Просмотр кода страницы Капельная модель ядра

{{Ядерная физика}}
'''Капельная модель ядра''' — одна из самых ранних моделей строения [[атомное ядро|атомного ядра]], предложенная [[Бор, Нильс|Нильсом Бором]] в [[1936 год]]у в рамках теории [[составное ядро|составного ядра]]<ref>{{Статья:УФН-14-4:Захват нейтрона и строение ядра}}</ref>, развитая [[Френкель, Яков Ильич|Яковом Френкелем]] и, в дальнейшем, [[Уилер, Джон Арчибальд|Джоном Уилером]], на основании которой [[Вайцзеккер, Карл Фридрих фон|Карлом фон Вайцзеккером]] была впервые получена полуэмпирическая формула для [[Энергия связи|энергии связи]] ядра [[атом]]а, названная в его честь '''формулой Вайцзеккера'''.

Согласно этой теории, атомное ядро можно представить в виде сферической равномерно заряженной капли из особой ядерной материи, которая обладает некоторыми свойствами, например несжимаемостью, насыщением ядерных сил, «испарением» [[нуклон]]ов ([[нейтрон]]ов и [[протон]]ов), напоминает [[жидкость]]. В связи с чем на такое ядро-каплю можно распространить некоторые другие свойства [[Капля|капли жидкости]], например [[поверхностное натяжение]], дробление капли на более мелкие ([[Деление ядра|деление ядер]]), слияние мелких капель в одну большую ([[Ядерный синтез|синтез ядер]]). Учитывая эти общие для жидкости и ядерной [[Материя (физика)|материи]] свойства, а также специфические свойства последней, вытекающие из [[Принцип Паули|принципа Паули]] и наличия [[Электрический заряд|электрического заряда]], можно получить полуэмпирическую формулу Вайцзеккера, позволяющую вычислить энергию связи ядра, а значит и его [[Масса|массу]], если известен его нуклонный состав (общее число нуклонов <math>A </math> ([[массовое число]]) и количество протонов <math>Z </math> (зарядовое число) в ядре):

:<math>E_{c} = \alpha A - \beta A^{2/3} - \gamma \frac{Z^2}{A^{1/3}} - \varepsilon \frac{(A - 2Z)^{2}}{A} + \delta</math>

Член <math>\delta</math> содержит в себе поправку на влияние чётности{{переход|Поправка на влияние чётности}}.

Коэффициенты <math>\alpha </math>, <math>\beta </math>, <math>\gamma </math>, <math>\varepsilon </math> и <math>\chi </math> получают при [[Статистика|статистической]] обработке [[эксперимент]]альных данных{{переход|Значения коэффициентов формулы Вайцзеккера}}.

Эта формула даёт довольно точные значения энергий связи и масс для очень многих ядер, что делает её достаточно универсальной и очень ценной для анализа различных свойств ядра. В целом капельная модель ядра и полуэмпирическая формула для энергии связи сыграли решающую роль в построении Бором, Френкелем и Уилером теории [[Деление ядра|деления ядра]]<ref name="Б">{{книга
|автор =Бартоломей Г.Г., Байбаков В.Д., Алхутов М.С., Бать Г.А.
|часть =
|заглавие =Основы теории и методы расчета ядерных энергетических реакторов
|оригинал =
|ссылка =
|место =Москва
|издательство =Энергоатомиздат
|год =1982
|страницы =512
|isbn =}}</ref><ref>{{книга
|автор =Мухин К.М.
|часть =
|заглавие =Занимательная ядерная физика
|оригинал =
|ссылка =
|место =Москва
|издательство =Энергоатомиздат
|год =1985
|страницы =312
|isbn =}}</ref>.

