Просмотр кода страницы Карацуба, Анатолий Алексеевич

{{Учёный 
| Имя                  = Карацуба Анатолий Алексеевич
| Оригинал имени       = 
| Изображение                 = Karatsuba Anatolii Alexeevich.jpg
| Ширина               = 
| Описание изображения              = 
| Дата рождения        = 31.1.1937
| Место рождения       = {{МестоРождения|Грозный|в Грозном|Грозный}}
| Дата смерти = 28.9.2008
| Место смерти = {{МестоСмерти|Москва|в Москве|Москва}}, [[Россия]]
| Гражданство = {{Флагификация|СССР}}, {{Флагификация|Российская Федерация}}
| Научная сфера = [[математика]]
| Место работы = [[Математический институт им. В. А. Стеклова РАН|МИАН]], [[МГУ]]
| Альма-матер = {{МГУ (мехмат)}}
| Научный руководитель = [[Коробов, Николай Михайлович|Коробов Н. М.]]
| Знаменитые ученики = [[Воронин, Сергей Михайлович|Воронин С. М.]], [[Чубариков, Владимир Николаевич|Чубариков В. Н.]],
[[Архипов, Геннадий Иванович|Архипов Г. И.]]
| Известен как =
| Награды и премии =
{{{!}} style="background: transparent"
{{!}} {{Заслуженный деятель науки Российской Федерации|1999}}
{{!}}}[[Премия имени П. Л. Чебышёва|Премия им. П. Л. Чебышёва АН СССР]]<br />[[Премия имени И. М. Виноградова|Премия им. И. М. Виноградова РАН]]
| Сайт =
}}
'''Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба''' (31 января [[1937]], Грозный — 28 сентября [[2008]], Москва) — [[СССР|советский]] и [[Россия|российский]] [[математик]].
Наиболее известен как создатель так называемого [[умножение Карацубы|умножения Карацубы]] — быстрого алгоритма умножения больших чисел.<ref name=Gricenko2012>{{книга |автор=С. А. Гриценко, Е. А. Карацуба, М. А. Королёв, И. С. Резвякова, Д. И. Толев, М. Е. Чанга |часть=Научные достижения Анатолия Алексеевича Карацубы. Математика и информатика, 1. |заглавие=К 75-летию со дня рождения Анатолия Алексеевича Карацубы |издание=Совр. пробл. матем. |том=16 |год=2012 |страницы=7—30 |ссылка=http://mi.mathnet.ru/rus/spm/v16/p7}}</ref><ref>{{книга|автор=[[Кнут, Дональд Эрвин|Кнут Д.]] |заглавие=Искусство программирования для ЭВМ |издание=1-е изд |место={{М.}} |издательство=Мир (издательство) |том=2 |год=1977 |страниц=724 |страницы=315}}</ref>

== Учёба и работа ==
[[Файл:A.A.Karatsuba graduate.jpg|thumb|А. А. Карацуба — выпускник средней школы]]

Анатолий Карацуба учился в 1944—1954 годах в средней мужской школе № 6 города Грозного и окончил её с серебряной медалью. Уже в ранние годы проявлял исключительные способности к математике, решая в младших классах задачи, которые давали в математическом кружке старшеклассникам.

В [[1959 год]]у окончил [[Механико-математический факультет МГУ|механико-математический факультет]] [[Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова|МГУ им. Ломоносова]]. В [[1962 год]]у он стал [[Кандидат наук|кандидатом физико-математических наук]] с диссертацией «Рациональные тригонометрические суммы специального вида и их приложения» (научный руководитель — [[Коробов, Николай Михайлович|Н. М. Коробов]]), и начал работать на факультете в МГУ. В [[1966 год]]у он защитил докторскую диссертацию «Метод тригонометрических сумм и теоремы о среднем» и стал научным сотрудником [[Математический институт им. В. А. Стеклова РАН|Математического института АН СССР]] (МИАН).

С [[1983 год]]а он являлся ведущим специалистом в области [[Теория чисел|теории чисел]] в СССР и России, и заведующим отдела теории чисел (образован в [[1983 год]]у) в МИАНе, профессором кафедры теории чисел МГУ с [[1970 год]]а и профессором кафедры [[математический анализ|математического анализа]] [[МГУ]] (образована в [[1962 год]]у) с [[1980 год]]а. Его исследовательские интересы включали [[Тригонометрическая сумма|тригонометрические суммы и интегралы]], [[Дзета-функция Римана|дзета-функцию Римана]], [[Характер (теория чисел)|характеры Дирихле]], [[конечный автомат]], эффективные [[алгоритм]]ы.

А.А. Карацуба был научным руководителем 15 аспирантов, получивших степень кандидата наук; семеро из них стали впоследствии докторами наук. Имеет государственные премии и звания.

== Премии и звания ==
* [[1981 год в науке|1981]]: [[Премия имени П. Л. Чебышёва]] АН СССР
* [[1999 год в науке|4 июня 1999]]: [[Заслуженный деятель науки Российской Федерации]]
* [[2001 год в науке|2001]]: [[Премия имени И. М. Виноградова]] РАН

== Ранние работы по информатике ==
Будучи студентом МГУ им. Ломоносова, А. А. Карацуба принимал участие в работе семинара [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогорова]] и нашёл решения двух поставленных Колмогоровым проблем, что дало импульс развитию теории автоматов и положило начало новому направлению в математике
— теории быстрых алгоритмов.

=== Автоматы ===
В статье [[Мур, Эдвард Форест|Эдварда Мура]] «Умозрительные эксперименты на последовательных машинах»<ref>{{статья |заглавие=Gedanken-experiments on Sequential Machines |страницы=129—153 |издание=Automata Studies, Annals of Mathematical Studies, Princeton University Press, Princeton, N.J., |номер=34 |автор=Moore, E. F. |год=1956 }}</ref> <math>(n; m; p)</math> автомат (или машина) <math>S</math> определяется как имеющее <math>n</math> состояний, <math>m</math> входных символов и <math>p</math> выходных символов устройство. Доказывается девять теорем о структуре <math>S</math> и экспериментах с <math>S</math>. Позднее такие ''<math>S</math> машины'' стали называть [[Автомат Мура|автоматами Мура]]. В конце статьи, в главе «Новые проблемы» Мур формулирует задачу об улучшении оценок полученных им в теоремах 8 и 9:

: '''Теорема 8 (Мур).''' Пусть задана произвольная <math>(n; m; p)</math> машина <math>S</math>, такая что каждые два её состояния различимы одно от другого, тогда существует эксперимент длины <math>n(n-1)/2</math> который устанавливает (находит) состояние <math>S</math> в конце этого эксперимента.''

В [[1957 год]]у Карацуба доказал две теоремы, которые полностью решили проблему Мура по улучшению оценки длины эксперимента в его '''Теореме 8'''.

: '''Теорема ''A'' (Карацуба).''' Если <math>S</math> есть <math>(n; m; p)</math> машина, каждые два состояния которой различимы между собой, то существует разветвлённый эксперимент длины не более чем {{nobr|<math>(n-1)(n-2)/2 + 1</math>}}, посредством которого можно установить (найти) состояние <math>S</math> в конце эксперимента.

: '''Теорема ''B'' (Карацуба).''' Существует <math>(n; m; p)</math> машина, каждые два состояния которой взаиморазличимы, такая, что длина наикратчайшего эксперимента, устанавливающего состояние машины в конце эксперимента, равна {{nobr|<math>(n-1)(n-2)/2 + 1</math>}}.''

Эти две теоремы явились основой курсовой работы Карацубы 4-го курса ''«Об одной проблеме из теории автоматов»'' которая была отмечена похвальным отзывом (то есть не очень высоко) на конкурсе студенческих работ механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова в [[1958 год]]у. Статья была подана Карацубой в журнал [[Успехи математических наук]] в декабре 1958 года, а опубликована лишь в июне 1960 года<ref>{{статья |заглавие=Решение одной задачи из теории конечных автоматов |страницы=157—159 |издание=УМН |номер=15:3 |ссылка=http://mi.mathnet.ru/umn7245 |автор=Карацуба, А. А. |год=1960 }}</ref>.
Однако до настоящего времени этот результат Карацубы, который впоследствии стал называться теоремой Мура – Карацубы, является единственным точным (единственно точный нелинейный порядок оценки) нелинейным результатом как в теории автоматов, так и в аналогичных задачах теории сложности вычислений.<ref name=Gricenko2012 />

=== Быстрые алгоритмы ===
[[Быстрые алгоритмы]] — область [[Вычислительная математика|вычислительной математики]], которая изучает алгоритмы вычисления заданной функции с заданной точностью с использованием как можно меньшего числа битовых операций. Будем считать, что числа записаны в двоичной системе счисления, знаки которой 0 и 1 называются ''битами''. Одна ''битовая операция'' определяется как запись знаков 0, 1, плюс, минус, скобка; сложение, вычитание и умножение двух битов. Первые постановки задач о битовой сложности вычисления принадлежат [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогорову]]. ''Сложность умножения <math>M(n)</math> определяется как количество битовых операций, достаточное для вычисления произведения двух <math>n</math>-значных чисел посредством данного алгоритма.''

