Просмотр кода страницы Иррациональное число

{{вещественные константы}}
'''Иррациона́льное число́''' — [[вещественное число]], которое не является [[рациональное число|рациональным]], то есть не может быть представлено в виде [[Дробь (математика)#Обыкновенные дроби|обыкновенной дроби]] <math>\frac{m}{n}</math>, где <math>m,n</math> — [[целые числа]], <math>n \ne 0</math><ref>{{БРЭ |статья=Рациональное число |ссылка=https://old.bigenc.ru/mathematics/text/3500129|архив=https://web.archive.org/web/20230329225213/https://old.bigenc.ru/mathematics/text/3500129|архив дата=2023-03-29}}</ref>. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической [[Десятичная дробь|десятичной дроби]].

Другими словами, множество иррациональных чисел есть [[Разность множеств|разность]] <math>\mathbb{I} = \R\backslash \Q</math> множеств [[Вещественное число|вещественных]] и [[Рациональное число|рациональных]] чисел.

О существовании иррациональных чисел (точнее [[Отрезок|отрезков]], [[Соизмеримые величины|несоизмеримых]] с отрезком единичной длины), знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа <math>\sqrt 2</math>{{sfn|История|1970|loc=Том 1|с=73}}.

Иррациональными являются, среди прочих, отношение длины окружности к диаметру круга (число [[Пи (число)|π]]), основание [[Натуральный логарифм|натурального логарифма]] ''[[e (число)|e]]'', золотое сечение ''[[Золотое сечение|φ]]'', [[Квадратный корень из 2|квадратный корень из двух]]<ref>[http://sprott.physics.wisc.edu/Pickover/trans.html The 15 Most Famous Transcendental Numbers] {{Wayback|url=http://sprott.physics.wisc.edu/Pickover/trans.html|date=20071024111520}}. by [[Clifford A. Pickover]]. URL retrieved 24 October 2007.</ref><ref>[http://www.mathsisfun.com/irrational-numbers.html Irrational Numbers] {{Wayback|url=http://www.mathsisfun.com/irrational-numbers.html |date=20100829173441 }} // mathsisfun.com; URL retrieved 24 October 2007.</ref><ref>{{MathWorld|title=Irrational Number|urlname=IrrationalNumber}} URL retrieved 26 October 2007.</ref>. Все [[Квадратный корень|квадратные корни]] натуральных чисел, кроме [[Полный квадрат|полных квадратов]], иррациональны.

Иррациональные числа также могут рассматриваться через [[Непрерывная дробь|бесконечные непрерывные дроби]]. Следствием [[Диагональный аргумент|доказательства Кантора]] является то, что действительные числа не [[Счётное множество|счётны]], а рациональные — счётны, отсюда следует, что почти все действительные числа иррациональны<ref>{{книга |год=1955 |заглавие=Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers |ссылка=https://archive.org/details/contributionstot003626mbp |место=New York |издательство=Dover |isbn=978-0-486-60045-1 |ref=Cantor |язык=en |автор=Cantor, Georg |ответственный={{Нп3|Philip Jourdain}}}}</ref>.

== Свойства ==
* Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
* Иррациональные числа определяют [[Дедекиндово сечение|дедекиндовы сечения]] во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
* [[Множество]] иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число.

=== Алгебраические и трансцендентные числа ===
Каждое иррациональное число является либо [[алгебраическое число|алгебраическим]], либо [[трансцендентное число|трансцендентным]]. Множество алгебраических чисел является [[счётное множество|счётным множеством]]. Так как множество вещественных чисел несчётно, то множество иррациональных чисел также несчётно.

Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным; алгебраическое число может быть как рациональным, так и иррациональным..

Множество иррациональных чисел является множеством [[категория Бэра|второй категории]]{{sfn|Ильин, Садовничий, Сендов|2006|c=64|name="ilyin"}}.

