Просмотр кода страницы Евдокс Книдский

{{Тёзки|Евдокс}}
{{Учёный 
 |Имя = Евдокс Книдский
 |Оригинал имени = {{lang-grc|Εὔδοξος ὁ Κνίδιος}}
 |Изображение =
 |Ширина =
 |Описание изображения =
 |Дата рождения = ок. [[408 год до н. э.]]
 |Дата смерти = ок. [[355 год до н. э.]]
 |Научная сфера = [[математик]], [[механик]], [[астроном]]
 |Знаменитые ученики = [[Каллипп]], [[Менехм]], [[Динострат]]
 |Известен как =
}}
'''Евдо́кс Кни́дский''' (в части источников: '''Эвдокс''', {{lang-grc|Εὔδοξος}}, {{lang-lat|Eudoxus}}; ок. [[408 год до н. э.]] — ок. [[355 год до н. э.]]) — [[Древняя Греция|древнегреческий]] {{математик|Древней Греции|IV века до н. э.}}, {{механик|Древней Греции|IV века до н. э.}} и {{астроном|Древней Греции|IV века до н. э.}}. Занимался также врачеванием, [[Философия|философией]] и [[Гармоника (наука)|музыкой]]; был известен как [[оратор]] и законовед.

Неоднократно упоминается у античных авторов. Сочинения самого Евдокса до нас не дошли, но его математические открытия изложены в «[[Начала Евклида|Началах Евклида]]». Среди его учеников были [[Каллипп]], [[Менехм]] и [[Динострат]].

Научная школа Евдокса сыграла большую роль в развитии [[Астрономия Древней Греции|античной астрономии]] и [[Математика в Древней Греции|математики]]. Историки науки относят Евдокса к числу основоположников [[Интегральное исчисление|интегрального исчисления]] и теоретической астрономии<ref>{{книга |автор=Boyer Carl B. |заглавие=A History of Mathematics |язык=en |издание=2nd ed |издательство=John Wiley & Sons |год=1991 |allpages=736 |isbn=978-0471543978 |pages=92}}</ref>. В частности, Евдокс создал теорию геометрических величин (античный аналог [[Вещественное число|вещественных чисел]]), [[метод исчерпывания]] (прообраз анализа криволинейных фигур) и первую теоретическую модель движения [[Астрономический объект|небесных тел]], переработанный вариант которой был позднее изложен в «[[Альмагест]]е» [[Клавдий Птолемей|Птолемея]].

В честь Евдокса названы:
* [[кривая Евдокса]];
* [[Евдокс (лунный кратер)|кратер на Луне]];
* {{нп5|Евдокс (марсианский кратер)|кратер на Марсе||Eudoxus (Martian crater)}}.

== Биография ==
О жизни Евдокса известно немного. Родился в [[Книд]]е, на юго-западе [[Малая Азия|Малой Азии]]. Учился медицине у [[Филистион]]а в [[Сицилия|Сицилии]], потом математике (у пифагорейца [[Архит Тарентский|Архита]] в [[Италия|Италии]]), далее присоединился к школе [[Платон]]а в [[Афины|Афинах]]<ref name=ROZH97>{{книга |автор=[[Рожанский, Иван Дмитриевич|Рожанский И. Д.]] |заглавие=Античная наука ||место=М. |издательство=Наука |год=1980 |страниц=198 |страницы=97 |серия=История науки и техники }}</ref>. Около года провёл в [[Древний Египет|Египте]], изучал астрономию в [[Гелиополь (Египет)|Гелиополе]]. Позднее Евдокс переселился в [[Кизик (город)|город Кизик]] на [[Мраморное море|Мраморном море]], основал там собственную математико-астрономическую школу, читал лекции по философии, астрономии и метеорологии{{sfn |История математики, том I|1970|с=95—96}}.

Около [[368 год до н. э.|368 года до н. э.]] Евдокс вместе с частью учеников вернулся в Афины. Умер в родном Книде, окружённый славой и почётом. [[Диоген Лаэртский]] сообщает некоторые подробности: скончался Евдокс на 53-м году жизни, были у него три дочери и сын по имени Аристагор{{sfn |Диоген Лаэртский|1979}}.

