Просмотр кода страницы Задача трёх тел

{{Значения|Задача трёх тел (значения)}}
{{Main|Взаимодействие многих тел}}
[[Файл:Three-body_Problem_Animation_with_COM.gif|мини|300x300пкс| Приблизительные траектории трёх одинаковых тел, находившихся в вершинах неравнобедренного треугольника и обладавших нулевыми начальными скоростями. В соответствии с [[закон сохранения импульса|законом сохранения импульса]] [[центр масс]] системы остаётся на одном месте.]]
'''Задача трёх тел''' — это задача [[Классическая механика|классической механики]] об определении движения трёх точечных масс из начальных положений и скоростей (или [[импульс]]ов) в соответствии с [[Законы Ньютона|законами движения Ньютона]] и [[Классическая теория тяготения Ньютона|законом всемирного тяготения Ньютона]]<ref name="PrincetonCompanion">{{Cite encyclopedia |year=2008 |title=The Three-Body Problem |encyclopedia=The Princeton Companion to Mathematics |publisher=Princeton University Press |author=Barrow-Green, June |editor=Gowers,Timothy |pages=726–728}}</ref>. Она является частным случаем [[Гравитационная задача N тел|гравитационной задачи {{Mvar|n}} тел]]. В отличие от [[Задача двух тел|задачи двух тел]], общего [[Аналитическое решение|решения в замкнутой форме]] не существует<ref name="PrincetonCompanion" />, поскольку результирующая [[динамическая система]] проявляет [[Теория хаоса|хаотичные свойства]] для большинства {{iw|начальное условие|начальных условий|en|Initial condition}}, и обычно требуется использовать [[численный метод|численные методы]] для её приближённого решения. Эту задачу можно сформулировать используя как методы механики Ньютона, так и альтернативно в виде уравнений Лагранжа, уравнений Гамильтона и других. Упрощённые формулировки задачи трёх тел позволяют найти множество периодических решений. Например, «''ограниченная задача трёх тел''», когда момент импульса системы равен нулю, позволяет использовать регуляризирующий параметр для описания движения. Также практический интерес представляет «''круговая ограниченная задача трёх тел''», в которой два массивных тела движутся по окружности, а третье — в создаваемом ими потенциале.

В [[1912 год]]у финский математик [[Зундман, Карл|Карл Зундман]] показал, что существует общее аналитическое решение задачи в виде рядов, однако использование последних практически невозможно.

Исторически сложилось так, что первой конкретной задачей трёх тел, получившей расширенное изучение, была проблема, связанная с взаимным движением [[Луна|Луны]], [[Земля|Земли]] и [[Солнце|Солнца]]<ref name="first">{{Cite web|url=http://www.wolframscience.com/reference/notes/972d|title=Historical Notes: Three-Body Problem|access-date=2017-07-19|archive-date=2023-12-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20231210081307/https://www.wolframscience.com/reference/notes/972d/|url-status=live}}</ref>. На современном языке задача трёх тел — это любая задача [[Классическая механика|классической]] или [[Квантовая механика|квантовой механики]], моделирующая движение трёх частиц в потенциале специального вида: в виде обратного квадрата, линейного, квадратичного, их комбинаций и других.

== Математическое описание ==
Математическая постановка задачи трёх тел может быть дана в терминах ньютоновских уравнений движения для радиус-векторов центров масс гравитационно взаимодествующих тел в галилеевской системе координат{{sfn|Маршал|2004|с=26}}. Движение <math>\mathbf{r_i} = (x_i, y_i, z_i)</math> с массами <math>m_i</math> описывается совокупностью трех [[Дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]] второго порядка, где <math>G</math> — [[гравитационная постоянная]]<ref name="Barrow-Green1997">{{Cite book|автор=Barrow-Green|first=June|заглавие=Poincaré and the Three Body Problem|ссылка=https://archive.org/details/poincarethreebod0011barr/page/n27|издательство=American Mathematical Society|год=1997|pages=8–12|isbn=978-0-8218-0367-7}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.phys.lsu.edu/faculty/gonzalez/Teaching/Phys7221/ThreeBodyProblem.pdf|title=The Three-Body Problem|access-date=2024-03-30|archive-date=2019-01-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20190126001005/http://www.phys.lsu.edu/faculty/gonzalez/Teaching/Phys7221/ThreeBodyProblem.pdf|url-status=live}}</ref>:
: <math>\begin{align}
 \ddot\mathbf{r}_{\mathbf{1}} &= -G m_2 \frac{\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}}{|\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}|^3} - G m_3 \frac{\mathbf{r_1} - \mathbf{r_3}}{|\mathbf{r_1} - \mathbf{r_3}|^3}\,, \\
 \ddot\mathbf{r}_{\mathbf{2}} &= -G m_3 \frac{\mathbf{r_2} - \mathbf{r_3}}{|\mathbf{r_2} - \mathbf{r_3}|^3} - G m_1 \frac{\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}}{|\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}|^3}\,, \\
 \ddot\mathbf{r}_{\mathbf{3}} &= -G m_1 \frac{\mathbf{r_3} - \mathbf{r_1}}{|\mathbf{r_3} - \mathbf{r_1}|^3} - G m_2 \frac{\mathbf{r_3} - \mathbf{r_2}}{|\mathbf{r_3} - \mathbf{r_2}|^3}\,.
\end{align}</math>

Эту задачу можно также сформулировать эквивалентно в [[Гамильтонова механика|гамильтоновом формализме]], и в этом случае она описывается набором из системы 18 дифференциальных уравнений первого порядка, по одному для каждой компоненты координат <math>\mathbf{r_i}</math> и импульсов <math>\mathbf{p_i}</math>{{sfn|Маршал|2004|с=39}}:
: <math>
\frac{d \mathbf{r_i}}{dt} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p_i}}, \qquad \frac{d\mathbf{p_i}}{dt} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{r_i}},
</math>

Здесь <math>\mathcal{H}</math> — [[Гамильтонова механика|гамильтониан]] системы, заданный в виде{{sfn|Маршал|2004|с=39}}:
: <math>
\mathcal{H} = -\frac{G m_1 m_2}{|\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}|}-\frac{G m_2 m_3}{|\mathbf{r_3} - \mathbf{r_2}|} -\frac{G m_3 m_1}{|\mathbf{r_3} - \mathbf{r_1}|} + \frac{\mathbf{p_1}^2}{2m_1} + \frac{\mathbf{p_2}^2}{2m_2} + \frac{\mathbf{p_3}^2}{2m_3}.
</math>

В этом случае <math>\mathcal{H}</math> представляет полную энергию системы в виде суммы гравитационной и кинетической энергий{{sfn|Маршал|2004|с=34}}{{sfn|Маршал|2004|с=39}}.