Перемножая два ''n''-значных числа обычным школьным способом «в столбик», мы имеем оценку сверху <math>M(n) = O(n^2)</math>. В [[1956 год]]у А. Н. Колмогоров высказал гипотезу, что нижняя оценка <math>M(n)</math> при любом методе умножения есть также величина порядка <math>n^2</math>, то есть нельзя вычислить произведение двух ''n''-значных чисел быстрее, чем за <math>n^2</math> операций (так называемая «гипотеза <math>n^2</math>»). На правдоподобность ''гипотезы <math>n^2</math>'' указывал тот факт, что за всё время существования математики к тому моменту люди производили умножение со сложностью порядка <math>O(n^2)</math>, и если бы был более быстрый метод умножения, то он, вероятно, уже был бы найден.

В [[1960 год]]у на механико-математическом факультете МГУ начал работать семинар по математическим вопросам кибернетики под руководством А. Н. Колмогорова, где была сформулирована «гипотеза <math>n^2</math>» и поставлен ряд задач об оценке сложности других подобных вычислений. Анатолий Карацуба, надеясь получить нижнюю оценку величины <math>M(n)</math>, нашёл новый метод умножения двух ''n''-значных чисел, известный теперь как [[умножение Карацубы]], с оценкой сложности
: <math>M(n) = O(n^{\log_23}) = O(n^{1,58496\ldots}),</math>
и тем самым опровергнув ''гипотезу <math>n^2</math>'', о чём сообщил Колмогорову после очередного заседания семинара. На следующем заседании семинара этот метод был рассказан самим Колмогоровым, и семинар прекратил свою работу.<ref name="Karacuba1995">{{статья |автор=Карацуба А. А. |заглавие=Сложность вычислений |год=1995 |издание=Тр. МИАН |том=211 |страницы=186—202 |ссылка=http://mi.mathnet.ru/tm1120}}</ref> Первая статья с описанием умножения Карацубы была подготовлена самим Колмогоровым, где он представил два разных и несвязанных друг с другом результата двух своих учеников.<ref>{{статья|автор=Карацуба А., Офман Ю.|заглавие=Умножение многозначных чисел на автоматах|год=1962|издание=Доклады Академии Наук СССР|том=145|номер=2}}</ref> Хотя в статье Колмогоров чётко отметил, что одна теорема (не связанная с быстрым умножением) принадлежит Ю. Офману, а другая теорема (с первым в истории быстрым умножением) — А. Карацубе, эта публикация двух авторов надолго сбила с толку читателей, которые полагали, что оба автора внесли вклад в создание метода быстрого умножения, и даже называли этот метод двумя именами. Метод Карацубы впоследствии был обобщён до парадигмы «[[Разделяй и властвуй (программирование)|разделяй и властвуй]]», другими важными примерами которой являются {{нп1|метод двоичного разбиения||en|binary splitting}}, [[двоичный поиск]], [[метод бисекции]] и др.

Впоследствии на основе этой идеи А. Карацубы<ref name="Karacuba1995"/><ref>{{статья|автор=Karacuba A.|заглавие=Berechnungen und die Kompliziertheit von Beziehungen|год=1975|издание=Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik|том=11|язык=de}}</ref><ref>{{книга|автор=[[Кнут, Дональд Эрвин|Кнут Д.]]|заглавие=Искусство программирования|издание=3-е изд|место={{М.}}|издательство=[[Вильямс (издательство)|Вильямс]]|том=2. Получисленные алгоритмы|год=2007|страниц=832|isbn=0-201-89684-2}}.</ref> было построено множество быстрых алгоритмов, самыми известными из которых являются его непосредственные обобщения, такие как метод [[Метод умножения Шёнхаге — Штрассена|умножения Шёнхаге-Штрассена]]<ref>{{статья|автор=Schönhage A., Strassen V.|заглавие=Schnelle Multiplikation großer Zahlen|год=1971|издание=Computing|номер=7|pages=281—292}}</ref>, метод [[Алгоритм Штрассена|матричного умножения Штрассена]]{{source-ref|Q21694537}} и [[быстрое преобразование Фурье]].

Французский математик и философ [[:fr:Jean-Paul Delahaye|Жан-Поль Делайе]] назвал<ref>{{статья|автор=Jean-Paul Delahaye.|заглавие=Mathematiques et philosophie|год=2000|издание=Pour la Science|номер=277|страницы=100—104|язык=fr}}</ref> метод умножения Карацубы ''«одним из самых полезных результатов математики».''

Алгоритм Анатолия Карацубы внедрён практически во все современные компьютеры не только на программном, но и на аппаратном уровне.{{нет АИ|11|02|2013}}

== Основные исследования ==
В своей статье «О математических работах профессора Карацубы»<ref>{{статья
 |автор       = Г. И. Архипов; В. Н. Чубариков.
 |заглавие    = О математических работах профессора А. А. Карацубы
 |ссылка      = http://www.mi.ras.ru/~karatsuba/download/intro.ps
 |издание     = Труды [[Математический институт им. В. А. Стеклова РАН|МИАН]]
 |год         = 1997
 |том         = 218
 |страницы    = 7—19
 |archivedate = 2011-06-15
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20110615084240/http://www.mi.ras.ru/~karatsuba/download/intro.ps
}}</ref>, посвящённой 60-летнему юбилею А. А. Карацубы, его ученики Г. И. Архипов и [[Чубариков, Владимир Николаевич|В. Н. Чубариков]] так описывают особенности научных работ А. А. Карацубы:

{{цитата|При изложении трудов замечательных учёных естественно выделить какие-нибудь характерные и яркие черты их творчества. Такими отличительными чертами в научной деятельности профессора Карацубы являются комбинаторная изобретательность, основательность и определённая законченность результатов.}}

Основные исследования А. А. Карацубы опубликованы более чем в 160 научных статьях и монографиях.<ref>{{статья |заглавие=Основы аналитической теории чисел |издание=М.: Наука |автор=Карацуба А. А. |год=1975 }}</ref><ref name="автоссылка1">{{статья |заглавие=Теория кратных тригонометрических сумм |издание=М.: Наука |автор=Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. |год=1987 }}</ref><ref>{{статья |заглавие=Дзета-функция Римана |издание=М.: Физматлит |автор=Воронин С. М., Карацуба А. А. |год=1994 }}</ref><ref>{{статья |заглавие=Complex analysis in number theory |издание=London, Tokyo: C.R.C. |автор=Karatsuba A. A. |год=1995 }}</ref>

=== Тригонометрические суммы и тригонометрические интегралы ===

==== ''p''-адический метод ====
А. А. Карацуба построил новый <math>p</math>-адический метод в теории тригонометрических сумм. Полученные
<ref>{{статья |заглавие=Оценки тригонометрических сумм особого вида и их приложения |страницы=513—514 |издание=Докл. АН СССР |номер=137:3 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=1961}}</ref> им оценки так называемых <math>L</math>-сумм вида

: <math>S = \sum_{x=1}^P e^{2\pi i (a_1x/p^n+ \dots a_nx^n/p)}, \quad (a_s,p) = 1, \quad 1 \le s \le n,</math>

привели к новым границам нулей <math>L</math>-рядов Дирихле по модулю, равному степени простого числа, к выводу асимптотической формулы для числа варинговского сравнения вида

: <math>x_1^{n} + \dots + x_t^{n} \equiv N \pmod{p^k}, \quad 1 \le x_s \le P, \quad 1 \le s \le n, \quad P < p^k,</math>

решению проблемы распределения дробных долей многочлена с целыми коэффициентами по модулю <math>p^k</math>. А. А. Карацуба первый реализует
<ref>{{статья |заглавие=Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа |страницы=28—38 |издание=Вестн. МГУ |номер=1:4 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=1962}}</ref>
в <math>p</math>-адической форме «принцип вложения» Эйлера-Виноградова и строит <math>p</math>-адический аналог <math>u</math>- чисел Виноградова при оценке числа решений сравнения варинговского типа.

Пусть
: <math>x_1^{n} + \dots + x_t^{n} \equiv N \pmod{Q}, \quad 1 \le x_s \le P, \quad  1 \le s \le t, \quad (1)</math>
причём
: <math>P^r \le Q < P^{r+1}, \quad 1 \le r \le \frac{1}{12}\sqrt{n}, \quad Q = p^k, \quad k \ge 4(r+1)n,</math>
где <math>p</math> — простое число. А. А. Карацуба доказал, что в этом случае для всякого натурального числа <math>n \ge 144</math> существует <math>p_0 = p_0(n)</math> такое, что для любого <math>p_0 > p_0(n)</math> всякое натуральное число <math>N</math> представимо в виде (1) при <math>t \ge 20r + 1</math>, а при
<math>t < r</math> существуют <math>N</math> такие, что сравнение (1) неразрешимо.

Этот новый подход, найденный А. А. Карацубой, привёл к новому <math>p</math>-адическому доказательству теоремы о среднем И. М. Виноградова, играющей центральную роль в методе тригонометрических сумм Виноградова.