=== Иррациональные числа и непрерывные дроби ===
Иррациональное число представляются бесконечной [[непрерывная дробь|непрерывной дробью]]. Пример, число e:
: <math>e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, \ldots, 1, 2n, 1, \ldots].</math>
[[Квадратичная иррациональность|Квадратичным иррациональностям]] соответствуют периодические непрерывные дроби.
: <math>\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} = [1;1,1,1,1,\dots].</math>
{{дополнить раздел|дата=2018-05-10}}

== Примеры ==
Иррациональными являются:
* <math>\sqrt{n}</math> для любого натурального <math>n</math>, не являющегося точным квадратом
* [[e (число)|Число <math>e</math>]], а также <math>e^x</math> для любого рационального <math>x\ne 0</math>
* <math>\ln x</math> для любого положительного рационального <math>x\ne 1</math>
* [[Пи (число)|Число <math>\pi</math>]], а также <math>\pi^x</math> для любого рационального <math>x \ne 0</math>

== Примеры доказательства иррациональности ==

=== Корень из 2 ===
Допустим противное: <math>\sqrt{2}</math> [[рациональное число|рационален]], то есть представляется в виде дроби <math>\frac{m}{n}</math>, где <math>m</math> — [[целое число]], а <math>n</math> — [[натуральное число]].

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
: <math>\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2</math>.
В [[каноническое разложение]] левой части равенства число <math>2</math> входит в чётной степени, а в разложение <math>2n^2</math> — в нечётной. Поэтому равенство <math>m^2=2n^2</math> невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и <math>\sqrt{2}</math> — иррациональное число.

=== Двоичный логарифм числа 3 ===
Допустим противное: <math>\log_2 3</math> [[рациональное число|рационален]], то есть представляется в виде дроби <math>\frac{m}{n}</math>, где <math>m</math> и <math>n</math> — [[целое число|целые числа]]. Поскольку <math>\log_2 3 > 0</math>, <math>m</math> и <math>n</math> могут быть выбраны положительными. Тогда
: <math>\log_2 3 = \frac{m}{n} \Rightarrow m = n \log_2 3 \Rightarrow 2^m = 2^{n \log_2 3} \Rightarrow 2^m = 3^n</math>
Но <math>2^m</math> чётно, а правая часть получившегося равенства нечётна. Получаем противоречие.

=== ''e'' ===
См. [[e (математическая константа)#Доказательство иррациональности|раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e»]].

== История ==

=== Античность ===
Первое доказательство существования иррациональных чисел, а точнее существование несоизмеримых отрезков, обычно приписывается [[Пифагорейцы|пифагорейцу]] [[Гиппас из Метапонта|Гиппасу из Метапонта]] (приблизительно 470 год до нашей эры){{sfn|Kurt Von Fritz|1945|p=}}. Нет точных данных о том, иррациональность какого числа была доказана Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его, изучая длины сторон пентаграммы<ref>{{статья |заглавие=The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number |издание={{Нп3|The College Mathematics Journal|The Two-Year College Mathematics Journal||The College Mathematics Journal}} |язык=en |тип=magazine |автор=James R. Choike |год=1980}}</ref>{{sfn|Kurt Von Fritz|1945|p=242—264}}. Поэтому разумно предположить, что это было [[золотое сечение]], так как это и есть отношение диагонали к стороне в правильном пятиугольнике.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин ''алогос'' (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения.
Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям».
Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

[[Феодор Киренский]] доказал{{sfn|История|1970|c=74|loc=Т 1. С древнейших времён до начала Нового времени|name=История}} иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17.
По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному<ref>''А. И. Щетников.'' [http://www.nsu.ru/classics/Alogoi.pdf Как древнегреческие математики доказывали иррациональность.] {{Wayback|url=http://www.nsu.ru/classics/Alogoi.pdf |date=20160304194010 }}</ref> предположению {{не переведено 5|Жан Итар (историк)|Жана Итара|fr|Jean Itard (historien)}}, оно было основано на теореме о том, что нечётное квадратное число делится на восемь с остатком один<ref>{{Книга|автор = Jean Itard|год = 1961|место = Paris|издательство = Hermann|заглавие = Les livres arithmétiques d'Euclide|ссылка = http://www.worldcat.org/title/les-livres-arithmetiques-deuclide/oclc/299912286|archivedate = 2015-11-22|archiveurl = https://web.archive.org/web/20151122091048/http://www.worldcat.org/title/les-livres-arithmetiques-deuclide/oclc/299912286}}</ref>.