=== Ограниченная задача трёх тел ===
[[Файл:Restricted_Three-Body_Problem_-_Energy_Potential_Analysis.png|мини|300x300пкс| Круговая ограниченная задача трёх тел — это действительная аппроксимация эллиптических орбит, обнаруженных в [[Солнечная система|Солнечной системе]], и её можно представить как комбинацию потенциалов, возникающих из-за гравитации двух первичных тел, а также центробежного эффекта от их вращения ([[Сила Кориолиса|эффекты Кориолиса]] являются динамическими и не показаны). Тогда [[точки Лагранжа]] можно рассматривать как пять мест, где градиент на результирующей поверхности равен нулю, что указывает на то, что силы там находятся в равновесии.]]

Один из частных случаев задачи трёх тел является её вариант, когда масса одного из трёх тел пренебрежимо мала в сравнении с массами двух других. Такая задача получила название «ограниченная задача трёх тел». Этот частный случай задачи трёх тел является типичным в практических астрономических расчётах, например, расчёт движения космического корабля в системе [[Земля]]-[[Луна]] или движение [[Комета|кометы]] или [[Малые тела Солнечной системы|планетоида]] ([[астероид]]а) в системе [[Солнце]]-[[Юпитер]]. В приближённом расчёте влияние массы малого тела на два других можно принять равной нулю, таким образом задача сводится к расчёту притяжения малого тела двумя большими и взаимного притяжения этих больших тел{{sfn|Дубошин|1968|loc=§ 3. Ограниченная задача трех тел|с=752}}.

В этом случае полученную систему можно приближённо проанализировать и описать как задачу движения двух тел<ref name="Barrow-Green1997" /><ref>[http://scienceworld.wolfram.com/physics/RestrictedThree-BodyProblem.html Restricted Three-Body Problem] {{Wayback|url=http://scienceworld.wolfram.com/physics/RestrictedThree-BodyProblem.html |date=20240328013740 }}, ''Science World''.</ref>. По отношению к {{iw|вращающаяся система отсчёта|вращающейся системе отсчёта|en|Rotating reference frame}} два тела, вращающиеся по одной орбите, неподвижны, а третье тело может также быть неподвижным в [[Точки Лагранжа|точках Лагранжа]] или двигаться вокруг них, например, по [[Подковообразная орбита|подковообразной орбите]]. Может оказаться полезным рассмотреть {{iw|эффективный потенциал||en|Effective potential}}. Обычно считается, что это движение двух тел состоит из круговых орбит вокруг [[Центр масс|центра масс]], и предполагается, что планетоид движется в плоскости, определяемой круговыми орбитами{{sfn|Маршал|2004|с=78—83}}.

Математически ограниченная задача трёх тел формулируется следующим образом. Пусть <math>m_{1,2}</math> — массы двух массивных тел с (плоскими) координатами <math>(x_1, y_1)</math> и <math>(x_2, y_2)</math>, и <math>(x, y)</math> — координаты планетоида. Для простоты выберите такие единицы измерения, чтобы расстояние между двумя массивными телами, а также гравитационная постоянная были равны <math>1</math>. Тогда движение планетоида определяется выражением
: <math>
\begin{align}
\frac{d^2 x}{dt^2} = -m_1 \frac{x - x_1}{r_1^3} - m_2 \frac{x - x_2}{r_2^3}\,, \\
\frac{d^2 y}{dt^2} = -m_1 \frac{y - y_1}{r_1^3} - m_2 \frac{y - y_2}{r_2^3}\,,
\end{align}
</math>
где <math>r_i = \sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2}\,.</math> В этой форме уравнения движения имеют явную зависимость от времени через координаты <math>x_i(t), y_i(t)</math>. Однако эту временную зависимость можно устранить путём преобразования во вращающуюся систему отсчёта, что упрощает любой последующий анализ.{{Нет АИ|2|01|2025}}

Если рассматривать ограниченную задачу трёх тел в барицентрической системе координат, можно получить две системы уравнений, одна из которых описывает кеплеровское движение двух массивных тел относительно их центра масс, и вторая — движение малого тела под воздействием двух массивных{{sfn|Дубошин|1968|loc=§ 3. Ограниченная задача трех тел|с=753}}.

Хотя ограниченная задача трёх тел более простая, чем общая задача трёх тел, её аналитическое решение также представляет трудности из-за невозможности прямого интегрирования её уравнений{{sfn|Дубошин|1968|loc=§ 3. Ограниченная задача трех тел|с=754}}.

Из ограниченной задачи трёх тел также выделяются{{sfn|Дубошин|1968|loc=§ 3. Ограниченная задача трех тел|с=755}}:
* параболическая ограниченная задача трёх тел, в которой второе массивное тело движется по параболе;
* прямолинейная ограниченная задача трёх тел, когда второе массивное тело движется по прямой, проходящей через центр первого массивного тела.

== Решения ==

=== Общее решение ===
[[Файл:3bodyproblem.gif|мини|600x600пкс| В то время как система трёх тел, взаимодействующих гравитационно, является [[Теория хаоса|хаотичной]], система трёх тел, взаимодействующих упруго, [[Сила|хаотичной]] не является.]]
Не существует общего [[Аналитическое решение|решения задачи трёх тел в замкнутой форме]]<ref name="PrincetonCompanion" />, это означает, что не существует общего решения, которое можно выразить с помощью конечного числа стандартных математических операций. При этом движение трёх тел вообще неповторяющееся, за исключением особых случаев<ref name="13solutions">{{Cite journal|last=Cartwright|first=Jon|date=2013-03-08|title=Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem|url=https://www.science.org/content/article/physicists-discover-whopping-13-new-solutions-three-body-problem|journal=Science Now|access-date=2013-04-04|archive-date=2023-09-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20230920190348/https://www.science.org/content/article/physicists-discover-whopping-13-new-solutions-three-body-problem|url-status=live}}</ref>.

Однако в 1912 году [[Финляндия|финский]] математик [[Зундман, Карл|Карл Фритиоф Сундман]] доказал, что существует [[аналитическое решение]] задачи трёх тел в виде [[Ряд Пюизё|ряда Пюизё]], а именно [[Степенной ряд|степенного ряда]] по степеням {{Math|''t''<sup>1/3</sup>}}<ref>Barrow-Green, J. (2010). [http://oro.open.ac.uk/22440/2/Sundman_final.pdf The dramatic episode of Sundman] {{Wayback|url=http://oro.open.ac.uk/22440/2/Sundman_final.pdf |date=20230425044602 }}, Historia Mathematica 37, pp. 164—203.</ref>. Этот ряд сходится при всех действительных {{Mvar|t}}, кроме начальных условий, соответствующих нулю [[Момент импульса|момента импульса]]. На практике последнее ограничение несущественно, поскольку начальные условия с нулевым угловым моментом встречаются редко и имеют нулевую [[Мера Лебега|меру Лебега]].

