Просмотр кода страницы Диаметр

'''Диа́метр''' ({{lang-fr|diamètre}} из {{lang-la|diametrus}} из {{lang-grc|διάμετρος}} — поперечник<ref>{{Фасмер|диаметр}}</ref>) — отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности, а также длина этого отрезка. Диаметр равен двум [[радиус]]ам.

Обобщённо '''диаметром''' фигуры (множества) называется максимальное расстояние между точками этой фигуры (множества), или [[точная верхняя грань]] всевозможных расстояний, если максимальное не существует.

== Диаметр геометрических фигур ==
[[Файл:Radius and diameter.png|right|300px|thumb|Радиус (r) и диаметр (d) окружности]]
Диаметр — это [[хорда (геометрия)|хорда]] ([[отрезок]], соединяющий две точки) на [[окружность|окружности]] ([[Сфера|сфере]], поверхности [[Шар (стереометрия)|шара]]), проходящая через [[Центр симметрии|центр]] этой окружности (сферы). Также диаметром называют длину этого отрезка. Диаметр окружности является [[Хорда (геометрия)|хордой]], проходящей через её центр; такая хорда имеет наибольшую длину. По величине диаметр равен двум [[радиус]]ам.

== Символ диаметра ==
{{похожие буквы|Диаметр}}
{{Графема
 |Название       = 
 |Изображение    = U+2300.svg
 |Оригинал       = DIAMETER SIGN
 |HTML           = 8960
 |Мнемоника      = 
}}
[[Файл:Technical Drawing Hole 01.svg|thumb|122px|Символ ⌀ на [[чертёж|чертеже]] ]]

В [[Инженерная графика|инженерной графике]] и технических [[спецификация]]х диаметр принято обозначать символом [[Файл:Boundy diameter symbol.png|Boundy diameter symbol.png]]<ref>
{{книга |автор=Большаков В. П., Тозик В. Т., Чагина А. В. |заглавие=Инженерная и компьютерная графика |ссылка=https://books.google.ru/books?id=CfFl3xjdWQ4C&pg=PA90&lpg=PA90&source=bl&hl=ru&sa=X#v=onepage&q&f=false |место=СПб. |издательство=БХВ-Петербург |год=2013 |страниц=288 |isbn=978-5-9775-0422-5}} — С. 90.</ref>.
Символ диаметра представлен в [[Юникод]]е ({{unichar|2300|DIAMETER SIGN|ulink=Разные технические знаки}})<ref>{{cite web |url=https://www.unicode.org/charts/PDF/U2300.pdf |title=The Unicode Standard, Version 13.0 |subtitle=Miscellaneous Technical, Range: 2300–23FF |lang=en |format=PDF |website={{iw|Unicode Consortium|Unicode Inc||Unicode Consortium}} |date=2020 |accessdate=2020-09-06 |archive-date=2019-12-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191230040331/http://unicode.org/charts/PDF/U2300.pdf |deadlink=no }}</ref> и, хотя он отсутствует в стандартных [[Раскладка клавиатуры|раскладках клавиатуры]], может быть введён с клавиатуры:<!-- символы конца элемента перечня не поставлены намеренно, дабы не смешивались они с текстом и читателей не путали -->
* в [[HTML]] как <code>&amp;#8960;</code> или <code>&amp;#x2300;</code>
* в [[LaTeX]] для его отображения предназначена команда <code>\diameter</code> из пакета wasysym
* в [[Microsoft Word]] символ можно получить, введя {{key press|2300}} и нажав {{key press|Alt|X}}
* в [[Windows]] с помощью [[Alt-код]]а {{key press|Alt}}+{{key press|8960}} (в английской раскладке)
* в системах, использующих [[X Window System]] ([[Unix]]/[[Linux]]/[[ChromeOS]] и др.), с помощью комбинации {{keypress|Ctrl|Shift|u}} {{key press|2300}}{{key press|Пробел}} или с использованием клавиши [[Compose]], нажав поочерёдно {{key press|Compose}}{{key press|d}}{{key press|i}}<ref>{{cite web |url=http://cgit.freedesktop.org/xorg/lib/libX11/plain/nls/en_US.UTF-8/Compose.pre |title=UTF-8 (Unicode) compose sequence |lang=en |last=Monniaux |first=David |description=Файл конфигурации вводимых с помощью клавиши Compose символов |access-date=2020-09-06 |archive-date=2020-08-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200803052019/https://cgit.freedesktop.org/xorg/lib/libX11/plain/nls/en_US.UTF-8/Compose.pre |deadlink=no }}</ref>.
Также, символ можно найти и скопировать в приложениях и инструментах типа «таблица символов», например:
* в Windows — {{нп5|Таблица символов (Windows)|Таблица символов||Character Map (Windows)}}
* в программах из пакета [[Microsoft Office]] — меню «Вставка» → «Символ…»
* в [[macOS]] — Character Palette/Viewer (вызывается комбинацией {{key press|Opt|Cmd|T}})
* в [[GNOME]] — [[Таблица символов GNOME]] (ранее — gucharmap).

