Просмотр кода страницы Квантиль

'''Кванти́ль''' в [[математическая статистика|математической статистике]] — значение, которое заданная [[случайная величина]] не превышает с фиксированной [[вероятность]]ю. Если вероятность задана в [[процент]]ах, то квантиль называется '''процентилем''' или '''перцентилем''' (см. [[#Процентиль|ниже]]).

Например, фраза «90-й процентиль массы тела у новорожденных мальчиков составляет 4 кг»<ref>{{Книга |заглавие=Руководство участкового педиатра |ссылка=https://books.google.com/books?id=10O1MFkbOekC&pg=PA44 |издательство=ГЭОТАР-Медиа |год=2008 |страницы=44 |страниц=354}}</ref> означает, что 90 % мальчиков рождаются с весом, меньшим либо равным 4 кг, а 10 % мальчиков рождаются с весом, большим либо равным 4 кг.

== Определение ==
Рассмотрим [[вероятностное пространство]] <math>(\Omega,\;\mathcal{F},\;\mathbb{P})</math> и <math>\mathbb{P}^X</math> — [[вероятностная мера]], задающая [[Распределение вероятностей|распределение]] некоторой [[Случайная величина|случайной величины]] <math>X</math>. Пусть фиксировано <math>\alpha\in(0,\;1)</math>. Тогда <math>\alpha</math>-квантилем (или квантилью уровня (порядка) <math>\alpha</math>) распределения <math>\mathbb{P}^X</math> называется [[число]] <math>x_\alpha\in\R</math> такое, что<ref>{{книга |автор={{автор||Фролов А. Н.}} |заглавие=Краткий курс теории вероятностей и математической статистики: учебное пособие для СПО |место=СПб. |издательство=Лань |год=2021 |страниц=316 |страницы=189 |isbn=978-5-8114-8343-3 }}</ref>
: <math>\mathbb{P}(X \leqslant x_\alpha) \geqslant \alpha,</math>
: <math>\mathbb{P}(X \geqslant x_\alpha)\geqslant 1 - \alpha.</math>
 
В некоторых источниках (например, в англоязычной литературе) <math>k</math>-м <math>q</math>-квантилем называется квантиль уровня <math>k/q</math>, то есть <math>(k/q)</math>-квантиль в предыдущих обозначениях.

== Замечания ==
* Если [[Распределение вероятностей|распределение]] непрерывно, то <math>\alpha</math>-квантиль однозначно задаётся [[уравнение]]м
:: <math>F_X(x_\alpha)=\alpha,</math>
: где <math>F_X</math> — [[функция распределения]] <math>\mathbb{P}^X</math>.
* Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении [[доверительный интервал|доверительных интервалов]] равенство:
:: <math>\mathbb{P}\left(x_{\frac{1-\alpha}{2}}\leqslant X\leqslant x_{\frac{1+\alpha}{2}}\right)=\alpha.</math>
* Для [[Эмпирическое распределение|эмпирического распределения]] <math>\alpha</math>-квантиль можно задать следующим способом:
# составляем вариационный ряд значений <math>V_0\leqslant V_1\leqslant\dots\leqslant V_{N-1}</math> (выборка имеет объём <math>N</math>), а также считаем, что <math>V_N=V_{N-1}</math> (это необходимо при вычислении 100 % квантили по приводимым ниже формулам);
# находим величину <math>K=\lfloor\alpha\cdot(N-1)\rfloor</math>;
# сравниваем <math>K</math> и <math>\alpha\cdot N</math>:
:: a) если <math>K+1<\alpha N</math>, то полагаем <math>x_\alpha=V_{K+1}</math>;
:: б) если <math>K+1=\alpha N</math>, то полагаем <math>x_{\alpha}=(V_K+V_{K+1})/2</math>;
:: в) если <math>K+1>\alpha N</math>, то полагаем <math>x_{\alpha}=V_K</math>.
: Заданный таким образом <math>\alpha</math>-квантиль удовлетворяет приведенному выше определению.

: В некоторых случаях (при большом объёме выборки и эмпирическом распределении, близком к непрерывному) вместо равенства <math>K+1=\alpha N</math> можно использовать приближённое сравнение <math>|K+1-\alpha N|<1/N</math> (это позволит, например, квантиль уровня 1/3 представлять как 0,33…333 при компьютерной обработке данных).

== Медиана и квартили ==
[[Файл:Boxplot vs PDF.svg|thumb|Квантили нормального распределения]]
{{main|Медиана (статистика)}}
* 0,25-квантиль называется '''первым (или нижним) кварти́лем''' (от {{lang-la|quarta}} — четверть);
* 0,5-квантиль называется '''медианой''' (от {{lang-la|mediāna}} — середина) или '''вторым кварти́лем''';
* 0,75-квантиль называется '''третьим (или верхним) кварти́лем'''.
'''Интеркварти́льным размахом''' ({{lang-en|Interquartile range}}) называется разность между третьим и первым квартилями, то есть <math>x_{0{,}75}-x_{0{,}25}</math>. Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является [[Робастность в статистике|робастным]] аналогом [[Дисперсия случайной величины|дисперсии]]. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо [[Математическое ожидание|математического ожидания]] и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.

== Дециль ==
''Деци́ль'' характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля, от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.

Так же, как в случае моды и медианы, у интервального вариационного ряда распределения каждый дециль (и квартиль) принадлежит определённому интервалу и имеет вполне определённое значение<ref>{{книга|автор=Шмойлова Р. А., Минашкин В. Г., Садовникова Н. А.|заглавие=Практикум по теории статистики|издание=3-е изд|место=М.|год=2011|издательство=Финансы и статистика|страницы=130—131|страниц=416|isbn=9785279032969}}</ref>.

== Процентиль ==
<math>p</math>-м '''проценти́лем''' называют квантиль уровня <math>\alpha = p/100</math>. Соответственно, медиана является 50-м процентилем, а первый и третий [[Квантиль#Медиана и квартили|квартиль]] — 25-м и 75-м процентилями соответственно.

В целом, понятия квантиль и процентиль взаимозаменяемы, так же, как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная.

Процентили также называются '''перцентилями''' или '''центилями'''.

== Квантили стандартного нормального распределения ==
{| class="wikitable"
|-
| '''Вероятность (уровень квантили), %'''
| 99,99
| 99,90
| 99,00
| 97,72
| 97,50
| 95,00
| 90,00
| 84,13
| 50,00
|-
| '''Квантиль (округлённый до тысячных)'''<ref>{{книга |автор={{автор|Большев, Логин Николаевич|Большев Л. Н.}}, {{автор|Смирнов, Николай Васильевич (математик)|Смирнов Н. В.}} |заглавие=Таблицы математической статистики |место=М. |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |год=1983 |издание=3-е изд. |страниц=416 |страницы=136 }}</ref>
| 3,719
| 3,09
| 2,326
| 1,999
| 1,96
| 1,645
| 1,282
| 1
| 0
|}

== См. также ==
* [[Квантили распределения Стьюдента]]
* [[Квантили распределения хи-квадрат]]
* [[Нормальное распределение]]
* [[Доверительный интервал]]
* [[Наукометрия]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Ссылки ==
{{Навигация}}

{{ВС}}
{{Нет источников |дата=2024-10-20}}

[[Категория:Математическая статистика]]