Важным вопросом при доказательстве этого результата является тот факт, что радиус сходимости этого ряда определяется расстоянием до ближайшей особенности. Поэтому необходимо изучить возможные особенности задач трёх тел. Как кратко обсуждается ниже, единственными сингулярностями в задаче трёх тел являются бинарные столкновения (столкновения двух частиц в один момент времени) и тройные столкновения (столкновения трёх частиц в один момент времени).

Столкновения, будь то бинарные или тройные (фактически любое число), несколько маловероятны, поскольку было показано, что они соответствуют набору начальных условий нулевой меры. Однако не известно какого-либо критерия, который можно было бы положить в начальное состояние, чтобы избежать столкновений для соответствующего решения. Итак, стратегия Сундмана состояла из следующих шагов:

# Использование соответствующей замены переменных для продолжения анализа решения за пределами бинарного столкновения в процессе, известном как [[Регуляризация (физика)|регуляризация]].
# Доказательство того, что тройные столкновения происходят только тогда, когда угловой момент {{Math|'''L'''}} обращается в нуль. Ограничив исходные данные до {{Math|'''L''' ≠ '''0'''}}, он удалил все ''вещественные'' особенности из преобразованных уравнений задачи трёх тел.
# Показывая, что если {{Math|'''L''' ≠ '''0'''}}, то не только не может быть тройного столкновения, но и система строго отделена от тройного столкновения. Отсюда следует, используя [[Теорема существования|теорему существования]] [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] для дифференциальных уравнений, что в полосе (в зависимости от значения {{Math|'''L'''}}) в комплексной плоскости с центром вокруг вещественной оси нет комплексных особенностей (''оттенки'' [[Теорема Коши — Ковалевской|Ковалевской]]).
# Найти конформное преобразование, которое отображает эту полосу в единичный круг. Например, если {{Math|1=''s'' = ''t''<sup>1/3</sup>}} (новая переменная после регуляризации) и если <math>|\ln{s}|\leq{}\beta{}</math>, тогда это отображение даётся формулой
: <math display="block">\sigma = \frac{e^\frac{\pi s}{2\beta} - 1}{e^\frac{\pi s}{2\beta} + 1}\,.</math>

Однако соответствующий ряд сходится очень медленно. То есть для получения значения значимой точности требуется так много членов, что это решение не имеет практического применения. Действительно, в 1930 году Дэвид Белоришки подсчитал, что если бы ряд Сундмана использовался для астрономических наблюдений, то в вычислениях потребовалось бы по меньшей мере 10<sup>{{Val|8000000}}</sup> членов<ref>{{Cite journal|last=Beloriszky|first=D.|year=1930|title=Application pratique des méthodes de M. Sundman à un cas particulier du problème des trois corps|journal=Bulletin Astronomique|series=Série 2|volume=6|pages=417–434|bibcode=1930BuAst...6..417B}}</ref>.

=== Решения для особых случаев ===
[[Файл:RocheLobesDetailed.svg|мини|[[Полость Роша|Полости Роша]] для [[двойная система|двойной системы]] (обозначены жёлтым)]]
В 1767 году [[Эйлер, Леонард|Леонард Эйлер]] нашёл три семейства периодических решений, в которых три массы в каждый момент времени коллинеарны. См. {{iw|Задача трёх тел Эйлера|задачу трёх тел Эйлера|en|Euler's three-body problem}}.

В 1772 году [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]] нашёл семейство решений, в которых три массы в каждый момент времени образуют равносторонний треугольник. Вместе с коллинеарными решениями Эйлера эти решения образуют [[Центральная конфигурация|центральные конфигурации]] задачи трёх тел. Эти решения справедливы для любых соотношений масс, причём массы движутся по [[кеплерова орбита|кеплеровским эллипсам]]. Эти четыре семейства — единственные известные решения, для которых существуют явные аналитические формулы. В частном случае круговой ограниченной задачи трёх тел эти решения, рассматриваемые в системе отсчёта, вращающейся вместе с основными элементами, становятся точками, называемыми L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>, L<sub>3</sub>, L<sub>4</sub> и L<sub>5</sub> и называемыми [[Точки Лагранжа|лагранжевыми точками]], где L<sub>4</sub> и L<sub>5</sub> являются симметричными экземплярами решения Лагранжа.

В работе, обобщённой в 1892—1899 годах, [[Пуанкаре, Анри|Анри Пуанкаре]] установил существование бесконечного числа периодических решений ограниченной задачи трёх тел, а также методы продолжения этих решений на общую задачу трёх тел.

В 1893 году Мейсель сформулировал то, что сейчас называется пифагорейской задачей трёх тел: три массы в соотношении 3:4:5 покоятся в вершинах [[Специальный прямоугольный треугольник|прямоугольного треугольника 3:4:5]]. Буррау<ref name="Burrau">{{Cite journal|last=Burrau|date=1913|title=Numerische Berechnung eines Spezialfalles des Dreikörperproblems|url=https://zenodo.org/record/1424886|journal=Astronomische Nachrichten|volume=195|issue=6|pages=113–118|bibcode=1913AN....195..113B|doi=10.1002/asna.19131950602|access-date=2024-03-30|archive-date=2023-06-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20230603024411/https://zenodo.org/record/1424886|url-status=live}}</ref> продолжил исследование этой проблемы в 1913 году. В 1967 году [[Себехей, Виктор|Виктор Себехей]] и [[C. Frederick Peters|К. Фредерик Питерс]] нашли решение этой задачи, используя численное интегрирование, и в то же время нашли ближайшее периодическое решение<ref>{{Cite journal|last=Victor Szebehely|last2=C. Frederick Peters|date=1967|title=Complete Solution of a General Problem of Three Bodies|journal=Astronomical Journal|volume=72|page=876|bibcode=1967AJ.....72..876S|doi=10.1086/110355|doi-access=free}}</ref>.
[[Файл:Three_body_problem_figure-8_orbit_animation.gif|мини|400x400пкс| Анимация решения задачи трёх тел в виде восьмёрки за один период T ≃ 6,3259<ref>Here the gravitational constant ''G'' has been set to 1, and the initial conditions are '''r'''<sub>1</sub>(0) = -'''r'''<sub>3</sub>(0) = (-0.97000436, 0.24308753); '''r'''<sub>2</sub>(0) = (0,0); '''v'''<sub>1</sub>(0) = '''v'''<sub>3</sub>(0) = (0.4662036850, 0.4323657300); '''v'''<sub>2</sub>(0) = (-0.93240737, −0.86473146). The values are obtained from Chenciner & Montgomery (2000).</ref>.]]

[[Файл:5_4_800_36_downscaled.gif|мини|400x400пкс| 20 примеров периодических решений задачи трёх тел.]]

