Просмотр кода страницы Задача Кеплера в общей теории относительности

{{общая теория относительности|cTopic=Явления}}
'''[[Задача Кеплера]]''' вообще представляет собой проблему отыскания движения двух сферически-симметричных тел, взаимодействующих гравитационно. В классической теории тяготения решение этой проблемы было найдено самим Исааком Ньютоном: оказалось, что тела будут двигаться по коническим сечениям, в зависимости от начальных условий — по эллипсам, параболам или гиперболам. В рамках общей теории относительности (ОТО) с [[Пуризм|пуристической]] точки зрения эта задача представляется плохо поставленной, так как [[модель абсолютно твёрдого тела]] невозможна в релятивистской физике (см. [[Парадокс Белла]], [[Твёрдость по Борну]]), а не абсолютно твёрдые тела не будут при взаимодействии сферически-симметричными. Другой подход включает переход к точечным телам, правомерный в ньютоновской физике, но вызывающий проблемы в ОТО. Помимо этого, кроме положений и скоростей тел необходимо задать также и начальное гравитационное поле (метрику) во всём пространстве — [[проблема начальных условий]] в ОТО. В силу указанных причин точного [[аналитическое решение|аналитического решения]] задачи Кеплера в ОТО не существует (аналогично [[Задача трёх тел|задаче трёх тел]] в [[Классическая теория тяготения Ньютона|ньютоновской теории тяготения]]), но есть комплекс методов, позволяющих рассчитать поведение тел в рамках данной задачи с необходимой точностью: приближение [[Пробное тело|пробного тела]], [[постньютоновский формализм]], [[численная относительность]].

{{anchor|Исторический контекст}}

== Исторический контекст ==
{{See also|Смещение перигелия Меркурия}}
{{mainref|<ref name="bourabai.kz">{{книга
 |автор                 = Роузвер Н. Т.
 |часть                 = 
 |заглавие           = Перигелий Меркурия. От Леверье до Эйнштейна
 |оригинал           = Roseveare N. T. Mercury's perigelion from Le Verrier to Einstein
 |ссылка               = http://bourabai.kz/articles/roseveare/
 |ответственный = Пер. с англ. А. С. Расторгуева под ред. В. К. Абалакина
 |издание             = 
 |место                 = Москва
 |издательство   = Мир
 |год                     = 1985
 |том                     = 
 |страницы           = 
 |страниц             = 246
 |серия                 = 
 |isbn                       = 
 |тираж                 = 10000
 |archivedate                = 2020-10-01
 |archiveurl                 = https://web.archive.org/web/20201001204015/http://bourabai.kz/articles/roseveare/
}}</ref>}}

[[Файл:Precessing Kepler orbit 280frames e0.6 smaller.gif|thumb|right|345px|В отсутствие дополнительных внешних сил частица, обращающаяся вокруг центрального тела под действием ньютоновской силы гравитации, постоянно движется по одному и тому же эллипсу. Присутствие возмущений (например, гравитационного действия других планет) изменяет траекторию частицы, которую можно считать эллипсом, но с постоянно изменяющимися параметрами. Вращение этого эллипса называется прецессией орбиты и может быть измерено с высокой точностью, а также предсказано теоретически, исходя из известных величин и направлений возмущающих сил. Хотя теория гравитации Ньютона может объяснить 99,26 % наблюдаемого [[Смещение перигелия Меркурия|смещения перигелия Меркурия]], остаток величиной примерно 40" в столетие не может быть объяснён в её рамках, как это было открыто Леверье в 1859 году.]]

В 1859 году французский астроном, директор Парижской обсерватории [[Леверье, Урбен Жан Жозеф|Урбен Жан Жозеф Леверье]] нашёл, что прецессия орбиты [[Меркурий (планета)|Меркурия]], определённая из наблюдений, не совсем совпадает с теоретически предсказанной — [[перигелий]] орбиты движется чуть быстрее, чем следует из теории Ньютона после учёта всех межпланетных возмущений<ref>{{статья |заглавие=Sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète |издание={{Нп3|Comptes rendus de l'Académie des Sciences|Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences||Comptes rendus de l'Académie des Sciences}} |том=49 |страницы=379—383 |ссылка=https://archive.org/stream/comptesrendusheb49acad#page/379/mode/1up |язык=fr |тип=magazine |автор=[[Леверье, Урбен Жан Жозеф|Le Verrier, U. J. J.]] |год=1859}}</ref>. Эффект был малым — 38" в столетие, но значительно превышал ошибки измерений — примерно 1". Значение открытия было велико и многие физики, астрономы и небесные механики XIX века занимались этим вопросом. Было предложено множество решений в рамках классической физики, самыми известными были: наличие невидимого облака межпланетной пыли вблизи Солнца, сплюснутость (квадрупольный момент) Солнца, ненайденный спутник Меркурия или новая более близкая к Солнцу планета [[Вулкан (планета)|Вулкан]]<ref name="pais_1982"/><ref name="tonnella">''[[Тоннела, Мари-Антуанетт|Мари-Антуанетт Тоннела]]'' '''ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА И ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ''' МОСКВА: ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, 1962. Глава II, § 1.2.</ref>. Так как ни одно из этих объяснений не выдержало проверки наблюдениями, некоторые физики начали выдвигать более радикальные гипотезы, что необходимо изменять сам закон тяготения, например, менять в нём показатель степени или добавлять в потенциал члены, зависящие от скорости тел<ref name="Bog">''А. Ф. Богородский'' '''Всемирное тяготение''' Киев: Наукова думка, 1971. Глава 2.</ref>.

Однако большинство таких попыток оказались противоречивыми. В своих трудах по небесной механике<ref>''P. S. Laplace'' '''Mecanique celeste, 4, livre X''' Paris, 1805.</ref> [[Лаплас]] показал, что если гравитационное взаимодействие между двумя телами не действует мгновенно (что эквивалентно введению потенциала, зависящего от скоростей), то в системе движущихся планет не будет сохраняться импульс — часть импульса будет передаваться гравитационному полю, аналогично тому, как это происходит при электромагнитном взаимодействии зарядов в электродинамике. С ньютоновой точки зрения, если гравитационное воздействие передаётся с конечной скоростью и не зависит от скоростей тел, то все точки планеты должны притягиваться к точке, где Солнце было несколько раньше, а не к одновременному его месторасположению. На этом основании Лаплас показал, что эксцентриситет и большие полуоси орбит в задаче Кеплера с конечной скоростью гравитации должны расти со временем — испытывать вековые изменения. Из верхних пределов на изменения этих величин, следующие из устойчивости Солнечной системы и движения Луны, Лаплас показал, что скорость распространения гравитационного ньютонова взаимодействия не может быть ниже 50 миллионов скоростей света<ref name="pais_1982">Pais 1982</ref><ref name="Bog"/>.

{{начало цитаты}}
Сообщается ли притяжение от одного тела к другому мгновенно? Время передачи, если бы оно было для нас заметно, обнаружилось бы преимущественно вековым ускорением в движении Луны. Я предлагал это средство для объяснения ускорения, замеченного в упомянутом движении, и нашёл, что для удовлетворения наблюдениям должно приписать притягательной силе скорость в семь миллионов раз большую, чем скорость светового луча. А так как ныне причина векового уравнения — Луны хорошо известна, то мы можем утверждать, что притяжение передаётся со скоростью, по крайней мере в пятьдесят миллионов раз превосходящей скорость света. Поэтому, не опасаясь какой либо заметной погрешности, мы можем принимать передачу тяготения за мгновенную.
{{конец цитаты|источник=''П. С. Лаплас'' '''Изложение системы Мира''' Париж, 1797.<ref>Цитируется по книге: ''Борис Николаевич Воронцов-Вельяминов'' '''Лаплас''' Москва: Жургазоб'единение, 1937.</ref>}}

Метод Лапласа корректен для прямых обобщений ньютоновой гравитации, но может быть не применим к более сложным моделям. Так, например, в электродинамике движущиеся заряды притягиваются/отталкиваются не от видимых положений других зарядов, а от положений, которые они занимали бы в настоящее время, если бы двигались от видимых положений равномерно и прямолинейно — это является свойством [[Потенциалы Лиенара — Вихерта|потенциалов Лиенара — Вихерта]]<ref>Фейнман разбирает эту проблему в 6 томе '''Фейнмановских лекций по физике''', глава 21, § 1.</ref>. Аналогичное рассмотрение в рамках общей теории относительности приводит к такому же результату с точностью до членов порядка <math>(v/c)^3</math><ref>''А. Ф. Богородский'' '''Ibid.''' Глава 5, параграф 15.</ref>.

