Просмотр кода страницы Калибровочная инвариантность

'''Калибро́вочная инвариа́нтность''' — [[Инвариант (физика)|инвариантность]] прогнозов физической полевой теории относительно (локальных) ''калибровочных преобразований'' — координатно-зависимых преобразований поля, описывающих переход между базисами в пространстве внутренних симметрий этого поля.

Впервые калибровочная инвариантность была установлена в [[Классическая электродинамика|классической электродинамике]]. Глобальная (не зависящая от координаты) калибровочная инвариантность поля в силу [[Теорема Нётер|теоремы Нётер]] приводит к закону сохранения заряда этого поля (в частности, для электродинамики — к [[Закон сохранения электрического заряда|закону сохранения электрического заряда]]). Локальная (координатно-зависимая) калибровочная инвариантность заряженных полей для сохранения динамических уравнений теории требует введения новых, так называемых калибровочных полей.

Требование калибровочной инвариантности — одно из ключевых положений [[Физика элементарных частиц|физики элементарных частиц]]. Именно через калибровочную инвариантность удаётся самосогласованным образом описать в [[Стандартная модель|Стандартной модели]] [[Электромагнитное взаимодействие|электромагнитное]], [[Слабое взаимодействие|слабое]] и [[Сильное взаимодействие|сильное]] [[Фундаментальное взаимодействие|взаимодействия]]. В частности, электромагнитное поле «появляется» в некоторой квантово-полевой теории при дополнительном требовании локальной калибровочной инвариантности лагранжиана теории. По такому принципу можно «вывести» лагранжиан квантовой электродинамики (КЭД) из лагранжиана поля Дирака (электронного поля или электрон-позитронного поля).{{Симметрия в физике}}

== В классической электродинамике ==
Пусть <math>f=f(x,y,z,t)</math> — произвольная [[скаляр]]ная функция координат и времени. Тогда <br> '''если изменить [[потенциалы электромагнитного поля|потенциалы]] следующим образом:'''
: <math>\varphi' = \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t},  \qquad  \mathbf A' = \mathbf A + \nabla f,</math>   где ''φ'' и '''<big>A</big>''' — скалярный и векторный потенциалы,
'''то реально наблюдаемое поведение системы не изменится.''' <br>

Это очевидно из того, что значения электрического и магнитного полей <math>\mathbf E</math> и <math>\mathbf B</math> при таком преобразовании останутся теми же.

== Независимость от фазы комплексного числа ==
Упрощённо основную идею калибровочной инвариантности можно пояснить следующим образом. Основная характеристика, описывающая физическую систему в [[квантовая механика|квантовой механике]], — [[волновая функция]] — есть величина [[Комплексная функция|комплексная]]. Однако все наблюдаемые величины, которые строятся как билинейные комбинации волновых функций, оказываются [[Вещественная функция|вещественными]] (как и должно быть — ведь в нашем осязаемом мире все величины вещественны). В результате получается, что ничего в предсказаниях теории не изменится, если волновые функции умножаются на комплексное число, равное по модулю единице — <math>e^{i\alpha}</math>. (Сопряжённая функция умножается, соответственно, на сопряжённое комплексное число). Это вполне естественно: абсолютное значение фазы комплексного числа — вещь произвольная и не должно влиять на предсказания теории.

Таким образом, квантовая механика инвариантна относительно '''глобальных фазовых вращений''', иначе называемых '''глобальными калибровочными преобразованиями'''.

== Идея калибровочной инвариантности ==
А инвариантна ли [[квантовая механика]] относительно '''локальных фазовых вращений''' <math>e^{i\alpha(\mathbf{x})}</math> ('''локальных калибровочных преобразований''')? Иными словами, изменится ли что-либо, если волновую функцию в одной точке мы провернём на одну фазу, а в другой точке — на другую? Да, изменится. В частности, очевидно, изменится, причём почти произвольным образом, правая часть [[Уравнение Шрёдингера|уравнения Шрёдингера]], а значит — и эволюция системы во времени. То есть квантовая механика свободной частицы оказывается неинвариантной относительно локальных фазовых вращений.

Можно ли восстановить инвариантность? Да, можно. Однако для этого надо ''ввести новое [[Поле (физика)|физическое поле]]'', которое «чувствует» то внутреннее пространство, в котором мы производим фазовые вращения. В результате при локальных фазовых вращениях у нас преобразуются как волновые функции, так и новое поле, причём таким образом, что изменения в уравнениях за счёт этих фазовых вращений компенсируют, «калибруют» друг друга. То есть квантовая механика с дополнительным новым полем стала калибровочно инвариантна.

