 7 7) (8 8 8) (9 9 9) (9 18 18) (12 12 12) (15 15 15)

: (3,3 ∞) (3 ∞ ∞)
: (4,4 ∞) (6 6 ∞) (∞ ∞ ∞)
|}

==== Гиперболические многоугольники Коксетера над треугольниками ====
{| class="wikitable"
|+ Фундаментальная область групп четырёхугольников
|- align=center valign=top
|[[Файл:Hyperbolic domains 3222.png|100px]]<br>{{CDD|node|infin|node|3|node|infin|node}} or {{CDD|branch|2a2b-cross|nodes}}<br>[∞,3,∞]<BR>[iπ/λ<sub>1</sub>,3,iπ/λ<sub>2</sub>]<br>(*3222)
|[[Файл:Hyperbolic domains 2233.png|100px]]<br>{{CDD|labelinfin|branch|split2|node|infin|node}} or {{CDD|branch|3a2b-cross|nodes}}<br>[((3,∞,3)),∞]<br>[((3,iπ/λ<sub>1</sub>,3)), iπ/λ<sub>2</sub>]<br>(*3322)
|[[Файл:H2chess 246a.png|100px]]<br>{{CDD|labelinfin|branch|3ab|branch|labelinfin}} or {{CDD|branch|2a2b-cross|branch}}<br>[(3,∞)<sup>[2]</sup>]<br>[(3,iπ/λ<sub>1</sub>,3,iπ/λ<sub>2</sub>)]<br>(*3232)
|[[Файл:H2chess 248a.png|100px]]<br>{{CDD|labelinfin|branch|4a4b|branch|labelinfin}} or {{CDD|label4|branch|2a2b-cross|branch|label4}}<br>[(4,∞)<sup>[2]</sup>]<br>[(4,iπ/λ<sub>1</sub>,4,iπ/λ<sub>2</sub>)]<br>(*4242)
|[[Файл:H2chess 246b.png|100px]]<br>{{CDD|branch|3a3b-cross|branch}}<br><br><br>(*3333)
|- align=center
!colspan=4|Области с идеальными вершинами
|- align=center valign=top
|[[Файл:Hyperbolic domains i222.png|100px]]<br>{{CDD|labelinfin|branch|2a2b-cross|nodes}}<br>[iπ/λ<sub>1</sub>,∞,iπ/λ<sub>2</sub>]<br>(*∞222)
|[[Файл:Hyperbolic domains ii22.png|100px]]<br>{{CDD|labelinfin|branch|ia2b-cross|nodes}}<br><br>(*∞∞22)
|[[Файл:H2chess 24ia.png|100px]]<br>{{CDD|labelinfin|branch|2a2b-cross|branch|labelinfin}}<br>[(iπ/λ<sub>1</sub>,∞,iπ/λ<sub>2</sub>,∞)]<br>(*2∞2∞)
|[[Файл:H2chess 24ib.png|100px]]<br>{{CDD|labelinfin|branch|iaib-cross|branch|labelinfin}}<br><br>(*∞∞∞∞)
|[[Файл:H2chess 248b.png|100px]]<br>{{CDD|label4|branch|4a4b-cross|branch|label4}}<br><br>(*4444)
|}
Другие H<sup>2</sup> гиперболические калейдоскопы можно построить из многоугольников большего порядка. Подобно [[Группа треугольника|группам треугольника]] эти калейдоскопы можно идентифицировать циклической последовательностью порядков пересечений зеркал вокруг фундаментальной области, как (a b c d …), или, эквивалентно, (согласно {{не переведено 5|Символ орбифолда|нотации орбифолдов||orbifold notation}}) как *''abcd''…. Диаграммы Коксетера — Дынкина для этих многоугольных калейдоскопов можно рассматривать как фундаментальную область с вырожденным <math>(n-1)</math>-мерным [[симплекс]]ом с циклическим порядком ветвей a, b, c…, а оставшиеся <math>n\cdot(n-3)/2</math> ветвей помечены как бесконечные (∞) и представляют непересекающиеся зеркала. Единственным негиперболическим примером служит симметрия четырёх зеркал (в евклидовом пространстве) [[Квадратный паркет|квадрата]] или прямоугольника, {{CDD|node|infin|node|2|node|infin|node}}, [∞,2,∞] (орбифолд *2222). Другое представление ветвей непересекающихся зеркал, предложенное [[Винберг, Эрнест Борисович|Винбергом]], показывает бесконечные ветви точечными или пунктирными линиями, так что диаграммы выглядят как {{CDD|nodes|2a2b-cross|nodes}} с предполагаемыми четырьмя ветвями порядка 2 вокруг периметра.

Например, четырёхугольная область (a b c d) будет иметь две ветви бесконечного порядка, соединяющие ультрапараллельные зеркала. Наименьший гиперболический пример — это {{CDD|node|infin|node|3|node|infin|node}}, [∞,3,∞] или [iπ/λ<sub>1</sub>,3,iπ/λ<sub>2</sub>] (орбифолд *3222), где (λ<sub>1</sub>,λ<sub>2</sub>) является расстоянием между ультрапараллельными зеркалами. Альтернативным выражением является {{CDD|branch|2a2b-cross|nodes}}, с тремя ветвями порядка 2, предполагаемыми вокруг периметра. Подобным же образом (2 3 2 3) (орбифолд *3232) можно представить как {{CDD|branch|2a2b-cross|branch}} и (3 3 3 3), (орбифолд *3333) можно представить как полный граф {{CDD|branch|3a3b-cross|branch}}.

Наивысшей квадратной областью (∞ ∞ ∞ ∞) является бесконечный квадрат, представленный полным [[тетраэдр]]альным графом с 4 ветвями по периметру как идеальные вершины, и двумя диагональными ветвями как бесконечность (показано точечными линиями) для {{не переведено 5|Теорема об ультрапараллельных прямых|ультрапараллельных||Ultraparallel theorem}} зеркал: {{CDD|labelinfin|branch|iaib-cross|branch|labelinfin}}.

=== Компакт (группы симплексов Ланнера) ===
Компактные гиперболические группы называются группами Ланнера, по имени Фольке Ланнера, изучавшего их в 1950<ref name=folke/>.
Группы существуют только для графов ранга 4 и 5. Коксетер изучал линейные гиперболические группы (своего имени) в статье 1954 года ''Regular Honeycombs in hyperbolic space'' (Регулярные соты в гиперболическом пространстве)<ref>[http://www.mathunion.org/ICM/ICM1954.3/Main/icm1954.3.0155.0169.ocr.pdf Regular Honeycombs in hyperbolic space] {{Wayback|url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1954.3/Main/icm1954.3.0155.0169.ocr.pdf |date=20160610043106 }}, Coxeter, 1954</ref>, в которой приведены {{не переведено 5|5-ячеечные соты порядка 5|два рациональных решения в 4-мерном гиперболическом пространстве||Order-5 5-cell honeycomb}}: [5/2,5,3,3] = {{CDD|node|5|rat|2x|node|5|node|3|node|3|node}} и [5,5/2,5,3] = {{CDD|node|5|node|5|rat|2x|node|5|node|3|node}}.

==== {{anchor|Ранги  4–5}} Ранги 4-5 ====
{{Further|Однородные соты в гиперболическом пространстве}}
Фундаментальная область любой из двух расщепляющихся групп [5,3<sup>1,1</sup>] и [5,3,3<sup>1,1</sup>] является удвоением соответствующей линейной группы, [5,3,4] и [5,3,3,4] соответственно. Буквенные имена групп даны [[Джонсон, Норман|Джонсоном]] как расширение [[Витт, Эрнст|символов Витта]]<ref name=johnson2011/>.