== Астрономия ==
[[Файл:Eudoxus planets3.PNG|thumb|280px|left| Система из четырёх концентрических сфер, использовавшаяся для моделирования движения планет в теории Евдокса. Цифрами обозначены сферы, отвечавшие за суточное вращение небосвода (1), за движение вдоль эклиптики (2), за попятные движения планеты (3 и 4). T — Земля, пунктирная линия изображает эклиптику (экватор второй сферы)]]
Евдокса можно считать создателем античной теоретической астрономии как самостоятельной науки. В Кизике им была построена [[обсерватория]], в которой впервые в Элладе велись систематические наблюдения за небом. Школа Евдокса выпустила первый в Греции [[Каталог звёздного неба|звёздный каталог]]{{sfn |Башмакова И. Г.|1958|с=306—308|name=BASH306 }}. [[Гиппарх]] упоминал названия двух астрономических трудов Евдокса: «Явления» и «Зеркало»<ref>{{книга |автор=[[Рожанский, Иван Дмитриевич|Рожанский И. Д.]] |заглавие=Античная наука ||место=М. |издательство=Наука |год=1980 |страниц=198 |страницы=104 |серия=История науки и техники }}</ref>.

Евдокс первым решил задачу [[Платон]]а, предложившего астрономам построить [[Кинематика|кинематическую модель]], в которой видимые движения Солнца, Луны и планет получались бы как результат комбинации равномерных круговых движений. Модель Евдокса состояла из 27 взаимосвязанных сфер, вращающихся вокруг Земли ([[теория гомоцентрических сфер]]). Согласие этой модели с наблюдениями было для того времени неплохим; исключением было движение Марса, который неравномерно движется по орбите, далёкой от круговой, и её крайне трудно приблизить равномерным вращением сфер.

Теорию Евдокса с математической точки зрения усовершенствовал [[Каллипп]], у которого число сфер возросло до 34. Дальнейшее усовершенствование теории было связано с [[Аристотель|Аристотелем]], который разработал механизм передачи вращения от наружных сфер к внутренним; при этом число сфер возросло до 56. В дальнейшем [[Гиппарх]] и [[Клавдий Птолемей]] отказались от теории гомоцентрических сфер в пользу теории [[эпицикл]]ов, которая позволяет более точно смоделировать неравномерность видимого движения небесных тел.

Евдокс считал Землю шарообразным телом, ему приписывается одна из первых оценок длины земного [[меридиан]]а в {{число|400000}} [[стадий|стадиев]]<ref>''James Oliver Thomson.'' History of ancient geography. Biblo & Tannen Publishers, Cambridge: Cambridge University Press, 1948, ISBN 0-8196-0143-8, p. 116.</ref>, или примерно 70 000 км. Евдокс пытался определить сравнительную величину небесных тел. Он знал, что Солнце больше Луны, но ошибочно полагал, что отношение их диаметров равно 9:1<ref name=BASH306/>. Ему же приписывают определение угла между [[Эклиптика|эклиптикой]] и [[Небесный экватор|небесным экватором]], то есть, с современной точки зрения, наклона земной оси к плоскости земной орбиты, равного 24°<ref>''Andrew Gregory.'' [http://www.ucl.ac.uk/sts/staff/gregory/papers/ec_ta.pdf Eudoxus, Callippus and the Astronomy of the Timaeus] {{Wayback|url=http://www.ucl.ac.uk/sts/staff/gregory/papers/ec_ta.pdf |date=20131230231944 }}, p. 23: «We do not know what value for the inclination of the ecliptic was used by Eudoxus and Callippus, though 24°, 1/15 of a circle, is commonly supposed».</ref>. Евдоксу приписывают также изобретение горизонтальных [[солнечные часы|солнечных часов]].

Евдокс был знаком с вавилонской [[Астрология|астрологией]], относился к ней презрительно и чётко отделял от астрономии: «''не следует доверять ни в малейшей степени халдеям и их предсказаниям и утверждениям о жизни человека, основанным на дне его рождения''»{{sfn |Ван дер Варден|1959|с=188}}.{{-}}

== Математика ==
Евдокс получил фундаментальные результаты в различных областях математики. Например, при разработке своей астрономической модели он существенно продвинул [[Сферическая геометрия|сферическую геометрию]]<ref name=BASH306/>. Однако особенно большое значение имели созданные им две классические теории.

=== Общая теория отношений ===
Числовые системы древних греков ограничивались [[Натуральное число|натуральными числами]] и их отношениями (дробями, [[Рациональное число|рациональными числами]]). Однако ещё [[Пифагореизм|пифагорейцы]] обнаружили, что диагональ квадрата [[Несоизмеримые величины|несоизмерима]] с его стороной, то есть отношение их длин не может быть представлено рациональным числом. Стало понятно, что пифагорейская арифметика должна быть каким-то образом расширена с тем, чтобы включать все результаты измерений. Это и сделал Евдокс. Его теория дошла до нас в изложении [[Евклид]]а (''[[Начала Евклида|Начала]]'', книга V)<ref name=IM96/>.

