Просмотр кода страницы Задача Кобона о треугольниках

{{unsolved|математики|<br />Как много неперекрывающихся треугольников могут быть образованы конфигурацией ''k'' прямых?}}
[[Файл:Kobon triangles.gif|right|frame|Треугольники Кобона, образованные 3, 4 и 5 отрезками]]

'''Зада́ча Кобо́на о треуго́льниках''' — нерешённая задача [[Комбинаторная геометрия|комбинаторной геометрии]], сформулированная {{нихонго|Кодзабуро Фудзмурой|藤村幸三郎|фудзимура ко:дзабуро:}}, известным также как Кобон. В задаче спрашивается, каково максимальное число ''N''(''k'') неперекрывающихся треугольников, стороны которых принадлежат [[Конфигурация (разбиение плоскости)|конфигурации ''k'' прямых]]. Вариант задачи рассматривается в [[Проективная плоскость|проективной плоскости]], а не в евклидовой плоскости, и в этом случае требуется, чтобы треугольники не пересекались другими прямыми конфигурации{{sfn|Forge, Ramírez Alfonsín|1998|p=155–161}}.

== Верхние границы ==
Сабуро Тамура доказал, что наибольшее целое, не превосходящее ''k''(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;2)/3, даёт верхнюю границу максимального числа неперекрывающихся треугольников, получаемых из ''k'' прямых<ref>{{MathWorld|urlname=KobonTriangle|title=Kobon Triangle}}</ref>. В 2007 году Иоганес Бадер и Жиль Клеман ({{lang-de|Johannes Bader}}, {{lang-fr|Gilles Clément}}) нашли более сильную границу, доказав, что верхняя граница Тамуры не может быть достигнута для любого ''k'', сравнимого с 0 или 2 по модулю 6<ref>{{Cite web |url=http://www.tik.ee.ethz.ch/sop/publicationListFiles/cb2007a.pdf |author=G. Clément and J. Bader. Tighter |title=Upper Bound for the Number of Kobon Triangles. Draft Version |date=2007 |accessdate=2016-03-10 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171111045109/http://www.tik.ee.ethz.ch/sop/publicationListFiles/cb2007a.pdf |archivedate=2017-11-11 |deadlink=yes }}</ref>. Поэтому максимальное число треугольников на единицу меньше границы Тамура для этих случаев. Совершенные решения (решение задачи Кобона, дающие максимальное число треугольников) известны для ''k'' = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 и 17<ref>[http://www.mathpuzzle.com/MAA/45-Kobon/mathgames_02_08_06.html Ed Pegg Jr. on Math Games] {{Wayback|url=http://www.mathpuzzle.com/MAA/45-Kobon/mathgames_02_08_06.html |date=20160311022525 }}.</ref>. Для ''k'' = 10, 11 и 12 наилучшие известные решения на единицу меньше верхней границы.

Если дано совершенное решение с ''k''<sub>0</sub> прямыми, другие решения задачи Кобона о треугольниках могут быть найдены для всех значений ''k<sub>i</sub>'', где
: <math>k_{n+1} = 2 k_n - 1,</math>
при помощи процедуры Д. Форжа и Дж. Л. Рамиреза Альфонсина{{sfn|Forge, Ramírez Alfonsín|1998|p=155–161}}<ref>[http://www.johannesbader.ch/#kobon Matlab code illustrating the procedure of D. Forge and J. L. Ramirez Alfonsin] {{Wayback|url=http://www.johannesbader.ch/#kobon |date=20210308213936 }}. Retrieved on 9 May 2012.</ref>. Например, решение для ''k''<sub>0</sub> = 3 приводит к максимальному числу неперекрывающихся треугольников для ''k'' = 3, 5, 9, 17, 33, 65, …

{{-}}
{| class="wikitable"
|-
! ''k''|| 3|| 4|| 5|| 6|| 7||  8|| 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19 || 20 || 21 || [[OEIS]]
|-
| Верхняя граница Тамуры для ''N''(''k'')||  1|| 2|| 5|| 8|| 11|| 16|| 21|| 26|| 33|| 40|| 47|| 56|| 65|| 74|| 85|| 96|| 107 ||120||133 ||<ref>{{OEIS long|A032765}}.</ref>
|-
| Верхняя граница Клемана и Бадера ||  1|| 2|| 5|| 7|| 11|| 15|| 21|| 26|| 33|| 39|| 47|| 55|| 65|| 74|| 85|| 95|| 107 ||119||133 || —
|-
| Лучшие известные решения||  1|| 2|| 5|| 7|| 11|| 15|| 21|| 25|| 32|| 38|| 47|| 53|| 65|| 72|| 85 || 93|| 104 || 115 || 130 ||<ref>{{OEIS long|A006066}}.</ref>
|}

== Примеры ==
<gallery>
Image:KobonTriangle_3.svg|3 прямых образуют треугольник
Image:KobonTriangle_4.svg|4 прямых
Image:KobonTriangle_5.svg|5 прямых
Image:KobonTriangle_6.svg|6 прямых
Image:KobonTriangle_7.svg|7 прямых
</gallery>

== См. также ==
* [[Теорема Робертса о треугольниках]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{h|Forge, Ramírez Alfonsín|1998}} {{книга|автор=Forge D., Ramírez Alfonsín J. L. |часть=Straight line arrangements in the real projective plane|заглавие=''Discrete and Computational Geometry'', 1998, '''20''' (2)}} — P. 155—161. — {{DOI|10.1007/PL00009373}}.

== Ссылки ==
* Johannes Bader, [https://web.archive.org/web/20160303180311/http://www.tik.ee.ethz.ch/sop/people/baderj/?page=other.php "Kobon Triangles"]


{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Математические головоломки и досуг]]
[[Категория:Открытые математические проблемы]]
[[Категория:Комбинаторная геометрия]]
[[Категория:Треугольники]]