{| class="wikitable"
|+ Компактные гиперболические группы Коксетера
|-
! valign=top|Размерность<br>'''H<sup>d</sup>'''
! valign=top|Ранг
! valign=top|Общее число
! valign=top|Линейные
! valign=top|Расщепляющиеся
! valign=top|Циклические
|-
!'''H<sup>3</sup>'''
!4
!9
| valign=top align=right|<center>'''[[Список правильных многогранников|3:]]'''</center>
<math>{\bar{BH}}_3</math> = [4,3,5]: {{CDD|node|4|node|3|node|5|node}}<br>
<math>{\bar{K}}_3</math> = [5,3,5]: {{CDD|node|5|node|3|node|5|node}}<br>
<math>{\bar{J}}_3</math> = [3,5,3]: {{CDD|node|3|node|5|node|3|node}}
| valign=top align=right|
<math>{\bar{DH}}_3</math> = [5,3<sup>1,1</sup>]: {{CDD|node|5|node|split1|nodes}}
| valign=top align=right|
<math>{\widehat{AB}}_3</math> = [(3<sup>3</sup>,4)]: {{CDD|label4|branch|3ab|branch}} <br>
<math>{\widehat{AH}}_3</math> = [(3<sup>3</sup>,5)]: {{CDD|label5|branch|3ab|branch}} <br>
<math>{\widehat{BB}}_3</math> = [(3,4)<sup>[2]</sup>]: {{CDD|label4|branch|3ab|branch|label4}}<br>
<math>{\widehat{BH}}_3</math> = [(3,4,3,5)]: {{CDD|label4|branch|3ab|branch|label5}}<br>
<math>{\widehat{HH}}_3</math> = [(3,5)<sup>[2]</sup>]: {{CDD|label5|branch|3ab|branch|label5}}
|-
!'''H<sup>4</sup>'''
!5
!5
| valign=top align=right|<center>'''{{не переведено 5|5-ячеечные соты порядка 5|3:||Order-5 5-cell honeycomb}}'''</center>
<math>{\bar{H}}_4</math> = [3<sup>3</sup>,5]: {{CDD|node|3|node|3|node|3|node|5|node}}<br>
<math>{\bar{BH}}_4</math> = [4,3,3,5]: {{CDD|node|4|node|3|node|3|node|5|node}}<br>
<math>{\bar{K}}_4</math> = [5,3,3,5]: {{CDD|node|5|node|3|node|3|node|5|node}}
| valign=top align=right|
<math>{\bar{DH}}_4</math> = [5,3,3<sup>1,1</sup>]: {{CDD|node|5|node|3|node|split1|nodes}}
| valign=top align=right|
<math>{\widehat{AF}}_4</math> = [(3<sup>4</sup>,4)]: {{CDD|label4|branch|3ab|nodes|split2|node}}
|}

=== Паракомпакт (группы симплексов Кошуля) ===
[[Файл:Hyperbolic apeirogon example.png|thumb|Пример {{не переведено 5|Бесконечноугольная мозаика 3-го порядка|бесконечноугольной мозаики 3-го порядка||order-3 apeirogonal tiling}}, {∞,3} с одним зелёным {{не переведено 5|Бесконечноугольник|бесконечноугольником||apeirogon}} и его описанного [[орицикл]]а]]

Паракомпактные (также называемые некомпактными) гиперболические группы Коксетера содержат аффинные подгруппы и имеют симплексные в асимптотике фундаментальные области. Наивысшие паракомпактные гиперболические группы Коксетера имеют ранг 10. Эти группы названы именем французского математика {{не переведено 5|Кошуль, Жан-Луи|Жана-Луи Кошуля||Jean-Louis Koszul}}<ref>J. L. Koszul, ''Lectures on hyperbolic Coxeter groups'', University of Notre Dame (1967)</ref>. Они же называются квазиланнеровскими группами как расширение компактных групп Ланнера.
Полный список групп был найден Чейном с помощью компьютера и опубликован в 1969-м<ref>M. Chein, Recherche des graphes des matrices de Coxeter hyperboliques d’ordre ≤10, Rev. Française Informat. Recherche Opérationnelle 3 (1969), no. Ser. R-3, 3-16 (French). [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0294181] {{Wayback|url=http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0294181 |date=20150610221528 }}</ref>.

Согласно [[Винберг, Эрнест Борисович|Винбергу]], все, кроме восьми, из этих 72 компактных и паракомпактных групп являются арифметическими. Две неарифметические группы компактны — {{CDD|label4|branch|3ab|branch|label5}} и {{CDD|label4|branch|3ab|nodes|split2|node}}. Остальные шесть неарифметических групп паракомпактны, из них пять групп являются 3-мерными ({{CDD|node|5|node|3|node|6|node}}, {{CDD|node|5|node|split1|branch}}, {{CDD|node|3|node|3|node|6|node}}, {{CDD|label4|branch|3ab|branch|label6}} и {{CDD|label5|branch|3ab|branch|label6}}), а одна является 5-мерной ({{CDD|label4|branch|3ab|nodes|3ab|branch}}).

==== Идеальные симплексы ====
[[Файл:H2checkers iii.png|thumb|200px|Идеальные фундаментальные области {{CDD|labelinfin|branch|split2-ii|node}}, [(∞,∞,∞)] в [[Модель Пуанкаре|модели Пуанкаре]]]]
Имеется 5 гиперболических групп Коксетера, отражающих '''идеальные симплексы''', которые имеют графы, удаление любой одной вершины которых приводит к аффинной группе Коксетера. В этом случае все вершины этих идеальных симплексов находятся на бесконечности<ref>[http://arxiv.org/abs/1012.1046 Subalgebras of hyperbolic Kay-Moody algebras] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/1012.1046 |date=20210520212844 }}, Figure 5.1, p.13</ref>.
{| class=wikitable
|-
!Ранг
!colspan=2|Идеальная группа
!colspan=2|Аффинные подгруппы
|- align=center
!3
| [(∞,∞,∞)]||{{CDD|labelinfin|branch|split2-ii|node}}
|[∞]||{{CDD|node|infin|node}}
|- align=center
!4
| [4<sup>[4]</sup>]||{{CDD|label4|branch|4-4|branch|label4}}
|[4,4]||{{CDD|node|4|node|4|node}}
|- align=center
!4
| [3<sup>[3,3]</sup>]||{{CDD|tet}}
| [3<sup>[3]</sup>]||{{CDD|node|split1|branch}}
|- align=center
!4
| [(3,6)<sup>[2]</sup>]||{{CDD|label6|branch|3ab|branch|label6}}
|[3,6]||{{CDD|node|3|node|6|node}}
|- align=center
!6
| [(3,3,4)<sup>[2]</sup>]||{{CDD|label4|branch|3ab|nodes|3ab|branch|label4}}
|[4,3,3,4], [3,4,3,3]||{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}, {{CDD|node|3|node|4|node|3|node|3|node}}
|}

==== {{anchor| Ранги  4 - 10}} Ранги 4-10 ====
[[Файл:633 honeycomb one cell horosphere.png|thumb|Бесконечные евклидовы ячейки наподобие [[Шестиугольный паркет|шестиугольного паркета]] при правильном масштабировании сходятся к одной идеальной точке в бесконечности.]]
{{Further|Паракомпактные однородные соты}}
Существует 58 паракомпактных гиперболических групп Коксетера рангами от 4 до 10. Все 58 групп сгруппированы в пять категорий. Буквенные обозначения группам дал [[Джонсон, Норман|Джонсон]] как ''Расширенные символы Витта'', для чего он использовал буквы PQRSTWUV из аффинных символов Витта и добавил буквы LMNOXYZ. Над буквами обозначений гиперболических групп присутствует надчёркивание, или крышечка (для циклических схем). {{не переведено 5|Нотация Коксетера|Скобочная нотация||Coxeter notation}} Коксетера является линеаризированным представлением группы Коксетера.

{| class=wikitable
|+ Гиперболические паракомпактные группы
|- align=center
!Ранг
!Полное<br>число
!colspan=4|Группы
|- align=center
!4
!23
|align=right|
<math>{\widehat{BR}}_3</math> = [(3,3,4,4)]: {{CDD|label4|branch|4-3|branch|2}}<br>
<math>{\widehat{CR}}_3</math> = [(3,4<sup>3</sup>)]: {{CDD|label4|branch|4-3|branch|label4}}<br>
<math>{\widehat{RR}}_3</math> = [4<sup>[4]</sup>]: {{CDD|label4|branch|4-4|branch|label4}}<br>
<math>{\widehat{AV}}_3</math> = [(3<sup>3</sup>,6)]: {{CDD|label6|branch|3ab|branch|2}}<br>
<math>{\widehat{BV}}_3</math> = [(3,4,3,6)]: {{CDD|label6|branch|3ab|branch|label4}}<br>
<math>{\widehat{HV}}_3</math> = [(3,5,3,6)]: {{CDD|label6|branch|3ab|branch|label5}}<br>
<math>{\widehat{VV}}_3</math> = [(3,6)<sup>[2]</sup>]: {{CDD|label6|branch|3ab|branch|label6}}
|align=right|
<math>{\bar{P}}_3</math> = [3,3<sup>[3]</sup>]: {{CDD|branch|split2|node|3|node}}<br>
<math>{\bar{BP}}_3</math> = [4,3<sup>[3]</sup>]: {{CDD|branch|split2|node|4|node}}<br>
<math>{\bar{HP}}_3</math> = [5,3<sup>[3]</sup>]: {{CDD|branch|split2|node|5|node}}<br>
<math>{\bar{VP}}_3</math> = [6,3<sup>[3]</sup>]: {{CDD|branch|split2|node|6|node}}<br>
<math>{\bar{DV}}_3</math> = [6,3<sup>1,1</sup>]: {{CDD|nodes|split2|node|6|node}}<br>
<math>{\bar{O}}_3</math> = [3,4<sup>1,1</sup>]: {{CDD|nodes|split2-44|node|3|node}}<br>
<math>{\bar{M}}_3</math> = [4<sup>1,1,1</sup>]: {{CDD|nodes|split2-44|node|4|node}}
|align=right|
<math>{\bar{R}}_3</math> = [3,4,4]: {{CDD|node|4|node|4|node|3|node}}<br>
<math>{\bar{N}}_3</math> = [4<sup>3</sup>]: {{CDD|node|4|node|4|node|4|node}}<br>
<math>{\bar{V}}_3</math> = [3,3,6]: {{CDD|node|3|node|3|node|6|node}}<br>
<math>{\bar{BV}}_3</math> = [4,3,6]: {{CDD|node|4|node|3|node|6|node}}<br>
<math>{\bar{HV}}_3</math> = [5,3,6]: {{CDD|node|5|node|3|node|6|node}}<br>
<math>{\bar{Y}}_3</math> = [3,6,3]: {{CDD|node|3|node|6|node|3|node}}<br>
<math>{\bar{Z}}_3</math> = [6,3,6]: {{CDD|node|6|node|3|node|6|node}}
|align=right|
<math>{\bar{DP}}_3</math> = [3<sup>[]x[]</sup>]: {{CDD|node|split1|branch|split2|node}}<BR>
<math>{\bar{PP}}_3</math> = [3<sup>[3,3]</sup>]: {{CDD|tet}}
|- align=center
!5
!9
|align=right|
<math>{\bar{P}}_4</math> = [3,3<sup>[4]</sup>]: {{CDD|node|split1|nodes|split2|node|3|node}}

