Просмотр кода страницы Квадрирование квадрата

[[Файл:Квадрирование квадрата.png|thumb|302px|Разбиение квадрата на 21 квадрат, среди которых нет равных. Число внутри каждого квадрата означает длину его стороны. Соответственно, длина стороны большого квадрата равна (складывая длины сторон крайних квадратов) 50&nbsp;+&nbsp;35&nbsp;+&nbsp;27&nbsp;= 50&nbsp;+&nbsp;29&nbsp;+&nbsp;33&nbsp;= 33&nbsp;+&nbsp;37&nbsp;+&nbsp;42&nbsp;= 27&nbsp;+&nbsp;19&nbsp;+&nbsp;24&nbsp;+&nbsp;42&nbsp;=&nbsp;112]]
'''Квадри́рование квадра́та'''&nbsp;— задача о разбиении [[квадрат]]а с [[целые числа|целыми]] сторонами на конечное число меньших квадратов с целыми сторонами. В более узком смысле&nbsp;— задача о разбиении квадрата на конечное число ''попарно неравных'' между собой квадратов.

В [[1936]]—[[1938 год]]ах её решили четверо студентов Тринити-колледжа Кембриджского университета<ref name="multiple" />.

Все квадраты в любом решении данной задачи имеют [[Соизмеримые величины|соизмеримые]] по длине стороны<ref>{{Cite web |url=http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000043/st034.shtml |title=''Гарднер М.'', <cite>Математические головоломки и развлечения</cite>. Пер. с английского Ю. Данилова. Изд. «Оникс», Москва, 1994, стр. 305—326. |access-date=2020-08-12 |archive-date=2021-01-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210117062509/http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000043/st034.shtml |deadlink=no }}</ref>.

== Терминология ==
* Квадрат, разбитый на попарно неравные квадраты, называется '''совершенным'''<ref name="multiple" />.
* '''Порядком''' квадрата, разбитого на составные квадраты, называется число составляющих его квадратов.
* Разбиение квадрата, никакое подмножество квадратов которого не образует прямоугольник (не считая отдельных квадратов), называется '''простым'''.

== История ==
* Вопрос о возможности разбиения квадрата на неравные квадраты был записан в [[Шотландская книга|Шотландской книге]] [[Рузевич, Станислав|Станиславом Рузевичем]] под номером 59<ref name="Scottish book" /> в 1935 году.
* Самые первые найденные Бруксом, Смитом, Стоуном и Таттом совершенные квадраты были 69-го порядка.
* В 1939 году Р. Шпраг (''R. Sprague'') нашёл совершенный квадрат 55-го порядка, это было первое опубликованное решение для совершенного квадрата<ref name="Шпраг" />.
* Позднее Т. Г. Уиллкокс (''T. H. Willcocks'') нашёл совершенный квадрат 24-го порядка, который долгое время держал рекорд малости порядка{{Нет АИ|12|02|2025}}.
* В 1978 году нидерландский математик А. Й. В. Дёйвестейн (''A. J. W. Duijvestijn'') с помощью компьютера нашёл разбиение квадрата на 21 квадрат, среди которых нет равных (см. рис.). Он также доказал следующие утверждения:
** Не существует совершенного квадрата меньшего порядка.
** Найденное им разбиение — единственно возможное для разбиения 21-го порядка{{Нет АИ|12|02|2025}}.

== Диаграмма Смита ==
[[Файл:Smith diagram.svg|thumb|300px|left|Диаграмма Смита для прямоугольника. Верхняя клемма «+» соответствует верхней стороне прямоугольника, нижняя клемма «−» — нижней стороне.
Остальные клеммы соответствуют промежуточным горизонтальным отрезкам.
Если длине стороны квадрата сопоставить силу тока, то диаграмма становится электрической схемой, для которой выполняются [[правила Кирхгофа]]. Например, длина верхней стороны прямоугольника складывается из сторон 6 + 4 + 5 = 15, что соответствует разветвлению тока в 15 единиц на три пропорциональные части.]]

Ключевую роль в решении задачи квадрирования сыграло предложение, сделанное Бруксом, Смитом, Стоуном и Татом в [[1936]]—[[1938 год]]ах<ref name="multiple" /> для анализа диаграммы, названной '''диаграммой Смита''', которая любому разбиению квадрата (или прямоугольника) ставит в соответствие [[электрическая цепь|электрическую цепь]]. Это позволило применять для решения задачи квадрирования хорошо разработанную теорию электрических цепей.

Можно считать, что прямоугольник — это проводник, сделанный из фольги с постоянным удельным сопротивлением. Если вдоль оснований подключён ток, то сопротивление прямоугольника прямо пропоционально высоте и обратно пропорционально ширине прямоугольника. Поэтому можно считать, что сопротивление любого квадрата единица.