Позже [[Евдокс Книдский]] (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5<ref>Kline 1990, p.48.</ref>. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить [[Соизмеримые и несоизмеримые величины|и соизмеримые, и несоизмеримые величины]] при определении дроби как отношения двух величин, и [[Пропорция (математика)|пропорции]] как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами<ref>Kline 1990, p.49.</ref>. Десятая книга «[[Начала (Евклид)|Начал]]» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

=== Средние века ===
{{Основная статья|Развитие числовой системы в исламском мире}}
Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сначала индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 «Начал» Евклида, персидский математик [[Мухаммад аль-Махани|аль-Махани]] (ок. 800 года н. э.) исследовал и классифицировал [[Квадратичная иррациональность|квадратичные иррациональные числа]] и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например{{sfn|Matvievskaya|1987|p=253–277 [259]|name="Matvievskaya-259"}}:

{{quote|Рациональной [величиной] является, например, 10, 12, 3%, 6% и так далее, поскольку эти величины произнесены и выражены количественно. Что не рационально, то иррационально, и невозможно произнести или представить соответствующую величину количественно. Например, квадратные корни чисел таких, как 10, 15, 20 — не являющихся квадратами.}}

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввёл арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин<ref name="Matvievskaya-259"/>:

{{quote|Результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной.}}

Египетский математик [[Абу Камил]] (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счёл приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени<ref>Jacques Sesiano, «Islamic mathematics», p. 148, in {{книга |заглавие=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics |год=2000 |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=1-4020-0260-2 |язык=en |автор=Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan}}.</ref>. В X веке иракский математик [[Мухаммад аль-Хашими|Аль-Хашими]] вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами{{sfn|Matvievskaya|1987|p=253–277 [260]|}}. [[Абу Джафар аль-Хазин|Аль-Хазин]] (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины{{sfn|Matvievskaya|1987|p=253–277 [261]|}}:

{{quote|Пусть единичная величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта [данная] величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравнённая с единичной величиной составляет три пятых от неё, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней.}}

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. [[Аль-Хасар]], арабский математик из [[Магриб]]а, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввёл современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой<ref>{{citation|last=Cajori|first=Florian|title=A History of Mathematical Notations (Vol.1)|publisher=The Open Court Publishing Company|year=1928|place=La Salle, Illinois}} pg. 269.</ref>. Та же нотация появилась затем в работах [[Фибоначчи]] в XIII веке<ref>{{harv|Cajori|1928|loc=pg.89}}</ref>. В течение XIV—XVI вв. [[Мадхава из Сангамаграмы]] и представители [[Керальская школа астрономии и математики|Керальской школы астрономии и математики]] исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к <math>\pi</math>, а также показали иррациональность некоторых значений тригонометрических функций.

=== Новое время ===
В XVII—XVIII веке в математике прочно укрепились [[комплексные числа]], вклад в изучение которых внесли [[Муавр, Абрахам де|Абрахам де Муавр]] (1667—1754) и [[Эйлер, Леонард|Леонард Эйлер]] (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на [[Алгебраические числа|алгебраические]] нерациональные и [[Трансцендентные числа|трансцендентные]] (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 году были опубликованы работы [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрасса]], [[Гейне, Эдуард|Гейне]], [[Кантор, Георг Фердинанд Людвиг Филипп|Кантора]] и [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинда]]. Хотя ещё в 1869 году [[Мерэ, Шарль|Мерэ]] начал рассмотрения, схожие с работами Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Метод Вейерштрасса был полностью изложен [[Пинкерле, Сальваторе|Сальваторе Пинкерле]] в 1880 году<ref>{{статья |заглавие=Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche secondo i principii del prof. C. Weierstrass |издание=Giornale di Matematiche |страницы=178—254,317—320 |ссылка=https://archive.org/stream/giornaledimatem07unkngoog#page/n198 |язык=it |тип=diario |автор=Salvatore Pincherle |год=1880}}</ref>, а Дедекинд получил дополнительную известность благодаря более поздней работе автора (1888) и одобрению [[Таннери, Поль|Поля Таннери]] (1894). Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемыми) [[Дедекиндово сечение|дедекиндовыми сечениями]] множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