Во многих случаях символ диаметра может не отображаться, так как его редко включают в шрифты (он присутствует, например, в [[Arial Unicode MS]] (поставляется с Microsoft Office, при установке именуется «Универсальный шрифт»), [[DejaVu]] ([[Свободное программное обеспечение|свободный]]), [[Code2000]] ([[Условно-бесплатное программное обеспечение|условно-бесплатный]]) и некоторых других), в связи с чем вместо него часто используются другие символы со схожим начертанием. К примеру, в [[Система автоматизированного проектирования|САПР]] [[AutoCAD]] вместо символа диаметра используется символ [[пустое множество|пустого множества]] ({{unichar|2205|EMPTY SET|ulink=Математические операторы}}), вводящийся сочетанием <code>%%c</code> (буква <code>c</code> — латинская) или <code>\U+2205</code> в текстовой строке. Взаимозаменяемость этих символов отражена и в стандартах консорциума [[W3C]]<ref>{{Cite web |url=https://www.w3.org/Math/characters/html/symbol.html |title=SYMBOL Characters and Glyphs<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2020-09-06 |archive-date=2020-08-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200806221141/http://www.w3.org/Math/characters/html/symbol.html |deadlink=no }}</ref>. Также, для замены часто используется буква [[Ø]] [[Датско-норвежский алфавит|датско-норвежского алфавита]].
<!-- Ранее здесь рекомендовалось вводить символ диаметра (под Windows) путём удержания клавиши ALT и одновременного набора числа 0216 или 0248. Таким образом вводится символ Ø или ø (соотв.), называемый «Перечёркнутая латинская буква O», код 0216 или 0248 (дес.) в Юникоде (упомянуты в статье). Это НЕ символ диаметра! -->

== Сопряжённые диаметры эллипса и гиперболы ==

=== Сопряжённые диаметры эллипса ===
[[Файл:Conjugate Diameters.svg|right|300px|thumb|Пара сопряжённых диаметров эллипса. Если в точках касания диаметра с эллипсом провести прямую, параллельную сопряжённому диаметру, то прямая будет касательной к эллипсу и четыре таких касательных ко всем четырём концам пары сопряжённых диаметров эллипса образуют описанный около эллипса параллелограмм]]
* '''Диаметром''' эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. '''Сопряжёнными''' диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.

На рисунке представлена пара сопряжённых диаметров (красный и синий). Если в точках пересечения диаметра с эллипсом провести прямую, параллельную сопряжённому диаметру, то прямая будет касательной к эллипсу, и четыре таких касательных ко всем четырём концам пары сопряжённых диаметров эллипса образуют описанный около эллипса параллелограмм (зелёные линии на рисунке).
* Расстояния <math>r_1</math> и <math>r_2</math> от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются '''фокальными радиусами''' в этой точке.
* '''Радиус''' эллипса в данной точке (расстояние от его центра до данной точки) вычисляется по формуле <math>r=\frac{ab}{\sqrt{b^2 \cos^2\varphi + a^2 \sin^2\varphi}} = \frac{b}{\sqrt{1 - e^2 \cos^2\varphi}}</math>, где <math>\varphi</math> — угол между [[радиус-вектор]]ом данной точки и [[Ось абсцисс|осью абсцисс]].