Если теперь изучить свойства нового поля, то оно будет напоминать [[электромагнитное поле]], которое мы наблюдаем в нашем мире. В частности, взаимодействие этого поля с веществом как раз совпадает с взаимодействием электромагнитного поля<!-- уравнения, описывающие эволюцию этого поля, как раз совпадут с [[Уравнения Максвелла|уравнениями Максвелла]] — Это путаница, лагранжиан свободных калибровочных полей специально так выбирают, а не «само получается». Melirius -->. Поэтому вполне естественно при построении теории отождествить эти два поля.

Итак, требование калибровочной инвариантности оказалось неожиданно удобным способом ввести в теорию и электромагнитное поле. Его не пришлось рассматривать отдельно, оно появилось в теории почти «само».

== Калибровочные поля как основа Стандартной модели ==
Первую единую теорию гравитационного и электромагнитного поля на основе идей калибровочной инвариантности предложил [[Вейль, Герман|Г. Вейль]]. Современная теория калибровочных полей развивает и обобщает его идеи{{sfn|Утияма|с=174|1986}} с опорой на калибровочные преобразования более сложного вида, отвечающие за инвариантность в некотором более сложном пространстве внутренних степеней свободы.

Так, например, инвариантность относительно вращений [[кварк]]ов в цветовом пространстве приводит к тому, что [[сильное взаимодействие|сильные взаимодействия]] тоже можно описать как калибровочные поля. Слабые взаимодействия отдельно описать как калибровочные не получается, однако существует неожиданно изящный метод описания электромагнитного и слабого взаимодействий одновременно как двух разных проявлений некоторого калибровочного электрослабого поля.

Тем самым все [[фундаментальные взаимодействия]] выводятся на основании калибровочной инвариантности. С точки зрения построения [[теоретическая физика|физической теории]] это крайне экономная и удачная схема.

Особняком стоит гравитационное взаимодействие. Оно также оказывается калибровочным полем, причём [[общая теория относительности]] как раз и является калибровочной теорией гравитационного взаимодействия. Однако она формулируется, во-первых, не на квантовом уровне, и до сих пор непонятно, как именно её проквантовать, а во-вторых, пространством, в котором осуществляются вращения, является наше четырёхмерное [[пространство-время]], а не внутреннее пространство симметрии взаимодействия.

== История ==
Самой ранней {{iw|Динамическая теория электромагнитного поля|теорией поля|en|A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field}}, обладающей калибровочной симметрией, была формулировка [[Электродинамика|классической электродинамики]] [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвеллом]] в 1864—1865 гг., в которой утверждалось, что любое векторное поле, ротор которого обращается в нуль, не меняется при добавлении [[градиент]]а функции, то есть при такой добавке к векторному потенциалу не изменяется [[магнитное поле]]{{sfn|Визгин|1985|с=261}}. Важность этой симметрии оставалась незамеченной в самых ранних формулировках. Точно так же незаметно [[Гильберт, Давид|Гильберт]] вывел [[Уравнения Эйнштейна|уравнения поля Эйнштейна]], постулировав инвариантность [[Действие (физическая величина)|действия]] относительно общего преобразования координат. Позже [[Вейль, Герман|Герман Вейль]], пытаясь объединить [[Общая теория относительности|общую теорию относительности]] и [[электромагнетизм]], предположил, что инвариантность относительно изменения [[Шкала|масштаба]] (или «калибровки») также является локальной симметрией общей теории относительности{{sfn|Визгин|1985|с=265}}. После развития [[Квантовая механика|квантовой механики]] Вейль, [[Фок, Владимир Александрович|Владимир Фок]] и [[Лондон, Фриц|Фриц Лондон]] модифицировали калибровку, заменив масштабный множитель [[Комплексное число|комплексной]] величиной, и превратили масштабное преобразование в изменение [[Фаза колебаний|фазы]] — это калибровочная симметрия U(1). Это объясняло влияние [[Электромагнитное поле|электромагнитного поля]] на [[Волновая функция|волновую функцию]] [[Электрический заряд|заряженной]] фундаментальной [[Фундаментальная частица|частицы]]. Это была первая широко признанная калибровочная теория, популяризированная [[Паули, Вольфганг|Паули]] в 1941 году<ref>{{Cite journal|author=Pauli|first=Wolfgang|authorlink=Паули, Вольфганг|year=1941|title=Relativistic Field Theories of Elementary Particles|journal=Rev. Mod. Phys.|volume=13|issue=3|pages=203–32|doi=10.1103/revmodphys.13.203|bibcode=1941RvMP...13..203P}}</ref>.