Каждому горизонтальному отрезку на схеме разбиения квадрата соответствует «клемма» этой цепи, а каждому квадрату разбиения — проводник, соединяющий две «клеммы». Сила тока, текущего по проводнику, равна длине стороны соответствующего квадрата. Поскольку можно считать, что сопротивление каждого квадрата равно единице, такая электрическая цепь ведёт себя как «настоящая»; в частности, подчиняется [[правила Кирхгофа|правилам Кирхгофа]] для токов в цепи.

== Число квадрированных квадратов ==
{| class="wikitable" style="float:right; margin-left:1em; clear:right"
!<math>n</math>
!Число простых совершенных<br>квадратов порядка <math>n</math>
!<math>n</math>
!Число простых совершенных<br>квадратов порядка <math>n</math>
|-
|21
|1
|28
|3001
|-
|22
|{{num1|8}}
|29
|7901
|-
|23
|{{num1|12}}
|30
|20 566
|-
|24
|{{num1|26}}
|31
|54 541
|-
|25
|{{num1|160}}
|32
|144 161
|-
|26
|441
|33
|378 197<ref name="squaring.net-spss" />
|-
|27
|1152
|
|
|-
|}
Число простых совершенных квадрированных квадратов порядка {{mvar|n}} {{нп5|с точностью до||en|Up to}} симметрий указано в последовательности A006983 в [[OEIS]]<ref name="oeis-a006983" />.

В 2013 году было найдено число квадратов порядка 32 ({{num|144161}})<ref name="oeis-a006983" /><ref name="squaring.net-spss" />.

В июне 2014 года Джим Уильямс (''Jim Williams'') получил все {{num|378197}} простых совершенных квадрированных квадратов порядка 33<ref name="squaring.net-spss" />.
{{-}}

== Кубирование куба ==
«Кубирование куба», то есть разбиение [[Куб (геометрия)|куба]] на конечное число попарно неравных между собой кубов, невозможно. Доказательство этого факта было дано Бруксом, Смитом, Стоуном и Таттом.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство
| Фон_заголовка = 
| Содержание    = Допустим, что искомое разбиение куба существует.

Рассмотрим одну из граней куба, очевидно, не уменьшая общность, можно выбрать нижнюю грань. 

На нижней грани стоят неравновеликие кубы, своими нижними рёбрами разбивающие грань на неравновеликие квадраты.

Найдём самый маленький квадрат разбиения нижней грани. Очевидно, что этот квадрат не может примыкать к ребру куба, будучи ограничен сторонами бо́льших квадратов, следовательно, он должен располагаться где-то внутри грани.  

Теперь рассмотрим верхнюю грань этого малого кубика. Поскольку по предположению это самый маленький кубик на нижней грани куба, он окружен более высокими кубами. Поэтому на его верхнюю грань не заступает ни один соседний куб. Следовательно, стоящие на этой грани кубики меньшего размера снова разбивают верхнюю грань этого кубика на неравновеликие квадраты, причём самый малый квадрат разбиения верхней грани рассматриваемого кубика снова не может принадлежать ребру кубика и находится внутри грани.

Продолжая этот процесс рассуждения, получаем бесконечную последовательность кубов, каждый из которых меньше предыдущего и примыкает к его верхней грани. Это противоречит начальному предположению<ref name="multiple" />.
}}

=== Гиперкубирование гиперкуба ===
Также легко доказывается теорема о невозможности «гиперкубирования гиперкуба» для [[гиперкуб]]ов любой [[размерность пространства|размерности]], большей 3-х. Действительно, для любой размерности ''n'' гиперкубы разбиения, прилегающие к какой-либо (''n''&nbsp;−&nbsp;1)-мерной гиперграни исходного гиперкуба, должны разбивать эту гипергрань на конечное число попарно неравных (''n''&nbsp;−&nbsp;1)-мерных гиперкубов. При ''n''&nbsp;=&nbsp;4 «гиперкубирование» невозможно, так как должно порождать «кубирование» 3-мерных гиперграней исходного 4-мерного гиперкуба. [[Математическая индукция|Индукцией]] по ''n'' можно сделать заключение о невозможности «гиперкубирования» для всех ''n''&nbsp;&gt;&nbsp;3.