=== Сопряжённые диаметры гиперболы ===
[[Файл:Hyperb.png|thumb|250px|Диаметры гиперболы]]
* Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряжённый диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось.
* Угловой коэффициент <math>k</math> параллельных хорд и угловой коэффициент <math>k_1</math> соответствующего диаметра связан соотношением
: <math>k \cdot k_1 = \varepsilon^2 - 1 = \frac{b^2}{a^2}</math>
:: [[Файл:Orthogonality and rotation.svg|right|300px|thumb|Для произвольного угла φ показаны диаметры и '''сопряжённые''' им диаметры для окружностей и равнобочных гипербол.]]
* Если диаметр гипербол ''a'' делит пополам хорды, параллельные диаметру ''b'', то диаметр ''b'' делит пополам хорды, параллельные диаметру ''a''. Такие диаметры называются '''взаимно сопряжёнными'''.
* '''Главными диаметрами''' гипербол называются взаимно сопряжённые и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.
* В случае гипербол с асимптотами, образующими прямой угол, её сопряжённые гиперболы получатся при её зеркальном отражении относительно одной из асимптот. При таком зеркальном отражении её диаметр перейдет в '''сопряжённый диаметр''', который будет просто диаметром сопряжённой гиперболы (см. рис.). Также. как наблюдается перпендикулярность сопряжённых диаметров на окружности (на рис. слева), аналогичная ортогональность наблюдается для '''сопряжённых диаметров''' гиперболы со взаимно перпендикулярными асимптотами (на рис. справа).

== Диаметр кубики ==
'''Диаметр [[Кубика|кубики]]''' — прямая, на которой лежат середины [[Хорда (геометрия)|хорд]] кубики, параллельных одной из её [[Асимптота|асимптот]]{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=§ 1. Классификация Ньютона, с. 16}}.

Кубика может иметь один диаметр, три диаметра или не иметь ни одного{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=§ 1. Классификация Ньютона, с. 7}}. В последнем случае середины хорд кубики, параллельных одной из её асимптот, лежат на гиперболе{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=§ 1. Классификация Ньютона, с. 10}}.

<gallery widths=200px heights=200px caption="Кубики с диаметрами и без">
Изображение:Adiametral redundant hyperbolas 1.svg|Кубика без диаметров
Изображение:Monodiametral redundant hyperbolas 1.svg|Кубика c одним диаметром
Изображение:Tridiametral redundant hyperbolas 1.svg|Кубика c тремя диаметрами
</gallery>
{{clear}}

== Вариации и обобщения ==
Понятие диаметра допускает естественные обобщения на некоторые другие геометрические и математические объекты. Если во множестве некоторых объектов определена [[Метрика (метрическая геометрия)|метрика]] пространства, то для подмножества этих объектов может быть введено понятие диаметра множества.

Диаметром [[множество|множества]] <math>M</math>, лежащего в [[метрическое пространство|метрическом пространстве]] с метрикой <math>\rho</math>, называется величина <math>(\sup_{x,y \in M}\rho(x, y))</math>.

Под '''диаметром [[метрическое пространство|метрического пространства]]''' понимается точная верхняя грань расстояний между парой любых его точек.

* В частности:
** Под [[диаметр конического сечения|диаметром конического сечения]] понимается прямая проходящая через середины двух параллельных хорд.
** Диаметр [[Граф (математика)|графа]] — это максимальное из расстояний между парами его вершин. Расстояние между вершинами определяется как наименьшее число рёбер, которые необходимо пройти, чтобы добраться из одной вершины в другую. Иначе говоря, это расстояние измеренное в количестве рёбер между двумя вершинами графа, максимально удалёнными друг от друга.
** Максимальное [[расстояние Хэмминга]] между двумя словами равной в символах длины <math>n</math> равно <math>n</math>, другими словами диаметр множества слов в метрике Хэмминга равен <math>n</math>.
** Диаметр [[фигура (геометрия)|геометрической фигуры]] — максимальное расстояние между точками этой фигуры.
Например, диаметр ''n''-размерного [[гиперкуб]]а со стороной ''s'' равен
: <math> d = s\cdot \sqrt{n}</math>.

== Некоторые [[окружность|окружности]], построенные в треугольнике на одном отрезке, как на диаметре ==
* [[Окружность Фурмана]] построена на одном отрезке, как на диаметре
* [[Окружность Брокара]] построена на одном отрезке, как на диаметре

== См. также ==
{{Викисловарь|диаметр}}
* [[Радиус]]
* [[Пи (число)|Пи]]
* При делении фигур на части меньшего диаметра возникла [[гипотеза Борсука]], опровергнутая в 1993 году
* [[Изодиаметрическое неравенство]]
* [[Угловой размер#В астрономии|Угловой диаметр]] астрономических объектов.
* [[Диаметр циркуляции]]
* [[Гидравлический диаметр]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{ВТ-ЭСБЕ|Диаметр}}
* {{h|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|3=
''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
}}

{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Метрическая геометрия]]
[[Категория:Классическая геометрия]]
[[Категория:Окружности]]