Ещё одним элементом <math>p</math>-адического метода А. А. Карацубы является переход от неполных систем уравнений к полным за счёт локального <math>p</math>-адического изменения неизвестных.
<ref>{{статья |заглавие=Об оценке числа решений некоторых уравнений |страницы=31—32 |издание=Докл. АН СССР |номер=165:1 |автор=Карацуба, А. А. |год=1965 }}</ref>
<ref>{{статья |заглавие=Системы сравнений и уравнения Варинговского типа |страницы=274—276 |издание=Докл. АН СССР |номер=1:4 |автор=Карацуба, А. А. |год=1965 }}</ref>

Пусть <math>r</math> — произвольное натуральное число, <math>1 \le r \le n</math>, и целое число <math>t</math> определяется неравенствами <math>m_t \le r \le m_{t+1}</math>. Рассмотрим систему уравнений

: <math>
\begin{cases}
x_1^{m_1} + \dots + x_k^{m_1} = y_1^{m_1} + \dots + y_k^{m_1},\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\vdots \\
x_1^{m_s} + \dots + x_k^{m_s} = y_1^{m_s} + \dots + y_k^{m_s},\\
x_1^{n} + \dots + x_k^{n} = y_1^{n} + \dots + y_k^{n}.
\end{cases}
</math>

: <math>1 \le x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_k \le P, \quad 1 \le m_1 < m_2 < \dots < m_s < m_{s+1} = n.</math>

А. А. Карацуба доказал, что для числа решений <math>I_k</math> этой системы уравнений при <math>k \ge 6rn\log n</math> справедлива оценка

: <math>I_k \ll P^{2k-\delta}, \quad \delta = m_1 + \dots + m_t + (s-t+1)r.</math>

Для неполных систем уравнений, в которых переменные пробегают числа с малыми простыми делителями, А. А. Карацуба применил мультипликативный сдвиг переменных. Это привело к качественно новой оценке тригонометрических сумм и новой теореме о среднем для таких систем уравнений.

==== Проблема Хуа Ло-кена о показателе сходимости особого интеграла проблемы Терри ====
<math>p</math>-адический метод А. А. Карацубы включает в себя способы оценок меры множества точек с малыми значениями функций через значения их параметров (коэффициенты и т. п.) и, обратно, оценок этих параметров через меру множества в вещественной и <math>p</math>-адической метриках. Особенно ярко эта сторона метода А. А. Карацубы проявилась при оценках тригонометрических интегралов, что привело к решению проблемы [[:en:Hua Luogeng|Хуа Ло-кена]]. В [[1979 год]]у А. А. Карацуба вместе со своими учениками Г. И. Архиповым и [[Чубариков, Владимир Николаевич|В. Н. Чубариковым]] полностью решили<ref>{{статья |заглавие=Тригонометрические интегралы |страницы=971—1003 |издание=[[Известия РАН. Серия математическая.]] |том=43 |номер=5 |язык=ru |автор=Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. |год=1979}}</ref> проблему Хуа Ло-кена, поставленную в [[1937 год]]у, которая заключалась в определении показателя сходимости интеграла:

: <math>\vartheta_0=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\cdots
\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\biggl|\int\limits_{0}^{1}e^{2\pi
i(\alpha_{n}x^{n}+\cdots
+\alpha_{1}x)}dx\biggr|^{2k}d\alpha_{n}\ldots d\alpha_{1},</math>
где <math>n \ge 2</math> — фиксированное число.

В данном случае показателем сходимости называется такое значение <math>\gamma</math>, что <math>\vartheta_0</math> сходится при <math>2k > \gamma + \varepsilon</math> и расходится при <math>2k < \gamma - \varepsilon</math>, где <math>\varepsilon > 0</math> сколь угодно мало. Было установлено, что интеграл <math> \vartheta_{0}</math> сходится при <math>2k > \tfrac{1}{2}(n^{2}+n)+1</math> и расходится при <math>2k \le \tfrac{1}{2}(n^{2}+n)+1</math>.

Тогда же была решена и аналогичная проблема для интеграла
: <math>
\vartheta_1=\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty}\biggl|\int_{0}^{1}e^{2\pi
i(\alpha_n x^n + \alpha_m x^m + \cdots + \alpha_r x^r)}dx\biggr|^{2k}d\alpha_{n}d\alpha_{m}\ldots d\alpha_{r},
</math>
где <math>n, m, \ldots, r</math> — целые числа, удовлетворяющие условиям
: <math>1 \le r < \ldots < m < n, \quad r + \ldots + m + n < \tfrac{1}{2}(n^2+n).</math>

А. А. Карацубой и его учениками было установлено, что интеграл <math>\vartheta_1</math> сходится, если <math>2k  > n + m + \ldots + r</math> и расходится, если <math>2k \le n + m + \ldots + r</math>.

Интегралы <math>\vartheta_0</math> и <math>\vartheta_1</math> возникают при решении так называемой [[:en:Prouhet–Tarry–Escott problem|проблемы Терри]] (проблемы Терри-Эскотта). А. А. Карацубой и его учениками был получен ряд новых результатов, связанных с многомерным аналогом проблемы Терри. В частности, ими было установлено, что если <math>F</math> — полином от <math>r</math> переменных (<math>r \ge 2</math>) вида
: <math>
F(x_{1},\ldots, x_{r})\,=\,\sum\limits_{\nu_{1} = 0}^{n_{1}}\cdots
\sum\limits_{\nu_{r} = 0}^{n_{r}}\alpha(\nu_{1},\ldots,
\nu_{r})x_{1}^{\nu_{1}}\ldots x_{r}^{\nu_{r}},
</math>
с нулевым свободным коэффициентом, <math>m = (n_{1}+1) \ldots (n_{r}+1)-1</math>, <math>\bar{\alpha}</math> — <math>m</math>-мерный вектор, составленный из коэффициентов <math>F</math>, то интеграл
: <math>
\vartheta_{2}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\cdots
\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\biggl|\int\limits_{0}^{1}\cdots\int\limits_{0}^{1}e^{2\pi
iF(x_{1},\ldots, x_{r})}dx_{1}\ldots dx_{r}\biggr|^{2k}d\bar{\alpha}
</math>
сходится при <math>2k > mn</math> , где <math>n</math> — наибольшее из чисел <math>n_1, \ldots, n_r</math>. Этот результат, не являясь окончательным, породил новое направление в теории тригонометрических интегралов, связанное с уточнением границ для показателя сходимости <math>\vartheta_2</math> (И. А. Икромов, М. А. Чахкиев и другие).

==== Кратные тригонометрические суммы ====
В 1966—1980 годах А. А. Карацуба создал<ref>{{статья |заглавие=Теоремы о среднем и полные тригонометрические суммы |страницы=183—206 |издание=Изв. АН СССР. Сер. матем. |номер=30:1 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=1966}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Метод тригонометрических сумм в теории чисел |страницы=4—30 |издание=Труды МИАН |номер=168 |автор=Виноградов И. М., Карацуба А. А. |год=1984 }}</ref><ref name="автоссылка1" /> (при участии своих учеников Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова)
теорию кратных тригонометрических сумм [[Вейль, Герман|Г. Вейля]], то есть сумм вида

: <math>S = S(A) = \sum_{x_1=1}^{P_1}\dots\sum_{x_r=1}^{P_r}e^{2\pi i F(x_1,\dots,x_r)}</math> ,
где <math>F(x_1,\dots,x_r) = \sum_{t_1=1}^{n_1}\dots\sum_{t_r=1}^{n_r}\alpha(t_1,\dots,t_r)x_1^{t_1}\dots x_r^{t_r}</math> ,

<math>A</math> — набор вещественных коэффициентов <math>\alpha(t_1,\dots,t_r)</math>. Центральным моментом этой теории, как и теории тригонометрических сумм И. М. Виноградова, является следующая '''теорема о среднем'''.

: Пусть <math>n_1,\dots,n_r,P_1,\dots,P_r</math> — натуральные числа, <math>P_1 = \min(P_1,\dots,P_r)</math>,<math>m = (n_1+1)\dots(n_r+1)</math>. Пусть, далее <math>\Omega</math> — <math>m</math>-мерный куб в евклидовом пространстве вида
:: <math>0 \le \alpha(t_1,\dots,t_r) < 1</math> , <math>0 \le t_1 \le n_1, \dots ,0 \le t_r \le n_r</math>,
: и
:: <math>J = J(P_1,\dots,P_r;n_1,\dots,n_r;K,r) = \underset{\Omega}{\int\dots\int}|S(A)|^{2K} dA</math> .
: Тогда при любом <math>\tau \ge 0</math> и <math>K \ge K_{\tau} = m\tau</math> для величины <math>J</math> имеет место оценка
:: <math>J \le K_{\tau}^{2m\tau}\varkappa^{4\varkappa^2\Delta(\tau)}2^{8m\varkappa\tau}(P_1\dots P_r)^{2K}P^{-\varkappa\Delta(\tau)}</math> ,
: где <math>\varkappa = n_1\nu_1+ \dots + n_r\nu_r</math> , <math>\gamma\varkappa = 1</math>, <math>\Delta(\tau) = \frac{m}{2}(1-(1-\gamma)^{\tau})</math> , <math>P = (P_1^{n_1}\dots P_r^{n_r})^{\gamma}</math>, и натуральные числа <math>\nu_1, \dots , \nu_r</math> таковы, что:
:: <math>-1 < \frac{P_s}{P_1} - \nu_s \le 0</math> , <math>s= 1,\dots , r</math> .