== Ссылки ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=Rpjab--XQ0U Видео на англоязычном научно-популярном математическом ютуб-канале Numberphile] {{Wayback|url=https://www.youtube.com/watch?v=Rpjab--XQ0U |date=20200812213327 }}

== Литература ==
* ''[[Гарднер, Мартин|Гарднер М.]]'', <cite>Математические головоломки и развлечения</cite>. Пер. с английского Ю. Данилова. Изд. «Оникс», Москва, 1994, стр. 305—326.
* ''[[Яглом, Исаак Моисеевич|Яглом И. М.]]'' <cite>[http://www.mccme.ru/free-books/djvu/yaglom/square.htm Как разрезать квадрат] {{Wayback|url=http://www.mccme.ru/free-books/djvu/yaglom/square.htm |date=20210127172335 }}</cite> серия «Математическая библиотечка» М., Наука, 1968—112 с.
* ''Bouwkamp C. J., Duijvestijn A. J. W.'' <cite>Catalogue of Simple Perfect Squared Squares of Orders 21 Through 25</cite>, Eindhoven Univ. Technology, Dept. of Math., Report 92-WSK-03, Nov. 1992.
* ''Bouwkamp C. J., Duijvestijn A. J. W.'' <cite>Album of Simple Perfect Squared Squares of order 26</cite>, Eindhoven University of Technology, Faculty of Mathematics and Computing Science, EUT Report 94-WSK-02, December 1994.
* ''Brooks, R. L., Smith C. A. B., Stone, A. H., Tutte, W. T.'' <cite>The Dissection of Rectangles into Squares</cite>, Duke Math. J. 7, 312—340, 1940
* ''Gardner Martin'', <cite>Squaring the square</cite>, in ''The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.''
* ''Meschkowski H.'' Unsolved and Unsolvable Problems in Geometry, Oliver and Boyd, 1966, Edinburgh, pp. 9—102.
* ''Stein S.'' Mathematics: The Man-Made Universe, (2nd ed.) Freeman and Co., 1969, San Francisco, pp. 92—124.
* ''Tutte W.'' Squaring the Square, Canadian journal of Mathematics, 1950, pp.197—209.
* ''Tutte W.'' The Quest of the Perfect Square, ''The American Mathematical Monthly'', 1965, Vol. 72, No. 2, pp. 29—35.

== Примечания ==
{{примечания|1|refs =
<ref name="multiple">''Brooks, R. L.; Smith, C. A. B.; Stone, A. H.; and Tutte, W. T.'' <cite>The Dissection of Rectangles into Squares</cite>, Duke Math. J. 7, 312—340, 1940.</ref>

<ref name="Шпраг">{{cite web|url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-games5|title=5. Towards a theory for combinatorial games|website=[[American Mathematical Society]]|accessdate=2017-06-30|archive-date=2017-08-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20170829165835/http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-games5|deadlink=no}}.</ref>

<ref name="Scottish book">{{книга |год=1958 |заглавие=The Scottish book |ссылка=http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/ks-szkocka/ks-szkocka3ang.pdf |язык=und |ответственный=Stan Ulam |ref="Scottish book" |archivedate=2012-06-02 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120602041925/http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/ks-szkocka/ks-szkocka3ang.pdf }}</ref>

<ref name="oeis-a006983">{{OEIS long|6983|en=Number of simple perfect squared squares of order n up to symmetry}}.</ref>

<ref name="squaring.net-spss">{{cite web
 |url = http://www.squaring.net/sq/ss/spss/spss.html
 |title = Simple Perfect Squared Squares (SPSSs); Order 21 to 33 and higher orders
 |author = Stuart Anderson
 |access-date = 2015-11-30
 |archive-date = 2015-12-08
 |archive-url = https://web.archive.org/web/20151208074835/http://www.squaring.net/sq/ss/spss/spss.html
 |deadlink = no
 }}.</ref>

}}

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* {{cite web
 |url         = http://www.math.uwaterloo.ca/navigation/ideas/articles/honsberger2/index.shtml
 |title       = Squaring the Square
 |author      = Ross Honsberger
 |publisher   = Faculty of Mathematics, University of Waterloo
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20151016224101/http://www.math.uwaterloo.ca/navigation/ideas/articles/honsberger2/index.shtml
 |archivedate = 2015-10-16
}}
* {{cite web
 |url         = http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/98/square_dissect
 |title       = Re: Dissection of square (Or Rectangle) into unequal squares
 |date        = 1998-04-11
 |publisher   = sci.math, rec.puzzles
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20030419012114/http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/98/square_dissect
 |archivedate = 2003-04-19
}}
* {{cite web
 |url = http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/sq.pdf
 |title = Squaring the square
 |publisher = Byron Schmuland
 |access-date = 2005-02-26
 |archive-date = 2015-09-24
 |archive-url = https://web.archive.org/web/20150924105817/http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/sq.pdf
 |deadlink = no
 }}
* {{cite web
 |url         = http://karlscherer.com/prosqtre.html
 |title       = Square The Rectangle
 |author      = Karl Scherer
 |deadlink    = yes
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20140821012941/http://karlscherer.com/prosqtre.html
 |archivedate = 2014-08-21
}}
* {{cite web
 |url         = http://karlscherer.com/prosqtsq.html
 |title       = Square The Square
 |author      = Karl Scherer
 |deadlink    = yes
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20140819083303/http://karlscherer.com/prosqtsq.html
 |archivedate = 2014-08-19
}}

{{Внешние ссылки}}
{{Геометрические мозаики}}


[[Категория:Комбинаторная геометрия]]