В 1970-х годах {{нп4|Бруке, Роджер|Р. Бруке||Roger A. Broucke}} ({{lang-en|Roger A. Broucke }}), {{нп4|Хено, Мишель|М. Хено|fr|Michel Hénon}} ({{lang-fr|Michel Hénon}}) и Дж. Хаджидеметриу ({{lang-en|John D. Hadjidemetriou}}) нашли набор решений, которые являются частью одного и того же семейства решений: семейства Брука — Энона — Хаджидеметриу. В этом семействе все три объекта имеют одинаковую массу и могут иметь как ретроградную, так и прямую форму. В некоторых решениях Брука два тела следуют по одному и тому же пути<ref name="TBG">{{Cite web|url=http://suki.ipb.ac.rs/3body/|title=Three-body Gallery|author=Šuvakov, M., Dmitrašinović, V.|access-date=2015-08-12|archive-date=2018-01-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20180116165950/http://suki.ipb.ac.rs/3body/|url-status=live}}</ref><ref name="Трунин, 2017">{{публикация|статья |автор=Трунин |автор имя=Д. |заглавие=В задаче трех тел обнаружили более шестисот периодических траекторий |издание=N+1 |год=2017 |месяц=10 |день=12 |ссылка=https://nplus1.ru/news/2017/10/12/three-body-problem |архив дата=2018-11-07 |архив=https://web.archive.org/web/20181107010221/https://nplus1.ru/news/2017/10/12/three-body-problem }}</ref>.

В 1993 году физик [[Крис Мур]] из [[Институт Санта-Фе|Института Санта-Фе]] численно обнаружил решение с нулевым угловым моментом с тремя равными массами, движущимися вокруг восьмерки<ref>{{Cite web |url=http://znanie-sila.su/themes/space/serbskie-fiziki-znachitelno-rasshirili-chislo-izvestnyh-reshenij-zadachi-treh-tel |title=Сербские физики значительно расширили число известных решений «задачи трёх тел» |access-date=2019-01-10 |archive-date=2019-01-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190111121531/http://znanie-sila.su/themes/space/serbskie-fiziki-znachitelno-rasshirili-chislo-izvestnyh-reshenij-zadachi-treh-tel |deadlink=no }}</ref><ref>{{Cite journal|last=Moore|first=Cristopher|year=1993|title=Braids in classical dynamics|url=http://tuvalu.santafe.edu/~moore/braids-prl.pdf|journal=Physical Review Letters|volume=70|issue=24|pages=3675–3679|bibcode=1993PhRvL..70.3675M|doi=10.1103/PhysRevLett.70.3675|pmid=10053934|archive-url=https://web.archive.org/web/20181008213647/http://tuvalu.santafe.edu/~moore/braids-prl.pdf|archive-date=2018-10-08|access-date=2016-01-01}}</ref>. Его формальное существование позже было доказано в 2000 году математиками [[Ален Шенсинер|Аленом Ченсинером]] и Ричардом Монтгомери<ref>{{Cite journal|last=Chenciner, Alain|last2=Montgomery, Richard|year=2000|title=A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2000-11_152_3/page/881|journal=Annals of Mathematics|series=Second Series|volume=152|issue=3|pages=881–902|arxiv=math/0011268|bibcode=2000math.....11268C|doi=10.2307/2661357|jstor=2661357|s2cid=10024592}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Montgomery|first=Richard|year=2001|title=A new solution to the three-body problem|url=https://www.ams.org/notices/200105/fea-montgomery.pdf|journal=Notices of the American Mathematical Society|volume=48|pages=471–481|access-date=2024-03-30|archive-date=2023-04-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20230425044601/https://www.ams.org/notices/200105/fea-montgomery.pdf|url-status=live}}</ref>. Численно показано, что решение устойчиво при небольших возмущениях массы и параметров орбиты, что делает возможным наблюдение таких орбит в физической Вселенной. Однако утверждалось, что это событие маловероятно, поскольку область устойчивости мала. Например, вероятность события бинарно-бинарного [[Рассеяние|рассеяния]] в результате чего орбита в форме восьмёрки, по оценкам, составляет небольшую долю процента<ref>{{Cite journal|last=Heggie|first=Douglas C.|year=2000|title=A new outcome of binary–binary scattering|journal=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society|volume=318|issue=4|pages=L61–L63|arxiv=astro-ph/9604016|bibcode=2000MNRAS.318L..61H|doi=10.1046/j.1365-8711.2000.04027.x}}</ref>.

В 2013 году сербские учёные [[Шуваков, Милован|Милован Шуваков]] и [[Дмитрашинович, Велько|Велько Дмитрашинович]] из [[Белградский институт физики|Института физики в Белграде]] обнаружили 13 новых семейств решений задачи трёх тел с равной массой и нулевым угловым моментом<ref name="13solutions" /><ref name="Трунин, 2017" /><ref>{{cite web|url=https://lenta.ru/news/2013/03/11/threebody/ |website=Lenta.ru |title=Физики нашли новые решения ньютоновской задачи трёх тел |date=2013-03-11 |accessdate=2013-03-17|archiveurl=https://www.webcitation.org/6FHPvB0Re?url=https://lenta.ru/news/2013/03/11/threebody/|archivedate=2013-03-21}}</ref>.

В 2015 году физик Ана Худомаль обнаружила 14 новых семейств решений задачи трёх тел с равной массой и нулевым угловым моментом<ref>{{Cite journal|last=Hudomal|first=Ana|date=October 2015|title=New periodic solutions to the three-body problem and gravitational waves|url=http://www.scl.rs/theses/msc_ahudomal.pdf|journal=Master of Science Thesis at the Faculty of Physics, Belgrade University|access-date=2019-02-05|archive-date=2023-11-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20231110170928/https://www.scl.rs/theses/msc_ahudomal.pdf|url-status=live}}</ref>.

В 2017 году исследователи Сяомин Ли и {{iw|Ляо Шицзюнь||en|Liao Shijun}} обнаружили 669 новых периодических орбит задачи трёх тел с равной массой и нулевым угловым моментом<ref>{{Cite journal|last=Li|first=Xiaoming|last2=Liao|first2=Shijun|date=December 2017|title=More than six hundreds new families of Newtonian periodic planar collisionless three-body orbits|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|volume=60|issue=12|page=129511|arxiv=1705.00527|bibcode=2017SCPMA..60l9511L|doi=10.1007/s11433-017-9078-5|issn=1674-7348|s2cid=84838204}}</ref>. За этим в 2018 году последовало ещё 1223 новых решения для системы неравных масс с нулевым угловым моментом<ref>{{Cite journal|last=Li|first=Xiaoming|last2=Jing|first2=Yipeng|last3=Liao|first3=Shijun|date=August 2018|title=The 1223 new periodic orbits of planar three-body problem with unequal mass and zero angular momentum|journal=Publications of the Astronomical Society of Japan|volume=70|issue=4|arxiv=1709.04775|doi=10.1093/pasj/psy057|doi-access=free}}</ref>.