В 1954 году, пытаясь разрешить большую путаницу в [[Физика элементарных частиц|физике элементарных частиц]], [[Янг Чжэньнин|Чжэньнин Янг]] и [[Миллс, Роберт (физик)|Роберт Миллс]] представили неабелевую калибровочную теорию в качестве модели для понимания [[Сильное взаимодействие|сильного взаимодействия]], скрепляющего [[нуклон]]ы в [[Атомное ядро|атомных ядрах]]<ref>{{Cite journal|author=Yang C. N., Mills R. L.|title=Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance|journal=[[Phys. Rev.]]|volume=96|year=1954|pages=191–195|doi=10.1103/PhysRev.96.191|bibcode=1954PhRv...96..191Y}}</ref>. (Рональд Шоу, работавший под руководством [[Абдус Салам|Абдуса Салама]], независимо ввёл это понятие в свою докторскую диссертацию.) Обобщая калибровочную инвариантность электромагнетизма, они попытались построить теорию, основанную на действии (неабелевой) [[Группа (математика)|группы]] симметрии SU(2) на [[Изотопический спин|изоспиновый]] дублет [[протон]]ов и [[нейтрон]]ов. Это похоже на действие группы [[U(1)]] на [[спинор]]ные [[Поле (физика)|поля]] в [[Квантовая электродинамика|квантовой электродинамике]]. В физике элементарных частиц упор делался на использование квантованных калибровочных теорий.

Позднее эта идея нашла применение в [[Квантовая теория поля|квантовой теории]] поля [[Слабое взаимодействие|слабого взаимодействия]], а её объединение с электромагнетизмом в [[Электрослабое взаимодействие|электрослабой]] теории. Калибровочные теории стали ещё более привлекательными, когда выяснилось, что неабелевы калибровочные теории воспроизводят особенность, называемую [[Асимптотическая свобода|асимптотической свободой]], которая считалась важной характеристикой сильных взаимодействий. Это побудило к поиску калибровочной теории сильного взаимодействия. Эта теория, теперь известная как [[квантовая хромодинамика]] — калибровочная теория с действием группы SU(3) на [[Цветовой заряд|цветовом]] триплете [[кварк]]ов. [[Стандартная модель]] объединяет описание электромагнетизма, слабых взаимодействий и сильных взаимодействий на языке калибровочной теории.

В 1970-х [[Атья, Майкл Фрэнсис|Майкл Атья]] начал изучать математику решений классических уравнений [[Теория Янга — Миллса|Янга — Миллса]]. В 1983 году ученик Атьи [[Дональдсон, Саймон|Саймон Дональдсон]], опираясь на эту работу, показал, что [[Гладкое многообразие|дифференцируемая]] классификация [[бесконечно гладкая функция|гладких]] 4-[[Многообразие|многообразий]] сильно отличается от их классификации [[Вплоть до|с точностью до]] [[гомеоморфизм]]а<ref>{{Cite journal|author=Donaldson|first=Simon K.|title=Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds|journal=[[Bull. Amer. Math. Soc.]]|volume=8|issue=1|year=1983|pages=81–83|doi=10.1090/S0273-0979-1983-15090-5}}</ref>. [[Фридман, Майкл|Майкл Фридман]] использовал работу Дональдсона, чтобы показать [[Гладкие структуры на четырёхмерном евклидовом пространстве|экзотические структуры в '''R'''<sup>4</sup>]], то есть экзотические [[гладкая структура|дифференцируемые структуры]] в [[Евклидово пространство|евклидовом]] четырёхмерном пространстве. Это привело к росту интереса к калибровочной теории как таковой, независимо от её успехов в фундаментальной физике. В 1994 году [[Виттен, Эдвард|Эдвард Виттен]] и [[Зайберг, Натан|Натан Зайберг]] изобрели калибровочно-теоретические методы, основанные на [[Суперсимметрия|суперсимметрии]], которые позволили вычислить некоторые [[Топология|топологические]] инварианты<ref name="автоссылка1">{{citation|last1=Seiberg|year=1994a|bibcode=1994NuPhB.426...19S|arxiv=hep-th/9407087|mr=1293681|doi=10.1016/0550-3213(94)90124-4|pages=19–52|issue=1|volume=426|first1=N.|journal=Nuclear Physics B|title=Electric-magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory|author-link2=Edward Witten|first2=E.|last2=Witten|author-link1=Nathan Seiberg|s2cid=14361074}}; {{citation|title=Erratum|journal=Nuclear Physics B|volume=430|year=1994|issue=2|pages=485–486|doi=10.1016/0550-3213(94)00449-8|mr=1303306|bibcode=1994NuPhB.430..485.}}</ref><ref name="автоссылка1" /> ([[Инвариант Зайберга – Виттена|инварианты Зайберга — Виттена]]). Этот вклад калибровочной теории в математику привёл к возобновлению интереса к этой области.