Теорема о среднем и лемма о кратности пересечения многомерных параллелепипедов лежат в основе оценки кратной тригонометрической суммы, полученной А. А. Карацубой (двумерный случай был получен Г. И. Архиповым<ref>{{статья |заглавие=Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы |страницы=143—153 |издание=Матем. заметки |номер=17:1 |язык=ru |тип=журнал |автор=Архипов, Г. И. |год=1975}}</ref>). Если обозначить через <math>Q_0</math> наименьшее общее кратное чисел <math>q(t_1,\dots,t_r)</math> с условием
<math>t_1 + \dots t_r \ge 1</math>, то при <math>Q_0 \ge P^{1/6}</math> справедлива оценка

: <math>|S(A)| \le (5n^{2n})^{r\nu(Q_0)}(\tau(Q_0))^{r-1}P_1\dots P_rQ^{-0.1\mu} + 2^{8r}(r\mu^{-1})^{r-1}P_1\dots P_rP^{-0.05\mu}</math> ,

где <math>\tau(Q)</math> — количество делителей числа <math>Q</math>, а <math>\nu(Q)</math> — количество различных простых делителей числа <math>Q</math>.

==== Оценка функции Харди в проблеме Варинга ====
Применяя сконструированную им <math>p</math>-адическую форму кругового метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана-Виноградова к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирование ведётся по числам с малыми простыми делителями, А. А. Карацуба получил<ref>{{статья |заглавие=О функции G(n)  в проблеме Варинга |страницы=935—947 |издание=[[Известия РАН. Серия математическая.]] |номер=49:5 |язык=ru |автор=Карацуба, А. А. |год=1985}}</ref>
новую оценку известной функции [[Харди, Годфри Харолд|Харди]] <math>G(n)</math> в [[Проблема Варинга|проблеме Варинга]] (при <math>n \ge 400</math>):

: <math>G(n) < 2 n\log n + 2 n\log\log n + 12 n.</math>

==== Многомерный аналог проблемы Варинга ====
В своих дальнейших исследованиях по проблеме Варинга А. А. Карацуба получил
<ref>{{статья |заглавие=Многомерный аналог проблемы Варинга |страницы=521—523 |издание=Докл. АН СССР |номер=295:3 |автор=Архипов Г. И., Карацуба А. А. |год=1987 }}</ref><ref>{{статья |заглавие=Waring's problem in several dimension |страницы=5—6 |издание=Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht |номер=42 |автор=Karatsuba A. A. |год=1988 }}</ref>
следующее двумерное обобщение этой проблемы:

Рассмотрим систему уравнений

: <math>x_1^{n-i}y_1^i + \dots + x_k^{n-i}y_k^i = N_i</math> , <math>i = 0,1,\dots, n</math> ,

где <math>N_i</math> — заданные положительные целые числа имеющие одинаковый порядок роста, <math>N_0 \to +\infty</math> ,
а <math>x_{\varkappa},y_{\varkappa}</math> — неизвестные, но также положительные целые числа. Эта система разрешима, если
<math>k > cn^2\log n</math> ,
а если
<math>k < c_1n^2</math> ,
то существуют такие <math>N_i</math>-е, что система не имеет решений.

==== Проблема Артина о локальном представлении нуля формой ====
В исследованиях по проблеме [[Артин, Эмиль|Артина]] о <math>p</math>-адическом представлении нуля формой произвольной степени результаты А. А. Карацубы показали, что вместо ранее предполагавшегося степенного роста числа переменных для нетривиального представления нуля формой, это число переменных должно расти почти экспоненциально в зависимости от степени. А. А. Карацуба вместе со своим учеником Г. И. Архиповым доказали<ref>{{статья |заглавие=О локальном представлении нуля формой |страницы=948—961 |издание=Изв. АН СССР. Сер. матем. |номер=45:5 |автор=Архипов Г. И., Карацуба А. А. |год=1981 }}</ref>, что для любого натурального числа <math>r</math> существует такое <math>n_0 = n_0(r)</math>, что для любого <math>n \ge n_0</math> существует форма <math>F(x_1,\dots,x_k)</math> степени, меньшей <math>n</math>, с целыми коэффициентами, число переменных которой <math>k</math>,
<math>k \ge 2^u</math> ,

: <math>u = \frac{n}{(\log_2n)(\log_2\log_2n)\dots\underbrace{(\log_2\dots\log_2n)}_r\underbrace{(\log_2\dots\log_2n)^3}_{r+1}}</math>

и имеющая только тривиальное представление нуля в 2-адических числах, а также получили аналогичный результат для произвольного нечётного простого модуля <math>p</math>.

==== Оценки коротких сумм Клоостермана ====
А. А. Карацуба создал<ref>{{статья |заглавие=Аналоги сумм Клоостермана |страницы=93—102 |издание=[[Известия РАН. Серия математическая.]] |номер=59:5 |язык=ru |автор=Карацуба, А. А. |год=1995}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Аналоги неполных сумм Клоостермана и их приложения |страницы=89—120 |издание=Tatra Mountains Math. Publ. |номер=11 |автор=Карацуба, А. А. |год=1997 }}</ref><ref>{{статья |заглавие=Двойные суммы Клоостермана |страницы=682—687 |издание=Матем. заметки |номер=66:5 |автор=Карацуба, А. А. |год=1999 }}</ref>(1993—1999) новый метод оценок коротких [[Суммы Клоостермана|сумм Клоостермана]], то есть тригонометрических сумм вида

: <math>\sum\limits_{n\in A}\exp{\biggl(2\pi i\,\frac{an^{*}+bn}{m}\biggr)},</math>

где <math>n</math> пробегает некоторое множество <math>A</math> чисел, взаимно простых с <math>m</math>, число <math>\|A\|</math> элементов в котором существенно меньше <math>m</math>, а символ <math>n^{*}</math> обозначает вычет, обратный к <math>n</math> по модулю <math>m</math>:
<math>nn^{*}\equiv 1(\mod m)</math>.

До начала 1990-х гг. оценки такого типа были известны в основном, для сумм, число слагаемых в которых превосходило <math>\sqrt{m}</math>
([[:en:Hendrik Kloosterman|Г. Д. Клоостерман]], [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], Г. Салье,[[:en:Leonard Carlitz|Л. Карлиц]], С.
Учияма, [[Вейль, Андре|А. Вейль]]). Исключение составляли специальные модули вида <math>m = p^{\alpha}</math>, где <math>p</math> — фиксированное простое число, а показатель <math>\alpha</math> неограниченно возрастает (этот случай был исследован А. Г. Постниковым методом
[[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградова]]).
Метод А. А. Карацубы позволяет оценивать суммы Клоостермана, число слагаемых которых не превосходит <math>m^{\varepsilon}</math>, а в некоторых
случаях — даже <math>\exp{\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon}\}}</math>, где <math>\varepsilon > 0</math> — сколь угодно малое фиксированное число. Последняя статья А. А. Карацубы на эту тему<ref>{{статья |заглавие=Новые оценки коротких сумм Клоостермана |страницы=384—398 |издание=Матем. заметки |номер=88:3 |ссылка=http://mi.mathnet.ru/mz8812 |автор=Карацуба, А. А. |год=2010 }}</ref> была опубликована уже после его смерти.

