Просмотр кода страницы Категория метрических пространств

'''Категория метрических пространств''' или '''Met''' — [[Категория (математика)|категория]], объектами которой являются [[Метрическое пространство|метрические пространства]], а [[Морфизм|морфизмами]] — [[Короткое отображение|короткие отображения]]. (Поскольку [[Композиция функций|композиция]] из двух коротких отображений является коротким, эти объекты и морфизмы действительно образуют категорию.)

Начало изучению этой категории было дано [[Исбел, Джон|Джоном Исбелом]]. 

== Стрелки ==
[[Мономорфизм|Мономорфизмы]] в '''Met''' являются [[Инъекция (математика)|инъективными]] короткими отображениями. [[Эпиморфизм|Эпиморфизмы]] — короткие отображения с везде плотным образом.
[[Изоморфизм|Изоморфизмы]] — [[Изометрия (математика)|изометрии]].

Например, включение [[Рациональное число|рациональных чисел]] в [[Вещественное число|вещественные числа]] является мономорфизмом и эпиморфизмом, но не изоморфизмом.

Пустое метрическое пространство является [[Начальный и терминальный объекты|начальным объектом]] '''Met'''; любое [[Синглетон (математика)|одноточечное]] метрическое пространство является [[Начальный и терминальный объекты|терминальным объектом]].
Поскольку начальный объект и конечные объекты различаются, в '''Met''' нет [[Начальный и терминальный объекты|нулевых объектов]]. 

[[Инъективный объект|Инъективные объекты]] в '''Met''' называются [[Инъективное метрическое пространство|инъективными метрическими пространствами]].
Инъективные метрические пространства были введены и изучены сначала {{Harvtxt|Aronszajn|Panitchpakdi|1956}}, до изучения '''Met''' как категории; они также могут быть определены внутренне в терминах [[Семейство Хелли|свойства Хелли]] их метрических шаров, и из-за этого альтернативного определения их назвали гипервыпуклыми пространствами.
Любое метрическое пространство имеет наименьшее инъективное метрическое пространство, в которое оно может быть встроено изометрически, называемое его [[Инъективная оболочка|инъективной оболочкой]].

== Произведения ==
[[Произведение (теория категорий)|Произведение]] конечного множества метрических пространств в '''Met''' является [[Прямое произведение|прямым произведением]] пространств с расстоянием в пространстве произведений определяется как сумма расстояний в координатных пространствах.

Произведение бесконечного множества метрических пространств может не существовать, поскольку расстояния в базовых пространствах могут не иметь супремума.
То есть, '''Мет''' не является [[Полная категория|полной категорией]], но она конечно замкнута.
В '''Met''' нет [[Копроизведение|копроизведения]]  .

== Вариации и обобщения ==
'''Met''' не единственная категория, чьи объекты являются метрическими пространствами; другие включают категорию [[Равномерная непрерывность|равномерно непрерывных функций]], категорию [[Липшицево отображение|липшицевых функций]] и категорию квазилипшицевых отображений.
Короткие отображения являются как равномерно непрерывными, так и липшицевыми, с постоянной Липшица не более единицы.

Также оказывается удобно расширить категорию метрических пространств, разрешив например расстояниям принимать значение <math>\infty</math> или переходу к преметрическим пространствам, то есть отказавшись от нереавенства треугольника и симметрии для метрики.

== Ссылки ==

* {{Citation|author1-link=Nachman Aronszajn|last1=Aronszajn|first1=N.|last2=Panitchpakdi|first2=P.|title=Extensions of uniformly continuous transformations and hyperconvex metric spaces|journal=Pacific Journal of Mathematics|volume=6|year=1956|pages=405–439|url=http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.pjm/1103043960|doi=10.2140/pjm.1956.6.405}} 
* {{Citation|last1=Deza|first1=Michel Marie|author1-link=Michel Deza|last2=Deza|first2=Elena|title=Encyclopedia of Distances|url=https://books.google.com/books?id=LXEezzccwcoC&pg=PA38|year=2009}}  , 
* {{Citation|last1=Isbell|first1=J. R.|title=Six theorems about injective metric spaces|journal=Comment. Math. Helv.|volume=39|year=1964|pages=65–76|url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002058340|doi=10.1007/BF02566944}}

[[Категория:Метрическая геометрия]]
[[Категория:Теория категорий]]