Важность калибровочных теорий в физике подтверждается огромным успехом математического формализма в создании единой основы для описания [[Квантовая теория поля|квантовых теорий поля]]: [[электромагнетизм]]а, [[Слабое взаимодействие|слабого взаимодействия]] и [[Сильное взаимодействие|сильного взаимодействия]]. Эта теория, известная как [[Стандартная модель]], точно описывает экспериментальные предсказания относительно трёх из четырёх [[Фундаментальные взаимодействия|фундаментальных сил]] природы и является калибровочной теорией с калибровочной группой [[ВС (3) × ВС (2) × U (1)|SU(3) × SU(2) × U(1)]]. Современные теории, такие как [[теория струн]], а также [[общая теория относительности]], так или иначе являются калибровочными теориями.

: ''См. Пикеринг''<ref name="Pickering">
{{Cite book|last=Pickering|first=A.|title=Constructing Quarks|publisher=[[University of Chicago Press]]|year=1984|isbn=0-226-66799-5}}</ref> для получения дополнительной информации об истории калибровочной и квантовой теорий поля.

== Глобальная калибровочная симметрия U(1) ==
Согласно теореме Нётер инвариантность действия относительно некоторой непрерывной операции (группы) симметрии приводит к соответствующему закону сохранения{{sfn|Садовский|2003|с=24}}. Обратное утверждение, что каждой сохраняющейся величине соответствует своя симметрия, также справедливо, что можно наблюдать на примере сохранения электрического заряда<ref name="Герштейн" />. Пусть лагранжиан системы двух вещественных свободных скалярных полей <math>\phi_1</math> и <math>\phi_2</math> задан в виде{{sfn|Садовский|2003|с=27}}
{{NumBlk|:| <math>\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi_1)(\partial^{\mu}\phi_1)-\frac{1}{2}m^2\phi_1^2+\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi_2)(\partial^{\mu}\phi_2)-\frac{1}{2}m^2\phi_2^2\,,</math>|{{EquationRef|1.1|1.1}}}}
тогда можно формально рассмотреть эти два поля в двумерном [[изотопическое пространство|изотопическом пространстве]] с ортами <math>(\vec{i},\vec{j})</math> в виде
{{NumBlk|:|<math>\vec{\phi}=\phi_1\vec{i}+\phi_2\vec{j}\,.</math>|{{EquationRef|1.2|1.2}}}}
Это представление позволяет раскрыть геометрический смысл калибровочного преобразования. При этом лагранжиан {{EquationNote|1.1|(1.1)}} примет простой вид
{{NumBlk|:|<math>\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\vec{\phi})(\partial^{\mu}\vec{\phi})-\frac{1}{2}m^2\vec{\phi}\cdot\vec{\phi}\,,</math>|{{EquationRef|1.3|1.3}}}}
который не меняется при калибровочных преобразованиях
{{NumBlk|:| <math>\begin{align} \phi_1^'& = \phi_1\cos \alpha + \phi_2 \sin\alpha\,, \\ \phi_2^' &= -\phi_1\sin\alpha + \phi_2\cos\alpha\,.\end{align}</math>|{{EquationRef|1.4|1.4}}}}
Такой поворот на угол <math>\alpha</math> в изотопическом пространстве — это элемент ортогональной группы
двумерных вращений O(2) или изоморфной ей группы U(1) не меняет лагранжиан системы {{EquationNote|1.3|(1.3)}}{{sfn|Садовский|2003|с=27}}. Если рассматривать эти поля как пару комплексных полей <math>\phi=(\phi_1+i\phi_2)/\sqrt{2},\,\phi^*=(\phi_1-i\phi_2)/\sqrt{2}\,,</math> то лагранжиан {{EquationNote|1.1|(1.1)}} запишется в виде{{sfn|Садовский|2003|с=26}}
{{NumBlk|:| <math>\mathcal{L}=(\partial_{\mu}\phi)(\partial^{\mu}\phi^*)-m^2\phi^*\phi\,,</math>|{{EquationRef|1.5|1.5}}}}
а калибровочное преобразование для комплексных полей станет
{{NumBlk|:| <math>\phi_1^'+i\phi_2^'=e^{-i\alpha}(\phi_1+i\phi_2),\,\phi_1^'-i\phi_2^'=e^{i\alpha}(\phi_1-i\phi_2)\,.</math>|{{EquationRef|1.6|1.6}}}}
Эта симметрия имеет глобальный характер, так как не зависит от координат пространства-времени{{sfn|Садовский|2003|с=26}}<ref name="Герштейн" />.