<math>{\bar{BP}}_4</math> = [4,3<sup>[4]</sup>]: {{CDD|node|split1|nodes|split2|node|4|node}}<br>
<math>{\widehat{FR}}_4</math> = [(3<sup>2</sup>,4,3,4)]: {{CDD|branch|4-4|nodes|split2|node}}<br>
<math>{\bar{DP}}_4</math> = [3<sup>[3]x[]</sup>]: {{CDD|node|split1|branchbranch|split2|node}}
|align=right|
<math>{\bar{N}}_4</math> = [4,3,((4,2,3))]: {{CDD|nodes|split2-43|node|3|node|4|node}}<br>
<math>{\bar{O}}_4</math> = [3,4,3<sup>1,1</sup>]: {{CDD|nodes|split2|node|4|node|3|node}}<br>
<math>{\bar{S}}_4</math> = [4,3<sup>2,1</sup>]: {{CDD|nodes|split2-43|node|3|node|3|node}}
|align=right|
<math>{\bar{R}}_4</math> = [(3,4)<sup>2</sup>]: {{CDD|node|4|node|3|node|4|node|3|node}}
|align=right|<math>{\bar{M}}_4</math> = [4,3<sup>1,1,1</sup>]: {{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|4|node}}
|- align=center
!6
!12
|align=right|
<math>{\bar{P}}_5</math> = [3,3<sup>[5]</sup>]: {{CDD|branch|3ab|nodes|split2|node|3|node}}<br>
<math>{\widehat{AU}}_5</math> = [(3<sup>5</sup>,4)]: {{CDD|label4|branch|3ab|nodes|3ab|branch}}

<math>{\widehat{AR}}_5</math> = [(3,3,4)<sup>[2]</sup>]: {{CDD|label4|branch|3ab|nodes|3ab|branch|label4}}
|align=right|
<math>{\bar{S}}_5</math> = [4,3,3<sup>2,1</sup>]: {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|4a|nodea}}<br>
<math>{\bar{O}}_5</math> = [3,4,3<sup>1,1</sup>]: {{CDD|nodes|split2|node|3|node|4|node|3|node}}<br>
<math>{\bar{N}}_5</math> = [3,(3,4)<sup>1,1</sup>]: {{CDD|node|3|node|split1|nodes|4a4b|nodes}}
|align=right|
<math>{\bar{U}}_5</math> = [3<sup>3</sup>,4,3]: {{CDD|node|3|node|3|node|3|node|4|node|3|node}}<br>
<math>{\bar{X}}_5</math> = [3,3,4,3,3]: {{CDD|node|3|node|3|node|4|node|3|node|3|node}}<br>
<math>{\bar{R}}_5</math> = [3,4,3,3,4]: {{CDD|node|3|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}
|align=right|<math>{\bar{Q}}_5</math> = [3<sup>2,1,1,1</sup>]: {{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|3|node|3|node}}<br>
<math>{\bar{M}}_5</math> = [4,3,3<sup>1,1,1</sup>]: {{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|3|node|4|node}}<br>
<math>{\bar{L}}_5</math> = [3<sup>1,1,1,1,1</sup>]: {{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|split1|nodes}}
|- align=center
!7
!3
|align=right|
<math>{\bar{P}}_6</math> = [3,3<sup>[6]</sup>]:<br>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|align=right|<math>{\bar{Q}}_6</math> = [3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>2,1</sup>]:<br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|<math>{\bar{S}}_6</math> = [4,3<sup>2</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}
|
|- align=center
!8
!4
|align=right|<math>{\bar{P}}_7</math> = [3,3<sup>[7]</sup>]:<br>{{CDD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|align=right|<math>{\bar{Q}}_7</math> = [3<sup>1,1</sup>,3<sup>2</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br> {{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|<math>{\bar{S}}_7</math> = [4,3<sup>3</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br> {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}
|align=right|<math>{\bar{T}}_7</math> = [3<sup>3,2,2</sup>]:<br>{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!9
!4
|align=right|<math>{\bar{P}}_8</math> = [3,3<sup>[8]</sup>]:<br>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|align=right|<math>{\bar{Q}}_8</math> = [3<sup>1,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|<math>{\bar{S}}_8</math> = [4,3<sup>4</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}
|align=right|<math>{\bar{T}}_8</math> = [3<sup>4,3,1</sup>]:<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center
!10
!3
|
|align=right|<math>{\bar{Q}}_9</math> = [3<sup>1,1</sup>,3<sup>4</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|<math>{\bar{S}}_9</math> = [4,3<sup>5</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}
|align=right|<math>{\bar{T}}_9</math> = [3<sup>6,2,1</sup>]:<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|}

===== Связи подгрупп паракомпактных гиперболических групп =====
Нижеприведённые графы представляют связи подгрупп паракомпактных гиперболических групп. Индекс подгруппы в каждом ребре дан красным цветом<ref>N.W. Johnson, {{не переведено 5|Келлерхальц, Рут|R. Kellerhals||Ruth Kellerhals}}, J.G. Ratcliffe,S.T. Tschantz, ''Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups'' H<sup>3</sup>: p130, H<sup>4</sup>: p137, H<sup>5</sup>: p 138. [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0024379501004773] {{Wayback|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0024379501004773 |date=20150924154633 }}</ref>. Подгруппы с индексом 2 означают удаление зеркала и удвоение фундаментального домена. Другие подгруппы [[Соизмеримые величины|соизмеримы]] (отношение объёмов является целым числом).

{| class=wikitable
|-
!H<sup>3</sup>
|[[Файл:Hyperbolic subgroup tree 36.png|320px]]
|[[Файл:Hyperbolic subgroup tree 336-direct.png|160px]]
|[[Файл:Hyperbolic subgroup tree 363.png|160px]]
|[[Файл:Hyperbolic subgroup tree 344.png|210px]]
|-
!H<sup>4</sup>
|[[Файл:Hyperbolic subgroup tree 3434.png|320px]]
|-
!H<sup>5</sup>
|[[Файл:Hyperbolic subgroup tree 33343.png|320px]]
|}

=== Гиперкомпактные группы Коксетера (политопы Винберга) ===
Как и для случая гиперболической плоскости H<sup>2</sup>, имеющей нетреугольные многоугольные фундаментальные области, в более высоких размерностях существуют области, не являющиеся симплексами. Эти области можно считать вырожденными симплексами с непересекающимися зеркалами, дающими бесконечный порядок. На схемах Коксетера такие ветви отражаются точечными или пунктирными линиями. Такие области, ''не являющиеся симплексами'', называют '''политопами Винберга''' по имени [[Винберг, Эрнест Борисович|Эрнеста Винберга]], разработавшего {{не переведено 5|Алгоритм Винберга|алгоритм||Vinberg's algorithm}} для поиска несимплексной фундаментальной области гиперболической группы отражений. Геометрически эти фундаментальные области можно классифицировать как четырёхугольные [[Пирамида (геометрия)|пирамиды]] или [[Призма (геометрия)|призмы]], или другие [[многогранник]]и со всеми рёбрами, имеющими на них [[Двугранный угол|двугранные углы]] π/n для n=2,3,4…

В симплексных областях имеется ''n''+1 зеркал для n-мерного пространства. В несимплексных областях имеется более чем ''n''+1 зеркал. Список конечен, но полностью ещё не известен. Имеются частичные списки с ''n''+''k'' зеркалами для k, равных 2,3 и 4.