Различные аспекты метода А. А. Карацубы нашли применение в решении следующих задач аналитической теории чисел:

* нахождение асимптотик сумм дробных долей вида
*: <math>{\sum_{n\le x}}'\biggl\{\frac{an^{*}+bn}{m}\biggr\}, {\sum_{p\le x}}'\biggl\{\frac{ap^{*}+bp}{m}\biggr\},</math>
: где <math>n</math> пробегает подряд идущие целые числа с условием <math>(n,m)=1</math>, а <math>p</math> пробегает простые числа, не делящие модуль <math>m</math> (А. А. Карацуба);

* нахождение нижней границы для числа решений неравенств вида
*: <math>\alpha<\biggl\{\frac{an^{*}+bn}{m}\biggr\}\le\beta</math>
: в целых числах <math>n</math>, <math>1\le n\le x</math>, взаимно простых с <math>m</math>, <math>x<\sqrt{m}</math> (А. А. Карацуба);

* точность приближения произвольного вещественного числа из отрезка <math>[0,1]</math> дробными долями вида
*: <math>\biggl\{\frac{an^{*}+bn}{m}\biggr\},</math>
: где <math>1\le n\le x</math>, <math>(n,m)=1</math>, <math>x<\sqrt{m}</math> (А. А. Карацуба);

* уточнение постоянной <math>c</math> в [[Теорема Бруна — Тичмарша|неравенстве Бруна-Тичмарша]]
*: <math>\pi(x;q,l)< \frac{cx}{\varphi(q)\ln\frac{2x}{q}},</math>
: где <math>\pi(x;q,l)</math> — число простых чисел <math>p</math>, не превосходящих <math>x</math> и принадлежащих арифметической прогрессии <math>p\equiv l \pmod{q}</math> ([[Фридландер, Джон|Дж. Фридландер]], [[Иванец, Хенрик|Х. Иванец]]);

* нижняя оценка наибольшего простого делителя произведения чисел вида:
*: <math>n^{3}+2</math>, <math>N<n\le 2N</math> ([[:en:Roger Heath-Brown|Д. Р. Хиз-Браун]]);

* доказательство бесконечности простых чисел вида <math>a^{2}+b^{4}</math> ([[Фридландер, Джон|Дж. Фридландер]], [[Иванец, Хенрик|Х. Иванец]]);

* комбинаторные свойства множества чисел <math>n^{*} \pmod{m}</math>, <math>1 \le n \le m^{\varepsilon}</math> (А. А. Глибичук).

=== Дзета-функция Римана ===

==== Гипотеза А. Сельберга ====
В 1984 году А. А. Карацуба установил,<ref>{{статья |заглавие=О нулях функции ζ(s)  на коротких промежутках критической прямой |страницы=569—584 |издание=[[Известия РАН. Серия математическая.]] |номер=48:3 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=1984}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Распределение нулей функции ζ(1/2 + it) |страницы=1214—1224 |издание=[[Известия РАН. Серия математическая.]] |номер=48:6 |язык=ru |автор=Карацуба, А. А. |год=1984}}</ref><ref>{{статья |заглавие=О нулях дзета-функции Римана на критической прямой |страницы=167—178 |издание=Труды МИАН |номер=167 |автор=Карацуба, А. А. |год=1985 }}</ref> что при фиксированном <math>\varepsilon</math> с условием <math>0<\varepsilon < 0.001</math>, достаточно большом <math>T</math> и <math>H = T^{a+\varepsilon}</math>, <math>a = \tfrac{27}{82} = \tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{246}</math>, промежуток <math>(T,T+H)</math> содержит не менее <math>cH\ln T</math> вещественных нулей [[Дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]] <math>\zeta\Bigl(\tfrac{1}{2}+it\Bigr)</math>.

Это утверждение в 1942 году было высказано в качестве гипотезы [[Сельберг, Атле|А. Сельбергом]]<ref>{{статья |заглавие=On the zeros of Riemann's zeta-function |страницы=1—59 |издание=Shr. Norske Vid. Akad. Oslo |номер=10 |автор=Selberg, A. |год=1942 }}</ref>, который сам доказал его справедливость для случая <math>H\ge T^{1/2+\varepsilon}</math>. Оценки [[Сельберг, Атле|А. Сельберга]] и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при <math>T\to +\infty</math>.

==== Распределение нулей дзета-функции Римана на коротких отрезках критической прямой ====
А. А. Карацубе принадлежит<ref>{{статья |заглавие=О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой |страницы=372—397 |издание=[[Известия РАН. Серия математическая.]] |номер=56:2 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=1992}}</ref>
также ряд результатов о распределении нулей <math>\zeta(s)</math> на «коротких» промежутках критической прямой. Он доказал, что аналог '''гипотезы Сельберга''' справедлив для «почти всех» промежутков <math>(T,T+H]</math>, <math>H = T^{\varepsilon}</math>, где <math>\varepsilon</math> — сколь угодно малое
фиксированное положительное число. А. А. Карацуба разработал (1992) новый подход к исследованию нулей дзета-функции Римана на
«сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках <math>(T, T+H]</math>, длина <math>H</math> которых растёт медленнее
любой, даже сколь угодно малой, степени <math>T</math>. В частности, он
доказал, что для любых заданных чисел <math>\varepsilon</math>, <math>\varepsilon_{1}</math> с условием
<math>0<\varepsilon, \varepsilon_{1}<1</math> почти все промежутки <math>(T,T+H]</math> при <math>H\ge\exp{\{(\ln T)^{\varepsilon}\}}</math> содержат не менее <math>H(\ln T)^{1-\varepsilon_{1}}</math> нулей функции <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math>. Эта оценка весьма
близка к той, что следует из [[Гипотеза Римана|гипотезы Римана]].

==== Нули линейных комбинаций эль-рядов Дирихле ====
А. А. Карацубой создан новый метод<ref>{{статья |заглавие=О нулях функции Дэвенпорта–Хейльбронна, лежащих на критической прямой |страницы=303—315 |издание=[[Известия РАН. Серия математическая.]] |номер=54:2 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=1990}}</ref><ref>{{статья |заглавие=On Zeros of the Davenport–Heilbronn Function |страницы=271—293 |издание=Proc. Amalfi Conf. Analytic Number Theory |автор=Karatsuba, A. A. |год=1992 }}</ref><ref>{{статья |заглавие=О нулях арифметических рядов Дирихле, не имеющих эйлерова произведения |страницы=3—14 |издание=[[Известия РАН. Серия математическая.]] |номер=57:5 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=1993}}</ref>
исследования нулей функций, представимых в виде линейных комбинаций [[L-функция Дирихле|<math>L</math> -рядов Дирихле]]. Простейшим примером функции такого рода служит функция [[Дэвенпорт, Гарольд|Дэвенпорта]]-[[:en:Hans Heilbronn|Хейльбронна]], определяемая равенством

: <math>
f(s)=\tfrac{1}{2}(1-i\kappa)L(s,\chi)+\tfrac{1}{2}(1
\,+\,i\kappa)L(s,\bar{\chi}),
</math>

где <math>\chi</math> — неглавный характер по модулю <math>5</math> (<math>\chi(1) = 1</math>,
<math>\chi(2) = i</math>, <math>\chi(3) = -i</math>, <math>\chi(4) = -1</math>, <math>\chi(5) = 0</math>,
<math>\chi(n+5) = \chi(n)</math> для любого <math>n</math>),

: <math>
\kappa=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}-2}{\sqrt{5}-1}.
</math>

Для <math>f(s)</math> [[гипотеза Римана]] неверна, однако критическая прямая <math>Re \ s = \tfrac{1}{2}</math> содержит, тем не менее, аномально много нулей.

А. А. Карацуба установил (1989), что промежуток <math>(T, T+H]</math>, <math>H = T^{27/82+\varepsilon}</math>, содержит не менее

: <math>
H(\ln T)^{1/2}e^{-c\sqrt{\ln\ln T}}
</math>

нулей функции <math>f\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math>. Подобные результаты были получены А. А. Карацубой и для линейных комбинаций, содержащих
произвольное (конечное) число слагаемых; показатель степени <math>\tfrac{1}{2}</math> заменяется при этом меньшим числом <math>\beta</math>, зависящим
лишь от вида линейной комбинации.

==== Граница нулей дзета-функции и многомерная проблема делителей Дирихле ====
[[Файл:A.A.Karatsuba on lecture.jpg|thumb|Лекция в Математическом институте им. В. А. Стеклова]]

А. А. Карацубе принадлежит принципиально новый результат<ref>{{статья |заглавие=Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле |страницы=475—483 |издание=Изв. АН СССР. Сер. матем. |номер=36:3 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=1972}}</ref>
в многомерной проблеме делителей Дирихле, которая связана с
нахождением при <math>x\to +\infty</math> числа <math>D_{k}(x)</math> решений неравенства
<math>x_{1}*\ldots *x_{k}\le x</math> в натуральных числах <math>x_{1}, \ldots, x_{k}</math>. Для <math>D_{k}(x)</math> имеется асимптотическая формула вида

: <math>
D_{k}(x) = xP_{k-1}(\ln x)+R_{k}(x)
</math> ,

в которой <math>P_{k-1}(u)</math> — многочлен <math>(k-1)</math>-й степени, коэффициенты которого зависят от <math>k</math> и могут быть найдены явно, а <math>R_{k}(x)</math> — остаточный член, все известные (до 1960 г.) оценки которого имели вид

: <math>
|R_{k}(x)| \le x^{1-\alpha(k)}(c\ln x)^{k}
</math> ,

где <math>\alpha = \frac{1}{ak+b}</math>, <math>a,b,c</math> — абсолютные положительные постоянные.

А. А. Карацуба получил более точную оценку <math>R_{k}(x)</math>, в которой величина <math>\alpha(k)</math> имела порядок <math>k^{-2/3}</math>
и убывала гораздо медленнее, чем <math>\alpha(k)</math> в предыдущих оценках. Оценка А. А. Карацубы является равномерной по <math>x</math> и <math>k</math>; в частности, величина <math>k</math> может расти по мере роста <math>x</math> (как некоторая степень
логарифма <math>x</math>). (Похожий, но более слабый результат был получен в 1960 г. немецким математиком Х. Э. Рихертом, работа которого
оставалась неизвестной советским математикам по меньшей мере до середины 1970-х гг.).

