Просмотр кода страницы Дуопризма

{| class="wikitable" align="right" style="margin-left:10px" width="350"
|bgcolor=#e7dcc3 colspan=2 align=center|'''Множество однородных p, q-дуопризм '''
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Type||{{не переведено 5|Однородный четырёхмерный многогранник|Призматический однородный четырёхмерный многогранник||Uniform 4-polytope}}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Символ Шлефли]]||{p}×{q}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма Коксетера — Дынкина]]||{{CDD|node_1|p|node|2|node_1|q|node}}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Ячейки||p q-угольных [[Призма (геометрия)|призм]],<BR>q p-угольных призм
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Грани||pq [[квадрат]]ов,<BR>p q-угольников,<BR>q p-угольников
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Рёбра||2pq
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Вершины||pq
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Вершинная фигура]]||[[Файл:Pq-duoprism verf.png|100px]]<BR>[[Равногранный тетраэдр]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|{{не переведено 5|Нотация Коксетера|Симметрия||Coxeter notation}}||[p,2,q], order 4pq
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Двойственный многогранник|Двойственный]]||p, q-{{не переведено 5|Дуопирамида|||duopyramid}}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Свойства||[[Выпуклый многогранник|выпуклый]], [[Изогональная фигура|вершинно однородный]]
|-
|colspan=2| 
|-
|bgcolor=#e7dcc3 colspan=2 align=center|'''Множество однородных p, p-дуопризм'''
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Тип||{{не переведено 5|Однородный четырёхмерный многогранник|Призматический однородный четырёхмерный многогранник||Uniform 4-polytope}}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Символ Шлефли]]||{p}×{p}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма Коксетера — Дынкина]]||{{CDD|node_1|p|node|2|node_1|p|node}}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Ячейки||2p p-gonal [[prism (geometry)|prisms]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Грани||p<sup>2</sup> [[Square (geometry)|squares]],<BR>2p p-gons
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Рёбра||2p<sup>2</sup>
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Вершины||p<sup>2</sup>
|-
|bgcolor=#e7dcc3|{{не переведено 5|Нотация Коксетера|||Coxeter notation}}||{{brackets|p,2,p}} = [2p,2<sup>+</sup>,2p], order 8p<sup>2</sup>
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Двойственный многогранник|Двойственный]]||p, p-{{не переведено 5|Дуопирамида|||duopyramid}}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Properties||[[Выпуклый многогранник|выпуклый]], [[Изогональная фигура|вершинно однородный]], {{не переведено 5|Изоэдрическая фигура|фасет-транзитивный||Facet-transitive}}
|}
'''Дуопризма''' — [[многогранник]], полученный [[Прямое произведение|прямым произведением]] двух многогранников, каждое размерности два и выше. Прямое произведение ''n''-многогранника и ''m''-многогранника — это (''n''+''m'')-многогранник, где ''n'' и ''m'' не меньше 2 ([[многоугольник]] или многогранник).

Дуопризмы наименьшей размерности существуют в 4-мерном пространстве как [[Четырёхмерный многогранник|4-мерные многогранники]], будучи [[Прямое произведение|прямым произведением]] двух [[многоугольник]]ов в 2-мерном [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]]. Точнее, это [[множество]] точек:

: <math>P_1 \times P_2 = \{ (x,y,z,w) | (x,y)\in P_1, (z,w)\in P_2 \}</math>,

где ''P<sub>1</sub>'' и ''P<sub>2</sub>'' — два множества точек, расположенные в многоугольниках (сомножителях). Если оба многоугольника выпуклы, такая дуопризма [[Выпуклый многогранник|выпукла]] и ограничена [[Призма (геометрия)|призматическими ячейками]].

== Терминология ==
Четырёхмерные дуопризмы считаются призматическими 4-мерными многогранниками. Дуопризма, полученная произведением двух [[Правильный многоугольник|правильных многоугольников]] с той же самой длиной рёбер, называется '''однородной дуопризмой'''.

Дуопризма, полученная из ''n''-многоугольника и ''m''-многоугольника, называется добавлением «дуопризма» после имён базовых многоугольников, например, ''треугольно-пятиугольная дуопризма'' — это произведение треугольника и пятиугольника.