Гиперкомпактные группы Коксетера в трёхмерном пространстве и выше отличаются от двумерных групп в одном существенном отношении. На плоскости два гиперболических n-угольника, имеющие те же самые углы в некотором циклическом порядке, могут иметь различные длины рёбер, и, в общем случае, не [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэнтны]]. ''Политопы Винберга'' в 3-мерном пространстве и выше полностью определяются двугранными углами. Этот факт базируется на [[Жёсткость Мостова|теореме жёсткости Мостова]], утверждающей, что две изоморфные группы, образованные отражениями в H<sup>n</sup> для n>=3, определяют конгруэнтные фундаментальные области (политопы Винберга).

==== Политопы Винберга ранга n+2 для n-мерного пространства ====
Полный список политопов Винберга с рангом зеркал ''n+2'' для n-мерных пространств был дан Эссельманом в 1996<ref>F. Esselmann, ''The classification of compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d+2 facets.'' Comment. Math. Helvetici 71 (1996), 229—242. [https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02566418] {{Wayback|url=https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02566418 |date=20180605170318 }}</ref>. Частичный список опубликовала в 1974 И. М. Каплинская<ref>{{статья
|автор=И. М. Каплинская
|заглавие=О дискретных группах, порожденных отражениями в гранях симплициальных призм в пространствах Лобачевского
|издание=Матем. заметки
|год=1974
|том=15
|выпуск=1
|страницы=159—164
|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mzm&paperid=7331&option_lang=rus
}}</ref>.

Полный список паракомпактных решений опубликовал П. В. Тумаркин в 2003 для размерностей от 3 до 17<ref>{{статья
|автор=П. В. Тумаркин
|заглавие=Гиперболические многогранники Коксетера в H<sup>3</sup> с n+2 гипергранями
|издание=Матем. заметки
|том= 75
|выпуск=6
|год=2004
|страницы= 909—916
|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mzm&paperid=80&option_lang=rus
}}</ref>.

Наименьший паракомпакт в H<sup>3</sup> можно представить как {{CDD|node|ultra|node|3|node|3|node|ultra|node}} или [∞,3,3,∞], и он может быть построен путём удаления зеркала из паракомпактной гиперболической группы [3,4,4]. Удвоенная фундаментальная область превращается из [[тетраэдр]]а в четырёхугольную пирамиду. Другие пирамиды включают [4,4,1<sup>+</sup>,4] = [∞,4,4,∞], {{CDD|node|4|node|4|node_h0|4|node}} = {{CDD|node|ultra|node|4|node|4|node|ultra|node}}. Удаление зеркала из некоторых циклических гиперболических графов Коксетера превращает их в галстуки-бабочки: [(3,3,4,1<sup>+</sup>,4)] = [((3,∞,3)), ((3,∞,3))] или {{CDD|branchu|split2|node|split1|branchu}}, [(3,4,4,1<sup>+</sup>,4)] = [((4,∞,3)), ((3,∞,4))] или {{CDD|branchu|split2-43|node|split1-43|branchu}}, [(4,4,4,1<sup>+</sup>,4)] = [((4,∞,4)), ((4,∞,4))] или {{CDD|branchu|split2-44|node|split1-44|branchu}}.

Другие паракомпактные графы с фундаментальными областями в виде четырёхугольных пирамид включают:
{| class=wikitable
|-
!Размерность
!Ранг
!Графы
|-
!H<sup>3</sup>
!5
|
: {{CDD|node|ultra|node|3|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|node|ultra|node|3|node|4|node|ultra|node}}, {{CDD|node|ultra|node|4|node|4|node|ultra|node}}, {{CDD|node|ultra|node|3|node|5|node|ultra|node}}, {{CDD|node|ultra|node|3|node|6|node|ultra|node}}
: {{CDD|branchu|split2|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2|node|4|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-43|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-43|node|4|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-44|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-44|node|4|node|ultra|node}}
: {{CDD|branchu|split2-53|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-54|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-55|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-63|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-64|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-65|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-66|node|3|node|ultra|node}}
: {{CDD|branchu|split2|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-43|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-53|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-44|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-43|node|split1-43|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-44|node|split1-43|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-44|node|split1-44|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-54|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-55|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-63|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-64|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-65|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-66|node|split1|branchu}}
|}

Ещё одна подгруппа [1<sup>+</sup>,4<sup>1,1,1</sup>] = [∞,4,1<sup>+</sup>,4,∞] = [∞<sup>[6]</sup>]. {{CDD|node|4|node_h0|split1-44|nodes}} = {{CDD|node|ultra|node|4|node_h0|4|node|ultra|node}} = {{CDD|node|split1-uu|nodes|2a2b-cross|nodes|split2-uu|node}}.
<ref>{{статья
|автор=Norman W. Johnson and Asia Ivic Weiss
|заглавие=Quadratic Integers and Coxeter Groups
|издание=Canad. J. Math
|том=Vol. 51
|выпуск=6
|год=1999
|страницы=1307—1336
|url=http://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf
}}</ref>

==== Политопы Винберга ранга n+3 для n-мерного пространства ====
Имеется конечное число вырожденных фундаментальных областей в пространствах до 8 размерности.
Полный список компактных политопов Винберга с рангом зеркал ''n+3'' для n-мерных пространств дал П. В. Тумаркин в 2004.
Эти группы помечены точечными/пунктирными линиями для ультрапараллельных ветвей.

Для размерностей от 4 до 8, число групп Коксетера ранга от 7 до 11 равно 44, 16, 3, 1 и 1 соответственно<ref>{{статья
|автор=П. В. Тумаркин
|заглавие=Гиперболические n-мерные многогранники Кокстера с n+3 гипергранями
|издание=УМН
|том=58
|выпуск=4(352)
|год=2003
|страницы=161—162
}}
</ref>. Группа с наибольшим рангом была открыта Бугаенко в 1984 в пространстве размерности 8, и она имеет ранг 11<ref>{{статья
|автор=В. О. Бугаенко
|заглавие=О группах автоморфизмов унимодулярных гиперболических квадратичных форм над кольцом Z
|издание=Вест. МГУ
|серия=Сер. 1, Математика, механика
|год=1984
|страницы=5, 6—12.
}}
</ref>:
{| class=wikitable
|-
!Dimensions
!Rank
!Cases
!colspan=3|Graphs
|-
!H<sup>4</sup>
!7
||44||colspan=3|…
|-
!H<sup>5</sup>
!8
||16||colspan=3|..
|-
!H<sup>6</sup>
!9
|3
|{{CDD|node|5|node|split1-43|nodes|ua3b|nodes u0|ua3b|nodes|split2-43|node|5|node}}
|{{CDD|node|5|node|3|node|3|node|split1|nodes|3aub|branch|3a|10a|nodea}}
|{{CDD|nodea|5a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3aub|nodes|splitcross|branch|label5}}
|-
!H<sup>7</sup>
!10
|1
|colspan=3|{{CDD|node|split1-53|nodes|3ab|branch|ua3b|branch|3ab|nodes|split2-53|node}}
|-
!H<sup>8</sup>
!11
|1
|colspan=3|{{CDD|nodea|5a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3aub|nodes 0u|3aub|branch|3a|nodea|3a|nodea|5a|nodea}}
|}

==== Политопы Винберга ранга n+4 для n-мерного пространства ====
Существует по конечному числу вырожденных фундаментальных симплексов в размерностях вплоть до восьмой. Компактные политопы Винберга с рангом зеркал ''n+4'' для размерности n исследовали Анна Феликсон и Павел Тумаркин в 2005.<ref>Anna Felikson, Pavel Tumarkin, ''On compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d+4 facets'', 2005 [http://arxiv.org/abs/math/0510238] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/math/0510238 |date=20210520212939 }}</ref>

== Группы Лоренца ==
{| class=wikitable align=right width=240
|+ Правильные соты с группами Лоренца
|- valign=top
|[[Файл:H3 337 UHS plane at infinity.png|120px]]<BR>{{не переведено 5|Тетраэдральные соты 7-го порядка|{3,3,7}||order-7 tetrahedral honeycomb}} в гиперболическом 3-мерном пространстве. Представлено пересечение сот с плоскостью на бесконечности в {{не переведено 5|Модель полупространства Пуанкаре|модели полупространства Пуанкаре ||Poincare half-space model}}.
|[[Файл:Heptagonal tiling honeycomb.png|120px]]<BR>{{не переведено 5|Семиугольные мозаичные соты|{7,3,3}||heptagonal tiling honeycomb}}, представленные вне модели шара Пуанкаре.
|}
[[Файл:6333 coxeter diagrams.png|thumb|Рисунок показывает группы Лоренца ранга 5, упорядоченные как подгруппы [6,3,3,3] и [6,3,6,3]. Высокосимметричная группа {{CDD|pent}}, [3<sup>[3,3,3]</sup>] является подгруппой группы [6,3,3,3] с индексом 120.]]
Группы Лоренца являются группами [[Преобразования Лоренца|преобразований Лоренца]] [[Пространство Минковского|пространства Минковского]]. Они имеют связь с [[Псевдориманово многообразие|геометрией Лоренца]], названной именем [[Лоренц, Хендрик Антон|Хендрика Лоренца]], применяемой в [[Специальная теория относительности|специальной теории относительности]], и с понятием пространства-времени в [[Общая теория относительности|общей теории относительности]], содержащем ''времениподобные'' вектора, скалярное произведение которых на себя даёт отрицательный результат<ref name= johnson2011>Norman Johnson, ''Geometries and Transformations'', Chapter 13: Hyperbolic Coxeter groups, 13.6 Lorentzian lattices</ref>.