В 2018 году Ли и Ляо сообщили о 234 решениях задачи трёх тел о «свободном падении» с неравной массой<ref>{{Cite journal|last=Li|first=Xiaoming|last2=Liao|first2=Shijun|year=2019|title=Collisionless periodic orbits in the free-fall three-body problem|journal=New Astronomy|volume=70|pages=22–26|arxiv=1805.07980|bibcode=2019NewA...70...22L|doi=10.1016/j.newast.2019.01.003|s2cid=89615142}}</ref>. Формулировка задачи трёх тел в свободном падении начинается с того, что все три тела находятся в состоянии покоя. Из-за этого массы в конфигурации свободного падения не вращаются по замкнутому «кольцу», а перемещаются вперёд и назад по открытой «траектории».

В 2023 году Иван Христов, Радослава Христова, Дмитрашинович и Киётака Таникава опубликовали исследование задачи трёх тел «периодические орбиты свободного падения», ограниченное случаем равной массы, в котором они нашли 12 409 различных решений<ref>{{Cite arXiv|title=Three-body periodic collisionless equal-mass free-fall orbits revisited|last1=Hristov|first1=Ivan|last2=Hristova|first2=Radoslava|last3=Dmitrašinović|first3=Veljko|last4=Tanikawa|first4=Kiyotaka|date=2023|class=physics.class-ph|eprint=2308.16159}}</ref>.

=== Приближённое решение ===
По всей видимости, сам Вейерштрасс, опираясь на свою знаменитую [[аппроксимационная теорема Вейерштрасса|теорему об аппроксимации произвольной функции полиномами]], желал получить выражение для координат тел в виде
: <math>
\lim \limits_{n\rightarrow \infty}P_{n}(t)</math>,
где <math>P_{n}</math> — некоторые полиномы.

Существование таких полиномов сразу следует из непрерывности решения, но найти конструктивный способ отыскания полиномов до сих пор не удалось.

Обсуждение самой возможности ситуации, описанной в задаче Вейерштрасса, привело к ряду важных выводов:
* Если решение задачи трёх тел является [[Голоморфная функция|голоморфной функцией]] <math>t</math> в интервале <math>[0,t_0)</math> и перестает быть таковым при <math>t=t_0</math>, то при <math>t\rightarrow t_0-0</math> или все расстояния между телами стремятся к нулю (тройное соударение тел), или одно из них стремится к нулю, а остальные два — к конечным пределам (простое соударение тел). ([[Пенлеве, Поль|Пенлеве]], 1897);
* Тройное соударение в задаче трёх тел возможно лишь при условии обращения в нуль [[Момент импульса|момента импульса]] системы и, следовательно, может иметь место лишь при весьма специальных начальных данных. ([[Ф. А. Слудский]], 1874);
* Если момент импульса системы не равен нулю, то существует так называемый регуляризирующий параметр <math>s</math>, через который можно выразить координаты и время голоморфным образом в окрестности вещественной оси <math>s</math>. ([[Зундман, Карл|Зундман]], 1912; короткое доказательство дал в 1967 г. Бурде (Burdet)<ref>''Маршал К.'' Задача трёх тел. М.-Ижевск, 2004</ref>).

Это подтолкнуло [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]] и Зундмана искать решение не в виде функций от <math>t</math>, а в виде [[степенной ряд|рядов]] от некоторого параметра. Именно, координаты трёх тел и время являются голоморфными функциями <math>s</math> вдоль всей вещественной оси плоскости <math>s</math>, то есть существует некоторая область, в которой координаты голоморфны. По [[теорема Римана об отображении|теореме Римана]] эту область можно отобразить на [[единичный круг|круг единичного радиуса]] <math>|v|<1</math>, поэтому координаты трёх тел и время можно представить в виде функций параметра <math>v</math>, голоморфных в круге единичного радиуса. Такие функции представимы в виде сходящегося во всем круге рядов по положительным степеням <math>v</math>. Эти ряды были найдены Зундманом в [[1912 год|1912]], точнее говоря, был найден алгоритм отыскания их коэффициентов. К несчастью, как показал Д. Белорицкий<ref>Belorizky, D. ''Sur la solution du problème des trois corps, donnée par M. Sundman'' // C. R. 193, 766—768, 1931.</ref>, по крайней мере в случае Лагранжа для нужд вычислительной астрономии в сходящихся рядах Зундмана нужно брать как минимум <math>10^{8 \cdot 10^6}</math> членов.

=== Численные подходы ===
Используя компьютер, задача может быть решена с произвольно высокой точностью с помощью [[Численное интегрирование|численного интегрирования]], хотя высокая точность требует большого количества процессорного времени. Были попытки создания компьютерных программ, которые численно решают задачу трёх тел (и, в более широком смысле, задачу n тел), включающую как электромагнитные, так и гравитационные взаимодействия, а также включающие современные теории физики, такие как специальная теория относительности<ref>{{Cite web|url=https://3body.hk/|title=3body simulator|lang=en|website=3body simulator|access-date=2022-11-17|archive-date=2022-11-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20221117041052/https://3body.hk/|url-status=dead}}</ref>. Кроме того, используя теорию [[Случайное блуждание|случайных блужданий]], можно вычислить приблизительную вероятность различных исходов<ref>{{Cite news|title=A Centuries-Old Physics Mystery? Solved|author=Technion|url=https://scitechdaily.com/a-centuries-old-physics-mystery-solved/|website=SciTechDaily|publisher=[[SciTech (magazine)|SciTech]]|date=2021-10-06|access-date=2021-10-12|archive-date=2023-12-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20231227023543/https://scitechdaily.com/a-centuries-old-physics-mystery-solved/|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Ginat|first=Yonadav Barry|last2=Perets|first2=Hagai B.|date=2021-07-23|title=Analytical, Statistical Approximate Solution of Dissipative and Nondissipative Binary-Single Stellar Encounters|url=https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.11.031020|journal=[[Physical Review]]|volume=11|issue=3|page=031020|arxiv=2011.00010|bibcode=2021PhRvX..11c1020G|doi=10.1103/PhysRevX.11.031020|s2cid=235485570|access-date=2021-10-12|archive-date=2024-04-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20240404160947/https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.11.031020|url-status=live}}</ref>.