Альтернативный путь именования — это добавление префикса с указанием числа сторон базовых многоугольников, например, 3,5-дуопризма — это треугольно-пятиугольная дуопризма.

Другие альтернативные имена:
* '''q'''-угольно-'''p'''-угольная призма
* '''q'''-угольно-'''p'''-угольная двойная призма
* '''q'''-угольно-'''p'''-угольная гиперпризма

Термин ''дуопризма'' был введён [[Джордж Ольшевски|Джорджем Ольшевски]] как сокращение от ''double prism'' (двойная призма). [[Конвей, Джон Хортон|Джон Хортон Конвей]] предложил похожее имя ''proprism'' как сокращение от ''product prism'' (произведение призм). Дуопризмы являются пропризмами, образованные произведением в точности двух многогранников.

== Пример 16,16-дуопризмы ==
{|class=wikitable width=500
|- align=center
|[[Диаграмма Шлегеля]]<BR>[[Файл:16-16 duoprism.png|250px]]<BR>Показана проекция из центра одной 16-угольной призмы и все, кроме одной, противоположные 16-угольные призмы.
|[[Развёртка]]<BR>[[Файл:16-16 duoprism net.png|250px]]<BR>Показаны два множества 16-угольных призм. Верхняя и нижняя грани вертикального ''цилиндра'' соединены в четырёхмерном пространстве.
|}

== Геометрия 4-мерных дуопризм ==
[[Файл:23,29-duoprism stereographic closeup.jpg|thumb|320px|Внутри 23,29-дуопризмы, спроецированной в 3-сферу. При больших ''m'' и ''n'' дуопризмы геометрически приближаются к {{не переведено 5|Дуоцилиндр|дуоцилиндрам||duocylinder}} точно так же, как p-угольная призма приближается к [[цилиндр]]у.]]
4-мерная '''{{не переведено 5|Однородный 4-мерный многогранник|однородная||Uniform 4-polytope}} дуопризма''' получается произведение правильного ''n''-стороннего [[многоугольник]]а и правильного ''m''-стороннего многоугольника с одинаковыми длинами сторон. Она ограничена ''n'' ''m''-угольными [[Призма (геометрия)|призмами]] и ''m'' ''n''-угольными призмами. Например, прямое произведение треугольника и шестиугольника — это дуопризма, ограниченная шестью треугольными призмами и тремя шестиугольными.

* Если ''m'' и ''n'' идентичны, результирующая дуопризма ограничена 2''n'' одинаковыми ''n''-угольными призмами. Например, прямое произведение двух треугольников — это дуопризма, ограниченная шестью треугольными 6 призмами.

* Если ''m'' и''n'' равны 4, результирующая дуопризма ограничена восемью квадратными призмами ([[куб]]ами) и идентична [[тессеракт]]у.

''m''-угольные призмы соединены друг с другом ''m''-угольными гранями и образуют замкнутый цикл. Подобным обрразом ''n''-угольные призмы соединены друг с другом ''n''-угольными гранями и образуют другой замкнутый цикл, перпендикулярный первому. Эти два цикла соединены друг с другом через их квадратные грани и взаимно перпендикулярны.

При стремлении ''m'' и ''n'' к бесконечности соответствующие дуопризмы приближаются к {{не переведено 5|Дуоцилиндр|дуоцилиндру||duocylinder}}. Таким образом, дуопризмы полезны как [[Поверхность второго порядка|неквадратичные]] приближения к дуоцилиндрам.