[[Цепные дроби]], тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжа]]. [[Лежён-Дирихле, Петер Густав|Дирихле]] также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей. В 1761 году Ламберт с помощью цепных дробей показал, что <math>\pi</math> не является рациональным числом, а также что <math>e^x</math> и <math>\operatorname{tg} x</math> иррациональны при любом ненулевом рациональном <math>x</math><ref>{{статья |заглавие=Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes, circulaires et logarithmiques |издание=Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin |страницы=265—322 |ссылка=http://www.kuttaka.org/~JHL/L1768b.pdf |язык=fr |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160428083325/http://www.kuttaka.org/~JHL/L1768b.pdf |archivedate=2016-04-28 |тип=magazine |автор=J. H. Lambert |год=1761}}</ref>. Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения [[функции Бесселя — Клиффорда]], показал, что <math>\pi^2</math> иррационально, откуда иррациональность <math>\pi</math> следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное).

Существование трансцендентных чисел было доказано [[Лиувилль, Жозеф|Лиувиллем]] в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. [[Шарль Эрмит]] доказал в 1873 году, что ''e'' трансцендентно, а [[Линдеман, Фердинанд фон|Фердинанд Линдеман]] в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность <math>\pi</math>. Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено [[Гильберт, Давид|Давидом Гильбертом]] в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного [[Гурвиц, Адольф|Адольфом Гурвицем]] и [[Гордан, Пауль Альберт|Паулем Горданом]]<ref>{{статья |заглавие=Transcendenz von ''e'' und π |ссылка=https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1893_43/page/222 |издание=[[Mathematische Annalen]] |том=43 |страницы=222—224 |издательство=Teubner |doi=10.1007/bf01443647 |автор=Gordan, Paul |год=1893 }}</ref>.

== См. также ==
* [[Дедекиндово сечение]]
* [[Диофантовы и лиувиллевы числа]]
* [[Конструктивные способы определения вещественного числа]]
* [[Мера иррациональности]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|автор        = [[Ильин, Владимир Александрович (математик)|{{nobr|В. А. Ильин}}]], [[Садовничий, Виктор Антонович|{{nobr|В. А. Садовничий}}]], [[Сендов, Благовест|{{nobr|Бл. Х. Сендов}}]].
|часть = Глава 2. Вещественные числа
|заглавие = Математический анализ
|ссылка = http://sci-lib.com/book000401.html
|ответственный= {{nobr|Под ред. [[Тихонов, Андрей Николаевич|А. Н. Тихонова]]}}
|издание = {{nobr|3-е изд.}}, перераб. и доп
|место = М.
|издательство = Проспект
|год = 2006
|том = 1
|страницы = 
|страниц = 672
|isbn = 5-482-00445-7|ref=Ильин, Садовничий, Сендов
}}
* {{книга
 |заглавие      = История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. В трёх томах
 |ответственный = под ред. Юшкевича
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 1970
 |ref = История}}
* [[Клайн, Морис|Kline, M.]] (1990). ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'', Vol. 1. New York: Oxford University Press. (Original work published 1972).
* {{статья |заглавие=The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics |издание={{Нп3|Annals of the New York Academy of Sciences}} |том=500 |doi=10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x |ref=Matvievskaya |язык=en |тип=journal |автор=Matvievskaya, Galina |год=1987}}
* {{статья |заглавие=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum |издание=[[Annals of Mathematics|The Annals of Mathematics]] |ref=Kurt Von Fritz |язык=en |тип=journal |автор=Kurt Von Fritz |год=1945}}

{{внешние ссылки}}
{{Числа}}
{{Иррациональные числа}}

[[Категория:Иррациональные числа|*]]