Просмотр кода страницы Звезда (геометрия)

{{Другие значения|Звезда (значения)}}
{{переработать|дата=2015-03-29}}{{короткая преамбула|дата=2021-06-17}}{{плохое оформление|дата=2021-06-17}}
{{нет источников|дата=2021-06-17}}
'''Звезда''' — вид плоских [[Выпуклое множество|невыпуклых]] [[многоугольник]]ов, не имеющий однозначного математического определения.

== Звёздчатый многоугольник ==
[[Файл:Pentagram in pentagon.svg|thumb|[[Пятиконечная звезда]] {5/2}, вписанная в правильный [[пятиугольник]] {5/1}]]
[[Файл:8-вершинная звезда.png|thumb|300px|right|Правильная 8-вершинная звезда, вписанная в правильный 8-угольник]]

'''Звёздчатый многоугольник''' — [[многоугольник]], у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами [[правильный многоугольник|правильного многоугольника]]. Стороны звёздчатого многоугольника могут пересекаться между собой. Существует множество звёздчатых многоугольников или '''звёзд''', среди них [[пентаграмма]], [[Гексаграмма (символ)|гексаграмма]], две [[Правильный семиугольник|гептаграммы]], [[октаграмма]], [[декаграмма]], [[додекаграмма]].

Звёздчатые многоугольники можно получить, продолжая одновременно все стороны правильного многоугольника после их пересечения в его вершинах до их следующего пересечения в точках, которые и являются вершинами звёздчатого многоугольника. Полученный звёздчатый многоугольник будет '''звёздчатой формой''' правильного многоугольника, из которого он получен. Вершинами звёздчатого многоугольника будут считаться только точки, в которых сходятся стороны этого многоугольника, но не точки пересечения этих сторон; звёздчатая форма данного многоугольника имеет столько же вершин, сколько он сам. Указанную операцию невозможно проделать с правильным треугольником и квадратом, так как после продления их стороны более не пересекаются; среди правильных многоугольников звёздчатые формы имеют только многоугольники с числом сторон более четырёх. Звёздчатой формой правильного пятиугольника (пентагона) является [[пентаграмма]].

В ином способе получить звёздчатую форму [[Правильный многоугольник|правильного '''n'''-угольника]] каждая его вершина соединяется с ''m''-й от неё на окружности по часовой стрелке. Звезда, полученная таким образом, обозначается как '''{n/m}'''.
При этом точки пересечения сторон между собой не рассматриваются как вершины. Такая звезда имеет ''n'' вершин и ''n'' сторон, также как и правильный '''n'''-угольник.

Соотношение радиусов 2 окружностей правильной звезды с вышеприведённым вариантом построения: внешней (на которой лежат вершины углов лучей звезды) и внутренней (на которой лежат точки пересечения сторон соседних лучей) вычисляется по формуле:

<math>\frac{\cos\left(\frac{\pi}{n}\times m\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\times (m-1)\right)}</math>

Звёзды могут быть '''связными''' (нераспадающимися едиными многоугольниками), не являясь соединениями других правильных или звёздчатых многоугольников (как в случае с пентаграммой), а могут быть '''несвязными''', распадаясь на несколько одинаковых правильных многоугольников или связных звёзд (примером чему служит звёздчатая форма шестиугольника — [[Гексаграмма (символ)|гексаграмма]], являющаяся соединением двух треугольников).

У правильного многоугольника может быть несколько звёздчатых форм, количество которых зависит от того, сколько раз его стороны пересекаются между собой после их продления, примером чего является семиугольник, имеющий 2 звёздчатые формы (два вида семиконечной звезды).

{| class="standard"
! Количество вершин правильного многоугольника 
! Количество звёздчатых форм правильного многоугольника 
! Количество нераспадающихся (связных) звёздных многоугольников среди звёздчатых форм 
! Количество вершин правильного многоугольника, расположенных между двумя вершинами звёздного многоугольника 
|-
| 5 
| 1 
| 1 
| 1 
|-
| 6 
| 1 
| 0 
|  
|-
| 7 
| 2 
| 2 
| 2; 3 
|-
| 8 
| 2 
| 1 
| 2 
|-
| 9 
| 3 
| 2 
| 1; 3 
|-
| 10 
| 3 
| 1 
| 2 
|-
| 11 
| 4 
| 4 
| 1; 2; 3; 4 
|-
| 12 
| 4 
| 1 
| 4 
|}

[[Файл:Regulaj stelaj plurlateroj.png|thumb|left|600px|Двумерное дискретное множество звёзд.<br>Пурпурные — выпуклые многоугольники.<br>Зелёные — связные звёзды [[Символ Шлефли|{n/m}]] (где ''n'' и ''m'' [[взаимно простые числа]]), см. также [[Фигуры Лиссажу]].<br>Чёрные — не связные звёзды [[Символ Шлефли|{n/m}]] (где ''n'' и ''m'' '''не''' [[взаимно простые числа]]).<br>Синие прямые соединяют многоугольник (выпуклый или связную звезду) со всеми не связными звёздами, являющимися соединениями (после поворота) разного количества одинаковых многоугольников, таких же как этот]]
{{clear}}

== Вершинно-транзитивный многоугольник ==
[[Файл:Etoile à quatre branches.svg|frame|Правильная четырёхконечная звезда]]
{{main|Изотоксальная фигура#Изотоксальные многоугольники}}
{{пустой раздел|дата=2021-09-01}}

== См. также ==
* [[Звёздчатый многогранник]]
* [[Звёздная область]]
* [[Пифагорейский пентакл]]
* [[Пентаграмма]]
* [[Октаграмма]]
* [[Ромб]]
* [[Эннеаграмма (геометрия)]]
* [[Правильный семиугольник]]
* [[Моравская звезда]]

== Ссылки ==
* {{книга
|автор= [[Веннинджер, Магнус|М. Веннинджер]].
|заглавие=Модели многогранников
|год=1974
|город=Москва
|издательство=Мир
|ссылка=http://wenninger.narod.ru/part2/stellaplaton.html }}{{ref-ru}}

{{Многоугольники}}

[[Категория:Многоугольники]]