== История ==
Задача гравитации трех тёл в её традиционном понимании по существу восходит к 1687 году, когда [[Ньютон, Исаак|Исаак Ньютон]] опубликовал свой труд ''«[[Математические начала натуральной философии|Начала]]»''{{sfn|Маршал|2004|с=24}}. Учёный пытался выяснить, возможна ли какая-либо долговременная стабильность, особенно системы нашей [[Земля|Земли]], [[Луна|Луны]] и [[Солнце|Солнца]]. Под руководством крупнейших астрономов [[Возрождение|эпохи Возрождения]] [[Коперник, Николай|Николая Коперника]], [[Браге, Тихо|Тихо Браге]] и [[Кеплер, Иоганн|Иоганна Кеплера]] он пришёл к началу гравитационной задачи трёх тел<ref name=":1">{{Cite book|автор=Valtonen|first=Mauri|заглавие=The Three-body Problem from Pythagoras to Hawking|ссылка=https://archive.org/details/threebodyproblem0000valt|издательство=Springer|год=2016|isbn=978-3-319-22726-9}}</ref>. В предложении 66 первой книги ''«Начал»'' и его 22 следствиях И. Ньютон сделал первые шаги в определении и изучении задачи движения трёх массивных тел, подчинённых их взаимно возмущающему гравитационному притяжению. В предложениях 25-35 книги 3 он также сделал первые шаги в применении своих результатов предложения 66 к [[Лунная теория|теории Луны]], движения Луны под гравитационным влиянием Земли и Солнца<ref>{{Cite book|автор=Newton|first=Isaac|заглавие=Philosophiæ naturalis principia mathematica|ссылка=https://lbezone.hkust.edu.hk/bib/b706487|место=London|издательство=G. & J. Innys|date=1726|doi=10.14711/spcol/b706487}} {{Wayback|url=https://lbezone.hkust.edu.hk/bib/b706487 |date=20230530134904 }}</ref>. Позже эта задача была применена и к взаимодействиям других планет с Землёй и Солнцем<ref name=":1" />.

К физической проблеме впервые обратился [[Веспуччи, Америго|Америго Веспуччи]], а затем [[Галилей, Галилео|Галилео Галилей]], а также [[Стевин, Симон|Симон Стевин]], но они не осознавали, какой вклад они внесли. Хотя Галилей установил, что скорость падения всех тел изменяется равномерно и одинаково, он не применил это к движению планет<ref name=":1" />. Тогда как в 1499 году Веспуччи использовал знание положения Луны, чтобы определить свое положение в Бразилии<ref>{{Cite web|url=https://www.biography.com/explorer/amerigo-vespucci|title=Amerigo Vespucci|lang=en-us|website=Biography|date=2021-06-23|access-date=2022-10-05|archive-date=2023-01-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20230103102435/https://www.biography.com/explorer/amerigo-vespucci|url-status=live}}</ref>. Это приобрело техническое значение в 1720-х годах, поскольку точное решение могло быть применимо к навигации, особенно для [[История долготы|определения долготы на море]], что было решено на практике благодаря изобретению [[Гаррисон, Джон|Джона Харрисона]] [[Палубные часы|морского хронометра]]. Однако точность [[Лунная теория|лунной теории]] была низкой из-за возмущающего воздействия Солнца и планет на движение Луны вокруг Земли.

[[Д’Аламбер, Жан Лерон|Жан ле Рон д’Аламбер]] и [[Клеро, Алекси Клод|Алексис Клеро]], между которыми возникло давнее соперничество, оба пытались проанализировать задачу в некоторой степени общности; они представили свои конкурирующие первые исследования в Королевскую академию наук в 1747 году<ref>The 1747 memoirs of both parties can be read in the volume of ''Histoires'' (including ''Mémoires'') of the Académie Royale des Sciences for 1745 (belatedly published in Paris in 1749) (in French):
</ref>. Именно в связи с их исследованиями, проведёнными в Париже в 1740-х годах, появилось название «задача трёх тел» ({{Lang-fr|Problème des trois Corps}}) стали широко использоваться. В отчёте, опубликованном в 1761 году Жаном ле Роном д’Аламбером, указывается, что это название впервые было использовано в 1747 году<ref>[[Д’Аламбер, Жан Лерон|Jean le Rond d’Alembert]], in a paper of 1761 reviewing the mathematical history of the problem, mentions that Euler had given a method for integrating a certain differential equation «in 1740 (seven years before there was question of the Problem of Three Bodies)»: see d’Alembert, «Opuscules Mathématiques», vol. 2, Paris 1761, Quatorzième Mémoire («Réflexions sur le Problème des trois Corps, avec de Nouvelles Tables de la Lune …») pp. 329—312, at sec. VI, p. 245.</ref>.

Относительно общего случая [[Вейерштрасс]] предложил такую задачу ([[1885 год|1885]] г., конкурс на премию шведского короля [[Оскар II|Оскара II]]):
{{начало цитаты}}
Пусть дана система произвольного числа материальных точек, взаимодействующих по закону Ньютона. Требуется, в предположении,
что не произойдет соударения каких-либо двух точек, представить координаты каждой точки в виде рядов по каким-либо непрерывным
функциям времени, равномерно сходящихся для всех действительных значений этой переменной.
{{конец цитаты|источник=''Погребысский И. Б.'' Комментарий к Задаче трёх тел Пуанкаре // ''Пуанкаре А''. Избранные труды. — Т. 2. — М.: Наука, 1979. — С. 967—976.}}

В конце XIX — начале XX века подход к решению задачи трёх тел с использованием короткодействующих сил притяжения двух тел разрабатывался учёными, которые предложили П. Ф. Бедак, Х.-В. Хаммеру и У. ван Колку пришла идея перенормировать задачу трёх тел ближнего действия, предоставив учёным редкий пример [[Предельный цикл|предельного цикла]] [[Ренормализационная группа|ренормгруппы]] в начале XXI века<ref name=":0">{{Cite journal|last=Mohr|first=R.F.|last2=Furnstahl|first2=R.J.|last3=Hammer|first3=H.-W.|last4=Perry|first4=R.J.|last5=Wilson|first5=K.G.|date=January 2006|title=Precise numerical results for limit cycles in the quantum three-body problem|journal=Annals of Physics|volume=321|issue=1|pages=225–259|arxiv=nucl-th/0509076|bibcode=2006AnPhy.321..225M|doi=10.1016/j.aop.2005.10.002|issn=0003-4916|s2cid=119073191}}</ref>. [[Хилл, Джордж Уильям|Джордж Уильям Хилл]] работал над ограниченной задачей в конце XIX века, используя движение [[Венера|Венеры]] и [[Меркурий|Меркурия]]<ref>[https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.32106020676935&view=1up&seq=122&skin=2021 «Coplanar Motion of Two Planets, One Having a Zero Mass»] {{Wayback|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.32106020676935&view=1up&seq=122&skin=2021 |date=20221003014537 }}. [[Annals of Mathematics]], Vol. III, pp. 65-73, 1887.</ref>.