В попытках избежать изложенных проблем между 1870 и 1900 годами множество учёных пытались использовать законы гравитационного взаимодействия, основанные на электродинамических потенциалах [[Вебер, Вильгельм Эдуард|Вебера]], [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусса]], [[Риман, Бернхард|Римана]] и [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелла]]<ref>
{{книга
|автор          = [[Тредер, Ханс Юрген|Тредер Г.-Ю.]]
|часть          = Глава I
|заглавие       = Относительность инерции
|оригинал       = Hans-Jürgen Treder. Die Relativität der Trägheit. Berlin, 1972
|ссылка         = 
|ответственный  = Пер. с нем. К. А. Бронникова. Под редакцией проф. К. П. Станюковича 
|издание        = 
|место          = М.
|издательство   = [[Атомиздат]]
|год            = 1975
|том            = 
|страницы       = 
|страниц        = 128
|серия          = 
|isbn           = 
|тираж          = 6600
}}</ref>. В [[1890 год]]у Леви удалось получить стабильные орбиты и нужную величину сдвига перигелия путём комбинации законов Вебера и Римана<!--, whereby the [[speed of gravity]] is equal to the [[speed of light]] in his theory-->. Другая успешная попытка была предпринята [[Гербер, Пауль|П. Гербером]] в [[1898 год]]у. Тем не менее, так как исходные электродинамические потенциалы оказались неверными (например, закон Вебера не вошёл в окончательную теорию электромагнетизма Максвелла), эти гипотезы были отвергнуты как произвольные<ref name="bourabai.kz"/><ref>{{статья |заглавие=Gravitation |издание=Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen |том=5 |страницы=25—67 |ссылка=http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D189514 |язык=de |автор={{Нп3|Zenneck, J.|Zenneck, J.||Jonathan Zenneck}} |год=1903 |archivedate=2021-03-12 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210312062322/http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D189514 }}</ref>. Некоторые другие попытки, такие как теория [[Лоренц, Хендрик Антон|Г. Лоренца]] ([[1900 год]]), которые уже использовали теорию Максвелла, давали слишком малую прецессию<ref name="pais_1982" /><ref name="vizgin1">
{{книга
|автор          = Визгин В. П.
|часть          = Глава I, раздел 2.
|заглавие       = Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование. 1900—1915 гг.)
|оригинал       =
|ссылка         =
|ответственный  =
|издание        =
|место          = Москва
|издательство   = Наука
|год            = 1981
|том            =
|страницы       =
|страниц        = 352
|серия          =
|isbn           =
|тираж          = 2000
}}</ref>.

Около 1904—1905 годов работы [[Лоренц, Хендрик Антон|Х. Лоренца]], [[Пуанкаре, Анри|А. Пуанкаре]] и [[Эйнштейн, Альберт|А. Эйнштейна]] заложили фундамент [[специальная теория относительности|специальной теории относительности]], исключив возможность распространения любых взаимодействий быстрее, чем со [[скорость света|скоростью света]]. Таким образом, встала задача заменить ньютоновский закон гравитации на другой, совместимый с принципом относительности, но дающий при малых скоростях и гравитационных полях почти ньютоновские эффекты. Такие попытки были сделаны [[Пуанкаре, Анри|А. Пуанкаре]] (1905 и 1906), [[Минковский, Герман|Г. Минковским]] (1908) и [[Зоммерфельд, Арнольд Иоганнес Вильгельм|А. Зоммерфельдом]] (1910). Однако все рассмотренные модели давали слишком малую величину сдвига перигелия<ref name="vizgin1"/><ref>{{Citation | author=Walter, S. | year=2007 | editor=Renn, J. | contribution= [http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/ Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905–1910] | journal=The Genesis of General Relativity |pages=193–252 |volume=3 |place=Berlin | publisher=Springer}}</ref>.

В 1907 году Эйнштейн пришёл к выводу, что для описания гравитационного поля необходимо обобщить тогдашнюю теорию относительности, сейчас называемую специальной. От 1907 по 1915 год Эйнштейн последовательно шёл к новой теории, используя в качестве путеводного [[принцип относительности|свой принцип относительности]]. Согласно этому принципу однородное гравитационное поле действует одинаковым образом на всю материю и, следовательно, не может быть найдено свободно падающим наблюдателем. Соответственно, все локальные гравитационные эффекты воспроизводимы в ускоренно движущейся системе отсчёта и наоборот. Поэтому гравитация действует как [[сила инерции]], возникающая из-за ускорения системы отсчёта, — такая как [[центробежная сила]] или [[сила Кориолиса]]; подобно всем этим силам гравитационная сила пропорциональна [[инертная масса|инертной массе]]. Как следствие этого обстоятельства получается, что в различных точках пространства-времени инерциальные системы отсчёта имеют ускорения друг относительно друга. Это возможно описать, только если пожертвовать классическим предположением о том, что наше пространство описывается евклидовой геометрией, и перейти к искривлённому пространству римановой геометрии. Более того, искривлённой оказывается связь пространства и времени, которая и проявляется как сила гравитации в обычных условиях<ref>Ньютоновскую теорию тяготения можно сформулировать как искривление этой связи, см. ''Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж.'' Гравитация. М.: Мир, 1977. [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/MiznerTornUiler_t1_1977ru.djvu Том 1.] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/MiznerTornUiler_t1_1977ru.djvu |date=20160409064438 }} Глава 12.</ref>. После восьми лет работы (1907—1915) Эйнштейн нашёл закон, показывающий, как пространство-время искривляется находящейся в нём материей — [[уравнения Эйнштейна]]. Гравитация отличается от сил инерции тем, что вызывается кривизной пространства-времени, которая может быть измерена инвариантно. Первые же решения полученных уравнений, полученные Эйнштейном (приближённо) и Шварцшильдом (точно), объяснили аномальную прецессию Меркурия и предсказали удвоенную величину отклонения света по сравнению с предыдущими эвристическими оценками. Это предсказание теории было подтверждено в 1919 году английскими астрономами.

== Приближение пробного тела ==
[[Файл:Newton.vs.schwarzschild.thumbnail.png|right|thumb|Орбита пробной частицы при начальной скорости, равной 126 % от круговой скорости, и начальном удалении, равном 10 [[радиус Шварцшильда|радиусам Шварцшильда]].<br>''Слева:'' согласно ньютоновской механике, ''справа:'' согласно метрике Шварцшильда.<br>''Кликните, чтобы увидеть анимацию.'']]

В этом подходе считается, что масса одного тела ''m'' пренебрежимо мала по сравнению с массой второго ''M''; это неплохое приближение даже для планет, вращающихся вокруг Солнца, и практически идеальное для космических аппаратов. В таком случае можно считать, что первое тело является пробным, то есть оно не вносит возмущений в гравитационное поле второго тела, а лишь следует по [[Геодезическая|геодезическим линиям]] формируемого вторым телом пространства-времени. Так как обычно задача двух тел рассматривается в масштабах, намного меньше космологических, то влиянием лямбда-члена на метрику можно пренебречь и гравитационное поле любого сферически-симметричного тела будет даваться решением Шварцшильда. Движение лёгкого тела, называемого в дальнейшем частицей, таким образом происходит по геодезическим линиям пространства Шварцшильда, если пренебречь приливными силами и реакцией гравитационного излучения.

Именно в этом приближении Эйнштейном была впервые вычислена аномальная прецессия перигелия Меркурия, что послужило первым подтверждением общей теории относительности и решило одну из известнейших на тот момент проблем небесной механики. Это же приближение достаточно точно описывает отклонение света, другое знаменитое явление, предсказанное общей теорией относительности. В то же время оно не достаточно для описания процесса релятивистского сокращения орбит из-за гравитационного излучения.

=== Геометрическое введение ===
В обычной [[евклидова геометрия|евклидовой геометрии]] верна [[теорема Пифагора]], которая утверждает, что квадрат расстояния ''ds''² между двумя бесконечно близкими точками в пространстве равен сумме квадратов дифференциалов координат

: <math>
ds^{2} = dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}, \,\!
</math>

где ''dx'', ''dy'' и ''dz'' представляют собой бесконечно малые разности между координатами точек по осям ''x'', ''y'' и ''z'' [[Прямоугольная система координат|декартовой системы координат]]<!-- (add Figure here)-->. Теперь представим себе мир, в котором это уже неверно, а расстояния задаются соотношением

: <math>
ds^{2} = F(x, y, z) dx^{2} + G(x, y, z) dy^{2} + H(x, y, z)dz^{2}, \,\!
</math>

где ''F'', ''G'' и ''H'' — некоторые функции положения. Это нетрудно вообразить, так как мы живём в таком мире: поверхность Земли изогнута, так что её нельзя без искажений представить на плоской карте. Недекартовы координатные системы также могут быть примером: в сферических координатах (''r'', ''θ'', ''φ'') евклидово расстояние записывается как

: <math>
ds^{2} = dr^{2} + r^{2} d\theta^{2} + r^{2} \sin^{2} \theta d\varphi^{2}. \,\!
</math>

Наконец, в общем случае мы должны допустить, что линейки могут менять свою координатную длину не только при смене положения, но и при поворотах. Это приводит к появлению перекрёстных членов в выражении для длины

: <math>
ds^{2} = g_{xx} dx^{2} + g_{xy} dx dy + g_{xz} dx dz + g_{yy} dy^{2} + g_{yz} dy dz + g_{zz} dz^{2} \,\!
</math>

где 6 функций ''g''<sub>xx</sub>, ''g''<sub>xy</sub> и так далее преобразуются при смене координат как компоненты тензора, называемого [[Метрический тензор|метрическим]] (или просто метрикой), который определяет все характеристики пространства в этой обобщённой [[Риманова геометрия|римановой геометрии]]. В сферических координатах, например, в метрике нет перекрёстных членов, а единственные её ненулевые компоненты — это ''g''<sub>rr</sub> = 1, ''g''<sub>θθ</sub> = ''r''² и ''g''<sub>φφ</sub> = ''r''² sin² θ.