Вывод оценки <math>R_{k}(x)</math> опирается на ряд утверждений, по сути эквивалентных теореме о границе нулей дзета-функции Римана,
получаемой [[Метод тригонометрических сумм|методом И. М. Виноградова]], то есть теореме о том, что <math>\zeta(s)</math> не имеет нулей в области

: <math>
Re \ s \ge 1 - \frac{c}{(\ln |t|)^{2/3}(\ln\ln
|t|)^{1/3}},\quad |t|> 10
</math> .

А. А. Карацуба установил<ref>{{статья |заглавие=The multidimensional Dirichlet divisor problem and zero free regions for the Riemann zeta function |страницы=131—140 |издание=Functiones et Approximatio |номер=XXVIII |язык=en |тип=journal |автор=Karatsuba, A. A. |год=2000}}</ref>
<ref>{{статья |заглавие=О связи многомерной проблемы делителей Дирихле с границей нулей ζ(s) |страницы=477—480 |издание=Матем. заметки |номер=70:3 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=2001}}</ref>
(2000) обратную связь оценок величин <math>R_{k}(x)</math> с поведением <math>\zeta(s)</math> вблизи прямой
<math>Re \ s = 1</math>. В частности, он доказал, что если <math>\alpha(y)</math> — произвольная
невозрастающая функция с условием <math>1/y \le \alpha(y)\le 1/2</math>, такая, что при всех <math>k\ge 2</math> выполняется оценка

: <math>
|R_{k}(x)| \le x^{1-\alpha(k)}(c\ln x)^{k}
</math> ,

то <math>\zeta(s)</math> не имеет нулей в области

: <math>
Re \ s \ge 1 - c_{1}\,\frac{\alpha(\ln |t|)}{\ln\ln |t|},\quad |t|\ge e^{2}
</math>

(<math>c, c_{1}</math> — абсолютные постоянные).

==== Нижние оценки максимума модуля дзета-функции в малых областях критической полосы и на малых промежутках критической прямой ====
А. А. Карацубой введены и исследованы
<ref>{{статья |заглавие=О нижних оценках максимума модуля ζ(s)  в малых областях критической полосы |страницы=796—798 |издание=Матем. заметки |номер=70:5 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=2001}}</ref>
<ref>{{статья |заглавие=О нижних оценках максимума модуля дзета-функции Римана на коротких промежутках критической прямой |страницы=99—104 |издание=[[Известия РАН. Серия математическая.]] |номер=68:8 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=2004}}</ref>
функции <math>F(T;H)</math> и <math>G(s_{0};\Delta)</math>, определяемые равенствами

: <math>
F(T;H) = \max_{|t-T|\le H}\bigl|\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)\bigr|,\quad
G(s_{0};\Delta) = \max_{|s-s_{0}|\le\Delta}|\zeta(s)|.
</math>

Здесь <math>T</math> — достаточно большое положительное число, <math>0<H\ll \ln\ln T</math>, <math>s_{0} = \sigma_{0}+iT</math>, <math>\tfrac{1}{2}\le\sigma_{0}\le 1</math>, <math>0<\Delta < \tfrac{1}{3}</math>. Нижние оценки величин <math>F</math> и <math>G</math>
показывают, насколько большие (по абсолютной величине) значения может принимать <math>\zeta(s)</math> на коротких отрезках критической прямой
или в малых окрестностях точек, лежащих в критической полосе <math>0\le Re \ s\le 1</math>. Случай <math>H\gg \ln\ln T</math> был исследован ранее
Рамачандрой; случай <math>\Delta > c</math>, где <math>c</math> — достаточно большая постоянная, тривиален.

А. А. Карацуба доказал, в частности, что если величины <math>H</math> и <math>\Delta</math> превосходят некоторые достаточно малые константы, то
справедливы оценки

: <math>
F(T;H) \ge T^{- c_{1}},\quad G(s_{0};
\Delta) \ge T^{- c_{2}},
</math>

где <math>c_{1}, c_{2}</math> — некоторые абсолютные постоянные.

==== Поведение аргумента дзета-функции на критической прямой ====
А. А. Карацубой получен ряд новых результатов<ref>{{статья |заглавие=Плотностная теорема и поведение аргумента дзета-функции Римана |страницы=448—449 |издание=Матем. заметки |номер=60:3 |автор=Карацуба, А. А. |год=1996 }}</ref>
<ref>{{статья |заглавие=О функции S(t) |страницы=27—56 |издание=[[Известия РАН. Серия математическая.]] |номер=60:5 |язык=ru |автор=Карацуба, А. А. |год=1996}}</ref>
, касающихся поведения функции <math>S(t) = \frac{1}{\pi}\arg{\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)}</math>, называемой аргументом [[Дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]] на критической прямой (здесь <math>\arg{\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)}</math> — приращение произвольной непрерывной ветви <math>\arg\zeta(s)</math> вдоль ломаной линии, соединяющей точки <math>2, 2+it</math> и <math>\tfrac{1}{2}+it</math>). В их числе — теоремы о средних значениях функции <math>S(t)</math> и её первообразной <math>S_{1}(t) = \int_{0}^{t}S(u)du</math> на отрезках вещественной прямой, а также теорема о том, что всякий промежуток <math>(T,T+H]</math> при <math>H \ge T^{27/82+\varepsilon}</math> содержит не менее

: <math>
H(\ln T)^{1/3}e^{-c\sqrt{\ln\ln T}}
</math>

точек перемены знака функции <math>S(t)</math>. Ранее подобные результаты были установлены [[Сельберг, Атле|А. Сельбергом]] для случая <math>H\ge T^{1/2+\varepsilon}</math>.

=== Характеры Дирихле ===

==== Оценки коротких сумм характеров в конечных полях ====
В конце 1960-х гг. А. А. Карацуба, занимаясь оценками коротких сумм [[Характер (теория чисел)|характеров]], создал<ref name="автоссылка2">{{статья |заглавие=Суммы характеров и первообразные корни в конечных полях |страницы=1287—1289 |издание=Докл. АН СССР |номер=180:6 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=1968}}</ref> новый метод, позволивший получать нетривиальные оценки коротких сумм характеров в [[Конечное поле|конечных полях]]. Пусть <math>n\ge 2</math> — фиксированное целое число,
<math>F(x) = x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_{1}x + a_{0}</math> — неприводимый над полем <math>\mathbb{Q}</math> рациональных чисел многочлен, <math>\theta</math> — корень уравнения <math>F(\theta) = 0</math>, <math>\mathbb{Q}(\theta)</math> — расширение поля <math>\mathbb{Q}</math>, <math>\omega_{1},\ldots, \omega_{n}</math> — базис <math>\mathbb{Q}(\theta)</math>, <math>\omega_{1} = 1</math>, <math>\omega_{2} = \theta</math>,
<math>\omega_{3} = \theta^{2}, \ldots, \omega_{n} = \theta^{n-1}</math>. Пусть, далее, <math>p</math> — достаточно большое простое число, такое, что <math>F(x)</math> неприводим по модулю <math>p</math>, <math>\mathrm{GF}(p^{n})</math> — [[Конечное поле|поле Галуа]] с базисом
<math>\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{n}</math>, <math>\chi</math> — неглавный [[Характер (теория чисел)|характер Дирихле]] поля <math>\mathrm{GF}(p^{n})</math>. Пусть,
наконец, <math>\nu_{1},\ldots, \nu_{n}</math> — некоторые неотрицательные целые числа, <math>D(X)</math> — множество элементов <math>\bar{x}</math> поля Галуа <math>\mathrm{GF}(p^{n})</math>,

: <math>
\bar{x} = x_{1}\omega_{1} + \ldots + x_{n}\omega_{n}
</math> ,

таких, что при любом <math>i</math>, <math>1\le i\le n</math>, выполняются неравенства:

: <math>
\nu_{i} < x_{i} < \nu_{i} + X
</math> .

А. А. Карацуба доказал, что при любом фиксированном <math>k</math>, <math>k\ge n+1</math>, и произвольном <math>X</math> с условием

: <math>
p^{\frac{1}{4}+\frac{1}{4k}} \le X \le p^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4k}}
</math>

справедлива оценка:

: <math>
\biggl|\sum\limits_{\bar{x}\in D(X)}\chi(\bar{x})\biggr| \le c\Bigl(X^{1-\frac{1}{k}}p^{\frac{1}{4k}+\frac{1}{
4k^{2}}}\Bigr)^{\!\!n}(\ln p)^{\gamma},
</math>

где <math>\gamma = \frac{1}{k}(2^{n+1}-1)</math>, а постоянная <math>c</math> зависит лишь от <math>n</math> и базиса <math>\omega_{1},\ldots, \omega_{n}</math>.

