Просмотр кода страницы Замечательные точки треугольника

'''Замечательные точки треугольника''' — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В частности, [[Ортоцентр|точка пересечения высот]] может находиться вне треугольника.
Другие замечательные точки треугольника см. в [[Энциклопедия центров треугольника|энциклопедии центров треугольника]].

== Примеры ==
[[Файл:Triangle.Centroid.svg|right|thumb|Центроид — точка пересечения медиан]]
[[Файл:Triangle.Orthocenter.svg|right|thumb|Ортоцентр — точка пересечения высот]]
Замечательными точками треугольника являются
* Точки пересечения:
** [[Медиана треугольника|медиан]] — [[Центроид треугольника|центроид]], [[центр масс|центр тяжести (масс)]];
** [[Биссектриса|биссектрис]] — [[инцентр]] или центр [[Вписанная окружность|вписанной окружности]];
** [[Антибиссектриса|антибиссектрис]] — центр антибиссектрис;
** биссектрис внешних углов — центр [[Вневписанная окружность|вневписанной окружности]];
** [[Высота треугольника|высот]] — [[ортоцентр]];
** [[Серединный перпендикуляр|серединных перпендикуляров]] — центр [[Описанная окружность|описанной окружности]];
** [[Симедиана|симедиан]] — [[точка Лемуана]];
** биссектрис [[серединный треугольник|серединного треугольника]] (его инцентра) — [[Центр Шпикера]];
** [[Кливер треугольника|кливеров треугольника]] — также Центр Шпикера;
** трёх (или даже двух) окружностей, построенных, как на диаметре, на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, — две [[точки Аполлония]];
** отрезков, соединяющих вершины треугольника:
*** c точками касания противоположных сторон и [[Вписанная окружность|вписанной окружности]] — [[точка Жергонна]];
*** c точками касания противоположных сторон и [[Вневписанная окружность|вневписанных окружностей]] — [[точка Нагеля]];
*** c соответствующими свободными вершинами [[Правильный треугольник|равносторонних треугольников]], построенных на сторонах треугольника (наружу) — первая [[точка Торричелли]];
*** с соответствующими свободными вершинами правильных треугольников, построенных внутрь треугольника — вторая [[точка Торричелли]];
*** c соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных исходному треугольнику и построенных на его сторонах — [[точки Брокара]];

== Минимаксные точки треугольника ==
'''Минимаксными (экстремальными) точками треугольника''' называются точки, в которых достигается минимум некоторой функции, например, суммы степеней расстояний до сторон или вершин треугольника<ref>{{статья |автор=Стариков&nbsp;В.&nbsp;Н. |заглавие=Исследования по геометрии. |издание=Сборник публикаций научного журнала ''Globus'' по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург |тип=сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень) |место=СПб. |год=2016 |страницы=97}}</ref>.

Минимаксными точками треугольника являются:

* [[центроид|Точка пересечения трёх медиан]], имеющая наименьшую сумму квадратов расстояний до вершин треугольника ([[Теорема Лейбница (геометрия)|теорема Лейбница]]).
* [[центроид|Точка пересечения трёх медиан]] треугольника является единственной точкой треугольника такой, что проведённые через неё три [[чевиана|чевианы]] разделяют своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. При этом произведение длин трёх из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, ''максимально''<ref>{{книга |автор= [[Зетель, Семен Исаакович|Зетель С. И.]] |название=Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей |издание=2-е изд |место=М. |издательство=Учпедгиз |год=1962 |страницы=12, задача |язык=ru}}</ref>
* [[Точка Торричелли]] (первая), имеющая наименьшую сумму расстояний до вершин треугольника с углами не более <math>120^\circ</math>.
* [[точка Лемуана]], имеющая наименьшую сумму квадратов расстояний до сторон треугольника.
* Основания высот остроугольного треугольника образуют [[ортотреугольник]], имеющий наименьший периметр из всех треугольников, вписанных в данный треугольник.

== Изо-точки и изо-прямые треугольника ==
{{main|Замечательные прямые треугольника}}
'''Изо-точками''' являются точки треугольника, дающие какие-либо равные параметры трёх треугольников, которые образуются при соединении изо-точки отрезками с тремя вершинами треугольника<ref name="Стариков">{{статья |автор=Стариков&nbsp;В.&nbsp;Н. |заглавие=Заметки по геометрии |издание=Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки |тип=сборник научных трудов |выпуск 1 |место=Чебоксары |издательство=ЦДИП «INet» |год=2014 |страницы=37, левая колонка, последний абзац| язык=ru}}</ref>. В результате образуется фигура типа «[[Глаз дракона (символ)|глаз дракона]]» (см. рис.)

=== Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «[[Глаз дракона (символ)|глаз дракона]]» ===
[[Файл:Dragon's Eye symbol Koch.svg|thumb|180px|Глаз дракона]]
Изо-точками треугольника такого типа являются:
* [[ортоцентр]] (даёт три треугольника с тремя равными радиусами трёх описанных около них окружностей),
* [[центроид|точка пересечения медиан]] (даёт три треугольника с тремя равными площадями)
* [[инцентр]] (даёт три треугольника с тремя равными высотами)
* центр [[описанная окружность|описанной окружности]] (даёт три равнобедренных треугольника с тремя равными парами сторон),
* точка равных [[периметр]]ов <math>P</math> или ''изопериметрическая точка'' (даёт три треугольника с тремя равными периметрами<ref>{{cite web |title=Isoperimetric Point and Equal Detour Point |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/isoper.html |lang=en |access-date=2015-09-04 |archive-date=2012-05-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120510141950/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/isoper.html |deadlink=no }}</ref>),
* [[точка Торричелли]] (первая) (даёт три треугольника с тремя равными тупыми углами в <math>120^\circ</math>).
* Точка разбиения треугольника на три треугольника с тремя одинаковыми радиусами вписанных окружностей
* [[Центр Шпикера]] [[треугольник]]а является [[радикальный центр|радикальным центром]] трех его [[Вписанная и вневписанные в треугольник окружности|вневписанных окружностей]]{{sfn|Odenhal|2010|с=35—40}} (имеет три пары равных касательных сразу к трем вневписанным окружностям).

=== Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «[[Трилистник (узел)]]» ===
[[Файл:Blue Trefoil Knot.png |thumb|right|180px|Трилистник(узел)]]
[[Файл:KiepertPoint.svg|300px|right|thumb|180px|Стилизованный трилистник (узел)]]
Изо-точками треугольника такого типа являются (см. рис.):
* [[Центр Шпикера]] <math>S</math> является точкой пересечений прямых <math>AX</math>, <math>BY</math> и <math>CZ</math>, где <math>XBC</math>, <math>YCA</math> и <math>ZAB</math> подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника <math>ABC</math> снаружи, имеющие один и тот же угол у основания <math>\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(A/2)\operatorname{tg}(B/2)\operatorname{tg}(C/2)]</math><ref>{{MathWorld3|Kiepert Hyperbola}}</ref>.
* [[Точки Наполеона|Первая точка Наполеона]] <math>N_1</math>, как и ''центр Шпикера'', является точкой пересечений прямых <math>AX</math>, <math>BY</math> и <math>CZ</math>, где <math>XBC</math>, <math>YCA</math> и <math>ZAB</math> подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника <math>ABC</math> снаружи, имеющие один и тот же угол у основания <math>30^\circ</math>.
* Здесь надо бы перечислить все точки, лежащие на [[Гипербола Киперта|гиперболе Киперта]].

=== Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «[[Традесканция виргинская|Цветок традесканции]]» ===
[[Файл:Spiderwort (Tradescantia virginiana), Roundhay Park.jpg|thumb|180px|Цветок традесканции]]
[[Файл:Trilinear coordinates.svg|thumb|180px|Стилизованный цветок традесканции]]
Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «Цветок традесканции» (см. рис.) следующие:
* [[центроид|точка пересечения медиан]] образует тремя малыми отрезками чевиан три четырёхугольника с равными площадями.
* [[инцентр|точка пересечения биссектрис]] образует тремя перпендикулярами к трём сторонам треугольника три [[четырёхугольник]]а-[[дельтоид]]а с двумя одинаковыми у всех смежными сторонами. Другая пара равных смежных сторон в общем случае у всех разная. У всех трёх дельтоидов есть пара равных противоположных углов в <math>90^\circ</math>. Они — вписанно-описанные четырёхугольники.
* Три окружности, проведённые внутри треугольника через [[Теорема Микеля|точку Микеля]], пересекают стороны треугольника в трёх точках. Три хорды, проведённые через точку Микеля и три точки пересечения трёх окружностей с тремя разными сторонами треугольника, образуют равные углы со сторонами.