В статье 1982 года Максвелла ''Упаковка сфер и гиперболические группы отражений'' (George Maxwell, ''Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups'') дан список групп Лоренца рангов от 5 до 11. Приведённый им список полон, но не отражает случаи, когда одна группа является подгруппой другой. Имеется бесконечно много групп Лоренца с рангом 4. Для рангов 5-11 имеется конечное число групп Лоренца — 186, 66, 36, 13, 10, 8 и 4 соответственно<ref name=Maxwell>George Maxwell, [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021869382903180 ''Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups''] {{Архивировано|url=https://archive.today/20130630070017/http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021869382903180 |date=2013-06-30 }}, {{iw|Journal of Algebra}} '''79''':1, 78-97 (1982)</ref>. В статье 2013 года Чен и Лаббе (H. Chen, J.-P. Labbé, ''Lorentzian Coxeter groups and Boyd--Maxwell ball packings'') заново пересчитали и дополнили список<ref>Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, ''Lorentzian Coxeter groups and Boyd-Maxwell ball packings'', http://arxiv.org/abs/1310.8608 {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/1310.8608 |date=20170919005449 }}</ref>.

{| class=wikitable
|+ Лоренцевы группы Коксетера
|- align=center
!Ранг
!Общее<br>число
!colspan=4|Группы
|- align=center
!4
!∞
| colspan="4" style="text-align:left;"| [3,3,7] … [∞,∞,∞]: {{CDD|node|3|node|3|node|7|node}} … {{CDD|node|infin|node|infin|node|infin|node}}<br>
[4,3<sup>[3]</sup>] … [∞,∞<sup>[3]</sup>]: {{CDD|node|4|node|split1|branch}} … {{CDD|node|infin|node|split1-ii|branch|labelinfin}}<br>
[5,4<sup>1,1</sup>] … [∞<sup>1,1,1</sup>]: {{CDD|node|5|node|split1-44|nodes}} … {{CDD|node|infin|node|split1-ii|nodes}}<br>
… [(5,4,3,3)] … [∞<sup>[4]</sup>]: … {{CDD|label5|branch|4a3b|branch}} … {{CDD|labelinfin|branch|iaib|branch|labelinfin}}<br>
… [4<sup>[]×[]</sup>] … [∞<sup>[]×[]</sup>]: … {{CDD|node|split1-ii-i|branch|split2-ii|node}}<br>
… [4<sup>[3,3]</sup>] … [∞<sup>[3,3]</sup>]
|- align=center
!5
!186
|…[3<sup>[3,3,3]</sup>]:{{CDD|pent}} …
| colspan="4" style="text-align:left;"|
|- align=center
!6
!66
| colspan="4" style="text-align:left;"|
|- align=center
!7
!36
| colspan="4" style="text-align:left;"|[3<sup>1,1,1,1,1,1</sup>]: {{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|splitsplit1|branch3|node}} …
|- align=center
!8
!13
|align=right|
[3,3,3<sup>[6]</sup>]:{{CDD|node|3|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node}}<br>
[3,3<sup>[6]</sup>,3]:{{CDD|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}<br>
[3,3<sup>[2+4]</sup>,3]:{{CDD|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3ab|branch|3a|nodea}}<br>
[3,3<sup>[1+5]</sup>,3]:{{CDD|nodes|3ab|branch|3ab|nodes|3ab|branch}}<br>
[3<sup>[ ]e×[3]</sup>]:{{CDD|node|splitsplit1|nodeabc|3abc|nodeabc|splitsplit2|node}}

|align=right|
[4,3,3,3<sup>3,1</sup>]:{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}<br>
[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>3,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}<br>
[3,(3,3,4)<sup>1,1</sup>]:{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br>
{{CDD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br>
{{CDD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|branch|3a|nodea}}<br>
[3<sup>2,1</sup>,3,3<sup>2,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}<br>
|align=right|

|align=right|
[4,3,3,3<sup>2,2</sup>]:{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes}}<br>
[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>2,2</sup>]:{{CDD|nodes|split2|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes}}

|- align=center
!9
!10
|align=right|
[3,3<sup>[3+4]</sup>,3]:{{CDD|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}<br>
[3,3<sup>[9]</sup>]:{{CDD|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|branch}}<br>
[3,3<sup>[2+5]</sup>,3]:{{CDD|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split5b|nodes}}

|align=right|[3<sup>2,1</sup>,3<sup>2</sup>,3<sup>2,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|[3<sup>3,1</sup>,3<sup>3</sup>,4]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br>
[3<sup>3,1</sup>,3,3,3<sup>1,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}

|align=right|[3<sup>3,3,2</sup>]:{{CDD|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node}}<br>
[3<sup>2,2,4</sup>]:{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br>
[3<sup>2,2</sup>,3<sup>3</sup>,4]:{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}<br>
[3<sup>2,2</sup>,3,3,3<sup>1,1</sup>]:{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node|split1|nodes}}

|- align=center
!10
!8
|align=right|[3,3<sup>[8]</sup>,3]:{{CDD|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}<br>
[3,3<sup>[3+5]</sup>,3]:{{CDD|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|branch|3a|nodea}}<br>
[3,3<sup>[9]</sup>]:{{CDD|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|branch}}
|align=right|[3<sup>2,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>2,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|[3<sup>5,3,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}<br>
[3<sup>3,1</sup>,3<sup>4</sup>,4]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br>
[3<sup>3,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}

|align=right|[3<sup>4,4,1</sup>]:{{CDD|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|- align=center
!11
!4
|
|align=right|[3<sup>2,1</sup>,3<sup>4</sup>,3<sup>2,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|[3<sup>2,1</sup>,3<sup>6</sup>,4]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br>
[3<sup>2,1</sup>,3<sup>5</sup>,3<sup>1,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|align=right|[3<sup>7,2,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}

|}

=== Сильно расширенные диаграммы Коксетера ===
Иногда используется понятие '''[[Диаграмма Дынкина|сильно расширенные]]''' [[Диаграмма Дынкина|диаграммы Дынкина]], в котором аффинные группы считаются '''расширенными''', гиперболические группы '''существенно расширенными''', а третья ветвь — '''сильно расширенными''' простыми группами. Эти расширения обычно помечаются символами 1, 2 или 3 ''+'' в верхнем индексе для числа расширенных вершин. Эти расширенные серии могут быть расширены в обратном направлении путём последовательного удаления узлов в той же самой позиции графа, хотя процесс останавливается после удаления разветвляющего узла. Расширенное семейство {{не переведено 5|En (Алгебра Ли)|E<sub>8</sub>||En (Lie algebra)}} является наиболее известным примером расширения в обратном направлении из E<sub>3</sub> и вперёд к E<sub>11</sub>.

Процесс расширения может дать ограниченные серии графов Коксетера, которые проходят путь от конечных к аффинным, затем к гиперболическим и группам Лоренца. Определитель матриц Картана задаёт, где серия меняется от конечной (положительный определитель) к аффинной (нулевой), затем в гиперболический тип (отрицательный), и завершается группой Лоренца, содержащей по меньшей мере одну гиперболическую подгруппу<ref>{{Cite web |url=http://arxiv.org/pdf/hep-th/0608161.pdf |title=Kac-Moody Algebras in M-theory |access-date=2015-10-07 |archive-date=2021-08-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210830210923/https://arxiv.org/pdf/hep-th/0608161.pdf |deadlink=no }}</ref>. Некристаллографические группы H<sub>n</sub> образуют расширенную серию, где H<sub>4</sub> расширяется в компактную гиперболическую группу, и существенно расширяется в группу Лоренца.