Отметим специально, что после задания метрического тензора в какой-то системе координат вся геометрия риманова пространства оказывается жёстко заданной, и не меняется при преобразованиях координат. Проще говоря, координаты — это произвольные числа, которые лишь указывают на точку пространства, а расстояние, измеренное физической линейкой между двумя зафиксированными точками, не зависит от того, какие координаты мы им присваиваем — является инвариантом при смене координатных сеток.

В [[специальная теория относительности|специальной теории относительности]] [[Альберт Эйнштейн]] показал, что расстояние ''ds'' между двумя точками в пространстве не является инвариантом, а зависит от движения наблюдателя. Это расстояние оказывается проекцией на одновременное пространство истинно инвариантной величины — [[интервал (физика)|интервала]], не зависящей от движения наблюдателя, но включающей в себя помимо пространственных также и временную координату точек [[пространство-время|пространства-времени]], называемых при этом [[событие (физика)|событиями]]

: <math>
ds^2 = c^{2} dt^{2} - dx^{2} - dy^{2} - dz^{2}. \,\!
</math>

Аналогично можно переписать интервал в сферических координатах

: <math>
ds^2 = c^{2} dt^{2} - dr^{2} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2} \theta d\varphi^{2}. \,\!
</math>

Эта формула представляет собой естественное обобщение [[Теорема Пифагора|теоремы Пифагора]] и справедлива в отсутствие кривизны пространства-времени. В [[Общая теория относительности|общей же теории относительности]] пространство-время искривлено, так что «расстояние» выражается общей формулой
 
: <math>
ds^2 = g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}, \,\!
</math>

где применено правило суммирования Эйнштейна — по индексу, встречающемуся сверху и снизу, подразумевается суммирование по всем его значениям, в данном случае — четырём (трём пространственным и одной временной координате). Точные значения компонент метрики определяются распределением гравитирующего вещества, его массы, энергии и импульса, через [[уравнения Эйнштейна]]. Эйнштейн вывел эти уравнения, исходя из известных законов сохранения энергии и импульса; однако решения этих уравнений предсказали ненаблюдавшиеся ранее явления, типа отклонения света, которые были подтверждены позже.

=== Метрика Шварцшильда ===
{{main|Метрика Шварцшильда}}
Единственным решением [[уравнения Эйнштейна|уравнений Эйнштейна]] (без космологической постоянной) для внешнего гравитационного поля сферически-симметрично распределённой материи (энергии-импульса) является метрика Шварцшильда.

: <math>
{ds}^{2} = 
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - \frac{r_{s}}{r}} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2} \theta \, d\varphi^{2}
</math>

где
<!--:''s'' — интервал, -->
: ''c'' — [[скорость света]] в метрах в секунду,
: ''t'' — временная координата в секундах (совпадающая со временем, отсчитываемым бесконечно удалёнными неподвижными часами),
: ''r'' — радиальная координата в метрах (определяемая как длина окружности — с центром в точке симметрии — делить на 2π),
: ''θ'' и ''φ'' — углы в системе сферических координат в радианах,
: ''r''<sub>s</sub> — [[радиус Шварцшильда]] (в метрах), характеризующий тело массой ''M'' и равный

:: <math>
r_{s} = \frac{2GM}{c^{2}}
</math>
: где ''G'' — [[гравитационная постоянная]].<ref name="landau_1975" >Landau 1975.</ref>

Классическая теория гравитации Ньютона является предельным случаем при малых ''r''<sub>s</sub>/''r''. На практике это отношение почти всегда очень маленькое. Например, для Земли радиус Шварцшильда равен примерно 9 [[миллиметр]]ам, в то время как спутник на [[геостационарная орбита|геостационарной орбите]] находится на <math>r\simeq42 164</math> [[километр|км]]. Для Солнечной системы это отношение не превосходит 2 миллионных, и только для областей вблизи от [[чёрная дыра|чёрных дыр]] и [[нейтронная звезда|нейтронных звёзд]] оно становится существенно бо́льшим (до нескольких десятых).

=== Уравнения геодезических ===
В соответствии с общей теорией относительности, частицы пренебрежимо малой массы движутся по [[Геодезическая|геодезическим линиям]] пространства-времени<ref>Это справедливо для частиц пылевидной материи и для не слишком быстро вращающихся тел, как показано в §§ 4 и 7 IV главы книги Дж. Л. Синга '''Общая теория относительности''', Москва, ИЛ, 1963.</ref>. В неискривлённом пространстве вдалеке от любых притягивающих тел эти геодезические представляют собой прямые линии. В присутствии источников гравитации это уже не так, и уравнения геодезических записываются так<ref>Weinberg 1972.</ref>:

: <math>
\frac{d^2x^{\mu}}{d q^2} + \Gamma^{\mu}_{\nu\lambda} \frac{dx^{\nu}}{d q} \frac{dx^{\lambda}}{dq} = 0
</math>

где Γ — [[символы Кристоффеля]], а переменная ''q'' параметризует путь частицы сквозь [[пространство-время]] — её [[мировая линия|мировую линию]], и называется каноническим параметром геодезической линии. Символы Кристоффеля зависят только от метрического тензора ''g''<sub>μν</sub>, точнее от того, как он меняется от точки к точке. Для времениподобных геодезических, по которым движутся массивные частицы, параметр ''q'' совпадает с [[собственное время|собственным временем]] ''τ'' с точностью до постоянного множителя, который обычно берут равным 1. Для светоподобных мировых линий безмассовых частиц (таких как [[фотон]]ы) параметр ''q'' нельзя взять равным собственному времени, так как оно равно нулю, но форма геодезических всё равно описывается этим уравнением. Кроме того, светоподобные геодезические могут быть получены как предельный случай времениподобных при стремлении массы частицы к 0 (если сохранять постоянной энергию частицы).

Можно упростить проблему, используя симметрию задачи — так мы исключим из рассмотрения одну переменную. В любом сферически-симметричном случае движение происходит в плоскости, которую можно выбрать за плоскость ''θ'' = π/2<!--(the plane is [[totally geodesic]])-->. Метрика в этой плоскости имеет вид

: <math>
ds^{2} = 
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - \frac{r_{s}}{r}} - r^{2} d\varphi^{2}.
</math>

Так как она не зависит от <math>\varphi</math> и <math>t</math>, то существуют два [[интеграл движения|интеграла движения]] (см. вывод [[#Из уравнения Лагранжа|ниже]])

: <math>
r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} = \frac{L}{m},
</math>

: <math>
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{mc^{2}}.
</math>

Подстановка этих интегралов в метрику даёт

: <math>
c^{2} = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^{2} - 
\frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} - 
r^{2} \left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right)^{2},
</math>

так что уравнения движения для частицы становятся следующими

: <math>
\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = \frac{E^{2}}{m^{2}c^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( c^{2} + \frac{L^{2}}{m^{2} r^{2}} \right).
</math>

Зависимость от собственного времени можно исключить, воспользовавшись интегралом ''L''

: <math>
\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = 
\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} \left( \frac{d\tau}{d\varphi} \right)^{2} =
\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} \left( \frac{m r^{2}}{L} \right)^{2},
</math>

из-за чего уравнение орбит становится таким

: <math>
\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right),
</math>

где для краткости введены две характерные длины ''a'' и ''b''

: <math>
a = \frac{L}{mc},
</math>

: <math>
b = \frac{cL}{E}.
</math>

То же уравнение можно вывести из [[Лагранжиан|лагранжева подхода]]<ref>Whittaker 1937.</ref> или используя [[уравнение Гамильтона — Якоби]]<ref name="ll_1975_HJ" >Landau and Lifshitz (1975), pp. 306—309.</ref> (см. [[#Вывод уравнения орбит|далее]]). Решение уравнения орбит даётся выражением

: <math>
\varphi = \int \frac{dr}{r^{2} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \right)}}.
</math>

[[Файл:1919 eclipse negative.jpg|thumb|250px|right|Отклонение света звёзд гравитационным полем Солнца, измеренное астрономической экспедицией [[Эддингтон, Артур Стенли|Эддингтона]] ([[1919 год]]) и оказавшееся в соответствии с общей теорией относительности, положило начало широкомасштабному признанию теории Эйнштейна.]]