В начале XX века [[Зундман, Карл|Карл Сундман]] подошёл к этой проблеме математически и систематически, предоставив функциональное теоретическое доказательство задачи, справедливое для всех значений времени. Это был первый раз, когда учёные теоретически решили задачу трёх тел. Однако, поскольку не было достаточно качественного решения этой системы, и учёные слишком медленно могли её применять на практике, это решение всё же оставляло некоторые проблемы нерешёнными<ref>{{Cite book|lang=en|автор=Barrow-Green|first=June|заглавие=Poincaré and the Three Body Problem|ссылка=http://oro.open.ac.uk/57403/1/335423.pdf|место=Providence, Rhode Island|издательство=American Mathematical Society|date=1996-10-29|volume=11|isbn=978-0-8218-0367-7|doi=10.1090/hmath/011}} {{Wayback|url=http://oro.open.ac.uk/57403/1/335423.pdf |date=20240411104841 }}</ref>. В 1970-х годах [[Ефимов, Виталий Николаевич|В. Ефимовым]] был обнаружен эффект трёх тел от двухчастичных сил, который был назван [[Состояние Ефимова|эффектом Ефимова]]<ref>{{Cite journal|last=Efimov|first=V.|date=1970-12-21|title=Energy levels arising from resonant two-body forces in a three-body system|journal=Physics Letters B|language=en|volume=33|issue=8|pages=563–564|bibcode=1970PhLB...33..563E|doi=10.1016/0370-2693(70)90349-7|issn=0370-2693}}</ref>.

В 2017 году [[Ляо Шицзюнь|Шицзюнь Ляо]] и Сяомин Ли применили новую стратегию численного моделирования хаотических систем, называемую чистым численным моделированием (CNS), с использованием национального суперкомпьютера, чтобы успешно получить 695 семейств периодических решений системы трёх тел с равными массами<ref>{{Cite journal|last=Liao|first=Shijun|last2=Li|first2=Xiaoming|date=2019-11-01|title=On the periodic solutions of the three-body problem|url=https://academic.oup.com/nsr/article/6/6/1070/5537324|journal=National Science Review|language=en|volume=6|issue=6|pages=1070–1071|doi=10.1093/nsr/nwz102|issn=2095-5138|pmc=8291409|pmid=34691975|access-date=2024-03-30|archive-date=2022-10-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20221003022141/https://academic.oup.com/nsr/article/6/6/1070/5537324|url-status=live}}</ref>.

В 2019 году Брин и др. объявила о быстром решении [[нейронная сеть|нейронной сети]] для задачи трёх тел, обученном с использованием числового интегратора<ref>{{Cite journal|last=Breen|first=Philip G.|last2=Foley|first2=Christopher N.|last3=Boekholt|first3=Tjarda|last4=Portegies Zwart|first4=Simon|date=2020|title=Newton versus the machine: Solving the chaotic three-body problem using deep neural networks|journal=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society|volume=494|issue=2|pages=2465–2470|arxiv=1910.07291|doi=10.1093/mnras/staa713|s2cid=204734498}}</ref>.

По сообщениям, в сентябре 2023 года было найдено несколько возможных решений задачи<ref name="SA-20230923">{{Cite web|lang=en|title=We Just Got 12,000 New Solutions to The Infamous Three-Body Problem|author=Watson|first=Claire|url=https://www.sciencealert.com/we-just-got-12000-new-solutions-to-the-infamous-three-body-problem|website={{не переведено|ScienceAlert}}|date=2023-09-23|access-date=2023-09-23|archive-url=https://archive.today/20230924005541/https://www.sciencealert.com/we-just-got-12000-new-solutions-to-the-infamous-three-body-problem|archive-date=2023-09-24|url-status=live}}</ref><ref name="ARX-20232">{{cite arXiv|title=Three-body periodic collisionless equal-mass free-fall orbits revisited|date=2023-08-31|eprint=2308.16159|last1=Hristov|first1=Ivan|last2=Hristova|first2=Radoslava|last3=Dmitrašinović|first3=Veljko|last4=Tanikawa|first4=Kiyotaka|class=physics.class-ph}}</ref>.

== Другие задачи, связанные с тремя телами ==
Термин «задача трёх тел» иногда используется в более общем смысле для обозначения любой физической задачи, связанной с взаимодействием трёх тел.

Квантово-механическим аналогом гравитационной задачи трёх тел в классической механике является [[атом гелия]], в котором ядро [[Гелий|гелия]] и два [[электрон]]а взаимодействуют по принципу [[Закон обратных квадратов|обратного квадрата]] [[Закон Кулона|кулоновского взаимодействия]]. Как и гравитационную задачу трёх тел, атом гелия не может быть решён точно<ref>{{Cite book|автор=Griffiths, David J.|заглавие=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.)|издательство=Prentice Hall|год=2004|pages=311|isbn=978-0-13-111892-8}}</ref>.

Однако как в классической, так и в квантовой механике существуют нетривиальные законы взаимодействия, помимо силы обратных квадратов, которые действительно приводят к точным аналитическим решениям для трёх тел. Одна из таких моделей состоит из комбинации [[Гармонический осциллятор|гармонического притяжения]] и отталкивающей силы обратного куба<ref name="Crandall1984">{{Cite journal|last=Crandall|first=R.|last2=Whitnell|first2=R.|last3=Bettega|first3=R.|year=1984|title=Exactly soluble two-electron atomic model|journal=American Journal of Physics|volume=52|issue=5|pages=438–442|bibcode=1984AmJPh..52..438C|doi=10.1119/1.13650}}</ref>. Эта модель считается нетривиальной, поскольку она связана с набором нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих особенности (по сравнению, например, с одними только гармоническими взаимодействиями, которые приводят к легко решаемой системе линейных дифференциальных уравнений). В этих двух отношениях она аналогична (неразрешимым) моделям, имеющим кулоновское взаимодействие, и в результате была предложена в качестве инструмента для интуитивного понимания физических систем, таких как атом гелия<ref name="Crandall1984" /><ref>{{Cite journal|last=Calogero|first=F.|year=1969|title=Solution of a Three-Body Problem in One Dimension|journal=Journal of Mathematical Physics|volume=10|issue=12|pages=2191–2196|bibcode=1969JMP....10.2191C|doi=10.1063/1.1664820}}</ref>.

В рамках [[Двумерный точечный вихревой газ|модели точечного вихря]] движение [[Вихрь (гидродинамика)|вихрей]] в двумерной идеальной жидкости описывается уравнениями движения, содержащими производные по времени только первого порядка. То есть в отличие от механики Ньютона, именно ''скорость'', а не ускорение определяется их взаимным расположением. Как следствие, проблема трёх вихрей всё ещё [[Точно решаемая задача|интегрируема]]<ref>{{Cite journal|last=Aref|first=Hassan|date=1979-03-01|title=Motion of three vortices|url=https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.862605|journal=The Physics of Fluids|volume=22|issue=3|pages=393–400|bibcode=1979PhFl...22..393A|doi=10.1063/1.862605|issn=0031-9171|access-date=2024-03-30|archive-date=2022-12-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20221227114444/https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.862605|url-status=live}}</ref>, хотя для получения хаотического поведения требуется как минимум четыре вихря<ref>{{Cite journal|last=Aref|first=Hassan|last2=Pomphrey|first2=Neil|date=1980-08-18|title=Integrable and chaotic motions of four vortices|journal=[[Physics Letters|Physics Letters A]]|lang=en|volume=78|issue=4|pages=297–300|bibcode=1980PhLA...78..297A|doi=10.1016/0375-9601(80)90375-8|issn=0375-9601}}</ref>. Можно провести параллели между движением пассивной частицы-трассера в поле скоростей трёх вихрей и ограниченной задачей трёх тел механики Ньютона<ref>{{Cite journal|last=Neufeld|first=Z|last2=Tél|first2=T|date=1997-03-21|title=The vortex dynamics analogue of the restricted three-body problem: advection in the field of three identical point vortices|url=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/30/6/043|journal=Journal of Physics A: Mathematical and General|volume=30|issue=6|pages=2263–2280|bibcode=1997JPhA...30.2263N|doi=10.1088/0305-4470/30/6/043|issn=0305-4470|access-date=2024-03-30|archive-date=2022-12-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20221227114438/https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/30/6/043|url-status=live}}</ref>.