В дополнение к числам Евдокс ввёл более широкое понятие ''[[Величина (математика)|геометрической величины]]'', то есть длины отрезка, площади или объёма. С современной точки зрения, число при таком подходе есть ''отношение'' двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона<ref>Именно так определяли общее понятие числа [[Ньютон, Исаак|Ньютон]] и другие математики Нового времени.</ref>. Этот подход снимает проблему несоизмеримости. По существу, теория отношений Евдокса — это геометрическая модель [[Вещественное число|вещественных чисел]]. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин{{sfn |Башмакова И. Г.|1958|с=309—323 }}. Признание [[Иррациональное число|иррациональностей]] как особого вида чисел произошло много позднее, под влиянием [[История математики в Индии|индийских]] и [[Математика исламского средневековья|исламских]] математических школ{{sfn |История математики, том I|1970|с=96—101|name=IM96}}.

В начале своего построения Евдокс дал [[аксиома]]тику для сравнения величин. Все однородные величины сравнимы между собой, и для них определены две операции: отделение части и соединение (взятие кратного). Однородность величин сформулирована в виде аксиомы, известной также как [[аксиома Архимеда]]: ''«Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга»''<ref name=IM96/>. Сам Архимед при изложении этой аксиомы сослался на Евдокса{{sfn |Бурбаки|1963|с=148}}.

Далее Евдокс рассматривает отношения между величинами и определяет для них равенство{{sfn |Euclid|1948|loc=Том V}}:
<blockquote>Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой, каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.</blockquote>
В переводе на современный математический язык это означает, что отношения <math>a : b</math> и <math>c : d</math> равны, если для любых натуральных <math>m, n</math> выполняется одно из трёх соотношений:
* либо <math>ma < nb</math> и <math>mc < nd</math>;
* либо <math>ma = nb</math> и <math>mc = nd</math>;
* либо <math>ma > nb</math> и <math>mc > nd</math>.

Фактически описанное свойство означает, что между <math>a : b</math> и <math>c : d</math> нельзя вставить [[рациональное число]].
До Евдокса использовалось другое определение, через равенство последовательных вычитаний<ref>Топика Аристотеля</ref>; это определение эквивалентно определению Евдокса, но сложнее в использовании. Современным языком это можно выразить как равенство [[цепная дробь|цепных дробей]] для отношений <math>a : b</math> и <math>c : d</math><ref>Von Fritz, Kurt. «The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum.» Annals of mathematics (1945): 242—264.</ref>.

Далее Евдокс аккуратно выводит свойства отношений: [[транзитивность]], [[Отношение порядка|упорядоченность]] и т. д.

Классическая теория [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинда]] для построения вещественных чисел поразительно похожа на изложение Евдокса. Соответствие между ними устанавливается так: пусть заданы две величины Евдокса <math>a, b</math>; дробь <math>m/n</math> отнесём к классу <math>A</math>, если <math>ma > nb</math>, иначе — к классу <math>B</math>. Тогда классы <math>A</math> и <math>B</math> определяют [[дедекиндово сечение]] поля рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>. Осталось отождествить отношение по Евдоксу <math>b : a</math> с этим дедекиндовым числом{{sfn |История математики, том I|1970|с=97—98, 101|name=IM97}}.

Отметим, однако, что у Евдокса отсутствует аналог [[Аксиоматика вещественных чисел#Аксиомы непрерывности|аксиомы непрерывности]], и ниоткуда не следует, что всякое сечение <math>\mathbb{Q}</math> определяет вещественное число<ref name=IM97/>.

=== Метод исчерпывания ===
{{main|Метод исчерпывания}}
Это своего рода античный анализ криволинейных фигур. Обоснование этого метода не опирается на актуальные [[Бесконечно малая и бесконечно большая|бесконечно малые]], но неявно включает понятие [[Предел (математика)|предела]]. Название «метод исчерпывания» предложил в [[1647 год]]у [[Грегуар де Сен-Венсан]], в античные времена у метода не было специального названия. [[Евклид]] изложил теорию метода исчерпывания в X книге «[[Начала Евклида|Начал]]», а в XII книге применил для доказательства нескольких теорем.

[[Файл:Archimedes pi.svg|thumb|Вычисление площади круга методом исчерпывания]]
Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась [[монотонная последовательность]] других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся [[предел последовательности]] площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи{{sfn |История математики, том I|1970|с=101—105|name=IM101}}.