== Развёртки ==
{| class=wikitable
|- align=center
|[[Файл:3-3 duoprism net.png|100px]]<BR>{{не переведено 5|3,3-дуопризма |3-3||3-3 duoprism}}
|[[Файл:8-cell net.png|100px]]<BR>{{не переведено 5|4,4-дуопризма|4-4||4-4 duoprism}}
|[[Файл:5-5 duoprism net.png|100px]]<BR>[[5,5-дуопризма|5-5]]
|[[Файл:6-6 duoprism net.png|100px]]<BR>{{не переведено 5|6,6-дуопризма|6-6||6-6 duoprism}}
|[[Файл:8-8 duoprism net.png|100px]]<BR>{{не переведено 5|8,8-дуопризма|8-8||8-8 duoprism}}
|[[Файл:10-10 duoprism net.png|100px]]<BR>{{не переведено 5|10,10-дуопризма|10-10||10-10 duoprism}}
|- align=center
|[[Файл:4-3 duoprism net.png|100px]]<BR>[[3,4-дуопризма|3-4]]
|[[Файл:5-3 duoprism net.png|100px]]<BR>{{не переведено 5|3,5-дуопризма|3-5||3-5 duoprism}}
|[[Файл:6-3 duoprism net.png|100px]]<BR>{{не переведено 5|3,6-дуопризма|3-6||3-6 duoprism}}
|[[Файл:5-4 duoprism net.png|100px]]<BR>{{не переведено 5|4,5-дуопризма|4-5||4-5 duoprism}}
|[[Файл:6-4 duoprism net.png|100px]]<BR>{{не переведено 5|4,6-дуопризма|4-6||4-6 duoprism}}
|[[Файл:8-3 duoprism net.png|100px]]<BR>{{не переведено 5|3,8-дуопризма|3-8||3-8 duoprism}}
|}

=== Перспективные проекции ===
Центрированная относительно ячейки перспективная проекция дуопризмы выглядит как [[Тор (поверхность)|тор]] с двумя множествами ортогональных ячеек, p-угольных и q-угольных призм.
{| class=wikitable width=480
|+ [[Диаграмма Шлегеля|Диаграммы Шлегеля]]
|[[Файл:Hexagonal prism skeleton perspective.png|160px]]
|[[Файл:6-6 duoprism.png|160px]]
|-
!6-призма
!{{не переведено 5|6,6-дуопризма|||6-6 duoprism}}
|-
|colspan=2|[[Шестиугольная призма]], спроецированная перспективно на плоскость и центрированная относительно шестиугольной грани, выглядит как два шестиугольника, соединённые (деформированными) ''квадратами''. Подобным же образом проекция 6,6-дуопризмы в трёхмерное пространство близка [[Тор (поверхность)|тору]], шестиугольному как в плоскости, так и в сечении.
|}

(p, q)-дуопризмы идентичны (q, p)-призмам, но в проекциях выглядит различными, поскольку центрированы относительно различных ячеек.

{| class="wikitable"
|+ [[Диаграмма Шлегеля|Диаграммы Шлегеля]]
|- align=center
|[[Файл:3-3 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|3,3-дуопризма|3-3||3-3 duoprism}}
|[[Файл:3-4 duoprism.png|75px]]<BR>[[3,4-дуопризма|3-4]]
|[[Файл:3-5 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|3,5-дуопризма|3-5||3-5 duoprism}}
|[[Файл:3-6 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|3,6-дуопризма|3-6||3-6 duoprism}}
|[[Файл:3-7 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|3,7-дуопризма|3-7||3-7 duoprism}}
|[[Файл:3-8 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|3,8-дуопризма|3-8||3-8 duoprism}}
|- align=center
|[[Файл:4-3 duoprism.png|75px]]<BR>[[3,4-дуопризма|4-3]]
|[[Файл:4-4 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|4,4-дуопризма|4-4||4-4 duoprism}}
|[[Файл:4-5 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|4,5-дуопризма|4-5||4-5 duoprism}}
|[[Файл:4-6 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|4,6-дуопризма|4-6||4-6 duoprism}}
|[[Файл:4-7 duoprism.png|75px]]<BR>4-7
|[[Файл:4-8 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|4,8-дуопризма|4-8||4-8 duoprism}}
|- align=center
|[[Файл:5-3 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|3,5-дуопризма|5-3||3-5 duoprism}}
|[[Файл:5-4 duoprism.png|75px]]<BR>[[5,5-дуопризма|5-4]]
|[[Файл:5-5 duoprism.png|75px]]<BR>[[5,5-дуопризма|5-5]]
|[[Файл:5-6 duoprism.png|75px]]<BR>5-6
|[[Файл:5-7 duoprism.png|75px]]<BR>5-7
|[[Файл:5-8 duoprism.png|75px]]<BR>5-8
|- align=center
|[[Файл:6-3 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|3,6-дуопризма|6-3||3-6 duoprism}}
|[[Файл:6-4 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|4,6-дуопризма|6-4||4-6 duoprism}}
|[[Файл:6-5 duoprism.png|75px]]<BR>6-5
|[[Файл:6-6 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|6,6-дуопризма|6-6||6-6 duoprism}}
|[[Файл:6-7 duoprism.png|75px]]<BR>6-7
|[[Файл:6-8 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|6,8-дуопризма|6-8||6-8 duoprism}}
|- align=center
|[[Файл:7-3 duoprism.png|75px]]<BR>7-3
|[[Файл:7-4 duoprism.png|75px]]<BR>7-4
|[[Файл:7-5 duoprism.png|75px]]<BR>7-5
|[[Файл:7-6 duoprism.png|75px]]<BR>7-6
|[[Файл:7-7 duoprism.png|75px]]<BR>7-7
|[[Файл:7-8 duoprism.png|75px]]<BR>7-8
|- align=center
|[[Файл:8-3 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|3,8-дуопризма|8-3||3-8 duoprism}}
|[[Файл:8-4 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|4,8-дуопризма|8-4||4-8 duoprism}}
|[[Файл:8-5 duoprism.png|75px]]<BR>8-5
|[[Файл:8-6 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|6,8-дуопризма|8-6||6-8 duoprism}}
|[[Файл:8-7 duoprism.png|75px]]<BR>8-7
|[[Файл:8-8 duoprism.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|8,8-дуопризма|8-8||8-8 duoprism}}
|}