==== Приближённая формула для отклонения света ====
В пределе массы частицы ''m'', стремящейся к нулю (или, эквивалентно, <math>a\rightarrow\infty</math>), уравнение орбиты переходит в

: <math>
\varphi = \int \frac{dr}{r^{2} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{1}{r^{2}}}}.
</math>

Разлагая это выражение по степеням отношения ''r''<sub>s</sub>/''r'', в первом приближении получаем отклонение δ''φ'' безмассовой частицы при пролёте мимо гравитирующего центра:

: <math>
\delta \varphi \approx \frac{2r_{s}}{b} = \frac{4GM}{c^{2}b}.
</math>

Константу ''b'' здесь можно интерпретировать как [[прицельный параметр]] — расстояние наибольшего приближения. Приближение, использованное при выводе этой формулы, достаточно точное для большинства практических приложений, включая измерения [[гравитационное линзирование|гравитационного линзирования]]. Для света, проходящего вблизи солнечной поверхности, отклонение составляет около 1,75 [[угловая секунда|угловой секунды]].

==== Связь с классической механикой и прецессия эллиптических орбит ====
[[Файл:Schwarzschild effective potential.svg|thumb|right|300px|Эффективный потенциал для различных значений момента импульса. При малых ''r'' потенциал уменьшается (в отличие от классической задачи Кеплера), позволяя частице падение на центр. Тем не менее, при <math>a/r_s = L/mcr_s > \sqrt3</math> родившаяся снаружи частица не может преодолеть потенциальный барьер и избегает захвата. При предельном нормированном угловом моменте <math>a/r_s = \sqrt3</math> существует метастабильная круговая орбита, обозначенная зелёной окружностью, и есть бесконечно накручивающиеся на неё и скручивающиеся с неё спиральные орбиты. При малых <math>a/r_s</math> частица захватывается и падает на центр.]]

Уравнения движения частицы в поле Шварцшильда

: <math>
\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = 
\frac{E^{2}}{m^{2}c^{2}} - c^{2} + \frac{r_{s}c^{2}}{r} - 
\frac{L^{2}}{m^{2} r^{2}} + \frac{r_{s} L^{2}}{m^{2} r^{3}}
</math>

можно переписать, используя определение [[гравитационный радиус|гравитационного радиуса]] ''r''<sub>s</sub>:

: <math>
\frac{1}{2} m \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = 
\left[ \frac{E^{2}}{2mc^{2}} - \frac{1}{2} mc^{2} \right]
+ \frac{GMm}{r} - \frac{L^{2}}{2m r^{2}} + \frac{GM L^{2}}{c^{2} m r^{3}}
</math>

что эквивалентно движению ''нерелятивистской'' частицы с энергией <math>\frac{E^{2}}{2mc^{2}} - \frac{1}{2} mc^{2}</math> в одномерном [[эффективный потенциал|эффективном потенциале]]

: <math>
V(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^{2}}{2m r^{2}} - \frac{GM L^{2}}{c^{2} m r^{3}}.
</math>

Первые два члена соответствуют известным классическим: гравитационному потенциалу притяжения Ньютона и центробежному потенциалу отталкивания, и только третий член не имеет аналога в классической задаче Кеплера. Как показано ниже и в [[Вектор Лапласа — Рунге — Ленца#Изменение под действием возмущающих центральных сил|другой статье]], такой член приводит к прецессии эллиптических орбит на угол δφ за каждый оборот

: <math>
\delta \varphi \approx \frac{6\pi G M}{c^{2} A \left( 1- e^{2} \right)}
</math>

где ''A'' — [[большая полуось]] орбиты, а ''e'' — её [[эксцентриситет]].

Третий член имеет характер притяжения и меняет поведение потенциала при малых ''r'' — вместо того, чтобы уходить в <math>+\infty</math>, препятствуя падению частицы на центр (как это было в классической задаче Кеплера), потенциал уходит на <math>-\infty</math>, позволяя частице падать (см. подробнее [[падение в чёрную дыру]]).

==== Круговые орбиты и их устойчивость ====
[[Файл:Schwarzschild circular radii.svg|thumb|right|300px|Радиусы устойчивых (голубая кривая) и неустойчивых (красная кривая) орбит в зависимости от нормированного углового момента ''a''/''r''<sub>s</sub> = ''L''/''mcr''<sub>s</sub>. Графики встречаются в единственной точке (обведённой зелёной окружностью), где <math>a/r_s = L/mcr_s = \sqrt3</math>. Для сравнения приведены также радиусы всегда устойчивых орбит классической задачи Кеплера (чёрная кривая).]]

Эффективный потенциал ''V'' можно переписать через параметры длины ''a'' и ''b''

: <math>
V(r) = \frac{mc^{2}}{2} \left[ - \frac{r_{s}}{r} + \frac{a^{2}}{r^{2}} - \frac{r_{s} a^{2}}{r^{3}} \right].
</math>

Круговые орбиты возможны при эффективной силе, равной нулю

: <math>
F = -\frac{dV}{dr} = -\frac{mc^{2}}{2r^{4}} \left[ r_{s} r^{2} - 2a^{2} r + 3r_{s} a^{2} \right] = 0,
</math>

то есть когда две притягивающие силы — ньютонова гравитация (первый член) и её релятивистская поправка (третий член) — точно сбалансированы отталкивающей центробежной силой (второй член). Существуют два радиуса, на которых достигается эта компенсация

: <math>
r_{\mathrm{outer}} = \frac{a^{2}}{r_{s}} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{3r_{s}^{2}}{a^{2}}} \right),
</math>

: <math>
r_{\mathrm{inner}} = \frac{a^{2}}{r_{s}} \left( 1 - \sqrt{1 - \frac{3r_{s}^{2}}{a^{2}}} \right) = \frac{3a^{2}}{r_{\mathrm{outer}}},
</math>

которые прямо выводятся из [[квадратное уравнение|квадратного уравнения]] выше. Внутренний радиус ''r''<sub>inner</sub> оказывается неустойчивым при любых значениях ''a'', так как сила притяжения там растёт быстрее, чем сила отталкивания, поэтому любое возмущение приводит к падению частицы на центр. Орбиты внешнего радиуса устойчивы — там релятивистское притяжение невелико, и их характер почти совпадает с траекториями нерелятивистской задачи Кеплера.

Когда ''a'' много больше ''r''<sub>s</sub> (классический случай), размеры орбит стремятся к

: <math>
r_{\mathrm{outer}} \approx \frac{2a^{2}}{r_{s}},
</math>

: <math>
r_{\mathrm{inner}} \approx \frac{3}{2} r_{s}.
</math>

Подставляя определения ''a'' и ''r''<sub>s</sub> в ''r''<sub>outer</sub>, получаем классическую формулу для частицы на круговой орбите вокруг гравитирующего центра массой ''M''

: <math>
r_{\mathrm{outer}}^{3} \approx \frac{GM}{\omega_{\varphi}^{2}},
</math>

где ''ω''<sub>φ</sub> — орбитальная угловая скорость частицы. <!-- This formula is obtained in non-relativistic mechanics by setting the [[centrifugal force]] equal to the Newtonian gravitational force

: <math>
m\omega_{\varphi}^{2} r = \frac{GMm}{r^{2}}
</math>

In our notation, the classical orbital angular speed equals

: <math>
\omega_{\varphi}^{2} \approx \frac{GM}{r_{\mathrm{outer}}^{3}} = \left( \frac{r_{s} c^{2}}{2r_{\mathrm{outer}}^{3}} \right) = \left( \frac{r_{s} c^{2}}{2} \right) \left( \frac{r_{s}^{3}}{8a^{6}}\right) = \frac{c^{2} r_{s}^{4}}{16 a^{6}}
</math>-->

Когда ''a''² стремится к 3''r''<sub>s</sub>² (сверху), внешний и внутренний радиусы смыкаются к

: <math>
r_{\mathrm{outer}} \rightarrow r_{\mathrm{inner}} \rightarrow 3 r_{s}.
</math>

Решение квадратного уравнения гарантирует, что ''r''<sub>outer</sub> всегда больше 3''r''<sub>s</sub>, а ''r''<sub>inner</sub> лежит между {{frac|3|2}} ''r''<sub>s</sub> и 3''r''<sub>s</sub>. Круговые орбиты с радиусом меньше {{frac|3|2}} ''r''<sub>s</sub> невозможны. Сама орбита ''r''<sub>inner</sub> = {{frac|3|2}} ''r''<sub>s</sub> является предельным случаем для безмассовых частиц, когда <math>a\rightarrow\infty</math>, поэтому сферу этого радиуса иногда называют [[фотонная сфера|фотонной сферой]].

==== Прецессия эллиптических орбит ====
[[Файл:Relativistic precession.svg|thumb|300px|right|В нерелятивистской [[задача Кеплера|задаче Кеплера]] частица следует всегда по одному и тому же идеальному [[эллипс]]у (красная орбита). [[Общая теория относительности]] изменяет силу, действующую на частицу, так что притяжение растёт быстрее, чем в теории Ньютона (в шварцшильдовых координатах). Это возмущение вызывает вращение почти эллиптической орбиты (голубой) — [[Precession#Precession of planetary orbits|прецессию]] в направлении вращения планеты; этот эффект надёжно измерен для [[Меркурий (планета)|Меркурия]], [[Венера (планета)|Венеры]] и [[Земля (планета)|Земли]]. Жёлтая точка представляет собой центр притяжения, например, [[Солнце]].]]