Определитель матрицы Шлефли по рангам<ref>[http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/70011 Cartan-Gram determinants for the simple Lie groups] {{Wayback|url=http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/70011 |date=20160207213754 }}, Wu, Alfred C. T, The American Institute of Physics, Nov 1982</ref>:

* det(A<sub>1</sub><sup>n</sup>=[2<sup>n-1</sup>]) = 2<sup>n</sup> (Конечна для всех n)
* det(A<sub>n</sub>=[3<sup>n-1</sup>]) = n+1 (Конечна для всех n)
* det(B<sub>n</sub>=[4,3<sup>n-2</sup>]) = 2 (Конечна для всех n)
* det(D<sub>n</sub>=[3<sup>n-3,1,1</sup>]) = 4 (Конечна для всех n)

Определитель матрицы Шлефли в исключительных сериях:
* det({{не переведено 5|En (Алгебра Ли)|E<sub>n</sub>||En (Lie algebra)}}=[3<sup>n-3,2,1</sup>]) = 9-n (Конечна для E<sub>3</sub>(=A<sub>2</sub>A<sub>1</sub>), E<sub>4</sub>(=A<sub>4</sub>), E<sub>5</sub>(=D<sub>5</sub>), [[E6 (математика)|E<sub>6</sub>]], {{не переведено 5|E7 (математика)|E<sub>7</sub>||E7 (mathematics)}} и [[E8 (математика)|E<sub>8</sub>]], аффинна для [[Решётка E8|E<sub>9</sub>]] (<math>{\tilde{E}}_{8}</math>), гиперболична для E<sub>10</sub>)
* det([3<sup>n-4,3,1</sup>]) = 2(8-n) (Конечна для n= от 4 до 7, аффинна для (<math>{\tilde{E}}_{7}</math>) и гиперболична для n=8.)
* det([3<sup>n-4,2,2</sup>]) = 3(7-n) (Конечна для n= от 4 до 6, аффинна для (<math>{\tilde{E}}_{6}</math>) и гиперболична для n=7.)
* det(F<sub>n</sub>=[3,4,3<sup>n-3</sup>]) = 5-n (Конечна для F<sub>3</sub>(=B<sub>3</sub>) и [[F4 (математика)|F<sub>4</sub>]], аффинна для [[F4 (математика)|F<sub>5</sub>]] (<math>{\tilde{F}}_{4}</math>), гиперболична для F<sub>6</sub>)
* det(G<sub>n</sub>=[6,3<sup>n-2</sup>]) = 3-n (Конечна для [[G2 (математика)|G<sub>2</sub>]], аффинна для G<sub>3</sub> (<math>{\tilde{G}}_{2}</math>), гиперболична для G<sub>4</sub>)

{| class=wikitable
|+ Мало расширенные серии
|-
!
!<math>A_2</math>
!<math>C_2</math>
![[G2 (математика)|<math>G_2</math>]]
!<math>A_3</math>
!<math>B_3</math>
!<math>C_3</math>
!<math>H_4</math>
|-
!Ранг n
![3<sup>[3]</sup>,3<sup>n-3</sup>]
![4,4,3<sup>n-3</sup>]
!G<sub>n</sub>=[6,3<sup>n-2</sup>]
![3<sup>[4]</sup>,3<sup>n-4</sup>]
![4,3<sup>1,n-3</sup>]
![4,3,4,3<sup>n-4</sup>]
!H<sub>n</sub>=[5,3<sup>n-2</sup>]
|-
!2
| style="background:#ffffe0;"|[3]<br>A<sub>2</sub><br>{{CDD|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[4]<br>C<sub>2</sub><br>{{CDD|node|4|node}}
| style="background:#ffffe0;"|[6]<br>G<sub>2</sub><br>{{CDD|node|6|node}}
|
|[2]<br>A<sub>1</sub><sup>2</sup><br>{{CDD|nodes}}
|[4]<br>C<sub>2</sub><br>{{CDD|node|4|node}}
|[5]<br>H<sub>2</sub><br>{{CDD|node|5|node}}
|-
!3
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[3]</sup>]<br>A<sub>2</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_{2}</math><br>{{CDD|branch|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,4]<br>C<sub>2</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{C}}_{2}</math><br>{{CDD|node|4|node|4|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[6,3]<br>G<sub>2</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{G}}_{2}</math><br>{{CDD|node|6|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[3,3]=A<sub>3</sub><br>{{CDD|node|split1|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3]<br>B<sub>3</sub><br>{{CDD|nodes|split2-43|node}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3]<br>C<sub>3</sub><br>{{CDD|node|4|node|3|node}}
|[5,3]<br>H<sub>3</sub><br>{{CDD|node|5|node|3|node}}
|-
!4
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[3]</sup>,3]<br>A<sub>2</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{P}}_3</math><br>{{CDD|branch|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,4,3]<br>C<sub>2</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{R}}_3</math><br>{{CDD|node|4|node|4|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[6,3,3]<br>G<sub>2</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{V}}_3</math><br>{{CDD|node|6|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[4]</sup>]<br>A<sub>3</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_3</math><br>{{CDD|node|split1|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3<sup>1,1</sup>]<br>B<sub>3</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{3}</math><br>{{CDD|nodes|split2-43|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3,4]<br>C<sub>3</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{C}}_{3}</math><br>{{CDD|node|4|node|3|node|4|node_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[5,3,3]<br>H<sub>4</sub><br>{{CDD|node|5|node|3|node|3|node}}
|-
!5
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[3]</sup>,3,3]<br>A<sub>2</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|branch|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,4,3,3]<br>C<sub>2</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|node|4|node|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[6,3,3,3]<br>G<sub>2</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|node|6|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[4]</sup>,3]<br>A<sub>3</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{P}}_4</math><br>{{CDD|node|split1|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3<sup>2,1</sup>]<br>B<sub>3</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{S}}_4</math><br>{{CDD|nodes|split2-43|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3,4,3]<br>C<sub>3</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{R}}_4</math><br>{{CDD|node|4|node|3|node|4|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[5,3<sup>3</sup>]<br>H<sub>5</sub>=<math>{\bar{H}}_4</math><br>{{CDD|node|5|node|3|node|3|node|3|node}}
|-
!6
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[4]</sup>,3,3]<br>A<sub>3</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|node|split1|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3<sup>3,1</sup>]<br>B<sub>3</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|nodes|split2-43|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3,4,3,3]<br>C<sub>3</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|node|4|node|3|node|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[5,3<sup>4</sup>]<br>H<sub>6</sub><br>{{CDD|node|5|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!Det(M<sub>n</sub>)
|3(3-''n'')
|2(3-''n'')
|3-''n''
|4(4-''n'')
|colspan=2|2(4-''n'')
|
|}

{| class=wikitable
|+ Средне расширенные серии
|-
!
!<math>A_4</math>
!<math>B_4</math>
!<math>C_4</math>
!<math>D_4</math>
![[F4 (математика)|<math>F_4</math>]]
!<math>A_5</math>
!<math>B_5</math>
!<math>D_5</math>
|-
!Ранг n
![3<sup>[5]</sup>,3<sup>n-5</sup>]
![4,3,3<sup>n-4,1</sup>]
![4,3,3,4,3<sup>n-5</sup>]
![3<sup>n-4,1,1,1</sup>]
![3,4,3<sup>n-3</sup>]
![3<sup>[6]</sup>,3<sup>n-6</sup>]
![4,3,3,3<sup>n-5,1</sup>]
![3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>n-5,1</sup>]
|-
!3
|
|[4,3<sup>−1,1</sup>]<br>B<sub>2</sub>A<sub>1</sub><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|2|nodeb}}
|[4,3]<br>B<sub>3</sub><br>{{CDD|node|4|node|3|node}}
|[3<sup>−1,1,1,1</sup>]<br>A<sub>1</sub><sup>3</sup><br>{{CDD|nodeabc}}
|[3,4]<br>B<sub>3</sub><br>{{CDD|node|3|node|4|node}}
|
|[4,3,3]<br>C<sub>3</sub><br>{{CDD|node|4|node|3|node}}
|-
!4
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>3</sup>]<br>A<sub>4</sub><br>{{CDD|branch|3ab|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3,3]<br>B<sub>4</sub><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3,3]<br>C<sub>4</sub><br>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>0,1,1,1</sup>]<br>D<sub>4</sub><br>{{CDD|node|branch3|splitsplit2|node}}
| style="background:#ffffe0;"|[3,4,3]<br>F<sub>4</sub><br>{{CDD|node|3|node|4|node|3|node}}
|
|[4,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br>B<sub>3</sub>A<sub>1</sub><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>−1,1</sup>]<br>A<sub>3</sub>A<sub>1</sub><br>{{CDD|nodea|3a|branch|2|nodeb}}
|-
!5
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[5]</sup>]<br>A<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_{4}</math><br>{{CDD|branch|3ab|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3,3<sup>1,1</sup>]<br>B<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{4}</math><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3,3,4]<br>C<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{C}}_{4}</math><br>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>1,1,1,1</sup>]<br>D<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_{4}</math><br>{{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3,4,3,3]<br>F<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{F}}_{4}</math><br>{{CDD|node|3|node|4|node|3|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>4</sup>]<br>A<sub>5</sub><br>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3,3,3,3]<br>B<sub>5</sub><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3]<br>D<sub>5</sub><br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|branch}}
|-
!6
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[5]</sup>,3]<br>A<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{P}}_5</math><br>{{CDD|branch|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3,3<sup>2,1</sup>]<br>B<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{S}}_5</math><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3,3,4,3]<br>C<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{R}}_5</math><br>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|4|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>2,1,1,1</sup>]<br>D<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{Q}}_5</math><br>{{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3,4,3<sup>3</sup>]<br>F<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{U}}_5</math><br>{{CDD|node|3|node|4|node|3|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[6]</sup>]<br>A<sub>5</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_5</math><br>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3,3,3<sup>1,1</sup>]<br>B<sub>5</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{5}</math><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>1,1</sup>]<br>D<sub>5</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_5</math><br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea_c1}}
|-
!7
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[5]</sup>,3,3]<br>A<sub>4</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|branch|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3,3<sup>3,1</sup>]<br>B<sub>4</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3,3,4,3,3]<br>C<sub>4</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>3,1,1,1</sup>]<br>D<sub>4</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3,4,3<sup>4</sup>]<br>F<sub>4</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|node|3|node|4|node|3|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[6]</sup>,3]<br>A<sub>5</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{P}}_6</math><br>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3,3,3<sup>2,1</sup>]<br>B<sub>5</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{S}}_6</math><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>2,1</sup>]<br>D<sub>5</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{Q}}_6</math><br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
|-
!8
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[6]</sup>,3,3]<br>A<sub>5</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3,3,3<sup>3,1</sup>]<br>B<sub>5</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>3,1</sup>]<br>D<sub>5</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
|- align=center
!Det(M<sub>n</sub>)
|5(5-''n'')
|colspan=2|2(5-''n'')
|4(5-''n'')
|5-''n''
|6(6-''n'')
|4(6-''n'')
|}