=== Ортогональные проекции ===
Вершинно-центрированные ортогональные проекции p, p-дуопризм имеет симметрию [2n] для нечётных значений и [n] для чётных, при этом n вершин проецируется в центр. Для 4,4 это представляет плоскость Коксетера A<sup>3</sup> [[тессеракт]]а. Проекция 5,5 идентична трёхмерному [[ромботриаконтаэдр]]у.
{| class=wikitable
|+ Каркасы ортогональных проекций p, p-дуопризм
|-
!colspan=8|Нечётные
|-
!colspan=2|{{не переведено 5|3,3-дуопризма|3-3||3-3 duoprism}}
!colspan=2|[[5,5-дуопризма|5-5]]
!colspan=2|7-7
!colspan=2|9-9
|-
|[[Файл:3-3 duoprism ortho-dih3.png|100px]]||[[Файл:3-3 duoprism ortho-Dih3.png|100px]]
||[[Файл:5-5 duoprism ortho-5.png|100px]]||[[Файл:5-5 duoprism ortho-Dih5.png|100px]]
|[[Файл:7-7 duopism ortho-7.png|100px]]||[[Файл:7-7 duoprism ortho-Dih7.png|100px]]
|[[Файл:9-9 duoprism-ortho-9.png|100px]]||[[Файл:9-9 duoprism ortho-Dih9.png|100px]]
|-  align=center
|[3]
|[6]
|[5]
|[10]
|[7]
|[14]
|[9]
|[18]
|-
!colspan=8|Чётные
|-
!colspan=2|{{не переведено 5|4,4-дуопризма|4-4||4-4 duoprism}} (тессеракт)
!colspan=2|{{не переведено 5|6,6-дуопризма|6-6||6-6 duoprism}}
!colspan=2|{{не переведено 5|8,8-дуопризма|8-8||8-8 duoprism}}
!colspan=2|{{не переведено 5|10,10-дуопризма|10-10||10-10 duoprism}}
|-
||[[Файл:4-cube t0 A3.svg|100px]]||[[Файл:4-cube t0.svg|100px]]
||[[Файл:6-6 duoprism ortho-Dih6.png|100px]]||[[Файл:6-6 duoprism ortho-3.png|100px]]
||[[Файл:8-8 duoprism ortho-Dih8.svg|100px]]||[[Файл:8-8 duoprism ortho-3.png|100px]]
||[[Файл:10-10 duoprism ortho-Dih10.png|100px]]||[[Файл:10-10 duoprism ortho-3.png|100px]]
|- align=center
|[4]
|[8]
|[6]
|[12]
|[8]
|[16]
|[10]
|[20]
|}

== Связанные многогранники ==
[[Файл:Duocylinder ridge animated.gif|right|frame|[[Стереографическая проекция]] вращающегося {{не переведено 5|Дуоцилиндр|дуоцилиндра||duocylinder}}]]