Скорость прецессии орбиты можно вывести из эффективного потенциала ''V''. Малое отклонение по радиусу от орбиты-окружности ''r=r''<sub>outer</sub> будет осциллировать с частотой

: <math>
\omega_{r}^{2} = \frac{1}{m} \left[ \frac{d^{2}V}{dr^{2}} \right]_{r=r_{\mathrm{outer}}} = \left( \frac{c^{2} r_{s}}{2 r_{\mathrm{outer}}^{4}} \right) \left( r_{\mathrm{outer}} - r_{\mathrm{inner}} \right) = 
\omega_{\varphi}^{2} \sqrt{1 - \frac{3r_{s}^{2}}{a^{2}}}. 
</math>

Разложение в ряд даёт

: <math>
\omega_{r} = \omega_{\varphi} \left( 1 - \frac{3r_{s}^{2}}{4a^{2}} + \cdots \right).
</math>

Умножение на период обращения ''T'' приводит к прецессии на одном обороте

: <math>
\delta \varphi = T \left( \omega_{\varphi} - \omega_{r} \right) \approx 2\pi \left( \frac{3r_{s}^{2}}{4a^{2}} \right) = 
\frac{3\pi m^{2} c^{2}}{2L^{2}} r_{s}^{2},
</math>

где ''ω<sub>φ</sub>T'' = 2''п'' и использовано определение ''a''. Подставляя ''r''<sub>s</sub>, получаем

: <math>
\delta \varphi \approx \frac{3\pi m^{2} c^{2}}{2L^{2}} \left( \frac{4G^{2} M^{2}}{c^{4}} \right) = \frac{6\pi G^{2} M^{2} m^{2}}{c^{2} L^{2}}.
</math>

Используя большую полуось орбиты ''A'' и эксцентриситет ''e'', связанные [[вектор Лапласа — Рунге — Ленца|соотношением]]

: <math>
\frac{L^{2}}{GMm^{2}} = A \left( 1 - e^{2} \right),
</math>

мы приходим к наиболее известной формуле прецессии

: <math>
\delta \varphi \approx \frac{6\pi G M}{c^{2} A \left( 1 - e^{2} \right)}.
</math>

=== Точное решение для орбиты в эллиптических функциях ===
Вводя безразмерную переменную

: <math>
\zeta = \frac{r_{s}}{4r} - \frac{1}{12}
</math>

уравнение для орбиты

: <math>
\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right)
</math>

можно привести к упрощённому виду

: <math>
\left( \frac{d\zeta}{d\varphi} \right)^{2} = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3},
</math>

где постоянные безразмерные коэффициенты ''g''<sub>2</sub> и ''g''<sub>3</sub> определены как

: <math>
\begin{align}
g_{2} &= \frac{1}{12} - \frac{r_{s}^{2}}{4 a^{2}},\\
g_{3} &= \frac{1}{216} + \frac{r_{s}^{2}}{24 a^{2}} - \frac{r_{s}^{2}}{16 b^{2}}.
\end{align}
</math>

Решение этого уравнения для орбиты задаётся в виде неопределённого интеграла

: <math>
\varphi - \varphi_{0} = \int \frac{d\zeta}{\sqrt{4\zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3}}}.
</math>

Отсюда следует, что с точностью до фазового сдвига, <math>\zeta = \wp(\varphi - \varphi_{0})</math>, где <math>\wp</math> — [[эллиптические функции Вейерштрасса|эллиптическая функция Вейерштрасса]] с параметрами ''g''<sub>2</sub> и ''g''<sub>3</sub>, и φ<sub>0</sub> — постоянная интегрирования (возможно комплексная).

==== Качественный характер возможных орбит ====
Полный качественный анализ возможных орбит в поле Шварцшильда впервые был проведён Ю. Хагихарой в 1931 году.

Траектории в поле Шварцшильда описываются уравнением движения

: <math>
\left( \frac{d\zeta}{d\varphi} \right)^{2} = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3}.
</math>

Если дискриминант <math>\Delta = g_{2}^{3} - 27 g_{3}^{2}</math> больше 0, то [[кубическое уравнение]]
: <math>
G(\zeta) = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3} = 0\,
</math>
имеет три различных действительных корня ''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub> и ''e''<sub>3</sub>, которые можно упорядочить по убыванию

: <math>
e_{1} > e_{2} > e_{3}.
</math>

В таком случае решение <math>\zeta = \wp(\varphi - \varphi_{0})</math> является эллиптической функцией с двумя полупериодами, одним чисто действительным

: <math>
\omega_{1} = \int_{e_{1}}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{4z^{3} - g_{2}z - g_{3}}},
</math>

и вторым — чисто мнимым

: <math>
\omega_{3} = i \int_{-e_{3}}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{4z^{3} - g_{2}z - g_{3}}}.
</math>
 
Оставшийся промежуточный корень определяет [[комплексное число|комплексный]] полупериод ω<sub>2</sub> = -ω<sub>1</sub> — ω<sub>3</sub>. Эти величины связаны с соответствующими корнями через уравнения <math>\wp(\omega_{i}) = e_{i}</math> (''i''= 1, 2, 3). Следовательно, при <math>\varphi-\varphi_0=n\omega_i</math> (''n'' — целое число) производная ζ обращается в 0, то есть траектория достигает [[периастр]]а или [[апоастр]]а — точки максимального приближения и удаления, соответственно:

: <math>
\frac{d\zeta}{d\phi} = 0 \ \mathrm{when} \ \zeta = \wp(-\omega_{i}) = e_{i}
</math>

так как

: <math>
\left( \frac{d\zeta}{d\varphi} \right)^{2} = G(\zeta) = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3} = 
4 \left( \zeta - e_{1} \right) \left( \zeta - e_{2} \right) \left( \zeta - e_{3} \right).
</math>

<!-- The roots ''e''<sub>i</sub> are the [[critical value]]s of ''ζ'' with respect to ''φ'', i.e., the values at which the derivative is zero. -->

Качественный характер орбиты зависит от выбора φ<sub>0</sub>. Решения с φ<sub>0</sub> = ω<sub>2</sub> соответствуют либо орбитам, колеблющимся от ζ=''e''<sub>2</sub> до ζ=''e''<sub>3</sub>, либо траекториям, уходящим на бесконечность (ζ=-1/12). Наоборот, решения с φ<sub>0</sub>, равным ω<sub>1</sub> или любому другому действительному числу, описывают орбиты, сходящиеся к центру, так как действительное ζ не может быть меньше ''e''<sub>1</sub> и поэтому будет неотвратимо расти до бесконечности.

===== Квази-эллиптические орбиты =====
Решения <math>\zeta = \wp(\phi - \phi_{0})</math>, в которых φ<sub>0</sub> = ω<sub>2</sub>, дают действительные значения ζ при условии, что энергия ''E'' удовлетворяет неравенству ''E''<sup>2</sup> &lt; ''m''<sup>2</sup>''c''<sup>4</sup>. В таком случае ζ принимает значения в интервале ''e''<sub>3</sub> ≤ ''ζ'' ≤ ''e''<sub>2</sub>. Если оба корня больше −<sup>1</sup>⁄<sub>12</sub>, то ζ не может принять этого значения, соответствующего уходу частицы на бесконечность, поэтому тело будет совершать финитное движение, которое можно представить как движение по прецессирующему эллипсу. Радиальная координата тела будет бесконечно колебаться между

: <math>
r_{min} = \frac{3r_{s}}{1 + 12e_{2}}
</math>

и

: <math>
r_{max} = \frac{3r_{s}}{1 + 12e_{1}},
</math>

которые соответствуют экстремальным значениям ''ζ''. Действительный период эллиптической функции Вейерштрасса составляет 2ω<sub>1</sub>; таким образом, частица возвращается к тому же радиусу, когда угловая координата возрастает на 2ω<sub>1</sub>, что, вообще говоря, отличается от 2π. Поэтому орбита как правило прецессирует, однако при <math>r_{min}\ll r_g</math> угол прецессии за один оборот (2ω<sub>1</sub> − 2π) довольно мал.

====== Стабильные круговые орбиты ======
Специальный случай 2''e''<sub>2</sub> = 2''e''<sub>3</sub> = −''e''<sub>3</sub> соответствует решению с ''ζ'' = ''const'' = ''e''<sub>2</sub> = ''e''<sub>3</sub>. Получается круговая орбита с ''r'' = ''r''<sub>outer</sub>, не меньшим 3''r''<sub>s</sub>. Такие орбиты устойчивы, так как малые возмущения параметров приводят к расщеплению корней, приводя к квази-эллиптическим орбитам. Например, если частицу чуть «подтолкнуть» в радиальном направлении, то она станет колебаться около невозмущённого радиуса, описывая прецессирующий эллипс.