== Вывод формулы Вайцзеккера ==
[[Файл:Isotopes and half-life.svg|thumb|300px|Зависимость числа нейтронов ''N'' от числа протонов ''Z'' для стабильных ядер (''N''=''A''−''Z'').]]
[[Файл:Semf asymmetric term.svg|мини|Однотипным нуклонам приходится занимать состояния с большей энергией]]
Из предположения, что все нуклоны ядра равноценны и каждый взаимодействует только с близлежащими, как [[Молекула|молекулы]] в капле жидкости, следует, что энергия связи должна быть пропорциональна полному числу нуклонов <math>A </math> и, таким образом, в первом приближении:

:<math>E_{c} = \alpha A </math>, где <math>\alpha </math> — коэффициент пропорциональности.

Однако такая чрезвычайно упрощённая картина требует нескольких существенных поправок<ref name="Б" /><ref name="Кеn">{{книга
|автор =I.R.Cameron, [[Университет Нью-Брансуика|University of New Brunswick]]
|часть =
|заглавие =Nuclear fission reactors
|оригинал =
|ссылка =
|место =Canada, New Brunswick
|издательство =Plenum Press
|год =1982
|страницы =
|isbn =}}</ref><ref name="К">{{книга
|автор =И.Камерон
|часть =
|заглавие =Ядерные реакторы
|оригинал =
|ссылка =
|место =Москва
|издательство =Энергоатомиздат
|год =1987
|страницы =320
|isbn =}}</ref>.

=== Поправка на эффект поверхностного натяжения ===
У нуклонов, находящихся на поверхности ядра, непосредственных соседей меньше, чем у нуклонов, расположенных внутри него, следовательно, первые будут связаны со своими соседями слабее (испарение частиц капли жидкости протекает с её поверхности). Следовательно, такие «поверхностные» нуклоны внесут меньший вклад в полную энергию связи. Общее число «поверхностных» нуклонов пропорционально площади поверхности ядра, то есть его радиусу в квадрате <math>(R^2) </math>, а так как <math>R \sim A^{1/3} </math>, то <math>R^2 \sim A^{2/3} </math>, следовательно, формула примет вид:

:<math>E_{c} = \alpha A - \beta A^{2/3}</math>

=== Поправка на кулоновское отталкивание ===
В отличие от обычной, «ядерная жидкость» содержит заряженные частицы. Из [[закон Кулона|закона Кулона]] и предположения, что каждый из протонов при взаимодействии с остальными <math>(Z - 1) </math> протонами находится от них на расстоянии радиуса ядра <math>R </math>, каждый протон даст вклад, пропорциональный <math>(Z - 1)/R </math>, а значит при учёте всех <math>Z </math> полная энергия связи уменьшится на величину, пропорциональную:

<math>Z(Z - 1)/R \approx Z^2/R \sim Z^2/A^{1/3} </math>, следовательно, формула примет вид:

:<math>E_{c} = \alpha A - \beta A^{2/3} - \gamma \frac{Z^2}{A^{1/3}}</math>

=== Поправка на протон-нейтронную асимметрию ===
Хотя капельная модель ядра достаточно хорошо описывает общий характер зависимости энергии связи от массового числа ядра, существуют особенности в поведении ядер, для описания которых этой модели недостаточно. Первая такая особенность — наибольшая устойчивость лёгких ядер — имеет место при Z ~ A - Z. Образование пары нейтрон-протон энергетически более выгодно, чем образование пар протон-протон, нейтрон-нейтрон, поэтому отклонение в любую сторону от вышеуказанного условия приводит к уменьшению энергии связи, а при больших <math>Z  </math> именно это происходит (см. поясняющий рисунок), что объясняется возрастанием кулоновского отталкивания. Этот эффект объясняется [[Принцип Паули|принципом исключения Паули]], одинаковые фермионы не могут находиться в одинаковых состояниях. Так когда однотипных нуклонов больше, то некоторым из них приходится занимать состояние с большей энергией. 