[[Правильный косой многогранник]], {4,4|n}, существует в 4-мерном пространстве как n<sup>2</sup> квадратных граней ''n-n дуопризмы'', использующий все 2n<sup>2</sup> рёбер и n<sup>2</sup> вершин. 2''n'' ''n''-угольные грани можно рассматривать как удалённые. (Косые многогранники можно рассматривать таким же образом как n-m дуопризмы, но они не являются ''правильными''.)<ref>В английской литературе skew polyhedron (''косой многогранник'') соответствует трёхмерной фигуре, для которой в русском языке прижился термин ''косой многоугольник''. Термин ''skew polytop'' (''косой политоп'') соответствует многомерной (размерность больше трёх) фигуре. В данной статье используется термин ''косой многогранник'' для всех размерностей.</ref>

{{-}}

=== Дуоантипризма ===
[[Файл:Snub p2q verf.png|thumb|left|120px|[[Вершинная фигура]] p, q-дуоантипризмы , [[гиробифастигиум]]]]
[[Файл:great duoantiprism.png|thumb|[[Стереографическая проекция]] {{не переведено 5|Большая дуоантипризма|большой дуоантипризмы||Great duoantiprism}}, центрированной относительно {{не переведено 5|Пентаграммная скрещенная антипризма|пентаграммной скрещенной антипризмы||pentagrammic crossed-antiprism}}]]
Подобно [[антипризма]]м как альтернированным [[Призма (геометрия)|призмам]] существует множество 4-мерных дуоантипризм — это [[Четырёхмерный многогранник|4-многогранники]], которые можно создать операцией {{не переведено 5|Альтернация (геометрия)|альтернации||Alternation (geometry)}}, применённой к дуопризме. Альтернированные вершины создают неправильные тетраэдральные ячейки, за исключением специального случая ''дуопризмы 4-4'' ([[тессеракт]]а), при которой получается однородный (и правильный) [[шестнадцатиячейник]]. Шестнадцатиячейник является единственной однородной дуоантипризмой.

Дуопризмы {{CDD|node_1|p|node_1|2|node_1|q|node_1}}, t<sub>0,1,2,3</sub>{p,2,q}, могут быть альтернированы в {{CDD|node_h|p|node_h|2x|node_h|q|node_h}}, ht<sub>0,1,2,3</sub>{p,2,q}, «дуоантипризмы», которые нельзя получить однородными. Единственное выпуклое однородное решение — тривиальный случай p=q=2, который является наименьшей по симметрии конструкцией [[тессеракт]]а {{CDD|node_1|2|node_1|2|node_1|2|node_1}}, t<sub>0,1,2,3</sub>{2,2,2}, с альтернированием в [[шестнадцатиячейник]], {{CDD|node_h|2x|node_h|2x|node_h|2x|node_h}}, s{2}s{2}.

Единственное невыпуклое однородное решение — p=5, q=5/3, ht<sub>0,1,2,3</sub>{5,2,5/3}, {{CDD|node_h|5|node_h|2x|node_h|5|rat|3x|node_h}}, полученное из 10 [[Пятиугольная антипризма|пятиугольных антипризм]], 10 {{не переведено 5|Пентаграммная скрещенная антипризма|пентаграммных скрещенных антипризм||pentagrammic crossed-antiprism}} и 50 тетраэдов. Этот многогранник известен под именем {{не переведено 5|большая дуоантипризма|||great duoantiprism}}<ref>[http://www.polytope.net/hedrondude/misc.htm Jonathan Bowers — Miscellaneous Uniform Polychora] {{Wayback|url=http://www.polytope.net/hedrondude/misc.htm |date=20150924075503 }} 965. Gudap</ref><ref>http://www.polychora.com/12GudapsMovie.gif {{Wayback|url=http://www.polychora.com/12GudapsMovie.gif |date=20140222055922 }} Animation of cross sections</ref>.