====== Инфинитные орбиты ======
При ''r'', стремящемся к бесконечности, ''ζ'' стремится к −<sup>1</sup>⁄<sub>12</sub>. Поэтому орбиты, неограниченно удаляющиеся или приближающиеся из бесконечности к центральному телу, соответствуют периодическим решениям, в которых −<sup>1</sup>⁄<sub>12</sub> попадает в доступный ''ζ'' интервал, то есть при ''e''<sub>3</sub> ≤ −<sup>1</sup>⁄<sub>12</sub> ≤ ''ζ'' ≤ ''e''<sub>2</sub>.

====== Асимптотически круговые орбиты ======
Другой специальный случай соответствует −''e''<sub>3</sub> = 2''e''<sub>2</sub> = 2''e''<sub>1</sub>, то есть два корня ''G''(''ζ'') положительны и равны друг другу, а третий — отрицателен. Орбиты в таком случае представляют собой спирали, скручивающиеся или накручивающиеся при стремлении ''φ'' к бесконечности (не важно, положительной или отрицательной) на окружность радиуса ''r'', определяемого соотношением

: <math>
\frac{r_{s}}{4r} - \frac{1}{12}  = e.
</math>

Обозначив повторяющийся корень ''e'' = ''n''²/3, получаем уравнение орбиты, которое легко проверить непосредственной подстановкой:

: <math>
\zeta = \frac{r_{s}}{4r} - \frac{1}{12}  = e - \frac{n^{2}}{\cosh^{2} n\varphi}.
</math>

В таких случаях радиальная координата частицы заключена между 2''r''<sub>s</sub> и 3''r''<sub>s</sub>.

Уравнение таких орбит можно получить из выражения [[эллиптическая функция Вейерштрасса|эллиптической функции Вейерштрасса]] через [[эллиптическая функция Якоби|эллиптические функции Якоби]]

: <math>
\zeta = \wp(\phi - \phi_{0}) = e_{1} + \left(e_{1} - e_{3}\right) \frac{\mathrm{cn}^{2} w}{\mathrm{sn}^{2} w},
</math>

где <math>w = (\phi - \phi_{0})\sqrt{e_{1} - e_{3}}</math> и модуль

: <math>
k = \sqrt{\frac{e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}.
</math>

В пределе совпадающих ''e''<sub>2</sub> и ''e''<sub>1</sub>, модуль стремится к единице, а ''w'' переходит в ''n''(φ − φ<sub>0</sub>). Выбирая φ<sub>0</sub> мнимым, равным <math>iK^{\prime}</math> (четверть периода), приходим к приведённой выше формуле.

===== Падение на центр =====
В [[Real number|действительных]] решениях <math>\zeta = \wp(\phi - \phi_{0})</math>, в которых φ<sub>0</sub> равняется ω<sub>1</sub> или некоторым другим действительным числам, ''ζ'' не может стать меньше ''e''<sub>1</sub>. Из-за уравнений движения

: <math>
\left( \frac{d\zeta}{d\varphi} \right)^{2} = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3} = 
4 \left( \zeta - e_{1} \right) \left( \zeta - e_{2} \right) \left( \zeta - e_{3} \right)
</math>

''ζ'' безгранично возрастает, что соответствует падению на центр ''r'' = 0 после бесконечного числа оборотов вокруг него.

=== Вывод уравнения орбит ===

==== Из [[уравнение Гамильтона — Якоби|уравнения Гамильтона — Якоби]] ====
Преимущество этого вывода состоит в том, что он применим и к движению частиц, и к распространению волн, что легко приводит к выражению для отклонения света в гравитационном поле при использовании [[принцип Ферма|принципа Ферма]]. Основная идея состоит в том, что благодаря гравитационному замедлению времени части волнового фронта, которые находятся ближе к гравитирующей массе, двигаются медленнее чем те, которые находятся дальше, что приводит к искривлению распространения волнового фронта<!--(добавить картинку)-->.

В силу [[принцип общей ковариантности|общей ковариантности]] [[уравнение Гамильтона — Якоби]] для одной частицы в произвольных координатах можно записать в виде

: <math>
g^{\mu\nu} \frac{\partial S}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial S}{\partial x^{\nu}} = m^{2} c^{2}.
</math>

В [[метрика Шварцшильда|метрике Шварцшильда]] это уравнение примет вид

: <math>
\frac{1}{c^{2} \left(1 - \frac{r_{s}}{r} \right)} \left( \frac{\partial S}{\partial t} \right)^{2} - 
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{\partial S}{\partial r} \right)^{2} -
\frac{1}{r^{2}} \left( \frac{\partial S}{\partial \varphi} \right)^{2} = m^{2} c^{2},
</math>

где плоскость отсчёта <math>\theta</math> сферической системы координат расположена в плоскости орбиты. Время ''t'' и долгота ''φ'' — [[циклическая координата|циклические координаты]]<!--не русский термин. Смысл: возможно разделение переменных из-за существования интегралов движения. — как раз русский, в Ландавшице есть. -->, поэтому решение для функции [[действие (физическая величина)|действия]] ''S'' запишется в виде

: <math>
S = -Et + L\varphi + S_{r}(r) \,,
</math>
 
где ''E'' и ''L'' представляют [[энергия|энергию]] частицы и её [[угловой момент]], соответственно. [[Уравнение Гамильтона — Якоби]] приводит к интегральному решению для радиальной части ''S<sub>r</sub>(r)''

: <math>
S_{r}(r) = \int \frac{L dr}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \right)}.
</math>

Дифференцируя функцию ''S'' обычным образом

: <math>
\frac{\partial S}{\partial L} = \varphi + \frac{\partial S_{r}}{\partial L} = \mathrm{constant},
</math>

приходим к уравнению орбиты, полученному ранее

: <math>
\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} -  \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right).
</math>

Этот подход можно использовать для элегантного вывода скорости прецессии орбиты<ref name="LL2-101">Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. II. Теория поля. — 8-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 536 с. — ISBN 5-9221-0056-4 (Т. II). § 101.</ref>.

В пределе нулевой массы ''m'' (или, что эквивалентно, бесконечного ''a''), радиальная часть действия ''S'' становится равной

: <math>
S_{r}(r) = \frac{E}{c} \int dr \sqrt{\frac{r^{2}}{\left( r - r_{s} \right)^{2}} - \frac{b^{2}}{r \left( r - r_{s} \right)}},
</math>

из этого выражения выводится уравнение для отклонения луча света<ref name="LL2-101"/>.

==== Из [[уравнения Эйлера — Лагранжа|уравнений Лагранжа]] ====
В общей теории относительности свободные частицы с пренебрежимо малой массой ''m'', подчиняясь [[принцип эквивалентности|принципу эквивалентности]], двигаются по [[геодезическая|геодезическим]] в [[пространство-время|пространстве-времени]], создаваемом тяготеющими массами. Геодезические пространства-времени определяются как кривые, малые [[вариационные принципы|вариации]] которых — при фиксированных начальной и конечной точках — не изменяют их длину ''s''. Это можно выразить математически с помощью [[вариационное исчисление|вариационного исчисления]]

: <math>
0 = \delta s = \delta \int ds = \delta \int \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau} } d\tau = \delta \int \sqrt{2T} d\tau,
</math>

где ''τ'' — [[собственное время]], ''s''=''cτ'' — длина в пространстве-времени, и величина ''T'' определена как

: <math>
2T = c^{2} = \left( \frac{ds}{d\tau} \right)^{2} = g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau} = 
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^{2} - 
\frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} - 
r^{2} \left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right)^{2},
</math>

по аналогии с [[кинетическая энергия|кинетической энергией]]. Если производную по собственному времени для краткости обозначить точкой

: <math>
\dot{x}^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d\tau},
</math>

то ''T'' можно записать в виде

: <math>
2T = c^{2} = 
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \dot{t} \right)^{2} - 
\frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \dot{r} \right)^{2} - 
r^{2} \left( \dot{\varphi} \right)^{2}.
</math>

Постоянные величины, такие как ''c'' или корень квадратный из двух, не влияют на ответ вариационной задачи, и таким образом, перенося вариацию под интеграл, приходим к [[принцип Гамильтона|вариационному принципу Гамильтона]]

: <math>
0 = \delta \int \sqrt{2T} d\tau = \int \frac{\delta T}{\sqrt{2T}} d\tau = \frac{1}{c} \delta \int T d\tau.
</math>

Решение вариационной задачи даётся [[уравнения Эйлера — Лагранжа|уравнениями Лагранжа]]

: <math>
\frac{d}{d\tau} \left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{\sigma}} \right) = \frac{\partial T}{\partial x^{\sigma}}.
</math>

Когда они применяются к ''t'' и ''φ'', эти уравнения приводят к существованию [[интегралы движения|сохраняющихся величин]]

: <math>
\frac{d}{d\tau} \left[ r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] = 0,
</math>

: <math>
\frac{d}{d\tau} \left[ \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] = 0,
</math>

что можно переписать как уравнения для ''L'' и ''E''

: <math>
r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} = \frac{L}{m},
</math>

: <math>
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{mc^{2}}.
</math>

Как показано [[#Уравнения геодезических|выше]], подстановка этих уравнений в определение [[метрика Шварцшильда|метрики Шварцшильда]] приводит к уравнению орбит.

