Просмотр кода страницы Икосаэдр

[[Файл:Icosahedron.svg|thumb|Выпуклый [[правильный икосаэдр]]]]
[[Файл:Icosahedron-spinoza.jpg|мини|Деталь памятника [[Спиноза, Бенедикт|Спинозе]] в Амстердаме]]
'''Икосаэдр''' ('''двадцатигранник'''; от {{lang-grc|εἴκοσι}} — двадцать и ἕδρα — площадка{{sfn|Jones|2003}}) — это [[многогранник]] с 20 гранями.

Существует бесконечно много [[Подобие|непохожих]] икосаэдров, некоторые из которых имеют больше симметрий, другие меньше. Наиболее известен ([[Выпуклый многогранник|выпуклый]], [[Образование звёздчатой формы|незвёздчатый]]) [[правильный икосаэдр]] — один из [[Правильный многогранник|правильных многогранников]], гранями которого являются 20 [[Правильный треугольник|правильных треугольников]].

== Правильный икосаэдр ==
{| class=wikitable align=right
|+ Два вида правильных икосаэдров
|- align=center
|[[Файл:Icosahedron.png|150px]]<br>Выпуклый [[правильный икосаэдр]]
|[[Файл:Great icosahedron.png|150px]]<br>[[Большой икосаэдр]]
|}
Имеется два тела, одно выпуклое и одно невыпуклое, оба из которых называются правильными икосаэдрами. Оба имеют 30 рёбер и 20 граней в виде [[Правильный треугольник|правильных треугольников]], которые сходятся по 5 в каждой из его 12 вершин. Оба имеют [[Икосаэдральная симметрия|икосаэдральную симметрию]]. Термин «правильный икосаэдр» обычно относится к выпуклому виду, а невыпуклая форма называется ''большим икосаэдром''.

=== Выпуклый правильный икосаэдр ===
{{Основная статья|Правильный икосаэдр}}
Под выпуклым правильным икосаэдром обычно понимается ''правильный икосаэдр'', один из пяти [[Правильный многогранник|правильных многогранников]], и он представлен [[Символ Шлефли|символом Шлефли]] {3, 5}. Многогранник имеет 20 треугольных граней по 5 граней в каждой вершине.

Его [[Двойственный многогранник|двойственным многогранником]] является правильный [[Двенадцатигранники|додекаэдр]] {5, 3}, имеющий три правильных пятиугольных грани вокруг каждой вершины.

=== Большой икосаэдр ===
{{Основная статья|Большой икосаэдр}}
[[Большой икосаэдр]] является одним из четырёх звёздчатых тел [[Тело Кеплера — Пуансо|Кеплера — Пуансо]]. Его [[Символ Шлефли]] равен <math display="inline">\left \{ 3,\frac{5}{2} \right \}</math>. Подобно выпуклому виду он имеет также 20 граней в виде правильных треугольников, но его вершинной фигурой служит [[пентаграмма]], а не пятиугольник, что приводит к геометрически пересекающимся граням. Пересечения треугольников не представляют новых рёбер.

Его [[Двойственный многогранник|двойственным многогранником]] является [[большой звёздчатый додекаэдр]] <math display="inline">\left \{ \frac{5}{2}, 3 \right \}</math>, имеющий три правильных звёздчатых пятиугольных грани вокруг каждой вершины.

== Звёздчатые формы икосаэдра ==
[[Образование звёздчатой формы]] — это процесс расширения граней или рёбер многогранника, пока они не соприкоснутся с образованием нового многогранника. Это осуществляется симметрично так, что результирующее тело сохраняет все симметрии родительского тела.

В книге «[[Пятьдесят девять икосаэдров]]» (The Fifty-Nine Icosahedra) Коксетера с соавторами перечислено 58 таких звёздчатых форм правильного икосаэдра.

Из них многие имеют отдельную грань в каждой из 20 плоскостей, а потому являются также икосаэдрами. Большой икосаэдр среди них.

Другие звёздчатые формы имеют более одной грани на каждой плоскости или формируются как соединение более простых многогранников. Они не являются, строго говоря, икосаэдрами, хотя и упоминаются часто как таковые.
{{Звёздчатые формы икосаэдра}}

