Просмотр кода страницы Изогения

'''Изогения''' — это [[Теория категорий|морфизм]] [[Алгебраическая группа|алгебраических групп]], являющийся сюръективным и имеющий конечное ядро.

Если группами служат абелевы многообразия, то любой морфизм <math>f : A \rightarrow B</math> лежащего в основе [[Алгебраическое многообразие|алгебраического многообразия]], являющегося сюръективным с конечными слоями, автоматически является изогенией, обеспечивая <math>f(1_A) = 1_B</math>. Такая изогения ''f'' даёт [[гомоморфизм групп]] между группами ''k''-значных точек<ref>Если ''X'' — предсхема, то морфизмы из ''S'' в ''X'', то есть элементы <math>h_X(S)</math>, будут называться ''S-значными точками X'' или ''S-рациональными точками X'' ({{sfn0|Мамфорд|1968|p=29}}).</ref> многообразий ''A'' и ''B'' для любого поля ''k'', над которым ''f'' определено.

Термины «изогения» и «изогенный» происходят от греческого слова {{lang-el2|ισογενη-ς}}, означающего «равный в некотором смысле». Термин «изогения» ввёл [[Вейль, Андре|Андре Вейль]], до этого вместо термина «изогения» использовался запутывающий термин «изоморфизм».

== Случай абелевых многообразий ==
[[Файл:Lattice torsion points.svg|right|thumb|300px|Изогенные эллиптические кривые к многообразию ''E'' можно получить факторизцией ''E'' по конечным подгруппам, которые представлены как подгруппы 4-кручения]]

Для [[Абелево многообразие|абелевых многообразий]], таких как [[Эллиптическая кривая|эллиптические кривые]], это понятие можно сформулировать следующим образом:

Пусть ''E''<sub>1</sub> и ''E''<sub>2</sub> — абелевы многообразия одинаковой размерности над полем ''k''. Изогения между ''E''<sub>1</sub> и ''E''<sub>2</sub> — это плотный морфизм <math>f : E_1 \to E_2</math> многообразий, сохраняющий базовые точки (то есть ''f'' отображает единицу на ''E''<sub>1</sub> и единицу на ''E''<sub>2</sub>){{sfn|Курносов|2016|с=69}}.

Это эквивалентно вышеприведённому понятию, поскольку любой плотный морфизм<ref>Плотный морфизм — это морфизм с плотным образом ({{sfn0|Nica|2010|p=2}}).</ref> между двумя абелевыми многообразиями одной и той же размерности является автоматически сюръективным и имеет конечные слои, а если он сохраняет единицы, то он является гомоморфизмом групп.

Два абелевых многообразия ''E''<sub>1</sub> и ''E''<sub>2</sub> называются '''изогенными''', если существует изогения <math>E_1 \to E_2</math>. Это соотношение эквивалентности, симметричное ввиду существования {{не переведено 5|Двойственное абелево многообразие|двойственной изогении||dual isogeny}}. Как и выше, любая изогения индуцирует гомоморфизм групп ''k''-значных точек абелевых многообразий.

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{книга
|ref=Lang
|автор=[[Ленг, Серж|Serge Lang]]
|год=1983
|заглавие= Abelian Varieties
|издательство=Springer Verlag
 |isbn=3-540-90875-7
}}
* {{книга
|автор=[[Мамфорд, Дэвид|David Mumford]]
|ref= Mumford
|год=1974
|заглавие= Abelian Varieties
|ссылка=https://archive.org/details/abelianvarieties0000mumf
|издательство=Oxford University Press
|isbn=0-19-560528-4
}}
* {{книга
|автор= Курносов Никон Михайлович
|ref= Курносов
|заглавие= Числа Бетти и трианалитические подмногообразия гиперкэлеровых многообразий 
|серия=Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
|место=Москва
|год=2016
}}
* {{книга
|автор=[[Мамфорд, Дэвид|Мамфорд Д.]]
|ref= Мамфорд
|заглавие=Лекции о кривых на алгебраической поверхности.  
|серия=Библиотека сборника «Математика»
|ответственный=Под редакцией Ю. И. Манина. Перевод с английского А. А. Бельского
|издательство=«Наука»
|Место=Москва
|год=1968
}}
* {{статья
|автор= Bogdan Nica
|ref=Nica
|заглавие= SPECTRAL MORPHISMS, K-THEORY, AND STABLE RANKS
|год=2010
|ссылка=https://arxiv.org/pdf/1005.2987.pdf
|arXiv=1005.2987v1
}}
{{refend}}

{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Морфизмы схем]]