В такой форме метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античной математики, однако имел несколько существенных недостатков. Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; [[Архимед]], например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал. Наконец, этот метод не пригоден для нахождения площадей бесконечных фигур<ref name=IM101/>{{sfn |Бурбаки|1963|с=168—169}}.

С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал ряд уже известных в те годы открытий (площадь [[круг]]а, объём [[пирамида (геометрия)|пирамиды]] и [[конус]]а)<ref name=IM101/>.

Наиболее плодотворным этот метод стал в руках выдающегося последователя Евдокса, [[Архимед]]а, который смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий<ref name=IM101/>. В [[средние века]] европейские математики также применяли метод исчерпывания, пока он не был вытеснен сначала более мощным и технологичным [[Метод неделимых|методом неделимых]], а затем — [[Математический анализ|математическим анализом]].

== См. также ==
* [[Астрономия Древней Греции]]
* [[История математики]]
* [[Математика в Древней Греции]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{статья |автор=[[Башмакова И. Г.]]
 |заглавие=Лекции по истории математики в Древней Греции
 |издание=[[Историко-математические исследования]]
 |номер=11
 |издательство=[[Физматгиз]]
 |место=М.
 |год=1958
 |страницы=306—346
 |ref=Башмакова И. Г.
}}
* {{книга |автор=[[Николя Бурбаки|Бурбаки Н.]]
 |ref=Бурбаки
 |заглавие=Архитектура математики. Очерки по истории математики
 |место=М.
 |издательство=Иностранная литература
 |год=1963
}}
* {{книга |автор=[[Ван дер Варден, Бартель Леендерт|Ван дер Варден Б.&nbsp;Л.]]
 |заглавие=Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции
 |место=М.
 |издательство=ГИФМЛ
 |год=1959
 |ref=Ван дер Варден
}}
* {{книга |автор=[[Гейберг, Йохан Людвиг (филолог)|Гейберг И. Л.]]
 |заглавие=Естествознание и математика в классической древности
 |место=М.—Л.
 |издательство=ОНТИ
 |год=1936
}}
* {{книга |автор=[[Диоген Лаэртский]].
 |заглавие=О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов, книга VIII
 |ссылка=http://psylib.ukrweb.net/books/diogenl/txt08.htm
 |место=М.
 |издательство=Иностранная литература
 |год=1979
 |ref=Диоген Лаэртский
}}
* {{книга |автор=Еремеева А. И., Цицин Ф. А.
 |заглавие=История астрономии
 |isbn=5-211-00347-0
 |место=М.
 |издательство=Изд-во МГУ
 |год=1989
 |ref=Еремеева, Цицин
}}
* {{книга |автор=Житомирский С. В.
 |заглавие=Античная астрономия и орфизм
 |место=М.
 |издательство=Янус-К
 |год=2001
 |isbn=5-8037-0072-X
}}
* {{книга |автор=Житомирский С. В.
 |заглавие=Астрономия древних обществ
 |часть=Планетарная гипотеза Евдокса и древняя мифология
 |isbn=5-02-008768-8
 |место=М.
 |издательство=Наука
 |год=2002
 |страницы=311—314
}}
* {{статья |автор=[[Зайцев, Александр Иосифович|Зайцев А. И.]] |заглавие=Роль Евдокса Книдского в становлении астрономической науки в Древней Греции |ссылка=http://www.sno.pro1.ru/lib/npian/10.htm |издание=Некоторые проблемы истории античной науки |ответственный=Отв. ред. А. И. Зайцев, [[Козлов, Борис Игоревич|Б. И. Козлов]] |тип=Сборник научных трудов |место=Л. |издательство=[[Главная астрономическая обсерватория]] |год=1989 |страницы=116—120 |archiveurl=https://www.webcitation.org/6HxcfZfle?url=http://www.sno.pro1.ru/lib/npian/10.htm |archivedate=2013-07-08}}
* {{книга |часть=История математики. С древнейших времен до начала Нового времени
 |заглавие=История математики
 |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах
 |место=М.
 |издательство=Наука
 |год=1970
 |том=I
 |ref=История математики, том I
}}
* {{книга |автор=Колчинский И.Г., Корсунь А.А., Родригес М.Г |заглавие=Астрономы: Биографический справочник. — 2-е изд., перераб. и доп |ответственный= |ссылка= |место=Киев |издательство=Наукова думка |год=1986 |том= |страниц=512 |страницы= |isbn= |ref=}}
* {{статья |автор=Лишевский В. П.
 |заглавие=Первый астроном
 |издание=Земля и Вселенная
 |номер=5
 |год=1992
 |страницы=43—44
}}
* {{книга |заглавие=«Начала» Евклида
 |ссылка = http://ilib.mccme.ru
 |место = М.-Л.
 |издательство = ГТТИ
 |год = 1948
 |том = V
 |ref=Euclid
}}
* {{книга |автор=Паннекук А.
 |заглавие=История астрономии
 |место=М.
 |издательство=Наука
 |год=1966
}}