==== Из [[принцип Гамильтона|принципа Гамильтона]] ====
Интеграл [[действие (физическая величина)|действия]] для частицы в гравитационном поле имеет вид

: <math>
S = \int{ - m c^2 d\tau} = - m c \int{ c \frac{d\tau}{dq} dq} = - m c \int{ \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{dq} \frac{dx^{\nu}}{dq} } dq},
</math>

где ''τ'' — [[собственное время]] и ''q'' — гладкая параметризация мировой линии частицы. Если применить [[вариационное исчисление]], то из этого выражения немедленно следуют уравнения для геодезических. Вычисления можно упростить, если взять вариацию от квадрата подынтегрального выражения. В поле Шварцшильда этот квадрат равен

: <math>
\left(c \frac{d\tau}{dq}\right)^2 = g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{dq} \frac{dx^{\nu}}{dq} = 
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{dq} \right)^{2} - 
\frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \frac{dr}{dq} \right)^{2} - 
r^{2} \left( \frac{d\varphi}{dq} \right)^{2}.
</math>

Посчитав вариацию, получим

: <math>
\delta \left(c \frac{d\tau}{dq}\right)^2 = 2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} = 
\delta \left[ \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{dq} \right)^{2} - 
\frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \frac{dr}{dq} \right)^{2} - 
r^{2} \left( \frac{d\varphi}{dq} \right)^{2} \right].
</math>

Взяв вариацию только по долготе ''φ''

: <math>
2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} = 
- 2 r^{2} \frac{d\varphi}{dq} \delta \frac{d\varphi}{dq} 
</math>

поделим на <math>2 c \frac{d\tau}{dq}</math>, чтобы получить вариацию подынтегрального выражения

: <math>
c \, \delta \frac{d\tau}{dq} = - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \delta \frac{d\varphi}{dq} 
= - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \frac{d \delta \varphi}{dq}. 
</math>

Таким образом

: <math>
0 = \delta \int { c \frac{d\tau}{dq} dq } = \int { c \delta \frac{d\tau}{dq} dq } = 
\int { - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \frac{d \delta \varphi}{dq} dq },
</math>

и интегрирование по частям приводит к

: <math>
0 = - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \delta \varphi 
- \int { \frac{d}{dq} \left[ - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] \delta \varphi dq }.
</math>

Вариация по долготе исчезает в граничных точках и первое слагаемое зануляется. Интеграл можно сделать равным нулю при произвольном выборе δφ только если другие множители под интегралом всегда равны нулю. Таким образом мы приходим к уравнению движения

: <math>
\frac{d}{dq} \left[ - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] = 0.
</math>

При вариации по времени ''t'' получим

: <math>
2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} = 
2 \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \frac{dt}{dq} \delta \frac{dt}{dq},
</math>

что после деления на <math>2 c \frac{d\tau}{dq}</math> даёт вариацию подынтегрального выражения

: <math>
c \delta \frac{d\tau}{dq} = 
c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \delta \frac{dt}{dq}
= c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \frac{d \delta t}{dq}.
</math>

Отсюда

: <math>
0 = \delta \int { c \frac{d\tau}{dq} dq }
= \int { c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \frac{d \delta t}{dq} dq }
</math>

и снова интегрирование по частям приводит к выражению

: <math>
0 = c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \delta t 
- \int { \frac{d}{dq} \left[ c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] \delta t dq },
</math>

из которого следует уравнение движения

: <math>
\frac{d}{dq} \left[ c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] = 0.
</math>

Если проинтегрировать эти уравнения движения и определить постоянные интегрирования, мы снова придём к уравнениям

: <math>
r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} = \frac{L}{m},
</math>

: <math>
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{mc^{2}}.
</math>

Эти два уравнения для интегралов движения ''L'' и ''E'' можно совместить в одно, которое будет работать даже для [[фотон]]а и других безмассовых частиц, для которых собственное время вдоль геодезической равно нулю:

: <math>
\frac{r^{2}}{bc} \frac{d\varphi}{dt} = 1 - \frac{r_{s}}{r}.
</math>

== Постньютоновские подходы ==
Так как в реальных задачах приближение пробного тела иногда имеет недостаточную точность, то существуют уточняющие его подходы, одним из которых является применение [[постньютоновский формализм|постньютоновского формализма]] (ПН-формализма), развитого в трудах Эддингтона, Фока, Дамура и других учёных-релятивистов. Несколько утрируя, можно сказать, что в этом подходе происходит разложение уравнений движения тел, получаемых из уравнений Эйнштейна, в ряды по малому ПН-параметру <math>1/c^2</math>, и учёт членов лишь до определённой степени этого параметра. Уже применение 2,5ПН уровня <math>(1/c^5)</math> приводит к предсказанию гравитационного излучения и соответствующего уменьшения периода обращения гравитационно связанной системы. Поправки более высокого порядка также проявляются в движении объектов, например, двойных пульсаров. Движение планет и их спутников, астероидов, а также космических аппаратов в Солнечной системе сейчас рассчитывается в первом ПН-приближении.

=== Поправки к геодезическому решению ===

==== Излучение гравитационных волн и потеря энергии и момента импульса ====
[[Файл:PSR 1913+16 orbital decay.png|thumb|left|300px|Экспериментально измеренное уменьшение [[период обращения|периода обращения]] [[Пульсар в двойной системе|пульсара в двойной системе]] [[PSR B1913+16]] (синие точки) с высокой точностью соответствует предсказаниям [[ОТО]] (чёрная кривая)]]

{{See also|PSR B1913+16|Гравитационные волны}}

Согласно [[общая теория относительности|общей теории относительности]], два тела, обращающихся друг вокруг друга, испускают [[гравитационные волны]], что приводит к отличию орбит от геодезических, рассчитанных выше. Для планет [[Солнечная система|Солнечной системы]] этот эффект чрезвычайно мал, но он может играть существенную роль в эволюции тесных [[двойная звезда|двойных звёзд]].

Изменение орбит наблюдается в нескольких системах, самой знаменитой из них являются [[пульсар в двойной системе]] [[PSR B1913+16]], известный под названием «пульсар Халса—Тейлора», за исследования которого [[Халс, Рассел Алан|Алан Халс]] и [[Джозеф Тейлор]] получили [[Нобелевская премия по физике|Нобелевскую премию по физике]] [[1993 год]]а, а также [[двойной пульсар]]. Две [[нейтронная звезда|нейтронные звезды]] в этих системах находятся очень близко друг от друга. Например, в системе PSR B1913+16 они совершают оборот вокруг центра масс за {{nobr|465 минут}}. Их орбита представляет собой вытянутый эллипс с [[эксцентриситет]]ом 0,62. Согласно общей теории относительности короткий [[период обращения]] и высокий эксцентриситет делает систему прекрасным источником гравитационных волн, что приводит к потерям энергии и уменьшению периода обращения. Наблюдаемые изменения периода на протяжении тридцати лет хорошо согласуются с предсказаниями общей теории относительности с наилучшей достижимой сейчас точностью (около 0,2 % по состоянию на [[2009 год]]).

[[Файл:Wavy.gif|thumb|300px|right|Две быстро вращающиеся друг вокруг друга нейтронные звезды теряют энергию посредством испускания гравитационного излучения. При потере энергии они всё более сближаются и частота обращения растёт]]
 
Формула, описывающая потерю энергии и углового момента благодаря гравитационному излучению от двух тел в задаче Кеплера, была получена в [[1963 год]]у<ref>{{статья |автор=Peters P. C., Mathews J. |заглавие=Gravitational Radiation from Point Masses in a Keplerian Orbit |издание=[[Physical Review]] |год=1963 |том=131 |страницы=435—440 |doi=10.1103/PhysRev.131.435 |язык=en}}</ref>. Скорость потери энергии (усреднённая по периоду) задаётся в виде<ref>Landau and Lifshitz, p. 356—357.</ref>

: <math>
-\left\langle \frac{dE}{dt} \right\rangle = 
\frac{32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}\left(m_{1} + m_{2}\right)}{5c^{5} a^{5} \left( 1 - e^{2} \right)^{7/2}} 
\left( 1 + \frac{73}{24} e^{2} + \frac{37}{96} e^{4} \right),
</math>

где {{math|''e''}} — [[эксцентриситет]], а {{math|''a''}} — [[большая полуось]] эллиптической орбиты. Угловые скобки в левой части выражения обозначают усреднение по одной орбите. Аналогично для потери углового момента можно записать

: <math>
-\left\langle \frac{dL_{z}}{dt} \right\rangle = 
\frac{32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}\sqrt{m_{1} + m_{2}}}{5c^{5} a^{7/2} \left( 1 - e^{2} \right)^{2}} 
\left( 1 + \frac{7}{8} e^{2} \right).
</math>

Потери энергии и углового момента значительно возрастают, если эксцентриситет стремится к 1, то есть если эллипс является сильно вытянутым. Интенсивность излучения также увеличивается при уменьшении размера {{math|''a''}} орбиты. Потеря момента импульса при излучении такова, что со временем эксцентриситет орбиты уменьшается, и она стремится к круговой с постоянно уменьшающимся радиусом.