<math>\Delta E_{c}= \varepsilon \frac{(N - Z)^{2}}{A} =- \varepsilon \frac{(A - 2Z)^{2}}{A}</math>

Иногда в литературе применяется следующая запись <math>- \varepsilon_{1} \frac{(A/2 - Z)^{2}}{A}</math>, но тогда <math>\varepsilon_{1} = 4\varepsilon</math>

С учётом члена, характеризующего протон-нейтронную асимметрию, формула примет вид:

:<math>E_{c} = \alpha A - \beta A^{2/3} - \gamma \frac{Z^2}{A^{1/3}} - \varepsilon \frac{(A - 2Z)^{2}}{A}</math>

=== Поправка на влияние чётности ===
[[Файл:Pairing term nuclear physics.gif|мини|386x386пкс|Величина поправки чётности в полной энергии связи для четных-четных и нечетных-нечетных ядер, как функция массового числа.]]
Вторая особенность — влияние чётности <math>Z </math> и <math>A-Z </math> на устойчивость ядер, а следовательно, на энергию связи. Можно разбить все ядра на три группы:
* '''(1)''' чётно-чётные ядра ( <math>A </math> — чётное )
* '''(2)''' нечётно-чётные и чётно-нечётные ( <math>A </math> — нечётное )
* '''(3)''' нечётно-нечётные ( <math>A </math> — чётное )

Увеличение или уменьшение числа протонов или нейтронов на единицу скачком переводит ядро из одной группы в другую, соответственно скачком должна при этом изменяться энергия связи. Этот экспериментальный факт учитывается введением в формулу члена <math>\delta </math> следующим образом:

<math>\delta = \begin{cases} +\left| \delta \right| & (1) \\ 0 & (2) \\ -\left| \delta \right| & (3)\end{cases}</math>

Было экспериментально установлено что значение <math>\delta</math> зависит от массового числа: <math>\left| \delta \right| = \chi A^{k}</math>. Значение <math>k</math> обычно берут либо <math>-1/2</math>, либо <math>-3/4</math>.<ref>{{Книга|автор=Алонсо, Марсело; Финн, Эдвард Дж.|заглавие=Фундаментальная университетская физика. Том. III. Квантовая и статистическая физика|год=1969|издательство=Addison-Wesley Publishing Company|страницы=297}}</ref>

Таким образом, в целом эмпирическую формулу для энергии связи записывают:

{{рамка}}
<math>E_{c} = \alpha A - \beta A^{2/3} - \gamma \frac{Z^2}{A^{1/3}}- \varepsilon \frac{(A - 2Z)^{2}}{A} + \delta</math>
{{конец рамки}}

== Значения коэффициентов формулы Вайцзеккера ==
Коэффициенты получают при статистической обработке экспериментальных данных, причём необходимо отметить, что их значения постоянно уточняются. Коэффициенты имеют следующие значения в [[Электронвольт|МэВ]]<ref name="Значения">данные 1982 года; {{cite web |url=http://www.fatom.lt/files/recom_s11e.pdf |title=Архивированная копия |accessdate=2014-11-17 |deadlink=да |archiveurl=https://web.archive.org/web/20141129033541/http://www.fatom.lt/files/recom_s11e.pdf |archivedate=2014-11-29 }} стр 2 "The qualitative dependence...", формула 10</ref>:
*<math>\alpha = 15,56 </math> 
*<math>\beta = 17,23 </math> 
*<math>\gamma = 0,71 </math> 
*<math>\varepsilon = 23.7 </math>
*<math>\chi = 12 </math> для <math>k=-1/2</math> и <math>\chi = 34 </math> для <math>k=-3/4</math> 