=== Многогранники k<sub>22</sub> ===
{{не переведено 5|3,3-дуопризма|||3-3 duoprism}}, −1<sub>22</sub>, является первой в серии размерностей однородных многогранников, обозначенных [[Коксетер, Гарольд|Коксетером]] как серия k<sub>22</sub>. 3,3-дуопризма является вершинной фигурой второй фигуры, {{не переведено 5|Биспрямлённый пятимерный симплекс|биспрямлённого 5-симплекса||birectified 5-simplex}}. Четвёртой фигурой являются евклидовы соты, {{не переведено 5|Соты 2 22|2<sub>22</sub>||2 22 honeycomb}} Последней фигурой являются паракомпактные гиперболические соты, 3<sub>22</sub>, с группой Коксетера [3<sub>2,2,3</sub>], <math>{\bar{T}}_7</math>. Каждый последующий [[однородный многогранник]] строится из предыдущего (предыдущий служит его [[Вершинная фигура|вершинной фигурой]]).
{{Многогранники K 21}}

== См. также ==
* [[Многогранник]] и [[Четырёхмерный многогранник]]
* {{не переведено 5|Выпуклый правильный четырёхмерный многогранник|||Convex regular 4-polytope}}
* {{не переведено 5|Дуоцилиндр|||Duocylinder}}
* [[Тессеракт]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга
|автор=[[Коксетер, Гарольд|H. S. M. Coxeter]]
|ref= Coxeter
|заглавие={{не переведено 5|Regular Polytopes (книга)| Regular Polytopes||Regular Polytopes (book)}}
|ссылка=https://archive.org/details/regularpolytopes00coxe_869
|издание=3rd (1947, 63, 73)
|год=1973
|место=New York
|издательство=Dover Publications Inc.
|ISBN=0-486-61480-8
|страницы=[https://archive.org/details/regularpolytopes00coxe_869/page/n142 124]
}}
* {{книга
|автор=[[Коксетер, Гарольд|H.S.M. Coxeter]]
|ref= Coxeter
|заглавие=The Beauty of Geometry: Twelve Essays
|ссылка=https://archive.org/details/beautyofgeometry0000coxe
|издателство=Dover Publications
|год=1999
|ISBN=0-486-40919-8
|част=Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues
}}
** Coxeter, H. S. M. ''Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions.'' Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
* {{книга
|заглавие=The Fourth Dimension Simply Explained
|ссылка=https://archive.org/details/fourthdimension00manngoog
|автор=Henry P. Manning
|издательство=Munn & Company
|год=1910
|место=New York
}}
* {{книга
|автор=[[Конвей, Джон Хортон|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass
|заглавие=The Symmetries of Things
|год=2008
|ISBN=978-1-56881-220-5
|часть=(Chapter 26)
}}
* {{книга
|заглавие=Uniform Polytopes
|издательство=Manuscript
|год=1991
|автор=[[Джонсон, Норман|Norman Johnson]]
}}
** {{книга 
|автор=[[Джонсон, Норман|Norman Johnson]]
|заглавие=The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs
|издание=Ph.D. Dissertation
|место=University of Toronto
|год=1966
}}

* {{не переведено 5|Ольшевский, Джордж|George Olshevsky||George Olshevsky}} [https://web.archive.org/web/20070204075028/http://members.aol.com/Polycell/glossary.html#Duoprism Duoprism] на Glossary for Hyperspace
** {{не переведено 5|Ольшевский, Джордж|George Olshevsky||George Olshevsky}} [http://web.archive.org/web/20070204075028/members.aol.com/Polycell/glossary.html#Cartesian Cartesian product] на Glossary for Hyperspace
** [https://web.archive.org/web/20070309120836/http://members.aol.com/Polycell/section6.html Каталог выпуклых многогранников] {{не переведено 5|Ольшевский, Джордж|George Olshevsky||George Olshevsky}}

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20030121092141/http://etext.lib.virginia.edu/etcbin/toccer-new2?id=ManFour.sgm&images=images%2Fmodeng&data=%2Ftexts%2Fenglish%2Fmodeng%2Fparsed&tag=public&part=all The Fourth Dimension Simply Explained]—describes duoprisms as «double prisms» and duocylinders as «double cylinders»
* [https://www.webcitation.org/query?url=http://www.geocities.com/os2fan2/gloss.htm&date=2009-10-26+00:04:35 Polygloss] — glossary of higher-dimensional terms
* [https://web.archive.org/web/20141201023452/http://www.bayarea.net/~kins/thomas_briggs/ Exploring Hyperspace with the Geometric Product]

{{Многогранники|nocat=1}}
[[Категория:Многомерная евклидова геометрия]]
[[Категория:Алгебраическая топология]]
[[Категория:Многогранники]]

{{rq|checktranslate|style|tex}}