Мощность гравитационного излучения планетных систем ничтожно мала, например для Солнечной системы — {{nobr|5 кВт}}, из которых около 90 % приходится на систему Солнце-Юпитер. Это ничтожно мало по сравнению с кинетической энергией планет (ожидаемое время жизни Солнечной системы на {{nobr|13 порядков}} больше возраста Вселенной). Гораздо больше излучение тесных двойных звёзд, например вышеупомянутый пульсар Халса — Тейлора ([[PSR B1913+16]]), компоненты которого разделены расстоянием порядка радиуса Солнца, излучает гравитационные волны мощностью {{nobr|7,35 × 10<sup>24</sup> Вт}}, что составляет 2 % мощности Солнца. Из-за потери энергии расстояние между компонентами этой двойной системы уменьшается на {{nobr|3,5 м}} в год, и через {{nobr|300 млн лет}} звёзды сольются в одну. По мере сближения компонент двойной звезды, мощность гравитационного излучения растёт обратно пропорционально пятой степени расстояния между ними, и непосредственно перед слиянием мощность достигает огромных величин: энергия, эквивалентная нескольким массам Солнца, излучается в течение десятых долей секунды, что соответствует мощности {{nobr|10<sup>47</sup> Вт}}. Это на {{nobr|21 порядок}} больше светимости Солнца и в миллиарды раз больше светимости нашей Галактики (именно такая большая мощность позволяет регистрировать гравитационные волны при слиянии нейтронных звёзд на расстоянии в сотни миллионов световых лет). Мощность гравитационных волн при слиянии чёрных дыр ещё больше: в последние миллисекунды перед слиянием она в десятки раз превышает светимость всех звёзд в наблюдаемой части Вселенной.

== Численная относительность ==
Если тела являются настолько компактными, что могут двигаться раздельно, даже когда орбитальная скорость доходит до существенной доли скорости света, постньютоновское разложение перестаёт работать надёжно. Это возможно на последних стадиях эволюции двойных систем, состоящих из [[нейтронная звезда|нейтронных звёзд]] или [[чёрная дыра|чёрных дыр]] — из-за гравитационного излучения компоненты опускаются всё ближе и ближе друг к другу, и в конце концов сливаются. В данном случае тела уже невозможно представлять точечными или сферически-симметричными, и требуется применять методы точного трёхмерного численного решения уравнений Эйнштейна и, в случае нейтронных звёзд — релятивистской магнитогидродинамики, носящие наименование [[численная относительность|численной относительности]]. Первой экспериментальной проверкой, с точностью до 94 % подтвердившей предсказания общей теории относительности и методов численной относительности, стало [[открытие гравитационных волн]] в сентябре 2015 года.

== См. также ==
* [[Задача Кеплера]]
* [[Метрика Шварцшильда]]
* [[Тесты общей теории относительности]]
* [[Вектор Лапласа — Рунге — Ленца]]
* [[Вывод решения Шварцшильда]]

== Примечания и ссылки ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга |год=1965 |заглавие=Introduction to General Relativity |издательство=[[S&P Global|McGraw-Hill Education]] |место=New York |isbn=978-0-07-000420-7 |страницы=177—193 |ref=Adler |автор=Adler, R; Bazin M., and Schiffer M. }}<!--{{LCCN|64|0|16476}}--><!-- Note: 2nd edition, 1975: 978-0-07-000423-8 -->
* {{книга |год=1956 |заглавие=The Meaning of Relativity |ссылка=https://archive.org/details/meaningofrelati000eins |издание=5th |издательство=[[Princeton University Press]] |место=Princeton, NJ |страницы=[https://archive.org/details/meaningofrelati000eins/page/92 92]—97 |isbn=978-0-691-02352-6 |ref=Einstein |автор=[[Эйнштейн, Альберт|Albert Einstein]] }}<!-- This is paperback; hardcover ISBN 978-0-691-08007-9. There is a [[November 1]] [[2004]] reissue in paperback, ISBN 978-0-691-12027-0 -->
* {{статья |заглавие=Theory of the relativistic trajectories in a gravitational field of Schwarzschild |издание=Japanese Journal of Astronomy and Geophysics |том=8 |страницы=67—176 |issn=0368-346X |язык=en |тип=journal |автор=[[Hagihara, Y]] |год=1931}}
* {{книга |заглавие=The Variational Principles of Mechanics |ссылка=https://archive.org/details/variationalprinc00lanc_108 |издание=4th |издательство=[[Dover Publications]] |место=New York |isbn=978-0-486-65067-8 |страницы=[https://archive.org/details/variationalprinc00lanc_108/page/n330 330]—338 |год=1986 |ref=Lanczos |автор=[[Cornelius Lanczos|Lanczos, C]] }}
* {{книга |автор=Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. |год=2003 |заглавие=Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. II. Теория поля |издание=8-е изд., стереот. |издательство=ФИЗМАТЛИТ |место=М. |isbn=5-9221-0056-4 |страниц=536 |язык=ru}}'' — § 101.''
* {{книга |заглавие=Gravitation |место=San Francisco |издательство={{Нп3|W. H. Freeman and Company|W. H. Freeman|en|W. H. Freeman and Company}} |год=1973 |isbn=978-0-7167-0344-0 |страницы=Chapter 25 (pp.&nbsp;636—687), §33.5 (pp.&nbsp;897—901), and §40.5 (pp.&nbsp;1110—1116) |ref=Misner |автор=[[Charles W. Misner|Misner, CW]]; [[Торн, Кип|Kip S. Thorne]], and [[Уилер, Джон Арчибальд|Wheeler, JA]] }} (See [[Gravitation (book)]].)
* {{книга |год=1982 |заглавие=Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein |издательство=[[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]] |isbn=0-19-520438-7 |страницы=253—256 |ref=Pais |язык=en |автор=[[Abraham Pais|Pais, A.]]}}
* {{книга |год=1958 |заглавие=Theory of Relativity |ссылка=https://archive.org/details/theoryrelativity00paul |издательство=[[Dover Publications]] |место=New York |isbn=978-0-486-64152-2 |страницы=[https://archive.org/details/theoryrelativity00paul/page/40 40]—41, 166—169 |ref=Pauli |автор=[[Wolfgang Pauli|Pauli, W]] }}
* {{книга |год=1977 |заглавие=Essential Relativity: Special, General, and Cosmological |ссылка=https://archive.org/details/essentialrelativ00rind_279 |издание=revised 2nd |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]] |место=New York |isbn=978-0-387-10090-6 |страницы=[https://archive.org/details/essentialrelativ00rind_279/page/n155 143]—149 |ref=Rindler |автор=[[Wolfgang Rindler|Rindler, W]] }}
* {{книга
|автор          = Роузвер Н. Т.
|часть          =
|заглавие       = Перигелий Меркурия. От Леверье до Эйнштейна
|оригинал       = Roseveare N. T. Mercury's perigelion from Le Verrier to Einstein
|ссылка         = http://bourabai.kz/articles/roseveare/
|ответственный  = Пер. с англ. А. С. Расторгуева под ред. В. К. Абалакина
|издание        =
|место          = Москва
|издательство   = Мир
|год            = 1985
|том            =
|страницы       =
|страниц        = 246
|серия          =
|isbn           =
|тираж          = 10000
}}

* {{книга |год=1960 |заглавие=Relativity: The General Theory |издательство=[[Elsevier|North-Holland Publishing]] |место=Amsterdam |isbn=978-0-7204-0066-3 |страницы=289—298 |ref=Synge |автор=[[John Lighton Synge|Synge, JL]] }}
* {{книга |год=1984 |заглавие=General Relativity |издательство=[[University of Chicago Press|The University of Chicago Press]] |место=Chicago |isbn=978-0-226-87032-8 |страницы=136—146 |ref=Wald |автор=[[Уолд, Роберт|Robert Wald]] }}
* {{книга
|год=2007
|часть=Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905–1910
|заглавие=The Genesis of General Relativity
|страницы=193—252
|том=3
|место=Berlin
|издательство=Springer
|ссылка часть=http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/
|автор=Walter, S.
|ответственный=Renn, J.
}}

* {{книга |год=1972 |заглавие=Gravitation and Cosmology |ссылка=https://archive.org/details/gravitationcosmo00wein_478 |издательство=[[John Wiley & Sons|John Wiley and Sons]] |место=New York |isbn=978-0-471-92567-5 |страницы=[https://archive.org/details/gravitationcosmo00wein_478/page/n212 185]—201 |ref=Weinberg |автор=[[Steven Weinberg|Weinberg, S]] }}
* {{книга |год=1937 |заглавие=A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies |издание=4th |издательство=[[Dover Publications]] |место=New York |страницы=389—393 |isbn=978-1-114-28944-4 |ссылка=https://archive.org/details/treatisanalytdyn00whitrich |ref=Whittaker |язык=en |автор=[[E. T. Whittaker|Whittaker, ET]]}}<!-- The scanned version is an earlier edition. -->

{{rq|refless}}

[[Категория:Решения уравнений Эйнштейна]]