== Энергия деформации и деление ядра ==
Если на ядро действует какое-либо малое возмущение, возбуждая внутренние вибрационные [[степени свободы]], то площадь поверхности ядра, представляемого жидкой каплей, увеличивается. Соответственно изменяется и его энергия связи. Стоит отметить, что [[объём]] несжимаемой капли не изменяется, поэтому первый член в формуле Вайцзеккера не вносит дополнительного вклада в энергию ядра. Дальнейшая эволюция ядра будет зависеть от конкуренции короткодействующих ядерных [[Сильное взаимодействие|сил притяжения]] и дальнодействующих [[Закон Кулона|сил кулоновского отталкивания]]: если преобладают ядерные силы, то ядро опять «схлопнется» в сферическую каплю; если преобладают кулоновские силы — произойдёт [[деление ядра]].<ref name="КапМод">[http://nuclphys.sinp.msu.ru/nucmod/nucmod3.htm Капельная модель] {{Wayback|url=http://nuclphys.sinp.msu.ru/nucmod/nucmod3.htm |date=20110809123224 }} // ''[[Ишханов, Борис Саркисович|Б.С. Ишханов]], И.М. Капитонов, В.Н. Орлин, [http://nuclphys.sinp.msu.ru/nucmod/index.html „Модели атомных ядер“] {{Wayback|url=http://nuclphys.sinp.msu.ru/nucmod/index.html |date=20090221150146 }}'' — [http://nuclphys.sinp.msu.ru/nucmod/nucmod3.htm Ядерная физика в Интернете] {{Wayback|url=http://nuclphys.sinp.msu.ru/nucmod/nucmod3.htm |date=20110809123224 }}.</ref>

Для количественного рассмотрения процесса воспользуемся формулой Вайцзеккера. Достаточно рассмотреть второй и третий члены, ответственные за поверхностное натяжения и кулоновское отталкивание, так как именно они вносят существенный вклад в изменение энергии деформированного ядра.

'''Поверхностная энергия''' ядра задаётся формулой:

: <math> E_{surf} = \tau S = \tau \int \frac {R^3 \, d \Omega} {(\vec{n} \vec{R})} , </math>

где <math>\tau </math> — коэффициент [[Поверхностное натяжение|поверхностного натяжения]], а площадь <math>S </math> в общем случае определяется [[Поверхностный интеграл|поверхностным интегралом]]. Если оставить только члены квадрупольного разложения формы поверхности по [[Сферические функции|сферическим функциям]], что хорошо приемлемо для малых деформаций, то для площади поверхности (которая будет [[эллипсоид]]ом) получается простая формула:

: <math> S = S_0 \left( 1 + \frac{2}{5} \alpha_2^2 \right). </math>

Здесь <math>\alpha_2^2 </math> — значение квадрупольной деформации (коэффициент разложения); <math>S_0 = 4\pi R_0^2 = 4\pi r_0^2 A^{2/3} </math> — площадь сферического ядра радиуса <math>R_0 = r_0 A^{1/3} </math> (для этой эмпирической формулы радиуса ядра обычно принимают <math>r_0 \approx 1,2 </math> [[Ферми (единица измерения)|фм]]). Тогда энергия поверхностного натяжения деформированного ядра записывается как

: <math> E_{surf} = \tau S_0 \left( 1 + \frac{2}{5} \alpha_2^2 \right) = \beta A^{2/3} \left( 1 + \frac{2}{5} \alpha_2^2 \right) = 
                   E_{surf}^0 \left( 1 + \frac{2}{5} \alpha_2^2 \right), </math>

где <math>\beta = 4\pi r_0^2 \tau = 17,23 </math> МэВ — второй коэффициент формулы Вайцзеккера, <math>E_{surf}^0 </math> — поверхностная энергия недеформированного ядра.

'''Кулоновская энергия''' ядра также выражается через параметр квадрупольной деформации <math>\alpha_2 </math>:
: <math> E_{Coul} = E_{Coul}^0 \left( 1 - \frac{1}{5} \alpha_2^2 \right) </math>

с энергией сферического ядра как в формуле Вайцзеккера

: <math> E_{Coul}^0 = \frac{3}{5} \frac{(Z e)^2}{R} = \gamma \frac{Z^2}{A^{1/3}} . </math>

Теперь можно определить '''энергию деформации''' ядра через разность энергий состояний деформированного и сферического ядра:

: <math> \Delta E = (E_{surf} + E_{Coul}) - (E_{surf}^0 + E_{Coul}^0) = \frac{1}{5} \alpha_2^2\, (2E_{surf}^0 - E_{Coul}^0) . </math>

Анализ последней формулы показывает, что если
* <math>2E_{surf}^0 > E_{Coul}^0 </math> — то ядро устойчиво по отношению к малым деформациям,
* <math>2E_{surf}^0 < E_{Coul}^0 </math> — то ядро не устойчиво по отношению к малым деформациям.
Видно, что в этом подходе эволюция ядра определяется энергией поверхностного натяжения и кулоновской энергией в ''основном недеформированном'' состоянии.