=== Локальная калибровочная симметрия ===
Возникает вопрос о возможности заменить глобальную симметрию локальной, то есть зависящей от точки пространства-времени <math>\phi(x)\rightarrow e^{-i\alpha(x)}\phi(x),\,\phi^*(x)\rightarrow e^{i\alpha(x)}\phi^*(x)</math>, но при сохранении свойств лагранжиана. Оказывается, что лагранжиан меняет свой вид из-за наличия дополнительных производных от функции <math>\alpha(x)</math>{{sfn|Садовский|2003|с=27}}. Тем не менее можно изменить лагранжиан таким образом, чтобы он сохранялся под действием локальных калибровочных преобразований. Для этого вводят новое векторное поле <math>A_{\mu}</math>, которое взаимодействует с нётеровским током. Добавка к лагранжиану {{EquationNote|1.5|(1.5)}} имеет вид
{{NumBlk|:|<math>\mathcal{L_1}=-ie(\phi^*\partial^{\mu}\phi-\phi\partial^{\mu}\phi^*)A_{\mu}\,,</math>|{{EquationRef|1.7|1.7}}}}
где <math>e</math> — безразмерная константа связи{{sfn|Садовский|2003|с=29}}. Это приводит к возникновению вклада в вариацию лагранжиана от произведения всех полей, и чтобы избавиться от неё вводят ещё одно слагаемое
{{NumBlk|:|<math>\mathcal{L_2}=e^2A_{\mu}A^{\mu}\phi^*\phi\,,</math>|{{EquationRef|1.8|1.8}}}}
которое полностью восстанавливает калибровочную инвариантность нового лагранжиана <math>\mathcal{L}+\mathcal{L_1}+\mathcal{L_2}\,</math>{{sfn|Садовский|2003|с=29}}. Так как введённое векторное поле тоже должно давать свободный вклад в лагранжиан, то для него вводят 4-мерный ротор поля <math>A_{\mu}</math> по стандартной формуле <math>F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}</math> — это тензор напряжённостей электромагнитного поля. Добавляя к лагранжиану свободного векторного поля вклады {{EquationNote|1.5|(1.5)}}, {{EquationNote|1.7|(1.7)}} и {{EquationNote|1.8|(1.8)}}, в итоге получаем лагранжиан электродинамики комплексного скалярного поля <math>\phi</math>{{sfn|Садовский|2003|с=30}}:
{{NumBlk|:|<math>\mathcal{L}_{tot}=(\partial_{\mu}\phi)(\partial^{\mu}\phi^*)-m^2\phi^*\phi-ie(\phi^*\partial^{\mu}\phi-\phi\partial^{\mu}\phi^*)A_{\mu}+e^2A_{\mu}A^{\mu}\phi^*\phi-\frac{1}{16\pi}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\,,</math>|{{EquationRef|1.9|1.9}}}}
где полю <math>\phi</math> соответствует электрический заряд <math>e,</math> а комплексному полю <math>\phi^*</math> — заряд с обратным знаком <math>-e.</math> Такой подход введения электромагнитного взаимодействия был использован Вейлем в 20-х годах XX века{{sfn|Садовский|2003|с=31}}.