=== Изо-точки треугольника, образующие знак типа «[[PN-треугольники|Модель поверхности криволинейного треугольника]]» (см. рис.)===
[[Файл:Cube pic.png|thumb|120px|upright=1.5|Знак типа [[PN-треугольники|Модель поверхности криволинейного треугольника]]]]
[[Файл:Satz von Thomsen.svg|thumb|120px|upright=1.5|Стилизованный знак типа [[PN-треугольники|Модель поверхности криволинейного треугольника]]]]
К числу таких точек относятся:
* Точки [[Окружность Эйлера|окружности Эйлера]]
* Точки в [[Теорема Томсена|теореме Томсена]] 
* Точки в ''теореме Тукера''. Если на рис. к [[Теорема Томсена|теореме Томсена]] справа ниже проводить аналогичную 6-звенную ломаную, последовательно чередуя отрезки параллельные, антипараллельные, параллельные, снова антипараллельные, снова параллельные противоположной текущей стороне и т. д., тогда последний 6-й отрезок вернется в исходную точку, как и в теореме Томсена, и ломаная замкнется. Теорема  Тукера утверждает, что в этом случае 6 точек ломаной, лежащих на сторонах треугольника, будут лежать на ''окружности Тукера''<ref>[[Зетель, Семен Исаакович|Зетель С. И]]. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. с. 92. параграф 74.</ref><ref>Мякишев А. Г. Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора// Архимед: научно-методический сборник. 2011. Вып. 7. с. 83// https://www.mathedu.ru/text/arhimed_2011_v7/p83/</ref>

=== Изо-точки треугольника, образующие знак типа «[[Символы опасности|Опасно. Радиоактивные вещества или ионизирующее излучение]]» (см. рис.) ===
[[Файл:Radioactive.svg|thumb|120px|right|Знак «Опасно. Радиоактивные вещества или ионизирующее излучение»]]
Изо-точками треугольника такого типа являются:
* [[точка Лемуана]] (точка равных антипараллелей) — точка обладающая свойством: проведённые через неё три антипараллели (линии, антипараллельные трём сторонам треугольника) дают внутри треугольника три отрезка равной длины.
* '''точка равных [[Параллельность|параллелей]]''' (Equal Parallelians Point)<ref>{{cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/eqparal.html |title=Equal Parallelians Point |lang=en |access-date=2015-09-04 |archive-date=2012-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120516140424/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/eqparal.html |deadlink=no }}</ref>. В некотором смысле аналогична [[Точка Лемуана|точке Лемуана]]. Точка обладает свойством: проведённые через неё три параллели (линии, параллельные трём сторонам треугольника) дают внутри треугольника три отрезка равной длины.
* Точка конгруэнтности Иффа (англ. Yff Center of Congruence)
* '''точка пересечения 3 [[антибиссектриса|антибиссектрис]] треугольника'''.  Если через эту точку провести 3 прямые, [[Параллельность|параллельные]] сторонам треугольника, то они отсекут на сторонах треугольника 3 равных внутренних (серединных) отрезка.
* Другая формулировка последнего утверждения: Отрезки сторон треугольника, заключенные между прямыми, проведёнными через центр антибиссектрис параллельно трем сторонам, равны между собой.

=== Другие изо-точки треугольника, образующие чевианы общего вида ===
* '''точки Скутина''' — точки равных чевиан треугольника. ''Теорема Скутина'' утверждает, что три отрезка прямых или [[Чевиана|чевианы]], проведённые внутри треугольника через три его вершины и через любой [[Фокус (геометрия)|фокус]] описанного ''[[эллипс Штейнера|эллипса Штейнера]]'', равны между собой. Эти фокусы часто называют ''точками Скутина''.

=== Изо-прямые ===
'''Изо-прямыми''' (''изо-линиями'') треугольника являются прямые, которые разрезают данный треугольник на два треугольника, имеющие какие-либо равные параметры<ref name="Стариков" />. Изо-прямыми треугольника являются:
* [[Медиана треугольника]] делит противоположную сторону пополам и разрезает треугольник на два треугольника с равными площадями.
* [[Биссектриса]] (''Биссектор'') треугольника делит пополам угол, из вершины которого она выходит.
* [[Высота]] треугольника пересекает противоположную сторону (или её продолжение) под прямым углом (то есть образует два равных угла со стороной по обе стороны от неё) и разрезает треугольник на два треугольника с равными (прямыми) углами.
* [[Симедиана]] — геометрическое место точек внутри треугольника, выходящее из одной вершины, дающее два равных отрезка, антипараллельных двум сторонам, пересекающимся в этой вершине, и ограниченных тремя сторонами.
* [[Кливер треугольника]] разбивает ''периметр пополам''. [[Кливер треугольника]] — это отрезок, один конец которого находится в середине одной из сторон треугольника, второй конец находится на одной из двух оставшихся сторон. Кроме того, кливер параллелен одной из биссектрис угла. Каждый из кливеров проходит через центр масс периметра треугольника ABC, так что все три кливера пересекаются в [[центр Шпикера|центре Шпикера]].
* Также разбивает ''периметр пополам'' отрезок, соединяющий точку касания стороны треугольника и вневписанной окружности с вершиной, противоположной данной стороне. Три таких отрезка треугольника, проведённые из трёх его вершин, пересекаются в [[точка Нагеля|точке Нагеля]]. Иными словами, этот отрезок есть ''чевиана'' [[точка Нагеля|точки Нагеля]]. (''Чевиану точки Нагеля'' в английской литературе иногда называют ''сплиттером'' (splitter) или ''делителем пополам периметра''. К ''сплиттеру'' они относят и ''кливер'').
* ''Эквалайзер'' (equalizer) или уравниватель (выравниватель) — отрезок прямой, разрезающий треугольник на две фигуры одновременно равных площадей и периметров<ref>{{citation
 | last = Kodokostas | first = Dimitrios
 | doi = 10.4169/002557010X482916
 | issue = 2
 | journal = [[Mathematics Magazine]]
 | pages = 141–146
 | title = Triangle equalizers
 | volume = 83
 | year = 2010}}.</ref>
* Немного об ''эквалайзере'' (equalizer). Любая прямая (''эквалайзер''), проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна.<ref>{{статья
|автор=Dimitrios Kodokostas
|заглавие=Triangle Equalizers
|издание=Mathematics Magazine
|выпуск=83, April 
|год=2010
|страницы=141—146.
}}</ref>