{| class=wikitable
|+ Некоторые сильно расширенные серии
|-
!
!<math>A_6</math>
!<math>B_6</math>
!<math>D_6</math>
!<math>E_6</math>
!<math>A_7</math>
!<math>B_7</math>
!<math>D_7</math>
!<math>E_7</math>
!{{не переведено 5|En (Алгебра Ли)|<math>E_8</math>||En (Lie algebra)}}
|-
!Ранг n
![3<sup>[7]</sup>,3<sup>n-7</sup>]
![4,3<sup>3</sup>,3<sup>n-6,1</sup>]
![3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>n-6,1</sup>]
![3<sup>n-5,2,2</sup>]
![3<sup>[8]</sup>,3<sup>n-8</sup>]
![4,3<sup>4</sup>,3<sup>n-7,1</sup>]
![3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>n-7,1</sup>]
![3<sup>n-5,3,1</sup>]
!E<sub>n</sub>=[3<sup>n-4,2,1</sup>]
|-
!3
|
|
|
|
|
|
|
|
|[3<sup>−1,2,1</sup>]<br>E<sub>3</sub>=A<sub>2</sub>A<sub>1</sub><br>{{CDD|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|-
!4
|
|
|
|[3<sup>−1,2,2</sup>]<br>A<sub>2</sub><sup>2</sup><br>{{CDD|nodes|3ab|nodes}}
|
|
|
|[3<sup>−1,3,1</sup>]<br>A<sub>3</sub>A<sub>1</sub><br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>0,2,1</sup>]<br>E<sub>4</sub>=A<sub>4</sub><br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
|-
!5
|
|[4,3,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br>B<sub>4</sub>A<sub>1</sub><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br>D<sub>4</sub>A<sub>1</sub><br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>0,2,2</sup>]<br>A<sub>5</sub><br>{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|
|
|
|[3<sup>0,3,1</sup>]<br>A<sub>5</sub><br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
|[3<sup>1,2,1</sup>]<br>E<sub>5</sub>=D<sub>5</sub><br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|-
!6
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>5</sup>]<br>A<sub>6</sub><br>{{CDD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3<sup>4</sup>]<br>B<sub>6</sub><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3]<br>D<sub>6</sub><br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>1,2,2</sup>]<br>E<sub>6</sub><br>{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|
|[4,3,3,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br>B<sub>5</sub>A<sub>1</sub><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br>D<sub>5</sub>A<sub>1</sub><br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>1,3,1</sup>]<br>D<sub>6</sub><br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|[3<sup>2,2,1</sup>]<br>E<sub>6</sub> [[:Файл:DynkinE6Full.svg|*]]<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
!7
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[7]</sup>]<br>A<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_6</math><br>{{CDD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>B<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{6}</math><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>1,1</sup>]<br>D<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_6</math><br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>2,2,2</sup>]<br>E<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{E}}_6</math><br>{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>6</sup>]<br>A<sub>7</sub><br>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3<sup>5</sup>]<br>B<sub>7</sub><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>0,1</sup>]<br>D<sub>7</sub><br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>2,3,1</sup>]<br>E<sub>7</sub> [[:Файл:DynkinE7Full.svg|*]]<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|[3<sup>3,2,1</sup>]<br>E<sub>7</sub> [[:Файл:DynkinE7Full.svg|*]]<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
!8
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[7]</sup>,3]<br>A<sub>6</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{P}}_7</math><br>{{CDD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3<sup>3</sup>,3<sup>2,1</sup>]<br>B<sub>6</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{S}}_7</math><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>2,1</sup>]<br>D<sub>6</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{Q}}_7</math><br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>3,2,2</sup>]<br>E<sub>6</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{T}}_7</math><br>{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[8]</sup>]<br>A<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_7</math> [[:Файл:AffineA7.svg|*]]<br>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3<sup>4</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>B<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{7}</math> [[:Файл:AffineB7.svg|*]]<br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>1,1</sup>]<br>D<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_7</math> [[:Файл:AffineD7.svg|*]]<br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>3,3,1</sup>]<br>E<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{E}}_{7}</math> [[:Файл:AffineE7.svg|*]]<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>4,2,1</sup>]<br>E<sub>8</sub> [[:Файл:DynkinE8Full.svg|*]]<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
!9
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[7]</sup>,3,3]<br>A<sub>6</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3<sup>3</sup>,3<sup>3,1</sup>]<br>B<sub>6</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>3,1</sup>]<br>D<sub>6</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>4,2,2</sup>]<br>E<sub>6</sub><sup>+++</sup><br>{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[8]</sup>,3]<br>A<sub>7</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{P}}_8</math> [[:Файл:HyberbolicAffineA7.svg|*]]<br>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3<sup>4</sup>,3<sup>2,1</sup>]<br>B<sub>7</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{S}}_8</math> [[:Файл:HyberbolicAffineB7.svg|*]]<br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>2,1</sup>]<br>D<sub>7</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{Q}}_8</math> [[:Файл:HyberbolicAffineD7.svg|*]]<br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>4,3,1</sup>]<br>E<sub>7</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{T}}_8</math> [[:Файл:HyberbolicAffineE7.svg|*]]<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>5,2,1</sup>]<br>E<sub>9</sub>=E<sub>8</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{E}}_{8}</math> [[:Файл:E9-AffineE8.svg|*]]<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1}}
|-
!10
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[8]</sup>,3,3]<br>A<sub>7</sub><sup>+++</sup> [[:Файл:VeryExtendedAffineA7.svg|*]]<br>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3<sup>4</sup>,3<sup>3,1</sup>]<br>B<sub>7</sub><sup>+++</sup> [[:Файл:VeryExtendedAffineB7.svg|*]]<br>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>3,1</sup>]<br>D<sub>7</sub><sup>+++</sup> [[:Файл:VeryExtendedAffineD7.svg|*]]<br>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>5,3,1</sup>]<br>E<sub>7</sub><sup>+++</sup> [[:Файл:VeryExtendedAffineE7.svg|*]]<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>6,2,1</sup>]<br>E<sub>10</sub>=E<sub>8</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{T}}_9</math> [[:Файл:E10-HyperbolicAffineE8.svg|*]]<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
|-
!11
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>7,2,1</sup>]<br>E<sub>11</sub>=E<sub>8</sub><sup>+++</sup> [[:Файл:E11-VeryExtendedAffineE8.svg|*]]<br>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
|- align=center
!Det(M<sub>n</sub>)
|7(7-''n'')
|2(7-''n'')
|4(7-''n'')
|3(7-''n'')
|8(8-''n'')
|2(8-''n'')
|4(8-''n'')
|2(8-''n'')
|9-''n''
|}