* {{книга |автор=Fowler D. H.
 |часть=Eudoxus: Parapegmata and Proportionality
 |заглавие=Ancient and Medieval trends in the exact sciences
 |место=Stanford
 |издательство=CSLI Publications
 |год=2000
 |pages=33—48
}}
* {{статья |автор=Goldstein B. R., Bowen A. C.
 |заглавие=A new view of early Greek astronomy
 |издание=Isis
 |номер=74 (273)
 |год=1983
 |pages=330—340
}}
* {{статья |автор=Knorr W. R.
 |заглавие=Plato and Eudoxus on the planetary motions
 |издание=Journal for the History of Astronomy
 |номер=21
 |год=1990
 |pages=313—329
}}
* {{статья |автор=Mendell H.
 |издание=Centaurus
 |номер=40
 |год=1998
 |pages=177—275
 |заглавие=Reflections on Eudoxus, Callippus and their Curves: Hippopedes and Callippopedes
}}
* {{статья |автор=Riddel R. C.
 |издание=[[Archive for History of Exact Sciences]]
 |номер=20
 |год=1979
 |pages=1—19
 |заглавие=Eudoxan mathematics and the Eudoxan spheres
}}
* {{статья |автор=Wright L.
 |заглавие=The astronomy of Eudoxus: geometry or physics?
 |издание=Stud. Hist. and Phil. Sci
 |номер=4
 |год=1973
 |pages=165—172
 |nodot=1
}}
* {{статья |автор=Yavetz I.
 |заглавие=On the homocentric spheres of Eudoxus
 |издание=[[Archive for History of Exact Sciences]]
 |номер=52
 |год=1998
 |pages=221—278
}}
* {{статья |автор=Yavetz I.
 |заглавие=A new role for the hippopede of Eudoxus
 |издание=[[Archive for History of Exact Sciences]]
 |номер=56
 |год=2001
 |pages=69—93
}}

== Ссылки ==
* {{cite web |url=http://iph.ras.ru/elib/1061.html |author=Родин А. В. |accessdate=2015-06-27 |title=Евдокс (Новая философская энциклопедия)}}
* {{MacTutor Biography|id=Eudoxus}}
* {{cite web |url=http://faculty.fullerton.edu/cmcconnell/Planets.html#3 |lang=en |accessdate=2014-11-08 |title=Models of Planetary Motion from Antiquity to the Renaissance |last=McConnell C. S. |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110719195315/http://faculty.fullerton.edu/cmcconnell/Planets.html#3 |archivedate=2011-07-19 |deadlink=yes }}
* {{cite web |url=http://www.calstatela.edu/faculty/hmendel/Ancient%20Mathematics/Eudoxus/Astronomy/EudoxusHomocentricSpheres.htm |title=Eudoxos of Knidos (Eudoxus of Cnidus): astronomy and homocentric spheres |last=Mendell H. |lang=en |accessdate=2014-11-08 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110516145329/http://www.calstatela.edu/faculty/hmendel/Ancient%20Mathematics/Eudoxus/Astronomy/EudoxusHomocentricSpheres.htm |archivedate=2011-05-16 }}
* {{cite web
  |url=http://www.mogi-vice.com/Pagine/Downloads.html/EudoxusHomocentricSpheres.htm
  |title=Models for planetary motion: from the homocentric spheres to epicycles and heliocentric orbits
  |last=Vicentini M.
  |lang=en
  |accessdate=2014-11-08
  |deadlink=yes
  }}

{{Внешние ссылки}}
{{Древнегреческая астрономия}}
{{Механики|0}}

[[Категория:Математики Древней Греции]]
[[Категория:Астрономы Древней Греции]]
[[Категория:Древнегреческие философы]]
[[Категория:Философы по алфавиту]]
[[Категория:Философы Древней Греции]]
[[Категория:Философы IV века до н. э.]]
[[Категория:Платон]]
[[Категория:Аристотель]]
[[Категория:Теоретическая астрономия]]
{{Добротная статья|Математики|Механики}}