== Пиритоэдральная симметрия ==
{| class=wikitable align=right width="320"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|Пиритоэдральная и тетраэдральная симметрии
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграммы Коксетера]]||{{CDD|node_h|3|node_h|4|node}} (пираэдральная) [[Файл:Uniform polyhedron-43-h01.svg|24px]]<br>{{CDD|node_h|3|node_h|3|node_h}} (тетраэдральный) [[Файл:Uniform polyhedron-33-s012.svg|24px]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Символ Шлефли]]||s{3,4}<br>sr{3,3} или <math>s\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Грань (геометрия)|Грани]]||20 треугольников:<br>8 правильных<br>12 равнобедренных
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Ребро (геометрия)|Рёбра]]||30 (6 коротких + 24 длинных)
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Вершина (геометрия)|Вершины]]||12
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Список групп сферической симметрии# Симметрии многогранников|Группа симметрии]]||[[Пиритоэдральная симметрия|T<sub>h</sub>]], [4,3<sup>+</sup>], (3*2), порядок 24
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Точечная группа в трёхмерном пространстве#Группы вращений|Группы вращений]]||[[Тетраэдральная симметрия|T<sub>d</sub>]], [3,3]<sup>+</sup>, (332), порядок 12
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Двойственный многогранник]]||[[Пентагондодекаэдр|пиритоэдр]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Свойства||[[Выпуклое множество|выпуклый]]
|-
!colspan=2|[[Файл:Pseudoicosahedron flat.png|200px]]<br>[[Развёртка многогранника|Развёртка]]
|-
| colspan=2|
{| width=320px align=right
|[[Файл:Icosahedron in cuboctahedron.png|220px]]
|[[Файл:Icosahedron in cuboctahedron net.png|100px]]
|-
|colspan=2|Правильный икосаэдр топологически идентичен [[кубооктаэдр]]у с 6 квадратными гранями, разбитыми по диагоналям.
|}
|}
''Правильный икосаэдр'' может быть искривлён или размечен так, что он будет обладать более низкой [[Тетраэдральная симметрия|пироэдральной]] симметрией{{r|Baez}} и он называется '''плосконосым октаэдром''', '''плосконосым тетратетраэдом''', '''плосконосым тетраэдром''' и '''псевдоикосаэдром'''. Его можно рассматривать как {{не переведено 5|Альтернирование (геометрия)|альтернированный||alternation (geometry)}} [[усечённый октаэдр]]. Если все треугольники [[Правильный треугольник|правильные]], симметрии можно различить путём раскраски 8 и 12 наборов треугольников различным образом.

[[Пиритоэдральная симметрия]] имеет символ (3*2), [3<sup>+</sup>,4] и порядок 24. [[Тетраэдральная симметрия]] имеет символ (332), [3,3]<sup>+</sup> и порядок 12. Эти низкие симметрии позволяют искривление из 20 равносторонних треугольных граней, получая 8 правильных треугольников и 12 конгруэнтных [[Равнобедренный треугольник|равнобедренных треугольников]].

Эти симметрии дают [[Диаграммы Коксетера — Дынкина|диаграммы Коксетера]]: {{CDD|node|4|node_h|3|node_h}} и {{CDD|node_h|3|node_h|3|node_h}} соответственно, и оба обладают более низкой симметрией, чем [[Икосаэдральная симметрия|симметрии]] {{CDD|node_1|3|node|5|node}}, (*532), [5,3] порядка 120 [[правильный икосаэдр|правильного икосаэдра]].

=== Декартовы координаты ===
[[Файл:Truncated octahedron internal rectangles.png|150px|thumb|left|Построение из вершин [[Усечённый октаэдр|усечённого октаэдра]], показаны внутренние прямоугольники.]]
Координаты 12 вершин могут быть заданы векторами, определёнными всеми положительными циклическими перестановками и изменениям знака координат вида (2, 1, 0). Эти [[Усечённый октаэдр#Координаты|координаты]] представляют [[усечённый октаэдр]] с {{не переведено 5|Альтернирование (геометрия)|альтернированным||alternation (geometry)}} удалением вершин.

Это построение называется ''плосконосым тетраэдром'', если образовано из вектора (''ϕ'', 1, 0), где ''ϕ'' является [[Золотое сечение|золотым сечением]]{{r|Baez}}.

=== Икосаэдр Йессена ===
[[Файл:Jessen icosahedron with snub icosahedron.png|240px|left|thumb|Правильный икосаэдр и икосаэдр Йессена.]]
{{Основная статья|Икосаэдр Йессена}}
В икосаэдре Йессена, который иногда называют ''ортогональным икосаэдром Йессена'', 12 равнобедренных граней расположены иначе, так что образуют невыпуклое тело. Он имеет [[Прямой угол|прямые]] [[Двугранный угол|двугранные углы]].