== Геометрические свёртки ==
{| class="wikitable"
|+ Конечные и бесконечные свёртки<ref>''John Crisp'', '[[Инъекция (математика)|Injective maps]] between {{не переведено 5|Группа Артина|Artin groups||Artin group}}, in Down under group theory, Proceedings of the Special Year on Geometric Group Theory, (Australian National University, Canberra, Australia, 1996), [http://math.u-bourgogne.fr/IMB/crisp/injart.ps Postscript] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20051016143215/http://math.u-bourgogne.fr/IMB/crisp/injart.ps |date=2005-10-16 }}, pp 13-14, and [https://books.google.com/books?id=RpgZuF7do8kC&lpg=PA134&ots=G5SZEdPFBa&dq=geometric%20folding%20F4%20to%20g2&pg=PP1#v=onepage&q=folding%20description&f=false googlebook, Geometric group theory down under, p 131]</ref>
|-
!colspan=4|φ<sub>A</sub> : A<sub>Γ</sub> --> A<sub>Γ'</sub> для конечных типов
|- valign=top
!Γ
!Γ'
!Описание свёртки
!схемы Коксетера — Дынкина
|- align=center valign=top
|I<sub>2</sub>([[Число Кокстера|h]])
|Γ(h)
|Диэдральная свёртка
|rowspan=9|[[Файл:Geometric folding Coxeter graphs.png|201px]]
|- align=center
|rowspan=2|B<sub>n</sub>
|A<sub>2n</sub>
|(I,s<sub>n</sub>)
|- align=center
|D<sub>n+1</sub>, A<sub>2n-1</sub>
|(A<sub>3</sub>,+/-ε)
|- align=center
|F<sub>4</sub>
|E<sub>6</sub>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|H<sub>4</sub>
|E<sub>8</sub>
|rowspan=3|(A<sub>4</sub>,±ε)
|- align=center
|H<sub>3</sub>
|D<sub>6</sub>
|- align=center
|H<sub>2</sub>
|A<sub>4</sub>
|- align=center
|rowspan=2|G<sub>2</sub>
|A<sub>5</sub>
|(A<sub>5</sub>,±ε)
|- align=center
|D<sub>4</sub>
|(D<sub>4</sub>,±ε)
|-
!colspan=4|φ: A<sub>Γ</sub><sup>+</sup> --> A<sub>Γ'</sub><sup>+</sup> для всех аффинных типов
|- align=center valign=top
|<math>{\tilde{A}}_{n-1}</math>
|<math>{\tilde{A}}_{kn-1}</math>
|Locally trivial
|rowspan=14|[[Файл:Geometric folding Coxeter graphs affine.png|212px]]
|- align=center
|rowspan=2|<math>{\tilde{B}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{2n+1}</math>
|(I,s<sub>n</sub>)
|- align=center
|<math>{\tilde{D}}_{n+1}</math>, <math>{\tilde{D}}_{2n}</math>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|rowspan=2|<math>{\tilde{C}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{B}}_{n+1}</math>, <math>{\tilde{C}}_{2n}</math>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|<math>{\tilde{C}}_{2n+1}</math>
|(I,s<sub>n</sub>)
|- align=center
|rowspan=3|<math>{\tilde{C}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{A}}_{2n+1}</math>
|(I,s<sub>n</sub>) & (I,s<sub>0</sub>)
|- align=center
|<math>{\tilde{A}}_{2n}</math>
|(A<sub>3</sub>,ε) & (I,s<sub>0</sub>)
|- align=center
|<math>{\tilde{A}}_{2n-1}</math>
|(A<sub>3</sub>,ε) & (A<sub>3</sub>,ε')
|- align=center
|<math>{\tilde{C}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{n+2}</math>
|(A<sub>3</sub>,-ε) & (A<sub>3</sub>,-ε')
|- align=center
|<math>{\tilde{C}}_{2}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{5}</math>
|(I,s<sub>1</sub>)
|- align=center
|<math>{\tilde{F}}_{4}</math>
|<math>{\tilde{E}}_{6}</math>, <math>{\tilde{E}}_{7}</math>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|rowspan=3|<math>{\tilde{G}}_{2}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{6}</math>, <math>{\tilde{E}}_{7}</math>
|(A<sub>5</sub>,±ε)
|- align=center
|<math>{\tilde{B}}_{3}</math>, <math>{\tilde{F}}_{4}</math>
|(B<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|<math>{\tilde{D}}_{4}</math>, <math>{\tilde{E}}_{6}</math>
|(D<sub>4</sub>,±ε)
|}
{{See also|Схемы Дынкина#Свёртка}}

Схема Коксетера — Дынкина (с простыми связями<ref>то есть имеющая метки ветвей только 3</ref>, конечная, [[#Аффинные группы Коксетера|аффинная]] или гиперболическая), имеющая симметрию (удовлетворяющая одному условию), может быть преобразована с помощью симметрии в новую, в общем случае многониточную схему, с помощью процесса, называемого «свёрткой»<ref>{{статья
|заглавие=Generalized Dynkin diagrams and root systems and their folding
|id ={{citeseerx|10.1.1.54.3122}}
|автор = Jean-Bernard Zuber
|страницы = 28—30
}}</ref><ref>{{статья
|архив= 1110.5228
|заглавие= Affine extensions of non-crystallographic Coxeter groups induced by projection
|автор= Pierre-Philippe Dechant, Celine Boehm, Reidun Twarock
|год = October 25, 2011
}}</ref>.

Геометрически это соответствует [[Проекция (геометрия)|ортогональным проекциям]] [[Однородный многогранник|однородных многогранников]] и мозаик. Интересно, что любая конечная схема Коксетера — Дынкина с простыми связями может быть свёрнута в I<sub>2</sub>(''h''), где ''h'' — [[Число Коксетера]], геометрически соответствующее проекции на {{не переведено 5|плоскость Коксетера|||Coxeter plane}}.
{| class=wikitable
|-
|[[Файл:Geometric folding Coxeter graphs hyperbolic.png]]<br>Некоторые гиперболические свёртки
|}

== См. также ==
* [[Группа Коксетера]]
* [[Треугольник Шварца]]
* [[Тетраэдр Гурса]]
* [[Диаграмма Дынкина]]
* {{не переведено 5|Однородный политоп|||Uniform polytope}}
** {{не переведено 5|Символ Витхоффа|||Wythoff symbol}}
** [[Однородный многогранник]]
** [[Список однородных многогранников]]
** {{не переведено 5|Список плоских однородных мозаик|||List of uniform planar tilings}}
** {{не переведено 5|Однородный 4-мерный политоп|||Uniform 4-polytope}}
** {{не переведено 5|Выпуклые однородные соты|||Convex uniform honeycomb}}
** {{не переведено 5|Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве|||Convex uniform honeycombs in hyperbolic space}}
* [[Построение Витхоффа]] и {{не переведено 5|Символ Витхоффа|||Wythoff symbol}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература для дальнейшего чтения ==
<!--{{refbegin}}-->
* James E. Humphreys, ''Reflection Groups and Coxeter Groups'', Cambridge studies in advanced mathematics, 29 (1990)
* '''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter''', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html], Googlebooks [https://books.google.com/books?id=fUm5Mwfx8rAC&lpg=PP1&dq=Kaleidoscopes%20Coxeter&pg=PP1#v=onepage&q=&f=false]
** (Paper 17) [[Коксетер, Гарольд|Coxeter]], ''The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams'', [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233—248]
* {{книга
|автор=[[Коксетер, Гарольд|Coxeter]]
|заглавие=The Beauty of Geometry: Twelve Essays
|ссылка=https://archive.org/details/beautyofgeometry0000coxe
|издательство=Dover Publications
|год=1999
|ISBN=978-0-486-40919-1
|часть=Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes
}}
** {{книга
|автор= H.S.M. Coxeter
|заглавие={{не переведено 5|Книга Коксетера ''Regular Polytopes''|''Regular Polytopes''||Regular Polytopes (book)}}{{ненп}}
|ссылка= https://archive.org/details/regularpolytopes0000coxe_q0b5
|год=1973
|издательство=Dover edition
|ISBN=0-486-61480-8
|часть=Chapter 5: The Kaleidoscope, Section 11.3 Representation by graphs
}}
* {{книга
|автор=Г.С.М. Коксетер, У.О.Дж. Мозер
|заглавие=Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп
|оригинал=H.S.M. Coxeter, W. O. J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups
|место=Москва
|издательство=Наука
|год=1980
}}
* [[Джонсон, Норман|Norman Johnson]], ''Geometries and Transformations'', Chapters 11,12,13, preprint 2011
* {{статья
|автор=[[Джонсон, Норман|Norman Johnson]], {{не переведено 5|Келлерхальц, Рут|R. Kellerhals||Ruth Kellerhals}}, J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz
|вклад =The size of a hyperbolic Coxeter simplex
|заглавие=Transformation Groups
|год=1999
|том=4
|выпуск=4
|страницы=329—353
|url=http://homeweb1.unifr.ch/kellerha/pub/TGarticle.pdf
}}
* {{статья
|автор=Norman W. Johnson, Asia Ivic Weiss
|url=https://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf
|заглавие=Quadratic Integers and Coxeter Groups
|издание=Canad. J. Math
|том=51
|выпуск=6
|год=1999
|страницы=1307—1336
}}
<!--{{refend}}-->

== Ссылки ==
* {{MathWorld |urlname=Coxeter-DynkinDiagram |title=Coxeter–Dynkin diagram}}
* [http://ecommons.cornell.edu/handle/1813/17338 October 1978 discussion on the history of the Coxeter diagrams] by Coxeter and Dynkin in [[Торонто|Toronto]], [[Канада|Canada]]; Eugene Dynkin Collection of Mathematics Interviews, [[Библиотека Корнеллского университета]].

{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Группы Коксетера]]