Калибровочная симметрия оказалась связана с формой взаимодействия{{sfn|Садовский|2003|с=31}}. Также симметрия однозначно определяет динамику взаимодействия частиц. Представления о локальной калибровочной симметрии можно применить к кваркам и помочь построить [[Сильное взаимодействие|теорию сильных взаимодействий]]<ref name="Герштейн">{{статья|автор= С. С. Герштейн|заглавие= Что такое цветовой заряд, или какие силы связывают кварки|ссылка= http://nuclphys.sinp.msu.ru/mirrors/col.htm|язык= |издание= Соровский образовательный журнал|тип= |год= 2000|месяц= |число= |том= |номер= 6|страницы= 78—84|doi= |issn= |archivedate= 2017-01-14|archiveurl= https://web.archive.org/web/20170114172536/http://nuclphys.sinp.msu.ru/mirrors/col.htm}}</ref>.

== См. также ==
* [[Калибровка векторного потенциала]]
* [[Калибровочная симметрия (математика)]]
* [[Калибровочная теория гравитации]]
* [[Нерешённые проблемы современной физики]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга | автор = Визгин В. П. | заглавие = Единые теории поля в первой трети XX века | место = М.| издательство = Наука| год = 1985| страниц = 304|ref=Визгин}}
* {{книга |автор = [[Садовский Михаил Виссарионович|Садовский М. В.]] |заглавие = Лекции по квантовой теории поля |город = Ижевск |издательство = Институт компьютерных исследований |год = 2003 |страниц = 480 |ссылка = http://sadovski.iep.uran.ru/RUSSIAN/LTF/Q_fields.pdf |isbn=5-93972-241-5|ref=Садовский}}
* {{статья |автор = Jackson J. D. and Okun L. B.|заглавие = Historical roots of gauge invariance|оригинал = |издание = Rev. Mod. Phys.|год = 2001|том = 73|страницы = 663  |doi = 10.1103/RevModPhys.73.663|pmid = |bibcode = |arxiv = hep-ph/0012061|ref = Jackson and Okun}}
* Г. 'т Хоофт, [http://ufn.ru/ufn81/ufn81_11/Russian/r8111f.pdf ''Калибровочные теории сил между элементарными частицами''], «[[Успехи физических наук]]», 1981, т. 135, вып. 3, с.379. (перевод статьи из «[[Scientific American]]», June 1980, Vol. 242, p.90.)
* {{книга
|автор        = Коноплева Н. П., [[Попов, Виктор Николаевич (физик)|Попов В. Н.]].
|заглавие     = Калибровочные поля
|место        = {{М}}
|издательство = [[Атомиздат]]
|год = 1972
|страниц = 
|isbn = 
}}
* {{книга
|автор        = Славнов А. А., Фаддеев Л. Д.
|заглавие     = Введение в квантовую теорию калибровочных полей
|издание      = 2 изд., перераб. и доп
|место        = {{М}}
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год = 1988
|страниц = 
|isbn = 
}}
* {{книга
|автор        = [[Сарданашвили, Геннадий Александрович|Сарданашвили Г. А.]]
|заглавие     = Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля
|место        = {{М}}
|издательство = [[УРСС]]
|год = 1996
|страниц = 
|isbn = 5-88417-087-4
}}
* {{книга
|автор        = [[Сарданашвили, Геннадий Александрович|Сарданашвили Г. А.]]
|заглавие     = Современные методы теории поля. 4. Геометрия и квантовые поля
|место        = {{М}}
|издательство = [[УРСС]]
|год = 2000
|страниц = 
|isbn = 5-88417-221-4
}}
* {{книга | автор  = [[Утияма, Рёю|Утияма Р.]] | заглавие  = К чему пришла физика. От теории относительности к теории калибровочных полей | место  = М | издательство  = Знание | год = 1986 | страниц  = 224 | isbn =  | ref  = Утияма}}
* {{книга | автор  = [[Волошин, Михаил Борисович|Волошин М. Б.]], [[Тер-Мартиросян, Карен Аветикович|Тер-Мартиросян К. А.]] | заглавие  = Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц | место  = М | издательство  = Энергоатомиздат | год = 1984 | страниц  = 288 | isbn =  | ref  = Волошин}}
* {{книга | автор  = [[Иваненко, Дмитрий Дмитриевич|Иваненко Д. Д.]] (ред.)| заглавие  = Элементарные частицы и компенсирующие поля
 | место  = М | издательство  = Мир | год = 1964 | страниц  = 298 | isbn =  | ref  = Иваненко}}

{{нет сносок|дата=2012-12-16}}
{{ВС}}

[[Категория:Математическая физика]]
[[Категория:Связность (математика)]]
[[Категория:Симметрия (физика)]]
[[Категория:Квантовая теория поля]]