=== Замечание об изо-прямых треугольника ===
В английской литературе вводится понятие ''бисекции'' (Bisection), как разделение чего-либо на две равные части. Например равнобедренного треугольника на два равных, отрезка прямой на два равных, плоского угла на два равных. Соответствующие линии будут являться частным случаем изо-прямых (изо-линий) треугольника.

=== Прямые <math>n</math> ===
Важным частным случаем изо-прямых являются так называемые ''прямые <math>n</math>'' треугольника. Прямая <math>n</math> треугольника, исходящая из его вершины, делит противоположную сторону в отношении <math>n</math>-х степеней прилежащих к ней двух сторон<ref>{{книга |автор= [[Зетель, Семен Исаакович|Зетель С. И.]] |название=Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей |издание=2 изд |место=М. |издательство=Учпедгиз |год=1962 |страницы=120—125, задача, параграфы 109—113 |язык=ru}}</ref>. Важными частными случаями прямых <math>n</math> являются:
* [[медиана треугольника|медиана]] (<math>n=0</math>),
* [[биссектриса]] (биссектор) (<math>n=1</math>),
* [[антибиссектриса]] (<math>n=-1</math>),
* [[симедиана]] (<math>n=2</math>),
* прямая кубов (<math>n=3</math>).
Для прямых <math>n</math> треугольника очень просто найти в общем виде некоторые свойства. Например, для прямой <math>n</math> изогонально сопряжённой будет прямая <math>(2-n)</math>, а изотомически сопряжённой будет прямая <math>-n</math>.

== Замечание ==
[[Барицентрические координаты]] центра, записанные через стороны (или тригонометрические функции углов) треугольника, дают возможность перевести многие задачи о центрах треугольника на алгебраический язык. Например, выяснить, задают ли два определения один и тот же центр или лежат ли три данных центра на одной прямой.

Можно использовать и [[трилинейные координаты]] центра, очень просто связанные с [[Барицентрические координаты|барицентрическими координатами]]. Однако, например, изогонально сопряжённые точки в трилинейных координатах выражаются проще.

== Вариации и обобщения ==
* Рассматривают пары центров. Например,
** [[точки Брокара]];
** [[Точки Аполлония]]. Для всякого невырожденного треугольника <math>ABC</math> можно построить [[окружность Аполлония]] к стороне <math>AB</math>, проходящую через точку <math>C</math>. Окружности, построенные таким образом к трём сторонам, будут пересекаться в двух точках — внутренней и внешней Аполлония соответственно.

== Недавно открытые точки (центры) треугольника ==
{{mainref|http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/index.html}}