Он [[Третья проблема Гильберта|равносоставлен]] с кубом, что значит, что его можно разрезать на более мелкие многогранники, из которых можно составить полный куб.
{{Clear}}

== Другие икосаэдры ==
[[Файл:Rhombic icosahedron.png|thumb|{{не переведено 5|Ромбоикосаэдр|||Rhombic icosahedron}}]]

=== Ромбоикосаэдр ===
{{Основная статья|Ромбоикосаэдр}}
{{не переведено 5|Ромбоикосаэдр|||Rhombic icosahedron}} является [[зоноэдр]]ом, состоящим из 20 равных ромбов. Он может быть получен из [[ромботриаконтаэдр]]а путём удаления 10 средних граней. Хотя все грани конгруэнтны, ромбоикосаэдр не [[Изоэдральное тело|гране транзитивен]].

=== Симметрии пирамиды и призмы ===
Общие симметрии икосаэдра с пирамидами и призмами:
* 19-угольная [[Пирамида (геометрия)|пирамида]] (плюс 1 основание = 20).
* 18-угольная [[Призма (геометрия)|призма]] (плюс 2 основания = 20).
* 9-угольная [[антипризма]] (2 набора по 9 сторон + 2 основания = 20).
* 10-угольная [[бипирамида]] (2 набора по 10 сторон = 20).
* 10-угольный [[трапецоэдр]] (2 набора по 10 сторон = 20).

=== Правильногранные многогранники ===
Некоторые [[Правильногранный многогранник|правильногранные многогранники]] являются икосаэдрами{{r|MW}}:
даны обозначения Джонсона и [[Правильногранный многогранник|Залгаллера]]
{| class=wikitable width=720	
!J<sub>22</sub> (М<sub>4</sub>+А<sub>6</sub>)
!J<sub>35</sub> (М<sub>4</sub>+П<sub>6</sub>+М<sub>4</sub>)
!J<sub>36</sub> (М<sub>4</sub>+П<sub>6</sub>+<U>М</U><sub>4</sub>)
!J<sub>59</sub> (М<sub>3</sub>+М<sub>15</sub>+М<sub>3</sub>)
!J<sub>60</sub> (М<sub>15</sub>+2М<sub>3</sub>)
!J<sub>92</sub> (М<sub>20</sub>)
|- align=center valign=top
|[[Файл:Gyroelongated triangular cupola.png|120px]]<br>[[Скрученно удлинённый трёхскатный купол]]
|[[Файл:Elongated triangular orthobicupola.png|120px]]<br>[[Удлинённый трёхскатный прямой бикупол]]
|[[Файл:Elongated triangular gyrobicupola.png|120px]]<br>[[Удлинённый трёхскатный повёрнутый бикупол]]
|[[Файл:Parabiaugmented dodecahedron.png|120px]]<br>[[Дважды противоположно наращённый додекаэдр]]
|[[Файл:Metabiaugmented dodecahedron.png|120px]]<br>[[Дважды косо наращённый додекаэдр]]
|[[Файл:Triangular hebesphenorotunda.png|120px]]<br>[[Уплощённая треугольная клиноротонда]]
|-
|[[Файл:Johnson solid 22 net.png|120px]]
|[[Файл:Johnson solid 35 net.png|120px]]
|[[Файл:Johnson solid 36 net.png|120px]]
|[[Файл:Johnson solid 59 net.png|120px]]
|[[Файл:Johnson solid 60 net.png|120px]]
|[[Файл:Johnson solid 92 net.png|120px]]
|- align=center valign=top
|16 треугольников<br>3 квадрата<br> <br>1 шестиугольник
|8 треугольников<br>12 квадратов
|8 треугольников<br>12 квадратов
|10 треугольников<br> <br>10 пятиугольников
|10 треугольников<br> <br>10 пятиугольников
|13 треугольников<br>3 квадрата<br>3 пятиугольника<br>1 шестиугольник
|}

== См. также ==
* [[Ромботриаконтаэдр]]

== Примечания ==
{{примечания|refs=
<ref name="MW">[http://mathworld.wolfram.com/Icosahedron.html Icosahedron] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Icosahedron.html |date=20201208124943 }} on Mathworld.</ref>
<ref name=Baez>{{cite web|url=http://math.ucr.edu/home/baez/golden.html|title=Fool's Gold|author=John Baez|date=2011-09-11|access-date=2019-08-05|archive-date=2018-05-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20180519002756/http://math.ucr.edu/home/baez/golden.html|deadlink=no}}</ref>}}

== Литература ==
* {{книга
|ref=Jones
|автор=Daniel Jones
|заглавие=English Pronouncing Dictionary
|ссылка=https://archive.org/details/englishpronounci0000jone_n4n5
|ответственный=Peter Roach, James Hartmann, Jane Setter
|место=Cambridge
|издательство=Cambridge University Press
|orig-year=1917
|год=2003
|isbn=3-12-539683-2
}}

{{Многогранники}}
{{rq|checktranslate|style}}
[[Категория:Геодезические многогранники]]
[[Категория:Графы, имеющие собственные названия]]