Для качественных оценок часто вводят величину

: <math> x = \frac{E_{Coul}^0}{2E_{surf}^0} = \frac{Z^2/A}{48,53} \, ,</math>

называемую '''параметром делимости'''. При <math>x=1 </math> жидкая капля становится неустойчивой и самопроизвольно делится за характерное ''ядерное время'' порядка 10<sup>−22</sup> с. Существование ядер с <math>Z^2/A > 48,53</math><ref name="Значения" /> (т. н. [[остров стабильности]]) объясняется существованием оболочек у деформированных ядер.

== Область применения жидко-капельной модели ==
Формула Вайцзеккера позволяет вычислять энергию связи ядра по известным <math>A </math> и <math>Z </math> с точностью ~10 МэВ. При <math>A \approx 100 </math> это даёт [[Относительная погрешность|относительную погрешность]] 10<sup>−2</sup>. Массу любого ядра можно вычислять с точностью 10<sup>−4</sup>:<ref>{{книга
|автор =Мухин К.М.
|часть =
|заглавие =Экспериментальная ядерная физика ядерная физика
|оригинал =
|ссылка =
|место =Москва
|издательство =Энергоатомиздат
|год =1993
|страницы =125
|isbn =5-283-04080-1}}</ref>

: <math> M = Z m_p + (A-Z) m_n - \left[ \alpha A - \beta A^{2/3} - \gamma \frac{Z^2}{A^{1/3}} - \varepsilon \frac{(A - 2Z)^{2}}{A} + \delta \right] / c^2 ,</math>

где <math>m_p </math> — масса [[протон]]а, <math>m_n </math> — масса [[нейтрон]]а, <math>c </math> — [[скорость света]].

Так как капельная модель является макроскопической теорией, то она не учитывает микроскопического строения ядра, например, распределения [[Теория оболочечного строения ядра|ядерных оболочек]]. Поэтому формула Вайцзеккера плохо применима для [[Магические числа (физика)|магических]] ядер. В рамках капельной модели считается, что ядро должно делиться на два фрагмента равной массы, но это наблюдается лишь с вероятностью около 1 % (обычно один из осколков деления тяжёлых ядер стремится обладать магическим числом 50 или 82, то есть массы фрагментов будут различаться примерно в 1,5 раза). Также капельная модель непригодна для количественного описания [[спектр]]ов энергий [[Возбуждение (физика)|возбуждённых]] состояний ядер.<ref name="КапМод" />

== См. также ==
*[[Атомное ядро]]
*[[Ядерные модели]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{cite web
 |url         = http://nuclphys.sinp.msu.ru/nucmod/nucmod3.htm
 |title       = Капельная модель
 |work        = [[Ишханов, Борис Саркисович|Б.С. Ишханов]], И.М. Капитонов, В.Н. Орлин, [http://nuclphys.sinp.msu.ru/nucmod/index.html „Модели атомных ядер“]
 |publisher   = [http://nuclphys.sinp.msu.ru/ Ядерная физика в Интернете]
 |accessdate  = 2010-28-05
 |lang        = ru
 |description =
 |archiveurl  =
 |archivedate =
}}
* {{cite web
 |url         = http://nuclphys.sinp.msu.ru/nucmod/nucmod3.htm
 |title       = Физика деления атомных ядер
 |work        = С.Ю. Платонов, „Физика деления атомных ядер“
 |publisher   = [http://nuclphys.sinp.msu.ru/ Ядерная физика в Интернете]
 |accessdate  = 2010-28-05
 |lang        = ru
 |description = Аудиолекция с презентацией
 |archiveurl  =
 |archivedate =
}}

{{Внешние ссылки}}
[[Категория:Ядерная физика]]
[[Категория:Нейтронная физика]]
[[Категория:Атомные ядра]]