* Точка конгруэнтности Иффа ({{lang-en|Yff Center of Congruence}})<ref>{{Cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/yffcc.html |title=Yff Center Of Congruence<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2015-09-04 |archive-date=2012-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120516140952/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/yffcc.html |deadlink=no }}</ref>
* Перспектор Госсарда ({{lang-en|Gossard Perspector}})<ref>{{Cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html |title=Gossard Perspector<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2015-09-04 |archive-date=2012-05-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120510142023/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html |deadlink=no }}</ref>
* Средняя точка ({{lang-en|Mittenpunkt}})<ref>{{Cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/mitten.html |title=Mittenpunkt<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2015-09-04 |archive-date=2015-08-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150805120152/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/mitten.html |deadlink=no }}</ref>
* 1-я и 2-я [[Окружности Мальфатти#Точки Адзимы — Мальфатти|точки Аджима-Мальфатти]] ({{lang-en|1ST AND 2ND Ajima-Malfatti Points}})<ref>{{Cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/ajmalf.html |title=1ST AND 2ND AJIMA-MALFATTI POINTS<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2015-09-04 |archive-date=2015-08-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150805120217/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/ajmalf.html |deadlink=no }}</ref>
* [[Точка Аполлония]] — не путать с [[Точки Аполлония|точками Аполлония]]<ref>{{Cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/apollon.html |title=Apollonius Point<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2015-09-04 |archive-date=2012-05-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120510142037/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/apollon.html |deadlink=no }}</ref>
* Точки Бейли ({{lang-en|Bailey Point}})<ref>{{Cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/bailey.html |title=Bailey Point<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2015-09-04 |archive-date=2015-08-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150806073444/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/bailey.html |deadlink=no }}</ref>
* Точки Гофштадтера ({{lang-en|Hofstadter Points}})<ref>{{Cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/hofstad.html |title=Hofstadter Points<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2015-09-04 |archive-date=2012-05-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120510142013/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/hofstad.html |deadlink=no }}</ref>
* Изо-скелизерно-конгруэнтная точка ({{lang-en|Congruent Isoscelizers Point}})<ref>{{Cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/conisos.html |title=Congruent Isoscelizers Point<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2015-09-04 |archive-date=2012-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120516140357/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/conisos.html |deadlink=no }}</ref>
* 1-я и 2-я точки Морлея, связанные с [[Теорема Морли|треугольником Морлея]] ({{lang-en|1ST AND 2ND Morley Centers}})<ref>{{Cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/morley.html |title=Morley Centers<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2015-09-04 |archive-date=2012-12-13 |archive-url=https://archive.today/20121213004636/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/morley.html |deadlink=no }}</ref>
* Точка Пэрри ({{lang-en|Parry Point}})<ref>{{Cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/parry.html |title=Parry Point<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2015-09-04 |archive-date=2012-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120516140442/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/parry.html |deadlink=no }}</ref>
* Точка равного периметра и равного обхода ({{lang-en|Isoperimetric Point and Equal Detour Point}})<ref>{{Cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/isoper.html |title=Isoperimetric Point And Equal Detour Point<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2015-09-04 |archive-date=2012-05-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120510141950/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/isoper.html |deadlink=no }}</ref>
* Точки равных параллелей ({{lang-en|Equal Parallelians Point}})<ref>{{Cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/eqparal.html |title=Equal Parallelians Point<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2015-09-04 |archive-date=2012-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120516140424/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/eqparal.html |deadlink=no }}</ref>
* [[Точка Шиффлера]] ({{lang-en|Schiffler Point}})<ref>{{Cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/schiff.html |title=Schiffler Point<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2015-09-04 |archive-date=2015-08-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150805120341/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/schiff.html |deadlink=no }}</ref>
* [[Эксетерская точка]]<ref>{{Cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/exeter.html |title=Exeter Point<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2015-09-04 |archive-date=2012-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120516140611/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/exeter.html |deadlink=no }}</ref>
* Точка разбиения треугольника на три треугольника с тремя одинаковыми радиусами трех вписанных окружностей<ref>Стариков В.Н. 9-е исследование по геометрии (§ Решение задачи о чевиане, разбивающей 3-к на 2 3-ка с одинаковыми вписанными окружностями)// Научный рецензируемый  электронный журнал МГАУ "Наука и образование". 2020. № 1. 7 с.// http://opusmgau.ru/index.php/see/issue/ view/1603</ref>

== См. также ==
* [[Глоссарий планиметрии]]
* [[Энциклопедия центров треугольника]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав. ред. М. Д. Аксёнова. — М.: Аванта+, 2001. — 688 c.
* {{книга|автор=А. Г. Мякишев|заглавие=Элементы геометрии треугольника|ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.19.pdf|место=М.|издательство=МЦНМО|год=2002}}
* {{статья
 |заглавие = Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles
 |издание = Forum Geometricorum
 |url = http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201006.pdf
 |том = 10
 |год = 2010
 |автор = Boris Odenhal
 |ref = Odenhal
}}

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20141023084427/http://home-edu.ru/user/f/00000568/zpt/head.htm Замечательные точки треугольника]
* [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Энциклопедия центров треугольника] {{Wayback|url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |date=20120419171900 }}{{ref-en}}

{{Треугольник}}

[[Категория:Замечательные точки треугольника| ]]