==== Оценки линейных сумм характеров по сдвинутым простым числам ====
А. А. Карацуба разработал ряд новых приёмов, применение которых наряду с методом И. М. Виноградова оценок сумм с простыми числами позволило ему в 1970 году получить<ref>{{статья |заглавие=Об оценках сумм характеров |страницы=20—30 |издание=Изв. АН СССР. Сер. матем. |номер=34:1 |автор=Карацуба, А. А. |год=1970 }}</ref><ref>{{статья |заглавие=Суммы характеров с простыми числами |страницы=299—321 |издание=Изв. АН СССР. Сер. матем. |номер=34:2 |автор=Карацуба, А. А. |год=1970 }}</ref> оценку суммы значений неглавного характера по простому модулю <math>q</math> на последовательности сдвинутых простых чисел, а именно оценку вида

: <math>\biggl|\sum\limits_{p\le N}\chi(p+k)\biggr|\le cNq^{-\frac{\varepsilon^{2}}{1024}},</math>

где <math>k</math> — целое число с условием <math>k\not\equiv 0\pmod{q}</math>, <math>\varepsilon</math> — сколь угодно малое фиксированное число, <math>N\ge q^{1/2+\varepsilon}</math>, а постоянная <math>c</math> зависит лишь от <math>\varepsilon</math>.

Это утверждение представляет собой значительное усиление оценки И. М. Виноградова, нетривиальной при <math>N\ge q^{3/4+\varepsilon}</math>.

В [[1971 год]]у на Международной конференции по теории чисел, посвященной 80-летию со дня рождения [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградова]], академик [[Линник, Юрий Владимирович (математик)|Ю. В. Линник]] отметил следующее:

{{цитата|Весьма важны исследования И. М. Виноградова в области асимптотики [[Характер (теория чисел)|характеров Дирихле]] от сдвинутых простых чисел <math>\sum\limits_{p\le N}\chi(p+k)</math>, которая давала степенное понижение по сравнению с <math>N</math> уже при <math>N\ge q^{3/4+\varepsilon}</math>, <math>\varepsilon > 0</math>, где <math>q</math> — модуль характера. Эта оценка имеет принципиальное значение, так как по глубине превосходит то, что дает непосредственное применение расширенной [[Гипотеза Римана|гипотезы Римана]], и, по-видимому, в этом направлении является истиной, более глубокой, чем указанная гипотеза (если гипотеза верна). Недавно эту оценку удалось улучшить А. А. Карацубе.}}

Этот результат был перенесен А. А. Карацубой и на случай, когда <math>p</math> пробегает простые числа арифметической прогрессии, разность которой растет вместе с модулем <math>q</math>.

==== Оценки сумм характеров от многочленов с простым аргументом ====
А. А. Карацубе принадлежит<ref name="автоссылка2" /><ref>{{статья |заглавие=Суммы характеров по последовательности сдвинутых простых чисел и их применения |страницы=155—159 |издание=Матем. заметки |номер=17:1 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=1975}}</ref>
ряд оценок сумм характеров Дирихле от многочленов второй степени для случая, когда аргумент многочлена пробегает короткую последовательность подряд идущих простых чисел. Пусть, например, <math>q</math> — достаточно большое простое число, <math>f(x) = (x-a)(x-b)</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — целые числа, удовлетворяющие условию <math>ab(a-b)\not\equiv 0 \pmod{q}</math>, и
пусть <math>\left(\frac{n}{q}\right)</math> обозначает [[символ Лежандра]], тогда при любом фиксированном <math>\varepsilon</math> с условием <math>0<\varepsilon<\tfrac{1}{2}</math> и <math>N>q^{3/4+\varepsilon}</math> для суммы <math>S_{N}</math>,

: <math>
S_{N} = \sum\limits_{p\le N}\biggl(\frac{f(p)}{q}\biggr),
</math>

справедлива оценка:

: <math>
|S_{N}| \le c\pi(N)q^{-\frac{\varepsilon^{2}}{100}}
</math>

(здесь <math>p</math> пробегает подряд идущие простые числа, <math>\pi(N)</math> — количество простых чисел, не превосходящих <math>N</math>, а <math>c</math> — постоянная, зависящая лишь от <math>\varepsilon</math>).

Подобная оценка была получена А. А. Карацубой и для случая, когда <math>p</math> пробегает последовательность простых чисел, принадлежащих
арифметической прогрессии, разность которой может расти вместе с модулем <math>q</math>.

А. А. Карацубой высказана гипотеза, согласно которой нетривиальная оценка суммы <math>S_{N}</math> при <math>N</math>, «маленьких» по сравнению с <math>q</math>, остаётся справедливой и в случае, если заменить <math>f(x)</math> произвольным многочленом <math>n</math>-й степени, который не является квадратом по модулю <math>q</math>. Эта гипотеза в настоящее время не доказана.

==== Нижние оценки сумм характеров от многочленов ====
А. А. Карацуба построил<ref>{{статья |заглавие=Об оценках снизу сумм характеров от многочленов |страницы=67—72 |издание=Матем. заметки |номер=14:1 |автор=Карацуба, А. А. |год=1973 }}</ref>
бесконечную последовательность простых чисел <math>p</math> и последовательность многочленов <math>f(x)</math> степени <math>n</math> с целыми коэффициентами, таких, что <math>f(x)</math> не является полным квадратом по модулю <math>p</math>,

: <math>\frac{4(p-1)}{\ln p} \le n \le \frac{8(p-1)}{\ln p},</math>

и таких, что

: <math>\sum\limits_{x =1}^{p}\left(\frac{f(x)}{p}\right) = p. </math>

Иными словами, при любом <math>x</math> значение <math>f(x)</math> оказывается квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>. Этот результат показывает, что оценку [[Вейль, Андре|А. Вейля]]

: <math>\biggl|\sum\limits_{x=1}^{p}\left(\frac{f(x)}{p}\right)\biggr| \le (n-1)\sqrt{p}</math>

нельзя слишком сильно улучшить и заменить правую часть последнего неравенства, скажем, величиной <math>C\sqrt{n}\sqrt{p}</math>, где <math>C</math> — абсолютная постоянная.

==== Суммы характеров на аддитивных последовательностях ====
А. А. Карацубой предложен новый метод<ref>{{статья |заглавие=Распределение степенных вычетов и невычетов в аддитивных последовательностях |страницы=759—760 |издание=Докл. АН СССР |номер=196:4 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=1971}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Распределение значений характеров Дирихле на аддитивных последовательностях |страницы=543—545 |издание=Докл. АН СССР |номер=319:3 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=1991}}</ref>,
позволяющий находить весьма точные оценки сумм значений неглавных характеров Дирихле на аддитивных последовательностях, то есть на последовательностях, состоящих из чисел вида {{nobr|<math>x+y</math>}}, где переменные <math>x</math> и <math>y</math> независимо друг от друга пробегают, соответственно, некоторые множества <math>A</math> и <math>B</math>.

Наиболее ярким примером результатов такого рода является следующее утверждение, находящее применение при решении широкого класса задач, связанных с суммированием значений характеров Дирихле. Пусть <math>\varepsilon</math> — сколь угодно малое фиксированное число,
<math>0<\varepsilon<\tfrac{1}{2}</math>, <math>q</math> — достаточно большое простое число, <math>\chi</math> — неглавный характер по модулю <math>q</math>. Пусть, далее, <math>A</math> и <math>B</math> — произвольные подмножества полной системы вычетов по модулю <math>q</math>,
удовлетворяющие лишь условиям <math>\|A\|>q^{\varepsilon}</math>, <math>\|B\|>q^{1/2+\varepsilon}</math>. Тогда имеет место оценка:

: <math>
\biggl|\sum\limits_{x\in A}\sum\limits_{y\in B}\chi(x+y)\biggr|\le c\|A\|\cdot\|B\| q^{-\frac{\varepsilon^{2}}{20}},\quad c = c(\varepsilon)>0.
</math>

Метод А. А. Карацубы позволяет получать нетривиальные оценки сумм такого рода и в некоторых случаях, когда указанные выше условия на
множества <math>A</math> и <math>B</math> заменяются иными, например: <math>\|A\|>q^{\varepsilon}</math>,
<math>\sqrt{\|A\|}\cdot\|B\|> q^{1/2+\varepsilon}.</math>

В случае же, когда <math>A</math> и <math>B</math> представляют собой множества простых чисел отрезков <math>(1,X]</math>, <math>(1,Y]</math> соответственно, причём <math>X\ge q^{1/4+\varepsilon}</math>, <math>Y\ge q^{1/4+\varepsilon}</math>, имеет место оценка вида:

: <math>
\biggl|\sum\limits_{p\le X}\sum\limits_{p'\le
Y}\chi(p+p')\biggr|\le c\pi(X)\pi(Y)q^{-c_{1}\varepsilon^{2}},
</math>

где <math>\pi(Z)</math> — количество простых чисел, не превосходящих <math>Z</math>, <math>c = c(\varepsilon)>0</math>, а <math>c_{1}</math> — некоторая абсолютная постоянная.