Гравитационная задача трёх тел также изучалась в рамках [[Общая теория относительности|общей теории относительности]]. С физической точки зрения релятивистский подход становится необходимым в системах с очень сильными гравитационными полями, например, вблизи [[Горизонт событий|горизонта событий]] [[Чёрная дыра|чёрной дыры]]. Однако релятивистская проблема значительно сложнее, чем в механике Ньютона, и требует [[Численная относительность|сложных численных методов]]. Даже полная [[Задача Кеплера в общей теории относительности|задача двух тел]] (то есть для произвольного соотношения масс) не имеет строгого аналитического решения в общей теории относительности<ref>{{Cite journal|last=Musielak|first=Z. E.|last2=Quarles|first2=B.|year=2014|title=The three-body problem|journal=Reports on Progress in Physics|volume=77|issue=6|page=065901|arxiv=1508.02312|bibcode=2014RPPh...77f5901M|doi=10.1088/0034-4885/77/6/065901|issn=0034-4885|pmid=24913140|s2cid=38140668}}</ref>.

== Задача n тел ==
Задача трёх тел — это частный случай [[Гравитационная задача N тел|задачи {{Mvar|n}} тел]], которая описывает, как {{Mvar|n}} объектов движутся под действием одной из физических сил, например [[Гравитация|гравитации]]. Эти проблемы имеют глобальное аналитическое решение в виде сходящегося степенного ряда, как было доказано [[Зундман, Карл|Карлом Ф. Сундманом]] для {{Math|''n'' {{=}} 3}} и [[Цюдун Ван|Цюдуном Вангом]] для {{Math|''n'' > 3}} (подробности см. В [[Гравитационная задача N тел|задаче {{Mvar|n}} -тел]]). Однако ряды Сундмана и Ванга сходятся настолько медленно, что для практических целей они бесполезны<ref>[[Florin Diacu]]. [http://www.math.uvic.ca/faculty/diacu/diacuNbody.pdf «The Solution of the ''n''-body Problem»] {{Wayback|url=http://www.math.uvic.ca/faculty/diacu/diacuNbody.pdf|date=20160304092935}}, ''[[The Mathematical Intelligencer]]'', 1996.</ref>; поэтому в настоящее время необходимо аппроксимировать решения путём [[Численные методы|численного анализа]] в форме [[Численное интегрирование|численного интегрирования]] или, в некоторых случаях, аппроксимации классическими [[Тригонометрический ряд|тригонометрическими рядами]] (см. [[Моделирование N тел|Моделирование {{Mvar|n}} -тел]]). Атомные системы, например атомы, ионы и молекулы, можно рассматривать в терминах квантовой задачи {{Mvar|n}} тел. Среди классических физических систем проблема {{Mvar|n}} тел обычно относится к [[Галактика|галактике]] или [[Скопление галактик|скоплению галактик]]; планетарные системы, такие как звёзды, планеты и их спутники, также можно рассматривать как системы {{Mvar|n}} -тел. В некоторых приложениях удобно рассматривать теорию [[Возмущение (астрономия)|возмущений]], в которой система рассматривается как задача двух тел плюс дополнительные силы, вызывающие отклонения от гипотетической невозмущенной траектории двух тел.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
 |автор = [[Алексеев, Владимир Михайлович (математик)|Алексеев В. М.]]
 |заглавие = Лекции по небесной механике
 |город = Ижевск
 |издательство = РХД
 |год = 2001
 |страниц = 156
}}
* {{публикация|книга|автор=Дубошин |автор имя=Г. Н. |заглавие=Небесная механика |подзаголовок=Основные методы и задачи |место=М. |издательство=Наука |год=1968 |страниц=800 |часть=Гл. XIV. Задача трех тел |страницы=730–795 |ref=Дубошин }}
* {{книга
 |автор = [[Зигель, Карл Людвиг|Зигель К. Л.]]
 |заглавие = Лекции по небесной механике
 |год = 1959
 |место = М.
 |издательство = ИЛ
 |страниц = 300
}}
* {{книга
 |ref = Маршал
 |автор = Маршал К.
 |заглавие = Задача трёх тел
 |год = 2004
 |место = {{М.}}-Ижевск
 |издательство = Институт компьютерных исследований
 |страниц = 640
 |isbn = 5-93972-387-X
}}
* {{книга|ref=Стюарт|автор=[[Стюарт, Иэн (математик)|Иэн Стюарт]]|заглавие=Величайшие математические задачи|год=2016|место=М.|издательство=Альпина нон-фикшн|страниц=460|isbn = 978-5-91671-507-1}}
* {{БРЭ|Трёх тел зада́ча|автор=Г. И. Ширмин |том=32 |ref=БРЭ}}
* {{БСЭ3|Трёх тел зада́ча|26|193|автор=[[Чеботарёв, Глеб Александрович|Чеботарёв Г. А.]] |ref=БСЭ3}}
* {{книга:БелЭн|15|529|Трох цел зада́ча|Касцюковіч М. М.}}

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* {{cite web |url=https://www.popularmechanics.com/space/solar-system/a36343431/three-body-problem-solved/ |title=Scientists Are Close to Finally Solving the Three-Body Problem|website=[[Popular Mechanics]]|date=2021-05-13}}
* {{Cite journal|last=Chenciner|first=Alain|date=2007|title=Three body problem|journal=[[Scholarpedia]]|volume=2|page=2111|bibcode=2007SchpJ...2.2111C|doi=10.4249/scholarpedia.2111|doi-access=free}}
* [https://www.science.org/content/article/physicists-discover-whopping-13-new-solutions-three-body-problem Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem] (''Science'')
* [https://3body.hk 3body simulator]{{dead link}} — an example of a computer program that solves the three-body problem numerically

{{ВС}}
{{Небесная механика}}

[[Категория:Небесная механика]]
[[Категория:Дифференциальные уравнения]]