==== Распределение степенных вычетов и первообразных корней в редких последовательностях ====
А. А. Карацубой получены<ref>{{статья |заглавие=Sums of characters with prime numbers and their applications |страницы=155—162 |издание=Tatra Mountains Math. Publ. |номер=20 |язык=en |тип=journal |автор=Karatsuba, A. A. |год=2000}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Суммы характеров с весами |страницы=29—42 |издание=[[Известия РАН. Серия математическая.]] |номер=64:2 |язык=ru |автор=Карацуба, А. А. |год=2000}}</ref> (2000) нетривиальные оценки сумм значений характеров Дирихле «с весами», то есть сумм слагаемых вида <math>\chi(n)f(n)</math>, где <math>f(n)</math> — функция натурального аргумента. Оценки такого рода находят применение при решении широкого круга задач теории чисел, связанных с распределением степенных вычетов (невычетов), а также первообразных корней в тех или иных последовательностях.

Пусть <math>k\ge 2</math> — целое число, <math>q</math> — достаточно большое простое число, <math>(a,q) = 1</math>, <math>|a|\le \sqrt{q}</math>, <math>N\ge q^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2(k+1)}+\varepsilon}</math>, где <math>0<\varepsilon<\min{\{0.01, \tfrac{2}{3(k+1)}\}}</math>, и пусть, наконец,

: <math>
D_{k}(x) = \sum\limits_{x_{1}*\ldots *x_{k}\le x}1 = \sum\limits_{n\le x}\tau_{k}(n)
</math>

(асимптотическое выражение для <math>D_{k}(x)</math> см. выше, в разд., посвящённом многомерной проблеме делителей Дирихле). Для сумм
<math>V_{1}(x)</math> и <math>V_{2}(x)</math> величин <math>\tau_{k}(n)</math>, распространённых на значения <math>n \le x</math>, для которых числа
<math>(n+a)</math> являются квадратичными вычетами (соответственно, невычетами) по модулю <math>q</math>, А. А. Карацуба получил асимптотические формулы
вида

: <math>
V_{1}(x) = \tfrac{1}{2}D_{k}(x) + O\bigl(xq^{-0.01\varepsilon^{2}}\bigr),\quad
V_{2}(x) = \tfrac{1}{2}D_{k}(x) + O\bigl(xq^{-0.01\varepsilon^{2}}\bigr)
</math> .

Аналогично, для суммы <math>V(x)</math> величин <math>\tau_{k}(n)</math>, взятых по всем <math>n\le x</math>, для которых <math>(n+a)</math> будет первообразным корнем по модулю <math>q</math>, получается асимптотическое выражение вида

: <math>
V(x) = \left(1 - \frac{1}{p_{1}}\right)\ldots \left(1 -
\frac{1}{p_{s}}\right)D_{k}(x) + O\bigl(xq^{-0.01\varepsilon^{2}}\bigr)
</math> ,

где <math>p_{1},\ldots, p_{s}</math> — все простые делители числа <math>q-1</math>.

Метод, развитый А. А. Карацубой, был применён им и к задачам о распределении степенных вычетов (невычетов) в последовательностях сдвинутых простых чисел <math>p+a</math>, чисел вида <math>x^{2}+y^{2}+a</math> и т. д.

== Работы последних лет ==
[[Файл:A.A.Karatsuba Pamir.jpg|thumb|На памирском восхождении]]

Последние годы, кроме исследований в области теории чисел (см. [[Эффект Карацубы]]<ref>{{статья |заглавие=Об одном свойстве множества простых чисел |страницы=3—14 |издание=Успехи Математических Наук |том=66 |номер=2(398) |автор=Карацуба, А. А. |год=2011 }}</ref><ref>{{статья |заглавие=Об одном свойстве множества простых чисел как мультипликативного базиса натурального ряда |страницы=1—5 |издание=Доклады Академии Наук |том=439 |номер=2 |язык=ru |тип=журнал |автор=Карацуба, А. А. |год=2011}}</ref>), занимался некоторыми проблемами [[Теоретическая физика|теоретической физики]]<ref>{{статья |заглавие=Physical mathematics in number theory |издание=Functional Analysis and Other Mathematics |doi=10.1007/s11853-010-0044-5 |автор=A. A. Karatsuba, E. A. Karatsuba |год=2010 }}</ref>, в том числе в области [[Квантовая теория поля|квантовой теории поля]]. Путём применения своей [[АТС теорема|теоремы АТС]] и некоторых других теоретико-числовых подходов получил новые результаты<ref>{{статья |заглавие=Application of ATS in a quantum-optical model |страницы=211—232 |издание=Analysis and Mathematical Physics: Trends in Mathematics |Birkhäuser Verlag, Basel |автор=Karatsuba A. A., Karatsuba E. A. |год=2009 }}</ref><ref>{{статья |заглавие=A resummation formula for collapse and revival in the Jaynes–Cummings model |страницы=195304, 16 |издание={{Нп3|Journal of Physics A|J. Phys. A: Math. Theor.||Journal of Physics A}} |номер=42 |doi=10.1088/1751-8113/42/19/195304 |язык=en |тип=journal |автор=Karatsuba A. A., Karatsuba E. A. |год=2009}}</ref> в [[Модель Джейнса — Каммингса|модели Джейнса-Каммингса]] в [[Квантовая оптика|квантовой оптике]].

== Семья и увлечения ==
[[Файл:A.A.Karatsuba in Crimea.jpg|thumb|В Крыму]]
Жена — однокурсница по [[Механико-математический факультет МГУ|механико-математическому факультету МГУ]] Диана Васильевна Сенченко (род. 1936), доцент кафедры математических методов анализа экономики [[Экономический факультет МГУ|Экономического факультета МГУ]]. Дочь [[Карацуба, Екатерина Анатольевна|Екатерина]] (род. 1963) — доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник [[Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН|Вычислительного центра им. А. А. Дородницына РАН]]<ref>{{Cite web |url=http://www.ccas.ru/karatsuba/index.htm |title=Екатерина Карацуба |access-date=2018-04-25 |archive-date=2018-06-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180608070814/http://www.ccas.ru/karatsuba/index.htm |deadlink=no }}</ref>.

Анатолий Карацуба всю жизнь занимался спортом: в ранние годы тяжёлой атлетикой и борьбой, затем альпинизмом,<ref>{{Cite web |url=http://r-active.ru/r-xfiles/0000221.html |title=Башкиров Владимир Леонидович: Берсерк Башкиров. Часть первая. |access-date=2011-03-15 |archive-date=2014-05-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140519184033/http://r-active.ru/r-xfiles/0000221.html |deadlink=no }}</ref> скалолазанием, спелеологией и горным туризмом. Проходил крымские стены [[Ай-Петри]], [[Сокол (скальный массив)|Куш-Каи]], Оползневого, Фороса и многие другие, участвовал в спелеоэкспедициях в пещеры [[Новоафонская пещера|Анакопийскую (Новоафонскую)]], Каскадную, Назаровскую.


Одиннадцать раз поднимался на высоту более 7000 метров, покоряя вершины
* [[Пик Исмаила Самани|пик Коммунизма]] (высочайшая вершина СССР) в 1977 и в 1985 годах;
* [[пик Ленина]] в 1968 и 1979 годах;
* [[пик Корженевской]] в 1980, 1982, 1983, 1985, 1986, 1988 и 1991 годах,
 	
Четыре раза покорял [[Эльбрус]]. Совершал походы в горах [[Кавказ]]а, [[Памир]]а и, особенно в последние годы жизни, [[Тянь-Шань|Тянь-Шаня]] в [[Киргизский хребет|Киргизском Ала-Тоо]], [[Заилийский Алатау|Заилийском Алатау]], [[Терскей Ала-Тоо|Терскей]] и [[Кунгей Ала-Тоо]].

== См. также ==
* [[АТС теорема]]
* [[Диаграмма Мура]]
* [[Умножение Карацубы]]
* [[Эффект Карацубы]]

== Примечания ==
{{примечания|colwidth=30em}}

== Ссылки ==
* [http://www.mi.ras.ru/~karatsuba/list.html Список научных трудов] на сайте [[Математический институт им. В. А. Стеклова РАН|МИАН]]а {{проверено|24|9|2009}}
* [http://www.mi.ras.ru/~karatsuba/ Данные о научных интересах, образовании и профессиональной деятельности] {{проверено|24|9|2009}}
* ''[[Архипов, Геннадий Иванович|Архипов Г. И.]], [[Чубариков, Владимир Николаевич|Чубариков В. Н.]]'' [https://cyberleninka.ru/article/n/anatoliy-alekseevich-karatsuba-1 Анатолий Алексеевич Карацуба]

{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Математики СССР]]
[[Категория:Математики России]]
[[Категория:Преподаватели механико-математического факультета МГУ]]
[[Категория:Математики в теории чисел]]
[[Категория:Математики по алфавиту]]
[[Категория:Математики XX века]]
[[Категория:Математики XXI века]]
[[Категория:Сотрудники МИАН]]
[[Категория:Доктора физико-математических наук]]
[[Категория:Альпинисты России]]
[[Категория:Лауреаты премии имени П. Л. Чебышёва]]
[[Категория:Лауреаты премии имени И. М. Виноградова]]